4_cap4_metode de rezolvare a circuitelor electrice

_____________________________________________________________________ 29

4. REZOLVAREA CIRCUITELOR 4.1. Rezolvarea circuitelor în regim permanent de curent continuu. Deşi există mai multe metode de rezolvare pentru acest regim este indicat a se cunoaşte foarte bine una şi anume cea care foloseşte teoremele lui Kirchhoff. 4.1.1. Teoremele lui Kirchhoff T1 Kirchhoff. Într-un nod de reţea, suma algebrică a curenţilor este nulă. T2 Kirchhoff. Într-un ochi de reţea suma algebrică a tensiunilor electromotoare este egală cu suma algebrică a căderilor de tensiune de-a lungul ochiului. Înainte de a trece la rezolvarea circuitului din figura 4.1, sunt utile câteva precizări referitoare la scrierea ecuaţiilor rezultate din cele două teoreme. Considerăm o reţea oarecare având N noduri şi L laturi. Toate laturile conţin cel puţin o rezistenţă, iar unele au şi surse de tensiune. Fiecare latură fiind parcursă de un curent, rezultă că în reţea circulă L curenţi. Dacă se cunosc valorile t.e.m şi ale rezistenţelor iar curenţii nu se cunosc, înseamnă că în reţea se găsesc L mărimi necunoscute. În termeni de matematică, pentru determinarea celor L necunoscute, trebuie să avem la dispoziţie un sistem de L ecuaţii. Pentru scrierea acestui sistem, se procedează în felul următor:

a. Se stabileşte numărul de laturi L şi numărul de noduri N b. Se notează cu I1, I2, IL curenţii din laturi şi se alege arbitrar un sens de parcurs

al curentului prin fiecare latură, deoarece sensul real nu este de la început cunoscut. Acest sens se reprezintă cu câte o săgeată, pe fiecare latură.

c. Se determină numărul de ochiuri independente al circuitului (reţelei). Euler a demonstrat în teoria grafurilor că într-o reţea cu L laturi şi N noduri, numărul de ochiuri independente este (L-N+1). Aceste ochiuri independente se stabilesc astfel încât fiecare latură a reţelei să fie înglobată în cel puţin un ochi independent, iar un ochi independent să aibă cel puţin o latură care să nu fie cuprinsă în celelalte ochiuri independente. Acestea se reprezintă printr-o curbă închisă desenată cu linie punctată, care urmăreşte conturul ochiului independent.

d. Se alege un sens arbitrar de parcurs pentru fiecare ochi independent. Sensul se desenează cu câte o săgeată inclusă pe linia punctată care desemnează fiecare ochi independent.

e. Se scrie teorema I a lui Kirchhoff pentru (N-1) noduri, obţinându-se (N-1) ecuaţii independente.

IPMihu – Note de Curs ____________________________________ Metode de rezolvare a circuitelor liniare

________________________________________________________________________ 30

f. Se scrie teorema II a lui Kirchhoff pentru toate ochiurile independente alese obţinându-se (L-N+1) ecuaţii independente. Căderile de tensiune IkRk se consideră pozitive şi ca urmare se vor trece în ecuaţii cu semnul "+" dacă sensul curentului coincide cu sensul de parcurs al ochiului. Tensiunile electromotoare se consideră pozitive şi se vor scrie în ecuaţii cu semnul "+", dacă sensul de parcurs al ochiului străbate sursa de la "+" la "-". În cazul în care se desenează sursa de t.e.m ca un

element galvanic

, borna "+" este cea lungă. g. De remarcat că din cele (N-1) ecuaţii datorate teoremei I a lui Kirchhoff şi din cele

(L-N+1) ecuaţii datorate teoremei II a lui Kirchhoff se obţine un sistem de (N-1) + (L-N+1)= L ecuaţii, adică exact atâtea câte erau necesare pentru determinarea celor L necunoscute.

h. Se rezolvă sistemul obţinut. Dacă din calcule rezultă valori negative ale curenţilor aceasta înseamnă că sensul real al curentului prin acea latură va fi invers sensului ales iniţial arbitrar de noi.

Trebuie precizat de asemenea faptul că rezolvarea unei reţele nu înseamnă întotdeauna determinarea curenţilor în ipoteza că se cunosc valorile t.e.m şi a elementelor din circuit. Sunt situaţii în care se cunosc valorile curenţilor şi se cer determinate (proiectate) valori ale elementelor de circuit. Problema se rezolvă similar scriind sistemul de ecuaţii în felul descris anterior, având grijă ca numărul total al necunoscutelor să fie egal cu al laturilor. În figura 4.1. sunt exemplificate sumar cele arătate

E

R1

R2 R3

I1

I2 I3

Figura 4.1. Circuit în regim de cc

Analizând circuitul, rezultă că acesta are 3 laturi şi 2 ochiuri fundamentale. Rezultă sistemul de ecuaţii:

I = I + I

E = I R I R

0 = I R I R

1 2 3

1 1 2 2

3 3 2 2

⋅ + ⋅⋅ − ⋅

(4.1)

4.1.2. Teoreme ce ajută la simplificarea rezolvării circuitelor. Vom trece în continuare în revistă câteva teoreme şi relaţii din electrotehnică, care pot deveni utile acum la început de drum în lumea electrotehnicii. a. Formula divizorului de tensiune.

Divizor de tensiune se numeşte circuitul format din doua sau mai multe rezistoare legate în serie şi alimentate la o sursă de tensiune. Termenul "divizor de tensiune" semnifică faptul că tensiunea se distribuie (se împarte) între rezistoarele divizorului.


________________________________________________________________________ 31

Formula permite calculul rapid al căderii de tensiune de pe fiecare rezistor al divizorului.

