5 matematika 3 bid datar & garis lurus sipil

Matematika 3

Vektor

Matriks dan Determinan

Matriks Invers

Sistem Persamaan Linier

1

Sistem Persamaan Linier

Transformasi Linier

Bidang Datar dan Garis Lurus

Dr. D. L. Crispina Pardede, Dra., DEA.

ReferensiReferensi

[1]. Yusuf Yahya, D. Suryadi. H.S., Agus S., Matematika untuk Perguruan Tinggi, Ghalia-Indonesia, Jakarta, 1995.

[2]. Suryadi H.S., Pengantar Aljabar Linier dan [2]. Suryadi H.S., Pengantar Aljabar Linier dan Geometri Analitik, Penerbit Gunadarma, Jakarta, 1991.

[3]. Seymour Lipschutz, Theory and problems of Linear Algebra, McGraw-Hill, 1968.

D. L. Crispina Pardede (Juli 2012)2

Dot product dari vektor a=[a1,a2,a3] dan b=[b1,b2,b3] adalah a.b = a1b1 + a2b2 + a3b3atau a.b = |a|. |b| cos θ , dimana θ sudut antara a dan b.Sudut antara dua vektor a dan b:

b.a

b.acos =θ

Syarat agar vektor a tegak lurus vektor b adalaha.b =0.

Jarak antara 2 titik P(x1,y1,z1) dan Q(x2,y2,z2) adalah


b.a

2

12

2

12

2

12)zz()yy()xx()OQ,OP(dPQ −+−+−==

Sudut arah dari vektor v = [v1,v2,v3] adalah α, β, γyang merupakan sudut antara v dengan i, j, k.

Cosinus-cosinus arah dari v adalah Cos α, Cos β, Cos γ.

karena i = [1,0,0] dan | i | = 1vi.v

Cos 1==α karena i = [1,0,0] dan | i | = 1

karena j = [0,1,0] dan | j | = 1

karena k = [0,0,1] dan | k | = 1


v

v

i.v

i.vCos 1==α

v

v

j.v

j.vCos 2==β

v

v

k.v

k.vCos 3==γ

Cos2 α + Cos2 β + Cos2 γ =

1v

v

v

v

v

v

v

v

2

2

2

2

3

2

2

2

2

2

1 ==++=

Maka vektor [Cos α, Cos β, Cos γ] adalah vektor satuan searah v.


… … Contoh Contoh

Carilah cosinus-cosinus arah dari a = [2, -2 , 1] dan cosinus-cosinus arah dari garis yang melalui titik P(2, 1, 3) dan Q(2, 2, 3).

Jawab: |a| = 3

Cosinus-cosinus arah dari a adalah

− 11

Vektor PQ = [2-2, 2-1, 3-3] = [0, 1, 0]

Cosinus-cosinus arah dari PQ adalah

Cos α = 0, Cos β= 1/1=1, Cos γ= 0.

6 D. L. Crispina Pardede (Juli 2012)

3

2

a

2Cos ==α

3

2

a

2Cos −=

−=β

3

1

a

1Cos ==γ

KOORDINAT TITIK PADA GARISKOORDINAT TITIK PADA GARIS

Misalkan P(x1,y1,z1) dan Q(x2,y2,z2) dua buah titik

pada garis lurus.

P(x1,y1,z1)

R(xR,yR,zR)

Misalkan R(xR,yR,zR) membagi garis PQ dengan

perbandingan |PR|= |PQ|= λ.


Q(x2,y2,z2)R(xR,yR,zR)


P(x1,y1,z1)

Q(x2,y2,z2)R(xR,yR,zR)

|PR|: |PQ|= λ � |PR|= λ |PQ|

PQ = [ x2 - x1 , y2 - y1 , z2 - z1]

PR = λ[ x2 - x1 , y2 - y1 , z2 - z1]



P(x1,y1,z1)

R(xR,yR,zR)

Q(x2,y2,z2)

P

Q

R

0

X

Z

OR = OP + PR

= [x1 , y1 , z1] + λ[ x2 - x1 , y2 - y1 , z2 - z1]

[xR , yR , zR] = [x1+λ(x2 - x1) , y1+λ(y2 - y1) , z1+λ(z2 - z1)]

xR = x1+λ(x2 - x1)yR = y1+λ(y2 - y1)zR = z1+λ(z2 - z1)


Y

Koordinat Titik Pada GarisKoordinat Titik Pada Garis … … ContohContoh

Carilah koordinat titik R pada garis PQ bila PR=2RQ, dan bila titik P(1,2,0) , Q(3,1,2).

