Francisco A. Sandoval

Análisis Estadístico y

Probabilístico

2013 fralbe

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AGENDA

CAP. 5: Valor Esperado

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CAP. 5: Valor Esperado

• Valor esperado de una función de v.a.r.

• Valor esperado de una función de vec. a.

• Valor esperado de vectores y matrices.

• Valor esperado condicional

• Funciones características fralbe

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Objetivos

• Caracterización del valor esperado para v.a.r.,

vec.a. y condicional.

• Definir la función característica.

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VALOR ESPERADO DE FUNCIÓN DE VARIABLE ALEATORIA REAL

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Valor esperado de función de v.a.r.

Demostración:

𝐸 𝑦 &= 𝑌&𝑝𝑦 𝑌 𝑑𝑌∞

−∞

&= 𝑌 𝑝𝑥𝑦 𝑋, 𝑌 𝑑𝑋𝑑𝑌∞

−∞

∞

∞

Definición 1: Teorema Fundamental del Valor Esperado Si 𝑦 = 𝑔(𝑥), entonces

𝑌&𝑝𝑦 𝑌 𝑑𝑌∞

−∞

= 𝑔 𝑋 𝑝𝑥 𝑋 𝑑𝑋∞

−∞

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Valor esperado de función de v.a.r.

• Dado 𝑥 = 𝑋, 𝑦 pasa a ser una variable

aleatoria discreta que puede asumir un único

valor 𝑔(𝑥).

𝐸 𝑦 = 𝑝𝑥 𝑋 𝑌&𝛿 𝑌 − 𝑔 𝑋 𝑑𝑌&𝑑𝑋∞

−∞

∞

−∞

• Considerando la propiedad de la función

impulso

𝐸 𝑦 = 𝐸 𝑔 𝑥 = 𝑔 𝑋 𝑝𝑥 𝑋 𝑑𝑋∞

−∞

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Valor esperado de función de v.a.r.

• A partir de la definición 1, es posible llegar a

la definición de cantidades específicas bastante

importantes en la teoría de v.a.

• Conceptos como media, varianza y valor

medio cuadrático son fácilmente definidos a

través de una elección adecuada de la función

𝑔.

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Media

Definición 2: Media La media 𝑚𝑥 de una v.a. 𝑥 es definida a través de la definición 1, tomando 𝑔 𝑥 = 𝑥. Es decir:

𝑚𝑥 = 𝐸,𝑥- = 𝑋&𝑝𝑥 𝑋 𝑑𝑋∞

−∞

Ejemplos: Calcular la media de v.a. específicas muy prácticas: • media de una v.a. uniforme • medía de una v.a. gaussiana • media de una v.a. discreta fra

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Varianza (𝜍𝑥2) y desviación estándar (𝜍)

Ejemplos: Calcular la varianza de v.a. específicas: • varianza de una v.a. uniforme • varianza de una v.a. gaussiana • varianza de una v.a. discreta

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Ejemplo: Media de v.a. uniforme

𝑚𝑥 = 𝑋1

𝑏 − 𝑎𝑑𝑋 =

𝑎 + 𝑏

2

𝑏

𝑎

donde 𝑎 y 𝑏 son parámetros de la función densidad de probabilidad uniforme.

fdp fra

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Ejemplo: Media de v.a. gaussiana

𝑚𝑥 = 𝑋1

2𝜋𝜍𝑒

−𝑋−𝑚 2

2𝜎2 𝑑𝑋∞

−∞

efectuando un cambio de variable 𝑋 − 𝑚 = 𝛼 en la integral, se obtiene

𝑚𝑥 = 𝑚 1

2𝜋𝜍𝑒

−𝛼2

2𝜎2𝑑𝛼& + 𝛼1

2𝜋𝜍𝑒

−𝛼2

2𝜎2𝑑𝛼∞

−∞

∞

−∞

La primera integral es una integral de una función densidad de probabilidad gaussiana a lo largo de ℝ, siendo por tanto igual a 1. La segunda integral es nula porque se trata de la integral de una función impar (producto de una función impar por una función par) a lo largo de un intervalo simétrico en relación al origen. Por tanto:

𝑚𝑥 = 𝑚 donde 𝑚 es uno de los parámetros de la función densidad e probabilidad gaussiana.

