1

1

Transformarea Fourier a semnalelor

analogice

O reprezentare spectrala aplicabila

semnalelor neperiodice

http://shannon.etc.upt.ro/teaching/ssist/Cap5.pdf

2

Transformarea Fourier pentru

semnale aperiodice

• Semnalul x(t) poate fi periodizat prin

repetarea sa la infinit din T in T.

• Semnalul este versiunea periodizata a

lui x(t). Pentru T ∞ se obtine semnalul

neperiodic x(t)

Tk k

x t x t t x t t kT x t kT

T

x t x t

x t

2

3

Semnalul rectangular

Semnalul neperiodic si cel periodic, de perioada T.

repetare T ∞

1

11

0 otherwiseT

, t Tx t p t

,

Neperiodic

Periodic

4

T

x t x t

Cresterea perioadei T face ca semnalul periodic sa se apropie

de cel neperiodic

• Semnalul periodic este de banda nelimitata, cu seria Fourier:

• Produsul Tck

3

5

Produsul Tck si anvelopa

Relatia dintre produs si anvelopa 0 01 2

kc X k ,T T

X() = anvelopa pentru Tck

6

Demonstratie • Coeficientii seriei Fourier pentru semnalul periodic sunt:

• Cu notatia:

• Rezulta:

0

2

2

1T

jk tk

T

c x t e dtT

0

2

2

1T

jk tk

T

c x t e dtT

Semnalele egale pe [-T/2, T/2]

j tX x t e dt

0 01 2

kc X k ,T T

4

7

Spectrul semnalului dreptunghiular

pentru diverse valori ale perioadei T

8

Cateva observatii

• Anvelopa nu este afectata de T.

• Cu cat creste T componentele spectrale sunt

mai “aproape”.

• T→∞

– distanta→0

– Reprezentarea spectrala discreta devine continua.

– Iar semnalul periodic devine neperiodic.

5

9

Definitii. Perechea Fourier

1

2

j t j tx t X e d X x t e dt

Transformata Fourier directa, functia

de densitate spectrala, sau Spectru Transformata Fourier inversa

• Spectrul unui semnal periodic este discret: linii spectrale

la frecventele k0

• Spectrul unui semnal aperiodic este continuu.

0 01 2

kc X k ,T T

10

Teorema de reconstructie. Semnale din clasa L1

• Transformata Fourier a unui semnal din L1, nu apartine neaparat de

L1 : Transformata este convergenta (x(t)L1) dar X()L1.

• Daca semnalul x(t) apartine clasei de functii L1 si este marginit pe

toata axa reala, atunci transformata Fourier inversa este

ω

ωsin2ω

X

tttptx σσ

detxtx tjR

RR

1lim F

6

11

Remarci • Transformata Fourier este o functie complexa.

Transformata Fourier H() a raspunsului la impuls

h(t) al unui sistem: raspunsul in frecventa al

sistemului.

• Dependenta modulului lui H() in functie de

frecventa se numeste caracteristica de modul a

sistemului, |H()|

• Dependenta fazei lui H() in functie de frecventa se

numeste caracteristica de faze a sistemului,

arg{H()}

12

Proprietati: 1. Liniaritatea Daca semnalele x(t), y(t) L1 au transformatele Fourier

X(ω), Y(ω) atunci pentru a, b=const., semnalul ax(t)+by(t)

L1 si are transformata Fourier X(ω)+bY(ω). Tema:

demonstratia.

bYaXtbytax

2. Deplasarea in timp

0

0

j tx t t e X

. F

Xedexdtettxttxtjtj

tttj 00

0

001

7

13

3. Modularea semnalului

0

0 .j t

e x t X

00 01

0Fj tj t j t j tx t e x t e e dt x t e dt X

Dualitatea

• operatie in timp alta operatie in frecventa

(modulatie deplasare in frecventa)

• A doua operatie in timp efect: prima operatie

in frecventa (deplasare in timp modulatie).

14

4. Scalarea variabilei timp • Daca x(t) L1 versiunea scalata x(t/a) L1 , spectrul

este o versiune scalata a semnalului x(t). Operatie auto-

duala.