Jawab:

PR=2RQ � PR : PQ = 2 : 3 � PR = 2/3 PQ.OR = OP + PR = [x , y , z ] + 2/3 [ x - x , y - y , z - z ]

P(x1,y1,z1) Q(x2,y2,z2)R(xR,yR,zR)


OR = OP + PR = [x1 , y1 , z1] + 2/3 [ x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1]

[xR , yR , zR] = [x1+2/3(x2 - x1) , y1+2/3 (y2 - y1) , z1+2/3 (z2 - z1)]

[xR , yR , zR] = [1+2/3(3 - 1) , 2+2/3 (1 - 2) , 0+2/3 (2 - 0)]

[xR , yR , zR] = [1 + 4/3 , 2 + (-2/3) , 4/3 ]

[xR , yR , zR] = [ 7/3 , 4/3 , 4/3 ]

Jadi titik R( 7/3 , 4/3 , 4/3 ).

Koordinat Titik Pada GarisKoordinat Titik Pada Garis … … LatihanLatihan

1. Hitung jarak dari titik O ke titik P, bila diketahui:

a. P(2, 3, 4) b. P(-1, 2, 1)

2. Hitung jarak antara P dan Q bila:

a. P(5, 7, 9); Q(11, 13, 9)

b. P(1, 1, 1); Q(2, 3, 4)


b. P(1, 1, 1); Q(2, 3, 4)

3. Tentukan titik tengah PQ pada soal no. 2.

4. Diketahui titik-titik P(1, 1, 1) dan Q(2, 3, 4). Titik R(3, a, b) terletak pada garis PQ. Tentukan nilai a dan b.

PRODUK VEKTORPRODUK VEKTOR

Produk Vektor (Cross Product) adalah perkalian vektor dengan vektor dan menghasilkan vektor.

Hasil produk vektor a=[a1, a2, a3] dan b=[b1, b2, b3] dapat dicari menggunakan determinan


dapat dicari menggunakan determinan

321

321

bbb

aaa

kji

b x a =

Produk VektorProduk Vektor … … ContohContoh

Jika diketahui a = [1, 1, 3] dan b = [2, 0, 3], maka

302311

kji

b x a =


0211

k3231

j3031

i +−=

-2)( k-3)( j3 i +−=

k 2 j 3 i 3b x a −+=

PRODUK VEKTORPRODUK VEKTOR

Sifat Produk Vektor (Cross Product)

321aaa

kji

b x a =321

bbb

kji

a x b =


a x b = - b x a.

321

321

bbb

aaab x a =

321

321

aaa

bbba x b =

Produk VektorProduk Vektor … … LatihanLatihan

1. Hitung u x v, bila diketahui:

a. u = [1, -1, 0] v = [-2, -2, 1]

b. u = [3, 3, 3] v = [2, 0, 2]

2. Buktikan bila


2. Buktikan bila

a = [a1, a2, a3] , b = [b1, b2, b3] , c = [c1, c2, c3]

maka

321

321

321

ccc

bbb

aaa

)cxb.(a =

PERSAMAAN UMUM BIDANG DATARPERSAMAAN UMUM BIDANG DATAR

Sebuah bidang disebut BIDANG DATAR jika dan hanya jika setiap dua titik pada bidang dihubungkan oleh garis yang semuanya terletak pada bidang tersebut.

Sebuah persamaan derajat 1 menyajikan suatu garis


Sebuah persamaan derajat 1 menyajikan suatu garis lurus.

Persamaan Umum Bidang Datar

Ax + By + Cz + D = 0

dimana A, B, C sembarang bilangan riil

VEKTOR NORMAL DARI BIDANG DATARVEKTOR NORMAL DARI BIDANG DATAR

�Vektor n = [A, B, C] adalah vektor

normal dari bidang Ax + By + Cz + D =

0 dan tegak lurus bidang tersebut.

� Sudut arah dari V sama dengan sudut

arah dari n.


arah dari n.

�Cosinus arah dari V adalah cosinus arah

dari n.

�Bilangan-bilangan arah dari V adalah

komponen-komponen dari vektor n, yaitu

A, B, C.

VEKTOR NORMAL DARI BIDANG DATARVEKTOR NORMAL DARI BIDANG DATAR

nY


Z

X0

Vektor NormalVektor Normal … … ContohContoh

Sebuah bidang rata diberikan sebagai

persamaan 2x – 3y + z + 1 = 0.

1. Bilangan arah dari bidang tersebut

adalah:

2. ……………..

3. Normal dari bidang tersebut adalah

4. ……………..


�n

Y

X0p

T

Misalkan p adalah jarak dari titik O(0,0,0) ke bidang V,

α, β, γ sudut-sudut arah dari n.

Ambil n = [ Cos α, Cos β, Cos γ ] yang panjangnya 1 sebagai vektor normal dari V.


Z

SUDUT ANTARA DUA BIDANG RATASUDUT ANTARA DUA BIDANG RATA

Sudut antara dua bidang rata adalah sudut antara vektor-vektor normalnya.Misalkan V1 dan V2 adalah dua bidang rata,n1, n2 adalah vektor-vektor normal dari V1 dan V2.