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Ejemplo: Media de v.a. gaussiana

Aclaraciones: • Una función 𝑓(𝑥) es par en el intervalo ,𝑎, −𝑎- si 𝑓 𝑥 = 𝑓 −𝑥 • una función 𝑓(𝑥) será impar en el intervalo 𝑎, 𝑏 si 𝑓 𝑥 = −𝑓(−𝑥).

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Varianza (𝜍𝑥2) y desviación estándar (𝜍)

• La raíz cuadrada 𝜍𝑥 de la varianza de una v.a. 𝑥 se denomina desviación estándar de la v.a.

• La varianza (o desviación estándar) es un parámetro asociado a la dispersión de la v.a. en torno de su medía.

Definición 3: Varianza La varianza 𝜍2 de una v.a. 𝑥, es definida a través de la definición 1, tomando 𝑔 𝑥 = 𝑋 − 𝑚𝑥

2. Es decir:

𝜍𝑥2 = 𝐸, 𝑥 − 𝑚𝑥

2- = 𝑋 − 𝑚𝑥2&𝑝𝑥 𝑋 𝑑𝑋

∞

−∞

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Valor cuadrático medio

• El concepto de valor cuadrático medio es importante y bastante utilizado en:

– problemas de optimización y estimación de parámetros.

– cuantizadores (optimizar los niveles de cuantización a través del críterio del mínimo error cuadrático)

Definición 4: Valor cuadrático medio El valor cuadrático medio 𝐸 𝑥2 de una v.a. 𝑥, es definida a través de la definición 1, tomando 𝑔 𝑥 = 𝑥2. Es decir:

𝜍𝑥2 = 𝐸,𝑥2- = 𝑥2&𝑝𝑥 𝑋 𝑑𝑋

∞

−∞

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Valor cuadrático medio

Ejemplos: Calcular el valor cuadrático medio de v.a. específicas: • valor cuadrático medio de una v.a. uniforme • valor cuadrático medio de una v.a. gaussiana

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VALOR ESPERADO DE FUNCIÓN DE VECTOR ALEATORIO

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Valor esperado de función de vector aleatorio

• El concepto de valor esperado de una variable aleatoria 𝑦, es examinado en una situación mas general en que 𝑦 es función de varias variables aleatorias, o sea

𝑦 = 𝑔(𝒙)

Definición 5: Teorema Fundamental del Valor Esperado (Caso General ) Si 𝑦 = 𝑔(𝒙), entonces

𝐸 𝑦 = 𝐸 𝑔 𝒙 = …∞

−∞

∞

−∞

𝑔 𝒙 𝑝𝑥 𝑿 𝑑𝑿∞

−∞

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Valor esperado de función de vector aleatorio

Propiedad 1: El valor esperado de una constante 𝑎 (que equivale a una v.a. que asume un único valor 𝑎 es igual a la propia constante, o sea,

𝐸 𝑎 = 𝑎

Propiedad 2: El valor esperado es un operador lineal, o sea,

𝐸 𝑎𝑖𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

= 𝑎𝑖𝐸,𝑥𝑖-

𝑛

𝑖=1

donde *𝑥𝑖+ son v.a. y *𝑎𝑖+ son constantes reales.

Propiedad 3: El módulo del valor esperado de una variable aleatoria es menor o igual al valor esperado del módulo de la v.a., o sea,

𝐸,𝑥- ≤ 𝐸, 𝑥 - fralbe

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Valor esperado de función de vector aleatorio

Propiedad 4: El operador valor esperado preserva el orden, en el sentido de que si dos v.a. 𝑥 y 𝑦 son tales que

𝑥 𝜔 ≥ 𝑦 𝜔 , ∀&𝜔 ∈ Ω entonces

𝐸 𝑥 ≥ 𝐸,𝑦-

Propiedad 5: En el caso de 𝑛 v.a. estadísticamente independientes 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛, se tiene para cualquier conjunto de funciones *𝑔1, 𝑔2, … , 𝑔𝑛+,

𝐸 𝑔𝑖(𝑥𝑖)

𝑛

𝑖=1

= 𝐸,𝑔𝑖(𝑥𝑖)-

𝑛

𝑖=1

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Valor esperado de función de vector aleatorio

• A partir del resultado general del Teorema

Fundamental del Valor Esperado, es posible

llegar a la definición de algunas cantidades

específicas ampliamente utilizadas en la teoría

de v.a.