R2

I

U

U2

U1R1

Figura 4.2. Divizor de tensiune

Aplicând teorema a II-a a lui Kirchhoff în ochiul format, rezultă:

U = UR

R R 1

1

1 2

⋅+

;U = UR

R R 2

2

1 2

⋅+

(4.2)

În cazul a n rezistenţe înseriate, căderea de tensiune pe una dintre ele va fi:

U = UR

R K

K

Ki = 1

n⋅∑

(4.3)

Relaţiile sunt valabile atât pentru tensiuni continue cât şi pentru tensiuni variabile. b. Formula divizorului de curent.

Divizor de curent se numeşte circuitul format din doua sau mai multe rezistoare legate în parale şi alimentate la o sursă curent. Termenul "divizor de curent" semnifică faptul că curentul principal se distribuie (se împarte) între rezistoarele divizorului.

R2

I1 I2

R1

I

I

Figura 4.3. Divizor de curent Aplicând teoremele Kirchhoff, se obţin formule simple care permite calculul rapid al curentului prin fiecare rezistor al divizorului.

I = IR

R R 1

2

1 2

⋅+

; I = IR

R R 2

1

1 2

⋅+

(4.4)


________________________________________________________________________ 32

Relaţiile care stabilesc valoarea curentului printr-o rezistenţă a divizorului în funcţie de valoarea curentului principal, sunt valabile atât pentru curenţi continui cât şi pentru curenţi alternativi. c. Teorema Thevenin.

Teorema afirmă că orice porţiune dintr-un circuit liniar poate fi echivalată între două puncte ale sale cu un generator de tensiune (o sursă de t.e.m. E'g în serie cu o impedanţă internă şi Z'g). Din acest motiv teorema mai poartă şi numele de "teorema generatorului de tensiune echivalent".

b

a

Z’ g

E’g

Circuitsarcinã

b

a

Zg

Ug

Circuitsarcinã

<=>Portiune

circuit liniar

Figura 4.4. Referitor la teorema Thevenin. Modul de calcul a valorilor E'g şi Z'g (ilustrat în figura 4.5) este următorul:

b

a

Z’g

b

a

Uab

Portiunecircuit liniar

pasivizat

Portiunecircuit liniar

Figura 4.5. Calculul generatorului echivalent. Tensiunea E'g este egală cu căderea de tensiune intre punctele a şi b între care se face echivalarea, cădere calculată după îndepărtarea porţiunii de circuit considerate ca sarcină, aşa cum rezultă din figura 4.5. Dacă există surse de t.e.m. comune celor două părţi, ele se vor desena separat pentru fiecare din ele.

E'g=Uab (4.5)

Impedanţa internă a generatorului Thevenin se calculează ca şi impedanţă văzută între punctele a şi b între care se face echivalarea, după pasivizarea porţiunii echivalate. Prin pasivizare se înţelege scurtcircuitarea tuturor t.e.m. care există în porţiunea echivalată.

Z'g=Rab (4.6)


________________________________________________________________________ 33

d. Teorema Norton.

b

a

Z’gI’ g

Circuitsarcinã

b

a

Zg

Ug

Circuitsarcinã

<=>Portiune

circuit liniar

Figura 4.6. Referitor la teorema Norton. În mod similar cu cele afirmate de teorema precedentă, teorema Norton afirmă că orice porţiune dintr-un circuit liniar poate fi echivalată între două puncte ale sale cu un generator de curent (o sursă ideală de curent I'g în paralel cu o impedanţă internă Z'g). Din acest motiv teorema mai poartă şi numele de "teorema generatorului de curent echivalent". Este recomandabil ca modul de calcul a valorilor I'g şi Z'g să se facă conform cu condiţia 4.22 care arată posibilitatea echivalării între ele a generatoarelor de tensiune şi curent.

Generatorul de tensiune din figura 4.4 se comportă identic din punctul de vedere al sarcinii cu generatorul de curent din figura 4.6 numai dacă:

I

E

R

R R'

g

g

g

g g

=

=

(4.7)

Condiţia 4.22 prezintă deci modalitatea de echivalare (sau de transformare) între ele a generatoarelor: din tensiune în curent şi invers. 4.2. Rezolvarea circuitelor în regim permanent de curent sinusoidal 4.2.1. De ce sinus ? Este bine pentru început să precizăm de ce din mulţimea infinită de variaţii posibile ale unor surse de t.e.m. periodice s-a ales pentru studiul circuitelor electrice tocmai regimul sinusoidal. De ce nu s-a început studiul circuitelor alimentâdu-le la tenisiuni dreptunghiulare, triunghiulare, etc..? Alegerea este justificată de faptul remarcabil că tensiunea armonică (sinusoidală sau cosinusoidală) este singura formă din natură care se propagă prin reţele liniare fără a fi deformată. Altfel spus, dacă un circuit format din elemente liniare R,L,C, oricât de complex ar fi el, este alimentat cu o tensiune armonică, atunci toate tensiunile, toţi curenţii din circuit, prin oricare element al circuitului vor fi tot armonici! Bineînţeles sinusoidele vor putea fi mai mari sau mai mici, "întârziate" (defazate) mai mult sau mai puţin, dar tot sinusoide vor rămâne!


________________________________________________________________________ 34

Iată deci că forma de variaţie sinusoidală are o importanţă cu totul aparte în lumea care ne înconjoară. Nu numai în electricitate există mărimi care variază sinusoidal. Există de asemenea oscilaţii mecanice sinusoidale, oscilaţii acustice sinusoidale, etc. Undele care se propagă în diverse medii elastice (gaze, lichide, solide) sunt tot variaţii sinusoidale ale unor mărimi fizice. Şi toate acestea se bucură de proprietatea unică de a nu-şi modifica forma de variaţie atunci când se propagă în sisteme liniare.

