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8/17/2019 50496756-Problemas-Magnetismo-1.doc

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6.10 Problemas resueltos

1. Un protón se mueve con una velocidad

-1ms)42( k jiv −−= ,

en una región donde el campo magnético es

T)32( k jiB −+=

¿u!l es la magnitud de la "uer#a magnética $ue esta carga e%perimenta&

'olución a "uer#a magnética esta dada por

*1+),.12,4.22(1−×−+=×= k jiBvF q ,

donde q es la carga del protón, 1+.1 1-−×=q / la magnitud esta dada por

*1+0+.2 1,−×= F

2. Un conductor suspendido por dos alamres "le%iles, como se muestra en la "igura .1

tiene una masa por unidad de longitud +.+4+ gm. ¿5ué corriente dee de e%istir por elconductor para $ue la tensión en los alamres de soporte sea cero cuando el campo

magnético es 3. T 6acia el interior de la p!gina& ¿u!l es la dirección re$uerida para la

corriente&

'olución

7ara $ue la tensión en los alamres se anule es necesario generar una "uer#a magnética por

unidad de longitud igual al peso por unidad de longitud, pero de sentido contrario

→=×−

=×

==

L

B I

L

B I

L

I

L

mg

L

F )( k lBl81+.+==

LB

mg I

a dirección de la corriente es 6acia la derec6a

3. 9n la "igura .1 el cuo mide 4+.+ cm en cada lado. uatro segmentos de alamre ab,

bc, cd / da "orman un la#o cerrado $ue conducen una corriente I : .+ 8 en la

dirección mostrada. Un campo magnético B : +.+2 T est! en dirección positiva ( j).;etermine la magnitud / la dirección de la "uer#a magnética sore cada segmento.

x

% %%

%xx

%

xxx x

Bin


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'olución

'egmento I (8) L (m) B (T) )( BLF ×= I (*)

ab .+ -+.4 j +.+2 j +

bc .+ +.4 k +.+2 j +.+ (-i)

cd .+ +.4 (-i= j ) +.+2 j -+.+ k

da .+ +.4 (i -k ) +.+2 j +.+4 (i = k )

4. >ndi$ue la dirección inicial de la desviación de las part?culas cargadas cuando éstas

entran en los campos magnéticos indicados en las "iguras .10

'olución as part?culas se desv?an en la dirección de la "uer#a magnética


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. Un alamre de la "orma $ue se muestra en la "igura .1a lleva una corriente de 1. 8.

alcule la "uer#a resultante $ue actCa sore el alamre si el campo magnético B es de+ teslas de magnitud / dirigido 6acia dentro del plano de la pagina, / el radio del

semic?rculo es a : +.1 m.

!olu"i#n$ ;e la ecuación .13, se tiene

∫ ×= L

l d I BF .

9n la "igura .1 vemos $ue la "uer#a de la parte superior del alamre es igual a la "uer#a$ue actCa en la parte in"erior (F1 : -F2).

9l c!lculo de la "uer#a en la parte semicircular se otiene de la integral d Fsenθ /a $ue la

componente d Fcosθ es anulada por la parte simétrica del semic?rculo del alamre, la "uer#a

resultante se otiene integrando

,sen)-+sen()sen(∫ ∫ °== iiF θ θ IBdLdF *.12)sen(+

=== ∫ IaBd IBπ

θ θ i

con dL : ad θ , tenemos

6. Un segmento recto de alamre, de longitud L, conduce una corriente I . on la le/ de

Aiot-'avart, determine el campo magnético producido en un punto $ue est! a una

distancia R / $ue sutiende !ngulos φ 1 / φ 2 con los e%tremos del alamre.

!olu"i#n olocamos el alamre a lo largo del eDe x, como se muestra en la "igura .2+a.

5ueremos determinar el campo a una distancia y = R (punto 7)

a I

F1

F2

d Fsenθ


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del alamre. a regla de la mano derec6a indica $ue la cantidad rul×d se dirige 6acia

"uera de la p!gina, siendo d l / ur como se indica en la "igura .2+.

