4. 1

Σεµινάριο Αυτοµάτου Ελέγχου

Μάθηµα 4 Αναλυτική σύνθεση συστηµάτων αυτοµάτου ελέγχου

• Με συνθήκη µόνιµου σφάλµατος

• Με συνθήκη επιθυµητών πόλων

• Με επιθυµητό πρότυπο

∆. Καλλιγερόπουλος

4. 2

Αναλυτική Σύνθεση

συστηµάτων αυτοµάτου ελέγχου

Η έννοια της σύνθεσης

Ορισµός Σύνθεση (synthesis) ή σχεδίαση (design) ενός κλειστού

συστήµατος ελέγχου ονοµάζουµε την επιλογή του κατάλληλου ελεγκτή, τον καθορισµό των κατάλληλων στοιχείων ελέγχου, καθώς και τον προσδιορισµό των παραµέτρων τους, έτσι ώστε το ολικό κλειστό σύστηµα ελέγχου να έχει επιθυµητή συµπεριφορά (suitable performance), δηλαδή να εκπληρώνει τις γενικές ποιοτικές απαιτήσεις του ελέγχου, να παρουσιάζει τα επιθυµητά χαρακτηριστικά, να τηρεί τις δεδοµένες ποσοτικές προδιαγραφές για την ελεγχόµενη έξοδο.

4. 3

Η τοποθέτηση του προβλήµατος της σύνθεσης ∆ιαθέτουµε ένα δεδοµένο σύστηµα (plant) µε γνωστή συνάρτηση µεταφοράς

)(sG , του οποίου την έξοδο θέλουµε να ελέγξουµε.

Επιδιώκουµε να επιλεγεί ο κατάλληλος ελεγκτής µε συνάρτηση µεταφοράς )(sC

έτσι ώστε το συνολικό σύστηµα ελέγχου:

α) να εκπληρώνει τις ποιοτικές απαιτήσεις του ελέγχου, δηλαδή:

• το κλειστό σύστηµα ελέγχου να είναι ευσταθές,

• η επίδραση θορύβου ή µεταβολών των παραµέτρων να είναι µικρή,

• η έξοδος )(ty να ακολουθεί χωρίς µεγάλες αποκλίσεις, µε ταχύτητα και ακρίβεια την είσοδο αναφοράς )(tr και

β) να τηρεί συγκεκριµένες ποσοτικές προδιαγραφές, όπως:

• για την ποιότητα του ελέγχου: το όριο της υπερύψωσης υ ,

• για τη ταχύτητα του ελέγχου: το όριο του χρόνου αποκατάστασης sT ,

• για την ακρίβεια του ελέγχου: το όριο του µόνιµου σφάλµατος ∞e , είτε

γ) να διαθέτει ένα ζεύγος επιθυµητών πόλων 01p , 02p που προκύπτει από τις

δεδοµένες µεταβατικές προδιαγραφές ποιότητας και ταχύτητας ελέγχου και να

πληροί παράλληλα την τρίτη µόνιµη προδιαγραφή ακρίβειας ελέγχου τηρώντας το

όριο του µόνιµου σφάλµατος, δηλαδή επιθυµητή ενίσχυση ανοιχτού συστήµατος

0A ή επιθυµητή ενίσχυση κλειστού συστήµατος 0

0'0 1 A

AA

+= .

Επιθυµητά

χαρακτηριστικά

ελέγχου

Χρονικές

προδιαγραφές

επιθυµητού

συστήµατος

Χρονικοί

συντελεστές

επιθυµητού

συστήµατος

Μιγαδικά

µεγέθη

επιθυµητού

συστήµατος

Συνάρτηση

µεταφοράς

επιθυµητού

συστήµατος

Ποιότητα Υπερύψωση υ Συντελεστής

απόσβεσης 22ln

ln

πυ

υζ

+

=Επιθυµητοί

πόλοι:

=)(sG

Ταχύτητα Χρόνος

αποκατάστασης sT Φυσική

συχνότητα sn Tζ

ω 4= 2

2,01

1 ζωζω −+−

=

nn j

p 22

2'

2 nn

n

ssA

ωζωω

++

Ακρίβεια Μόνιµο

σφάλµα ∞e

Ενίσχυση

αν. συστ.

(για 1=a )

∞=

eA 1

Ενίσχυση αν. συστ.

∞=

eA 1

AAA+

=1

'

4. 4

Η αναλυτική µέθοδος σύνθεσης

• ∆ίνεται σύστηµα µε γνωστή συνάρτηση µεταφοράς: )()()(

sQsPsG = , άρα γνωστά

πολυώνυµα )(sP , )(sQ .