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Correlación

Definición 6: Correlación 𝑟𝑥𝑦

La correlación 𝑟𝑥𝑦 entre dos variables aleatorias 𝑥 y 𝑦,

considerando 𝒙 = 𝑥, 𝑦 𝑇 es definida tomando 𝑔 𝒙 = 𝑔 𝑥, 𝑦 =𝑥𝑦 en la ecuación de la definición 5, o sea

𝑟𝑥𝑦 = 𝐸 𝑥𝑦 = 𝑋𝑌&𝑝𝑥𝑦 𝑋, 𝑌& 𝑑𝑋∞

−∞

∞

−∞

𝑑𝑌

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Covarianza

Definición 7: Covarianza 𝑘𝑥𝑦

La covarianza 𝑘𝑥𝑦 entre dos variables aleatorias 𝑥 y 𝑦,

considerando 𝒙 = 𝑥, 𝑦 𝑇 es definida tomando 𝑔 𝒙 = 𝑔 𝑥, 𝑦 =(𝑥 − 𝑚𝑥)(𝑦 − 𝑚𝑦) en la ecuación de la definición 5, donde 𝑚𝑥 y

𝑚𝑦 representan, respectivamente, las medias de las v.a. 𝑥 y 𝑦. Si

tiene en este caso,

𝑘𝑥𝑦 = 𝐸 (𝑥 − 𝑚𝑥)(𝑦 − 𝑚𝑦)

= (𝑋 − 𝑚𝑥)(𝑌 − 𝑚𝑥)&𝑝𝑥𝑦 𝑋, 𝑌& 𝑑𝑋∞

−∞

∞

−∞

𝑑𝑌

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Correlación – covarianza

Demostración:

𝑘𝑥𝑦 &&= 𝐸 𝑥 − 𝑚𝑥 𝑦 − 𝑚𝑦

= 𝐸 𝑥𝑦& − 𝑦𝑚𝑥 − 𝑥𝑚𝑦 + 𝑚𝑥𝑚𝑦

= 𝐸 𝑥𝑦 − 𝑚𝑥𝐸 𝑦 − 𝑚𝑦𝐸 𝑥 + 𝑚𝑥𝑚𝑦

= 𝐸 𝑥𝑦 − 𝑚𝑥𝑚𝑦

La covarianza y la correlación se encuentran relacionadas por la ecuación:

𝑘𝑥𝑦 = 𝑟𝑥𝑦 − 𝑚𝑥𝑚𝑦

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Correlación – covarianza

• En el caso particular de 𝑥 = 𝑦, para el cuadro

del slide anterior, establece una relación entre

la varianza y el valor medio cuadrático de una

v.a. Se tiene,

𝜍𝑥2 = 𝐸 𝑥2 − 𝑚𝑥

2

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Covarianza

• La covarianza entre dos v.a. es un parámetro real que indica, de cierta forma, la relación estadística entre dos v.a.

• Cuanto mayor es el valor del módulo de 𝑘𝑥𝑦 más fuerte es la relación estadística entre 𝑥 y 𝑦.

• Para examinar cuantitativamente el relacionamiento estadístico entre dos variables, es más adecuado la utilización de una cantidad normalizada, puesto que permite caracterizar la relación estadística máxima entre dos v.a. fra

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Coeficiente de Correlación

Definición 8: Coeficiente de Correlación 𝜌𝑥𝑦

El coeficiente de correlación 𝜌𝑥𝑦 entre dos v.a. 𝑥 y 𝑦 es definido por

𝜌𝑥𝑦 =𝑘𝑥𝑦

𝜍𝑥𝜍𝑦

donde 𝜍𝑥 y 𝜍𝑦 representan respectivamente las desviaciones

estándar de las variables 𝑥 y 𝑦, y 𝑘𝑥𝑦 la covarianza entre ellas.