1

.x at Xa a

.1

;111

aX

aatx

aX

adex

adteatxatx a

jattj

F

8

15

Exemplu: semnalul rectangular

• Spectrul semnalului este

• Versiunea scalata in timp cu a=2:

• Cu a=1/2

21 2 2 2

212 2

2

sin sinp t p t

2 sin

p t

2

22 2 22 =2

2

sin sin

p t p t

16

Comprimarea in timp expandare in

frecventa

Expandarea in timp comprimare in

frecventa

9

17

Spectrul constantei 1(t)

F

1 2t

* *x t X

*

1 * *F *j tj tx t x t e dt x t e dt X

5. Transfomata conjugatei complexe a

semnalului

18

6. Reflectarea in timp

• Demonstratie: tema

Xtx

1F

7. Derivarea in timp

Xjtx

1

'F

10

19

8. Integrarea in timp • Pentru x(t) L1 fara componenta continua X(0)=0,

integrala semnalului este tot din L1

1F

pentru 0 0

t Xx d X

j

9. Convolutia semnalelor: teorema convolutiei

x t y t X Y

• Convolutia a doua semnale din L1 este tot din L1.

Convolutia in timp -> produs in frecventa.

20

1

1

F

F

.

j t

j t

j tj

t uj j u

x t y t x y t e dt

x y t d e dt

x e x t e dtd

x e d y u e du

x t y t X Y

Demonstratie

11

21

Semnalul triunghiular este obtinut prin convolutia a doua semnale

dreptunghiulare cu aceeasi durata

2 2

1t

p t p t p t

Exemplu. Spectrul semnalului triunghiular

2

2 22

2

sin sin

p t

2

2 21

2

sintp t

22

10. Teorema de derivare a spectrului

Derivata spectrului este transformata Fourier a semnalului

–jtx(t).

ω

ω

dXtx t j

d

j t j t j t

dX d dx t e dt x t e dt x t jt e dt

d d d

12

23

•Spectrul unui semnal real si par este real si par.

•Spectrul unui semnal real si impar este pur imaginar si impar.

11. Proprietati ale spectrelor semnalelor

reale din L1

Re = ; Imp P i Ix t X X x t j X jX

*

* *

Re Im

Re Im

j

j

X X e X j X

X X e X j X

x t x t X X

; ;

Re Re ; Im Im .

X X

X X X X

Modulul si partea reala ale spectrului: functii pare.

Faza si partea imaginarea ale spectrului: functii impare.

24

Semnal real impar

2 2

2 2

222 2

j jsin

x t p t p t e e

Spectrul unui semnal real impar este pur imaginar si impar

13

25

Deplasare in timp

22

2

sin

tp

2 2

sin1 cos22 2

j j

x t e e j

22

2 and 22

22

2

2

2

sin

etp

sin

etpjj

Relatia lui Euler

sin2(u) =1-cos (2u)

26

12. Teorema lui Parseval pentru

semnale din L1

Forma echivalenta:

dYxdttytX

x t y t dt x y t d

Transformata Fourier a semnalului

x(t) cu variabila timp, t

Semnalul x(t) cu variabila

frecventa

14

27

Aceasta relatia a fost deja stabilita.

13. Relatia dintre transformata Fourier a unui semnal

aperiodic si coeficientii seriei Fourier exponentiale ai

semnalului obtinut prin periodizarea semnalului aperiodic

0 01 2

kc X k ,T T

22

0

2

0

2

00

Ttp

Ttptx TT

0122

Tcos

X j

0 0

0 0

1 cos2 2

1 cos2

x

k

k Tj

cT k

kj

k

28

Transformata Fourier a unui semnal din L1 L2 este din L2

Energia semnalului (relatie de tip Parseval sau Rayleigh) .

Densitatea de energie: |X()|2

Relatia se poate scrie folosind norma in L2 :

2 2

2X d x t dt

2

2

2

22 txX

1) Semnale de energie finita x(t) L1 L2

Transformata Fourier pentru semnale din L2

15

29

norma L2 a transformatei Fourier

2 l.i.m. j tx t x t e dt

2

2

2

dtetxlimtx tj

Transformata Fourier in clasa L2

2) Semnale de energie finita x(t) L2 \ L1

•Trunchierea x(t) prin inmultirea cu pτ(t) duce la aproximarea lui x(t) L1 L2 .

