5.1 metodo branch and bound -...

E. Amaldi – Fondamenti di R. O. – Politecnico di Milano 1

5.1 Metodo Branch and Bound

Idea: Ricondurre la risoluzione di un problema difficile a

quella di sottoproblemi più semplici effettuando una

partizione (ricorsiva) della regione ammissibile.

Consideriamo un generico problema di ottimizzazione

min{ c(x) : x X }

Applicabile ai problemi di ottimizzazione combinatoria

e continua.


z = min{ c(x) : x X }

Operazione di “branching”:

Sia X = X1 … Xk una partizione di X in k sottoinsiemi

( Xi Xj = per ogni coppia i j )

e zi = min{ c(x) : x Xi } per i =1,…, k

Chiaramente z = min{ c(x) : x X } = min{z1,…, zk}


Operazione di “bounding”:

Per i-esimo sottoproblema sia zi = min{ c(x) : x Xi }

i) determinare una soluzione ottima di min{ c(x) : x Xi }

(modo esplicito), oppure

ii) dimostrare che Xi = (modo esplicito), oppure

iii) dimostrare che zi ≥ z’ = valore della migliore soluzione

ammissibile trovata finora (modo implicito).

Se un sottoproblema non è “risolto” vengono

generati nuovi sottoproblemi mediante “branching”.


“Branching”:

Suddividere la regione ammissibile X in sottoregioni esaustive ed esclusive (partizione).

Sia un generico PLI min{ cTx : Ax = b, x ≥ 0 interi }

5.1.1 Branch and Bound per PLI

Risolvere il rilassamento continuo

min{ cTx : Ax = b, x ≥ 0 }

e siano x una soluzione ottima e zPL = cTx il valore ottimo.


“Bounding”:

Determinare un “bound” (per difetto se PLI di min) sul

valore ottimo zi di un sottoproblema di PLI risolvendo il

relativo rilassamento continuo.

Se x intera, x è anche ottima per PLI, altrimenti

xh frazionaria e si considerano i due sottoproblemi:

PLI1: min{ cTx : Ax = b, xh ≤ ⌊xh⌋, x ≥ 0 interi }

PLI2: min{ cTx : Ax = b, xh ≥ ⌊xh⌋+1, x ≥ 0 interi }


6 5 4 3 2 1

x1

9

8

7

6

5

4

3

2

1

x2

z = 20

x = zPL = 41.25

15/4 9/4

max z = 8x1 + 5x2

x1 + x2 ≤ 6

9x1 + 5x2 ≤ 45

x1, x2 ≥ 0 interi

PLI

Esempio:

zPL ≥ z*PLI

9x1 + 5x2 = 45

x1 + x2 = 6

Poiché x1 e x2 frazionarie, sceglierne una per il passo di branching

ad esempio x1


Regione ammissibile X suddivisa in X1 e X2 imponendo:

x1 ≤ ⌊x1⌋ = 3 o x1 ≥ ⌊x1⌋+1 = 4 vincoli esaustivi

ed esclusivi

6 5 4 3 2 1

x1

9

8

7

6

5

4

3

2

1

x2

z = 20

Sottoproblema S1 sottoregione X1 Sottoproblema S2

sottoregione X2

sol. x = con zPL2 = 41

4 9/5

sol. x = con zPL1 = 39

3 3

intera! ⇒ z*PLI1 ≥ zPL1


Dopo aver considerato X1, migliore soluzione ammissibile

(intera) trovata finora:

x = con z = 39 3 3

Visto che zPL2 = 41 > 39, X2 può contenere una soluzione

ammissibile del PLI migliore.

⇒ Partizione di X2 in X3 e X4 imponendo:

x2 ≤ ⌊x2⌋=1 o x2 ≥ ⌊x2⌋+1=2


z = 20

x2 = 2

x2 = 1 1

2

3

4

x2

1 2 3 4 5 6 x1

Sottoproblema S3

sottoregione X3

Sottoproblema S4 è inammissibile (X4 = ø)

sol. x = con zPL3 = 365/9

40/9 1


Albero di branching:

PL

S1 S2

S3 S4

x1 ≥ 4 x1 ≤ 3

x2 ≤ 1 x2 ≥ 2

zPL2 = 41.25

zPL3 = 365/9 inammissibile

X4 = ø

zPL1 = 39

sol. intera

migliore sol.

ammissibile

trovata finora


Visto che zPL3 = 365/9 > 39, X3 può contenere una soluzione

ammissibile del PLI migliore.

