斎藤卓也、中村純、酒井淳

内容

はじめに（遮蔽質量について）

格子 QCD計算と摂動・ HTL計算（熱力学的量）

遮蔽質量の格子 QCD計算

計算結果

まとめ

有限温度有限温度 QCDQCD 計算と計算と摂動・摂動・ HTLHTL 計算との比較計算との比較

はじめにはじめに

222 )()2

1(

3

1~ TTgNNm fD

r

erV

rmD2

~)(

0T

0T

QGP の研究重イオン衝突実験がまもなく（すでに？）十分高温度で重イオン衝突実験がまもなく（すでに？）十分高温度で QGPQGP相を生成するであろうと期待されている。相を生成するであろうと期待されている。(CERN,RHIC,LHC)(CERN,RHIC,LHC)

　メソン、重クォーク束縛状態：　メソン、重クォーク束縛状態：　 J/ψJ/ψ 、ウプシ、ウプシロン、・・・ロン、・・・　遮蔽質量：　遮蔽質量：　

熱熱 QCDQCD における基本量における基本量現象論的モデルへの応用上重要現象論的モデルへの応用上重要

ジェットクエンチング？ジェットクエンチング？

熱場の QCD 摂動論において遮蔽効果を考える際には、赤外発散の効果に注意する必要がある。

　電場的遮蔽質量：摂動論的に定義可能。

　磁場的遮蔽質量：摂動論的に定義は難しい。しかし赤外発散のカットオフとして働くことが期待されている。

有限温度有限温度 QCDQCD 摂動論摂動論

, , , 2TggTT

電場的 磁場的（非摂動的）

)(

2

12log

2

31 2

0,

20,

2 gOm

m

m

mgmm

m

e

e

eee

　　１次摂動１次摂動論論

　　硬熱ループ再加算法硬熱ループ再加算法

00 TTgme )(0, ii TTgCm mm )(2

　　３次元縮減理３次元縮減理論論　　 TTgmm )(~ 2

格子 QCD での計算今までに格子 QCD の計算においては、

　相転移温度、相転移の特徴、状態方程式、重クォークポテ　相転移温度、相転移の特徴、状態方程式、重クォークポテンシャルの計算ンシャルの計算これからはさらに、•　　 QGPQGP の遮蔽効果！の遮蔽効果！

有限温度での計算（８３ｘ４）： Mandula, Oglive,PLB201,117,1988Polyakov loops から計算： Gao,PRD41,1990 : Kaczmarek, PRD62,03

4021SU(2) の場合： U.M.Heller, et al. PLB355,511,1995, Cuchieri et al. P

LB497,80,2001: Petreczky,1996-1999.3D-QCD の場合： K.Kajantie,M.Lanie,K.Rummukainen and M.Shapos

hnikov, Nucl. Phys. B503, 357(1997)

これまでの遮蔽質量に関連した主な研究

格子 QCD での計算方法

),(Tr1

)( 0N1tt trU

NrL )

)(exp()0()()exp(

, T

rVLrLF

qq †

r

rmCrV e )2exp(

)(

① ポリヤコフループ相関による計算

② グルーオン伝播関数から計算

))(exp()(1

~)(22

zpECzGmp

pGg

（ユークリディアン）

目的目的QGP の遮蔽効果についての格子 QCD での結果と摂動計算または HTL 近似（計算）との比較をする

　今までの、格子計算による自由エネルギーと HTL計算などとの比較研究をまとめる。 格子 QCD シミュレーションによる電場・磁場の

導出を検討する。　ポリヤコフループ相関とグルーオン伝播関数　実験で実現される T=Tc ～ 6Tc(RHIC,LHC ）温度

領域を検討　格子 QCD で計算された電場質量および磁場質量

と、摂動論もしくは HTL 計算の表式との比較をする

HTLHTL 近似と格子計算近似と格子計算

１９８０ごろ、熱場摂動論や赤外発散の議論。 (A.D. Linde, PLB 96, 289; D.J.Gross, R.D.Pisarski and L.G.Yaffe, Rev. Mod. Phys. 53,43)

１９８９、硬熱ループ予加算法。 (Braaten and R.D. Pisarski, PRL. 64, 1338)

１９９３、理論の２次近似の電場（デバイ）質量の計算。(A.K. Rebhan, PRD.48,3967, NPB 4

30, 319)

１９９９、自由エネルギーなどの格子ゲージシミュレーションとHTL との比 較を行い、よい結果を得ている (J.-P.Blaizot, E.Iancu,A.Rebhan, PRL 83,2139. , J. O. Andersen, E. Bratten, M. Strickland.,PRL 83,2906.)