Semnalele sinusoidale sunt singurele din natură

care se propagă prin sisteme liniare fără a fi deformate! Adică, dacă la intrarea unui sistem liniar se aplică o sinusoidă, la ieşirea sa va apare tot o sinusoidă, dar care poate avea: • amplitudinea diferit ă, mai mare sau mai mică, faţă de

amplitudinea sinusoidei de la intrare; • o posibilă întârziere, mai mare sau mai mică, faţă de sinusoida de

intrare (fază diferit ă faţă de tensiunea de intrare).

Pentru a accentua acest aspect, să considerăm acum că circuitul din figura 4.7, ar fi alimentat cu o tensiune u(t) triunghiulară. La întrebarea ce formă va avea curentul i(t) prin circuitul de sarcină, răspunsul corect este: „cu certitudine nu va fi o formă triunghiulară”. Cele precizate mai înainte motivează importanţa care trebuie dată studiului circuitelor în regim permanent sinusoidal (armonic). Să revenim la problema noastră. Circuit în regim permanent sinusoidal este circuitul în care sursa re are o variaţie sinusoidală. Acum suntem în măsură să răspundem la întrebarea de ce am ales să ne ocupăm tocmai de regimul sinusoidal. Aşa cum este sintetizat în figura următoare, avantajul imens pe care-l oferă rezolvarea regimului sinusoidal este acela că ştim ce formă vor avea curenţii dintr-o reţea atunci când tensiunea din reţea este sinusoidală. ei vor fi tot sinusoidali, iar singurul lucru care ne mai rămâne de făcut este să le determinăm amplitudine şi eventuala întârziere în timp (defazaj), faţă de tensiunea care i-a generat.

u (t)

i (t)

R,L,C

Dacă u(t) = Umax ⋅sin (ω t+ϕ1) ⇒ i(t) = Imax ⋅sin (ω t+ϕ2)

Figura 4.7. Tensiunea sinusoidală produce curent sinusoidal


________________________________________________________________________ 35

4.2.2. Parametrii mărimii sinusoidale

u(t) = Umax ⋅sin (ωt) (4.8)

t

t

u (t)

u (t)

2π π 3π

T T/2 3T/2

U max

-U max

U max

-U max Figura 4.8. Reprezentarea grafică a sinusoidei în raport cu timpul sau în raport cu faza.

Precizări asupra mărimilor legate de tensiunea sinusoidală:

• Umax - amplitudinea tensiunii sinusoidale u(t). Reprezintă valoarea maximă a tensiunii u(t).

• (ωωωωt) - faza tensiunii u(t): [ωt]SI = 1 rad. Reprezintă argumentul funcţiei sinus şi are dimensiunea unui unghi. Nu uitaţi, funcţia sin(ϕϕϕϕ), cea de la lecţiile de trigonometrie, are ca argument un unghi! Notaţia consacrată este: ωt = ϕ.

• ωωωω - pulsaţia tensiunii u(t): [ω]SI = 1 rad/sec. În domeniul mecanic, în cazul oscilaţiei unui punct material spre exemplu, această mărime poartă denumirea de „viteză unghiulară”.

• T - perioada tensiunii sinusoidale: [T]SI = 1 sec. Reprezintă intervalul de timp după care tensiunea u(t) trece prin aceleaşi valori, în acelaşi sens.

• f - frecvenţa tensiunii u(t): [f]SI = 1 sec -1 = 1Hz. Arată de câte ori se repetă un ciclu pe durata unei secunde.

Conform definiţiei: T

1f = (4.8)

Relaţia dintre ω, T şi f se deduce simplu, punând condiţia ca după un ciclu complet, (t=T), faza semnalului (ωt) să ajungă la valoarea 2π;

(ωt)|t=T = 2π (4.9)

Deci: ωT=2π (4.10)


________________________________________________________________________ 36

Nu întotdeauna o sinusoidă trece prin valoarea zero atunci când timpul este egal cu zero. O astfel de situaţie este ilustrată de tensiunea u2(t), din figura 4.3. De aceea, forma generală a unei tensiuni sinusoidale se scrie astfel:

u(t) = Umax ⋅sin (ωt+ϕ0) (4.11)

În acest caz, expresia generală a fazei unei tensiuni sinusoidale este:

ϕ = (ωt+ϕ0) [ωt+ϕ0]SI = 1 rad. (4.12)

unde ϕ0 reprezintă faza iniţială a tensiunii u(t), adică valoarea fazei la momentul t=0.

ϕ

ϕo

ϕ

u1 (t)

u2 (t)

2ππ 3π

Figura 4.9. Faza iniţială / Defazajul. Tot legat de definiţia fazei trebuie precizat că noţiunea de „defazaj” apare şi trebuie folosită doar atunci când se compară între ele două tensiuni sinusoidale. Prin definiţie, defazajul este diferenţa fazelor a două tensiuni sinusoidale de aceeaşi frecvenţă. Deci, defazajul dintre tensiunile 4.5 şi 4.1 este:

∆ϕ= (ωt +ϕ0) – (ωt) = ϕ0 (4.12) Pentru a preciza încă o dată terminologia corectă în acest caz, ϕϕϕϕ0 reprezintă: • faza iniţială a tensiunii 4.11 sau • defazajul dintre tensiunea dată de relaţia 4.11 şi cea dată de relaţia 4.8. 4.2.3. Determinarea curentului printr-un rezistor Să presupunem acum că o surse de tensiune sinusoidală ideală alimentează un rezistor ca în figura 4.10.

u (t)

R uR (t)

i (t)

Figura 4.10. Determinarea curentului prin rezistor.


