เอกสารประกอบการเรียนวิชาคณิตศาสตรเสริม 6 (ค33202) ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 6 โรงเรียนเซนตฟรังซีสเซเวียร 16

1. การพิจารณาวาเม่ือ x เขาใกลจํานวนจริง a ใด ๆ

จะพิจารณาทั้งสองกรณี คือ

(1) เม่ือ x เขาใกล a โดยที่ x a จะกลาววา x เขาใกล a ทางดานซาย เขียนแทนดวยสัญลักษณ ax

(2) เม่ือ x เขาใกล a โดยที่ x a จะกลาววา x เขาใกล a ทางดานขวา เขียนแทนดวยสัญลักษณ ax

2. สําหรับฟงกชัน f ใด ๆ ที่มีโดเมนและเรนจเปนสับเซตของเซตของจํานวนจริง

ถาคาของ f(x) เขาใกลจํานวนจริง L1 เม่ือ x มีคาเขาใกล a ทางดานซาย เรียก L1 วา ลิมิตซายของ f ท่ี a

เขียนแทนดวยสัญลักษณ )x(flimax

1L

ถาของ f(x) เขาใกลจํานวนจริง L2 เม่ือ x มีคาเขาใกล a ทางดานขวา เรียก L2 วา ลิมิตขวาของ f ท่ี a

เขียนแทนดวยสัญลักษณ )x(flimax

2L

ถา 1L 2L L จะกลาววา ฟงกชัน f มีลิมิตเปน L ที่ a เขียนแทนดวยสัญลักษณ )x(flimax

L

ถา 21 LL จะกลาววา ฟงกชัน f ไมมีลิมิตที่ a

ตัวอยางที่ 1 กําหนดให f(x)

2xเม่ือ2x

2xเม่ือx 2

จงหา 1) )x(flim2x

2) )x(flim2x

3) )x(flim2x

หนวยที่ 3

ลิมิตของฟงกชัน

เอกสารประกอบการเรียนวิชาคณิตศาสตรเสริม 6 (ค33202) ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 6 โรงเรียนเซนตฟรังซีสเซเวียร 17

ตัวอยางที่ 2 กําหนดให f(x)

1xเมื่อ5x2

1xเมื่อ5

1xเมื่อ2x

จงหา 1) )x(flim1x

2) flim1x

(x) 3) )x(flim1x

.

ตัวอยางที่ 3 จงพิจารณาวา f(x) x

x มีลิมิตที่ 0 หรือไม

เอกสารประกอบการเรียนวิชาคณิตศาสตรเสริม 6 (ค33202) ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 6 โรงเรียนเซนตฟรังซีสเซเวียร 18

ตัวอยางที่ 4 กําหนดให f(x) 4x2

จงหา 1) )x(flim2x

2) )x(flim2x

1) )x(flim2x

2) )x(flim2x

3. ทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิตของฟงกชัน

ทฤษฎีบท 1 เม่ือ a , L และ M เปนจํานวนจริงใดๆ ถา f และ g เปนฟงกชันที่มีโดเมนและเรนจเปนสับเซตของ

เซตของจํานวนจริง โดยที่ )x(flimax

L และ )x(glimax

M แลว

(1) climax

c เม่ือ c เปนคาคงตัวใดๆ

(2) xlimax

a

(3) n

axxlim

an , n I

(4) )x(fclimax

c )x(flim

ax cL , c เปนคาคงตัวใดๆ

(5) )x(g)x(flimax

)x(glim)x(flimaxax

L M

(6) )x(g)x(flimax

)x(glim)x(flimaxax

L M

(7) )x(g)x(flimax

)x(glim)x(flimaxax

ML

(8)

)x(g

)x(flim

ax

)x(glim

)x(flim

ax

ax

M

L , M 0

(9) n

ax)x(flim

[ )x(flim

ax]n Ln

(10) n

ax)x(flim

n

ax)x(flim

n L , n I {1} และ n L R

เอกสารประกอบการเรียนวิชาคณิตศาสตรเสริม 6 (ค33202) ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 6 โรงเรียนเซนตฟรังซีสเซเวียร 19

ตัวอยางที่ 1 จงหา )4x3x2(lim 2

4x

ตัวอยางที่ 2 จงหา x3x

5x2xlim 2

3

4x

ตัวอยางที่ 3 จงหา 42

1x)1x(lim

ตัวอยางที่ 4 จงหา 7 22

1x)11x3)(xx(lim

เอกสารประกอบการเรียนวิชาคณิตศาสตรเสริม 6 (ค33202) ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 6 โรงเรียนเซนตฟรังซีสเซเวียร 20

ทฤษฎีบท 2 ถา p(x) เปนฟงกชันพหุนาม แลวสําหรับจํานวนจริง a ใด ๆ

)a(p)x(plimax

น่ันคือ ถานํา x a ไปแทนคาใน p(x) แลวปรากฏวาคาของ p(a) เปนจํานวนจริง แสดงวา p(a) คือ ลิมิตของฟงกชัน p(x)

ตัวอยางที่ 5 จงหา )8x2x(lim 3

2x

ตัวอยางที่ 6 จงหา 7x6x

3x8x5lim 3

2

4x

ทฤษฎีบท 3 ถา f เปนฟงกชันตรรกยะ โดยที่ )x(q

)x(p)x(f เม่ือ p(x) และ q(x) เปนฟงกชันพหุนาม

แลว )a(q

)a(p)x(flim

ax

สําหรับจํานวนจริง a ใด ๆ ที่ 0)a(q

เทคนิค ในกรณีที่นํา x a ไปแทนคาใน f(x) แลวปรากฏวาอยูในรูป0

0ใหพิจารณาลักษณะของf(x)ดังน้ี

(1) ถา f(x) สามารถแยกตัวประกอบได ก็ใหแยกตัวประกอบและพยายามขจัดตัวประกอบที่ทําใหสวนเปน 0 ออก

หลังจากน้ันนําคา x a ไปแทนในสวนที่เหลือ ถาคาที่ไดออกมาเปนจํานวนจริง คาน้ันคือลิมิตของฟงกชัน

(2) ในกรณีที่ f(x) แยกตัวประกอบไมไดซ่ึงสวนใหญอยูในรูปของ ใหนําคาสังยุค (conjugate) ของตัวประกอบที่

มี ติดอยูคูณทั้งเศษและสวน แลวตัดตัวประกอบที่ทําใหสวนเปนศูนยออก หลังจากน้ันจึงแทนคา x a ในสวนที่เหลือ

ถาคาที่ไดออกมาเปนจํานวนจริง คาน้ันคือลิมิตของฟงกชัน

ตัวอยางที่ 7 จงหา 6xx

4xlim 2

2

2x

เอกสารประกอบการเรียนวิชาคณิตศาสตรเสริม 6 (ค33202) ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 6 โรงเรียนเซนตฟรังซีสเซเวียร 21

ตัวอยางที่ 8 จงหา x216

x24lim

8x

ตัวอยางที่ 9 จงหาลิมิตของฟงกชัน f(x) x

22x ที่ 0

ตัวอยางที่ 10 จงหา h

)1x(]1)hx[(lim

22

0h

ตัวอยางที่ 11 กําหนดให f(x) x

1จงหา

h

)x(f)hx(flim

0h