匀速运动点电荷产生的电磁场

指导老师： 孙老师和助教老师莫建勇 pb05203125

库仑定律只告诉我们一个静止的点电荷的成场规律 , 那么当点电荷匀速运动时的成场规律怎样呢 ? 怎样求解一个匀速运动点电荷对另一个点电荷的作用力呢？回答是可以运用狭义相对论的理论来进行求解 .

问题的提出：

若在一个惯性参考系 k 中 ,q2 是静止的，而 q1相对 k 系匀速运动，在 k 系中若要求 q2 对 q1的作用力则直接用库仑定律即可；若要求 q1对 q2 的作用力，可以取另一个关于 q1 静止的惯性参考系 k’ 系，先在 k’ 系中求出有关的物理量，然后用狭义相对论中的惯性系 k与 k’ 系之间的变换公式，将 k’ 系中的物理量转化到 k 系中，这样就可以求出在 k 系中 q1 对 q2 的作用力了，并可以进一步求得匀速运动的点电荷所成的电磁场 , 并可检验静电磁场中的一些定理在这种情况下是否成立。

基本想法 :

主要内容 : 求匀速运动点电荷形成的电场 验证电场的高斯定理和检验静电场环路定理 求匀速运动点电荷形成的磁场 验证磁场的高斯定理 导出毕奥 - 沙伐尔定理

在做具体工作之前引进一个基本假设：

电荷量不变原理： 一个系统中总电量，在不同

的惯性系中观察都是一样的

对这条基本假设的几点看法：

1. 通常气体宏观上是显电中性的，假如带电物体的总电量与它的运动状（即参考系的选择）有关的话，那么我们知道气体中例如氧气中的质子与电子的运动状态不相同的，也就是说氧气分子对外是有电性的，若说这个电量很小不易被观测到，那么一个系统中的大量分子的总和一定是容易测到的，所以说明带电物体的总电量与其运动状态无关。

2.2.我们知道电荷有一个很重要的特点：电荷是量子化的。如果说电荷总量与其运动状态有关的话，那么我们知道在狭义相对论中标量一般是在原惯性系 K 中测量，乘以或除以一个因子或者其它形式。总之一般都是以 V 为自变量的连续函数，这与电荷是量子化的相对矛盾。所以总电量应该是一个与两惯性系相对速度 V 无关的常量，即总电 量的不变原理。

3.3.在精度较高的电子荷质比实验中，高速运动的带电粒子的荷质比的测定实验证明符合如下关系式：

cvm

cv

me m

m

e

2

2

02

2

0

0

1

;1

这就说明电子的总电荷不随其运动状态改变而改变 .

一 匀速运动点电荷的电场

在惯性系 k 中 , qq22 是静止的，而是静止的，而 qq11

相对相对 kk 系以系以 vv 沿沿 xx 轴正向运动，取轴正向运动，取另一个关于另一个关于 qq11 静止的惯性参考系静止的惯性参考系k’k’ 系系

设当 k 系与 k’ 系的原点重合时 t=t’=0

r

zqq

r

yqq

r

xqqzyxFFF

3'

0

'

21

3'

0

'

21

3'

0

'

21

4';

4';

4'

在在 k’k’ 系中可直接运用库仑定律系中可直接运用库仑定律 ::

根据狭义相对论力的变换公式

c

uc

vF

c

uc

vF

c

uc

F

x

z

z

x

y

x

x

vF

vF

v

Fuv

F yx

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1;

1

1;

1

'''

由上述公式可得 :

2

2

'

2

2

'

'

1

;

1

;

c

v

F

c

v

FFF z

z

y

yxx FF

注 : 为书写方便下文令

b

c

va

c

vb

1

1

1

1;

2

22

2

所以得到 k 系中的作用力

r

zqaq

r

yqaq

r

xqqzyxFFF

3'

0

'

21

3'

0

'

21

3'

0

'

21

4;

4;

