5. Geomeetria

Käthlin Pakkas

5. Geomeetria

5.1. Definitsioon, teoreem, eeldus, väide, tõestus

Definitsioon on selgitav lause, mida on võimalik tõestada. Lauseid, mida ei saa tõestada,

nimetatakse aksioomideks.

𝑁ä𝑖𝑑𝑒:

𝐴𝑟𝑣 0 𝑜𝑛 𝑣ä𝑖𝑘𝑠𝑒𝑖𝑚 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑎𝑙𝑎𝑟𝑣.−𝑎𝑘𝑠𝑖𝑜𝑜𝑚

𝐾𝑢𝑖 𝑎𝑟𝑣 𝑙õ𝑝𝑒𝑏 𝑛𝑢𝑙𝑙𝑖𝑔𝑎, 𝑠𝑖𝑖𝑠 𝑡𝑎 𝑗𝑎𝑔𝑢𝑏 10 − 𝑔𝑎.−𝑙𝑎𝑢𝑠𝑒,𝑚𝑖𝑑𝑎 𝑠𝑎𝑎𝑏 𝑡õ𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑎.

Lauseid, mida saab tõestada, nimetatakse teoreemideks. Teoreemil on kolm osa:

Eeldus – ütleb, mis on antud või teada

Väide – mida peab tõestama

Tõestus – range loogiline arutelu, mis põhineb aksioomidel ning varem tõestatud

teoreemidel.

Sageli on teoreemid esitatud kujul:

𝐾𝑢𝑖 …… . . ,⏟ 𝑒𝑒𝑙𝑑𝑢𝑠

𝑠𝑖𝑖𝑠 …… .⏟𝑣ä𝑖𝑑𝑒

5.2. Kolmnurk

Kolmnurk on kolme punktiga määratud kinnine murdjoon koos tasandi osaga, mida

murdjoon piirab.

5. Geomeetria

Käthlin Pakkas

Kolmnurga külgi võib tähistada suurtähtedega AB, BC ja AC või ka väiketähtedega

(märgituna külgede keskele) a, b, c. Kolmnurga nurki tähistatakse kreeka tähtedega

𝛼 − 𝑎𝑙𝑓𝑎, 𝛽 − 𝑏𝑒𝑒𝑡𝑎, 𝛾 − 𝑔𝑎𝑚𝑚𝑎

Kolmnurga igale küljele saab joonestada kõrguse. Kõrgus h on kolmnurga tipust

vastasküljeni tõmmatud ristlõik.

5.2.1. Kolmnurga ümbermõõt ja pindala

Kolmnurga ümbermõõdu saame, liites kõik küljed.

𝑃 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐

Kolmnurga pindala saame, kui kasutame valemit

𝑆 =𝑎 ∙ ℎ

2 𝑒ℎ𝑘 𝑆 =

𝑎𝑙𝑢𝑠 ∙ 𝑘õ𝑟𝑔𝑢𝑠

2

𝑁ä𝑖𝑑𝑒:

𝐴𝑟𝑣𝑢𝑡𝑎𝑚𝑒 𝑗𝑜𝑜𝑛𝑖𝑠𝑒𝑙 𝑜𝑙𝑒𝑣𝑎 𝑘𝑜𝑙𝑚𝑛𝑢𝑟𝑔𝑎 ü𝑚𝑏𝑒𝑟𝑚õõ𝑑𝑢 𝑗𝑎 𝑝𝑖𝑛𝑑𝑎𝑙𝑎

𝐴𝑟𝑣𝑢𝑡𝑎𝑚𝑒 ü𝑚𝑏𝑒𝑟𝑚õõ𝑑𝑢:

𝑃 = 3,2 + 5,1 + 5 = 13,3 (üℎ𝑖𝑘𝑢𝑡)

𝐴𝑟𝑣𝑢𝑡𝑎𝑚𝑒 𝑝𝑖𝑛𝑑𝑎𝑙𝑎:

𝑆 =3 ∙ 5,1

2= 7,65 (𝑝𝑖𝑛𝑑𝑎𝑙𝑎üℎ𝑖𝑘𝑢𝑡)

5. Geomeetria

Käthlin Pakkas

Kolmnurgal on kolm külge ja kolm nurka. Tipu A juures on külje BC vastasnurk, Tipu B juures

AC vastasnurk; külje AB vastasnurk on tipu C juures olev nurk.

Kolmnurga elementideks nimetatakse kolmnurga külgi ja nurki.

5.2.2. Kolmnurga sisenurkade summa

Iga kolmnurga sisenurkade summa on 180°.

𝑁ä𝑖𝑑𝑒:

𝐽𝑜𝑜𝑛𝑒𝑠𝑡𝑎𝑚𝑒 𝑣𝑎𝑏𝑎𝑙𝑡 𝑣𝑎𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑘ü𝑙𝑗𝑒𝑝𝑖𝑘𝑘𝑢𝑠𝑡𝑒𝑔𝑎 𝑘𝑜𝑙𝑚𝑛𝑢𝑟𝑔𝑎

𝑛𝑖𝑛𝑔 𝑚õõ𝑑𝑎𝑚𝑒 𝑛𝑢𝑟𝑘𝑎𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑢𝑟𝑢𝑠𝑒𝑑:

𝛼 + 𝛽 + 𝛾 = 180°

5.2.3. Kolmnurkade võrdsuse tunnused

1. Kaks kolmnurka on võrdsed, kui nende küljed on sama pikad ja vastavad sisenurgad

sama suure Kui ühe kolmnurga kolm külge on vastavalt võrdsed teise kolmnurga

kolme küljega, siis need kolmnurgad on võrdsed (tunnus KKK).

2. Kui ühe kolmnurga kaks külge ja nendevaheline nurk on vastavalt võrdsed teise

kolmnurga kahe külje ja nendevahelise nurgaga, siis need kolmnurgad on võrdsed

(tunnus KNK).

3. Kui ühe kolmnurga külg ja selle lähisnurgad on vastavalt võrdsed teise kolmnurga

külje ja selle lähisnurkadega, siis need kolmnurgad on võrdsed (tunnus NKN).

5. Geomeetria

Käthlin Pakkas

4. Kui ühe kolmnurga kaks külge ja pikema külje vastasnurk on vastavalt võrdsed teise

kolmnurga kahe külje ja pikema külje vastasnurgaga, siis need kolmnurgad on

võrdsed (tunnus KKN).

5.2.4. Kolmnurgade liigitamine külgede järgi

Kolmnurki liigitatakse vastavalt küljepikkustele:

1. Erikülgne – kõik küljed erineva pikkusega

2. Võrdhaarne – kaks külge sama pikad. Võrdseid külgi nimetatakse haaradeks, kolmas

külg on alus.

Aluse lähisnurgad on alusnurgad, haaradevaheline nurk on tipunurk.

Võrdhaarsel kolmnurgal:

Alusnurgad on võrdsed

Alusele tõmmatud kõrgus poolitab aluse ja tipunurga. (Poolitab – jaotab

kaheks võrdseks osaks.)

3. Võrdkülgne kolmnurk – kõik küljed on võrdsed

Kõik nurgad on võrdsed: iga nurk 60°.

Kõrgus poolitab külje ja vastasnurga

5.2.5. Kolmnurkade liigitamine sisenurkade suuruste järgi

1. Teravnurkne kolmnurk – kõik sisenurgad on väiksemad kui 90°.

2. Täisnurkne kolmnurk – üks sisenurk on 90° (täisnurk). Küljed, mis moodustavad

täisnurga, on kaatetid. Täisnurga vastaskülg (kõige pikem külg) on hüpotenuus.

3. Täisnurkse kolmnurga pindala on 𝑆 =𝑎∙𝑏

2 𝑒ℎ𝑘 𝑆 =

𝑘𝑎𝑎𝑡𝑒𝑡∙𝑘𝑎𝑎𝑡𝑒𝑡

2

5. Geomeetria

Käthlin Pakkas

5.2.6. Kolmnurkade sarnasuse tunnused

Kaks kolmnurka on sarnased, kui nende vastavate (st jagame pikimat pikima küljega;

keskmise pikkustega külgi; lühimat lühimaga) külgede jagatised on võrdsed.

Sarnastel kolmnurkadel erinevad küljepikkused võrdetegur k korda.

Kolmnurkade sarnasuse tunnused on:

1. Tunnus NN. Kui ühe kolmnurga kaks nurka on vastavalt võrdsed teise

kolmnurga kahe nurgaga, siis on need kolmnurgad sarnased.

2. Tunnus KNK. Kui ühe kolmnurga üks nurk on võrdne teise kolmnurga ühe

nurgaga ning nende nurkade lähisküljed on võrdelised, siis on need

kolmnurgad sarnased.