•Avem doua aproximari.

• Cea mai “buna” este cea cu durata mai

mare.

• Cealalta este o aproximare a primei.

•Eroarea tinde spre zero daca durata tinde

spre infinit.

Teorema lui Plâncherel

2Daca atunci:

i) exista , R

ii) pentru are loc egalitatea:

1

2

j t

Rj t

R R

x t L

X l.i.m x t e dt ,

t R

x t l.i.m X e d

30

16

2 2

1

2

Observatii

i) Transformata Fourier a semnalelor din este si ea in .

ii) Toate proprietatile demonstrate pentru transformarea Fourier raman valabile si

pentru transformarea Pentru semnale din

L L

.

2

1 2

2

-

este valabila relatia Rayleigh.

Ea nu este valabila pentru semnale din

iii) Pentru ( ) si ( ) din are loc relatia:

1

2

Cele 2 integrale sunt formele de exprimare al

* *

L

L \ L .

x t y t L

x t y t dt X Y d

e unor produse scalare.

Relatia poate fi scrisa si in forma:

1

2x t , y t X ,Y

2 21

2x t dt X d

Daca cele doua semnale sunt egale, avem relatia lui Parseval:

31

Proprietati suplimentare ale

transformarii Fourier din L2 14. Convolutia spectrelor (teorema convolutiei spectrelor)

1

12

2

12 2

2

2 .

j u t

j u j t j t

Z X Y L

Z X u Y u du X u y t e dt du

y t X u e du e dt x t y t e dt

x t y t

F

1

.2

x t y t X Y

32

17

15. Teorema simetriei

2

x t X x t

X t x X t

F

F

• Se porneste de la o pereche cunoscuta (x(t), X(ω))

• Care este spectrul semnalului X(t)?

• Se schimba variabilele si constantele de timp cu cele

de frecventa,

• Se obtine perechea (X(t), 2πx(-ω)).

33

34

. 2τ

sintttp

. 2 and τ

sinXtptx

t 0

0sin2

tX t

t

. 22

0 px

Exemple: Semnalul poarta temporala

18

35

Semnalul triunghiular simetric

.

2

21

2

Tsin

tpT

tTttri TT

.

2

2 and

2

Tsin

Xttritx T

2

2

2

0

t

tsin

tX

0

2

2 .

x

tri

36

Semnal cauzal exponential cazator

.tetxt

0 with 0ω0

j

ej

dtedteeXtjtjtjt

00

000

11000

22

000

111

jjX

00

0

11

arctgjargargj

argXarg

19

37

22

0

1

X

0

arctg

38

Semnal anti-cauzal exponential cazator

.tetxt

0 with 0ω0

.tetxt

0 with 0ω0

.j

XX

0

1

22

0

1

XX

.arctg

jargXarg

00

1

20

39

Semnal simetric exponential cazator

10 ; 0

0 0

ω

0

00

t,e

t,eetx

t

tt

s

.txtxtxs

0

2 2

0 0 0

21 1

sX X X

j j

40

Semnalul Gaussian

0. ,

22

4

1

aea

e aat

Spectrul semnalului Gaussian este tot Gaussian

21

41

Transformarea Fourier pentru distributii

1) Spectrul distributiei Dirac

2) Spectrul constantei 1(t)

1t

cc 2

42

3) Spectrul treptei unitare (t)

1

tj

4) Spectrul semnalului sgn(t)

j

tutsgn2

2

1, 0

sgn 0, 0

1, 0

t

t t

t

22

43

5) Spectrul semnalului 1/(πt)

