4_sistemi elettronici a radio-frequenza (rumore di fase nel vco)-8

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RUMORE DI FASE NEGLI OSCILLATORI

In ogni sistema di ricezione la possibilit di avere una portante precisa un punto di cruciale importanza per il

funzionamento del sistema; si pensi, ad esempio, ad un segnale OFDM (vedi pag. 1): se loscillatore locale non preciso, il

ricevitore pu non leggere una determinata sottoportante nella sua frequenza, con un conseguente aumento dellinterferenza

intersimbolica o, peggio ancora, addirittura sbagliare sottoportante. Si visto come viene generato un segnale di per un

mixer attraverso un PLL e si visto come si propaga il rumore di fase del riferimento sulluscita.

Ora analizzeremo due modelli che permettono di valutare le cause del rumore di fase in un oscillatore e di stimarne la

potenza. Tali modelli sono stati proposti la Leeson nel 1966 e da Hajimiri nel 1998. Sono seguiti a questi altri modelli pi

elaborati che per non tratteremo.

Modello di Leeson

Come stato evidente nello studio del VCO differenziale, ogni oscillatore pu essere schematizzato attraverso un semplice

circuito risonante RLC:

in cui rappresentano gli elementi reattivi che si scambiano energia alla risonanza, rappresenta le perdite del circuito, e

quindi ingloba anche la perdita dellinduttanza e la resistenza di carico. rappresenta la parte attiva del circuito, che

fornisce lenergia dissipata da e dunque annulla leffetto di perdita.

Nellanalisi successiva supporremo che la resistenza negativa non porti contributo al rumore. contribuisce al rumore

attraverso un generatore equivalente di corrente (vedi pag. 47):

vogliamo stimare la potenza del rumore sul segnale di uscita delloscillatore, ovvero sulla tensione ai capi di . Al fine di fare

ci valutiamo limpedenza offerta al generatore di corrente dal parallelo in un intorno della frequenza di risonanza:

Sviluppiamo in serie di Taylor la precedente espressione nellintorno della frequenza di risonanza:

dove il fattore di merito della rete risonante. Di conseguenza:

Nota la distribuzione spettrale di potenza della corrente di rumore:

compensa

Oscillatori Rumore di fase negli oscillatori

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Vista la linearit del circuito, possibile ricavare lo spettro di ai capi della rete RLC:

Dalla precedente espressione si osserva che il rumore inversamente proporzionale a : per diminuire la potenza si pu

quindi realizzare un circuito risonante a basse perdite (ovvero ad alto ), ma in tecnologia integrata, per quanto gi detto

(vedi pag. 5), difficile ottenerlo.

Dalla stessa espressione emerge per anche il fatto che lo spettro della tensione di rumore diminuisce secondo . Ci

giustifica lassunzione fatta quando abbiamo supposto un andamento del tipo per il rumore del PLL.

Ricordando che la grandezza sinusoidale quale la tensione ai capi del condensatore pu essere rappresentata come un

vettore (fasore) con modulo e fase iniziale che ruota ad una velocit angolare pari ad intorno al suo punto di

applicazione, possiamo ricavare un modello grafico del rumore di fase:

Nella precedente figura rappresentato con il fasore della tensione idealmente supposta sinusoidale pura;

rappresenta invece il fasore del rumore di fase alla tensione effettiva, che viene indicata con . Ovviamente deve

risultare:

Nel disegno soprastante, nel modello di Leeson, non si possono fare previsioni sullorientamento del vettore . Ci

significa che, poich comporta una variazione di modulo e fase di (infatti ), il vettore si pu

intendere come modulato in ampiezza e frequenza con due segnali a valor medio nullo; tali segnali sono,

rispettivamente, la componente di tangenziale a e quella normale. Tutto ci si traduce nel fatto che ai capi del

condensatore si misura una sinusoide la cui frequenza e la cui ampiezza variano nel tempo. Poich siamo interessati a

valutare il rumore di fase delloscillatore, ovvero la potenza della componente a frequenza diversa da , non consideriamo

la modulazione di ampiezza di dovuto a . Tuttavia per trattare il rumore di fase indispensabile conoscere la

potenza del vettore , dove con si intende la componente di ortogonale a .

