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GEODESIA GEODESIA
Scienza che studia la forma e le dimensioni della Terra, la Scienza che studia la forma e le dimensioni della Terra, la
determinazione della posizione dei punti sulla sua superficie, ldeterminazione della posizione dei punti sulla sua superficie, la a
determinazione del campo della gravità e le variazioni nel tempodeterminazione del campo della gravità e le variazioni nel tempo
di tali grandezzedi tali grandezze
CARTOGRAFIACARTOGRAFIA
Tecnica costituita dalle operazioni necessarie all’elaborazione,Tecnica costituita dalle operazioni necessarie all’elaborazione,
all’allestimento e all’utilizzazione di carte che rappresentano all’allestimento e all’utilizzazione di carte che rappresentano
in scala, porzioni più o meno estese della superficie terrestre in scala, porzioni più o meno estese della superficie terrestre
FORMA DELLA TERRA FORMA DELLA TERRA Geodesia e Cartografia Geodesia e Cartografia
Lo scopo di una carta geografica è quello di rappresentare sul
piano aree più o meno estese della superficie terrestre che come
ben sappiamo, in realtà, non è affatto piana né regolare. La carta
geografica deve comunque fornire la concezione il più realistica
ed efficace possibile di ciò che si vuole raffigurare.
La superficie della Terra ha una forma irregolare, così come è
irregolare la distribuzione delle masse che compongono il globo
terrestre. Per poter rappresentare la superficie fisica della
Terra è stato necessario assumere una forma ideale di tale
superficie che corrispondesse alle regole della matematica e della
geometria
FORMA DELLA TERRA FORMA DELLA TERRA Geodesia e Cartografia Geodesia e Cartografia
Immaginiamo per ora che il nostro pianeta sia costituito da una massa omogenea di forma sferica in rotazione attorno ad un asse passante per i poli. Un punto sulla superficie è sottoposto alla forza newtoniana Fn, di intensità costante e diretta verso il centro della Terra, e alla forza centrifuga Fc, dovuta alla rotazione terrestre e di intensità proporzionale alla distanza del punto dall’asse di rotazione. La risultante di queste due forze è la forza di gravità Fg che risulta massima ai poli e minima all’equatore. L’insieme delle forze Fg viene chiamato campo gravitazionale terrestre
FORMA DELLA TERRA FORMA DELLA TERRA Geoide Geoide
FcFc
FnFn
FgFg
EEOO
NN
SS
equatoreequatore
asse
di
asse
di
rota
zion
ero
tazi
one
dd
vv
Se consideriamo ora la superficie
terrestre deformabile è evidente che essa
assume, sotto l’azione del campo
gravitazionale, una forma non sferica ma
leggermente schiacciata ai poli dove Fg
assume il valore massimo. La direzione per
ogni punto della superficie terrestre della
forza di gravità viene detta verticale. Se ci
si sposta lungo tale verticale la forza di
gravità si modifica in direzione e valore; ne
consegue che la verticale non ha un
andamento rettilineo ma leggermente
curvato. Le superfici che in ogni punto della
superficie terrestre sono perpendicolari
alla verticale in quel punto sono chiamate
superfici equipotenziali o di livello
FORMA DELLA TERRA FORMA DELLA TERRA Geoide Geoide
PPgg11
gg22
gg33
La superficie equipotenziale posta al livello medio del mare, considerata priva di perturbazioni e immaginata prolungata al di sotto dei continenti in modo da mantenersi sempre perpendicolare alle verticali, viene assunta come forma della Terra e ad essa viene dato il nome di Geoide. Tutti i punti che si trovano su questa superficie ideale hanno stessa quota.
Uno dei problemi della Geodesia è quella di determinare la forma esatta del Geoide: tale determinazione è complicata dal fatto che la sua forma non dipende solo dalla forza di gravità ma anche da altre forze
FORMA DELLA TERRA FORMA DELLA TERRA Geoide Geoide
Si definisce “quota ortometrica o assoluta” la Si definisce “quota ortometrica o assoluta” la
distanza Qdistanza Qpp misurata lungo la verticale tra il misurata lungo la verticale tra il
punto P, posto sulla superficie fisica, ed il punto P, posto sulla superficie fisica, ed il
corrispondente punto proiezione Pcorrispondente punto proiezione Poo sul Geiodesul Geiode
FORMA DELLA TERRA FORMA DELLA TERRA Quota ortometrica Quota ortometrica
vv
PP
PPOO
geoidegeoide
QQPP
Effettuare misure e calcoli sul Geoide è una
operazione complessa. Si è quindi deciso a
livello internazionale di adottare, ma solo
per le misure di tipo planimetrico, una
superficie di riferimento molto più
semplice: l’EllissoideEllissoide di rotazione terrestre.