________________________________________________________________________ 37

Teoremele lui Kirchhoff aplicate deja de noi circuitelor în regim de curent continuu pot fi aplicate fără nici o restricţie şi în acest caz. În locul mărimilor electrice constante (litere mari), vom avea de această dată mărimi instantanee (litere mici). u(t) = R ⋅ i(t) (4.13)

de unde ( )tf2sin R

U u

R

1 i max

(t)(t) ⋅π⋅== (4.14)

Concluzii: •

I max

U max

ωt

2π

u (t) i (t)

Figura 4.11. Forma tensiunii şi a curentului prin rezistor.

4.2.4. Determinarea curentului printr-un condensator Circuitul propus pentru acest experiment este unul extrem de simplu: O sursă sinusoidală ideală, alimentează un condensator de valoare C, ca în circuitul următor.

u (t)C

uC (t)

iC (t)

Figura 4.12. Condensator alimentat la o tensiune sinusoidală

Pentru determinarea valorii curentului prin condensator vom porni de la o relaţie de definiţie dintre sarcina Q acumulată pe armăturile unui condensator la bornele căruia se aduce din exterior o tensiune U. Se ştie că în regim permanent de curent continuu, avem:

UQ

C = (4.15)

relaţia poate fi rescrisă astfel:


________________________________________________________________________ 38

CUtI tIQ

UCQ =⋅⇒

⋅=⋅=

(4.16)

În regim variabil, adică atunci când U şi I se modifică în timp, devenind u(t) şi i(t), relaţia de mai sus nu mai este valabilă. Dacă luăm în considerare intervale mici de timp, atunci u(t) şi i (t), nu au timp să varieze prea mult. Pentru rezolvarea problemei, vom alge intervale "dt" atât de mici încât, la limit ă să putem afirma că pe durata acestor intervale variaţiile u(t) şi i (t), sunt neglijabile. Rezultă că pe durata unui interval "infinit mic", tensiunea u(t) şi curentul i(t) pot fi considerate constante şi în consecinţă relaţia 4.16 rămâne valabilă cu precizarea de rigoare, că durata ei se limitează la intervale "infinit mic", de timp notate în matematică "dt". i(t) ⋅ dt = C ⋅ u(t) (4.17)

Relaţia la care am ajuns este în fond o ecuaţie diferenţială. Am redus acum problema de electricitate la una de matematică ce poate fi formulată astfel: să se determine curentul i(t), atunci când se cunoaşte forma de variaţie a tensiunii u(t) precum şi relaţia care leagă între ele cele două mărimi.

t)f(2sin U=u

uC td

u dC=i

max(t)

c(t)(t)

(t)C

⋅⋅π⋅

′⋅= (4.18)

Rezultă i(t) = C [Umax ⋅ sin(2π⋅f ⋅t)]' (4.19)

i(t) = C Umax (2π⋅f) ⋅ cos(2π⋅f ⋅t) (4.20)

π+⋅π⋅π=2

tf2sinf2 UC i max(t) (4.21)

Rezultatul obţinut ne permite acum să facem unele observaţii:

a. O primă observaţie trebuie să fie cea referitoare la forma curentului prin condensator. Iată că ni se confirmă faptul că dacă forma tensiunii este sinusoidală, atunci şi curentul ce străbate condensatorul va fi tot sinusoidal, cu aceiaşi frecvenţă ca şi a tensiunii, deci curentul nu îşi schimbă forma. Ştiam deja acest lucru din momentul în care am afirmat că forma sinusoidală este singura care nu se schimbă atunci când se propagă în sisteme liniare.

b. Putem identifica uşor valoarea maximă a curentului, ca fiind

Imax = Umax (2π⋅f) C (4.22)

c. Din relaţia se observă că există o legătură de proporţionalitate între amplitudinea curentului şi a tensiunii. Dacă vom face o analogie simplă cu legea lui Ohm, putem identifica şi în acest caz o mărime care va avea aceiaşi unitate de măsură ca şi rezistenţa electrică adică [1 Ω].

Cf2

1IU

max

max

⋅⋅π= (4.23)

Vom nota această mărime cu XC şi o vom numi "reactanţă capacitivă".


________________________________________________________________________ 39

C

1Cf2

1XC ⋅ω

=⋅⋅π

= (4.24)

Pentru a reţine uşor această noţiune, putem spune că ea nu este altceva decât "rezistenţa în curent alternativ a unui condensator". Asociaţia dintre rezistenţă şi reactanţă este justificată atât de relaţia în care ea se află cu amplitudinile tensiunii şi curentului cât şi de unitatea ei de măsură:

[XC]SI = 1 Ω (4.25)

d. Legat de faza curentului sinusoidal (argumentul funcţiei sinus) se vede că, curentul are o fază mai mare decât tensiunea cu π/2. Se zice în acest caz: "curentul este defazat cu ππππ/2 înaintea tensiunii". Semnificaţia fizică a acestei situaţii în domeniul timp, este aceea că sinusoida curent, îşi începe evoluţia mai repede decât sinusoida tensiune, şi evident trece mai repede prin valorile de maxim.

e. În final este obligatoriu să transpunem relaţiile tensiunii şi ale curentului sub formă grafică, spre a "vedea" cum arată cele două mărimi fizice.

u 0 (t)

I max

U max

ωt

π2

2π

uC (t) i C(t)

Figura 4.13. Forma tensiunii şi a curentului prin condensator.

f. Acest grafic, care este până în acest moment doar rezultatul unor demersuri matematice, poate fi uşor certificat de realitate, dacă se oscilografiază cele două mărimi fizice din circuitul electric în care alimentăm condensatorul cu o tensiune sinusoidală. Pentru acesta va trebui să folosim un osciloscop cu două spoturi existent în laborator. Fiindcă osciloscopul nu poate "vedea" decât tensiuni, nu şi curenţi, va trebui ca circuitul de test să fie uşor modificat:

u (t)C

uC (t)

i (t)

Ch1 Ch2

iC(t) RR

Gnd

Figura 4.14. Oscilografierea tensiunii şi curentului prin condensator


________________________________________________________________________ 40

Concluzii:

• Alimentând un condensator cu o tensiune sinusoidală, curentul va fi tot sinusoidal, având aceiaşi frecvenţă, dar fază diferită.