V1 = A1x + B1y + C1z + D1

V = A x + B y + C z + D


1 1 1 1 1

V2 = A2x + B2y + C2z + D2

n1 = [A1 , B1 , C1] dan n2 = [A2 , B2 , C2]

Sudut antara n1 dan n2 adalah θ dimana

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

212121

21

21

CBACBA

C.CB.BA.A

nn

n.ncos

++++

++==θ

Sudut Antara Dua Bidang Rata … Contoh

Diketahui bidang rata V dan WV : x + y + z + 3 = 0W: 2x + y + 2z + 11 = 0

Vektor normal V adalah [1, 1, 1]Vektor normal W adalah [2, 1, 2]

Sudut antara V dan W adalah θ dimana


Sudut antara V dan W adalah θ dimana

θ = arc cos

33

5

93

5

212111

2.11.12.1cos

222222==

++++

++=θ

33

5

SUDUT ANTARA DUA BIDANG RATASUDUT ANTARA DUA BIDANG RATA

Bila bidang V1 dan V2 sejajar,V1 = A1x + B1y + C1z + D1

V2 = A2x + B2y + C2z + D2

Berarti vektor normal n1 = [A1 , B1 , C1] sama dengan n2 = [A2 , B2 , C2], atau keduanya berkelipatan.


2 2 2 2

berkelipatan.Jadi, bidang V1 // V2 bila

atau bila A1 = A2 , B1 = B2 , C1 = C2Bila A1 = A2, B1 = B2 , C1 = C2 dan D1 = D2

maka kedua bidang berhimpit.

2

1

2

1

2

1

C

C

B

B

A

A==

Sudut Antara Dua Bidang Rata … Contoh

Carilah bidang V2 yang sejajar bidang V1.

V1 : x + 2y + 2z + 9 = 0dan melalui titik (2, 0, 0)Jawab:Karena V2 sejajar V1 maka mempunyai V2 bentuk

x + 2y + 2z + D = 0


2 1 2

x + 2y + 2z + D2 = 0Karena melalui titik (2, 0, 0), maka dipenuhi

2 + 2.0 + 2.0 + D2 = 0

2 + D2 = 0 � D2 = (-2)Dengan demikian bidang V2 adalah

x + 2y + 2z - 2 = 0

JARAK TITIK DENGAN BIDANG RATAJARAK TITIK DENGAN BIDANG RATA

Bila sebuah bidang diberikan sebagai

V = Ax + By + Cz + D = 0,

maka jarak titik R(x1, y1, z1) ke bidang V


maka jarak titik R(x1, y1, z1) ke bidang V adalah

222

111

CBA

DCzByAxd

++

+++=

Jarak Titik Dengan Bidang RataJarak Titik Dengan Bidang Rata … … Contoh

1. Hitung jarak antara bidang

V: 6x – 3y + 2z – 13 = 0

dengan titik R (7, 3, 4).

Jawab:111

DCzByAxd

+++=


222CBA

d++

=

2222)3(6

)13(4.23).3(7.6d

+−+

−++−+=

47

28

4936

138942==

++

−+−=


2. Hitung jarak antara bidang V dan bidang W

V: x + y + z = 2

W: x + y + z = 5

Jawab:

Ambil sebuah titik pada W, misalnya titik R(0, 0, 5).


Ambil sebuah titik pada W, misalnya titik R(0, 0, 5). Hitung jarak dari R ke bidang V.

33

3

111

)2(5.10.10.1d

222==

++

−+++=


3. Hitung jarak dari titik (0, 0, 0) ke bidang

V : 3x + 2y - z = 2

dan jarak dari titik (1, 1, 2) ke bidang tersebut.

Jawab:


PERSAMAAN BIDANG MELALUI PERSAMAAN BIDANG MELALUI

SEBUAH TITIKSEBUAH TITIK

Misalkan V : Ax + By + Cz + D = 0, …(0)

Melalui sebuah titik R(x1, y1, z1)

Maka terpenuhi

Ax1 + By1 + Cz1 + D = 0 …(1)


Ax1 + By1 + Cz1 + D = 0 …(1)

D = - Ax1 - By1 - Cz1 …(2)

Substitusi (2) ke dalam (0) memberikan

Ax + By + Cz - Ax1 - By1 - Cz1 = 0

A(x - x1)+ B(y - y1)+ C(z - z1) = 0 …(3)

(3) Adalah bentuk persamaan bidang melalui sebuah titik.

Persamaan Bidang Melalui Sebuah Titik … Contoh

Cari persamaan bidang melalui titik (1, 1, 1) dan sejajar bidang V : x + y + 2z = 3,

Jawab:

Bentuk umum persamaan bidang

A(x - 1)+ B(y - 1)+ C(z - 1) = 0


A(x - 1)+ B(y - 1)+ C(z - 1) = 0

Karena sejajar bidang V : x + y + 2z = 3, berarti

A = 1, B = 1, C = 2.

Jadi bidang yg dicari: (x - 1)+ (y - 1)+2 (z - 1) = 0

Atau ditulis x + y +2 z - 4 = 0

5 matematika 3 bid datar & garis lurus sipil

Documents