'egCn la ecuación .1, el campo magnético creado por el segmento d l en el punto 7 tienemagnitud

dxr

I dxr

I dxr

I dB222

cos4

)2sen(4

)sen(4

φ π

µ φ π π

µ θ π π

µ 000 =+=−= ,

donde 6emos reempla#ado dl por dx, / empleado el !ngulo φ de la "igura .2+. ;e la

"igura 11.2+ se tiene

φ φ φ d Rdx R

x sectan

2=→= seccos φ φ Rr r

R=→= ,

reempla#ando las anteriores relaciones en la ecuación anterior se tiene

φ φ π

µ d R I dB cos

4

0= .

7ara determinar el campo total, integramos la anterior ecuación

)sen(sen4

cos4

12

2

1

φ φ π

µ φ φ

π

µ φ

φ

+== ∫ −

R

I d

R

I B 00 .

os limites de integración se indican en la "igura .2+aasos particulares de la ecuación anterior

• ;etermine el campo magnético en el plano perpendicular al alamre, / $ue pasa por el

punto medio del alamre φ 1 : φ 2 : φ ("igura .2+c)

φ π

µ φ φ

π

µ sen

2)sen(sen

4

R

I

R

I B 00 =+=

• 'i 7 est! a una distancia R de uno de los e%tremos del alamre φ 2 : + / φ 1 = φ ("igura

11.2+d)

L2 L2

7

R

φ φ


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→=+°= φ π

µ φ

π

µ sen

4)sen+sen(

4

R

I

R

I B 00

224

R L

L

R

I B

+=

π

µ 0 ,

donde22

sen R L

L

+=φ ,.

9l anterior resultado indica $ue el campo no solo depende de la distancia R al alamre, sinotamién de la longitud del alamre.

• 9n el l?mite en $ue L >> R (alamre in"inito), φ 1 : φ 2 : +@, para conseguir

R

I B

π

µ

2 0→ .

%. Un conductor de "orma de un cuadrado de longitud de lado L: +.4 m conduce una

corriente I : 1+ 8 (ver "igura .21a.). a) alcule la magnitud / dirección del campomagnético en el centro del cuadrado. ) 'i este conductor se "orma como una sola

vuelta circular / conduce la misma corriente, ¿cu!l es el valor del campo magnético enel centro&

'olución. Usemos la le/ de Aiot-'avart

24 r

Id d r0

ulB

×=

π

µ (1)

9l vector ur va desde el elemento de corriente d l, al centro del cuadrado, $ue es el punto

donde $ueremos calcular B. a cantidad dl %ur, para el elemento de corriente $ue se ve enla "igura .2+, se dirige 6acia adentro del papel, / lo mismo sucede para los otros

elementos de corriente $ue "orman el cuadrado. 7or lo tanto el campo magnético total en elcentro del cuadrado esta dirigido 6acia adentro del papel.9l campo magnético del segmento d l tiene magnitud

dxr

I dx

r

I dx

r

I dB

222

cos

4

)2sen(

4

)sen(

4

φ

π

µ φ π

π

µ θ

π

µ 000 =

−== ,

as variales φ / r dependen de x, de la "igura 11.2+ se tiene las siguientes ecuaciones


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φ φ φ d L

dx L

x sec

22tan

2=→= , sec2

2cos φ φ

Lr

r

L=→= ,

reempla#ando las anteriores relaciones en la ecuación anterior se tiene

φ φ π µ d L I dB cos24

0= .

7ara determinar el campo total, integramos la anterior ecuación / multiplicamos por 4.

T3.2,)4sen4sen(2

cos24

4

4

4

µ π

µ φ φ

π

µ =°+°== ∫

°

°− L

I d

L

I B 00 .

) 9l c?rculo $ue se "orma con el cuadrado


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T1+0.241

2

1

4

0

2

−×==== ∫ ∫ r I

dl r

I dB B 00

µ

π

µ .

*ota a integral de dl a lo largo del c?rculo es su circun"erencia, 2πr .

&. ;etermine el campo magnético en un punto 7 locali#ado a una distancia x de la es$uina

de un largo alamre dolado en !ngulo recto, como se muestra en la "igura .22a. 7or elalamre $ue circula una corriente estale I .