2002 、２ループでの HTL 計算は収束性がよくない。（ J.O.Andersen, E.Braaten, E. Petitgirard and M.Strickland PRD ６６ , 085016. ）

熱場摂動論と熱場摂動論と HTLHTL 近似近似

格子格子 QCDQCD 計算と計算と HTLHTL 近似近似１）自由エネルギー

gmT 3,2~

CT~

J.O.Andersen, E.Braaten, and M. Strickland PRL,83,2139 (1999)

白抜き：もともとの摂動

塗りつぶし： HTL 自由エネルギー

ひし形の点：格子シミュレーション

摂動論

2 ループ β 関数：収束が悪い

繰り込み点に関数依存性が大きい

HTL 摂動理論（ 1 ループ）

T/Tc=1 ～５において格子計算の結果と同じ符合を示し、その違いはそれほど大きくはない。

繰り込み点に関する依存性もそれほど大きくはない。

次の次数での計算に期待？

2 ループ β 関数：

T 2~

（ｍｇはデバイ質量）

２）　エントロピー・圧力J.-P Blaizot, E. Iancu, A. Rebhan,

PRL,83,2906(1999) 、 PLBB470,181(1999)

J.O.Anderson, et al（圧力）

　 T/Tc>2 において格子計算の結果を再現している。 RHICや LHC で実現されるであろう温度領域でよい結果となっている。

　先の J.O.Andersen, et al.の結果よりも格子計算に近い値がでている。（計算方法が違う）

HTL 再加算法

３）２ループでの HTL 計算

T 2~

J.O.Andersen, E.Braaten, E.Petitgirard,

M.Strickland, PRD66,085016(2002)

HTL 摂動理論（２ループ）

2 ループ β 関数：CT65.0

　収束性と繰り込み点依存性はよい

　格子計算との違いが大きい

格子計算による

薄いグレー： LO HTLpt濃いグレー： NLO HTL.pt

４）　３次元縮減理論

K. Kajantie, et al., PRL. 79 (1997) 3130

デバイ質量の３デバイ質量の３ DD 格子格子 QCDQCD 計算計算

K. Kajantie, et al., PRL. 86 (2001) 10

4D4D 格子格子 QCDQCD との比較との比較

収束性は良くない

４ DQCD とは一致しない

　　　　　　がゲージ依存性をもつ

2-loop Φ-derivative がやりにくい

　　　　　をスタート地点にしているので熱力学的量の計算には良い。しかし、他の量は計算できない。

　が出発点

スタート地点は、 HTL 伝播関数、ｍ D

HTL resummationHTL resummation ととHTL perturbation theory(?)HTL perturbation theory(?)

loop2

loop2

HTL resummationHTL resummation HTL perturbation theoryHTL perturbation theory

Screened pertubation theory

スタート地点は、 HTL 伝播関数、ｍ D

オーダー毎でゲージ依存性を示す

熱力学的物理量や QGP に関するさまざまな量を計算することができる。

そもそもの摂動論と同様な制限を持つ。

Φ-derivative よりもやりやすい。しかし Σ の計算の仕方が大変？

loop2

遮蔽質量の格子遮蔽質量の格子 QCDQCD 計算計算

格子 QCD での計算方法),(Tr

1)( 0N

1tt trU

NrL )

)(exp()0()()exp(

, T

rVLrLF

qq †

r

rmCrV e )2exp(

)(

① ポリヤコフループ相関による計算

② グルーオン伝播関数から計算

))(exp()(1

~)(22

zpECzGmp

pGg

ポテンシャルの振る舞いがわかりやすい比較的シミュレーションはやりやすい。フィットが難しい。磁場遮蔽質量の計算？

電場・磁場遮蔽質量両方を計算できる。伝播関数から閉じ込め非閉じ込めを議論。伝播関数自体はゲージに依存し計算は大変。格子シミュレーションでゲージ固定は大変。

•ポリヤコフ相関からの計算。 Gao,PRD41,1990, 　 Kaczmarek,　 PLB543, 　 41, 　 2002.•SU(3) グルーオンからの計算（８３ｘ４）： Mandula, Oglive, PLB201, 117, 1988•SU(2) グルーオンからの計算： U.M.Heller, et al. PLB355,511,1995, Cuchieri, et al. PLB497,80,2001

③ 　主な過去の計算

重クォークポテンシャルdRRTC

T

TRV/))(exp(

),(

O.Kaczmarek, et al., PRD62,034021(2000)

ポテンシャルの温度依存性フィッティング関数：

摂動論と一致している？

フィッティング関数のあいまいさによる偶然と考えられる。 Gao,PRD41,626,1990 においても同様の結果が得られている。

電場遮蔽質量の温度依存性

予想されたようなポテンシャルの温度変化がみられる

SU(2) グルーオン伝播関数

U.M.Heller, F.Karsch, J.Rank, PRD57,1438(1998)

• 零ではない値を持つ電場（ｍe) ・磁場（ｍｍ）遮蔽質量

•　 me=cg(T)T, mm=cg2(T)T でフィットができる。

摂動HTL 再加算法

)(TCgT

me

• 摂動に比べて HTL 再加算法による結果はより格子 QCD 計算の値に近い。

グルーオン伝播関数

zpEme

meeczG )()(

)()(

◎ 空間的な相関関数

◎ ゲージポテンシャル

)()(2

)( xUxUg

ixA

G (z) TrA (z)A (0)

22

1

p

pp

p

Z

１）伝播関数の定１）伝播関数の定義義

),0,2

,0(),0,0,2

(~),( zN

GzN

GzpGy

ttx

tte

◎ 電場部分

),0,2

,0(),0,0,2

(~),( zN

GzN

GzpGy

xxx

yym

◎ 磁場部分

２）遮蔽質量２）遮蔽質量

)(zG

Tz /1媒質中の遮蔽効果は長距離的なもの。 z>1/T.