, 01

sgn 0, 0

, 0

j

jt

j

44

6) Transformata Fourier a integralei unui semnal

care are componenta continua, X(0)≠0

ττστττ dt-xdxtyt

ω1

ω ω ω ω πδ ω π ω δ ωω ω

XY X t X X

j j

ωδ0πω

ωττ X

j

Xdx

t

ωδ0ωδω XX

23

45

7) Spectrul exponentialei complexe

0ω

ω-ωπδ20 tj

e

46

8) Spectrul semnalului cosω0t

0 0ω ω

0 0 0cosω π δ ω-ω δ ω ω2

j t j te e

t

24

47

9) Spectrul semnalului sinω0t

0 0 0sin π δ ω-ω δ ω ωt j

48

Transformarea Fourier pentru

semnale periodice

0ω

0 0 ω0

0

1δ ω δ ω

jk t

T

k

t eT

ttxty T0δ

0ω-ωδπ2ω kcYyk

k

25

49

Repartitia unei variabile aleatoare Repartitia unei variabile aleatoare X este descrisa de functia de densitate

de probabilitate fX (x) :

i) Media

ii) Puterea

iii) Puterea de fluctuatie in jurul mediei: varianta (dispersie)

iv) Abatere standard (grad de imprastiere in jurul mediei)

0 si 1X Xf x f x dx

;μ

dxxxfXE XX

;22 dxxfxXE X

2 2

μ μX X XVar X E X x f x dx

σ .X Var X

50

Exemplu: repartitia gaussiana (normala)

X -medie

σX –abatere standard

2

2

σ2

μ

Xσπ2

1X

Xx

X exf

2

2

2

μ

2σ

X

X

2

11

2πσ

μ 0,σ 1

11

2π

X

X

x

X

x

e dx

e dx

26

2

2

Repartizarea in timp a energiei semnalului :

: densitate de repartitie in timp a energiei.

moment de timp in jurul caruia se grupeaza energia semnalului

si o dispersie a acestuia,

c

x t W x t dt

x t

W

t

2

222

2t

2 2

σ

t

c

c

:

t x t dt t t x t dt

t

x t dt x t dt

Repartizarea in timp a energiei semnalului

51

2

2

Repartizarea in frecventa a energiei semnalului , cu spectrul

1

2

:densitate de repartitie in frecventa a energiei.

Frecventa in jurul careia se grupeaza e

nergia semnalului

si o

c

x t X

W X d ;

X

W

2

222

2ω

2 2

dispersie in frecventa,

ω ω ω ω ω ω ω

ω σ

ω ω ω ω

c

c

:

X d X d

X d X d

Repartizarea in frecventa a energiei semnalului

52

27

Valorile abaterilor standard si ne dau informatii despre durata efectiva

si banda efectiva a semnalului ( )

t

x t .

Relatia de incertitudine Heisenberg-Gabor

Daca si pot fi definite, atunci pentru orice semnal avem:

Egalul are loc daca si numai daca este un semnal Gaussian.

t

1

2t

x t

Exemplu: semnalul gaussian

2

21

4

2 2

t ω

10; σ ; ω 0 σ

4

at a

c c

x t e X ea

t aa

t ω

1σ σ .

2

53

54

2

3

2

2 66

3

2

20.9974 99.74%

2

a

at

a

WW e dt

Wa

23

626

3

1 20.9974 ; 99.74%

2 2

a

a

a

WW e d

a Wa

Energia in intervalul de timp 3 3

3 ,3 ,2 2

t ta a

Energia in banda de frecvente ω0,3σ

3Durata semnalului ; banda 3

produsul durata-banda 9 pentru 99.74% W

T B aa

TB

28

55

Observatii:

i) Interpretari ale inegalitatii Heisenberg-Gabor

Daca durata semnalului t creste banda (intinderea spectrala) descreste. Exemplu: proprietatea de scalare in timp. La o durata a semnalului fixata, intinderea spectrala este

Dintre toate semnalele cu aceeasi durata, semnalul gaussian are banda de frecvente minima.

Dintre toate semnalele de banda de frecvente impusa, cea mai mica durata o are semnalul gaussian.

Folosirea sa este indicata in telecommunicatii: la banda impusa ofera cea mai mare viteza de transmisie.

t ω

1σ σ

2

ω

t t

1σ

σ 2σ

C

56

ii) Nu intotdeauna se pot determina σt si σω

2

0 0 0

22

2 2

ω2 220

222

02 2

0 0

ω

1 1 1; ;

2 2 2

ω ω ω1

(functie para) 0 σ ;

ω ω

ωω ω ω ω

σ nu poate fi definit

C t

C

W x t dt t

X d

X

X d

X d d arctg

0ω

0

1

tx t e t X

j

29

In intervalul [0,T] energia semnalului:

Impunem WT=0,995W si avem: T=2,65/ω0

Energia in banda de frecvente [0,Bω] este

Impunem WBω =0,995W si avem: Bω≈127,3ω0

Rezulta produsul durata-banda 337,3

Un astfel de semnal, la o durata impusa, are o banda foarta larga, astfel incat 99,5% din energia sa sa fie transmisa.