4

Lorentz Transformations得到 :

zzyyvtxa

c

v

vtxx

';';

1

'

2

2

所以 k 系中作用力的最终表达式 : 22222'2'2'

'zyvtxazyxr

2322220

21

2

322220

21

2

322220

21

4

4

4

zyvtxa

zqaq

zyvtxa

yqaq

zyvtxa

vtxqaq

F

F

F

z

y

x

所以 k 系中作用力的矢量表达式 :

2222 2/3

0

21

12 )(

)(

4 zyvtxa

zkyjivtxqaqF

12222 2/3

0

21

21 )(

)(

4F

zyvtx

zkyjivtxqqF

上式可知牛顿第三定律在这种情况下是不成立的

由作用力我们可以直接得到电场直角坐标系下的表达式 :

2222 2

3

0

1

)(

)(

4 zyvtxa

aq zkyjivtxE

匀速运动点电荷的电场匀速运动点电荷的电场

把电场用球坐标表示：

rba

Er

qˆ

sin )1(4 22

32

0

2

1

从上式可以清晰地看到匀速运动的点电荷激发的电场不再是球对称了 . 下面考察两个特殊的位置 :

1.θ=0

02221 1

ˆ

04E

arE

raq

∵ a﹥1 ∴在点电荷速度方向电场减小为原 来的 a 的平方分之一。 2. θ=π/2θ=π/2

0

0

2

1

2

32

0

2

1 ˆ4

ˆ14 )(

Earrba

Er

aq

r

q

∵ a﹥1 ∴在点电荷速度方向电场增强为原来的 a倍。

用两幅图来对比静止点电荷和匀速运动点电荷所激发电场的差异：

二 . 验证静电场高斯定理

ba

ba db

qdxq

dqd

q

dq

dsdE

bax

ba

ab

aSinba

SinbRa

R

arctan

arctan

0

1

1

2

22

3

2

32

0

0

2

22

32

0

02 2

32

0

2

0 02 2

322

0

2

cos22

cos

22

sin

4

sin

1

1cos

1

1

可见 , 以匀速运动点电荷为球心的球面为高斯面是满足高斯定理的 , 其他任意一个封闭的曲面都是满足高斯定理的 ,证明同静电学中一样 ,详见胡友秋等编著的电磁学p27 页。

00

arctan0

0

sinq

bb

q

b

q ba

二 . 检验静电场环路定理：

ˆ1ˆ

sin

11

ˆ1

ˆsin

11

ˆsin

sin

1

EE

ErE

EE

EE

rr

r

r

rr

rr

r

r

r

rr

E

所以其旋度为 :

0ˆsin14

cossin32/5232

0

bra

qbE

这就说明匀速运动的点电荷激发的电场不再满足静电场环路定理 !

三 . 匀速运动点电荷的磁场 事实上在上半部分中 q1 在 q2 就已经激发出

磁场了 ,但由于 q2 是静止的 , 所以不能通过洛仑兹力检测出来 , 所以必须让 q2 动起来！

同前面方法得到 k’ 系中的作用力

0;;2

zyytvx

222

1222'2'2''

''12

2

2

1' 0;;

1

ytvvazyxr

zyytvva

cv

tvxx

Lorentz Transformations得到 :

下面进行 q2 的速度在两个惯性坐标系中的转换 ,从而求出在 k 系中的作用力

0'4

''

4'4

''

4'4

''

3

0

21

2/3222

12

2

0

21

3

0

21

2/3222

12

2

0

1221

3

0

21

r

zqqF

ytvva

yqq

r

yqqF

ytvva

tvvqaq

r

xqqF

z

y

x

由狭义相对论速度变换公式 :

0;2 zyx uuvu

0;1

''

2

21

12'

zyxuu

c

vvvv

u

由狭义相对论力的变换公式由狭义相对论力的变换公式 ::

01

1

1'

1

1'

1

1

1

2

'

