简单的三角恒等变换(二)
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简单的三角恒等变换(二). 函数 的性质及应用. 重难点 : 把形如 的三角函数式化成一个三角函数的形式. 复习引入 : 回忆两角和与差的三角函数公式、倍角公式. 思考 : 求函数 的最大值、最小值和周期,其中 a 、 b 是不同时为零的实数. 解析. 可写为. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
简单的三角恒等变换(二)函数
的性质及应用
sin cosy a x b x
重难点:把形如 的三角函数
式化成一个三角函数的形式 .
sin cosy a x b x
复习引入:回忆两角和与差的三角函数公式、
倍角公式 .
思考:求函数
的最大值、最小值和周期,其中 a、 b是不同时为零的实数 .
sin cosy a x b x
可写为sin cosy a x b x
2 2
2 2 2 2sin cos .
a by a b x x
a b a b
其中
2 2 2 2cos ,sin .
a b
a b a b
2 2
2 2
sin cos
(cos sin sin cos )
sin( ).
y a x b x
a b x x
a b x
则
解析
2 2sin cos sin( ),y a x b x a b x 由
所以函数 的最大值为
,最小值为 ,周期是 .
sin cosy a x b x
2 2a b 2 2a b
2
注:此结论可作为公式记住,可方便
解题 .
例3 求函数 的周期,最大值和最小值 .
sin 3 cosy x x
分析: 利用三角恒等变换,把函数式化成 形式,再求相应的值 .
sin( )A x
解:1 3
sin 3 cos 2 sin cos2 2
2 sin cos cos sin 2sin .3 3 3
y x x x x
x x x
所以,所求函数是周期为 ,最大值为 2 ,最小值为 -2.
2
例4 如图,已知 OPQ 是半径为 1,圆心角为 的扇形,C是扇形弧上的动点, ABCD 是扇形的内接矩形 .记 ,求当角 取何值时,矩形 ABCD 的面积最大?并求出这个最大面积 .
3
COP
OA B
P
C
Q
D
分析:要求当角 取何值时,矩形 ABCD 的面积 S 最大,可分二步进行:
( 1 )找出 S 与 之间的函数关系 ;
( 2 )由得出的函数关系,求 S 的最大值 .
解: 在 中,Rt OBC cos , sin .OB BC
Rt OAD在 中, tan 60 3.DA
OA
所以
所以
3 3 3sin .
3 3 3OA DA BC
3cos sin .
3AB OB OA
设矩形 ABCD 的面积为 S ,则
23 3cos sin sin sin cos sin .
3 3S AB BC
求类似 函数的最值,应先降幂,再化成 型的三角函数求最值 .
2 2sin sin cos cosy a x b x x c x sin( )A x
由二倍角公式的变形,降幂升角,得1 3 1 3 3sin 2 (1 cos 2 ) sin 2 cos 22 6 2 6 6
1 3 1 3sin 2 cos 2
2 2 63
1 3sin 2 .
6 63
S
注意自变量的取值范围
50 .
3 6 6 6
由 < < ,得 <2 + <
26 2 6
所以当 ,即 时,
1 3 3.
6 63S 最大
6
3.
6
ABCD 因此,当 时,矩形 的面积最大,最
大面积为
引申:如果去掉 “记 ”,结论改为“求矩
形 ABCD 的面积”,这时,对自变量可多一种选择,
如设 AD=x,S= , 所设自变量不同,
所得函数不同,由此可见函数模型的多样性,本题还
可体现以角为自变量的优越性 .
2 31
3x x x
COP
思考:还有其他的建模方法吗?快来想一想,试一试吧!
小 结 本节课主要学习了把形如 的三角函数式化成一个角的一个三角函数的形式,即 形式,进而求解周期与最值等问题,使解题过程得以简化 . 要对过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识,学会灵活运用 .
sin cosy a x b x
sin( )A x
作业
4 42. ( ) cos 2sin cos sinf x x x x x 已知函数 ,
0, ( ) .2
x f x
(2)若 ,求 的最大、最小值
( )f x(1)求 的最小正周期;
sin o2 2
3 c sx y x x
1.当 时,求 的
最值.