3. Tunnus KKK. Kui ühe kolmnurga kolm külge on vastavalt võrdelised teise

kolmnurga kolme küljega, siis on need kolmnurgad sarnased.

Ülesannete lahendamisel on vaja otsustada ja põhjendada, millise tunnuse põhjal on

kaks kolmnurka sarnased ning seejärel vastavate külgede jagatis leida.

5.2.7. Kolmnurga kesklõik

Kolmnurga kesklõik on kolmnurga kahe külje keskpunkte ühendav lõik. Kesklõik on

paralleelne kolmnurga ühe küljega ja moodustab pool sellest. Joonisel

𝐸𝐷 ∥ 𝐵𝐶, 2 ∙ 𝐸𝐷 = 𝐵𝐶). Kolmnurgale saab joonestada kolm kesklõiku.

5. Geomeetria

Käthlin Pakkas

5.2.8. Kolmnurga mediaanid

Kolmnurga mediaan ühendab kolmnurga tippu vastaskülje keskpunktiga. Kolmnurgal on

kolm mediaani. Mediaanide lõikepunkt (joonisel punkt G) on ühtlasi kolmnurga raskuskese.

Mediaanide lõikepunkt jaotab mediaani kaheks osaks nii, et tipupoolne osa on kaks korda

pikem kui küljepoolne osa (joonisel mediaan AF: tipupoolne osa 𝐴𝐺 = 3,8 ühikut,

küljepoolne osa 𝐺𝐹 = 1,9 ühikut)

5.2.9 Pythagorase teoreem

Pythagorase teoreem kehtib vaid täisnurkses kolmnurgas. Teoreemi abil saab leida

täisnurkse kolmnurga puuduolevat külge, kui kaks külge on olemas

𝐾𝑎𝑎𝑡𝑒𝑡𝑖𝑡𝑒 𝑟𝑢𝑢𝑡𝑢𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑚𝑚𝑎 𝑜𝑛 𝑣õ𝑟𝑑𝑛𝑒 ℎü𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑢𝑠𝑖 𝑟𝑢𝑢𝑑𝑢𝑔𝑎

𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2

Kõige sagedamini peame ülesannetes kasutama teoreemi teisendusi:

𝑐 = √𝑎2 + 𝑏2

𝑎 = √𝑐2 − 𝑏2

𝑏 = √𝑐2 − 𝑎2

𝑁ä𝑖𝑑𝑒:

𝐴𝑟𝑣𝑢𝑡𝑎𝑚𝑒 𝑗𝑜𝑜𝑛𝑖𝑠𝑒𝑙 𝑜𝑙𝑒𝑣𝑎 𝑡ä𝑖𝑠𝑛𝑢𝑟𝑘𝑠𝑒 𝑘𝑜𝑙𝑚𝑛𝑢𝑟𝑔𝑎 ℎü𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑢𝑠𝑖 𝑝𝑖𝑘𝑘𝑢𝑠𝑒:

𝐻ü𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑢𝑠𝑖 𝑝𝑖𝑘𝑘𝑢𝑠 𝑐 = √62 + 82 = √36 + 64 = √100 = 10 (üℎ𝑖𝑘𝑢𝑡)

5. Geomeetria

Käthlin Pakkas

5.2.10. Teravnurga trigonomeetrilised funktsioonid

Täisnurkne kolmnurk on määratud, kui on teada vähemalt tema kaks elementi:

Üks külg ja üks teravnurk

Kaks külge

Kolm külge

Täisnurkse kolmnurga teravnurgad on teineteise täiendusnurgad, sest nende summa on

alati 90°.

Valemite kasutamisel on oluline osata määrata, milline kaatet on antud nurga vastaskaatet

ning milline lähiskaatet.

Täisnurkse kolmnurgas kehtivad järgmised seosed:

Siinus

𝑠𝑖𝑖𝑛𝑢𝑠 =𝑣𝑎𝑠𝑡𝑎𝑠𝑘𝑎𝑎𝑡𝑒𝑡

ℎü𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑢𝑠

𝑠𝑖𝑛𝛼 =𝑎

𝑐 𝑠𝑖𝑛𝛽 =

𝑏

𝑐

Koosinus

𝑘𝑜𝑜𝑠𝑖𝑛𝑢𝑠 =𝑙äℎ𝑖𝑠𝑘𝑎𝑎𝑡𝑒𝑡

ℎü𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑢𝑠

𝑐𝑜𝑠𝛼 =𝑏

𝑐 𝑐𝑜𝑠𝛽 =

𝑎

𝑐

Ühe nurga siinus on võrdne tema täiendusnurga koosinusega

Tangens

𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑠 =𝑣𝑎𝑠𝑡𝑎𝑠𝑘𝑎𝑎𝑡𝑒𝑡

𝑙äℎ𝑖𝑠𝑘𝑎𝑎𝑡𝑒𝑡

𝑡𝑎𝑛𝛼 =𝑎

𝑏 𝑡𝑎𝑛𝛽 =

𝑏

𝑎

5. Geomeetria

Käthlin Pakkas

𝑁ä𝑖𝑑𝑒:

𝐾𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙𝑙𝑖𝑚𝑒 𝑠𝑒𝑜𝑠𝑒𝑖𝑑 𝑗𝑜𝑜𝑛𝑖𝑠𝑒𝑙 𝑜𝑙𝑒𝑣𝑎𝑠 𝑘𝑜𝑙𝑚𝑛𝑢𝑟𝑔𝑎𝑠:

𝑠𝑖𝑛𝛽 =4

5= 0,8, 𝛽 ≈ 53,13° (𝑘𝑎𝑙𝑘𝑢𝑙𝑎𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑙 𝑛𝑢𝑟𝑔𝑎 𝑙𝑒𝑖𝑑𝑚𝑖𝑠𝑒𝑘𝑠 𝑘𝑎𝑠𝑢𝑡𝑎: 𝑠ℎ𝑖𝑓𝑡 𝑣õ𝑖 2𝑛𝑑 ,

𝑠𝑒𝑒𝑗ä𝑟𝑒𝑙 𝑘𝑙𝑎ℎ𝑣

𝑠𝑖𝑛−1

𝑠𝑖𝑛)

𝑐𝑜𝑠𝛽 =3

5= 0,6, 𝛽 ≈ 53,13°

𝑡𝑎𝑛𝛽 =4

3≈ 1,3333, 𝛽 ≈ 53,13°

Nurgafunktsiooni (kas sin, cos või tan) valik sõltub sellest, millised küljed on olemas (antud).

Nt kui on antud vaid kaatetid, saame kasutada ainult tangensit nurga leidmiseks.

Nurgafunktsioonide abil saab leida ka täisnurkse kolmnurga ülejäänud külgi, kui on antud

üks külg ja üks nurk. Sama joonise põhjal saab veenduda külje c pikkuses:

𝑠𝑖𝑛𝛽 =𝑏

𝑐⇛ 𝑐 =

𝑏

𝑠𝑖𝑛𝛽

𝑐 =4

𝑠𝑖𝑛53,13°=

4

0,8⏟𝑠𝑖𝑠𝑒𝑠𝑡𝑎𝑚𝑒

53,13° 𝑠𝑖𝑛

= 5

Nurgafunktsioonide valemite teisendused võimaldavad täisnurkset kolmnurka lahendada,

st leida tema kõik nurgad, küljed ja ka pindala.

5. Geomeetria

Käthlin Pakkas

5.2.11 Kolmnurga ümberringjoon ja siseringjoon

Igale kolmnurgale saab joonestada ümberringjoone – ringjoone, mis läbib kõiki kolmnurga

tippe. Ümberringjoone keskpunkt on kolmnurga külgede keskristsirgete lõikepunktis.

𝑇𝑒𝑟𝑎𝑣𝑛𝑢𝑟𝑘𝑠𝑒 𝑘𝑜𝑙𝑚𝑛𝑢𝑟𝑔𝑎 𝑘ü𝑙𝑔𝑒𝑑𝑒 𝑘𝑒𝑠𝑘𝑟𝑖𝑠𝑡𝑠𝑖𝑟𝑔𝑒𝑡𝑒 𝑙õ𝑖𝑘𝑒𝑝𝑢𝑛𝑘𝑡 𝑜𝑛 𝑘𝑜𝑙𝑚𝑛𝑢𝑟𝑔𝑎 𝑠𝑒𝑒𝑠.

𝑇ä𝑖𝑠𝑛𝑢𝑟𝑘𝑠𝑒 𝑘𝑜𝑙𝑚𝑛𝑢𝑟𝑔𝑎 𝑘ü𝑙𝑔𝑒𝑑𝑒 𝑘𝑒𝑠𝑘𝑟𝑖𝑠𝑡𝑠𝑖𝑟𝑔𝑒𝑡𝑒 𝑙õ𝑖𝑘𝑒𝑝𝑢𝑛𝑘𝑡 𝑝𝑜𝑜𝑙𝑖𝑡𝑎𝑏 ℎü𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑢𝑠𝑖.

