5 interaction ของ spin

Quantum Mechanics ระดบบณฑตศกษา 5 Interaction ของ Spin 5-1

Dr. Teepanis Chachiyo ภาควชาฟสกส มหาวทยาลยขอนแกน [email protected] Draft Oct 2009

5Interaction ของ Spin เนอหา 5.1 Hyperfine Splitting

5.2 Two Spin - 12

particles

5.3 EPR Paradox 5.4 การรวมกนของ Angular Momentum 5.5 บทสรป 5.6 ปญหาทายบท

5.1 Hyperfine Splitting

ในเนอหาของ quantum mechanics เบองตน เราคนเคยเปนอยางดกบการศกษาระบบของ hydrogen atom ซงอเลกตรอนมอนตรกรยากบโปรตอน ซงกคอ Coulomb interaction ทงน เนองจากทงสองอนภาคมประจไฟฟา โดยทโปรตอนมประจบวกในขณะทอเลกตรอนมประจลบ

N

S

proton

หมอก electron

Hydrogen อะตอมHydrogen อะตอม แบบจาลองอนตรกรยาเชง spinระหวาง proton - electron

แบบจาลองอนตรกรยาเชง spinระหวาง proton - electron

N

S

1 222 ˆ ˆˆ AH S S= ⋅

N

S

N

S

proton


Hydrogen อะตอมHydrogen อะตอม แบบจาลองอนตรกรยาเชง spinระหวาง proton - electron

แบบจาลองอนตรกรยาเชง spinระหวาง proton - electron

N

S

N

S

1 222 ˆ ˆˆ AH S S= ⋅

ภาพ 5.1 แสดง spin-spin interaction ระหวางอนภาคอเลกตรอนและโปรตอนทอยใกลเคยงกนภายในอะตอมของ hydrogen นอกจากน ยงม interaction อกประเภทหนงซงเกดจากคณสมบตเชง spin ของอนภาคทงสอง ทงน

เนองจากอเลกตรอนและโปรตอนตางกเปนอนภาคทม spin 12

s = และเมออยในบรเวณใกลเคยง



กนภายใน hydrogen อะตอม จงมอนตรกรยาระหวางกน เปรยบเสมอนกบแทงแมเหลกสองแทง ดงในภาพ 5.1 ซงในกรณดงกลาว เราสามารถเขยน Hamiltonian ของ interaction ไดวา

1 222 ˆ ˆˆ AH S S= ⋅ _________________________ สมการ (5.1)

สมการ (5.1) แสดงใหเหนวาพลงงานของระบบขนอยกบ 1 2

ˆ ˆS S⋅ ซงกคอมมระหวาง spin ของอนภาคทงสอง ในภาพ 5.2 (ขวา) เราใชทศทางของแมเหลกสองแทงเพอเปรยบเทยบใหเหนภาพพจนของ interaction ดงกลาว นอกจากน interaction energy ยงจะตองขนอยกบปจจยอนๆอาทเชน ระยะหางระหวางอนภาคทงสอง และ magnetic moment ของอนภาคคกรณ เปนตน แตเนองจากปจจยอนๆเหลาน มความซบซอนเกนกวาขอบเขตของเนอหาในปจจบน เราจงทาไดดทสดโดยการแทนดวยคาคงท A และการหารดวย 2 ในสมการ (5.1) กเพอทจะบงคบให A มหนวยเปนพลงงานนนเอง basis state ของระบบ spin ทม 2 อนภาค การทจะคานวณหาพลงงานของระบบ สามารถทาไดโดยเปลยน Hamiltonian operator ดงในสมการ (5.1) ใหอยในรปของ matrix จากนนจงทาการแก eigen equation เพอทจะหาคาของ eigen energy และ eigenstate ในลาดบตอไป แตการทจะสราง Hamiltonian matrix นน เราจาเปนจะตองกาหนด basis state ซงกคอสถานะ

พนฐานทงหมดทมโอกาสจะเกดขน ในเมอเรากาหนดใหอนภาคทงสองม spin 12

s = จงมโอกาส

ทจะเกดขนไดทงหมด 4 กรณดวยกนคอ

, , , , , , ,Z Z Z Z Z Z Z Z+ + + − − + − − __________________ สมการ (5.2) สมการขางตนแสดงใหเหนวาเราเลอกทจะวด spin ของทงสองอนภาคตามแนวแกน z ซงสญลกษณ

,Z Z+ − ในทนหมายถง spin ของอนภาคทหนงอยในสถานะ Z+ และ อนภาคทสองอยในสถานะ Z− ตามลาดบ อยางไรกตาม ดงทไดเหนในการทดลองของ Stern-Gerlach ทวาเราสามารถเลอกทจะวด spin ของอนภาคในทศใดกได เพราะฉะนน basis state ดงในสมการ (5.2) มไดเปนเซตทตายตว ยกตวอยางเชน เราอาจจะเลอกใชเซตของ



, , , , , , ,Z X Z X Z X Z X+ + + − − + − −

ซงโดยหลกการแลวมไดผดพลาดแตอยางใด แตในทางปฏบตจะนาไปสความยงเหยงทางคณตศาสตร

ทไมจาเปน เพราะฉะนนในเนอหาของบทท 5 เมอกลาวถงอนภาคทม spin 12

s = อย 2 อนภาค

ดวยกน เราจะใช basis state ดงในสมการ (5.2) แตจะใชสญลกษณดงตอไปนแทน เพอความกระชบ

, , ,↑↑ ↑↓ ↓↑ ↓↓ __________________ สมการ (5.3)

เมอทราบ basis state และความหมายของมนดงในสมการ (5.3) ทาใหเราทราบผลของ operator ตางๆทกระทากบ basis state เหลาน

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1

ˆ ˆ ˆ ˆ2 2 2 2

ˆ ˆ ˆ ˆ0 0

ˆ ˆ ˆ ˆ0 0

3 3 3 3ˆ ˆ ˆ ˆ4 4 4 4

z z z zS S S S

S S S S

S S S S

S S S S

+ + + +

− − − −

↑↑ = + ↑↑ ↑↓ = + ↑↓ ↓↑ = − ↓↑ ↓↓ = − ↓↓

↑↑ = ↑↓ = ↓↑ = ↑↑ ↓↓ = ↑↓

↑↑ = ↓↑ ↑↓ = ↓↓ ↓↑ = ↓↓ =

↑↑ = ↑↑ ↑↓ = ↑↓ ↓↑ = ↓↑ ↓↓ = ↓↓

_______________________ สมการ (5.4) ดงแสดงในตารางขางตน การใชสญลกษณ 1zS นนหมายถงวา operator ดงกลาวกระทากบเฉพาะสถานะของอนภาคทหนงเทานน โดยทนกศกษาสามารถทบทวนคณตศาสตรทเกยวของกบ

operator 1zS , 1S + , 1S − , และ 21S ไดจากบทท 3 ในเรอง Angular Momentum

และในทานองเดยวกนกบ operator ทกระทากบเฉพาะอนภาคทสอง จะไดวา

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2

ˆ ˆ ˆ ˆ2 2 2 2

ˆ ˆ ˆ ˆ0 0

ˆ ˆ ˆ ˆ0 0

3 3 3 3ˆ ˆ ˆ ˆ4 4 4 4

z z z zS S S S

S S S S

S S S S

S S S S

+ + + +

− − − −

↑↑ = + ↑↑ ↑↓ = − ↑↓ ↓↑ = + ↓↑ ↓↓ = − ↓↓

↑↑ = ↑↓ = ↑↑ ↓↑ = ↓↓ = ↓↑

↑↑ = ↑↓ ↑↓ = ↓↑ = ↓↓ ↓↓ =

↑↑ = ↑↑ ↑↓ = ↑↓ ↓↑ = ↓↑ ↓↓ = ↓↓

_______________________ สมการ (5.5)



ผลของ operator 1 2ˆ ˆS S⋅ ทกระทากบ basis state อยางไรกตาม Hamiltonian operator ดงในสมการ (5.1) นน อยในรปของ 1 2ˆ ˆS S⋅ ซงเปน operator ทเรายงไมเคยไดวเคราะห ดงนนในขนตนน เราจาเปนตองเปลยนรปของ operator 1 2ˆ ˆS S⋅ ใหอยในรปของ 1zS , 1S + , 1S − และ 2ˆ zS ,