• Ζητείται ελεγκτής: )()(

)(sQsP

sCC

C= µε άγνωστα πολυώνυµα )(sPC , )(sQC ,

δηλαδή άγνωστος είναι:

– τόσο ο τύπος του ελεγκτή

– όσο και οι συντελεστές των πολυωνύµων.

• ∆ίνεται επίσης συνθήκη (condition) την οποία πρέπει να πληροί το κλειστό σύστηµα ελέγχου. Η συνθήκη αυτή καθορίζει τη λύση του προβλήµατος της σύνθεσης και µπορεί να είναι γενικά: επιθυµητή συµπεριφορά (suitable performance) ή επιθυµητές χρονικές προδιαγραφές (suitable time specifications).

Ειδικότερα:

• Επιθυµητή ακρίβεια ελέγχου (control accuracy), δηλαδή επιθυµητό µόνιµο σφάλµα του κλειστού συστήµατος.

• Επιθυµητή ποιότητα (quality) και ταχύτητα (rapidity) ελέγχου, δηλαδή επιθυµητοί πόλοι ή επιθυµητό χαρακτηριστικό πολυώνυµο του κλειστού συστήµατος.

• Επιθυµητή συνολική συµπεριφορά, δηλαδή επιθυµητή ακρίβεια, ποιότητα και ταχύτητα ελέγχου ή επιθυµητή συνάρτηση µεταφοράς του κλειστού συστήµατος. Στην περίπτωση αυτή µιλάµε για σύνθεση µε βάση ένα επιθυµητό πρότυπο (suitable pattern).

4. 5

Αναλυτική σύνθεση µε συνθήκη µόνιµου σφάλµατος

Έστω ότι δίνεται σύστηµα )(sG µε γνωστή ενίσχυση A

Ζητείται ελεγκτής )(sC , έτσι ώστε το κλειστό σύστηµα ελέγχου να έχει:

επιθυµητό µόνιµο σφάλµα ∞0e

ή επιθυµητή ολική ενίσχυση ανοιχτού συστήµατος ∞

=0

01

eA

(εάν πρόκειται για έλεγχο ταχύτητας).

Συνήθως επιλέγεται

Ελεγκτής αναλογίας KsC =)(

ή ελεγκτής Lag pszssC

++

=)( µε pzK = ,

έτσι ώστε να ισχύει: 0AAK = , δηλαδή AA

K 0= .

Παράδειγµα

∆ίνεται σύστηµα µε συνάρτηση µεταφοράς: )20)(5(

200)(++

=sss

sG και

επιθυµητή προδιαγραφή οριακού µόνιµου σφάλµατος ταχύτητας: %1≤∞e

ή επιθυµητή ενίσχυση: 1001

00 ==

∞eA .

Επιλέγεται ελεγκτής αναλογίας KsC =)( , οπότε η πραγµατική ολική συνάρτηση

µεταφοράς ανοιχτού συστήµατος είναι: )20)(5(

200)()(++

=sssKsGsC

µε πραγµατική ενίσχυση: KKA 2205

200=

⋅= .

Πρέπει AA!

0 = ή 1002!=K . Άρα 50=K .

Με έναν ελεγκτή αναλογίας 50)( =sC εξασφαλίζεται λοιπόν η επιθυµητή

προδιαγραφή.

4. 6

Αναλυτική σύνθεση µε συνθήκη επιθυµητών πόλων

Έστω ότι δίνεται σύστηµα )()()(

sQsPsG = µε γνωστά πολυώνυµα )(sP , )(sQ

ζητείται ελεγκτής )()(

)(sQsP

sCC

C= ,

έτσι ώστε το κλειστό σύστηµα ελέγχου να έχει

δεδοµένες προδιαγραφές ζ , nω ,

ή δεδοµένους επιθυµητούς πόλους 002

2,01 1 ωσζωζω jjp nn ±−=−±−=

ή γνωστό επιθυµητό χαρακτηριστικό πολυώνυµο 20

20

22'0 )(2)( ωσωζω ++=++= ssssQ nn .

Το πραγµατικό χαρακτηριστικό πολυώνυµο είναι:

)()()()()(0 sPsPsQsQsQ CC +=

Η αναλυτική λύση του προβλήµατος γίνεται µε τη σύγκριση των δύο χαρακτηριστικών πολυωνύµων, πραγµατικού και επιθυµητού:

)()( '0

!