𝑁ü𝑟𝑖𝑛𝑢𝑟𝑘𝑠𝑒 𝑘𝑜𝑙𝑚𝑛𝑢𝑟𝑔𝑎 𝑘ü𝑙𝑔𝑒𝑑𝑒 𝑘𝑒𝑠𝑘𝑟𝑖𝑠𝑡𝑠𝑖𝑟𝑔𝑒𝑡𝑒 𝑙õ𝑖𝑘𝑒𝑝𝑢𝑛𝑘𝑡 𝑎𝑠𝑢𝑏 𝑣ä𝑙𝑗𝑎𝑠𝑝𝑜𝑜𝑙 𝑘𝑜𝑙𝑚𝑛𝑢𝑟𝑘𝑎.

5. Geomeetria

Käthlin Pakkas

Igale kolmnurgale saab joonestada siseringjoone. Siseringjoone keskpunkt on kolmnurga

nurgapoolitajate lõikepunkt. Siseringjoonel on kolmnurga iga küljega vaid üks puutepunkt.

5.3. Rööpkülik

Rööpkülik on nelinurk, mille vastasküljed on paralleelsed: 𝑎 ∥ 𝑑, 𝑏 ∥ 𝑐. Vastasküljed on

võrdsed: 𝑎 = 𝑑, 𝑏 = 𝑐.

Rööpküliku ümbermõõdu saame, liites kõik küljed. Kuna vastasküljed on võrdsed, siis saame

ümbermõõdu leida, korrutades lähiskülgede summat kahega:

𝑃 = 2(𝑎 + 𝑏)

Rööpküliku pindala on aluse ja kõrguse korrutis.

𝑆 = 𝑎 ∙ ℎ 𝑒ℎ𝑘 𝑆 = 𝑎𝑙𝑢𝑠 ∙ 𝑘õ𝑟𝑔𝑢𝑠

5. Geomeetria

Käthlin Pakkas

Rööpküliku diagonaalid poolitavad teineteist.

Rööpküliku vastasnurgad on võrdsed: ∠𝐵 = ∠𝐷,∠𝐴 = ∠𝐶.

Rööpküliku lähisnurkade summa on 180°: ∠𝐵 + ∠𝐶 = 180° , ∠𝐴,+∠𝐷 = 180°

5.4. Romb

Romb on võrdsete külgedega rööpkülik.

Rombi diagonaalid on risti

Rombi vastasnurgad on võrdsed

Diagonaalid poolitavad rombi sisenurki

5. Geomeetria

Käthlin Pakkas

Rombi ümbermõõdu leidmiseks korrutame küljepikkust neljaga (4 võrdse pikkusega

külge):

𝑃 = 4 ∙ 𝑎

Rombi pindala saab arvutada samamoodi, kui rööpküliku pindala, joonestades kahe

vastaskülje vahele ristlõigu (kõrguse). Rombi pindala saab aga ka arvutada

diagonaalide 𝑑1 ja 𝑑2 kaudu:

𝑆 =𝑑1 ∙ 𝑑22

5.4. Ristkülik

Ristkülik on rööpküliku erijuhtum, see tähendab, et tal on kõik rööpküliku omadused, lisaks:

Ristküliku diagonaalid on võrdsed ja poolitavad teineteist

Ristküliku sisenurk on 90°

Diagonaal jaotab ristküliku kaheks võrdseks täisnurkseks kolmnurgaks

Diagonaali saab arvutada Pythagorase teoreemiga 𝑑 = √𝑎2 + 𝑏2

Ristküliku ümbermõõdu saame arvutada, liites kõik küljed. . Kuna vastasküljed on võrdsed,

siis saame ümbermõõdu leida, korrutades lähiskülgede summat kahega:

𝑃 = 2(𝑎 + 𝑏)

Ristküliku pindala saame, kui korrutame lähisküljed:

𝑆 = 𝑎 ∙ 𝑏

5. Geomeetria

Käthlin Pakkas

5.5. Ruut

Ka ruut on rööpküliku erijuhtum. Tal on kõik rööpküliku omadused ja ka ristküliku

omadused.

Ruudu sisenurk on 90°

Ruudu küljed on võrdsed

Ruudu diagonaalid on risti (diagonaalidevaheline nurk on 90°)

Diagonaali saab arvutada valemiga 𝑑 = 2√𝑎 (saab tuletada Pythagorase teoreemist)

5.6. Trapets

Trapets on nelinurk, millel on kaks paralleelset külge (alused, tähistatakse sageli

väiketähtedega a ja b) ja kaks mitteparalleelset külge (haarad).

Trapetsi haara lähisnurkade summa on 180° (joonisel ∠𝐵 + ∠𝐶 = 180°; ∠𝐷 + ∠𝐴 = 180°)

Trapetsi kõrgus on alustevaheline ristlõik.

5. Geomeetria

Käthlin Pakkas

5.6.1. Trapetsi kesklõik

Trapetsi kesklõik on lõik, mis ühendab trapetsi haarade keskpunkte. Trapetsi kesklõik on

alati alustega paralleelne ning moodustab pool aluste summast.

𝑘 =𝑎 + 𝑏

2

5.6.2. Trapetsi ümbermõõt ja pindala

Trapetsi ümbermõõdu leidmiseks liidame kõik küljed.

Trapetsi pindala leidmiseks korrutame aluste poolsummat kõrgusega

𝑆 =𝑎 + 𝑏

2∙ ℎ 𝑒ℎ𝑘 𝑆 =

𝑎𝑙𝑢𝑠 + 𝑎𝑙𝑢𝑠

2∙ 𝑘õ𝑟𝑔𝑢𝑠

Kuna trapetsi kesklõigu pikkus on võrdne aluste poolsummaga, siis saab trapetsi pindala

arvutada ka valemiga

𝑆 = 𝑘 ∙ ℎ

5. Geomeetria

Käthlin Pakkas

5.7. Korrapärane hulknurk

Korrapärane on hulknurk, mille küljed sama pikad ja sisenurgad võrdsed. Nelinurkadest on

korrapärane hulknurk ainult ruut.

5.7.1. Sisenurkade summa

Korrapärasel hulknurgal võib olla n tippu. Tippude arvu põhjal saame arvutada sisenurkade

summa 𝑆𝑛:

𝑆𝑛 = (𝑛 − 2) ∙ 180°

Sisenurkade summa põhjal saame arvutada ka ühe sisenurga 𝛼 suuruse:

𝛼 =(𝑛 − 2) ∙ 180°

𝑛 𝑒ℎ𝑘 𝛼 =

𝑆𝑛𝑛

𝑁ä𝑖𝑑𝑒:

𝐴𝑟𝑣𝑢𝑡𝑎𝑚𝑒 𝑘𝑜𝑟𝑟𝑎𝑝ä𝑟𝑎𝑠𝑒 𝑘𝑎ℎ𝑒𝑘𝑠𝑎𝑛𝑢𝑟𝑔𝑎 𝑠𝑖𝑠𝑒𝑛𝑢𝑟𝑘𝑎𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑚𝑚𝑎 𝑗𝑎 üℎ𝑒 𝑠𝑖𝑠𝑒𝑛𝑢𝑟𝑔𝑎 𝑠𝑢𝑢𝑟𝑢𝑠𝑒.

𝑆𝑖𝑠𝑒𝑛𝑢𝑟𝑘𝑎𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑚𝑚𝑎: 𝑆8 = (8 − 2) ∙ 180° = 1080°

Ü𝑘𝑠 𝑠𝑖𝑠𝑒𝑛𝑢𝑟𝑘: 𝛼 =1080°

8= 135°

Korrapärase hulknurga külje tähis on väiketäht a. Joonestades korrapärasele hulknurgale,

siis näeme, et n tipuga hulknurk jaotub n kolmnurgaks. Näiteks kuusnurk jaotub kuueks

võrdseks kolmnurgaks. Kui muude hulknurkade sisse tekivad võrdhaarsed kolmnurgad, siis

kuusnurga sisse tekib 6 võrdkülgset kolmnurka. Hulknurga külge aluseks võttes saab

kolmnurgale tõmmata kõrguse r – apoteem.

