1

Wykład 4

4. Prąd elektryczny i pole magnetyczne

Prąd elektryczny

Natężenie prądu elektrycznego

tQI (4.1)

Jednostka: 1 amper, 1A. Gęstość prądu elektrycznego

SIj (4.2)

W nieobecności zewnętrznego pola elek-

trycznego elektrony poruszają się chaotycznie we wszystkich kierunkach. W zewnętrznym po-lu E uzyskują wypadkową (stałą z założenia) prędkość unoszenia vu. Jeżeli n jest koncentracją elektronów to ilość ładunku Q jaka przepływa przez przewodnik o długości l w czasie t = l/vu wynosi

l

S

2

Q = nSle Tak więc natężenie prądu wynosi

u

u

nSev

vl

nSletQI (4.3)

a gęstość prądu

uu vnevSIj (4.4)

gdzie jest gęstością ładunku. UMOWA: kierunek prądu = kierunek ruchu ładunków dodatnich. Przykład 1 Prąd o natężeniu 1A płynie w drucie miedzia-nym o przekroju 1 mm2. Jaka jest średnia pręd-kość unoszenia elektronów przewodnictwa? Masa atomowa miedzi = 63.8 g/mol, a gę-stość = 8.9 g/cm3. Z równania na natężenie prądu otrzymujemy

3

nSeIvu

Zakładamy, że na jeden atom przypada 1 elek-tron przewodnictwa (Cu+1). Możemy więc obli-czyć koncentrację nośników

AvN

n

n = 8.4·1028 atom/m3

Wstawiając do równania na prędkość otrzymu-jemy

vu = 7.4·10-5 m/s = 0.074 mm/s Prądy mogą też płynąć w gazach i cieczach. Lampy jarzeniowe są przykładem wykorzysta-nia przepływu prądu w gazach. W gazach prąd jest wynikiem ruchu nie tylko elektronów ale i jonów dodatnich. Jednak lżejsze elektrony są znacznie szybsze i ich wkład do prądu jest do-minujący. W zderzeniu elektronu z jonem lub atomem gazu energia może zostać zaabsorbo-wana przez atom, a następnie wypromieniowa-

4

na w postaci promieniowania elektromagne-tycznego, w tym również widzialnego.

4.2 Prawo Ohma

Jeżeli do przewodnika przyłożymy różnicę po-tencjałów V, to przez przewodnik płynie prąd I. Na początku XIX wieku Ohm zdefiniował opór przewodnika jako napięcie podzielone przez na-tężenie prądu

I

UIVR

(4.5)

Jest to definicja oporu. Ten stosunek jest stały pod warunkiem, że utrzymuje się stałą tempe-raturę. Jednostką oporu (SI) jest 1 (Ohm) 1.

4.2.1 Wyprowadzenie prawa Ohma

Bez pola elektrycznego prędkość ruchu cha-otycznego u (nie powoduje przepływu prądu). Prędkość u jest związana ze średnią drogą swo-bodną i średnim czasem pomiędzy zderze-niami t zależnością: u = /t. Jeżeli przyłożymy napięcie to na każdy elektron będzie działała siła F = eE i po czasie t każdy

5

elektron osiągnie prędkość unoszenia vu = u daną II zasadą Newtona

eEtum

Stąd

mteEvu u

Podstawiając t = /u otrzymujemy

mu

Eevu

(4.6)

Prędkość unoszenia ma ten sam kierunek (prze-ciwny do E) dla wszystkich elektronów. Przy każdym zderzeniu elektron traci prędkość uno-szenia. Średnia droga swobodna jest tak mała, że vu jest zawsze mniejsza od u. Obliczamy teraz natężenie prądu wstawiając wyrażenie na vu do wyrażenia (4.3) na natęże-nie I.

muSEnenSevI u

2

6

Dla elementu przewodnika o długości l (rysu-nek) obliczymy opór korzystając z faktu, że na-pięcie U = El. Z prawa Ohma

Sne

mulI

ElI

UR2 (4.7)

R jest proporcjonalny do długości przewodnika i odwrotnie proporcjonalny do przekroju. Za-uważmy, że R pozostaje stały tak długo jak dłu-go u jest stałe, a u zależy tylko od temperatury. Równanie (4.7) przepiszmy w postaci

SlR (4.8)

Stałą nazywamy oporem właściwym.

