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Coleção: Jogos Para o Pensamento Lógico-Matemático
Volume 4 de 4 – Parte 1 de 4 – JOGOS de #01 a #20 Draft Edition
40 Jogos Para o Pensamento
Algébrico Aury de Sá Leite
Edição Preliminar/Draft
Obra sob a licença Creative Commons
Desta Mesma Coleção: Volume 1: Jogos Para o Pensamento Lógico; Volume 2: Jogos Para o Pensamento Aritmético; Volume 3: Jogos Para o Pensamento Geométrico.
a + b
b + a
2 ×××× (a ×××× b) a2 b2
= 16 4
4
3
x
x
x2 3x
3 3x 32
32 + = 25 5
5
Leia com muita atenção:
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oPensamento Algébrico </span> de <a xmlns:cc="http://creativecommons.org/ns#" href="issuu.com e scribd.com" property="cc:attributionName" rel="cc:attributionURL">Aury de
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Prefácio
Dos quatro volumes da série de livros intitulada “Jogos Para o Pensamento Lógico-
Matemático” – Jogos para o Pensamento Lógico, Jogos Para o Pensamento Aritmético, Jogos Para
o Pensamento Geométricos e Jogos Para o Pensamento Algébrico – este é o último. Aqui o leitor
encontrará apenas dez dos quarenta jogos que irão compor este volume. Assim sendo, esta é a parte
A de 4 partes contendo 10 jogos cada uma delas.
Oportunamente iremos publicar na Internet um texto em inglês, um livro, sobre estes quatro
volumes com a finalidade de divulgação deste projeto de Educação Matemática elaborado e
emprrendido pelo Professor Doutor Aury de Sá Leite ( [email protected] ). A partir disto
iremos completar o trabalho inicialmente proposto.
• 40 Jogos para o Pensamento Lógico
• 40 Jogos Para o Pensamento Aritmético
• 40 Jogos Para o Pensamento Geométricos
• 40 Jogos Para o Pensamento Algébrico
Sites para download e/ou Leitura destas obras:
www.scribd.com e www.issu.com
PROLEGÔMENOS
Construção do Pensamento Algébrico O ensino/aprendizagem da Álgebra, que de fato se inicia na 7ª série do Ensino
Fundamental no Brasil, é um difícil problema psicopedagógico e didático a ser resolvido
pelos educadores e especialistas.
É a partir desta série escolar que as crianças passam a ‘não entender mais nada de
Matemática’ – e isto, segundo suas próprias palavras –, e por não entendê-la, passam a
não gostar, e possivelmente a ter pesadelos com ela, a ponto de evitar pensar no
assunto.
A grande dificuldade encontrada nesta passagem do-aritmético-para-o-algébrico se
prende à inevitável ruptura que ocorre com a passagem do Pensamento Aritmético –
geralmente incompleto e lacunar – para o do Pensamento Algébrico, muito mais
complexo e abstrato. O que infelizmente ocorre é que, o Algébrico assenta suas bases
profundamente na Aritmética, dependendo ainda de algumas idéias da Geometria.
0.1.- Aprender Álgebra: Um Grande Problema a ser Resolvido
Criar oportunidades de aprendizagem significativas ou apenas, e tão somente, estimular a
aprendizagem efetiva dos conceitos, das propriedades e das técnicas algébricas não é fácil. Este é
um problema ainda em aberto na moderna práxis escolar.
0.2.- Sobre o National Council of Teachers of Mathematic
Escolhemos falar nestes prolegômenos especificamente sobre o National Council of Teachers of
Mathematic, cuja sigla é NCTM, por vários motivos:
• O NCTM é um poderoso conselho de professores de Matemática com milhares de sócios
que se espalham pelos Estados Unidos, Canadá e por muitos outros países falantes da língua
inglesa;
• O NCTM publica continuamente vários livros dedicados ao Ensino Aprendizagem da
Matemática, bem como a sobre a formação de professores, desde a pré-escola e dos 1º e 2º
graus de escolarização, faixa de escolarização conhecida nos Estados Unidos sob a sigla1:
K-12.
1 K-12 ou Kindergarten-12, onde Kindergarten = Jardim-de-Infância. No Brasil: Pré-escola + 11 anos do Ensino Fundamental, sendo que nos Estados Unidos a escolaridade se estende por mais uma ano, inteirando 12 anos de Ensino Fundamental Obrigatório.