2S + , 2S − เสยกอน ในทานองเดยวกนกบ vector เราสามารถเขยน

( ) ( )1 2 1 1 1 2 2 2

1 2 1 2 1 2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 2 2

x y z x y z

x x y y z z

S S S S S S S S

S S S S S S

⋅ = + + ⋅ + +

= + +

i j k i j k ____________ สมการ (5.6)

นอกจากน เราทราบวา raising และ lowering operator S± มความสมพนธกบ ˆxS และ ˆyS อยในรป

ˆ ˆ ˆx yS S iS± = ± ____________ สมการ (5.7)

และในทางกลบกน ถาจดรปสมการ (5.7) เสยใหม จะไดวา

1 1 1 11 1

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ2 2x y

S S S SS Si

+ − + −+ −= = และ 2 2 2 2

2 2ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ

2 2x yS S S SS S

i+ − + −+ −

= =

____________ สมการ (5.8) เมอแทน operator ดงในสมการ (5.8) เขาในในสมการ (5.6) จะทาให

1 2 1 2 1 2 1 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 2 z zS S S S S S S S+ − − +⋅ = + + ____________ สมการ (5.9) จะสงเกตเหนวา ทง 3 เทอมในทางขวามอของสมการ (5.9) ลวนอยในรปของ operator ทมคณสมบตดงทไดสรปในสมการ (5.4) และ สมการ (5.5) ทาใหเราอยในฐานะทจะคานวณ matrix element ของ Hamiltonian ไดโดยงาย แบบฝกหด 5.1 จงพสจนสมการ (5.9) โดยเรมจากสมการ (5.6) และ (5.8) eigen energy และ eigenstate จากสมการ (5.9) เราสามารถเขยน Hamiltonian operator ไดวา



( )1 2 1 2 1 22ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ 2 z z

AH S S S S S S+ − − += + + ____________ สมการ (5.10)

เพราะฉะนน เราสามารถทจะคานวณ matrix element ของ Hamiltonian โดยใช basis set

, , ,↑↑ ↑↓ ↓↑ ↓↓ ซงจะยกตวอยางใน 2 กรณ

1) ( )1 2 1 2 1 22ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ 2 z z

AH S S S S S S+ − − +↑↑ ↑↑ = ↑↑ + + ↑↑

และเมออาศยสมบตการกระจาย จะทาให

1 2 1 2 1 22 2 22ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ z z

A A AH S S S S S S+ − − +↑↑ ↑↑ = ↑↑ ↑↑ + ↑↑ ↑↑ + ↑↑ ↑↑

จากนน นาสมการ (5.4) และ (5.5) มาเปนตวชวยลดรปเทอมทง 3 ทปรากฏทางในขวามอของสมการขางตน

1 22ˆ ˆˆ AH S S+ −↑↑ ↑↑ = ↑↑ ↑↓ 1 22

ˆ ˆA S S− ++ ↑↑ ↑↑ 1 22

2

2 ˆ ˆ

22 2

ˆ2

z zA S S

A

AH

+ ↑↑ ↑↑

= ↑↑ ↑↑

↑↑ ↑↑ =

และในกรณของตวอยางทสอง

2) ( )1 2 1 2 1 22ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ 2 z z

AH S S S S S S+ − − +↑↑ ↑↓ = ↑↑ + + ↑↓

ซงเมอเรากระจายเทอมขางตน และใชคณสมบตดงในสมการ (5.4) และ (5.5) เขาชวย จะไดวา



1 22ˆ ˆˆ AH S S+ −↑↑ ↑↓ = ↑↑ ↑↓ 1 2 1 22 2

22

ˆ ˆ ˆ ˆ2 z zA AS S S S

A

− ++ ↑↑ ↑↓ + ↑↑ ↑↓

= ↑↑ ↓↑ 2 2 2 2A ⎛ ⎞⎛ ⎞+ + − ↑↑ ↑↓⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠ˆ 0H↑↑ ↑↓ =

แบบฝกหด 5.2 จงคานวณ matrix element ใหครบทง 16 เทอม matrix ทได มสมบตเปน Hermitian matrix หรอไม ? และเมอคานวณครบทง 16 กรณจะไดวา Hamiltonian matrix คอ

, , , basis

2 0 0 00 2 0ˆ0 2 00 0 0 2

AA A

HA A

A↑↑ ↑↓ ↓↑ ↓↓

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

_______ สมการ (5.11)

Hamiltonian matrix ดงสมการขางตนม eigenstate อย 4 state ดวยกน ในจานวนน มอย 3 สถานะท

ม eigen energy เทากนคอ 2A

+ และอกสถานะหนงม eigen energy เทากบ 32A

− ซงเขยนอยใน

รปของ eigenvector ไดวา

1000

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

,

011120

⎡ ⎤⎢ ⎥+⎢ ⎥⎢ ⎥+⎢ ⎥⎣ ⎦

,

0001

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

ลวนม eigenvalue เทากบ 2A

+

และ 011120

⎡ ⎤⎢ ⎥+⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

ม eigenvalue เทากบ 32A

−

เพราะฉะนน เราสรปไดวา hyperfine interaction ระหวาง spin ของอเลกตรอนและ spin ของโปรตอนนน ระบบจะม eigenstate หรอ สถานะทเสถยรอยทงสน 4 สถานะดวยกน โดยทแตละสถานะมการจดเรยงตวของ spin และม eigen energy ดงตอไปน



1 12 2

⎫↑↑⎪⎪

↑↓ + ↓↑ ⎬⎪⎪↓↓ ⎭

eigen energy คอ 2A

+ _______ สมการ (5.12)

1 12 2↑↓ − ↓↑ eigen energy คอ 3

2A

− _______ สมการ (5.13)

แบบฝกหด 5.3 สมมตวาเราตองการขยายขอบเขตของการวเคราะห hyperfine interaction ใหกวางขน ทจากเดมจากดอยแตเพยง spin angular momentum ใหครอบคลมไปถง angular momentum โดยทวไป (spin angular momentum + orbital angular momentum) ดงทไดกลาวในบทท 3 ทเราใชสญลกษณ jm เปนตวบงบอกถงสถานะของอนภาคใดๆ ถาเรากาหนดให

อนภาคโปรตอน ม basis state 1 11 1 1 1, , ,2 2 2 2

j m ⎧ ⎫∈ + −⎨ ⎬⎩ ⎭

อนภาคอเลกตรอน ม basis state 2 23 3 3 1 3 1 3 3, , , , , , ,2 2 2 2 2 2 2 2

j m ⎧ ⎫∈ + + − −⎨ ⎬⎩ ⎭

a) ในระบบทมทงโปรตอนและอเลกตรอน จะพบวา มจานวน basis state ทงสน 2x4 = 8 สถานะ จงเขยนสถานะทง 8 ดงกลาว ใหอยในรป 1 1 2 2;j m j m b) ในทานองเดยวกนกบสมการ (5.1) เราสามารถเขยน Hamiltonian ไดวา

( )1 2 1 2 1 22ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 z z

AH J J J J J J+ − − += + + จงสราง Hamiltonian matrix ขนาด 8x8 และหา eigen

energy ของระบบ สบเนองจาก eigen energy ของระบบดงในสมการ (5.13) และ สมการ (5.12) จะสงเกตวา hydrogen อะตอม ซงแตเดมถานาเอาเฉพาะ Coulomb interaction มาวเคราะห จะมพลงงาน ground state อยางหยาบๆ เทากบ 0 13.6eVE ≈ ดงในภาพ 5.2 เมอนาเอา hyperfine interaction เขามารวมพจารณาเพอใหไดระดบพลงงานทละเอยดถถวนมากขน พบวา แทจรงแลว ระดบพลงงานของ hydrogen อะตอมนน ขนอยกบลกษณะการเรยงตวของ spin ของอนภาคทงสองดวย ในแงของระดบพลงงานนน แยกออกเปน 2 ระดบดงภาพ



proton


Hydrogen อะตอมHydrogen อะตอม

0 13.6eVE ≅65.9 10 eV−×

21cmλ =

↑↑1 12 2↑↓ + ↓↑ ↓↓

1 12 2↑↓ − ↓↑

proton


Hydrogen อะตอมHydrogen อะตอม

0 13.6eVE ≅65.9 10 eV−×

21cmλ =

↑↑1 12 2↑↓ + ↓↑ ↓↓

1 12 2↑↓ − ↓↑

ภาพ 5.2 การเกดคลนแมเหลกไฟฟาทความยาวคลน 21cm เนองมาจาก hyperfine interaction ระหวาง spin ของอเลกตรอนและ spin ของโปรตอน ทงนจะพบวา เมอ hydrogen อะตอมมการเปลยนแปลงสถานะเกดขน กจะตองปลดปลอยคลนแมเหลกไฟฟาทมพลงงานเทากบ