5. Geomeetria

Käthlin Pakkas

5.7.2. Korrapärase hulknurga ümbermõõt ja pindala

Korrapärase hulknurga ümbermõõdu arvutame, korrutades küljepikkust tippude (külgede)

arvuga:

𝑃 = 𝑛 ∙ 𝑎

Korrapärase hulknurga pindala saame valemist

𝑆 = 𝑛 ∙𝑎 ∙ 𝑟

2 𝑒ℎ𝑘 𝑆 =

𝑛 ∙ 𝑎 ∙ 𝑟

2 𝑒ℎ𝑘 𝑆 =

𝑃 ∙ 𝑟

2

Tähistades pool ümbermõõtu väiketähega 𝑝, saame:

𝑝 =𝑃

2 𝑛𝑖𝑛𝑔 𝑆 = 𝑝 ∙ 𝑟

𝑁ä𝑖𝑑𝑒:

𝐴𝑟𝑣𝑢𝑡𝑎𝑚𝑒 𝑘𝑜𝑟𝑟𝑎𝑝ä𝑟𝑎𝑠𝑒 𝑘𝑢𝑢𝑠𝑛𝑢𝑟𝑔𝑎 ü𝑚𝑏𝑒𝑟𝑚õõ𝑑𝑢 𝑗𝑎 𝑝𝑖𝑛𝑑𝑎𝑙𝑎, 𝑘𝑢𝑖 𝑎 = 2,61ü 𝑗𝑎

𝑟 = 2,26ü (𝑣𝑡 𝑒𝑒𝑙𝑚𝑖𝑛𝑒 𝑗𝑜𝑜𝑛𝑖𝑠).

Ü𝑚𝑏𝑒𝑟𝑚õõ𝑡: 𝑃 = 𝑛 ∙ 𝑎

𝑃 = 6 ∙ 2,61 = 15,66(üℎ𝑖𝑘𝑢𝑡)

𝑃𝑖𝑛𝑑𝑎𝑙𝑎: 𝑆 =𝑃 ∙ 𝑟

2

𝑆 =15,66 ∙ 2,26

2≈ 17,69(𝑝𝑖𝑛𝑑𝑎𝑙𝑎üℎ𝑖𝑘𝑢𝑡)

5. Geomeetria

Käthlin Pakkas

5.7.3. Korrapärase hulknurga ümberringjoon ja siseringjoon

Korrapärasele hulknurgale saab joonestada ümberringjoone. Ümberringjoon on ringjoon,

mis läbib kõiki hulknurga tippe ning mille keskpunkt asub hulknurga keskel. Ümberringjoone

raadiust tähistatakse suurtähega R.

Korrapärasele hulknurgale saab joonestada siseringjoone. Siseringjoon on ringjoon, mis

puudutab kõiki hulknurga külgi ning mille keskpunkt asub hulknurga keskel. Ümberringjoone

raadiust tähistatakse väiketähega r (siseringjoone raadius on võrdne hulknurga

apoteemiga).

5. Geomeetria

Käthlin Pakkas

5.8. Hulknurkade sarnasus

Kaks hulknurka on sarnased, kui nende vastavad küljed on võrdelised (st jagatised on

võrdsed) ja vastavad nurgad on võrdsed.

𝑁ä𝑖𝑑𝑒:

𝐽𝑜𝑜𝑛𝑖𝑠𝑒𝑙 𝑜𝑛 𝑘𝑎𝑘𝑠 𝑠𝑎𝑟𝑛𝑎𝑠𝑡 𝑛𝑒𝑙𝑖𝑛𝑢𝑟𝑘𝑎,𝑚𝑖𝑙𝑙𝑒 𝑠𝑎𝑠𝑛𝑎𝑠𝑢𝑠𝑡𝑒𝑔𝑢𝑟 𝑜𝑛 2

𝑣õ𝑖 0,5 (𝑚õ𝑙𝑒𝑚𝑎𝑑 𝑜𝑛 õ𝑖𝑔𝑒𝑑):

𝐿𝑒𝑖𝑎𝑚𝑒 𝑠𝑎𝑟𝑛𝑎𝑠𝑢𝑠𝑡𝑒𝑔𝑢𝑟𝑖, 𝑙𝑒𝑖𝑑𝑒𝑠 𝑣𝑎𝑠𝑡𝑎𝑣𝑎𝑡𝑒 𝑘ü𝑙𝑔𝑒𝑑𝑒 𝑗𝑎𝑔𝑎𝑡𝑖𝑠𝑒𝑑:

𝐹𝐺

𝐵𝐶=𝐸𝐻

𝐴𝐷=𝐻𝐺

𝐴𝐵=𝐸𝐹

𝐷𝐶

𝑘 =6

3=4

2=4

2=4,472

2,2236= 2

Korrapäraste hulknurkade sarnasus

Kõik võrdkülgsed kolmnurgad sarnased

Kõik ruudud on sarnased

Kõik korrapärased viis-, kuus, n-nurgad on sarnased.

5. Geomeetria

Käthlin Pakkas

5.9. Ring ja ringjoon

Ring on tasandi osa, mida piirab ringjoon. Ringjoon on joon, mille iga punkt asub tasandi

ühest punktist (ringjoone keskpunktist) sama kaugel. Ringil on keskpunkt, läbi mille saab

joonestada ringi diameetri ehk läbimõõdu d. Ringi raadius on pool diameetrist.

𝑟 =𝑑

2 , 𝑑 = 2 ∙ 𝑟

Ringjoone pikkust ja ringi ümbermõõtu (tähis 𝐶) saab arvutada valemiga

𝐶 = 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟 , 𝐶 = 𝜋 ∙ 𝑑

Arv pii (𝜋) on mis tahes ringjoone pikkuse C ja läbimõõdu suhe ehk jagatis:

𝜋 =𝐶

𝑑

Ringi pindala saab arvutada valemiga:

𝑆 = 𝜋 ∙ 𝑟2

𝑁ä𝑖𝑑𝑒:

𝐴𝑟𝑣𝑢𝑡𝑎𝑚𝑒 𝑟𝑖𝑛𝑔𝑖 ü𝑚𝑏𝑒𝑟𝑚õõ𝑑𝑢 𝑗𝑎 𝑟𝑖𝑛𝑑𝑖 𝑝𝑖𝑛𝑑𝑎𝑙𝑎, 𝑘𝑢𝑖 𝑟 = 4,8.

Ü𝑚𝑏𝑒𝑟𝑚õõ𝑡 𝐶 = 2 ∙ 𝜋 ∙ 4,8 ≈ 30,2 (üℎ𝑖𝑘𝑢𝑡)

𝑃𝑖𝑛𝑑𝑎𝑙𝑎 𝑆 = 𝜋 ∙ 4,82 ≈ 73,4 (𝑝𝑖𝑛𝑑𝑎𝑙𝑎üℎ𝑖𝑘𝑢𝑡)

5. Geomeetria

Käthlin Pakkas

5.9.1. Kesknurk

Ringi kesknurk on nurk, mille haarad on ringjoonel ning mille tipp asub ringi keskpunktis.

𝐽𝑜𝑜𝑛𝑖𝑠𝑒𝑙 𝑜𝑛 𝑘𝑒𝑠𝑘𝑛𝑢𝑟𝑘 𝛼,𝑚𝑖𝑠 𝑡𝑜𝑒𝑡𝑢𝑏 𝑘𝑎𝑎𝑟𝑒𝑙𝑒 𝐴𝐷.̂

5.9.2. Piirdenurk, Thalese teoreem

Piirdenurk on nurk, mille haarad on ringjoonel ning mille tipp asub samuti ringjoonel.

𝐽𝑜𝑜𝑛𝑖𝑠𝑒𝑙 𝑜𝑛 𝑝𝑖𝑖𝑟𝑑𝑒𝑛𝑢𝑟𝑘 𝛼,𝑚𝑖𝑠 𝑡𝑜𝑒𝑡𝑢𝑏 𝑘𝑎𝑎𝑟𝑒𝑙𝑒 𝐴𝐵.̂

Samale kaarele toetuv kesknurk on kaks korda suurem, kui piirdenurk.

5. Geomeetria

Käthlin Pakkas

𝐽𝑜𝑜𝑛𝑖𝑠𝑒𝑙 𝑜𝑛 𝑘𝑒𝑠𝑘𝑛𝑢𝑟𝑘 𝛼 𝑗𝑎 𝑝𝑖𝑖𝑟𝑑𝑒𝑛𝑢𝑟𝑘 𝛽,𝑚𝑖𝑠 𝑡𝑜𝑒𝑡𝑢𝑣𝑎𝑑 𝑘𝑎𝑎𝑟𝑒𝑙𝑒 𝐷�̂�.

2 ∙ 44° = 88°

Suurendades kesknurka nii, et see oleks 180°, saame kesk- ja piirdenurga vahelisest seosest

arvutada samale kaarele toetuva piirdenurga: 180°

2= 90°.

Thalese teoreem: diameetrile toetuv piirdenurk on täisnurk.

