第九部分

多重损失模型

2

本章结构 多重损失模型简介 多重损失残存组确定 多重损失表的构造

3

本章中英文单词对照 多重损失模型

随机残存组

确定性残存组

绝对损失率

Multiple decrement models

Random survivorship group

Deterministic survivorship group

Absolute rate of decrement

第一节

多重损失模型简介

5

使用背景 如果被保险人投保寿险且在缴费期间死亡，那就

意味着他将获得保险赔付而且不再缴纳保险费了。就此人而言，保险人遭受到了损失。在前面七章中我们都是讨论在以死亡为唯一损失变量时，各种保险要素的确定。

在实际中，除了死亡这个损失变量，我们可能还会遇到其它的提前终止缴费的损失变量，比如，寿险中，被保险人退保；劳动力计划中，雇员辞职、残疾或者退休等，都会对单一考虑死亡因素时的缴纳——赔付之间的平衡构成影响。多重损失模型就是在这种背景下产生的。

6

一、多损失模型的构造 两变量模型

多种损失模型的实质就是一个两变量模型。变量一是状况终止的时间 ，在寿险场合它可以表示为剩余寿命；

变量二是状况终止的原因 ，这是一个离散随机变量，比如在寿险场合，我们可以令

表示死亡， ，表示退保。

( )T x

J

1J 2J

7

相关函数 联合密度函数

边际分布密度函数

( , )f t j

0

1

( ) ( , )

( ) ( , )m

j

h j f t j dt

g t f t j

8

事件的概率

1

( , ) Pr{ , }

Pr{ , } ( , )

Pr{ } ( , )

b

a

bm

j a

f t j dt t T t dt J j

a T b J j f t j dt

a T b f t j dt

9

多重损失函数（一） 由原因 j引起且损失发生在时间 t 之前

的概率

由原因 j引起的损失发生的概率

( )

0

( ) ( , )jxh j q f s j ds

( )

0

( , )t

jt xq f s j ds

10

多重损失函数（二） 的密度函数

的分布函数

( )T x

( )T x

1

( ) ( , )m

j

g t f t j

10 0

( ) ( ) ( , )t tm

j

G t g s ds f s j ds

11

多重损失函数（三） 由各种原因引起且损失发生在时间 t之前的

概率

损失不会发生在时间 t之前的概率

( ) ( )1t x t xp q

( )

1 0

( , ) ( )tm

t xj

q f s j ds G t

12

多重损失函数（四） x+t时刻由原因 j造成的损失效力

x+t时刻由所有原因造成的总损失效力

( )( )

( , ) ( , )

1 ( )jx t

t x

f t j f t j

G t p

( ) ( ) ( )( )

1

( )ln

mj

x t t x x tjt x

g t dp

p dt

13

多重损失函数（五） 给定损失时间 t， J的条件概率函数

( )

( )

( , )( )

( )

jx t

x t

f t jh j T t

g t

14

例 9.1 考虑 2 个损失原因的多重损失模型，其

损失效力分别为：

计算该模型的联合、边际、条件概率密度函数。

计算

(1) (2) 1, 0 , 0

100 100x t x t

tt t

[ ] [ 2]E T E T J 及

15

例 9.1 答案（一）( ) (1) (2)

2( ) ( )

0

( ) ( )

2

2

1

100

2exp{ } exp , 0

200

( , )

2exp , 0, 1

100 200

1 2exp , 0, 2

100 200

x s x s x s

t

t x x s

jt x x s

s

t tp ds t

f t j p

t t tt j

t tt j

16

例 9.1 答案22

( ) ( )

1

0

1 2( ) ( , ) exp

100 200

0.1159 , 1( ) ( , )

0.8841 , 2

, 11( )

1, 2

1

t x x sj

t t tg t f t j p

jh j f t j dt

j

tj

th j t

jt

17

例 9.1 答案

0

2

0

0

2

0

[ ] ( )

1 2exp 11.59

100 200

( , 2)[ 2]

(2)