3 22 2A Ah E Aν ⎛ ⎞= Δ = − =⎜ ⎟

⎝ ⎠

ในป 1944 Hendrik van de Hulst ไดทานายความถของคลนแมเหลกไฟฟาดงกลาวในทางทฤษฏวาอยในชวง 1420.4058 MHz หรอทความยาวคลนประมาณ 21cm ซงตอมาในป 1951 Ewen และ Purcell ไดพสจนดวยการทดลองวาคลนดงกลาวมอยจรง (Nature. 168:356) คลนวทยทความถดงกลาวนมความสาคญมากในทางดาราศาสตร เพราะวาเอกภพประกอบดวยกลมแกส hydrogen จานวนมหาศาล และในป 1951 Muller และ Oort (Nature. 168:357) ไดสรางแผนทของกาแลกซทางชางเผอกขนเปนครงแรกโดยอาศยการตรวจวดความเขมของสญญาณในชวง 21cm ซงไดคนพบเปนครงแรกวากาแลกซทางชางเผอกมโครงสรางทเปน spiral

5.2 Two Spin 12 Particles

ในการศกษา eigenstate ของ hyperfine interaction Hamiltonian นน เราพบวาสถานะทง 3 ในสมการ (5.12) มพลงงานทเทากน จงเปนทนาสงเกตวาสถานะทง 3 ดงกลาว ควรจะมคณสมบตบางประการทเหมอนกน



จรงอย ระบบทเรากาลงพจารณาโดยภาพรวมแลวนนประกอบดวย 2 อนภาค แต basis state ทเรานามาใช เปนคณสมบตทกลาวถงรายละเอยดเฉพาะตวของอนภาคนนๆ ยกตวอยางเชน ↑↓

เปนสถานะทอนภาคทหนงม spin up และอนภาคทสองม spin down ในทางตรงกนขาม เราอาจจะสนใจคณสมบตโดยรวมของทงระบบ อาทเชน total spin angular momentum ตามแนวแกน z หรอ total spin angular momentum ยกกาลงสอง และการทจะไดมาซงปรมาณทางฟสกสเหลาน กทาไดโดยการสราง operator ขนมา และ หา eigenvalue ของ operator นนๆ โดยเราสามารถนยาม

1 2ˆ ˆ ˆz z zS S S≡ + __________________ สมการ (5.14) และ

( ) ( )21 2 1 2

2 2 21 2 1 2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2

S S S S S S S

S S S S S

≡ ⋅ = + ⋅ +

= + + ⋅ _______________ สมการ (5.15)

ดวยอาศยรปแบบของ 2S operator ในสมการ (5.15) และอาศย basis state

, , ,↑↑ ↑↓ ↓↑ ↓↓ เราเขยน 2S ในรปของ matrix ไดวา

2 2, , , basis

2 0 0 00 1 1 0ˆ0 1 1 00 0 0 2

S↑↑ ↑↓ ↓↑ ↓↓

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

_______ สมการ (5.16)

ซง matrix ดงกลาวม eigenvector และ eigenvalue ดงตอไปน

1000

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

,

011120

⎡ ⎤⎢ ⎥+⎢ ⎥⎢ ⎥+⎢ ⎥⎣ ⎦

,

0001

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

ลวนม eigenvalue เทากบ 2 22 1(1 1)= +

และ 011120

⎡ ⎤⎢ ⎥+⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

ม eigenvalue เทากบ 2 20 0(0 1)= +



ซง eigenvector ของ 2S operator ขางตน เขยนใหอยในรปของ ket ไดวา

2 2

2 2

2 2

2 2

eigenvalueˆ 1(1 1)

1 1 ˆ 1(1 1)2 2

ˆ 1(1 1)

1 1 ˆ 0(0 1)2 2

d S d d

c S c c

b S b b

a S a a

= ↑↑ = +

= ↑↓ + ↓↑ = +

= ↓↓ = +

= ↑↓ − ↓↑ = +

____________ สมการ (5.17)

จากสมการขางตน เพอความสะดวก เราใชสญลกษณ , , ,a b c d แทน eigenstate ทง 4 ทมอย และจะสงเกตไดชดเจนวา เซตของ eigenstate ดงกลาวเปนเซตเดยวกนกบ eigenstate ของ hyperfine splitting Hamiltonian ในสมการ (5.13) และ (5.12) นอกจากน สมการ(5.14) และ (5.15) ยงแสดงใหเหนวา operator ทแสดงถงคณสมบตโดยรวมของระบบทงสองนน commute หรออกนยหนง

2ˆ ˆ, 0zS S⎡ ⎤ =⎣ ⎦ __________________ สมการ (5.18)

ทงนจะเหนไดจากการพจารณา 2ˆ ˆ,zS S⎡ ⎤⎣ ⎦ และกระจายเทอมออกเปนชนๆ จะไดวา

2 2 2

1 2 1 2 1 2

2 2 2 21 1 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , 2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , , , , 2

z z z

z z z z z z

S S S S S S S S

S S S S S S S S S S S S

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + + ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + + + + ⋅⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

จากแบบฝกหด 3.4 เราทราบวา 21 1ˆ ˆ, 0zS S⎡ ⎤ =⎣ ⎦ และ 2

2 1ˆ ˆ, 0zS S⎡ ⎤ =⎣ ⎦ เพราะ operator คกรณนน

มไดกระทากบอนภาคตวเดยวกน ทาใหสมการขางตนลดรปเหลอเพยง

21 2 1 2

1 2 1 2 1 2 1 2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , 2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 ,

z z z

z z x x y y z z

S S S S S S

S S S S S S S S

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + ⋅⎣ ⎦⎣ ⎦⎡ ⎤= + + +⎣ ⎦



และดวยอาศยคณสมบตเชง commutator ของ angular momentum operator ในสมการ (3.5) ทาให

เราสรปไดวา 2ˆ ˆ, 0zS S⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ซงกเปนจรงดงในสมการ (5.18)

แบบฝกหด 5.4 พสจนวา 1 2 1 2 1 2 1 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, 0z z x x y y z zS S S S S S S S⎡ ⎤+ + + =⎣ ⎦

เนองจาก 2ˆ ˆ, 0zS S⎡ ⎤ =⎣ ⎦ จะไดวา eigenstate ของ 2S ดงในสมการ (5.17) กยอมตองเปน eigenstate

ของ ˆzS ดวยเชนกน เพราะฉะนน เราสามารถทจะคานวณผลของ operator ˆzS ตอ eigenstate ดงกลาว ยกตวอยางเชน

( )1 2

1 1 2 2

1 1ˆ ˆ ˆ2 2

1 1 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ2 2 2 21 1 1 1

2 2 2 22 2 2 2

z z z

z z z z

S c S S

S S S S

⎛ ⎞= + ↑↓ + ↓↑⎜ ⎟⎝ ⎠

= ↑↓ + ↓↑ + ↑↓ + ↓↑

= ↑↓ − ↓↑ − ↑↓ + ↓↑

เนองจากในสมการขางตนนน เครองหมายของแตเทอมหกลางกนพอด จงทาให ˆ 0zS c = หรอ เขยนไดอกวา

ˆ 0zS c c= เมอเปนเชนน เราสามารถสรปผลของ operator ˆzS และ 2S ทมตอ eigenstate , , ,a b c d ดงน

2 2

2 2

2 2

2 2

ˆ ˆ1(1 1)

1 1 ˆ ˆ1(1 1) 02 2

ˆ ˆ1(1 1)