𝐽𝑜𝑜𝑛𝑖𝑠𝑒𝑙 𝑜𝑛 𝑝𝑖𝑖𝑟𝑑𝑒𝑛𝑢𝑟𝑘 𝛽 𝑗𝑎 𝑘𝑒𝑠𝑘𝑛𝑢𝑟𝑘 𝛼,𝑚𝑖𝑠 𝑡𝑜𝑒𝑡𝑢𝑣𝑎𝑑 𝑠𝑎𝑚𝑎𝑙𝑒 𝑘𝑎𝑎𝑟𝑒𝑙𝑒 𝐵�̂�

5.9.3 Ringjoone puutuja

Ringjoone puutuja on sirge, millel on ringjoonega vaid üks ühine punkt. Ringjoone puutuja

on risti puutepunkti tõmmatud raadiusega.

𝐽𝑜𝑜𝑛𝑖𝑠𝑒𝑙 𝑜𝑛 𝑝𝑢𝑢𝑡𝑢𝑗𝑎 𝑔 𝑡õ𝑚𝑚𝑎𝑡𝑢𝑑 𝑙ä𝑏𝑖 𝑝𝑢𝑢𝑡𝑒𝑝𝑢𝑛𝑘𝑡𝑖 𝑃.

5. Geomeetria

Käthlin Pakkas

5.10 Püströöptahukas

Püströöptahukas on tahkkeha (ruumiline kujund, mis koosneb tahkudest), mille põhjadeks

on võrdsed rööpkülikud (st põhitahk võib olla rööpkülik, ristkülik, ruut, romb) ning

külgtahkudeks ristkülikud. Kui püströöptahuka põhjadeks on ristkülikud, siis on tegemist

püströöptahuka erijuhtumi ehk risttahukaga.

𝐽𝑜𝑜𝑛𝑖𝑠𝑒𝑙 𝑜𝑛 𝑝ü𝑠𝑡𝑟öö𝑝𝑡𝑎ℎ𝑢𝑘𝑎𝑠,𝑚𝑖𝑙𝑙𝑒 𝑝õℎ𝑖𝑡𝑎ℎ𝑢𝑑 𝑜𝑛 𝑟öö𝑝𝑘ü𝑙𝑖𝑘𝑢𝑑 𝐴𝐶𝐷𝐹 𝑗𝑎 𝐻𝐽𝐾𝐿

𝑃õℎ𝑗𝑎𝑘𝑠 𝑜𝑙𝑒𝑣𝑎 𝑟öö𝑝𝑘ü𝑙𝑖𝑘𝑢 𝑘õ𝑟𝑔𝑢𝑠 ℎ = 𝐷𝑀.

𝐾ü𝑙𝑔𝑡𝑎ℎ𝑢𝑑 𝑜𝑛 𝐴𝐹𝐻𝐽; 𝐴𝐷𝐻𝐿 𝐷𝐶𝐾𝐿 𝑗𝑎 𝐹𝐶𝐽𝐾.

𝐾𝑢𝑗𝑢𝑛𝑑𝑖 𝑘õ𝑟𝑔𝑢𝑠 𝐻 𝑜𝑛 𝑘ü𝑙𝑔𝑠𝑒𝑟𝑣 𝐹𝐽 (𝑣õ𝑖 𝐾𝐶, 𝐿𝐷, 𝐴𝐻).

5. Geomeetria

Käthlin Pakkas

Ruumilistel kujunditel saame arvutada osapindalasid:

𝑝õℎ𝑗𝑎 𝑝𝑖𝑛𝑑𝑎𝑙𝑎: 𝑆𝑝

𝑘ü𝑙𝑔𝑝𝑖𝑛𝑑𝑎𝑙𝑎 𝑆𝑘

𝑡ä𝑖𝑠𝑝𝑖𝑛𝑑𝑎𝑙𝑎 𝑆𝑡

Igal ruumilisel kujundil saab arvutada ka ruumala (tähis 𝑉).

Püströöptahuka pindalad:

𝑃õℎ𝑗𝑎 𝑝𝑖𝑛𝑑𝑎𝑙𝑎 𝑆𝑝 𝑠õ𝑙𝑡𝑢𝑏 𝑠𝑒𝑙𝑙𝑒𝑠𝑡, 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑖𝑛𝑒 𝑘𝑢𝑗𝑢𝑛𝑑 𝑜𝑛 𝑝õℎ𝑗𝑎𝑘𝑠:

𝑅öö𝑝𝑘ü𝑙𝑖𝑘: 𝑆𝑝 = 𝑎ℎ 𝑅𝑖𝑠𝑡𝑘ü𝑙𝑖𝑘: 𝑆𝑝 = 𝑎𝑏 𝑅𝑢𝑢𝑡: 𝑆𝑝 = 𝑎2 𝑅𝑜𝑚𝑏: 𝑆𝑝 =

𝑑1 ∙ 𝑑22

𝐾ü𝑙𝑔𝑝𝑖𝑛𝑑𝑎𝑙𝑎 𝑙𝑒𝑖𝑑𝑚𝑖𝑠𝑒𝑘𝑠 𝑘𝑜𝑟𝑟𝑢𝑡𝑎𝑚𝑒 𝑝õℎ𝑗𝑎 ü𝑚𝑏𝑒𝑟𝑚õõ𝑡𝑢 𝑘õ𝑟𝑔𝑢𝑠𝑒𝑔𝑎:

𝐾ü𝑙𝑔𝑝𝑖𝑛𝑑𝑎𝑙𝑎 𝑆𝑘 = 𝑃 ∙ 𝐻

𝑇ä𝑖𝑠𝑝𝑖𝑛𝑑𝑎𝑙𝑎 𝑙𝑒𝑖𝑑𝑚𝑖𝑠𝑒𝑘𝑠 𝑙𝑖𝑖𝑑𝑎𝑚𝑒 𝑜𝑠𝑎𝑝𝑖𝑛𝑑𝑎𝑙𝑎𝑑, 𝑎𝑟𝑣𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑒𝑠, 𝑒𝑡

𝑝ü𝑠𝑡𝑟öö𝑝𝑡𝑎ℎ𝑢𝑘𝑎𝑙 𝑜𝑛 𝑘𝑎𝑘𝑠 𝑝õℎ𝑗𝑎

𝑇ä𝑖𝑠𝑝𝑖𝑛𝑑𝑎𝑙𝑎 𝑆𝑡 = 2 ∙ 𝑆𝑝 + 𝑆𝑘

𝑅𝑢𝑢𝑚𝑎𝑙𝑎 𝑙𝑒𝑖𝑑𝑚𝑖𝑠𝑒𝑘𝑠 𝑘𝑜𝑟𝑟𝑢𝑡𝑎𝑚𝑒 𝑝õℎ𝑗𝑎 𝑝𝑖𝑛𝑑𝑎𝑙𝑎 𝑘õ𝑟𝑔𝑢𝑠𝑒𝑔𝑎:

𝑉 = 𝑆𝑝 ∙ 𝐻

Sama ruumala valem kehtib kõikidele ruumilistele kujunditele, millel on kaks põhja

(püstprisma, silinder).

5. Geomeetria

Käthlin Pakkas

𝑁ä𝑖𝑑𝑒:

𝐴𝑟𝑣𝑢𝑡𝑎𝑚𝑒 𝑝ü𝑠𝑡𝑟öö𝑝𝑡𝑎ℎ𝑢𝑘𝑎 𝑡ä𝑖𝑠𝑝𝑖𝑛𝑑𝑎𝑙𝑎 𝑗𝑎 𝑟𝑢𝑢𝑚𝑎𝑙𝑎, 𝑘𝑢𝑖 𝐻 = 10 𝑐𝑚

𝑗𝑎 𝑝õℎ𝑖 𝑜𝑛 𝑟öö𝑝𝑘ü𝑙𝑖𝑘,𝑚𝑖𝑙𝑙𝑒 𝑎𝑙𝑢𝑠 𝑎 = 7 𝑐𝑚 𝑗𝑎 𝑘õ𝑟𝑔𝑢𝑠 ℎ = 4 𝑐𝑚

𝑆𝑝 = 7 ∙ 4 = 28 (𝑐𝑚2)

𝐾ü𝑙𝑔𝑝𝑖𝑛𝑑𝑎𝑙𝑎 𝑆𝑘 = 2(4 + 7) ∙ 10 = 22 ∙ 10 = 220 (𝑐𝑚2)

𝑇ä𝑖𝑠𝑝𝑖𝑛𝑑𝑎𝑙𝑎 𝑆𝑡 = 2 ∙ 28 + 220 = 276 (𝑐𝑚2)

𝑉 = 28 ∙ 10 = 280 (𝑐𝑚3)

5. Geomeetria

Käthlin Pakkas

5.11. Püstprisma

Püstprisma on tahkkeha, millel on kaks võrdset põhitahku

Põhitahk kolmnurk – kolmnurkne püstprisma

Põhitahk nelinurk – nelinurkne püstprisma

Põhitahk korrapärane hulknurk

Külgtahkudeks on ristkülikud.