0 sQsQ =

Η σχέση αυτή, ως ταυτότητα για κάθε s , µπορεί να µην είναι συµβατή λόγω

διαφοράς βαθµών των πολυωνύµων. Πρέπει λοιπόν να προστεθεί ένας τρίτος

άγνωστος παράγοντας, ένα διορθωτικό πολυώνυµο )(0 sq που επιτυγχάνει την

εξίσωση των βαθµών των πολυωνύµων.

Έτσι η πολυωνυµική εξίσωση γίνεται:

)()()()()()()( 0'00 sqsQsPsPsQsQsQ CC =+= .

4. 7

Παράδειγµα

∆ίνεται σύστηµα µε συνάρτηση µεταφοράς: )20)(5(

200)(++

=sss

sG και

επιθυµητές προδιαγραφές ποιότητας και ταχύτητας: %30≤υ , sec7.0≤sT .

που αντιστοιχούν σε συντελεστές: 35.0=ζ και 16=nω ,

δηλαδή επιθυµητούς πόλους : 156.51 22,01 jjp nn ±−=−±−= ζωζω

και επιθυµητό χαρακτηριστικό πολυώνυµο:

2562.112)( 222'0 ++=++= sssssQ nn ωζω .

Επιλέγεται ελεγκτής αναλογίας-διαφόρισης µε )()( zsKsC += .

Οπότε το κλειστό σύστηµα έχει πραγµατική χαρακτηριστική εξίσωση:

0200)200100(25)(200)20)(5()( 230 =++++=++++= KzKsszsKssssQ

Πρέπει: )()( '0

!

0 sQsQ = .

Επιλέγεται διορθωτικός παράγοντας: assq +=)(0 .

Έτσι η επιθυµητή χαρακτηριστική εξίσωση θα είναι της µορφής:

0256)2.11256()2.11(

))(2562.11())(2()()(23

2220

'0

=+++++=

=+++=+++=

asasass

asssassssqsQ nn ωζω

Από τη σύγκριση των δύο σχέσεων προκύπτει:

a+= 2.1125

aK 2.11256200100 +=+

aKz 256200 =

ή 8.13=a

55.1=K

4.11=z

Έτσι ο ελεγκτής που εξασφαλίζει την τήρηση των δύο προδιαγραφών είναι:

)4.11(55.1)( += ssC .

4. 8

Αναλυτική σύνθεση µε επιθυµητό πρότυπο

Έστω ότι δίνεται σύστηµα )()()(

sQsPsG = µε γνωστά πολυώνυµα )(sP , )(sQ

ζητείται ελεγκτής )()(

)(sQsP

sCC

C= , µε άγνωστα πολυώνυµα )(sPC και )(sQC ,

ώστε το κλειστό σύστηµα ελέγχου να έχει τη συµπεριφορά επιθυµητού προτύπου,

να έχει δηλαδή:

δεδοµένες προδιαγραφές ζ , nω , 0A ή 0

0'0 1 A

AA

+=

ή επιθυµητούς πόλους 01p , 02p και επιθυµητή ολική ενίσχυση '0A

ή συνολικά επιθυµητή συνάρτηση µεταφοράς:

)()(

2)( '

0

'0

22

2'0'

0 sQsP

ssA

sGnn

n =++

=ωζω

ω.

Η πραγµατική ολική συνάρτηση µεταφοράς του κλειστού συστήµατος είναι:

)()()()()()(

)()(1)()()(0 sPsPsQsQ

sPsPsGsC

sGsCsGCC

C

+=

+= .

Η σύγκριση της µε την επιθυµητή συνάρτηση µεταφοράς επιβάλλει τη σχέση:

)()( '0

!

0 sGsG = ή τις ταυτότητες των πολυωνύµων:

)()()()()()( '0

!

0 sQsPsPsQsQsQ CC =+= και )()()()( '0

!

0 sPsPsPsP C == .

Η εξίσωση των βαθµών των πολυωνύµων απαιτεί την προσθήκη διορθωτικών

πολυωνύµων )(0 sq και )(0 sp .

Έτσι, µε την προσθήκη της διορθωτικής συνάρτησης µεταφοράς )()(

)(0

00 sq

spsg = ,

η σχέση της αναλυτικής λύσης του προβλήµατος της σύνθεσης γίνεται:

)()()( 0'00 sgsGsG = .