⇒ Partizione di X3 in X5 e X6 imponendo:

x1 ≤ ⌊x1⌋ = 4 o x1 ≥ ⌊x1⌋+1 = 5

40/9 1 x =


z = 20

Sottoproblema S5

sol. di S5 : x = intera con zPL5 = 37 4 1

1

2

3

4

x2

1 2 3 4 5 6 x1

x1 = 4 x1 = 5 unica sol. ammissibile di S6

5 0

x = intera con zPL6 = 40

Soluzione intera (anche ammissibile per PLI) ma con valore peggiore di

x = con zPL1 = 39 3 3

Migliore soluzione trovata ⇒ soluzione ottima

Branch & Bound garantisce soluzione ottima (metodo esatto)


Albero di branching

49

415

4165

2

1

x

x

z

PL

PL

3

3

39

2

1

1

1

x

x

z

S

PL

59

4

41

2

1

2

2

x

x

z

S

PL

1

940

9365

2

1

3

3

x

x

z

S

PL

S4

X4 = ø

1

4

37

2

1

5

5

x

x

z

S

PL

0

5

40

2

1

6

6

x

x

z

S

PL

radice

intera intera

inammissibile

x1 ≤ 3

x2 ≤ 1

x1 ≤ 4

x1 ≥ 4

x2 ≥ 2

x1 ≥ 5

sol. intera

ottima

z*PLI = 40


L’albero non contiene necessariamente tutti i nodi possibili

(2d # foglie)

intera

Un nodo non ha figli -- è chiuso -- se

• vincoli iniziali + quelli sugli archi dalla radice sono

incompatibili (S4)

• soluzione del rilassamento continuo è intera (S1)

• soluzione ottima xPL del rilassamento continuo ha un

valore cTxPL peggiore di quello della migliore soluzione

ammissibile del PLI trovata finora.

≡ criterio di “bounding”


NB: Nel terzo caso la sottoregione ammissibile del

sottoproblema associato a quel nodo non può contenere

una soluzione intera migliore della migliore soluzione

del PLI trovata finora!

Criterio di “bounding” permette spesso di “eliminare” gran

parte dei sottoproblemi (chiudere i rispettivi nodi).


Scelta del nodo (sottoproblema) da elaborare:

• Prima nodi più profondi (tecnica “depth first”)

procedimento ricorsivo semplice ma costoso in

caso di scelta sbagliata

• Prima nodi più promettenti (“best bound first”)

con valore del rilassamento continuo migliore

Si generano tipicamente meno nodi ma problemi poco vincolati ⇒ si aggiorna raramente la

migliore soluzione ammissibile corrente


Scelta variabile (frazionaria) di branching

Non è detto che convenga scegliere la variabile xh con

parte frazionaria più vicina a 0,5 (sperando che il nuovo

vincolo sia più significativo per i due sottoproblemi.)


Struttura dati Branch & Bound: problema di min

• m = ultimo nodo

• xopt = migliore soluzione intera trovata finora

• zopt = cTxopt = costo migliore soluzione intera trovata finora

• Q = coda dei nodi foglia attivi (quelli che possono avere

nodi figli)

• Padre[t] = ±p p = indice nodo padre di t

+/- figlio di sinistra o di destra


• LB[t] = “lower bound” associato a t

• Vbranch[t] = indice h della variabile xh di branching

• Valore[t] = valore x*h della variabile di branching

NB: Se PL inammissibile, x* fittizio e cTx* = +∞

Se c intero, LB[m] = ⌈cTx*⌉


BEGIN

m:=1; Padre[1]:=0; Q:= ;

zopt:= valore soluzione euristica (eventualmente +∞);

risolvi il rilassamento continuo min{cTx : Ax = b, x ≥ 0} e sia

x* la soluzione ottima trovata;

LB[1]:= cTx*;

IF (x* intera) AND (cTx* < zopt) THEN

xopt:= x*; zopt:= c

Tx*

END-IF

IF LB[1] < zopt THEN

scegli la variabile frazionaria x*h di branching;

Vbranch[1]:= h; Valore[1]:= x*h;

Q := {1}

END-IF

WHILE Q ≠ 0 DO /* elabora i nodi figli attivi */

scegli un nodo t Q; poni Q:= Q \ {t};

h:= Vbranch[t]; val:= Valore[t];

...