𝐽𝑜𝑜𝑛𝑖𝑠𝑒𝑙 𝑜𝑙𝑒𝑣𝑎 𝑘𝑜𝑙𝑚𝑛𝑢𝑟𝑘𝑠𝑒 𝑝ü𝑠𝑡𝑝𝑟𝑖𝑠𝑚𝑎 𝑝õℎ𝑖𝑡𝑎ℎ𝑢𝑑 𝑜𝑛 𝑡ä𝑖𝑠𝑛𝑢𝑟𝑘𝑠𝑒𝑑 𝑘𝑜𝑙𝑚𝑛𝑢𝑟𝑔𝑎𝑑

𝐴𝐵𝐶 𝑗𝑎 𝐸𝐹𝐷.

𝐾ü𝑙𝑔𝑡𝑎ℎ𝑘𝑢𝑑𝑒𝑘𝑠 𝑜𝑛 𝑟𝑖𝑠𝑡𝑘ü𝑙𝑖𝑘𝑢𝑑 𝐵𝐶𝐷𝐸, 𝐴𝐵𝐷𝐹 𝑗𝑎 𝐴𝐶𝐸𝐹

𝐾õ𝑟𝑔𝑢𝑠 𝐻 𝑜𝑛 𝑘ü𝑙𝑔𝑠𝑒𝑟𝑣 𝐵𝐷 (𝑣õ𝑖 𝐴𝐹, 𝐸𝐶)

𝐽𝑜𝑜𝑛𝑖𝑠𝑒𝑙 𝑜𝑛 𝑘𝑜𝑟𝑟𝑎𝑝ä𝑟𝑎𝑛𝑒 𝑘𝑢𝑢𝑠𝑛𝑢𝑟𝑘𝑛𝑒 𝑝ü𝑠𝑡𝑝𝑟𝑖𝑠𝑚𝑎,𝑚𝑖𝑙𝑙𝑒 𝑝õℎ𝑖𝑡𝑎ℎ𝑢𝑑 𝑜𝑛

𝑘𝑢𝑢𝑠𝑛𝑢𝑟𝑔𝑎𝑑 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 𝑗𝑎 𝑀𝑁𝑂𝑃𝑄𝑅

𝐾ü𝑙𝑔𝑡𝑎ℎ𝑢𝑑 𝑜𝑛 𝑘õ𝑖𝑘 𝑣õ𝑟𝑑𝑠𝑒𝑑 𝑟𝑖𝑠𝑡𝑘ü𝑙𝑖𝑘𝑢𝑑

𝐾õ𝑟𝑔𝑢𝑠 𝐻 𝑜𝑛 𝑘ü𝑙𝑔𝑠𝑒𝑟𝑣 𝑃𝐷

𝑃õℎ𝑖𝑡𝑎ℎ𝑢 𝑎𝑝𝑜𝑡𝑒𝑒𝑚 𝑜𝑛 𝐻𝐺

5. Geomeetria

Käthlin Pakkas

𝑃õℎ𝑗𝑎 𝑝𝑖𝑛𝑑𝑎𝑙𝑎 𝑆𝑝 𝑠õ𝑙𝑡𝑢𝑏 𝑠𝑒𝑙𝑙𝑒𝑠𝑡, 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑖𝑛𝑒 𝑘𝑢𝑗𝑢𝑛𝑑 𝑜𝑛 𝑝õℎ𝑗𝑎𝑘𝑠:

𝐾𝑜𝑙𝑚𝑛𝑢𝑟𝑘: 𝑆𝑝 =𝑎 ∙ ℎ

2 𝑅öö𝑝𝑘ü𝑙𝑖𝑘: 𝑆𝑝 = 𝑎ℎ 𝑅𝑖𝑠𝑡𝑘ü𝑙𝑖𝑘: 𝑆𝑝 = 𝑎𝑏 𝑅𝑢𝑢𝑡: 𝑆𝑝 = 𝑎

2

𝐾𝑜𝑟𝑟𝑎𝑝ä𝑟𝑎𝑛𝑒 ℎ𝑢𝑙𝑘𝑛𝑢𝑟𝑘: 𝑆𝑝 = 𝑛 ∙𝑎 ∙ 𝑟

2

𝐾ü𝑙𝑔𝑝𝑖𝑛𝑑𝑎𝑙𝑎 𝑙𝑒𝑖𝑑𝑚𝑖𝑠𝑒𝑘𝑠 𝑘𝑜𝑟𝑟𝑢𝑡𝑎𝑚𝑒 𝑝õℎ𝑗𝑎 ü𝑚𝑏𝑒𝑟𝑚õõ𝑡𝑢 𝑘õ𝑟𝑔𝑢𝑠𝑒𝑔𝑎:

𝐾ü𝑙𝑔𝑝𝑖𝑛𝑑𝑎𝑙𝑎 𝑆𝑘 = 𝑃 ∙ 𝐻

𝑇ä𝑖𝑠𝑝𝑖𝑛𝑑𝑎𝑙𝑎 𝑙𝑒𝑖𝑑𝑚𝑖𝑠𝑒𝑘𝑠 𝑙𝑖𝑖𝑑𝑎𝑚𝑒 𝑜𝑠𝑎𝑝𝑖𝑛𝑑𝑎𝑙𝑎𝑑, 𝑎𝑟𝑣𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑒𝑠, 𝑒𝑡

𝑝ü𝑠𝑡𝑟öö𝑝𝑡𝑎ℎ𝑢𝑘𝑎𝑙 𝑜𝑛 𝑘𝑎𝑘𝑠 𝑝õℎ𝑗𝑎

𝑇ä𝑖𝑠𝑝𝑖𝑛𝑑𝑎𝑙𝑎 𝑆𝑡 = 2 ∙ 𝑆𝑝 + 𝑆𝑘

𝑅𝑢𝑢𝑚𝑎𝑙𝑎 𝑙𝑒𝑖𝑑𝑚𝑖𝑠𝑒𝑘𝑠 𝑘𝑜𝑟𝑟𝑢𝑡𝑎𝑚𝑒 𝑝õℎ𝑗𝑎 𝑝𝑖𝑛𝑑𝑎𝑙𝑎 𝑘õ𝑟𝑔𝑢𝑠𝑒𝑔𝑎:

𝑉 = 𝑆𝑝 ∙ 𝐻

5. Geomeetria

Käthlin Pakkas

𝑁ä𝑖𝑑𝑒:

𝐴𝑟𝑣𝑢𝑡𝑎𝑚𝑒 𝑘𝑢𝑢𝑠𝑛𝑢𝑟𝑘𝑠𝑒 𝑝ü𝑠𝑡𝑝𝑟𝑖𝑠𝑚𝑎 𝑡ä𝑖𝑠𝑝𝑖𝑛𝑑𝑎𝑙𝑎 𝑗𝑎 𝑟𝑢𝑢𝑚𝑎𝑙𝑎, 𝑘𝑢𝑖

𝑝õℎ𝑖𝑠𝑒𝑟𝑣 𝑎 = 8 𝑐𝑚 𝑗𝑎 𝑘õ𝑟𝑔𝑢𝑠 𝐻 = 13 𝑐𝑚.

𝐿𝑒𝑖𝑎𝑚𝑒 𝑝õℎ𝑖𝑡𝑎ℎ𝑢 𝑎𝑝𝑜𝑡𝑒𝑒𝑚𝑖 𝑟: 𝑟 = √82 − 42 = √64 − 16 = √48 ≈ 6,9 (𝑐𝑚)

𝑃õℎ𝑗𝑎 𝑝𝑖𝑛𝑑𝑎𝑙𝑎: 𝑆𝑝 = 6 ∙8 ∙ 6,9

2= 165,6 (𝑐𝑚2)

𝐾ü𝑙𝑔𝑝𝑖𝑛𝑑𝑎𝑙𝑎 𝑆𝑘 = 6 ∙ 8 ∙ 13 = 624 (𝑐𝑚2)

𝑇ä𝑖𝑠𝑝𝑖𝑛𝑑𝑎𝑙𝑎 𝑆𝑡 = 2 ∙ 165,6 + 624 = 955,2 (𝑐𝑚2)

𝑅𝑢𝑢𝑚𝑎𝑙𝑎 𝑉 = 165,6 ∙ 13 = 2152,8 (𝑐𝑚3)

5. Geomeetria

Käthlin Pakkas

5.12. Kuup

Kuup on tahkkeha, mille kõik tahud on ruudud.