57

2

0

1 2ω ω

2

B

B

B

BW X d arctg W

0 02 2 2

0 0

= 1

T T

t T

TW x t dt e dt e W

iii) Semnalul poarta temporala In durata T este cuprinsa toata energia semnalului. In domeniul frecventa:

Energia ce nu este cuprinsa in intervalul [0,Bω] este

Impunem WBω =0,995W si avem produsul durata-banda 130.

La aceeasi durata, semnalul dreptunghiular are o banda de frecventa mai mica decat semnalul exponential.

58

2

21 2 sinω ω

2

B Bx

B

B B

x

x

xW X d dx

x

, cu 2p t T

2sin

B

B B

x

x

xdx

xW W

W

30

59

Pentru 65 0 5 0 995

65 2 130

x BB ; , % W , W

B T

Raspunsul in frecventa al sistemelor

liniare si invariante in timp continuu

Raspunsul sistemului poate fi determinat inversand transformata

Fourier a produsului dintre spectrul semnalului de intrare si

raspunsul in frecventa al sistemului.

( ) ( ) ( ) ( ) HXthtx ↔*

60

31

Transformata Fourier a raspunsului la impulsul unitar h(t),

este raspunsul sistemului in frecventa H(ω).

Cunoscand H(ω) se poate afla iesirea pentru orice intrare.

i)Se determina X(ω)=F{x(t)},

ii)Se determina Y(ω)=X(ω)H(ω), unde H(ω)=F{h(t)},

iii) Se calculeaza y(t)=F-1{Y(ω)}.

Se descompune Y(ω) intr-o suma de fractii simple. 61

Raspunsul in frecventa al SLIT

Raspunsul SLIT la semnale periodice

0 0

0, .jk t jk t

k k

k k

x t c e y t c H k e

0 0 0cos argH t H

Metoda armonica

62

32

63

Calculul raspunsului unui sistem liniar si invariant in timp

caracterizat printr-o ecuatie diferentiala liniara si cu

coeficienti constanti

0 0

, 0

k kN N

Nk kk kk k

d y t d x ta b a

dt dt

0

0

, 0

Nk

kk

NNk

kk

b jY

H aX

a j

i) Functia raspuns in frecventa este, pentru circuitele electrice cu

constante concentrate, de tip fractie rationala de variabila jω

ii) Coeficientii puterilor variabilei jω din raspunsul in frecventa sunt

aceeasi cu coeficientii ce intervin in structura ecuatiei diferentiale ce

descrie sistemul (circuitul)

