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Problema del camino ms cortoProblema del camino ms corto

(Shortest path problem)(Shortest path problem)

(*) Basado en Bertsekas. Network Optimization: Continuous and Discrete Models.

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Enunciado del problemaEnunciado del problema Se tiene un grafo dirigido G= cuyas aristas

tienen una etiqueta que representa la longitud/costo de la arista.

La longitud (costo) de la arista ij es cij0. Dados un nodo origen s y un nodo destino t, interesa

encontrar el camino ms corto (de menor costo) de s a t. Un camino es el conjunto de aristas para ir de s a t.

Si el grafo es fuertemente conexo siempre tiene solucin.

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Ejemplos de aplicacinEjemplos de aplicacin Una red de transporte. Enrutamiento de paquetes en una red de datos. Si las aristas pueden fallar con probabilidad 1-pij, el

camino ms confiable es aquel con el mayor producto de sus pij.

El clculo del flujo mximo usa el camino ms corto como subrutina.

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FormulacinFormulacin El problema del camino ms corto se puede

formular como un caso especial del problema del flujo de coste mnimo haciendo: b

s=1 (La fuente ofrece una unidad de flujo)

bt=-1 (El destino demanda una unidad) bi=0, i{s,t} (Los dems nodos no producen ni

consumen).

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FormulacinFormulacin Esto se traduce en el siguiente problema LP

(*)

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JustificacinJustificacin Sea X=(...,xij,...) el vector de flujo de mnimo

coste. Para cada arista xij en el camino, xij=1, y la longitud del camino es la suma de las longitudes de sus aristas. Para aristas que no esten en el camino xij=0.

Por lo tanto la solucin de mnimo costo, corresponde al camino ms corto entre s y t.