1 1 ˆ ˆ0(0 1) 02 2

z

z

z

z

d S d d S d d

c S c c S c c

b S b b S b b

a S a a S a a

= ↑↑ = + = +

= ↑↓ + ↓↑ = + =

= ↓↓ = + = −

= ↑↓ − ↓↑ = + =

_ สมการ (5.19)



เมอเราทบทวนบทท 3 ในเรองของ angular momentum จะพบวา เราสามารถใช basis state ,j m

เพอเปนตวแทนสถานะเชง spin ของระบบ นอกจากน เรายงทราบวา ผลของ operator ˆzS และ 2S ตอสถานะ ,j m กคอ

ˆ , ,zS j m m j m= และ 2ˆ , ( 1) ,zS j m j j j m= + ________ สมการ (5.20) เพราะฉะนนถาเราลองเปรยบเทยบสมการ (5.20) กบสมการ (5.19) จะทาใหเราสามารถเขาใจความหมายของสถานะ , , ,a b c d ไดดยงขน นนกคอ จากการเปรยบเทยบเราพบวา

1, 11, 01, 10, 0

d j mc j mb j ma j m

= = = += = == = = −= = =

______________ สมการ (5.21)

และกอนทเราจะวนอยในวงกตของคณตศาสตร จนหลงประเดนทกาลงจะทาความเขาใจ ผเขยนจะขอยาอกครงวา ใน Section 5.2 น เราตองการทศกษาคณสมบตโดยรวมของระบบทมสองอนภาค

โดยแตละอนภาคม spin ไดสองแบบคอ spin up 1 1,2 2

j m= = − และ spin down

1 1,2 2

j m= = +

โจทย spin ของทงสองอนภาคจะตองเรยงตวอยางไร ระบบโดยรวมจงจะ ม 1j = และ 1m = ตอบ จากสมการ (5.21) จะไดวา คาตอบทถกตองกคอ ↑↑

จากตวอยางในขางตน เราสามารถทาความเขาใจไดโดยงายวา ในเมออนภาคแตละตวม angular

momentum ตามแนวแกน z เทากบ 112

m = + และ 212

m = + กยอมจะทาใหทงระบบม 1m =

แตพฤตกรรมของ quantum mechanics มไดทาความเขาใจไดโดยงายเสมอไป ยกตวอยางเชน ถาเราตองการทจะใหระบบโดยรวมม 0, 0j m= = นนกคอ เปน spin ทมขนาดของ vector เปนศนย จากสมการ (5.21) จะพบวา อนภาคทงสองจะตองอยในสถานะ

1 10, 02 2

j m= = = ↑↓ − ↓↑ ________ สมการ (5.22)



สมการขางตนแสดงใหเหนวา ในสภาวะท spin ของทงสองอนภาคมทศทางตรงกนขามซงกคอ ↑↓

หรอ ↓↑ จะทาให spin ของระบบมคาเปนศนย และเนองจากการทอนภาคทงสองม spin ชใน

ทศตรงกนขามน เปนไปไดสองกรณ 0, 0j m= = ดงในสมการ (5.22) จงเปน superposition ของ basis sate ทงสอง ทงน ใหสงเกตสมประสทธทเปนเครองหมายลบ ถาเราทาใหสมประสทธเปนเครองหมายบวก ผลลพธทได กลบทาให angular momentum ของทงระบบไมเปนศนย นนกคอ จากสมการ (5.21)

1 11, 02 2

j m= = = ↑↓ + ↓↑ ________ สมการ (5.23)

สถานะ 1, 0j m= = ขางตน แสดงใหเหนถง spin ของระบบทไมเปนศนย ( 0)j ≠ และเราจะตองยาใหเหนอกครงวา ถงแมวาสถานะทงสองทางขวามอของสมการ (5.23) ลวนแลวแตเปนสถานะท spin ของอนภาคทงสองมทศตรงกนขาม แตเมอนามาเรากน spin ของทงระบบกลบไมเปนศนย และนกเปนอกตวอยางหนงทแสดงใหเหนความแปลกทผดแผกไปในโลกของ quantum mechanics ทงน เราจะขอสรปคณสมบตการรวมกนของ spin 1 1j m และ 2 2j m ซงเมอรวมอยในระบบเดยวกน เราใชสญลกษณ 1 1 2 2;j m j m เพอใหกระชบ ไดวา

1 1 1 11, 1 , ; ,2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 11, 0 , ; , , ; ,2 2 2 2 2 2 2 22 21 1 1 11, 1 , ; ,2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 10, 0 , ; , , ; ,2 2 2 2 2 2 2 22 2

j m

j m

j m

j m

= = + = + +

= = = + − + − +

= = − = − −

= = = + − − − +

_____ สมการ (5.24)

ในทายทสด เราสามารถตอบคาถามทเกยวของกบ eigen energy ของ hyperfine interaction ทวาเพราะเหตใด พลงงานของ eigenstate จงแบงออกเปน 2 กลมอยางชดเจน จากสมการ (5.24), (5.13)



, และ (5.12) เราตอบไดวา พลงงาน 2AE = + นนเปนกลมของ eigenstate ทม angular momentum

1j = ในขณะทพลงงาน 32AE = − อยในกลมของ eigenstate ทม 0j = นนเอง

5.3 EPR Paradox

เพอทจะยกตวอยางทเปนรปธรรมของการนาสมการ (5.24) มาประยกตใชงานในสถานการณจรง เราจะมาศกษาการสลายตวของอนภาค η meson และจากการวเคราะหการสลายตวของอนภาคทไมเสถยรนเอง จะนาไปสขอสงเกตท Einstein, Podolsky, และ Rosen (Phys.Rev. 1935. 47:777) ไดใหไวเพอประกอบความเชอของบคคลทงสามในขณะนนทวา quantum mechanics ยงเปนทฤษฏทมขอบกพรองอย ซงขอสงเกตดงกลาวน รจกกนทวไปภายใตชอ EPR Paradox

อนภาค -mesonη

กอนสลายตวหลงสลายตว

อนภาค μ+

ม spin 0s =

ม spin 12

s = อนภาค μ−ม spin 12

s =

เนองจากกฎของการอนรกษ angular momentum ภายหลงจากการสลายตว ระบบของอนภาคทงสองจะตองมสถานะเปน

1 12 2

Ψ = ↑↓ − ↓↑

อนภาค -mesonηอนภาค -mesonη

กอนสลายตวหลงสลายตว

อนภาค μ+

ม spin 0s =

ม spin 12

s = อนภาค μ−ม spin 12

s =

เนองจากกฎของการอนรกษ angular momentum ภายหลงจากการสลายตว ระบบของอนภาคทงสองจะตองมสถานะเปน

1 12 2

Ψ = ↑↓ − ↓↑

ภาพ 5.3 แสดงการสลายตวของอนภาค -mesonη ซงในบางครงเกดเปนอนภาค anti-muonμ+

และ muonμ− ภาพ 5.3 แสดงการสลายตวของอนภาค -mesonη ซงเปนอนภาคทม spin 0s = ถงแมวาการสลายตวของอนภาคโดยปกตจะเกดผลลพธทแตกตางกนขนอยกบระดบพลงงานของอนภาคดงกลาว ในบางครง -mesonη สลายตวออกเปนอนภาคสองตวคอ muon และ anti-muon ซงใชสญลกษณวา μ− และ μ+ ตามลาดบ และเปนททราบโดยทวไปวา คณสมบตของ muon หรอ anti-muon นน

ลวนเปนอนภาคทม spin 12

s =



โจทย ภายหลงจากการสลายตวทาใหเกดเปนระบบทมสองอนภาค จงเขยนสถานะของระบบ

ตอบ 1 12 2

Ψ = ↑↓ − ↓↑

เมอพจารณาระบบทมสองอนภาค และแตละอนภาคม spin 12

s = นน การเรยงตวของ spin เปนไป

ไดทงหลายวธดงในสมการ (5.24) แตมอยวธเดยวเทานนททาให total spin angular momentum ของระบบทงหมดมคาเปนศนย สาเหตทตองเปนศนยกเพราะวาอนภาค -mesonη ทใหกาเนด muon และ anti-muon นน ม 0s = ซงเมอพจารณากฎการอนรกษ angular momentum แลวจะไดวา spin กอนและหลงการสลายตวจะตองเปนศนย เพราะฉะนนแลว สถานะของระบบภายหลงจาก

