I . 1.- Calcule el valor de las siguientes funciones usando calculadora:

sen ( 12,5 ) cos ( 32pi

) tg ( 125 ) sec (3pi )

ctg ( 37 28 ) sen ( 156 12 ) cos ( pi43 )

2.- Grafique las siguientes funciones:

a ) sen ( ) b ) sen ( + pi ) c ) sen ( 2 )

d ) cos ( ) e ) cos ( + pi ) f ) cos ( 2 )

g ) tg ( ) h ) tg ( + pi ) i ) tg ( 2 )

3.- Trazar en el mismo sistema de ejes coordenados y utilizando la misma escala de valores, las grficas de:

y = sen x e y = sen ( pi31 ), 0 x 4pi

4.- Uno de los conceptos trigonomtricos ms importantes es el de curva sinusoidal Se presenta en innumerables partes de la astronoma, matemtica y de todas las ciencias que incluyen a las ciencias sociales. Esta curva se representa por la grfica: y = asen( bx + c ) donde: a , b y c son constantes positivas.

Compare, utilizando un mismo sistema de ejes y una misma escala de valores, las grficas de:

a) y = sen x con y = sen( x + c ) c constante positiva

b) y = sen x con y = sen( bx + c) b y c constantes positivas

c) y = sen x con y = a sen( bx + c) a , b y c constantes positivas

REA CIENCIAS BSICAS

FUNDAMENTOS MATEMTICOS

GUA N 5 FUNCIONES TRIGONOMTRICAS

5.- Sabiendo que : sen ( ) = sen () cos () cos ()sen () cos ( ) = cos ( ) cos ( ) m sen () sen ( )

i.- Determine: a) cos( 2

pi ) b) cos (2

pi + )

c) sen( 2 ) d) sen(2

pi )

ii.- Demuestre las siguientes identidades:

a) tg( ) =

tg tg 1 tg tg

m

b) tg ( 2 ) = ) ( tg- 1) tg(2

2

II . Medicin de ngulos:

En los problemas 1 a 6, especifique el nmero de grados del ngulo dado:

1.- 2.-

3.- 4.-

5.- 6.-

III . En los problemas 7 a 12, represente grficamente el ngulo dado:

7.- 60 8.- 45 9.- 240

10.- 120 11.- 150 12.- 405

IV . En los problemas 13 a 18, convierta de grados a radianes:

13.- 15 14.- 270 15.- 150

16.- 240 17.- 540 18.- 1

V. En los problemas 19 a 24, convierta de radianes a grados:

19.- 6 5pi

20.- 3 2pi

21.- 2 3pi

22.- 12 pi

23.- 4 3pi

24.- 1

VI . En los problemas 25 a 30 , represente grficamente los ngulos con la medicin dada en radianes:

25.- 4 3pi

26.- 6 pi

27.- 3 2pi

28.- 6 5pi

29.- 6 5pi

30.- 2 3pi

VII . En los problemas 31 a 38, calcule la expresin dada sin utilizar calculadora:

31.- 2 7

cospi

32.- pi 5 sen 33.-

2 5

cospi

34.-

2 7

senpi

35.-

2 5

cotpi

36.- pi 3 sec

37.- tg ( pi ) 38.-

2 7

cospi

ec

VIII . En un tringulo rectngulo, halle 3

cospi

y 3

senpi

IX . Complete la tabla siguiente:

6 7pi

4 5pi

3 4pi

2 3pi

3 5pi

4 7pi

6 11pi

2 pi sen cos

X . Hallar las siguientes funciones, bajo las condiciones dadas en cada una:

1) Halle tg , si sec = 45

2) Halle tg , si cos = 53

3) Halle tg , si cosec = 35

4.) Halle sen , si tg = 32

5) Halle cos , si tg = 43

6) Halle sec , si cot = 34

XI . A partir de la identidad 1 cos sen 2 2 =+ , deduzca las identidades:

1 + 2 2 sec tg = y 1 + 22 cosec cot =

XII . Demostrar las siguientes identidades trigonomtricas

a ) sec 2 A csc 2 A sec 2 A + csc 2 A

b ) 1 tg1 tg

csc sec

csc sec

+

+

c ) B sec 2 Bsen 1

1

Bsen 11 2

+

+

d )

ctg tg cos sen

cos 2 1 2

e ) ( 1 cos 2 A ) csc 2 A 1

f ) cos 4 B 2 cos 2 B + 1 sen 4 B

g ) ++

cos sen 1 cos sen

cos sen 33

h ) sen A ( csc A sen A ) cos 2 A

i ) tg 2 B ctg 2 B sec 2 B csc 2 B

j ) 1 sen 2 ctg tg ctg tg 2

+

k )