Typowa zależność oporu od temperatury dla przewodników metalicznych jest pokazana na rysunku na następnej stronie. Z dobrym przybliżeniem jest to zależność li-niowa ~ T za wyjątkiem temperatur bliskich zera bezwzględnego. Wtedy zaczyna odgrywać rolę tzw. opór resztkowy 0 zależny w dużym stopniu od czystości metalu. Istnieją jednak me-

7

tale i stopy, dla których obserwujemy w dosta-tecznie niskich temperaturach całkowity zanik oporu. Zjawisko to nosi nazwę nadprzewodnic-twa. Prądy wzbudzone w stanie nadprzewodzą-cym utrzymują się w obwodzie bez zasilania zewnętrznego. Ta możliwość utrzymania stale płynącego prądu rokuje duże nadzieje na zasto-sowania techniczne, które znacznie wzrosły po odkryciu w 1987 r materiałów przechodzących w stan nadprzewodzący w stosunkowo wyso-kich temperaturach, około 100 K. Materiały te noszą nazwę wysokotemperaturowych nad-przewodników a ich odkrywcy Bednorz i Mül-ler zostali wyróżnieni Nagrodą Nobla.

4.2.2 Straty cieplne

Gdy elektron zderza się z atomem traci nad-wyżkę energii, którą uzyskał w polu elektrycz-

0

0T

8

nym. Ponieważ energia kinetyczna nie wzrasta, cała energia stracona przez elektrony daje

dEcieplna = Udq gdzie dq jest ładunkiem przepływają-cym(elektronów przewodnictwa). Dzieląc obie strony przez dt otrzymujemy

UItqU

tE aciep

dd

dd ln

P = UI (4.8) przedstawia straty mocy elektrycznej.

4.2.3 Siła elektromotoryczna

Aby utrzymać prąd potrzeba źródła energii elektrycznej. Np. baterie, generatory. Nazywa-my je źródłami siły elektromotorycznej SEM. W takich źródłach jeden rodzaj energii jest za-mieniany na drugi. SEM oznaczamy i definiu-jemy

q

W (4.9)

9

gdzie W jest energią elektryczną przekazywaną ładunkowi q, gdy przechodzi on przez źródło SEM.

4.3 Obwody prądu stałego

Łączenie oporów: szeregowe (ten sam prąd przez oporniki) Rz = R1 + R2 + ..... równoległe (to samo napięcie na opornikach) 1/Rz = 1/R1 + 1/R2 + .....

4.3.1 Prawa Kirchoffa

Twierdzenie o punkcie rozgałęzienia: alge-braiczna suma natężeń prądów przepływają-cych przez punkt rozgałęzienia jest równa ze-ru.

Twierdzenie o obwodzie zamkniętym: alge-braiczna suma przyrostów napięć w dowol-nym obwodzie zamkniętym jest równa zeru. (Spadek napięcia jest przyrostem ujemnym napięcia).

Twierdzenie o obwodzie zamkniętym jest wy-nikiem prawa zachowania energii, a twierdze-nie o punkcie rozgałęzienia wynika z prawa za-chowania ładunku.

10

Przykład 2 Regulator napięcia (rysunek na następnej

stronie). Opornik R1 ma napięcie określone przez 1 a prąd pobiera z 2. W każdej gałęzi obwodu trzeba z osobna przy-jąć kierunek prądu i jego natężenie. Prawdziwy kierunek rozpoznamy po znaku obliczonego na-tężenia. Spadek napięcia pojawia się przy przejściu przez każdy opornik w kierunku zgodnym z prądem. Przyrost napięcia pojawia

się przy przejściu przez źródło od "-" do "+". Zastosowanie II prawa Kirchoffa do "dużej" pętli daje 2 – I2R2 – I3R1 = 0

a dla "małej" pętli

1 – I3R1 = 0 Po odjęciu stronami otrzymamy

2 – 1 – I2R2 = 0

I2

R2

2

1R1

I1I3

11

2

122 R

I

Dla węzła I1 + I2 – I3 = 0

skąd

2

2

211

2

12

1

1231

11RRRRR

III

Zauważmy, że gdy dobrać warunki tak aby

2

2

211

11RRR

to I1 = 0 i 1 nie daje żadnego prądu. Taki układ ma ważne zastosowanie praktyczne. Napięcie 1 może być niskoprądowym ogniwem wzor-cowym, mimo że R1 może pobierać duży prąd (głównie z 2).

4.4 Pole magnetyczne

Doświadczalnie stwierdzamy, że występuje od-działywanie: magnesów naturalnych (Fe3O4)

12

oddziaływanie przewodników z prądem na ła-dunki w ruchu (kineskop) oddziaływanie przewodników z prądem na siebie Magnesem jest sama Ziemia. Jej działanie na

igłę kompasu jest znane od Starożytności. Te oddziaływania opisujemy wprowadzając po-jęcie pola magnetycznego.

4.4.1 Siła magnetyczna

Pole grawitacyjne (natężenie) m

Fg graw

Pole elektryczne (natężenie) q

FE elekt

Pole magnetyczne (indukcja) qv

FB magn

(Siła działa na ładunki w ruchu i jest propor-cjonalna do qv). Jednostką B jest tesla; 1T = N/(Am)

Powyższy wzór jest prawdziwy dla ruchu ła-dunku prostopadle do B ale siła Fmagn (siła Lo-rentza) zależy od kierunku v. Ta zależność od kierunku jest zapisana poprzez równanie wek-torowe

13

BF vqmagn (4.10) gdzie kierunek definiuje się z reguły śruby prawoskrętnej (iloczyn wektorowy).

