A. PENDAHULUAN

Perpindahan kalor atau alih bahang (heat transfer) ialah ilmu untuk

meramalkan perpindahan energi yang terjadi karena adanya perbedaan suhu

diantara benda atau material. Kalor berpindah dari satu benda ke benda yang lain

sebagai hasil dari perbedaan temperatur Kalor berpindah dari benda yang lebih

panas ke benda yang lebih dingin

Perhitungan aliran kalor sangat dipengaruhi oleh besarnya distribusi suhu

pada tiap bagian karena besarnya perbedaan suhu sebanding dengan besarnya

aliran kalor (Q)

Dari gambar diatas dapat diketahui terdapat beberapa mekanisme perpindahan

kalor berdasarkan medianya, yaitu

1. Konduksi

Perpindahan panas yang terjadi karena perbedaan temperature pada suatu

logam / material padat

2. Konveksi

Perpindahan panas yang terjadi karena perbedaan temperature pada suatu

fluida baik secara paksa (adanya gaya yang menggerakan fluida) ataupun

konveksi bebas (aliran fluida terjadi karena pengaruh perbedaan masa jenis

karena pengaruh suhu)

3. Radiasi

Perpindahan panas yang terjadi karena pengaruh gelombang

elektromagnetik

Perpindahan panas pada umumnya menggunakan persamaan diferensial

parsial ( PDE) orde dua dimana bentuk PDE ini dapat dituliskan secara umum

umum yaitu sbb:

Klasifikasi dari persamaan diferensial parsial ( PDE) orde dua dapat dibagi

menjadi beberapa jenis pada tiap-tiap kelasnya yaitu :

Metode beda hingga adalah suatu pendekatan numerik yang didasari oleh

ekspansi deret Taylor, dimana bentuk dari deret taylor adalah sebagai berikut :

Deret maju

Deret mundur

metode beda hingga (finite difference method)

Persamaan perpindahan panas konduksi 1D dapat dituliskan sebagai berikut :

unsteady

steady

dimana:

T = temperatur

2

2

x

T

t

T

∂∂=

∂∂ α

02

2

=∂∂

x

T

x = dimensi ruang arah x

t = dimensi waktu

a = difusivitas thermal

A. PPENYELESAIAN PERSAMAAN KONDUKSI SATU DIMENSI

UNSTEADY

Penyelesaian persamaan konduksi dapat dilakukan dengan beberapa cara antara

lain :

1. Metode FTCS (forward in time central in space)

2. Metode Laasonen

3. Metode Crank-Nicolson

Dimana persamaan dasarnya adalah sama yaitu :

unsteady

steady

a. Metode FTCS (Forward-Time-Centered-Space)

Persamaan awal metode FTCS

Skema diagram FTCS

Dari persamaan awal diatas dapat dituliskan

2

2

x

T

t

T

∂∂=

∂∂ α

02

2

=∂∂

x

T

Dan secara umum persahaan hiperbolik linear ini dapat ditulis

Metode FTCS ini mempunyai kekurangan yaitu tidak stabil. Hasil dari

perhitungan akan rusak karenan adanya error yang pasti akan dihasilkan

dan error ini akan tumbuh secara eksponensial. Ini akan terlihat pada

gambar berikut

Gambar tersebut memeperlihatkan evolusi waktu dari Gaussian pada

skema FTCS dengan gridpoit 100. Setelah titik t=0.3 terlihat error

berkembang secara eksponensial

b. Metode Laasonen

Persamaan awal metode laasonenkondisi 1D adalah

Skema diagram laasonen

➢ Turunan waktu didiskretisasi dengan pendekatan beda maju :

➢ Turunan ruang didiskretisasi dengan pendekatan beda tengah :

➢ Sehingga:

Persamaan diatas disebut persamaan tridiagonal matriks, Dimana :

2

2

x

T

t

T

∂∂=

∂∂ α

( )xt

TT

t

Tnn

ii ∆Ο+∆−

=∂∂ +1

( ) ( ) 2

2

11

11

2

2 21

xx

TTT

x

Tn

inn

ii ∆Ο+∆

+−=

∂∂ +

+++

−

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )n1n

1i1n1n

1i ii TTTT =∆

∆−

∆

∆++∆

∆−⇔

=++−∆

∆−⇔

+−∆

∆=−⇔

∆+−=

∆−

++

++−

+++

++−

++

++−

+

++

++−

+

222

111

1112

11

1112

1

2

11

111

1

21

2

2

2

x

t

x

t

x

t

TTTTTx

t

TTTx

tTT

x

TTT

t

TT

nnni

ni

ni

ni

ni

ni

nn

ni

ni

ni

nn

ii

ii

ii

ααα

α

α

α

iiii dcba =++⇔ ++

++−

1n1i

1n1n1i TTT i

( )