Se puede demostrar que −1 ≤ 𝜌𝑥𝑦 ≤ 1

Por ser limitado, el coeficiente de correlación es más adecuado para indicar la relación estadística entre dos variables que la covarianza. fra

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Coeficiente de Correlación

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v.a. descorrelacionadas

Definición 9: v.a. descorrelacionadas Dos v.a. 𝑥 y 𝑦 son descorrelacionadas cuando

𝜌𝑥𝑦 = 0

o equivalentemente 𝑘𝑥𝑦 = 0

Lo que es equivalente individualmente a 𝑟𝑥𝑦 = 𝑚𝑥𝑚𝑦

Si dos v.a. son estadísticamente independientes, también son descorrelacionadas, puesto que

𝑟𝑥𝑦 = 𝐸 𝑥𝑦 = 𝐸 𝑥 &𝐸 𝑦 = 𝑚𝑥𝑚𝑦

El recíproco de este hecho, sin embargo, no es verdad. fra

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v.a. ortogonales

Los conceptos de media, varianza, valor medio cuadrático, covarianza y correlación, definidos hasta el momento, constituyen casos particulares de los conceptos más generales de momento conjunto y momento conjunto central.

Definición 10: v.a. ortogonales Dos v.a. son ortogonales cuando

𝑟𝑥𝑦 = 0&

Dos v.a. descorrelacionadas son ortogonales si y solamente si por lo menos una de ellas tiene media nula.

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Momento conjuntos

Definición 11: Momentos Conjuntos Los momentos conjuntos de 𝑛 v.a.’s & 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 son definidos considerando

𝑔 𝒙 = 𝑥1𝑘1𝑥2

𝑘2 …𝑥𝑛𝑘𝑛

donde las potencias 𝑘1, 𝑘2. … 𝑘𝑛 son números enteros, cada uno de ellos positivos o igual a cero, los momentos conjuntos son entonces dados por

𝐸 𝑥1𝑘1𝑥2

𝑘2 …𝑥𝑛𝑘𝑛 = … 𝑋1

𝑘1𝑋2𝑘2 …𝑋𝑛

𝑘𝑛 &𝑝𝒙 𝑿 𝑑𝑿∞

−∞

∞

−∞

∞

−∞

La suma 𝑘1 + 𝑘2 + ⋯+ 𝑘𝑛 se denomina orden del momento conjunto. fra

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Momentos conjuntos

Observe que:

• Las cantidades 𝐸,𝑥1𝑥2𝑥𝑛-, 𝐸,𝑥1𝑥22-, 𝐸,𝑥3

3- constituyen todos los momentos conjuntos de

tercer orden.

• La media constituye momentos de primer

orden.

• el valor medio cuadrático y la correlación

constituyen momentos de segundo orden. fralbe

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Momentos conjuntos centrales

Definición 12: Momentos conjuntos centrales Los momentos conjuntos centrales de 𝑛 v.a.’s 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 son definidos considerando

𝑔 𝒙 = 𝑥1 − 𝑚𝑥1

𝑘1𝑥2 − 𝑚𝑥2

𝑘2… 𝑥𝑛 − 𝑚𝑥𝑛

𝑘𝑛

donde las potencias 𝑘1, 𝑘2. … 𝑘𝑛 son números enteros, cada uno de ellos positivos o igual a cero, los momentos conjuntos centrales son entonces dados por

𝐸 𝑥1 − 𝑚𝑥1

𝑘1𝑥2 − 𝑚𝑥2

𝑘2… 𝑥𝑛 − 𝑚𝑥𝑛

𝑘𝑛

= … 𝑋1 − 𝑚𝑥1

𝑘1𝑋2 − 𝑚𝑥2

𝑘2… 𝑋𝑛

∞

−∞

∞

−∞

∞

−∞

− 𝑚𝑥𝑛 𝑘𝑛

𝑝𝒙 𝑿 𝑑𝑿 fralbe

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Momentos conjuntos centrales

Observe que

• La varianza y la covarianza constituyen ambos

momentos centrales de segundo orden.