Leeson propose di considerare per met della potenza di , supponendo la restante met utilizzata per la modulazione

di ampiezza di . A questo punto possibile calcolare la potenza del rumore di fase , essendo per le propriet

geometriche dei triangoli rettangoli:

Ricordando che un fasore e che invece una tensione reale aleatoria, si ha:


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dove lampiezza di , e il valore di . Poich e sono incorrelati, si

ricava lo spettro del rumore:

Dove si indicato con

la potenza della sinusoide offerta la carico.

In definitiva il rumore di fase, nel modello di Leeson, pu essere espresso come una funzione della distanza dalla

frequenza di oscillazione nominale , della frequenza nella quale si considera il rumore stesso: in il rumore ha questa

espressione:

A questo punto possibile fare alcuni commenti:

Per diminuire la potenza del rumore si pu aumentare lampiezza delloscillazione:

Si pu altrimenti aumentare il fattore di merito della rete, come gi stato fatto notare;

Il rumore decresce con rapidit allontanandosi da ;

Le due ipotesi di base per la trattazione del rumore secondo il modello di Leeson sono:

o Considerare il rumore come somma di due rumori a potenza uguale che comportano una modulazione di

ampiezza e una modulazione di fase delloscillazione;

o Considerare il rumore come processo stazionario, ovvero tempo invariante. In effetti non stato

considerato un particolare istante delloscillazione per il calcolo del rumore. Di conseguenza il contributo

del rumore costante in tutto il periodo delloscillazione.

possibile, utilizzando il modello di Leeson per il rumore, graficare landamento della potenza del rumore di fase di un

oscillatore al variare della frequenza:

nel primo tratto ( ) il rumore la somma del rumore di Leeson e del rumore . Nel secondo tratto

questultimo risulta trascurabile rispetto al primo, mentre nellultimo tratto (costante) i contributi di entrambi sono

trascurabili rispetto al rumore termico che, come noto, ha spettro piatto.


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Modello di Hajimiri-Lee

Il modello di Hajimiri introduce il concetto di dipendenza del rumore di fase dallistante in cui il rumore termico causato

dalla resistenza , interviene nel periodo di oscillazione della tensione ai capi del condensatore.

Per arrivare a tale conclusione analizziamo nuovamente il circuito che origina le oscillazioni.

Le equazioni che descrivono il comportamento degli elementi reattivi sono le loro relazioni costitutive, ovvero:

Essendo e le correnti che attraversano e , mentre e sono le tensioni ai capi di e , inoltre

tenendo conto che . Nellipotesi in cui e non interagiscono con il parallelo (ovvero si compensano

tra loro) e supponendo, per il momento, che non sia presente, si ha:

considerando poi levoluzione nel tempo di e basta a descrivere pienamente levoluzione del sistema, possiamo

definire il vettore dello stato del sistema nel seguente modo:

Le relazioni costitutive possono essere scritte in forma vettoriale:

ovvero

La matrice

la matrice dinamica del sistema. La soluzione del sistema differenziale rappresentato dalla precedente equazione pu essere

risolto a partire dal polinomio caratteristico di e dal calcolo degli auto valori:


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Dunque le soluzioni si possono calcolare come combinazione lineare di esponenziali:

pi comodo esprimere la precedente in forma trigonometrica:

in cui e sono due gradi di libert, come e . possibile mettere in relazione biunivoca e .

lampiezza massima della tensione ai capi del condensatore. Lespressione di facilmente ricavabile dalla relazione

costitutiva del condensatore:

Riassumendo, il sistema evolve con un andamento dello stato nel tempo del tipo:

Il termine rappresenta la fase iniziale del sistema. Il suo valore calcolabile a partire dai valori di e assunti in

un istante fissato:

Levoluzione del sistema pu essere rappresentato dal moto di un vettore di coordinate . Essendo e

in quadratura, il vettore descrive una traiettoria ellittica intorno allorigine degli assi:

Il vettore, essendo determinato nellistante da e , rappresenta lo stato del sistema; allo scorrere di il vettore

ruota in senso antiorario con velocit angolare . Si noti, a proposito del precedente grafico, che e sono legati tra loro

dalla relazione

ed essendo

lenergia immagazzinata nel circuito , lampiezza dellellisse un indice della stessa energia: un ellisse pi larga indica che

nel circuito immagazzinata maggiore energia. Valutiamo leffetto del generatore .