'olución 7ara la parte 6ori#ontal del alamre rul×d : +, por lo tanto la parte 6ori#ontal

del alamre no contriu/e al campo en el punto 7, solo contriu/e la parte vertical,

aplicando la le/ de Aiot-'avart tenemos

∫ ×

=alambre

r

d I 2

r0 ul

Bπ

µ

4. (1)

;e acuerdo con la regla del producto vectorial el campo en 7 entra perpendicular al plano

de la "igura .22 / la magnitud esta dado por

∫ =alam

r

dy I B

2

cos

4

θ

π

µ 0

, (2)

as variales θ / r dependen de y, de la "igura .22 se tiene las siguientes ecuaciones

θ θ θ d xdy x

y sectan

2=→= , seccos222 θ θ xr

r

x =→= .

Eeempla#ando las anteriores relaciones en la ecuación anterior se tiene

x

I d

x

I B

4 cos

4

+

-+

+ π

µ θ θ

π

µ == ∫ 0 ,

a dirección es entrando al plano de la pagina.

xdl 7

x

I

I


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'. Un segmento de alamre de 4r de longitud total con una "orma como se indica en la

"igura .23a, conduce una corriente I : . + 8. 9ncuentre la magnitud / dirección del

campo magnético en 7 cuando r : 2π cm.

'olución

7ara los segmentos rectos 8A / / ; los elementos d l son paralelos al vector ru $ue unen

el elemento de corriente / el punto 7 donde se desea calcular el campo. 7ara estos

segmentos rul×d es cero, de acuerdo con la ecuación (.21), el campo magnético es cero.7ara el segmento semicircular k ul r dl =×d , aplicando la le/ de Biot / !avart tenemos

∫ ×

=l r

d I 2

r0 ul

Bπ

µ

4. (1)

;e acuerdo con la regla del producto vectorial el campo en F entra perpendicular al planode la pagina ("igura .23) / la magnitud esta dado por

∫ =alam r

dl I B

2

4π

µ 0

, (2)

7ero dl : rd θ , entonces

T1+3 44

+

−×=== ∫ r I

d r

I B 00

µ θ

π

µ π

.

1+. 9l segmento de alamre de la "igura conduce una corriente I : . + 8. / el radio del arcocircular es R : .+ cm. 9ncuentre la magnitud / dirección del campo magnético en el

origen, punto F.

R

I

F


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'olución. as corrientes 6ori#ontal / vertical no contriu/en al campo magnético, puesto

$ue rul×d es cero. 7ara el segmento semicircular k ul r dl d =× , aplicando la le/ de

Aiot-'avart tenemos

∫ ×

=alambre R

d I 2

r0 ul

B

π

µ

4. (1)

;e acuerdo con la regla del producto vectorial el campo en F entra perpendicular al plano

de la "igura .24 / la magnitud esta dado por

∫ =alam

R

dl I B

24π

µ 0

, (2)

pero dl : Rd θ , entonces

T0.1

,4

2

+

µ µ

θ

π

µ π

===

∫ R I

d

R

I B 00 Gacia dentro de la p!gina

11. ;os alamres a / rectos / largos $ue est!n sore los eDes x / y, portan corrientes I /

4 I , como se muestra en la "igura. 8verigHe en $ue puntos del espacio el campo magnéticototal es cero.

'olución 9l prolema consiste en averiguar en $ue puntos del espacio se cancelan

mutuamente los campos magnéticos producidos por cada corriente.

as "iguras .2 / .2c muestran las direcciones de los campos creados por las corrientes I / 4 I respectivamente. 9stas "iguras nos dicen $ue los campos Cnicamente se pueden

cancelar en los cuadrantes >> / >I. 7or lo tanto paran un punto ( x,y) los campos creados por

las corrientes de los alamres a / ( I / 4 I ) son

k B 2

+

y I aπ

µ = , k B 24 + x I b

π µ −= .

'i la suma de estos campos la igualamos a cero, encontramos

4

1+

)

4

/

1

2+ + x y

x

I ba =→=

−→=+ k BB

π

µ

4 I 4 I

4 I

⊗ ⊗

⊗

⊗


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9sta es la ecuación de una l?nea recta. 7or lo tanto los campos creados por las dos corrientes

se cancelan Cnicamente en todos los puntos de la recta y =14 x.

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