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VALOR ESPERADO DE VECTORES Y MATRICES

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Valor esperado de vectores y matrices

• El valor esperado de un vector 𝒚 es definido

como u vector de la misma dimensión, cuyas

componentes son los valores esperados de las

componentes de 𝒚.

• El valor esperado de una matriz 𝑨 es definido

como una matriz de la misma dimensión,

cuyos elementos son los valores esperados de

los elementos de 𝑨. fralbe

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Vector media

El vector media 𝒎𝒙 de un vector aleatorio 𝒙 = 𝑥1&𝑥2 &… 𝑥𝑛

𝑇 es definido por

𝒎𝒙 = 𝐸,𝒙- esto significa que

𝒎𝒙 =&

𝐸 𝑥1

𝐸 𝑥2

⋮𝐸,𝑥𝑛-

=

𝑚𝑥1

𝑚𝑥2

⋮𝑚𝑥𝑛

o sea, el vector media de un vector aleatorio 𝒙 es el vector cuyas componentes son las medias de las componentes de 𝒙. fra

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Matriz covarianza

La matriz covarianza 𝐾𝑥 de un vector aleatorio

𝒙 = 𝑥1&𝑥2 &… 𝑥𝑛𝑇 es definida por

𝐾𝑥 = 𝐸 𝒙 − 𝒎𝒙 𝒙 − 𝒎𝒙𝑇

𝑲𝒙 =

𝜍𝑥12 𝑘𝑥1𝑥2

… 𝑘𝑥1𝑥𝑛

𝑘𝑥2𝑥1𝜍𝑥2

2 … 𝑘𝑥2𝑥𝑛

⋮𝑘𝑥𝑛𝑥1

⋮𝑘𝑥𝑛𝑥2

⋱&&&&& ⋮&&&&… &𝜍𝑥𝑛

2

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Media y Covarianza de Vectores aleatorios

Determinar la expresión del vector media y de la matriz covarianza de un vector aleatorio 𝒚 definido como una función lineal de otro vector aleatorio 𝒙, en función del vector media y de la matriz covarianza del vector 𝒙. En este caso considere

𝒚 = 𝑨𝒙 + 𝒃

𝐸 𝒚 = 𝐸 𝑨𝒙 + 𝒃 = 𝑨𝐸 𝒙 + 𝒃 O sea,

𝒎𝒚 = 𝑨𝒎𝒙 + 𝒃

Por otro lado, se tiene

𝑲𝒚 = 𝐸 𝒚 − 𝒎𝒚 𝒚 − 𝒎𝒚𝑇

= 𝐸 𝑨𝒙 − 𝑨𝒎𝒙 𝑨𝒙 − 𝑨𝒎𝒙𝑇 &

o aún, 𝑲𝒚 = 𝐸 𝑨 𝒙 − 𝒎𝒙 𝒙 − 𝒎𝒙

𝑇𝑨𝑇

finalmente, 𝑲𝒚 = 𝑨𝑲𝒙𝑨

𝑇 fralbe

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Matriz covarianza

Demostración:

Propiedad 6: Dado un vector aleatorio 𝒙, con matriz covarianza 𝑲𝒙, es posible hacer que sus componentes estén descorrelatadas dos a dos, a través de una transformación lineal.

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Ejemplo

Considere un vector aleatorio 𝒙 con matriz convarianza

𝑲𝒙 =2 11 2

Encuentre la matriz 𝑷, que transforma el vector aleatorio 𝒙, en un vector aleatorio 𝒚 con componentes descorrelatadas dos a dos.