++

+

csc 2

sen

cos 1

cos 1 sen

l ) Asen A tg A ctg A csc

A A tg sen+

m ) 1 B ctg1 B ctg

Bsen B cosBsen B cos

+

+

n ) 1 cos 2 ctg 1

1 tgc 22

2

+

) )A cos A cos 2 1 (A csc A ctg A cscA ctg A csc 22 ++

+

o ) ( csc B ctg B ) 2 B cos 1B cos 1

+

p ) 1 + ctg A A cos A sen

Asen )A ctg 1 ( 2

q ) csc

sec tg cos tg sec

+

r ) +

cos 1sen

sen

cos 1

s ) ( 1 + tg 2 B ) cos 2 B 1

XIII . A partir de las frmulas de adicin para el seno y el coseno, obtenga las identidades:

pi

sen 2

cos =

+

y pi

cos 2

sen =

+

XIV . En los siguientes problemas construir, sobre los mismos ejes y a la misma escala un perodo completo de las siguientes pares de grficas: 1 ) y = sen x , y = sen 2x 2 ) y = sen x , y =

21

sen 2x

3 ) y = sen x , y = 2 sen x 4 ) y = sen x , y = 2 sen x21

5 ) y = cos x , y = cos 2x 6 ) y = cos x , y = 21

cos 2x

7 ) y = cos x , y = 2 cos x 8 ) y = cos x , y = 2 cos x21

9 ) y = sen x , y = sen 3 x 10 ) y = cos x , y = cos 3 x

11 ) y = sen x , y = sen ( x + 2pi )

12 ) y = cos x , y = 21

cos ( x 4pi )

XV . Resolver los siguientes problemas de planteo :

a ) Desde una torre de 36 mts . de altura , se observa un objeto con un ngulo de depresin de 30 . A qu distancia de la torre se encuentra dicho objeto ?

b ) Qu altura tiene un rbol , si arroja una sombra de 8.5 mts . de largo en el momento que el ngulo de elevacin del sol es de 42 20 ?

c ) A qu altura se encuentra un globo aerosttico suspendido por un cable , si un observador situado en un punto A lo ve con un ngulo de elevacin de 36 40 y al avanzar 30 mts . en direccin a l , lo ve con un ngulo de elevacin de 65 ?

d ) Desde un faro de 25 mts . de altura , se observa un bote situado en un punto A con un ngulo de depresin de 60 . Cuando el bote se aleja 20 mts . el ngulo de elevacin desde ste hacia el faro es de 52 . Determinar la distancia final entre el bote y la base del faro .

e ) Desde la azotea de un edificio de 50 mts . de altura , se observa un edificio vecino . Su base se ve con un ngulo de depresin de 65 y su extremo superior con un ngulo de depresin de 15 . Calcular la altura del edificio vecino .

f ) Un asta de bandera est enclavada verticalmente en lo alto de un edificio . A 12 mts . de distancia de l los ngulos de elevacin de la punta del asta y de la parte superior del edificio son de 53 y 35 respectivamente . Hallar la longitud del asta .

g ) Un cerro se ve desde un lugar del plano con un ngulo de elevacin de 70 15 . Alejndose 200 mts . horizontalmente se ve con un ngulo de 38 . Calcular la altura del cerro .

h ) Una persona al estar a 10 mts . de una pared , est a 12 mts . de un extremo y a 20 mts . del otro . Con qu ngulos ve la pared ?

i ) Un observador situado en un lugar a 35 mts . sobre el nivel del mar , ve un bote con un ngulo de depresin de 4 . a qu distancia horizontal est el bote ?

j ) Un edificio de 100 mts . de altura proyecta una sombra de 120 mts . de longitud . Encontrar el ngulo de elevacin del sol .

k ) Una escalera de mano est apoyada contra la pared de un edificio , de modo que desde el pie de la escalera al edificio hay 90 cm . A qu altura del suelo se encuentra el extremo superior de la escalera y cul es la longitud de la misma , si forma un ngulo de 70 con el suelo ?

l ) Cul es la longitud de la sombra proyectada por un edificio de 50 mts . de altura cuando el sol se ha elevado 20 sobre el horizonte ?

m ) Una escalera de 30 dm . de largo est apoyada sobre la pared de un edificio , estando su base a 15 dm . del edificio . Qu ngulo forma la escalera con el piso ?

n ) La altura de una colina es de 990 mts . sobre el nivel de un plano horizontal . Desde un punto A de dicho plano , la elevacin angular de la cima de la colina es de 60 . Un globo se eleva desde A y asciende verticalmente con velocidad uniforme . Despus de 5 minutos , la elevacin angular de la cima para un observador que est en el globo es de 30 . Hallar la velocidad de ascensin del globo en Km . por hora . ( v = distancia / tiempo ) .