Essendo un rumore gaussiano bianco, pu essere interpretato come la somma degli infiniti impulsi matematici di corrente

incorrelati tra loro e di area .

Ci significa che nellistante il generatore di corrente fornisce una carica . Tale carica andr sulle armature del

condensatore, causando una variazione di tensione istantanea:


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Leffetto di tale incremento pu essere valutato direttamente sullellissi descritta precedentemente:

in pratica, in un certo istante (ovvero in una determinata configurazione dello stato ) sulle armature del condensatore si

verifica una variazione (nellesempio un incremento) di tensione . Di conseguenza lo stato subisce un cambiamento

istantaneo da a , dove

Si noti che la precedente espressione valida esclusivamente nellistante in cui avviene limpulso di corrente generato da .

In realt lo stato successivamente evolve da nel tempo con un andamento sempre del tipo ellittico.

La variazione dello stato comporta:

Una variazione del modulo, conseguenza della variazione dellenergia del circuito;

Una variazione della fase istantanea. Poich a seguito di questo evento il circuito continua ad oscillare, si ha una

variazione della fase iniziale.

In particolare questultima affermazione la pi importante per quanto riguarda lo studio del rumore di fase: ogni impulso

di corrente di cui composto comporta una variazione di , ovvero della fase iniziale del sistema. In questa variazione

descritto il rumore di fase, ovvero la variazione non lineare nel tempo della fase istantanea della tensione (o della corrente) in

uscita dal sistema.

Dal precedente grafico si osserva immediatamente che a seconda di dove interviene

limpulso di corrente nel periodo di oscillazione, si ha una variazione della fase

istantanea che pu variare, in modulo, tra i valori

minimo quando

massimo quando

(con si indica la fase istantanea del sistema nellistante in cui viene applicato limpulso ). Poich

Consideriamo gli istanti di tempo

limpulso di corrente ancora non si verificato:

lampiezza massima della corrente prima che intervenga limpulso.

limpulso di corrente si appena verificato:


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Poich per e si ha allora

Da cui si ricava il massimo discostamento della fase iniziale:

Il discostamento della fase iniziale a causa dellimpulso di corrente prende il nome di JITTER DI FASE. Dallanalisi svolta

finora risulta chiaro che, nel modello di Hajimiri-Lee, il sistema si comporta in maniera tempo-variante, in quanto il rumore

di fase sulloscillazione varia a seconda del momento in cui limpulso di corrente viene fornito alla rete , differendo per

questo dal modello di Leeson.

Introduciamo ora la funzione Impulse Sensibility Function (ISF) in modo da fissare, a livello quantitativo, la dipendenza del

rumore di fase dal momento in cui viene applicato limpulso di corrente.

ISF

Poich leffetto dellimpulso di corrente quello di aumentare la tensione del condensatore, dallistante allistante si ha

una variazione dello stato da a :

Si visto inoltre le variazioni nel tempo dello stato tracciare sul piano unellissi centrata intorno allorigine

degli assi, in cui il vettore ruota in senso antiorario nel tempo.

Si pu trovare il versore tangente allellisse in ogni istante; in analogia alla cinematica del punto materiale, tale versore pu

essere ricavato attraverso la definizione di velocit dello stato:

Il versore tangente allellisse si ottiene dalla velocit dividendo questultima per il suo modulo:

Abbiamo visto come un incremento di tensione sul condensatore modifica lo stato; graficamente questo si traduce nel

sommare al vettore un vettore , orizzontale sul piano . La proiezione del vettore su si

pu calcolare eseguendo un semplice prodotto scalare:


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In accordo, ancora una volta, con la cinematica possiamo affermare che per piccole variazioni di fase la traiettoria

dellestremo del vettore pu essere approssimata localmente ad una traiettoria circolare, perla quale vale:

Daltra parte la variazione di fase si pu (sempre localmente) calcolare:

Ricordando poi che esistono le espressioni esplicite di e :

per cui

dove

una funzione periodica di periodo . Sostituendo si ottiene:

in cui:

la carica massima che si accumula sul condensatore, in concomitanza con la massima tensione ; mentre

Prende il nome di ISF. Questa funzione presenta le seguenti caratteristiche:

periodica di periodo .

proporzionale alla proiezione sulla tangente allellisse: nei casi particolari in cui vale o ,

assume rispettivamente il valore minimo e massimo; in particolare proporzionale alla carica apportata

dal rumore sulle armature del condensatore.

Rappresenta la risposta, dal punto di vista del rumore di fase, ad un ingresso impulsivo di ampiezza . Di

conseguenza pu rappresentare, in generale, la risposta impulsiva del sistema che vede in ingresso il rumore

rappresentato da un generatore di corrente equivalente ed in uscita il discostamento dalla fase delloscillatore

locale.

Inoltre, da quanto detto precedentemente, leffetto del rumore sul jitter di fase, dipendendo dalla proiezione di sul

vettore tangente alla traiettoria ellittica, dipende dal punto dellorbita in cui viene applicato limpulso di corrente. Pi

precisamente minima nei punti dellorbita in cui la tensione massima o minima, ovvero la sua derivata nulla.

Inoltre massimo nei punti in cui la sua derivata massima, ovvero dove la tensione nulla. Ci significa che la sensibilit

delloscillatore massima in questi ultimi intervalli. Da qui si capisce come mai loscillatore di Colpitts sia particolarmente


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vantaggioso dal punto di vista del rumore; infatti (vedi pag. 132) il circuito visto mostra che loscillatore lavora ad impulsi di

corrente, e questi vengono forniti in corrispondenza del minimo valore di , e dunque quando la derivata di questa

nulla. Ci significa che loscillatore non sensibile al rumore introdotto dalla rete attiva (ovvero dal MOS).

Infine bisogna sottolineare che, nelle ipotesi in cui il sistema sia lineare, per il rumore questultimo si comporta in maniera

tempo-variante, mentre, data la periodicit di , il rumore ha per il sistema (o meglio sulluscita) caratteristiche di

ciclostazionariet*.

Distribuzione spettrale

possibile, in generale, calcolare lo spettro di densit di potenza delluscita di un sistema in due modi differenti:

calcolando lautocorrelazione delluscita e poi facendone la trasformata di Fourier;

attraverso la conoscenza dello spettro del segnale in ingresso e della funzione di trasferimento del sistema:

Ci valido esclusivamente nellipotesi in cui il sistema in questione sia lineare.

Utilizzeremo questultimo metodo. Tuttavia, per il momento, interessante ricavare, in un generico istante , il valore della

fase che risulta essere variabile nel tempo a causa del rumore di fase.

Poich la corrente pu essere considerata come linsieme di infiniti impulsi di corrente ai quali il sistema risponde

attraverso la funzione ISF, allistante si sar accumulata una fase conseguenza di tutti gli infiniti contributi di :

Ora, poich periodica di periodo , possibile uno sviluppo in serie di Fourier:

da cui

Ci proponiamo ora di ricavare lespressione della nellipotesi in cui in ingresso si abbia una corrente del tipo:

Si noti che al variare di e di , lo studio di equivale a studiare, nel tempo, la risposta del

sistema a sinusoidi nellintorno delle armoniche di : in pratica ci possiamo costruire a mano la funzione di trasferimento

del sistema negli intervalli:

si ottiene:

* I processi ciclostazionari, sebbene non siano funzioni periodiche del tempo, producono dati che possono essere descritti attraverso parametri statistic i periodicamente

tempo varianti, ovvero hanno caratteristiche statistiche che variano periodicamente nel tempo come la media o lautocorrelazione.