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VALOR ESPERADO CONDICIONAL

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Valor esperado condicional

Definición 11: Valor esperado condicional El valor esperado de 𝑦, condicionado al evento 𝑀, es definido por

𝐸 𝑦 𝑀 = 𝑌&𝑝𝑦|𝑀 𝑌 &𝑑𝑌&∞

−∞

Definición 12: Valor esperado condicional Para le caso particular 𝑦 = 𝑔(𝑥) el valor esperado de 𝑦, condicionado al evento 𝑀, es definido por

𝐸 𝑔(𝑥) 𝑀 = 𝑔(𝑋)&𝑝𝑥|𝑀 𝑋 &𝑑𝑋&∞

−∞

Y en el caso de función de vector aleatorio

𝐸 𝑔(𝒙) 𝑀 = 𝑔(𝑿)&𝑝𝒙|𝑀 𝑿 &𝑑𝑿&∞

−∞

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FUNCIONES CARACTERÍSTICAS

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Funciones Características de una variable

aleatoria real

Definición 13: Función Carácterística de v.a.r. La función característica de una v.a. 𝑥 es definida como

𝑀𝑥 𝑣 = 𝐸 𝑒𝑗𝑣𝑥

o sea

𝑀𝑥 𝑣 = 𝑒𝑗𝑣𝑋∞

−∞

𝑝𝑥 𝑋 𝑑𝑋

donde 𝑀𝑥 es una función de la v.a.r. 𝑣 y toma valores en el conjunto de los números complejos.

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Ejemplo: Cálculo de función característica

Calcular la función característica de: • una v.a. uniforme • una v.a. exponencial • una v.a. de Poisson • una v.a. gaussiana

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Funciones Características de una variable

aleatoria real

• En la determinación de funciones

características de v.a., las manipulaciones

algebraicas trabajosas pueden ser evitadas.

• Para esto, basta observar que, de no ser por

una sustitución de variables bastante simple,

𝑀𝑥 𝑣 coincide con la Transformada de

Fourier de 𝑝𝑥(𝑋).

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Funciones Características de una variable

aleatoria real

• La Transformada de Fourier de 𝑝𝑥(𝑋) es

definida por

ℱ 𝑝𝑥 𝑋 = 𝑝𝑥 𝑋 𝑒−2𝜋𝑓𝑋𝑑𝑋∞

−∞

se llega fácilmente a la relación

𝑀𝑥 𝑣 = ℱ 𝑝𝑥 𝑋 𝑓=−

𝑣2𝜋

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Funciones Características de una variable

aleatoria real

• Análogamente, conocida la función carácterística de una v.a. es posible obtener la fdp utiliando la transformada inversa de Fourier, dada por

𝑝𝑥 𝑋 = ℱ 𝑝𝑥 𝑋 𝑒𝑗2𝜋𝑓𝑋𝑑𝑓∞

−∞

se obtiene así

𝑝𝑥 𝑋 = ℱ−1 𝑀𝑥 𝑣 |𝑣=−2𝜋𝑓 =1

2𝜋 𝑀𝑥 𝑣 𝑒−𝑗𝑣𝑋𝑑𝑣

∞

−∞

donde ℱ−1 caracteriza la Transformada Inversa de Fourier.

fra

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Funciones Características de una variable

aleatoria real

Propiedad 7: 𝑀𝑥 0 = 1

Propiedad 8: 𝑀𝑥(𝑣) ≤ 1

Propiedad 9: Si 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, entonces

𝑀𝑦 𝑣 = 𝑒𝑗𝑣𝑏𝑀𝑥 𝑎𝑣

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Funciones Características de una variable

aleatoria real

Propiedad 10: Si *𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛+ son v.a. estadísticamente independientes y

𝑦 = 𝑥𝑖𝑛𝑖=1

entonces

𝑀𝑦 𝑣 = 𝑀𝑥𝑖(𝑣)

𝑛

𝑖=1

Propiedad 11:

𝐸 𝑥𝑘 = −𝑗 𝑘𝑑𝑘

𝑑𝑣𝑘𝑀𝑥 𝑣

𝑣=0

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Ejemplo: Funciones Características

Sean 𝑥 y 𝑦 dos v.a. estadísticamente independientes, ambas con fdp uniforme en el intervalo (−1,1- . Determinar la fdp de la v.a. 𝑧 definida como la suma de 𝑥 y 𝑦.

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Ejemplo: Funciones Características

Sean 𝑥 y 𝑦 dos v.a. estadísticamente independientes, ambas con fdp de Poisson de parámetro 𝑎. Determinar la fdp de la v.a. 𝑧 definida como la suma de 𝑥 y 𝑦.