𝐾𝑢𝑢𝑏𝑖 𝑝õℎ𝑗𝑎 𝑝𝑖𝑛𝑑𝑎𝑙𝑎 𝑆𝑝 = 𝑎2

𝐾ü𝑙𝑔𝑝𝑖𝑛𝑑𝑎𝑙𝑎 𝑆𝑘 = 4 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 = 4 ∙ 𝑎2

𝑇ä𝑖𝑠𝑝𝑖𝑛𝑑𝑎𝑙𝑎 𝑆𝑡 = 2 ∙ 𝑎2 + 4 ∙ 𝑎2 = 6 ∙ 𝑎2

𝑅𝑢𝑢𝑚𝑎𝑙𝑎 𝑉 = 𝑎2 ∙ 𝑎 = 𝑎3

𝑁ä𝑖𝑑𝑒:

𝐴𝑟𝑣𝑢𝑡𝑎𝑚𝑒 𝑘𝑢𝑢𝑏𝑖 𝑡ä𝑖𝑠𝑝𝑖𝑛𝑑𝑎𝑙𝑎 𝑗𝑎 𝑟𝑢𝑢𝑚𝑎𝑙𝑎, 𝑘𝑢𝑖 𝑘𝑢𝑢𝑏𝑖 𝑠𝑒𝑟𝑣 𝑎 = 5𝑐𝑚

𝑇ä𝑖𝑠𝑝𝑖𝑛𝑑𝑎𝑙𝑎 𝑆𝑡 = 6 ∙ 52 = 150(𝑐𝑚2)

𝑅𝑢𝑢𝑚𝑎𝑙𝑎 𝑉 = 53 = 125 (𝑐𝑚3)

5. Geomeetria

Käthlin Pakkas

5.12 Püramiid

Korrapärane püramiid on tahkkeha, mille põhitahk on korrapärane hulknurk (võrdkülgne

kolmnurk, ruut või hulknurk) ning mille külgtahud on ühise tipuga võrdsed võrdhaarsed

kolmnurgad.

Püramiidi kõrgust H mõõdetakse põhja keskpunktist püramiidi tippu.

Püramiidi apoteemiks nimetatakse lõiku, mis on külgtahuks oleva kolmnurga kõrgus.

Tähis m.

𝑃ü𝑟𝑎𝑚𝑖𝑖𝑑𝑖 𝑝õℎ𝑗𝑎 𝑝𝑖𝑛𝑑𝑎𝑙𝑎 𝑠õ𝑙𝑡𝑢𝑏 𝑠𝑒𝑙𝑙𝑒𝑠𝑡,𝑚𝑖𝑙𝑙𝑖𝑛𝑒 𝑜𝑛 𝑝õℎ𝑖𝑡𝑎ℎ𝑘:

𝐾𝑜𝑙𝑚𝑛𝑢𝑟𝑘: 𝑆𝑝 =√3 ∙ 𝑎2

4 𝑅𝑢𝑢𝑡: 𝑆𝑝 = 𝑎

2 𝐻𝑢𝑙𝑘𝑛𝑢𝑟𝑘 𝑆𝑝 = 𝑛 ∙𝑎 ∙ 𝑟

2

𝑃ü𝑟𝑎𝑚𝑖𝑖𝑑𝑖 𝑘ü𝑙𝑔𝑝𝑖𝑛𝑑𝑎𝑙𝑎 𝑆𝑘 = 𝑛 ∙𝑎 ∙ 𝑚

2

𝑘𝑢𝑠 𝑛 𝑜𝑛 𝑝õℎ𝑖𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑑𝑒 𝑎𝑟𝑣, 𝑎 𝑜𝑛 𝑝õℎ𝑖𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎 𝑝𝑖𝑘𝑘𝑢𝑠 𝑗𝑎 𝑚 𝑜𝑛 𝑎𝑝𝑜𝑡𝑒𝑒𝑚.

𝑃ü𝑟𝑎𝑚𝑖𝑖𝑑𝑖 𝑡ä𝑖𝑠𝑝𝑖𝑛𝑑𝑎𝑙𝑎 𝑆𝑡 = 𝑆𝑝 + 𝑆𝑘

𝑃ü𝑟𝑎𝑚𝑖𝑖𝑑𝑖 𝑟𝑢𝑢𝑚𝑎𝑙𝑎 𝑉 =𝑆𝑝 ∙ 𝐻

3

5. Geomeetria

Käthlin Pakkas

𝑁ä𝑖𝑑𝑒:

𝐴𝑟𝑣𝑢𝑡𝑎𝑚𝑒 𝑛𝑒𝑙𝑖𝑛𝑢𝑟𝑘𝑠𝑒 𝑝õℎ𝑗𝑎𝑔𝑎 𝑝ü𝑟𝑎𝑚𝑖𝑖𝑑𝑖 𝑡ä𝑖𝑠𝑝𝑖𝑛𝑑𝑎𝑙𝑎 𝑗𝑎 𝑟𝑢𝑢𝑚𝑎𝑙𝑎, 𝑘𝑢𝑖

𝐻 = 9 𝑐𝑚 𝑗𝑎 𝑚 = 15 𝑐𝑚.

𝐸𝑡 𝑙𝑒𝑖𝑑𝑎 𝑝õℎ𝑗𝑎 𝑝𝑖𝑛𝑑𝑎𝑙𝑎, 𝑝𝑒𝑎𝑚𝑒 𝑒𝑠𝑚𝑎𝑙𝑡 𝑎𝑟𝑣𝑢𝑡𝑎𝑚𝑒 𝑝õℎ𝑖𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎 𝑝𝑖𝑘𝑘𝑢𝑠𝑒.

𝑃𝑦𝑡ℎ𝑎𝑔𝑜𝑟𝑎𝑠𝑒 𝑡𝑒𝑜𝑟𝑒𝑒𝑚𝑖 𝑎𝑏𝑖𝑙 𝑠𝑎𝑎𝑚𝑒 𝑙𝑒𝑖𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑜𝑙𝑒 𝑝õℎ𝑖𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑠𝑡 (𝑗𝑜𝑜𝑛𝑖𝑠𝑒𝑙 𝐺𝐹).

𝐺𝐹 = 0,5𝑎 = √152 − 92 = √225 − 81 = √144 = 12 (𝑐𝑚) → 𝑎 = 2 ∙ 12 = 24(𝑐𝑚)

𝑆𝑝 = 242 = 576 (𝑐𝑚2)

𝑃ü𝑟𝑎𝑚𝑖𝑖𝑑𝑖 𝑘ü𝑙𝑔𝑝𝑖𝑛𝑑𝑎𝑙𝑎 𝑆𝑘 = 4 ∙24 ∙ 15

2= 720 (𝑐𝑚2)

𝑃ü𝑟𝑎𝑚𝑖𝑖𝑑𝑖 𝑡ä𝑖𝑠𝑝𝑖𝑛𝑑𝑎𝑙𝑎 𝑆𝑡 = 576 + 720 = 1296(𝑐𝑚2)

𝑃ü𝑟𝑎𝑚𝑖𝑖𝑑𝑖 𝑟𝑢𝑢𝑚𝑎𝑙𝑎 𝑉 =576 ∙ 9

3= 1728 (𝑐𝑚3)

5. Geomeetria

Käthlin Pakkas

5.13 Silinder

Silinder on pöördkeha, mis tekib ristküliku pöörlemisel ümber oma ühe külje.

𝐽𝑜𝑜𝑛𝑖𝑠𝑒𝑙 𝑜𝑛 𝑠𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑒𝑟,𝑚𝑖𝑠 𝑡𝑒𝑘𝑖𝑏 𝑟𝑖𝑠𝑡𝑘ü𝑙𝑖𝑘𝑢 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑝öö𝑟𝑙𝑒𝑚𝑖𝑠𝑒𝑙 ü𝑚𝑏𝑒𝑟 𝑘ü𝑙𝑗𝑒 𝐴𝐵

𝑆𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑖 𝑝õℎ𝑗𝑎 𝑝𝑖𝑛𝑑𝑎𝑙𝑎 𝑆𝑝 = 𝜋 ∙ 𝑟2

𝐾ü𝑙𝑔𝑝𝑖𝑛𝑑𝑎𝑙𝑎 𝑆𝑘 = 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟 ∙ 𝐻 = 𝐶 ∙ 𝐻

𝑇ä𝑖𝑠𝑝𝑖𝑛𝑑𝑎𝑙𝑎 𝑆𝑡 = 2 ∙ 𝑆𝑝 + 𝑆𝑘

𝑉 = 𝑆𝑝 ∙ 𝐻

𝑁ä𝑖𝑑𝑒:

𝐴𝑟𝑣𝑢𝑡𝑎𝑚𝑒 𝑠𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑖 𝑡ä𝑖𝑠𝑝𝑖𝑛𝑑𝑎𝑙𝑎 𝑗𝑎 𝑟𝑢𝑢𝑚𝑎𝑙𝑎, 𝑘𝑢𝑖 𝑟 = 4,5 𝑐𝑚 𝑗𝑎 𝐻 = 7𝑐𝑚.