Questa superficie, generata dalla rotazione
di un ellisse di semiassi aa e bb intorno all’asse
di rotazione terrestre, approssima molto
bene il Geoide con uno scostamento della
quota che non supera i 50 – 100 m. Per le
quote dei punti ci si riferisce comunque
sempre al Geoide
FORMA DELLA TERRA FORMA DELLA TERRA EllissoideEllissoide
b
aa
NN
SS
A causa delle ondulazioni del Geoide la verticale V non
coincide con la normale N all’Ellissoide. Le due direzioni
formano un angolo δ detto di deviazione della verticale. È
chiaro che per definire esattamente la forma dell’Ellissoide
è necessario scegliere i valori del semiasse maggiore o
equatoriale, di quello minore o di rotazione e lo
schiacciamento ai poliFORMA DELLA TERRA FORMA DELLA TERRA
EllissoideEllissoide
Gli Ellissoidi di riferimento sono così vicini all’essere sferici
che possono anche essere chiamati sferoidi. Diversi Ellissoidi
sono stati utilizzati come superfici di riferimento, a seconda
della regione interessata alla rappresentazione grafica e a
causa del variare della curvatura della Terra. L’Ellissoide
prescelto è posizionato in modo che nella zona centrale da
cartografare, la verticale al Geoide e la normale all’Ellissoide
coincidano (scostamento nullo). Questo punto centrale è
denominato datumdatum
FORMA DELLA TERRA FORMA DELLA TERRA Ellissoide e sferoideEllissoide e sferoide
FORMA DELLA TERRA FORMA DELLA TERRA EllissoidiEllissoidi
1/297,006356911,946378388,001924International
Europa, Giappone1/299,156356078,966377397,151841Bessel
Francia1/293,466356515,006378249,201880Clarke
1/298,406356818,176378200,001906Helmert
Usa, Italia1/297,006356912,006378388,001909Hayford
Urss1/298,306356863,026378245,001942Krassowsky
1/298,256356774,726378160,001980Fischer
GPS1/298,256356752,316378137,001984WGS 84
Usa1/298,256356752,306378137,001983Nad 83
India1/300,806356075,4136377276,3451830Everest
zonaschiacciamento αsemiasse bsemiasse aanno
L’Ellissoide di rotazione è una superficie che si può considerare
formata da due distinte famiglie di curve: i paralleliparalleli (circonferenze) e i
meridianimeridiani (semi ellissi). Tali curve si intersecano tra loro ad angolo
retto. La posizione di un punto sull’Ellissoide può essere determinata
fornendo il valore del parallelo e del meridiano a cui appartiene. Per
individuare il parallelo sarà sufficiente conoscere la latitudine latitudine
geograficageografica, cioè l’angoloangolo φφ formato dalla normale per il punto e il piano
equatoriale. Tale angolo è positivo se il punto si trova tra l’equatore e il
polo nord, negativo se si trova tra equatore e polo sud. Il meridiano è
invece individuato dalla longitudine geograficalongitudine geografica, cioè dall’angoloangolo λλ che si
forma tra il piano contenente il meridiano passante per il punto e il
piano per il meridiano assunto come origine, passante per GreenwichGreenwich
FORMA DELLA TERRA FORMA DELLA TERRA Coordinate geograficheCoordinate geografiche
La longitudine è positiva andando verso est
e varia da 0o a 180o. Nella stessa maniera
è possibile definire la latitudine e la
longitudine astronomica, angoli che
permettono di individuare la posizione dei
punti della superficie terrestre sul Geoide.