• O NCTM promove grandes simpósios e debates de alcance mundial, além de
manter um Anuário (um Yearbook) sobre Educação Matemática que vem sendo
publicado, quase que ininterruptamente, desde a década de 30.
• O NCTM dedicou, praticamente toda a década de 80, ao estudo do Ensino de
Geometria nos níveis de escolaridade K-12, que culminou com a publicação do
“Learning and Teaching Geometry, K-12 – 1987 Yearbook” – organizado por Mary
Montgomery Lindquist e Albert P. Shulte. Este livro foi publicado no Brasil sob o título:
“Aprendendo e Ensinando Geometria” pela Editora Atual somente em 1994, portanto,
com quase seis anos de diferença ou de atraso, se preferirem.
0.3.- O NCTM e a Álgebra
O NCTM na década de 90 continuou se dedicando a publicar Yearbooks (Livros do Ano)
cada vez mais técnicos sobre a Formação de Professores, sobre a Educação Matemática, e dirigiu
seu foco intensamente para o ensino aprendizagem da Álgebra.
O NCTM publicou pela National Academy Press em 1997 um livro na forma de um
arquivo que pode ser lido no Adobe Acrobat Reader (arquivo com extensão ‘.pdf’) com 190
páginas: “The Nature and Role of Álgebra in the K-14 Curriculum – Proceedings of National
Symposium – May 27 and 29, 1997”que pode ser copiado sem nenhuma despesa − por brasileiros
− no site: http://books.nap.edu/catalog/6286.html).
O livro anterior forneceu as bases que deram origem ao livro intitulado: “Algebra
Thinking – Grades K-12 – Readings from NCTM’s School-Based Journals and Other
Publications”- Reston, Virginia: 1999 – National Council of Teachers of Mathematic, ISBN
0873534743. Este livro discute o que o NCTM apontou como sendo o problema da década, a
aprendizagem do Raciocínio Algébrico e a sua aplicação significativa, ou como vimos propondo,
a aquisição do conhecimento Algébrico assimilado através dos Jogos Para o Pensamento.
A grande preocupação manifestada pelo NCTM, na década de 90, como já se mencionou
acima, e pode ser resumida no seguinte:
“A álgebra não pode ser encarada como uma mera manipulação de símbolos ou,
simplesmente, uma forma mais rápida de resolver problemas que pareçam intrincados
quando abordados por processos aritméticos – o que deve ser considerado
fundamentalmente são a aprendizagem, o treinamento e o uso efetivo do raciocínio
algébrico na resolução de situações-problema”.
Cabe acrescentar que os dois livros citados acima, tão importantes para o ensino da Álgebra
nunca foram publicados e possivelmente nem seriam publicados no Brasil em qualquer tempo, pois
não existe mercado para estes tipos de obra quando vertidos para o português. Parece que o fato de
professores brasileiro não comprar livros devido aos baixos salários, os dirige de forma perversa, à
leitura de livros didáticos, nem sempre de boa qualidade ou atualizados, que o governo compra das
editoras e os entrega gratuitamente aos estudantes, nas escolas. Geralmente isto ocorre, em algumas
regiões, com alguns dias, ou até alguns meses, de atraso com relação ao início do ano escolar.
No nosso país os educadores vivem diuturnamente o problema de tentar criar oportunidades
de aprendizagem significativas ou apenas e tão somente estimular a aprendizagem efetiva dos
conceitos, das propriedades e das técnicas algébricas, como afirmamos acima, contando apenas com
livros textos escolares e sem ter acesso a recursos efetivamente pedagógicos e a resultados de
pesquisas sérias na área. Infelizmente a Internet ‘fala’ inglês, e a maioria dos professores não têm
proficiência nesta língua.
Outro livro extremamente importante publicado pelo NTCM em 1989 foi o “Curriculum and
Evaluation Standards for School Mathematics”, Reston, VA: NCTM, 1989, onde se pode ler o
seguite:
“Compreender o conceito de variável, expressões e equações;
representar situações e padrões numéricos através de tabelas, gráficos, regras
verbais e equações e explorar os interrrelacionamentos entre estas representações;
analisar tabelas e gráficos para identificar as propriedades e relacionamentos,
desenvolver a confiança na solução de equações lineares usando métodos concreto,
informais e formais; investigar as desigualdades e as equações não-lineares
informalmente, aplicar métodos algébricos para resolver problemas do mundo real e
os problemas matemáticos”.