Algoritmo Branch & Bound E

lab

ora

zione

rad

ice


FOR figlio:= 1 TO 2 DO /*genera i figli del nodo t */

m:= m+1;

IF figlio = 1 THEN Padre[m]:= t;

ELSE Padre[m]:= -t; END-IF

definisci il problema PLm associato al nodo m

(vincoli di PLt più xh ≤ ⌊val⌋ se figlio = 1,

o xh ≥ ⌈val⌉ se figlio = 2);

risolvi il problema PLm e sia x* la soluzione ottima trovata;

LB[m]:= cTx*;

IF (x* intera) AND (cTx* < zopt) THEN

xopt:= x*; zopt:= c

Tx*; /* aggiorna la soluzione ottima */

Q:= Q \ {jQ : LB[j] ≥ zopt};

END-IF

IF LB[m] < zopt THEN

scegli la variabile frazionari x*k di branching;

Vbranch[m]:= k; Valore[m]:= x*k;

Q:= Q {m};

END-IF

END-FOR

END-WHILE

END


Come aggiornare in modo efficiente il tableau ottimo del

rilassamento continuo corrente quando si aggiunge un solo

vincolo?

Si può utilizzare una variante del metodo del simplesso nota

come metodo del simplesso duale (basta un’unica iterazione!).


Branch & Bound applicabile anche a PLI misti:

considerare solo per “branching” le variabili frazionarie con

vincolo di interezza.

In realtà metodo generale per problemi di ottimizzazione discreta

Esempi: sequenziamento, commesso viaggiatore,…

# finito (ma elevatissimo) di sol. ammissibili


Basta

• Tecnica per suddividere un insieme di soluzioni ammissibili

in sottoinsiemi mutualmente esclusivi ed esaustivi (“branch”)

• Procedura per determinare un limite (inferiore se problema di

min) sul costo di qualsiasi soluzione ammissibile in un dato

sottoinsieme (“bound”)

NB: Branch-and-Bound (B & B) anche utilizzabile come

metodo approssimato (imponendo un limite su tempo

o nodi esplorati)


5.1.2 B & B per problemi di ottimizzazione combinatoria

Esempio: Problema di sequenziamento ( NP-difficile )

n lavori (jobs) da eseguire su una macchina

n = 4 jobs

tempo di

lavorazione scadenza

1 6 8

2 4 4

3 5 12

4 8 16

fine giorno 8

Tempi di lavorazioni e le date limite di consegna: in giorni


Per sequenza 1 – 2 – 3 – 4, ritardo totale = 0 + 6 + 3 + 7 = 16

definiamo xij =

Idea: suddividere l’insieme di tutte le soluzioni ammissibili

a seconda del job eseguito per ultimo.

Chiaramente x14 = 1 o x24 = 1 o x34 = 1 o x44 = 1

1 se job i è il j-esimo eseguito

0 altrimenti giorni

Determinare una sequenza che minimizza il ritardo totale.


D = ritardo totale

se x44 = 1, job 4 è completato alla

fine del giorno 6 + 4 + 5 + 8 = 23

cioè con ritardo di 23 – 16 = 7

1 D ≥ 15

2 D ≥ 19

3 D ≥ 11

4 D ≥ 7

5 D ≥ 14

6 D ≥ 18

7 D ≥ 10

8 D = 12

9 D = 16

x14 = 1 x24 = 1

x44 = 1

x34 = 1

x13 = 1

x23 = 1

x33 = 1

x12 = 1 x22 = 1

⋮

“Branching” effettuato sul nodo con

limite inferiore su D più piccolo.

nodo 4; nodo 7; nodo 8;…


Per nodo 7: job 4 per ultimo con ritardo di 7

job 3 per penultimo con ritardo di

6 + 4 + 5 – 12 = 3 giorni

15

⇒ D ≥ 7 + 3 = 10

nodo 8 (sequenza 2 – 1 – 3 – 4) sol. ammissibile candidata

con ritardo totale = 12.

NB: nodi 1, 2, 5 e 6 possono essere “chiusi”!


1 D ≥ 15

2 D ≥ 19

3 D ≥ 11

4 D ≥ 7

10 D ≥ 21

11 D ≥ 25

12 D ≥ 13

x14 = 1 x24 = 1

x44 = 1

x34 = 1

x13 = 1

x23 = 1

x43 = 1

⋮

11 + (6 + 4 + 8 – 16) = 13 11 + (6 + 4 + 8 – 8) = 21

job 1 penultimo

⇒ sequenza ottima: 2 – 1 – 3 – 4 con D =12

job 3 ultimo

job 4 penultimo

5.1 metodo branch and bound -...

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