Οι εξισώσεις για την αναλυτική λύση του προβλήµατος της σύνθεσης γίνονται:

)()()()()()( 0'0

!sqsQsPsPsQsQ CC =+ και )()()()( 0

'0

!spsPsPsPC = , για κάθε s ,

µε γνωστά τα πολυώνυµα: )(sP , )(sQ , )(0 sP , )(0 sQ

και άγνωστα τα πολυώνυµα: )(sPC , )(sQC , )(0 sp και )(0 sq .

4. 9

Παράδειγµα

∆ίνεται σύστηµα µε συνάρτηση µεταφοράς: )20)(5(

200)(++

=sss

sG

και πλήρεις επιθυµητές προδιαγραφές ποιότητας, ταχύτητας και ακρίβειας για το

κλειστό σύστηµα ελέγχου: %30≤υ , sec7.0≤sT και %1≤∞e ,

Οι µεταβατικές προδιαγραφές sT,υ αντιστοιχούν σε οριακούς συντελεστές:

35.0=ζ , 16=nω , δηλαδή σε επιθυµητούς πόλους: 156.52,01 jp ±−=

και επιθυµητή συνάρτηση µεταφοράς: 2562.11

2562

)( 222

2'0 ++

=++

=ssss

sGnn

n

ωζωω

.

Η µόνιµη προδιαγραφή επιθυµητού µόνιµου σφάλµατος ταχύτητας 01.00 =∞e

αντιστοιχεί σε επιθυµητή ενίσχυση: 1000 =A .

Οι επιθυµητές µεταβατικές προδιαγραφές ικανοποιούνται, όπως είδαµε, µε επιλογή

ελεγκτή αναλογίας-διαφόρισης: )4.11(55.1)()( +=+= szsKsC .

Με τον ελεγκτή αυτόν η ολική συνάρτηση µεταφοράς ανοιχτού συστήµατος γίνεται:

)20)(5(200)4.11(55.1)()(

+++

=sss

ssGsC

µε ενίσχυση 35205

2004.1155.1≅

⋅⋅⋅

=A , δηλαδή το ένα τρίτο της επιθυµητής

προδιαγραφής: 1000 =A .

Για να αυξήσουµε την ενίσχυση µε τον επιθυµητό συντελεστή 3=λ

επιλέγουµε στοιχείο Lag: '

'' )(

pszssC

++

= και 01.0' =p , οπότε 03.0'' =⋅= pz λ

και 01.003.0)('

++

=sssC .

Άρα ο ολικός ελεγκτής που ικανοποιεί και τις τρεις προδιαγραφές είναι:

01.003.0)4.11(55.1)(0 +

++=

ssssC .

4. 10

Αναλυτική σύνθεση – Σύνοψη ∆ίνεται σύστηµα )(sG και επιθυµητές προδιαγραφές

για το κλειστό σύστηµα:

• Μόνιµη προδιαγραφή: ∞e

• Μεταβατικές προδιαγραφές: υ , sT

• Ολικές προδιαγραφές: ∞e και υ , sT .

που αντιστοιχούν σε:

• Επιθυµητή ενίσχυση ανοιχτού συστήµατος: ∞

=e

A 10

άρα επιθυµητή ενίσχυση κλειστού συστήµατος: 0

0'0 1 A

AA

+=

• Επιθυµητούς συντελεστές: 22ln

ln

πυ

υζ

+= ,

sn Tζ

ω 4=

ή επιθυµητούς πόλους: 22,01 1 ζωζω −±−= nn jp

και χαρακτηριστική εξίσωση: 220 2)( nn sssQ ωζω ++=

• Ολικό πρότυπο: 22

2'0'

0 2)(

nn

n

ssA

sGωζω

ω++

=

Αναλυτική σύνθεση

• Συνθήκη µόνιµου σφάλµατος: Σύγκριση ενισχύσεων 0

!AA=

Επιλέγεται ελεγκτής KsC =)( ή '

'' )(

pszssC

++

= (Lag)

• Συνθήκη επιθυµητών πόλων: Σύγκριση χαρακτηριστικών πολυωνύµων

)()()( 0'0

!

0 sqsQsQ ⋅= . Ελεγκτής: )()( zsKsC += ή pszsKsC

++

=)( (Lead)

• Συνθήκη επιθυµητού προτύπου: Σύγκριση συναρτήσεων µεταφοράς

)()()( 0'0

!

0 sgsGsG ⋅= ή υπολογισµός ελεγκτή )(sC για την εξασφάλιση των

µεταβατικών προδιαγραφών και διόρθωσή του µε ελεγκτή Lag και '' pz ⋅= λ για την ικανοποίηση της µόνιµης προδιαγραφής.