การสลายตว จะตองอยในรปของ 1 12 2

Ψ = ↑↓ − ↓↑

นอกจากน กฎของการอนรกษ momentum อกเชนกนทบงคบให muon และ anti-muon จะตองพงออกไปในทศทางทตรงกนขาม และถาเราลองจนตนาการวา อนภาคทงสองเคลอนทหางออกไปเรอยๆโดยไมอะไรมากดขวาง จนอยหางกนหลายลานปแสง คนละซกของเอกภพ

ภาพ 5.4 แสดงเหตการณสมมตท Einstein จนตการขนเพอชใหเหนวา quantum mechanics ยงเปนทฤษฏทไมมความสมบรณ ดงแสดงในภาพ 5.4 ถาสมมตวาอนภาคทงสองอยหางกนเปนระยะทางมหาศาล แตดวยขอกาหนดของระบบทวา spin ของอนภาคทงสองจะตองมทศทางตรงกนขามเสมอ เพราะฉะนนถาเราตดตง

Stern-Gerlach experiment เพอทาการวด spin และพบวาอนภาค anti-muon μ+ ทางซายมอม spin



เปน 1 1,2 2+ อนภาค muon μ− ทอยอกซกหนงของกาแลกซจะโดนบงคบดวย quantum

mechanics ใหม spin เปน 1 1,2 2− ในทนท ซงเรวกวาความเรวแสง และขดกนอยางสนเชงกบ

special relativity ของ Einstein นอกจากน การทคณสมบตเชง spin ของอนภาค muon μ− ไปผกตดอยกบคณสมบตของอนภาค

anti-muon μ+ ยงแสดงใหเหนวา spin ของอนภาค muon μ− มใชคณสมบตเฉพาะตวของมนเอง หากแตไปผกตดอยกบอนภาคอนๆทอยหางไกลออกไป นกฟสกสเรยกพฤตกรรมลกษณะดงกลาวนวา non-locality และในป 1935 Einstein, Podolsky, และ Rosen (Phys.Rev. 1935. 47:777) ไดตพมพบทความทแสดงจดยนเชงปรชญาทวา คณสมบตตางๆเชน momentum, มวล, พลงงาน, หรอ spin กตาม ควรจะตองเปนสมบตเฉพาะตวของอนภาคตวนนๆ และไมขนอยกบสงแวดลอมหรออนภาคอนใด พฤตกรรมลกษณะเชนนเรยกวา local reality ซงหมายถง คณสมบตของอนภาค (reality) จะตองมอยจรงและเปนสมบตเฉพาะตว (local) ของมนเอง ความขดแยงในเชงปรชญาอนนเอง ทเรยกกนโดยทวไปวา EPR Paradox

1. สองภาพใสซองทเหมอนกน

2. สลบซองจนแยกไมออกวาภาพไหนอยซองใด

3. สงออกไปยงผรบ

1. สองภาพใสซองทเหมอนกน

2. สลบซองจนแยกไมออกวาภาพไหนอยซองใด

3. สงออกไปยงผรบ

ภาพ 5.5 เหตการณจาลองทจะทาใหนกศกษาเขาใจความหมายของ Einstein ในแงของ local reality ไดงายขน สมมตวามภาพสองภาพ 1) แจกน และ 2) ใบหนา ถาเราใสซองทเหมอนกนและสลบจนแยกไมออกวาภาพไหนอยซองใด จากนนสงไปยงผรบ



ภาพ 5.5 แสดงเหตการณจาลองทจะทาใหนกศกษาเขาใจความหมายของ Einstein ในแงของ local reality ไดงายขน สมมตวามภาพสองภาพ 1) แจกน และ 2) ใบหนา ถาเราใสซองทเหมอนกนและสลบจนแยกไมออกวาภาพไหนอยซองใด จากนนสงไปยงผรบ จรงอยวาถายงไมเปดซองเรากไมทราบวาภายในซองมภาพใด *แต* ภาพทอยในซอง เปนสมบตเฉพาะตวของซองนนๆ และสมบตดงกลาวไดถกกาหนดไวอยางชดเจนตงแตเมอครงทเราไดทาการบรรจภาพเอาไว และการทเราไมทราบวาซองไหนมภาพใดกเปนเพราะ ภาพถกซอนไวในซอง Einstein ใชคาศพทวา "hidden variable" ทใชแทนปรมาณทางฟสกสทเราไมอาจจะวดไดดวยขอจากดตางๆ และความไมแนนอน หรอ randomness ในทางฟสกสกเปนผลสบเนองมาจากขอจากดดงกลาวนเอง

1 12 2

Ψ = ↑↓ − ↓↑

Hidden Variable TheoryQuantum Mechanics Theory

ความไมแนนอนเปนสมบตพนฐานและหลกเลยงไมได

ความไมแนนอนเปนเพยงขอจากดในการวดปรมาณทางฟสกสทซกซอนอย

1 12 2

Ψ = ↑↓ − ↓↑

Hidden Variable TheoryQuantum Mechanics Theory

ความไมแนนอนเปนสมบตพนฐานและหลกเลยงไมได

ความไมแนนอนเปนเพยงขอจากดในการวดปรมาณทางฟสกสทซกซอนอย

ภาพ 5.6 แสดงถงมมมองทแตกตางกนระหวาง quantum mechanics theory และ hidden variable theory ภาพ 5.6 แสดงถงมมมองทแตกตางกนระหวาง quantum mechanics theory และ hidden variable theory เมอเราพจารณาระบบทเปนสถานะผสมของ basis state ดงจะเหนในตวอยางทเปนสถานะผสมของภาพแจกนและภาพใบหนา quantum mechanics theory มองการผสมของสองสถานะดงกลาวเปนกฎเกณฑพนฐานของธรรมชาตและหลกเลยงไมได ดงทไดเหนในภาพทอาจจะตความไดวาเปนแจกนหรอใบหนากได ขนอยกบจงหวะและมมมองของผสงเกต



ในขณะท hidden variable theory มองการผสมของสองสถานะดงกลาวเปนเพยงขอจากดทางเทคนค เปรยบเสมอนภาพทซกซอนไวในซอง โดยทแตละซองกจะมภาพซงเปนสมบตเฉพาะตวของซองนนๆ และเปนอสระจากซองอนๆ กอนป 1964 นกฟสกสสวนใหญเชอวา กลไกทาง quantum mechanics ทเกยวของกบ probability amplitude หรอ แมกระทงการใช complex number เขามาเปนหนงในหวใจสาคญของตวทฤษฏนน ถงแมวาจะสามารถอธบายและทานายผลการทดลองได กเปนเรองบงเอญ Einstein เชอวาเราสามารถทจะออกแบบ hidden variable theory ทอธบายและทานายผลการทดลองตางๆท quantum mechanics เคยประสบความสาเรจมาแลว อาทเชน Stern-Gerlach experiment โดยท hidden variable theory ดงกลาว ไมมความจาเปนใดๆทจะตองนาแนวคดของ non-locality หรอ complex number เขามามสวนรวมแตอยางใด ในป 1964 John Bell (J. Bell. Physics 1, 195) ไดออกแบบการทดลองขนมาชดหนงท quantum mechanics theory และ hidden variable theory มผลการทานายทแตกตางกนโดยสนเชง และตอมาในภายหลงนกวทยาศาสตรอาท Aspect et. al. (A. Aspect, P. Grangier, and G. Roger. Phys. Rev. Lett. 49:91) กไดพสจนใหเหนจรงดวยการทดลองวา quantum mechanics เปนทฤษฏทถกตอง

5.4 การรวมกนของ Angular Momentum

ในตวอยางของ Section ทผานมา เรามงเนนไปท spin ของอเลกตรอนและโปรตอนซงม 12

s = ใน

คราวนเราจะมาศกษาการท angular momentum 1J และ 2J เขามารวมกน โดยท

eigenstate ของ 1J คอ 1 1j m { }1 1 1 1 1, 1, , 1,m j j j j∈ + − − + − มทงสน 12 1j + state eigenstate ของ 2J คอ 2 2j m { }2 2 2 2 2, 1, , 1,m j j j j∈ + − − + − มทงสน 22 1j + state