1

2

2

1

2

21

2

'

1

2

2

1

'

2

'

1

2

'

1'

2

'

1

''

2

1'

'

c

uvc

vF

c

vvaF

c

uvc

vF

F

F

c

uvc

uvF

c

uv

Fuc

vF

F

x

z

z

y

x

y

y

x

x

x

x

x

x

x

F

所以得到 k 系中的作用力

0

4

1

4

2/3222

12

2

0

2

21

21

2/3222

12

2

0

1221

F

ytvvac

vvyqaq

F

ytvva

tvvqaqF

z

y

x

取 t=0 时刻来说明问题

0;4

1;0

2

0

2

21

21

Fyc

vvqaq

FF zyx

若 q2 相对于 k 系是静止的 , 则有 (t=0)

0;4

;02

0

21 Fy

qaqFF zyx

比较两种情况得到：

2

21

2

0

21

4 c

vv

y

qaqF

y

正是因为 q2 在 k 系中以 v2 沿 x 轴正向运动而多出这么一项 , 这就是 Lorentz力 ! 又因为 :

)( 22 BvqFB

通过比较得到 :

21

20

1

4 c

v

y

aqB

对一般情况有 :

Evc

B

2

1

由前面得到的电场表达式得到磁场 :

ˆ)sin1(

sin

4

ˆ)sin1(4

sin1

2 2

322

10

2 2

32

02

12

bra

vq

bra

vq

cB

下面验证磁场的高斯定理

上式即 q1 为在 q2处激发的磁场

四 .验证磁场高斯定理 :

0

sin1

sin

4sin

1

sin

1sin

sin

11

2 2

32 2

0

2

2

bra

vq

r

rrrB BBBr

r

r

所以在这种情况磁场高斯定理是成立的

五 . 毕奥 - 沙伐尔定理的证明

有一根无限长通电直导线，设有一根无限长通电直导线，设其电子与离子的电荷线密度为其电子与离子的电荷线密度为 λ,λ,求其距导线求其距导线 rr处处 AA的电磁场的电磁场

该电场是由静止的离子和运动的电子激发电场的合成

1.离子激发的电场

因为离子是静止的 , 由静电场的高斯定理 :

rr

ElrlE ˆ2

2 11

2. 电子激发的电场

由前面得到 :

2222 )( 2

3

0

1 )(

4 zyvtxa

aq zkyjivtxE

因为电流是稳恒的 , 所以不妨取 t=0

dxrxa

zkyjxiaEd 2/3222

04

由对称性 , 电场其垂直于导线 :

rd

r

a

a

r

dx

arx

a

r

dxrxa

raE

0

2

22

2

20

2/3

2

22

20

2/32220

2

2cos

4

1

4

4

A处的电场 :0ˆ

22 00

21

rEEE

由于 A点是任意的 , 所以通电直导线周围不存在电场 .下面考察 A处的磁场 :

ˆ)sin1(

sin

4 2 2

322

0

bra

qvB

r

rlIddl

r

I

dlbra

I

dxbra

v

bra

dxvBd

3

0

2

0

2

22

0

2

22

0

2 2

322

0

4ˆ

sin

4

ˆsin2

31

sin

4

ˆsin2

31

sin

4

ˆ)sin1(

sin)(

4

这就是著名的毕奥 - 沙伐尔定理 , 这里用狭义相对论就可以很容易地导出 .

总结 :从历史上看 , 相对论很大程度上起源于电磁学的理论研究 , 只是尝试了运用已学过的狭义相对论来解决一些简单问题 , 中间肯定难免有些不妥之处 ,请各位老师指正

参考文献： 电磁学 胡友秋等 中国科大出版社 The Feynman Lectures On Physics 力学 杨维闳 中国科大出版社 运动系统的电磁场 屠德雍 高教出版社 电动力学 虞福春等 北京大学出版社

肯定有不足之处恳请大家指正

谢谢大家 !