距離

計算結果（１）：グルー計算結果（１）：グルーオンオン

伝播関数伝播関数 (( 我々の計算）我々の計算）

•ウイルソンゲージ （最も単純な格子作用）

•クエンチ近似 ( クォークの効果を無視 )

•格子サイズ： Nx ×Ny×Nz×Nt=20×20×32×6

•温度： T/Tc = 1.0 ~ 6.0

•統計 ： 200k ～ 400k

•ランジュバンステップ間隔 ： Δτ= 0.03~0.05

•ゲージ因子 ： α=1

シミュレーションパラメター

電場部分の伝播関数電場部分の伝播関数

•有限の遮蔽質量を持つ•閉じ込め相と非閉じ込め相での違い

ZmpezG )( 22

~)(

磁場部分の伝播関数磁場部分の伝播関数•有限の遮蔽質量を持つ•閉じ込め相と非閉じ込め相での違い•長距離においては揺らぎが大きい•短距離において上に凸となっている。

ゲージ依存ゲージ依存性性

両方ともゲージ依存性は小さいことがわかる。

計算結果（２）：摂動・計算結果（２）：摂動・HTLHTL 計算との比較計算との比較

温度依存性と摂動論との比温度依存性と摂動論との比較較

•領域 T/Tc=1.0~6.0で計算（ RHIC 、 LHC) 。

• 磁場質量は有限質量を持つ。

•　 gT, g2T のスケーリングはよさそう。

•　 HTL の結果は、LOP を大きく改良している。

HTL

LOPFIT

)( : magnetic 2 TgCT

mm

m スケーリング

)( : electric TgCT

me

e

データのフィデータのフィットット

)(

2

12log

2

31 2

0,

20,

2 gOm

m

m

mgmm

m

e

e

eee HTL (Rebhan,1993)

TTgme )(0, LOP

Self inclusion technique (Alexanian and Nair, 1995) TTgTTg

Nm cm )(568.0)(

4

38.2 22

結合定数

)/log(

))/log(2log(

21

)/log(2

1)(

0

1

0

2

b

b

bg

T2 cT

715.0),3(63.1 2 eC 979.0),31(482.0 2 mC

フィッティング

他の計算との比較

電場的遮蔽質量の比較電場的遮蔽質量の比較dRRTC

T

TRV/))(exp(

),(

○ 　両者は一致しない！

ポテンシャルのフィッティング関数のあいまいさによるものと考えられる。仮定が摂動論に依存しないグルーオン伝播関数からの値がより正しいと思われる。

em84.1~

グルーオン伝播関数から ポテンシャルから)exp(~)( zmCzG e

○ 　相転移近傍での振舞いは良く似ていて、急激な減少がみられる。

計算結果（３）：より大計算結果（３）：より大きい格子での計算きい格子での計算（（ preliminary)preliminary)

より大きな格子での計より大きな格子での計算算

ウイルソン作用

クエンチ近似

格子サイズ： NxNyNzNt=32×32×48×6

温度 ： T/Tc = 6~ 16.0

統計量 ： 200k ～ 400k

ランジュバンステップ間隔 ： Δτ= 0.03~0.05

ゲージ因子 ： α=1

温度依存性温度依存性 (( より高温領域まより高温領域まで ）で ）•領域 T/Tc=1.0~1

6.0

•T/Tc=16.0 ほどでも LOP の収束はよくない。

• 磁場質量は有限サイズ効果を受けやすい。

66.0),4(69.1 2 eC

27.1),16(549.0 2 mC

まとめまとめ

まとめまとめHTL に基づいた熱場摂動論の改良が行われており、熱力学的量に関して格子 QCD 計算との比較ができるようになった。しかし、グループ間での計算手法の違いによる不一致がある。またより高次の計算においてはわからない。

RHIC, LHC に対応する温度領域 T/Tc =1~6 において、格子 QCD による非摂動敵な遮蔽質量の計算が進んでいる。

ポリヤコフループ相関関数とグルーオン伝播関数から求めた遮蔽質量は一致していない。

フィッティング関数の不定性？

電場質量に関して、 LOP にくらべて HTL （ 1 ループ）の結果は、大変よい結果となっている。

より高次では？

特に磁場質量については零ではない値を持つことを確認した。

閉じ込め領域 /非閉じ込め領域におけるグルーオン伝播関数の振る舞いは興味深い