) Una chimenea tiene 30 mts . de alto ms que otra . Un observador ubicado a 100 mts . de distancia de la ms baja , nota que sus cspides estn en lnea recta cuya inclinacin con respecto a la horizontal es de 60 . Encontrar las alturas de las chimeneas .

o ) Desde una torre de 36 m. de altura, se observa un objeto bajo un ngulo de depresin de 30. A qu distancia de la torre se encuentra dicho objeto?

p ) Qu altura tiene un rbol, si arroja una sombra de 8,5 m de largo en el momento que el ngulo de elevacin del sol es de 42 20 ?.

q ) La hipotenusa de un tringulo rectngulo mide 4 3 2 cm. y uno de sus ngulos mide 75 . Determine las medidas de sus catetos.

r ) Desde la azotea de un edificio de 50 m de altura, se observa un edificio vecino. Su base tiene un ngulo de depresin de 65 y su extremo superior un ngulo de depresin de 15 . Calcular la altura del edificio vecino.

s ) Una escalera de mano, cuyo pie est en la calle, forma un ngulo de 30 con el suelo cuando su extremo superior se apoya en un edificio situado en uno de los lados de la calle y forma un ngulo de 40 cuando se apoya en un edificio situado en el otro lado de la calle. Si la longitud de la escalera es de 50 m.Cul es el ancho de la calle?

XVI . Expresar cada uno de los siguientes productos como suma :

a ) sen ( A ) cos ( 5 A ) b ) cos ( pi / 3 ) cos ( pi / 6 )

c ) cos ( 7 B ) sen ( 5 B ) d ) 6 sen ( 2 pi / 3 ) sen ( pi / 3 )

e ) cos ( C ) sen ( C / 2 ) f ) 2 sen ( 7 A ) sen ( 2 A )

XVII . Expresar cada una de las siguientes sumas como producto :

a ) sen ( pi / 9 ) + sen ( 2 pi / 9 ) b ) cos ( A ) cos ( 2 A )

c ) cos ( 2 pi / 9 ) + cos ( 2 pi / 9 ) d ) cos ( 6 B ) + cos ( 7 B )

e ) sen ( 5 C / 3 ) sen ( 10 C / 3 ) f ) sen ( pi / 4 ) sen ( pi / 5 )

XVIII . Demostrar la siguientes identidades :

a ) sen ( 45 + A ) sen ( 45 A ) 2 sen A

b ) sen ( 30 + x ) + cos ( 60 + x ) cos x

c ) cos ( 45 + A ) cos ( 45 A ) 2 sen A

d ) +

+ 2sen

21

1 cos sen

cos sen 33

e ) xcos

2x

tg 1

2x

tg 1

2

2

+

f ) +

+ 2 tg2

sen cos

sen cos

sen cos

sen cos

g )

2 5

tg 4sen sen

cos 4 cos

h ) 3 sen A 4 sen 3 A sen 3 A

i ) [ cos ( B / 2 ) sen ( B / 2 ) ] 2 1 sen B

j ) ctg 4sen 6sen 4 cos 6 cos

+

XIX . Resolver las siguientes ecuaciones trigonomtricas para 0 x 2 pipipipi

a ) 2 tg x sen x tg x = 0 b ) 2 sen x cos x = 1

c ) cos 2 x + cos x + 1 = 0 d ) tg 2 x 4 = 0

e ) sen 2 2 x = 1 f ) ctg 2 ( x / 2 ) = 3

g ) sen 2 x + sen x = 0 h ) sen x cos x = 1 / 2

i ) sen 2 x + sen x 2 = 0 j ) 4 cos 2 x 3 = 0

k ) sen 2 x cos 2 x + 1 = 0 l ) cos 2 x cos x = 0

m ) ctg x + 2 sen x = csc x n ) tg 2 x = ctg 2 x

) sen 2 x cos x + cos 2 x sen x = 1 o ) sen 3 x + sen x = 0

p ) sen x sen ( x / 2 ) = 1 cos x q ) sen x + cos x = 0

r ) 4 sen x + 3 cos x = 3 s ) sen 2 x + cos x = 0