เมอ angular momentum ทงสอง มความจาเปนทจะตองนามาพจารณาเปนระบบเดยวกน ไมวาจะเปน (1) สองอนภาคเขามารวมกนเปนอะตอม (2) หรอสองอนภาคทเกดขนจากปรากฏการณการสลายตวของอนภาคทไมเสถยร (3) หรอแมกระทงกรณของอนภาคเดยว แตเราตองการพจารณาทง orbital angular momentum 1 ˆJ L= และ spin angular momentum 2 ˆJ S= ไปพรอมๆกน กลาวคอ

1 2 ˆˆ ˆ ˆJ J L S+ = + เปนตน



ในกรณเชนน เราสามารถสราง basis state ใหอยในรปของ

basis set 1 1 2 2;j m j m มทงสน 1 2(2 1)(2 1)j j+ + state _____ สมการ (5.25) อยางไรกตาม เซตของ basis state ในสมการ (5.25) เปนสถานะทแสดงถงคณสมบตเฉพาะตวของอนภาคทงสอง และถาเราตองการทจะสราง state ทแสดงใหเหนถงสมบตโดยรวมของทงระบบ สามารถทาไดโดยเขยน

jm โดยท ( )2 2ˆ ( 1)S jm j j jm= + และ ( )ˆzS jm m jm= _____ สมการ (5.26)

สถานะทงสองลกษณะดงสมการ (5.25) และ (5.26) นน เราไดเคยวเคราะหมาแลวในกรณตวอยาง ดงในสมการ (5.24) และจากตวอยางนเอง จะพบวา เราสามารถเขยน jm ใหอยในรป superposition ของ basis set 1 1 2 2;j m j m ไดวา

, 1 1 2 21 2,1 2

;m mm m

jm C j m j m= ∑ _____ สมการ (5.27)

โดยทสมประสทธ ,1 2m mC มชอเฉพาะวา Clebsch-Gordan Coefficient ซงมคาแตกตางกนไปตาม

พฤตกรรมของระบบทกาลงพจารณา จะเหนวา สมประสทธดงกลาว มตวเลขดชนกากบอย 2 ตวคอ

1m และ 2m ยกตวอยางเชน ถาเราเขยนตวอยางดงทไดกลาวไวในสมการ (5.24) ใหอยในรปแบบของภาษาทใชในสมการ (5.27) จะไดวา

1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2, ,2 2 2 2

1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2, ,2 2 2 2

1 1 1 1, ; , , ; ,2 2 2 2

1, 01 1 1 1, ; , , ; ,2 2 2 2

C j m j m C j m j m

j mC j m j m C j m j m

+ + + −

− + − −

= + = + + = + = −

= = =+ = − = + + = − = −

ซงในกรณน สมประสทธดงกลาวมคาเทากบ



1 1 1 1, ,2 2 2 2

1 1 1 1, ,2 2 2 2

102

1 02

C C

C C

+ + + −

− + − −

= =

= =

ทงน การเขยนสถานะ jm ใหอยในรปทวไปดงสมการ (5.27) มจดประสงคกเพอเปนสากลในการวเคราะหระบบตางๆทางฟสกสทม angular momentum j , m , 1j , และ 2j แตกตางกนออกไป และโดยปรกตแลว นกศกษาจะสามารถตรวจสอบคาของสมประสทธ ,1 2m mC ไดจากตารางอางอง

ทวไปทไดมการจดทาไวแลวเพอการสะดวกในการนามาใชงาน

11

1 2 1 2 1+

+ +1 00 0

1 2 1 2 1 2 1 21 2 1 2 1 2 1 2

+ −− + −

11

1 2 1 2 1−

− −

1 2 1 2⊗

1 2

1 2

j jm m

m mm m สมประสทธ

การอานตาราง3 23 2

1 1 2 1+

+ +3 2 1 21 2 1 2

1 1 2 1 3 2 30 1 2 2 3 1 3

+ ++ −

+ −3 2 1 21 2 1 2

0 1 2 2 3 1 31 1 2 1 3 2 3

− −−

− + −

1 1 2⊗

3 23 2

1 1 2 1−

− −

ละไวในถานทเขาใจวาสมประสทธในตารางจะตองอยในรปของ square root กอนนามาใชงาน ยกตวอยางเชน จรงๆแลวหมายถง

1 2−

1 2−

a)

b) c)

11

1 2 1 2 1+

+ +

11

1 2 1 2 1+

+ +1 00 0

1 2 1 2 1 2 1 21 2 1 2 1 2 1 2

+ −− + −

1 00 0

1 2 1 2 1 2 1 21 2 1 2 1 2 1 2

+ −− + −

11

1 2 1 2 1−

− −

11

1 2 1 2 1−

− −

1 2 1 2⊗

1 2

1 2

j jm m


การอานตาราง

1 2

1 2

j jm m


การอานตาราง3 23 2

1 1 2 1+

+ +

3 23 2

1 1 2 1+

+ +3 2 1 21 2 1 2

1 1 2 1 3 2 30 1 2 2 3 1 3

+ ++ −

+ −

3 2 1 21 2 1 2

1 1 2 1 3 2 30 1 2 2 3 1 3

+ ++ −

+ −3 2 1 21 2 1 2

0 1 2 2 3 1 31 1 2 1 3 2 3

− −−

− + −

3 2 1 21 2 1 2

0 1 2 2 3 1 31 1 2 1 3 2 3

− −−

− + −

1 1 2⊗

3 23 2

1 1 2 1−

− −

3 23 2

1 1 2 1−

− −


1 2−

1 2−


1 2−

1 2−

a)

b) c)

ภาพ 5.7 แสดงตาราง Clebsch-Gordan Coefficient ทพบไดโดยทวไป ยกตวอยางเชนภาพ 5.7 ทแสดงตาราง Clebsch-Gordan Coefficient ทพบไดโดยทวไปในหนงสออางอง นกศกษาจะพบวาในภาพจะประกอบดวยตารางยอยทขนตนดวยสญลกษณอาทเชน 1 1 2⊗

ซงหมายถงการรวมกนของ angular momentum 1 1j = และ 212

j =

ตารางดงภาพ 5.7b ยงแบงออกเปนสวนยอยๆ 4 สวน ซงแตละสวนมความหมายดงแสดงในภาพ 5.7c ในภาพดงกลาว แถวบนแสดงถงสถานะ jm ทเปนไปได ในขณะทแถวซายแสดงถง linear superposition ของ 1 1 2 2;j m j m และในบรเวณสวนกลางของตารางกคอสมประสทธ ยกตวอยางเชน



3 23 2

1 1 2 1+

+ +

3 23 2

1 1 2 1+

+ + มความหมายวา

1 1 2 23 2, 3 2 , 1 ; , 1 2j m j m j m= = + = = + = +

3 2 1 21 2 1 2

1 1 2 1 3 2 30 1 2 2 3 1 3

+ ++ −

+ −

3 2 1 21 2 1 2

1 1 2 1 3 2 30 1 2 2 3 1 3

+ ++ −

+ − มความหมายวา

1 1 2 2 1 1 2 21 23 2, 1 2 , 1 , 1 2 , 0 , 1 23 3

j m j m j m j m j m= = + = = + = − + = = +; ;

และ

1 1 2 2 1 1 2 22 11 2, 1 2 , 1 , 1 2 , 0 , 1 23 3

j m j m j m j m j m= = + = = + = − − = = +; ;

สมประสทธทเรยกวา Clebsch-Gordan Coefficient ดงทแสดงในสมการ (5.27) นอกจากจะเขยนอยในรป ,1 2m mC ยงอาจจะเขยนอยในรปของ bra-ket ไดวา

( )1 1 2 2 1 1 2 2,1 2m m

jm j m j m jm j m j m= ∑ ; ; _____ สมการ (5.28)

สมการ (5.28) ขางตนนยามให Clebsch-Gordan Coefficient อยในรปของ 1 1 2 2j m j m jm; ซงเราจะมาศกษาอยางละเอยดในขนตอนตอไปถงการคานวณปรมาณดงกลาว อยางไรกตามกอนทเราจะวเคราะห Clebsch-Gordan Coefficients ดวยวธการทางคณตศาสตรอยางละเอยด ภาพ 5.8 แสดงถงตารางของสมประสทธในกรณตางๆทงสน 7 กรณเพอความสะดวกในการใชงานในอนาคต