( )

( )n

iT=∆

∆−=

∆∆+=

∆∆−=

i

i

i

i

d

x

tc

x

tb

x

ta

2

2

2

21

α

α

α

Persamaan Tridiagaonal matriks dapat dinyatakan dalam bentuk matriks

sebagai berikut :

T1 dan Tnx berada pada kondisi batas (boundary candition). Untuk

menyelesaikan persamaan tridiagonal matriks digunakan Algoritma

Thomas (dalam program komputer berupa Subroutine Tridi)

a. Metode Crank-Nicolson

➢ Diskretisasi persamaan konduksi 1D dengan metode Crank-Nicolson

Dimana pada metode ini

Turunan waktu didiskretisasi dengan pendekatan beda maju

Turunan ruang didiskretisasi dengan pendekatan beda tengah

➢ Metode Crank-Nicoson terdiri dari dua langkah waktu yaitu :

Langkah waktu ( n à n+1/2)

Diskretisasi turunan waktu :

Diskretisasi turunan ruang :

Langkah waktu ( n +1/2 à n+1)

Diskretisasi turunan waktu :

2

2

x

T

t

T

∂∂=

∂∂ α

( ) ( )xt

TT

t

Tnn

ii ∆Ο+∆

−=

∂∂ +

2/

2/1

( ) ( ) 2

2

1

2

2 21

xx

TTT

x

Tn

inn

ii ∆Ο+∆

+−=

∂∂ +−

( ) ( ) 211

2/12

2/ x

TTT

t

TT ni

ni

ni

nnii

∆+−=

∆− +−

+

α

( ) ( )xt

TT

t

Tnn

ii ∆Ο+∆−

=∂∂ ++

2/

2/11

+( ) ( ) ( )

∆

+−+

∆+−

=∆

− ++

++−+−

+

2

11

111

211

122

2/ x

TTT

x

TTT

t

TT ni

ni

ni

ni

ni

ni

nnii α

Diskretisasi turunan ruang :

Jika langkah waktu ( nàn+1/2) dan ( nàn+1) dijumlahkan menjadi :

( ) ( ) 2

2

11

11

2

2 21

xx

TTT

x

Tn

inn

ii ∆Ο+∆

+−=

∂∂ +

+++

−

( ) ( ) 2

11

111

2/112

2/ x

TTT

t

TT ni

ni

ni

nnii

∆+−=

∆− +

+++

−++

α

( ) ( ) 2

11

111

2/112

2/ x

TTT

t

TT ni

ni

ni

nnii

∆+−=

∆− +

+++

−++

α

( ) ( ) 211

2/12

2/ x

TTT

t

TT ni

ni

ni

nnii

∆+−=

∆− +−

+

α

( ) ( ) ( )

( ) ( )ni

ni

ni TTT

x

t

x

t

x

t

x

t

112

222

22

21

2

+−

++

++−

+−∆∆+

=∆∆−

∆

∆++∆∆−⇔

α

ααα

n

1n1i

1n1n1i

i

i

T

TTT

Dimana :

Persamaan tridiagonal matriks diselesaikan dengan Algoritma Thomas

A. PENYELESAIAN KASUS

Soal :

Consider the wall described in problem 3.1. assume the left surface is insulated

and the right surface is subject to a constant temperature of 500oF. as shown in

figure P3-2

Jawaban :

Perhitungan dilakukan dengan program fortran dengan metode FTCS

Dimana inputan data yang diambil adalah besarnya panjang, ∆x, α, ∆x, suhu pada

permukaan isolasi ,suhu permukaan kanan (tsurface,),waktu maksimum

Panjang (L ) = 1 ft

α = 0.1

∆x = 0.05

∆t = 0.01

iiii dcba =++⇔ ++

++−

1n1i

1n1n1i TTT i

( ) ( )

( ) ( ) ( )ni

ni

niii

ii

TTTx

td

x

tc

x

tb

x

ta

1122

22

222

12

+− +−∆∆+=

∆∆−=

∆∆+=

∆∆−=

αα

αα

niT

suhu pada permukaan isolasi = 0

suhu permukaan kanan = 500

untuk menyelidiki efek perbedaan lama waktu maksimum maka dengan kondisi

yang sama dicari tmax=0.1, tmax=0.25 dan tmax=1

grafik distribusi temperature dengan metode FTCS saat tmax =0.25 dan tmax =1