64

0

0 0 0

0

0

0

, 0, 0

t

dy ty t k x t k

dt

kH

j

h t k e t

Exemple i) SLIT cauzal, descris de ecuatia diferentiala de ordin unu

33

65

2

2

2

2 4

6 8 3

3 3

2 46 8

0.5 0.5

2 4

0.5 t t

d y t dy t dx ty t x t

dt dtdt

j jH

j jj j

Hj j

h t e e t

ii) SLIT cauzal, descris de ecuatia diferentiala de ordinul doi

66

1 2

2

2

21 2

2 2 2

2 1 1 1 1

2 22 2

1 1

2 2

1 1

2 2

1

2 2

cos sin

a t a t

jt jtt t

jt jt jt jtt t

t

d y t dy t dx ty t x t

dt dtdt

j j jH

j a j aj j

j jh t e e t

j je e e e t

je e e e e e t

e t t t

h

2 cos4

tt e t t

iii) tot un SLIT cauzal, descries printr-o ecuarie diferentiala de ordin doi

34

67

2 4

3

2 4

1/ 1

3

1 2 4

2 1 1 1 1 1

3 1 2 2 6 4

2 1 1

3 2 6

t

t t t

jH

j j

x t e t X j

jY H X

j j j

Yj j j

y t e e e t

tx t e t

Se cauta raspunsul y(t) al sistemului din exemplul ii), la o

exponentiala cauzala

Sistemul (si semnalul de intrare) este cauzal deci si raspunsul

sau este cauzal

68

1 2

2

2

2 2

1,21 2

2

2 2

2 2 / 2

2 2 2

22 2 2 2

; 1

2

2 sin

t

a t a t jtt t t

jt jtt t

jH

j j

x t e t X j

jY

jj j j j

j jY a j

j a j a

y t je je t je je je e t

je e e t e t t

Se cauta raspunsul y(t) al sistemului din exemplul iii), la o

exponentiala cauzala 22 tx t e t

35

69

Reprezentarea caracteristicilor de frecventa

10: 20 20000 log lg , 0f Hz Hz

Reprezentarea frecventei in coordonate logaritmice

Reprezentarea modulului raspunsului in frecventa in coordonate

logaritmice, (nu se exclude utilizarea coordonatelor liniare.)

intre frecventele ω1 si 10ω1 avem o „decada”,

intre frecventele ω1 si 2ω1 avem o „octava”.

70

6 7

2

2

2 500 / 500 2 5000 / 5000 : o decada

2 10 / 2 10 / : o decada

lg10..........1 50 ... lungimea pentru o decada

lg 2............ ... lungimea pentru o octava

1 lg 2 50 0.3

rad s Hz rad s Hz

rad s rad s

mm

x mm

x m

15m mm

10 0

0 0

20log 20lg ;nivelul de referinta dB H H

A HH H

O crestere cu 20dB inseamna ca |H(ω)|=10H0.

O scadere cu 20dB,A=-20, inseamna ca |H(ω)|=0.1 H0.

O crestere cu 40dB inseamna |H(ω)|=102H0.

O scadere cu 40dB, inseamna |H(ω)|=10-2H0.

Pentru frecventa (axa orizontala)

Pentru nivel (axa verticala)

36

71

Crestere cu 3dB =multiplicarea valorii de referinta cu √2 ,

Scadere cu 3dB = multiplicarea valorii de referinta cu 1/ √2

(0.707) .

Cresterea (scadere) cu 6dB= dublarea (injumatatirea) valorii de

referinta

dB 0 1 2 3 4 6 8 10 12 14 16 18 20

|H| 1 1.122 1.253 2 1.585 2 2.512 3.162 3.981 5.012 6.31 7.943 10

dB 0 -1 -2 -3 -4 -6 -8 -10 -12 -14 -16 -18 -20

|H| 1 0.891 0.794 1/2 0.631 0.5 0.398 0.316 0.251 0.2 0.158 0.126 0.1

Sisteme de ordinul intai

0 000 txKty

dt

tdy

0

0

K

Hj

0

0

2 200

; .K K

H arctg

Caracteristica de modul este o functie para.

Caracteristica de faza este o functie impara.

; 0

dy ty t kx t

dt

In automatizari forma tipica este:

72

37

73

2

0 0

2

0 00

, / 1 20lg 20lg

ecuatia unei paralele la axa frecventei, asimptota la stanga

10 , / 1 20lg 20lg 20lg

ecuatia unei drepte, asimptota la frecvente mari (la dreapta)

-20dB/decada -6dB/o

H k

H k

ctava

Caracteristici de frecventa, K=1, ω0=1

Reprezentarea curbei prin asimptote

74

38

75

Hodograful folosit pentru studiul stabilitatii

, H

Sisteme de ordinul doi

,2 20

2002

2

txKtydt

tdy

dt

tyd

2

0

2 2

0 0

.2

KH

j

1 si 2/1 0

76

39

77 Caracteristici de faza

78 Caracteristici de faza detaliu

40

79

Sistem trece sus

0 0

0

1

; 0

dy t dx ty t

dt RC dt

dy t dx ty t k

dt dt

k jH

j

Functia de corelatie pentru un semnal de

energie infinita, dar putere medie finita

0

0

0

12

000

1

2

Produsul se construieste ca si in cazul convolutiei,

cu exceptia reflectarii unui termen.

