Решение Решение тригонометрических тригонометрических

уравненийуравнений

Леонард ЭйлерЛеонард Эйлер Швейцарец по происхождению, Леонард Эйлер прославил Петербургскую и Берлинскую академию наук, но наследие его принадлежит всему человечеству.    Родился Эйлер 15 апреля 1707 года в Базеле в семье пастора. Начальное обучение прошел дома под руководством отца, закончил Базельский университет, затем был приглашен работать в создаваемую тогда Академию наук в Петербурге. Именно в России Эйлер становится первым математиком мира, 886 работ - таков итог научной деятельности Эйлера. Долгую и плодотворную жизнь прожил Эйлер. Россия стала для него второй родиной, более 30 лет проработал он в Петербурге. В России выросли пять его детей, 38 внуков. Потомки великого ученого и сейчас живут в нашей стране. Основы тригонометрии и ее символику изложил в своих трудах Эйлер, теперь этот раздел математики изучают школьники всего мира.

ЭтиЭти древнегреческиедревнегреческие

ученые совместно сученые совместно с другими другими создали «тригонометрию»создали «тригонометрию»

Ф.Виет

Птоломей Клавдий.

Тригонометрия – это чрезвычайно важный для жизни человека раздел математики.

Тригонометрия - слово греческое и в буквальном переводе означает измерение треугольников

Ещё древнегреческие математики, используя элементы тригонометрии для решения прямоугольных треугольников, фактически составляли и решали простейшие тригонометрические уравнения типа: sin x = a, где 0 < x < П/2 и |a| < 1.

Исторически учение о решении тригонометрических уравнений формировалось с развитием теории тригонометрических функций, а также черпало из алгебры общие методы их решения

Как мы видим, часть тригонометрических уравнений непосредственно решается сведением их к простейшему виду, иногда – с предварительным разложением левой части уравнения на множители, когда правая часть равна 0. В некоторых случаях удается произвести замену неизвестных таким образом, что тригонометрическое уравнение преобразуется в «удобное» для решения алгебраическое уравнение.

устное решениеустное решение

Вопросы для повторения

• Что называется арксинусом, арккосинусом, арктангенсом числа? Привести пример.

•Для каких чисел определен арксинус, арккосинус, арктангенс числа? Привести пример.

•Какие знаете формулы нахождения корней простейших тригонометрических

уравнений:

Sin x = a; Cos x = a; tg x = a?

Ответы:Ответы:1)1) п/6 п/6; 3; 3п/п/4; 4; п/п/6; -6; -п/п/3; 3; п/п/3; 3; п/п/3 2)±3 2)±п/п/4+24+2пкпк; (-1); (-1)•п/•п/6+6+пкпк; (-; (-1)+¹•1)+¹•пп/3+/3+пкпк; arctg2+; arctg2+пкпк; ; корней неткорней нет; -; -п/п/4+4+пкпк; - ; - п/п/1212+пк+пк/3; /3; п/2+пкп/2+пк; 2; 2п+4пкп+4пк; ; корней нет.корней нет.

1.Вычислить: 2.Решить уравнения:

arccos

arccos(- )

arcsin arcsin(- )

arcctg

arctg

cos x = s in x = 1/2

sin x = - tg x = 2 cos x/2 = 3

sin 2x = - 1

tg ( - 3x) = 1

ctg x = 0

ctg ( - x/4) = 0

sin x = -2

2

3

2

2

2

1

2

3

3

3

3

.

2

2

2

3

k

.

1 вариант.

1) sinx = 1

a) x = - п/4 ; б) х = п + 2пn ; в) х = - п+4пn

г) х = п /2 + 2пn;nєz 2) cos0,5x = -1

a) x = 3п+4пn ; б) х = 2п+4пn; в) х =п+2пn; г) х = п/2+пn/2;

  nєz 3) cos² +sin² = - ½ a) пn; б) п/2+2пn; в) –

п/6+2пn; г)±п/3+пn ; nєz 4)sin(x- п/2) = -1

a) – 5п/6+2пк; б) – п/6+2пк; в) – п/6+пк; г)5п/6+2пк; кєz

2 вариант  

1) sinx =1/2 . а) (-1)+пк; б) (-1)•п/6+2пк;

в) (-1)+¹•п/6+пк; г)п/6+2пк;кєz

2)tg x/2 =-

а)7п/3; б)3п/6; в) 5п/6; г)4п/3   3)sin4x cos2x – cos4x sin2x = 0 a)п/2•n; б) (-1)•п/6+пn; в)±п/4+пn; г) (-1)•п /3+2пn;nєz 4) sin(п- x)-cos(п/2+x)= a)(-1) •п/3+пn; б)(-1)•п/6+пк;

в)±п/3+2пr; г)±п/6+2пm ; n,к,r,mєz

3

3

3

За 4 правильно решенных теста выставляется оценка «5», За 4 правильно решенных теста выставляется оценка «5», за 3 – «4», за 2 – «3».за 3 – «4», за 2 – «3».

вариант 1з 2з 3з 4з

1 г б г в

2

а

в

а

а

(sin 3x+cos 3x)² = 1 + cos 3x 3 sin²2x + 7 sin 2x +2 = 0

Sin ² 3x+2 sin3x cos3x+cos ²3x=1+cos3x;1+2 sin3x cos3x-1-cos3x=0;Cos3x•(2sin3x-1)=0;Cos3x=0 или 2sin3x=1;3x=п/2+пn; sin3x=1/2;X= п/6+п/3•n; 3x=(1)•arcsin1/2+пк x=(-1)•п/18+п/3•к

Ответ: ( п/6+п/3•n;(-1)•п/18+п/3•к)n‚кєz

Sin2x=t,3t²+7t+2=0;а=3 Д=в²-4ac=49-24=25в=7 t=-2; t=-1/3с=-3При t=-2 Sin2x=-2 не имеет решений,При t=-1/3Sin2x=-1/3;2x=(-1)ⁿ•arksin(-1/3)+∏n;nєz2x=(-1)ⁿ+•arksin1/3+∏n;X=(-1)ⁿ+•arcsin1/3 /2 +∏n ;nєz

Домашнее задание:

1. cos 2x +cos²x = (sin²x)/2;2. sinx +sin2x = cosx+ 2 cos²x;3. sinx + sin2x +sin3x =0;4. cos2x – 5sinx – 3 =0;5. sinx – sin³x+cosx–cos³x = 0;6. sin³x = 0,5sin2x + sinx;7. 4sin²x = sin∏/2;8. 2(sin²2x +1)=sin(∏- 8x)+6cos²2x.

Четыре уравнения на выбор.

СПАСИБО ЗА УРОК СПАСИБО ЗА УРОК

Используемые ресурсы:1. http://sferica.by.ru/history.html2. Учебник «Алгебра и начала анализа», А.Н. Колмогоров.3. Лекции дистанционного курса «Первое сентября» по

теме «Решение тригонометрических уравнений».4. «Сборник задач по математике»,издательство

«Лицей»1998г., автор А.А.Молчалин.5.Сборник заданий и методических рекомендаций

«Математика ЕГЭ»,Ю.А.Глазков,И.К.Варшавский и др.6. http://lyceum-hlevnoe.my1.ru/load.7. http://old.mitht.ru/rus/rstudios.htm.8. http://matan.alpol.ru/persons.9.http://wiki.vspu.ru/doku.php?id=workroom:sinus:index.