• Condensatorul se comportă în curent alternativ sinusoidal ca şi cum ar ave o "rezistenţă" numită reactanţă capacitivă. Amplitudinea curentului este direct proporţională cu amplitudinea tensiunii şi invers proporţională cu reactanţa condensatorului. Cu cât reactanţa este mai mare cu atât mai mică este amplitudinea curentului ce trece prin condensator.

• Reactanţa condensatorului depinde atât de valoarea capacităţii condensatorului, cât şi de valoarea frecvenţei curentului ce îl străbate. Iată deci o diferenţă majoră faţă cazul unui rezistor, la care valoarea rezistenţei nu depinde în nici un fel de parametrii ai curentului ce îl străbate.

• Este extrem de util ca după toată demonstraţia făcută mai înainte, să rămânem cu o formulare simplă care să sintetizeze comportarea condensatorului într-un regim sinusoidal. Aceasta este: Curentul sinusoidal ce trece printr-un condensator este defazat cu ππππ/2 înaintea tensiunii de la bornele condensatorului.

Pentru a reţine uşor, dar mai ales pentru a evita confuziile născute de întrebarea "cine este defazat înainte?" iată o analogie care ne ajută ca printr-un exerciţiu simplu de logică să nu rămânem la cheremul memoriei, care adesea ne poate juca feste.

iC (t)

uC (t) h (t)

q (t)

Figura 4.15. Analogie între încărcarea unui condensator şi umplerea unui vas cu apă

Aşa cum se observă în figura 4.15, analogia este între încărcarea unui condensator cu sarcini electrice şi umplerea unui vas cu apă. Astfel se poate face uşor asocierea între:

• curentul de încărcare al condensatorului şi debitul de lichid ce vine de la robinet;

• tensiunea la care se încarcă condensatorul şi nivelul apei în vas.

Analizând umplerea vasului cu apă putem răspunde la întrebarea: "Cine este mai întâi, debitul de lichid sau nivelul apei din vas? sau altfel spus "Cine este cauză şi cine este efect?" Răspunsul vine firesc dacă admitem că nu poate exista apă în vas dacă nu îl umplem, respectiv dacă nu există mai întâi debitul de apă de la robinet. De aici şi concluzia că debitul de fluid este înaintea nivelului apei. Prin similitudine cu aceasta se poate afirma că în cazul condensatorului curentul este înaintea tensiunii.


________________________________________________________________________ 41

4.2.5. Determinarea curentului printr-o bobină ideală

u (t)

L uL (t)

iL (t)

Figura 4.16. Bobină ideală alimentată la o tensiune sinusoidală

Bobina ideală este cea care prezintă numai o inductanţă L. Evident că dacă tensiunea ce alimentează inductanţa este una sinusoidală, atunci şi curentul iL(t), va fi tot unul sinusoidal. La fel ca şi în cazul condensatorului, nu ne rămâne decât să calculăm amplitudinea şi faza acestui curent sinusoidal. Pentru aflarea elementelor curentului sinusoidal prin inductanţă, trebuie să facem apel la cunoştinţe teoretice de câmp magnetic. Fiindcă acest curs se doreşte a fi doar unul de introducere în ingineria electrică, nu este cazul să dezvoltăm aici aceste aspecte teoretice. Va trebui deci să mai aşteptaţi "un pic" până veţi învăţa aceste elemente de câmp magnetic la cursul de Bazele Electrotehnicii, pentru a vă putea bucura de frumuseţea unei soluţii teoretice precum cea pe care am găsit-o în cazul condensatorului. Vă propun însă un exerciţiu simplu, dar care ne permite să rezolvăm problema şi în acelaşi timp să rămânem cu o imagine completă asupra comportării unei bobine. Pentru aceasta trebuie să memorăm două lucruri.

• La fel ca şi capacitatea, şi inductanţa la rândul ei prezintă o "rezistenţă", numită reactanţă inductivă. Aceasta serveşte la determinarea amplitudinii curentului. Valoarea reactanţei inductive a unui condensator este:

XL = ω⋅L = 2π⋅f ⋅L (4.26)

cu unitatea de măsură: [XL]SI = 1 Ω (4.27)

• Plecând de la premisa că inductanţa şi capacitatea au o comportare antagonică, la bornele inductanţei, defazajul dintre tensiune şi curent, este invers ca la condensator. Sugerez studenţilor acest fel de a reţine cum este defazajul, fiindcă în acest fel avem marele avantaj de a nu trebui să reţinem decât un singur lucru, şi anume cum este defazajul la condensator. În acest fel, nu avem motive să facem confuzii, care apar adesea atunci când suntem puşi în situaţia de a memora lucruri sau fenomene antagoniste.

O dată ştiute acestea, putem stabili forma exactă a curentului prin bobină. Astfel: dacă: u(t) = Umax ⋅ sin(2π⋅f ⋅t) (4.28)

Rezultă

π−⋅π⋅=2

tf2sin X

U i

L

max(t)L (4.29)


________________________________________________________________________ 42

Reprezentarea grafică a curentului prin inductanţă şi a tensiunii la bornele acesteia, îna cazul în acrea ea este sinusoidală, este ce din figura următoare:

u 0 (t)

I max

U max

ωt

π2

2π

uL (t) iL (t)

Figura 4.17. Forma tensiunii şi a curentului prin inductanţă. 4.2.6. Rezolvarea circuitului în regim sinusoidal.