Daca , perioada T

2

F

T

xT

T

Njk

x k

k

R lim x* t x t dt ,T

x* t x t

R c e ,T

semnalul este periodic

0

00

unctia este periodica de perioada

1

x

T

x x

T

R T

R R T x* t x t dt ,T

80

41

81

2

2

2 20 0

1

0

Teorema Wiener-Hincin: are coeficientii seriei

Fourier exponentiale

unde

0 2

P - puterea medie pe o perioada a semnalului x(t)

Se defin

x

k

x k k

x x k x

k

x x

R

c

R c x t c

R R nT P c c ; R k P

T

R R

2

0

este ca

transformata Fourier a functiei de corelatie:

2x x k

n

R S c k

densitatea spectrala de putere a semnalului

82

1

2

Daca ,

functia de corelatie este conjugat simetrica(simetrie Hermitica)

Pentru semnalul trunchiat

T

xT

T

*x x

T T T

R lim x* t x t dt ,T

R R

x t p t x t X

semnalul este neperiodic dar de putere finita, P

2

se defineste densitatea spectrala de putere:

2

teorema Wiener-Hincin

Tx

T

x x

XS lim

T

R S

42

83

Teorema Wiener-Hincin: Functia de corelatie si densitatea

spectrala de putere a unui semnal, formeaza o pereche de

transformate Fourier.

, cu 0,

1

2

10

2

Valoarea functiei de corelatie in origine reprezinta

chiar puterea medie a semnalului

0

x x x x x

jx x

x x

x x

R S S S S

R S e d

R S d P

R R

84

0

0

0

1 1lim lim

2 2 2

1 1lim , 0

2 2

1 1 1lim lim lim , 0

2 2 2 2 2

Se observa ca functia de corelatie este para

1/ 2

T

T T

T

x T

T

x T T T

x t t

TP dt

T T

R dtT

TR dt

T T T

Semnalul treapta unitara

43

85

2 2

2 2

Semnalul trunchiat:

1 1

1

sin sin2 2 2

2

sin sin1 2 2lim lim

2 2

2 2

j TT

j T

T

T Tj j

x T T

x t t t T ej j

eX

j

T T

e e

T TT

ST

Functia de intercorelatie pentru semnale

de putere finita

0

0

0

0

2

0

2

1

2

In cazul a doua semnale periodice, de perioada functia

de intercorelatie este si ea periodica de aceeasi perioada:

1

yx

T

xyT

T

T

xy xyT

xy

R lim x t y t dtT

T ,

R R T x t y t dtT

R R

86

44

87

20 0

Coeficient de intercorelatie al semnalelor: 10 0

Semnale ortogonale sau necorelate: 0

Functie de intercovarianta

1

2

xy x y x y

xyxy xy

x y

xy

xy x yT

T

R P P R R

R;

R R

R ,

K lim x t m y t m dtT

0

0

2

0

2

1Media temporala

2

Media unui semnal periodic este tocmai componenta sa continua

1

T

T

xT

T

T

xT

T

m lim x t dtT

m lim x t dtT

88

Trecerea semnalelor de putere medie finita

prin SLIT (periodice)

2

y xS H S

Densitatile spectrale de putere ale semnalelor de intrare si iesire

sunt legate printr-o relatie extrem de simpla.

Pentru un semnal periodic avem:

Coeficientii seriei semnalulului de iesire sunt dati de:

Rezulta:

22

0 02y kk

S c H k k

0yk k

c c H k

2

02x kk

S c k

45

Functii de corelatie pentru semnale de

energie finita

2 2

functia de intercorelatie

functia de (auto)corelatie

Valoarea corelatiei in origine este energia semnalului

10

2

xy

x

x

R x t y t dt x y x y

R x t x t dt x x x x

R x t dt X d

89

Functii de corelatie pentru semnale de

energie finita

Semnale reale:

xy yx x x

xy yx x x

R R ; R R

R R ; R R

90

Functia de (auto)corelatie este simetrica, dar nu si

functia de intercorelatie

46

91

Trecerea semnalelor de energie finita prin

SLIT

2

y xS H S

2

2

x x

y y

y xh

R S X

R S Y

R R R

Densitati spectrale de energie