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Teorema del Límite Central

Definición 14: Teorema del Límite Central Sea 𝑦𝑛 una v.a. definida por

𝑦𝑛 = 𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

donde *𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛+ son v.a. estadísticamente independientes, identicamente distribuidas, todas con media 𝑚 y varianza 𝜍2. Entonces, la v.a. 𝑧𝑛 que caracteriza la suma normalizada

𝑧𝑛 =𝑦𝑛 − 𝑚𝑦𝑛

𝜍𝑦𝑛

y tal que

lim𝑛→∞

&𝑝𝑧𝑛𝑍 =

1

2𝜋𝑒−

𝑍2

2 fralbe

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FUNCIÓN CARACTERÍSTICA DE VECTOR ALEATORIO

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Función Característica de Vector Aleatorio

Definición 15: Función Característica de Vector Aleatorio La función característica de un vector aleatorio 𝒙, de dimensión 𝒏 es definida por

𝑀𝑥 𝒗 = 𝐸 𝑒𝑗𝒗𝑇𝒙

o sea

𝑀𝒙 𝒗 = … 𝑒𝑗𝒗𝑇𝒙∞

−∞

&𝑝𝑥 𝑿 𝑑𝑿∞

∞

∞

−∞

donde 𝑀𝑥 es una función de las 𝑛 variables *𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛+ que caracterizan el vector 𝒗, y toma valores en el conjunto de números complejos.

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Función Característica de Vector Aleatorio

Propiedad 12: 𝑀𝒙 𝟎 = 1

Propiedad 13: 𝑀𝒙(𝒗) ≤ 1

Propiedad 14: Si 𝒚 = 𝑨𝒙 + 𝒃, entonces

𝑀𝒚 𝒗 = 𝑒𝑗𝒗𝑇𝒃𝑀𝒙(𝑨𝑇𝒗)

Demostración

𝑀𝒚 𝒗 = 𝐸 𝑒𝑗𝒗𝑇𝒚 = 𝐸 𝑒𝑗𝒗𝑇 𝑨𝒙+𝒃 = 𝑒𝑗𝒗𝒃𝐸 𝑒𝑗𝒗𝑇𝑨𝒙

como 𝒗𝑇𝑨 = 𝑨𝑇𝒗 𝑇 fralbe

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Funciones Características de una variable

aleatoria real

Propiedad 15: Si las componentes *𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛+ del vector aleatorio 𝒙 son estadísticamente independientes, entonces

𝑀𝒙 𝒗 = 𝑀𝑥𝑖(𝑣𝑖)

𝑛

𝑖=1

Propiedad 16:

𝐸 𝑥1𝑘1 &𝑥2

𝑘2 …𝑥𝑛𝑘𝑛 = −𝑗 𝑘1+𝑘2+⋯+𝑘𝑛

𝑑𝑘1+𝑘2+⋯+𝑘𝑛

𝛿𝑣1𝑘1𝛿𝑣2

𝑘2 …𝛿𝑣𝑛𝑘𝑛

𝑀𝒙 𝒗

𝒗=𝟎

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Ejemplo: Función Característica de vectores

aleatorios

Sea 𝒙 un aleatorio bidimensional con función característica dada por

𝑀𝒙 𝒗 = 𝑒− 2𝑣12+2𝑣2

2+𝑣1𝑣2 Se desea determinar el vector media 𝒎𝒙 y la matriz covarianza 𝑲𝒙 del aleatorio 𝒙.

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REFERENCIAS

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Referencias

• ALBUQUERQUE, J. P. A.; FORTES, J. M.; FINAMORE, W. A.

(1993) Modelos Probabilísticos em Engenharia Elétrica;

Rio de Janeiro: Publicação CETUC.

• Marco Grivet, Procesos Estocásticos I, Centro de Estudios

em Telecomunicaciones – CETUC, 2006. [Slide]

• Universidad de Cantabria, Teoría de la Probabilidad, Teoría

de la Comunicación, Curso 2007-2008. [Slide]

• ALBERTO LEON-GARCIA, Probability, Statistics, and

Random Processes For Electrical

Engineering, Third Edition, Pearson – Prentice Hall,

University of Toronto, 2008.

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