Vom alege ca exemplu trecerea semnalului sinusoidal printr-un circuit RC, având schema din figura 4.18.

u i (t) R C u C (t)

i (t)

Figura 4.18. Circuit în regim permanent armonic.

Aşa cum am mai precizat, dacă semnalul de intrare este unul sinusoidal, atunci şi semnalul de ieşire va fi tot sinusoidal. Ştiind acest lucru, nu mai rămâne decât să determinăm amplitudinea şi faza sinusoidei de ieşire. Pentru semnalele electrice există mai multe metode care permit determinarea exactă a amplitudinii şi fazei sinusoidei de ieşire atunci când se cunoaşte semnalul de intrare şi structura circuitului. O soluţie simplă este analiza circuitului utilizând metoda „calculului în complex”. Toate relaţiile, inclusiv teoremele lui Kirchhoff, se scriu „ca în curent continuu”, cu următoarele diferenţe:

• toate mărimile electrice (tensiuni electromotoare, căderi de tensiune, curenţi) sunt mărimi complexe, şi trebuie notate ca atare subliniindu-le cu o bară.

• impedanţele condensatoarelor sunt 1/jωC, iar ale bobinelor sunt jωL, unde ω este pulsaţia semnalului sinusoidal de la intrare.

Ui

I

C

R

Uc

Figura 4.19. Rezolvarea circuitului în regim armonic.


________________________________________________________________________ 43

Pentru fiecare din cele două ochiuri se scrie teorema a II-a a lui Kirchhoff. Deoarece curentul I nu se divide în nodul din circuit, avem:

=⋅=

+=⋅+⋅=

Cωj

1IXIU

Cωj

1RIXI RIU

c0

ci

(4.30)

Rezultă:

+=

+=

RC ωj1

1 U U

RC ωj1

C ωj U I

i0

i

(4.31)

Deci, am obţinut ca rezultat două numere complexe. Cum revenim la „lumea reală”? Cum arată în realitate cele două mărimi electrice? Ştiind că acestea sunt sinusoide, problema este uşor de rezolvat, fiindcă trebuie determinate doar amplitudinea şi faza acestora. Prin definiţie, acestea sunt:

CR ω1

U

RC ωj1

1 U U U

222

ii00max

+=

+⋅== (4.32)

RC)ω( arctg -

RCωj1

1Re

RCωj1

1Im

arctg 0 =

+

+=ϕ (4.33)

Rezultă: u0(t) = U0max ⋅ sin (ω⋅t+ϕ0) (4.34)

„Realitatea” pe care tocmai am descoperit-o în relaţiile 4.32 şi 4.33, poate fi vizualizată cu ajutorul osciloscopului cu două canale. Pe primul canal se aduce tensiunea de la intrarea circuitului, iar pe al doilea canal, tensiunea de la ieşirea circuitului. În acest fel putem verifica imediat rezultatele investigaţiilor teoretice ale procesării semnalului analogic. Pentru o pulsaţie ω dată, forma celor două tensiuni, fie că o „desenăm” folosind rezultatele 4.32 şi 4.33, fie că o privim cu osciloscopul, este cea din figura 4.20.

t

u i (t)

u 0 (t)

U0 max

ϕ 0

Ui max

Figura 4.20. Forma tensiunii la ieşirea circuitului.


________________________________________________________________________ 44

4.2.7. Metoda fazorială Al ături de metoda de calcul în complex, pentru determinarea valorilor efective şi a defazajelor mărimilor necunoscute din circuit se poate folosi şi metoda fazorială ca în exemplul din figura 4.21.

R1

R2

C1

UR1 UC1

UR2

UR1

UC1

UR2

U

U

I

I

ϕ

Figura 4.21. Diagrama fazorială

Prin metoda fazorială se ataşează biunivoc fiecărei mărimi electrice sinusoidale un "vector electric" numit fazor, în felul următor.

• modulul fazorului este numeric egal cu valoarea efectivă a mărimii sinusoidale

• direcţia (unghiul făcut de fazor cu o direcţie de referinţă este egal cu faza ini ţială a tensiunii/curentului sinusoidal, aşa cum este arătat în relaţia 4.35.

U ⇔ U 2 sin (ωt+ ϕ) (4.35)

Pentru rezolvarea unui circuit în regim permanent sinusoidal prin metoda fazorială, trebuie parcurşi următorii paşi:

• se desenează schema electrică notând mărimile electrice drept fazori (majuscule, subliniate în partea de jos)

• se scrie sistemul de ecuaţii rezultat din aplicarea teoremelor Khirhhoff. În acest sistem toate mărimile electrice, cunoscute sau necunoscute sunt fazori.

• Acest sistem nu poate fi rezolvat ca unul algebric, fiindcă mărimile electrice au caracterul de vectori, deci este un sistem vectorial.

• Pentru rezolvarea uşoară a sistemului se desenează diagrama fazorială a circuitului, care transpune informaţiile din sistem sub formă grafică.

• În acest fel se determină grafic valoarea necunoscutei (în exemplul din figura 4.21 necunoscuta era valoarea curentului I) sub forma unui vector.

• Se revine apoi de la fazor la domeniul timp pentru determinarea formei de variaţie în timp a curentului i(t).

Reguli pentru desenarea diagramei fazoriale: • Se alege o fază de referinţă. De regulă este bine să alegem ca fază de

referinţă faza care este comună cât mai multor elemente din circuit. În exemplul din figura 4.21, curentul I deşi este necunoscut, este comun pentru trei componente ale circuitului, deci este bine să alegem ca fază de referinţă, faza curentului I.