ภาพ 5.8 แสดง Clebsch-Gordan Coefficients ทเกยวของกบการรวมกนของ angular momentum 1j และ 2j ซงดงตารางใชสญลกษณ 1 2j j⊗ อยางไรกตาม ตารางดงแสดงในภาพ 5.8 เปนสงทเราสามารถทสรางไดเองในกรณทเราจาเปนตองวเคราะหระบบทม angular momentum นอกเหนอจากทมอยในตาราง ดงนนเราจาเปนตองมาพจารณาเอกลกษณทางคณตศาสตร 3 ขอดวยกนคอ 1) 1 1 2 2 0j m j m jm =; เวนแต 1 2m m m= +



คณสมบตขางตนของ Clebsch-Gordan Coefficient สามารถพสจนไดโดยงายเมอเราพจารณา operator 1 2ˆ ˆ ˆz z zJ J J= + เพราะฉะนน

1 2ˆ ˆ ˆ 0z z zJ J J− − = ซงเมอ operator ทเปนศนยดงกลาวกระทากบสถานะใด กยอมตองเปนศนย หรอ

( )( )( )

1 2

1 2

1 2

ˆ ˆ ˆ 0

ˆ ˆ ˆ 0

ˆ ˆ 0

z z z

z z z

z z

J J J jm

J jm J J jm

m jm J J jm

− − =

− + =

− + =

และเมอแยกตวประกอบเอาสถานะ jm ออกมาจะไดวา

( )1 2ˆ ˆ 0z zm J J jm− − =

ขนตอนตอไปคอการนาสถานะ bra 1 1 2 2j m j m; มาประกบทงสองขางของสมการ ซงจะทาให

( )1 1 2 2 1 2ˆ ˆ 0z zj m j m m J J jm− − =;

operator ( )1 2ˆ ˆz zm J J− − ทเดมการทากบสถานะ ket jm เราสามารถเปลยนใหเปน adjoint

ของตวมนเองเพอทจะกระทากบสถานะ bra 1 1 2 2j m j m; และทาใหในทายทสด

( )† †1 1 2 2 1 2

ˆ ˆ 0z zj m j m m J J jm− − =;

จากบทท 3 เรอง Angular Momentum เราทราบวา ˆzJ เปน Hermitian operator ซงมคณสมบตทวา †ˆ ˆz zJ J= เพราะฉะนน

( )

( )1 1 2 2 1 2

1 2 1 1 2 2

0

0

j m j m m m m jm

m m m j m j m jm

− − =

− − =

;

;

สมการขางตนแสดงใหเหนวา



1 1 2 2j m j m jm; ซงกคอ Clebsch-Gordan Coefficient จะตองมคาเปนศนยเวนแต 1 2m m m= + ______________________ สมการ (5.29)

2) Clebsch-Gordan Coefficients มความสมพนธแบบ recursive ทวา

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 2 2

1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2

1 1 , 1

1 1 1 1 1 1

j j m m j m j m j m

j j m m j m j m jm j j m m j m j m jm

+ − ± ±

= + − + + −

;

; ;∓ ∓ ∓ ∓

กอนทเราจะนาความสมพนธแบบ recursive ดงกลาวนามาใชเปนเครองมอในการสรางตารางดงในภาพ 5.8 เราจะมาพสจนความสมพนธขางตน ทงนเพอฝกฝนการนาเอกลกษณทางคณตศาสตรทไดศกษาในบทท 3 มาใชประกอบการวเคราะห พจารณา operator J± ทกระทากบสถานะ jm จะไดวา

( )1 2ˆ ˆ ˆJ jm J J jm± ± ±= + ___________________ สมการ (5.30)

นอกจากน เนองจากเซตของสถานะ เปน basis set ดงนนเราจงสามารถเขยน identity operator ดงในสมการ (2.25) ไดวา

1 1 2 2 1 1 2 2,1 2

1m m

j m j m j m j m= ∑ ; ; ___________________ สมการ (5.31)

เราสามารถนา identity operator ดงกลาวเขาไปแทรกทางขวามอของสมการ (5.30) จะทาให

( ) ( )1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2,1 2

ˆˆ ˆ ˆ ˆ1m m

J J jm J J j m j m j m j m jm± ± ± ±+ = + ∑ ; ; ______ สมการ (5.32)

และโดยอาศยสมบตของ raising และ lowering operator ดงในสมการ (3.75)-(3.76) เราสามารถกระจายเทอมในสมการ (5.32) ออกเปน 2 เทอมดงตอไปน



( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 2 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2,1 2

2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2,1 2

ˆ ˆ 1 1 1

1 1 1

m m

m m

J J jm j j m m j m j m j m j m jm

j j m m j m j m j m j m jm

± ±+ = + − ± ±

+ + − ± ±

∑

∑

; ;

; ;

เพอทจะลดรปให summation ทงสองนนหายไป เราสามารถนาสถานะ bra 1 1 2 2j m j m′ ′; เขาไปประกบกบทงสองขางของสมการขางตน ใหสงเกตการใชสญลกษณ 1 2m m′ ′ เพอปองกนการซาซอนกบ 1 2m m ทปรากฏอยภายใน summation

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 1 2 2 1 2

1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2,1 2

2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2,1 2

ˆ ˆ

1 1 1

1 1 1

m m

m m

j m j m J J jm

j j m m j m j m j m j m j m j m jm

j j m m j m j m j m j m j m j m jm

± ±′ ′ +

′ ′= + − ± ±

′ ′+ + − ± ±

∑

∑

;

; ; ;

; ; ;

ดวยสมบตความเปน orthonormal ของ basis set 1 1 2 2j m j m; จะไดวา เทอมตางๆภายใน summation อนแรกมคาเปนศนย ยกเวนแตกรณท 1 1 1m m′ = ± และ 2 2m m′ = และในกรณของ summation อนทสอง เทอมทมคาไมเปนศนยจะเกดขนกตอเมอ 1 1m m′ = และ 2 2 1m m′ = ± เพราะฉะนน

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 2 2 1 2

1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2

ˆ ˆ

1 1 1 1 1 1

j m j m J J jm


± ±′ ′ +

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′= + − + + −

;

; ;∓ ∓ ∓ ∓

จะเหนวาสมการขางตนนน ใชสญลกษณ 1 2m m′ ′ เปนตวกากบสถานะของระบบ และเพอใหเกดความสวยงามเราอาจะเปลยนมาเปนใชสญลกษณ 1 2m m แทน ซงกมไดทาใหเกดขอผดพลาดทางคณตศาสตรแตอยางใด

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 2 2 1 2

1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2

ˆ ˆ

1 1 1 1 1 1

j m j m J J jm


± ±+

= + − + + −

;

; ;∓ ∓ ∓ ∓

_______________________ สมการ (5.33) นอกจากน ทางซายมอของสมการ (5.33) ยงสามารถเขยนอยในรป



( )( ) ( ) ( )

1 1 2 2 1 2 1 1 2 2

1 1 2 2

ˆ ˆ ˆ

1 1 , 1

j m j m J J jm j m j m J jm

j j m m j m j m j m

± ± ±+ =

= + − ± ±

; ;

; __ สมการ (5.34)

และในทายทสด ถาเราพจารณาสมการ (5.33) และสมการ (5.34) จะไดวา ทงสองสมการมคาเทากน และนาไปสความสมพนธ

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 2 2

1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2

1 1 , 1

1 1 1 1 1 1

j j m m j m j m j m


+ − ± ±

= + − + + −

;

; ;∓ ∓ ∓ ∓

_________________________ สมการ (5.35)

3) 1 2

1 1 2 21 1

2 2

1 if

j j jm j

j m j m jmm jm j

= +⎧⎪ =⎪= ⎨ =⎪⎪ =⎩

;

สมบตทางคณตศาสตรขางตน สามารถพสจนไดโดยอาศยสมการ (5.29) เขารวมในการพจารณา กลาวคอ จากสมการ (5.28) เราสามรถเขยน

( ) ( ) ( )( )1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2,1 2

, ,m m

j j j m j j m j m j j j j j m j m= + = = + +∑ ; ;