Zauważmy, że Fmagn jest zawsze prostopadłe do v. Zatem, zgodnie z twierdzeniem o pracy i energii Fmagn nie może zmienić energii kine-tycznej poruszającego się ładunku i ładunek krąży po okręgu. Stąd

qvBRvm

2

qBmvR

jest promieniem okręgu.

Siła działa na ładunki w ruchu więc działa na cały przewodnik z prądem.

F = evuB

BnSe

IeF

14

W przewodniku o długości l znajduje się nSl elektronów, więc całkowita siła

lBIBnSIlnSF

Równanie w ogólnym przypadku ma postać BlF I (21.11)

4.4.2 Działanie pola magnetycznego na

obwód z prądem

Rozważymy teraz działanie pola magnetycz-nego na zamknięty obwód z prądem.

Prostokątną ramkę o bokach a i b umieszczamy w jednorodnym polu magnetycznym o indukcji B. Przez ramkę płynie prąd o na-tężeniu I, a normalna do płasz-czyzny ramki tworzy kąt z po-lem B (rysunek).

Rozpatrujemy siłę działającą na każdy z boków. Siły Fb dzia-

15

łające na odcinki b znoszą się wzajemnie. Siły Fa działające na odcinki a też się znoszą ale tworzą parę sił dającą wypadkowy moment siły

sinsin2

sin2

bFbFbF aaa

lub wektorowo (na podstawie definicji iloczynu wektorowego)

aFbτ Siła Fa wynosi

IaBFa więc sinsin ISBIabB (4.12) gdzie S = ab jest powierzchnią ramki. Równa-nie (4.12) możemy zapisać w postaci wektoro-wej BSτ I (4.13) gdzie S jest wektorem powierzchni. Wielkość Sμ I (4.14)

16

nazywamy magnetycznym momentem dipolo-wym. Pole magnetyczne działa więc na ramkę z prądem (dipol magnetyczny) momentem skrę-cającym obracając ją. Położenie równowagi ramki (dipola magnetycznego) występuje dla = 0 tj. gdy ramka jest ustawiona prostopadle do pola B. Przykładem dipola magnetycznego jest igła kompasu, która umieszczona w polu magnetycznym obraca się ustawiając zgodnie z polem.

Taką "kołową ramką z prądem" jest również elektron krążący po orbicie w atomie. Moment dipolowy elektronu krążącego po orbicie o promieniu r wynosi

)( 2rIe Natężenie prądu wytwarzanego przez elektron o ładunku e przebiegający orbitę w czasie T (okres obiegu) wynosi

rev

Te

tqI

2

gdzie v jest prędkością elektronu. Stąd

17

Lmemvr

meevrr

rev

e 2)(

22)(

22

gdzie L = mvr jest momentem pędu elektronu. Elektron, krążący po orbicie jest więc elemen-tarnym dipolem magnetycznym. Własności ma-gnetyczne ciał są właśnie określone przez za-chowanie się tych elementarnych dipoli w polu magnetycznym. Własności te omówimy na dal-szych wykładach.

Z momentem siły działającym na dipol zwią-zana jest tzw. energia magnetyczna dipola Można również pokazać, że ta energia wyraża się wzorem Em = - B = - Bcos (4.15) Zauważmy, że minimum energii odpowiada ustawieniu dipola w kierunku równoległym do pola magnetycznego B ( = 0).

4.4.3 Efekt Halla

18

Jeżeli płytkę metalu (lub półprzewodnika) umieścimy w polu magnetycznym, prostopa-dłym do kierunku przepły-wu prądu, to na ładunki bę-dzie działała siła odchylają-ca powodująca zakrzywie-nie torów ładunków w kie-runku jednej ze ścianek bocznych płytki. Niezależ-nie czy prąd jest związany z ruchem ładunków dodatnich czy ujemnych mamy do czynienia z odchylaniem ładunków w kierunku jednej krawędzi. Przesunięcie ładun-ków powoduje powstanie poprzecznego pola elektrycznego Halla EH. To pole przeciwdziała dalszemu przesuwaniu ładunków. Pole Halla jest dane wzorem

dU

E xyH

W stanie równowagi odchylające pole magne-tyczne jest równoważone przez pole elektrycz-ne

qEH + q(vu B) = 0 Stąd

Iyx

B

vu

vu

F

F

d

19

EH = – vu B Wynika stąd, że jeżeli zmierzymy EH i B to mo-żemy znaleźć vu. Gdy vu i B są prostopadłe to

EH = vuB

Ponieważ: vu = j/(Ne)

więc EH = (jB)/(ne) lub

n = (jB)/(eEH)

Możemy wyznaczyć n. Można też wykorzystać ten efekt do pomiaru pola magnetycznego.