• Se transpun relaţiile din sistem sub formă de fazori (vectori), ţinând cont că: - fazorul curentului printr-o capacitate este defazat înainte cu π/2 faţă

de tensiunea la bornele condensatorului. - Pentru inductanţă este invers.


________________________________________________________________________ 45

In esenţă rezolvarea se bazează deci pe relaţii deduse din geometria diagramei fazoriale. Vom determina astfel uşor valoarea efectivă şi defazajul mărimilor necunoscute după care se poate trece la explicitarea formelor sinusoidale de variaţie în timp conform corespondenţei biunivoce: 4.3. Rezolvarea circuitelor în regim mixt. Circuitul în regim mixt este cel în care se găsesc atât surse de tensiune continuă cât şi surse de tensiune sinusoidală. 4.3.1. Principiul superpoziţiei Pentru rezolvarea acestui regim trebuie făcut apel la principiul superpoziţiei, principiu general tuturor sistemelor liniare din fizică nu numai circuitelor electrice. Acesta afirmă că într-un sistem liniar, fiecare cauză îşi produce propriul efect fără "a ţine cont" de prezenţa celorlalte. Efectul total va fi suma efectelor fiecărei cauze în parte, în ipoteza că ea ar fi singura care la un moment dat ar acţiona în sistem. Conform celor spuse, înseamnă că sursa de curent continuu va produce un curent continuu, ca şi cum în circuit nu ar exista decât ea singură. La fel şi sursa de curent sinusoidal va genera un curent sinusoidal, fără a ţine cont de existenţa Mai trebuie spus că acest principiu nu se referă doar la circuite electrice în regim mixt, ci vizează orice fenomene din lumea înconjurătore, care se desfăşoară în sisteme liniare mecanice, pneumatice, hidraulice, etc. 4.3.2. Schema electrică echivalentă în cc şi în ca. Aceasta este şi situaţia regimului mixt când trebuie analizate separat regimul de curent continuu şi cel de curent alternativ, lucru uşor dacă se "redesenează" schema iniţială a circuitului sub forma a două circuite, unul reprezentând regimul de curent continuu iar cel de-al doilea regimul de curent alternativ. Cele două scheme rezultate se vor numi: • Schema electrică în curent continuu • Schema electrică în curent alternativ

Reguli de desenare a schemei echivalente în curent continuu. • Sursele de c.a se consideră scurcircuit, deci în locul lor se desenează "o sârmă" • Condensatoarele reprezintă o întrerupere a circuitului. De aceea în locul lor nu

se mai desenează nimic. Simplu spus ele trebuie şterse cu radiera din schemă, iar în locul lor nu se mai desenează nimic altceva. O alta soluţie este ca în locul lor să desenăm un contact normal dechis.

• Bobinele ideale (cele care nu au decât inductanţă, fără a avea şi rezistenţă, se înlocuiesc cu un conductor (o "sârmă")

Reguli de desenare a schemei echivalente în curent alternativ. • Sursele de c.c se consideră scurcircuit, deci în locul lor se desenează "o sârmă" • Aşa cum am văzut în paragraful precedent, printr-un condensator trece curent

alternativ. Curentul trece cu atât mai "uşor" cu cât este mai mică impedanţa condensatorului. Pentru simplitate, vom considera că impedanţa condensatoarelor


________________________________________________________________________ 46

din schemele pe care le vom analiza în continuare este foarte mică, tinzând către zero. În acest caz, condensatoarele se va comporta ca şi o porţiune de conductor (sârmă) fiindcă şi aceea are tot rezistenţă zero. De aceea în locul condensatorului vom desena un conductor (o "sârmă").

• Bobinele ideale (cele care nu au decât inductanţă, fără a avea şi rezistenţă, se înlocuiesc cu valoarea impedanţei lor. Dacă impedanţa este foarte mare atunci în locul bobinei se poate desena un contact deschis.

Pentru a exemplifica cele spuse, să rezolvăm circuitul propus în figura 4.22.

E

R1

R2

C1

e

e

C1 R1

R2

R1

E c.c.

c.a.

Figura 4.22. Circuit în regim mixt Se observă că folosind regulile menţionate mai înainte, au fost redesenate schemele electrice în curent continuu şi în curent alternativ. Fiecare regim va fi rezolvat separat după care rezultatul final va fi dat de suma celor două soluţii. 4.4. Circuite în regim periodic nesinusoidal. 4.4.1. Teorema Fourier Rezolvarea acestui regim se face încercând să-l "aducem" la regimul armonic. Pentru aceasta vom face apel la o celebră teoremă din matematică, al cărei enunţ este următorul:

Orice funcţie continuă şi periodică, având perioada 0

2

0

10 ω

π==F

T poate fi exprimată

ca sumă dintre o componentă continuă plus o infinitate de funcţii armonice, şi anume:

[ ]∑∞

=

⋅+⋅+=1k

0K0K0 t)ωcos(kBt)ωsin(kAUu(t) (4.36)


________________________________________________________________________ 47

Mărimile componente ale descompunerii au următoarele proprietăţi:

• U0 numită componentă continuă, se calculează ca valoare medie a funcţiei u(t); • armonica de ordinul 1 (k=1), numită şi "armonica fundamentală", are perioada egală

cu perioada funcţiei u(t); • armonicile superioare au frecvenţa multiplu întreg al frecvenţei de bază a funcţiei

periodice. • amplitudinile armonicilor (Ak , Bk ) descresc spre zero atunci când frecvenţa tinde la

infinit, şi există formule pentru calculul lor; • mulţimea acestor funcţii armonice se numeşte în matematică "serie Fourier".

t

U0 = 0 u1 (t) = 10 sin (2π f0 t) u2 (t) = 5 sin (2π 2f0 t + π/8) u3 (t) = 2,5 sin (2π 3f0 t + 2π/8) u4 (t) = 1,25 sin (2π 4f0 t + 3π/8) u5 (t) = 0,6 sin (2π 5f0 t + 4π/8)

u(t)

T = 1 / f0

u(t) ≈ U0 + u1 (t) + u2 (t) + u3 (t) + u4 (t) + u5 (t)

Figura 4.23. Descompunerea unui semnal periodic „în sinusoide”.