I valori delle coordinate astronomiche
variano, anche se di poco, rispetto ai valori
delle coordinate geografiche perchè la
normale all’Ellissoide e la verticale al
Geoide non coincidono
P’P’
φφ
λλ
PP
hh
Prof. Dagore Ristorini
FORMA DELLA TERRA FORMA DELLA TERRA Coordinate geograficheCoordinate geografiche
FORMA DELLA TERRA FORMA DELLA TERRA Coordinate geocentricheCoordinate geocentriche
� origine delle coordinate coincidente con il centro di massa della Terra � asse Z diretto verso il Polo Nord
� asse delle X è l’intersezione tra il meridiano zero (quello passante per Greenwich) con il piano equatoriale
� l’asse delle Y completa una terna ortogonale destrorsa e giace sul piano equatoriale
OO
P’P’
PP
XXYY
ZZ
YYpp
ZZpp
FORMA DELLA TERRA FORMA DELLA TERRA Zenit e NadirZenit e Nadir
La verticale passante per un punto P posto sulla
superficie fisica presenta due direzioni: una tende
verso l’esterno della Terra a un punto detto ZenitZenit,
l’altra verso l’interno verso un punto detto NadirNadir. Il
piano tangente al geoide/ellissoide nel punto P viene
definito piano orizzontalepiano orizzontale
Per la sola parte planimetrica, si è dimostrato che in una zona
di circa 100 km intorno ad un punto P della superficie
terrestre, si può sostituire all’ellissoide una sfera tangente in
P all’ellissoide stesso. Questa superficie è chiamata “campo campo
geodetico o sfera localegeodetico o sfera locale”. All’interno di questa superficie le
figure ellissoidiche possono essere risolte utilizzando la
trigonometria sferica (sostituendo il triangolo ellissoidico con
un triangolo sferico).
L’approssimazione che si ottiene con questa sostituzione è
compatibile con la precisione degli strumenti topografici,
relativamente ai soli rilievi planimetrici, mentre non lo è per la
parte altimetrica per la quale gli errori sono già inaccettabili
per distanze superiori ai 20 km
FORMA DELLA TERRA FORMA DELLA TERRA Sfera localeSfera locale
Se i lati del triangolo sferico sono inferiori a 200 km è possibile
applicare il T. di Legendre che permette una semplificazione dei
calcoli:
“I triangoli sferici, con lati inferiori ai 200 km, sono risolvibili
assimilandoli a triangoli piani equivalenti aventi per lati gli stessi
lati del triangolo sferico e per angoli quelli del triangolo sferico,
ridotti ciascuno do 1/3 dell’eccesso sferico (nei triangoli sferici la
somma degli angoli interni è sempre maggiore dell’angolo piatto e
la differenza è definita eccesso sferico)”
Questo teorema permette, di risolvere un triangolo sferico come
se fosse piano applicando quindi le formule risolutive della
trigonometria piana
FORMA DELLA TERRA FORMA DELLA TERRA Sfera locale Sfera locale
Teorema di LegendreTeorema di Legendre
Se si restringe il campo operativo in modo che le distanze misurate rispetto
al piano tangente in P alla sfera locale possano ritenersi coincidenti con
quelle misurate sulla sfera locale ed in modo che la somma degli angoli
interni risulti uguale a 180° (eccesso sferico nullo), si potrà operare, per la
sola planimetria, come se la Terra fosse pianacome se la Terra fosse piana.
Il campo operativo entro il quale ciò è possibile viene chiamato “campo campo
topograficotopografico” e “distanza topograficadistanza topografica” è quella che si ottiene tra le due
proiezioni dei punti sul piano. Il campo topografico può essere esteso, senza
commettere errori sensibili, sino a 20 – 25 km di raggio intorno al punto P di
tangenza.
In altimetria la coincidenza tra sfera locale e campo topografico è molto più
ristretta. Per distanze superiori ai 200 m di raggio intorno a P gli errori
cominciano ad essere non trascurabili. L’errore che si commette nella
determinazione della quota dei punti è chiamato errore di sfericitàerrore di sfericità “ee”. Il
suo valore può ottenersi dalla formula e = d2/2R, in cui d è la distanza
misurata sul campo topografico e R il raggio della sfera locale
FORMA DELLA TERRA FORMA DELLA TERRA Campo topograficoCampo topografico
FORMA DELLA TERRA FORMA DELLA TERRA Riduzione delle distanzeRiduzione delle distanze
Si è visto che in Topografia non interessa la distanza reale tra due punti,
bensì quella proiettata sulle superfici di riferimento. Con gli strumenti a
disposizione il tecnico è però in grado di determinare la distanza reale dr e
quella orizzontale do. Si devono quindi determinare le relazioni che
intercorrono tra distanza reale (o inclinata), distanza orizzontale e distanza
topografica. Se consideriamo due punti A e B, all’interno del campo
topografico, nota la distanza dr, la distanza orizzontale rispetto ad un piano
passante per A, si ottiene dalla relazione: do = dr x cos α (si considera
l’angolo in Bo come retto). Per ottenere la distanza topografica dT, si riduce
la distanza orizzontale do sul campo topografico tangente alla sfera locale e
la distanza si ottiene dalla formula dT = do x R/(R + Q). La correzione è
tanto più grande quanto maggiore è la quota dei punti considerati.
Ovviamente per Qa = 0 m distanza orizzontale e topografica coincidono