________________ สมการ (5.36) ภายใน summation ทประกอบดวยหลายๆเทอมดวยกน แตจากสมการ (5.29) เทอมตางๆเหลานลวนมคาเปนศนย ยกเวนในกรณท

( )1 2 1 2m m j j+ = + ________________ สมการ (5.37) แตดวยคณสมบตทเกยวกบ angular momentum เราทราบวา { }1 1 1 1 1, 1, , 1,m j j j j∈ − − + − และ

{ }2 2 2 2 2, 1, , 1,m j j j j∈ − − + − นนหมายถง 1m มคาไดมากทสดคอ 1j และ 2m มคาไดมากทสดคอ 2j เมอเปนเชนน คาของ 1m และ 2m ทจะทาใหสมการ (5.37) เปนจรงไดนน กคอ 1 1m j= และ

2 2m j= ซงเทอมตางๆทปรากฏอยภายใน summation ทไมเปนไปตามเงอนไขดงกลาว ยอมมคาเปนศนย เพราะฉะนน สมการ (5.36) แปรสภาพเปน



( ) ( ) ( )( )1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2

Clebsch-Gordan Coefficient

, ,j j j m j j m j m j j j j j j j j= + = = + +; ;

ในเมอเทอมทางขวามอของสมการขางตน ประกอบดวยเทอมเพยงเทอมเดยว โดยอาศยหลกของ normalization สมประสทธ Clebsch-Gordan จะตองมคาเปนหนง หรอสรปไดวา

1 2

1 1 2 21 1

2 2

1 if

j j jm j

j m j m jmm jm j

= +⎧⎪ =⎪= ⎨ =⎪⎪ =⎩

; __________________ สมการ (5.38)

คณสมบตของ Clebsch-Gordan Coefficients ทง 3 ขอในขางตน สามารถนามาเปนเครองมอในการ

สรางตารางทสมบรณดงในภาพ 5.8 ดงจะขอยกตวอยางในกรณของ 1 1j = และ 212

j =

จากสมการ (5.38) เราบอกไดวา

1 1 2 21 3 31 , 12 2 2

j m j m= = + =; __________________ สมการ (5.39)

ซงสมประสทธขางตน แสดงอยในตารางยอยสฟา ของกรณ 112

⊗ นอกจากน เรายงสามารถใช

ความสมพนธแบบ recursive ในสมการ (5.35) ทงน ถากาหนดให 1 1j = , 212

j = , 1 0m = ,

212

m = , 32

j = , และ 32

m = จะทาให

( ) ( ) ( )1 1 2 2

3 3 3 3 1 1 3 31 1 1,0 , , 12 2 2 2 2 2 2 2

3 3 1 1 1 11 1 1 0 0 1 1 , 1 12 2 2 2 2 2

j m j m

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − + + + + + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

;

; ( )1 1 2 23 31 ,2 2

j m j m + +;

สงเกตวาเทอมทสองทางขวามอ มคาเปนศนย ในขณะทสมการ (5.39) บอกวาเทอมแรกนน

( )1 1 2 23 31 , 12 2

j m j m+ + =; เพราะฉะนนแลว สมการขางตนลดรปเหลอเพยง



1 1 3 1 21,0 , ,2 2 2 2 3+ =;

ซงกคอ Clebsch-Gordan Coefficients ทแสดงในตารางยอยสเขยวนนเอง แบบฝกหด 5.5 จงใชคณสมบตทง 3 ขอของ Clebsch-Gordan Coefficients เพอสรางตารางท

สมบรณในกรณของ spin 112

⊗

5.5 บทสรป

ในบทท 5 น เราไดกลาวถงอนตรกรยาระหวาง spin ของอนภาค โดยทเราไดเรมยกตวอยางของกรณ hyperfine splitting ซงเปน interaction ระหวาง spin ของอเลกตรอน และ spin ของโปรตอนภายใน hydrogen อะตอม ในกรณดงกลาวนเอง Hamiltonian ของระบบอยในรปของ

1 222 ˆ ˆˆ AH S S= ⋅

ซงถาเราใช basis state เปนเซตของ , , ,↑↑ ↑↓ ↓↑ ↓↓ กจะไดวา eigenstate และ eigen

energy ของระบบอยในรปของ

1 12 2

⎫↑↑⎪⎪

↑↓ + ↓↑ ⎬⎪⎪↓↓ ⎭

eigen energy คอ 2A

+

1 12 2↑↓ − ↓↑ eigen energy คอ 3

2A

−

นอกจากการวเคราะห hyperfine splitting ดงกลาวจะนาไปสการเปรยบเทยบผลทไดจากการทดลอง

ยงนาไปสการตความของ eigenstate ตางๆทเกยวของ ยกตวอยางเชน 1 12 2↑↓ − ↓↑

หมายถงสภาวะของระบบท total angular momentum ของทงระบบเปนศนย ในสวนของ eigenstate อนๆนน เขยนโดยสรปไดวา



1 1 1 11, 1 , ; ,2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 11, 0 , ; , , ; ,2 2 2 2 2 2 2 22 21 1 1 11, 1 , ; ,2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 10, 0 , ; , , ; ,2 2 2 2 2 2 2 22 2

j m

j m

j m

j m

= = + = + +

= = = + − + − +

= = − = − −

= = = + − − − +

ทงนจากสมการขางตน จะสงเกตวา เราใชสญลกษณ jm ซงแสดงถง angular momentum โดยทวไป ซงไมเฉพาะเจาะจงวาเปน spin angular momentum หรอ orbital angular momentum

จากนน เราใชกรณของ EPR paradox เปนตวอยางในการนาเอาสถานะ 1 12 2↑↓ − ↓↑ เขามา

ใชในการวเคราะหปรากฏการณทางฟสกสทเปนรปธรรมมากขน ในทายทสด เรากลาวถงกรณทวๆไปของการรวมกนของ angular momentum 1 1j m และ

2 2j m ซงจะเปนทมาของ Clebsch-Gordan Coefficients ดงทไดแสดงในตาราง 5.8

5.6 ปญหาทายบท

แบบฝกหด 5.6 พจารณา hydrogen atom ทม spin Hamiltonian

1 2 0 122 ˆ ˆ ˆˆ ω z

AH S S S= ⋅ +

โดยทเทอมแรกเปน hyperfine interaction ในขณะทเทอมทสองเกดจากสนามแมเหลกภายนอกทม

ความเขม 0B ซงจะทาให 00ω 2

geBmc

≡

a) จงคานวณ eigen energy ของระบบ b) วเคราะหผลของพลงงานงานทไดในสองกรณดวยกนคอ 1. 0limit ωA และ 2.

0limit ωA โดยใช Taylor expansion แบบฝกหด 5.7 ในเวลา t=0 อนภาค 2 อนภาคคอ electron และ positron เกดขนจากการสลายตวของอนภาคทขนาดใหญกวา โดยม total angular momentum ของระบบเปนศนย จากนนอนภาคทงสองอยภายใตอทธพลของสนามแมเหลกทมความเขม 0B



a) จงอธบายวา ถาไมม interaction ระหวาง electron และ position แลว เราสามารถเขยน Hamiltonian ของทงระบบไดวา

0 1 0 2ˆ ˆH =ω -ωz zS S โดยท 1zS คอ spin operator ของ electron ในขณะท คอ 2ˆ zS spin operator ของ positron. b) จงแสดงใหเหนวา สถานะของระบบมการ oscillate ระหวาง spin-0 และ spin-1 พรอมทงคานวณหาคาบของการสน พรอมเขยนสถานะ ( )tΨ ของระบบทขนกบเวลา c) ณ เวลา t เราทาการวด spin โดยใช operator 1xS และ 2ˆ xS จงคานวณความนาจะเปนทการวด

ทงสองจะไดคาออกมาเปน 2

+ พรอมๆกนทงสอง operator

แบบฝกหด 5.8 สบเนองจากขอ 5.7 คราวนเรานา hyperfine interaction ระหวางอนภาคทงสองมาคดรวมดวย จะไดวา Hamiltonian ของระบบกคอ

1 2 0 1 0 222 ˆ ˆ ˆ ˆH = ω -ωz z

A S S S S⋅ +

จงหา eigen energy ของระบบ

5 interaction ของ spin

Documents