________________________________________________________________________ 48

În figura 4.23 este ilustrat modul în care trebuie privită descompunerea unui semnal periodic în semnale sinusoidale. Aici sunt reprezentate tensiunea periodică nesinusoidală u(t), precum şi primele 5 armonici rezultate din descompunerea Fourier conform relaţiei 4.36. Pentru a ne convinge de adevărul descompunerii în componente sinusoidale trebuie să verificăm descompunerea Fourier şi în sens invers. În acest exemplu se observă că, însumând componenta continuă şi primele cinci armonici, se obţine semnalul iniţial cu o anume aproximaţie. Evident, cu cât se vor însuma mai multe armonici cu atât mai mult rezultatul se apropie de semnalul iniţial u(t). 4.4.2. Semnificaţia teoremei Fourier în electrotehnică Ceea ce se ascunde în spatele relaţiei 4.36 este o realitate cu extrem de mari implicaţii în studiul circuitelor, în electronică în general. Acest fapt este ilustrat în figura 4.24.

u (t)

A1 sin (ω t+ϕ1)

A2 sin (2ω t+ϕ2)

A3 sin (3ω t+ϕ3)

U0

An sin (n ω t+ϕn)

i (t)

i (t)

R,L,C R,L,C

Figura 4.24. Semnificaţia teoremei Fourier în electrotehnică

Având o sursă de tensiune u(t), periodică, ce alimentează un circuit, situaţia este echivalentă cu aceea în care circuitul ar fi alimentat cu mai multe generatoare legate în serie dintre care:

• o sursă de tensiune continuă având valoarea egală cu componenta continuă; • o infinitate de surse cu t.e.m. armonică având amplitudinile egale cu valorile

coeficienţilor Ak şi defazajele corespunzătoare. În continuare, metoda de rezolvare se bazează pe principiul superpoziţiei cu ajutorul căruia se vor determina toate valorile componente ale curentului prin reţea: o componentă de curent continuu plus curenţi armonici datoraţi tuturor surselor armonice. Conform reciprocei teoremei Fourier, prin însumarea tuturor acestor componente determinate, va rezulta tot o formă de variaţie în timp cu perioada de bază egală cu perioada de bază T0 a tensiunii u(t) Se numeşte spectru de frecvenţe al tensiunii u(t), mulţimea armonicilor în care ea poate fi descompusă. Reprezentarea grafică a spectrului este cea din figura 4.25a


________________________________________________________________________ 49

0 f0 2f0 3f0 4f0 nf0

f

Ak

U0

A1

A2

a.

|A|

f

f0 f0 -f1 f0 +f1

b.

Figura 4.25. Spectrul semnalului periodic(a) şi neperiodic(b). Observaţii. a). Spectrul unui semnal periodic este discontinuu. b). În funcţie de valorile amplitudinilor armonicilor, specifice fiecărui semnal în parte, spectrul unui semnal fiind într-o relaţie biunivocă cu semnalul de la care provine, poate fi considerat "o amprentă" a sa, utilă în procesul de recunoaştere. c). Descompunerea în componente armonice se poate extinde şi asupra semnalelor neperiodice, aceasta ducând la un spectru continuu ca în exemplul din figura 4.25b, unde semnalul de frecvenţă f0 este modulat în frecvenţă de un semnal neperiodic cu frecvenţe cuprinse între 0 şi f1 . Despre semnalul rezultat se poate afirma că conţine orice frecvenţă din intervalul [f0-f1 ÷ f0-f1] nu doar anumite frecvenţe ca în cazul semnalelor periodice. 4.5. Circuite în regim tranzitoriu. Acest regim poate fi definit ca fiind cel ce ia naştere într-un circuit în intervalul de timp când circuitul trece de la un regim permanent la alt regim permanent. Deşi teoretic un astfel de regim poate dura un timp infinit, în practică durata regimurilor tranzitorii este întotdeauna limitată În exemplul din figura 4.26, pentru determinarea formei de variaţie a tensiunii pe condensator rezultă sistemul de ecuaţii diferenţiale:

u (t)

R

C uC (t)

i (t)U0

U0

t

t

u (t)

uC (t) t = 0

a. b.

Figura 4.26. Regim tranzitoriu

i(t) = C

u (t)

t

u (t) = i(t) R + u (t)

C

C

d

d⋅

(4.37)


________________________________________________________________________ 50

În ipoteza că tensiunea furnizată de generator trece la momentul t=0 de la valoarea 0 la U0 şi considerând tensiunea pe condensator nulă la momentul iniţial, soluţia sistemului este dată de funcţia de timp:

u (t) = U 1- e C 0

t

RC−

(4.38)

Rezultă din 4.38 că durata tranziţiei este teoretic infinită (figura 4.26b) însă se estimează că procesul de încărcare al condensatorului se încheie în momentul în care tensiunea uC(t) ajunge la 90% din valoarea maximă U0 Calculul operaţional (transformata Laplace) este instrumentul matematic care ajută la simplificarea rezolvări sistemelor de ecuaţii diferenţiale şi implicit la rezolvarea regimului tranzitoriu în circuite complexe.

4_cap4_metode de rezolvare a circuitelor electrice

Documents