𝑆𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑖 𝑝õℎ𝑗𝑎 𝑝𝑖𝑛𝑑𝑎𝑙𝑎 𝑆𝑝 = 𝜋 ∙ 4,52 = 20,25𝜋 ≈ 63,6 (𝑐𝑚2)

𝐾ü𝑙𝑔𝑝𝑖𝑛𝑑𝑎𝑙𝑎 𝑆𝑘 = 2 ∙ 𝜋 ∙ 4,5 ∙ 7 = 63𝜋 ≈ 197,7(𝑐𝑚2)

𝑇ä𝑖𝑠𝑝𝑖𝑛𝑑𝑎𝑙𝑎 𝑆𝑡 = 2 ∙ 20,25𝜋 + 63𝜋 = 103,5𝜋 ≈ 325,2(𝑐𝑚2)

𝑉 = 20,25𝜋 ∙ 7 = 141,75𝜋 ≈ 445,3(𝑐𝑚3)

5. Geomeetria

Käthlin Pakkas

5.14 Koonus

Koonus on pöördkeha, mis tekib täisnurkse kolmnurga pöörlemisel ümber oma ühe kaateti.

𝐽𝑜𝑜𝑛𝑖𝑠𝑒𝑙 𝑜𝑛 𝑘𝑜𝑜𝑛𝑢𝑠,𝑚𝑖𝑠 𝑡𝑒𝑘𝑖𝑏 𝑡ä𝑖𝑠𝑛𝑢𝑟𝑘𝑠𝑒 𝑘𝑜𝑙𝑚𝑛𝑢𝑟𝑔𝑎 𝑝öö𝑟𝑙𝑒𝑚𝑖𝑠𝑒𝑙

ü𝑚𝑏𝑒𝑟 𝑘𝑎𝑎𝑡𝑒𝑡𝑖 𝐴𝐵. 𝑇𝑒𝑖𝑛𝑒 𝑘𝑎𝑎𝑡𝑒𝑡 𝐴𝐶 𝑚𝑜𝑜𝑑𝑢𝑠𝑡𝑎𝑏 𝑘𝑜𝑜𝑛𝑢𝑠𝑒 𝑝õℎ𝑗𝑎 𝑟𝑎𝑎𝑑𝑖𝑢𝑠𝑒,

ℎü𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑢𝑠 𝐵𝐶 𝑚𝑜𝑜𝑑𝑢𝑠𝑡𝑎𝑏 𝑘𝑜𝑜𝑛𝑢𝑠𝑒 𝑘ü𝑙𝑔𝑝𝑖𝑛𝑛𝑎.

𝐾𝑜𝑜𝑛𝑢𝑠𝑒 𝑝õℎ𝑗𝑎 𝑝𝑖𝑛𝑑𝑎𝑙𝑎 𝑆𝑝 = 𝜋 ∙ 𝑟2

𝐾ü𝑙𝑔𝑝𝑖𝑛𝑑𝑎𝑙𝑎 𝑆𝑘 = 𝜋 ∙ 𝑟 ∙ 𝑚

𝑇ä𝑖𝑠𝑝𝑖𝑛𝑑𝑎𝑙𝑎 𝑆𝑡 = 𝑆𝑝 + 𝑆𝑘

𝑉 =𝑆𝑝 ∙ 𝐻

3

𝑁ä𝑖𝑑𝑒:

𝐴𝑟𝑣𝑢𝑡𝑎𝑚𝑒 𝑘𝑜𝑜𝑛𝑢𝑠𝑒 𝑡ä𝑖𝑠𝑝𝑖𝑛𝑑𝑎𝑙𝑎 𝑗𝑎 𝑟𝑢𝑢𝑚𝑎𝑙𝑎, 𝑘𝑢𝑖 𝑟 = 4 𝑑𝑚 𝑗𝑎 𝐻 = 3 𝑑𝑚

𝐾𝑜𝑜𝑛𝑢𝑠𝑒 𝑝õℎ𝑗𝑎 𝑝𝑖𝑛𝑑𝑎𝑙𝑎 𝑆𝑝 = 𝜋 ∙ 42 = 16𝜋 ≈ 50,3 (𝑑𝑚2)

𝐾ü𝑙𝑔𝑝𝑖𝑛𝑑𝑎𝑙𝑎 𝑙𝑒𝑖𝑑𝑚𝑖𝑠𝑒𝑘𝑠 𝑎𝑟𝑣𝑢𝑡𝑎𝑚𝑒 𝑚𝑜𝑜𝑑𝑢𝑠𝑡𝑎𝑗𝑎 𝑝𝑖𝑘𝑘𝑢𝑠𝑒.

𝑚 = √32 + 42 = √9 + 16 = √25 = 5(𝑑𝑚)

𝑆𝑘 = 𝜋 ∙ 4 ∙ 5 = 20𝜋 ≈ 62,9 (𝑑𝑚2)

𝑇ä𝑖𝑠𝑝𝑖𝑛𝑑𝑎𝑙𝑎 𝑆𝑡 = 16𝜋 + 20𝜋 = 36𝜋 ≈ 113,1 (𝑑𝑚2)

𝑉 =16𝜋∙3

3≈ 16𝜋 ≈ 50,3 (𝑑𝑚3)

5. Geomeetria

Käthlin Pakkas

5.15 Kera

Kera on pöördkeha, mis tekib poolringi pöörlemisel ümber oma diameetri. Kera välist pinda

nimetatakse sfääriks, suurimat lõiget (lõige läbi kera keskpunkti) nimetatakse kera

suurringiks. Suurringi raadius R on ka kera raadius.

𝑆𝑢𝑢𝑟𝑟𝑖𝑛𝑔𝑖 𝑝𝑖𝑛𝑑𝑎𝑙𝑎 𝑆𝑠𝑢𝑢𝑟𝑟𝑖𝑛𝑔 = 𝜋 ∙ 𝑅2

𝐾𝑒𝑟𝑎 𝑝𝑖𝑛𝑑𝑎𝑙𝑎 𝑆𝑘𝑒𝑟𝑎 = 4 ∙ 𝜋 ∙ 𝑅2

𝑉 =4 ∙ 𝜋 ∙ 𝑅3

3

𝑁ä𝑖𝑑𝑒

𝐴𝑟𝑣𝑢𝑡𝑎𝑚𝑒 𝑘𝑒𝑟𝑎 𝑝𝑖𝑛𝑑𝑎 𝑗𝑎 𝑟𝑢𝑢𝑚𝑎𝑙𝑎, 𝑘𝑢𝑖 𝑘𝑒𝑟𝑎 𝑟𝑎𝑎𝑑𝑖𝑢𝑠 𝑅 = 4 𝑐𝑚

𝐾𝑒𝑟𝑎 𝑝𝑖𝑛𝑑𝑎𝑙𝑎 𝑆𝑘𝑒𝑟𝑎 = 4 ∙ 𝜋 ∙ 42 = 64𝜋 ≈ 201,1 (𝑐𝑚2)

𝑉 =4 ∙ 𝜋 ∙ 43

3=256𝜋

3≈ 268,1 (𝑐𝑚3)

5. Geomeetria

Käthlin Pakkas

5.16 Ühikute teisendamine

Alljärgnevad skeemid näitavad ühikute vahelisi seoseid.

Pikkusühikud

𝟏 𝒌𝒎∙ 1000

⇄

: 1000

𝟏 𝒎 ∙ 10

⇄

: 10

𝟏 𝒅𝒎 ∙ 10

⇄

: 10

𝟏 𝒄𝒎 ∙ 10

⇄

: 10

𝟏 𝒎𝒎

Pindalaühikud

𝟏 𝒌𝒎𝟐∙ 1000000

⇄

: 1000000

𝟏 𝒎𝟐 ∙ 100

⇄

: 100

𝟏 𝒅𝒎𝟐 ∙ 100

⇄

: 100

𝟏 𝒄𝒎𝟐 ∙ 100

⇄

: 100

𝟏 𝒎𝒎𝟐

Ruumalaühikud

𝟏 𝒌𝒎𝟑∙ 1000000000

⇄

: 1000000000

𝟏 𝒎𝟑 ∙ 1000

⇄

: 1000

𝟏 𝒅𝒎𝟑 ∙ 1000

⇄

: 100

𝟏 𝒄𝒎𝟑 ∙ 1000

⇄

: 1000

𝟏 𝒎𝒎𝟑

Mahuühikud

𝟏𝒍 = 𝟏 𝒅𝒎𝟑

𝟏𝒎𝒍 = 𝟏𝒄𝒎𝟑