1 2 1exp 7.63

100 200 0.1159

E T tg t dt

t t tt dt

tf tE T J dt

h

t tt dt

第二节

存续群体的确定

19

随机存续群体定义 考察一组 a 岁的 个生命，每一个生命

的终止（损失）时间与原因的分布由下列联合概率密度函数确定：

( )al

( ) ( )( , ) jt a a tf t j p

20

随机存续群体函数 ：在年龄 x与 x+n之间因原因 j 而离开的

成员的期望个数

：在年龄 x与 x+n之间因各种原因而总共离开的成员的期望个数

( )jn xd

( )n xd

( ) ( ) ( ) ( ) 0, 1,2, ,x n aj j

n x a t a a tx ad l p dt t j m

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1

0, 1,2, ,mx n a j

n x a t a a t n xx aj

d l p dt d t j m

21

随机存续群体函数 ：原先 个 a 岁成员在 x 岁时的存

续数随机变量的期望

( )xl ( )

al

( ) ( ) ( )x a x a al l p

22

确定性存续群体的定义 总的损失效力可以看作总的损失率，而

不作为条件密度函数。则一组 个 a岁成员随着年龄的增加按决定性损失效力 演变 ，则原先 个岁成员在 x岁时的残存数为

( )al

( )y ( )

al

( ) ( ) ( )expx

x a yal l dy

23

确定性存续群体函数 ：在年龄 x与 x+n之间因各种原因而离开

的成员数

：现在 x岁，将来因为原因 j而终结的个体数

( )xd

!( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 exp

x

x x x x x x yxd l l l p l dy

( )jxl

( ) ( )

1

mj

x xj

l l

24

确定性存续群体函数 ：因原因 j而引起的损失效力

：各种原因引起的总损失效力

( )jx

( )x

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )0

1lim

j j jj x x h xx

hx x

l l dl

hl l dx

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )01

1lim

mj x x h x

x xh

j x x

l l dl

hl l dx

第三节

多元风险表的构造

26

绝对终止率 相关单风险模型函数定义

称为绝对终止率，是指原因 j 在 的决定过程中不与其它损失原因竞争。它也称为净终止率（ net probabilities of decrement ）或独立终止率 (independent rate of decrement)。

( )jt xq

( ) ( )

0

( ) ( )

exp

1

tj jt x x s

j jt x t x

p ds

q p

( )jt xq

27

基本关系( ) ( ) ( )

01 1

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1( ) ( ) ( )

0

1 ( ) ( ) ( )

0

exp( )mmt j j

t x x s t xj j

jt x t x

j j jt x x t t x x t

j j jt x t x x t

j jt x x t t x

p ds p

p p

p p

q p dt

p dt q

28

常数终止力假定 假定条件

等价推出

( ) ( ) 0 1j jx t x t

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

0 1

ln

ln 1,2, ,

x t x

x x

j jx x

t

p

p j m

29

关系式

( )

( )( ) ( )1 1jx

x

qj q

x xq q

30

终止概率服从均匀分布假定 假定条件

等价推出

( ) ( ) , 1, 2, , ,0 1j jt x xq t q j m t

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

, 1, 2, , ,0 1

1

1

t x x

j jj j x xx t t x

t x t x x

q t q j m t

q qdq

p dt p t q

31

关系式

( ) ( )

1( ) ( )

0

( )1

( )0

( )( )

( )

( )( )

1 exp

1 exp1

1 exp ln(1 )

1 (1 )jx x

j jx x t

jx

x

jx

xx

q qx

q dt

qdt

t q

qq

q

q

32

由独立终止率推导终止概率( ) ( )

1

1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0 01

(1 )m

jx x

j

mj j j jx t x x t t x x t

j

p q

q p dt p dt

33

多元表构造 示例年龄 (单因 )独立终止率表 （多元）终止概率表

…… ……

65 0.02 …… 0.04 0.019 …… 0.039

66 0.025 …… 0.06 0.024 …… 0.059

x (1)xq ( )m

xq(1)xq

( )mxq

34

第四节 趸缴纯保费的计算

m

j

jtxxt

jtx

jtxxt

jtx

jtx

dtpBA

dtpB

A

tB

10

)()()(

0

)()()(

)(

j

:

jx:

加总将所有事件的精算现值

的保险给付精算现值：方法一：先求终止事件趸缴纯保费

终止保险应给付金额岁时因原因在

35

第四节 趸缴纯保费的计算

m

j

jtxxt

jtx

TJTx

TJTx

dtpBvBEA

LE

mJTAvBL

10

)()()()(

)(

)(

0)(

,...,2,1,0

根据等价原理：

方法二：构造损失变量