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Nellipotesi di il primo termine:

proporzionale al valor medio della corrente che, essendo questultima sinusoidale, si pu ritenere nullo. Dunque:

La quale in base alla formula di Werner si trasforma in

Tra tutti gli elementi di questa somma il termine pi grande quello per cui , in quanto ha a denominatore un

infinitesimo (rispetto a ). Dunque si pu considerare solo questo termine:

Poich un valore indefinito, comunque compreso tra e e fa riferimento allaccensione del sistema, sar una

costante che contribuir al valor medio della fase iniziale e dunque sar ininfluente ai fini del rumore di fase. Dunque si ha:

Questo significa che il sistema risponde ad una sinusoide in ingresso di ampiezza e frequenza , con una

sinusoide di frequenza , e dunque con una fase che varia molto pi lentamente di quanto non vari la corrente.

possibile dunque calcolare la potenza di tale sinusoide che rappresenta una sorta di contributo alla banda laterale dello

spettro di che risulter concentrato intorno alla continua:

ovvero, in :

Osserviamo che lampiezza della sinusoide in ingresso, non la sua ampiezza efficace. Come si pu notare la forma dello

spettro di del tipo:


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valutiamo ora qualitativamente quale sia la densit spettrale di potenza del rumore di fase. Poich varia con uno spettro

rappresentato nella figura precedente, allora la frequenza varier nel tempo, per cui lo spettro della tensione in uscita

dalloscillatore presenter una replica del precedente spettro intorno alla frequenza nominale :

nellipotesi in cui la corrente sia membro di un processo gaussiano bianco a valor medio nullo e varianza (in pratica il

rumore termico!) allora al rumore contribuiranno tutte le armoniche di , tutte quante di ampiezza (stavolta efficace) pari a

. Dunque si pu riscrivere la formula dello spettro di nel seguente modo:

Ricordando che sono i coefficienti dello sviluppo in serie di Fourier di e che tali coefficienti godono della

propriet:

dove il valore quadratico medio della ISF, si ha:

Si possono confrontare le espressioni del rumore di fase calcolate nel modello di Hajimiri-Lee con quelle calcolate nel

modello di Leeson considerando le seguenti espressioni:

Sostituendo nellespressione del modello di Hajimiri:


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Confrontando con il modello di Leeson:

Si vede che leffettiva novit del modello di Hajimiri rispetto al modello di Leeson sta nellintroduzione di un termine

, che descrive la ciclostazionariet del rumore.

Una considerazione che si pu fare per quanto riguarda leffetto del rumore flicker sul rumore di fase che il rumore

si manifesta a basse frequenze. Infatti, gi intorno al la sua potenza di molto inferiore a quella del rumore

termico. Si pu definire una frequenza in cui i due rumori hanno la stessa potenza:

Da cui possibile, conoscendo landamento del rumore che decresce, appunto, come , ricavare lespressione dello

spettro di tale rumore:

Con pari alla distanza dalla continua. Poich il rumore a bassa frequenza, non contribuir con armoniche al

rumore di fase, ma solo per frequenze attigue alla continua. Dunque possiamo ricavare lespressione della potenza del

rumore di fase causato dal rumore a partire dalla formula ricavata per ingresso sinusoidale, dove con le sostituzioni:

essendo lampiezza efficace della corrente, il coefficiente di Fourier della ISF, e il discostamento dalla

continua. In definitiva si ottiene:

Da qui si vide come la potenza di intorno alla portante (e di conseguenza del rumore di fase intorno a ) decresca

inizialmente come ed infine, quando il rumore termico sovrasta il rumore , decresca come .

Poich rappresenta il termine in continua di , se si riesce a fare in modo che questo valga zero, posso, in teoria,

annullare leffetto del rumore sul rumore di fase.

Come fare per realizzare un sistema con nullo? Poich rappresenta il valore in continua, o valor medio, di , si

pu cercare di fare in modo che il sistema sia estremamente simmetrico.

Per esempio, in un VCO differenziale, si pu fare in modo che le correnti che forniscono energia alla rete risonante abbiano

gli stessi tempi di salita e di discesa e la stessa durata. In questo modo nei due istanti viene accumulata la stessa carica (a

meno di rumori) sulle armature e quindi i valori di

sono uguali ed opposti, per cui il valor medio di

tende ad essere il pi piccolo possibile o, al limite, in assenza di rumore, nullo.

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