Do livro “Algebra for the 21st Century: Proceedings for the August 1992 Conference”.
Reston, VA, NCTM, 1993, pudemos colher informações que nos permitiram escrever de
forma resumida em uma frase, o que vai a seguir:
“O pensamento algébrico envolve o desenvolvimento do raciocínio dentro de
um quadro estruturado, a partir da construção de justificativas para o uso de
símbolos, tanto quanto, para o estabelecimento de aprendizagens significativas das
operações e propriedades algébricas, e isto, a partir do pensamento aritmético”.
0.4.- O Que Será Visto Neste Novo Livro
O leitor encontrará neste nosso novo livro, “40 Jogos Para o Pensamento Algébrico”, assim
como nos demais livros desta coleção, uma série de Jogos Para o Pensamento.
Ocorre, no entanto, que os Jogos Para o Pensamento Algébrico, diferentemente dos jogos
anteriormente apresentados nos livros “40 Jogos Para o Pensamento Lógico”, “60 Jogos Para o
Pensamento Aritmético” e “40 Jogos Para o Pensamento Geométrico” são mais complexos e
exigem alguns conhecimentos sobre a aritmética como se verá na prática.
Por este motivo, o da passagem do pensamento aritmético-para-o-algébrico estamos
anexando a estes prolegômenos um manual de Pré-Calculo. Publicado pela primeira vez no ano
2000 e revisado em 2003, e agora resgatado para a edição deste livro, o manual que iremos
apresentar a seguir foi denominado ‘Apostilas de Pré-Calculo’ por ser composta por dois módulos
denominados: Pré-Cálculo A −−−− Conjuntos, Símbolos Lógicos, Conjuntos Numéricos e as
Operações Aritméticas e Pré-Cálculo B – Álgebra.
Este dois textos foram escritos por mim para serem utilizados pelos alunos do curso de
Cálculo Diferencial e Integral I, ministrado por mim no Campus de Guaratinguetá da Universidade
Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”. Os textos foram distribuídos com a recomendação de
que os estudantes o lessem com a finalidade de revisar os seus conhecimentos básicos de
Matemática. Os textos passaram a ser utilizados pelo professor como indicação de leitura – através
da listagem dos números dos itens que eventualmente viriam a ser utilizados nas aulas seguintes
como pré-requisitos do Cálculo I, como por exemplo:
• A.4.5.- MDC (Máximo Divisor Comum) de números inteiros
• A.4.6.- MMC(Mínimo Múltiplo Comum) de números inteiros
• B.3.8.2.- Divisão de P(x) por x ± a - Exercício Resolvido
Na sequência foram escritos ainda outros manuais, o Pré-Cálculo C – Funções e Gráficos e o
Pré-Calculo D – Trigonometria, com a mesma finalidade dos dois textos que serão mostrados nas
páginas a seguir.
0.4.1.- O Texto Pré-Calculo A
Pré Cálculo A:
Conjuntos, Símbolos Lógicos, Conjuntos Numéricos
e as Operações Aritméticas
Aury de Sá Leite, Professor Dr.
A.0.- CONJUNTOS
A.0.1.- FORMAS DE REPRESENTAÇÃO
A noção de conjunto é intuitiva, ou seja, não definida. Também, as noções de elementos de um
conjunto e a pertinência destes elementos a um conjunto são intuitivas.
[2] Diagrama de Venn-Eüler:
A
a e
oiu
[1] A é o conjunto das vogais
[3] A = { a, e, i, o, u } = { i , o, u, a, e }
[4] A = { x | x é uma vogal }
Figura 1.- Formas de representação de um conjunto
Observando-se a figura acima algumas das diversas formas de representação de um mesmo
conjunto. A forma de representação [3] é denominada forma de listagem, onde os elementos do
conjunto são apresentados um a um, sob a forma de uma lista não necessariamente ordenada. A
forma de representação [4] apresenta o conjunto A pela propriedade de seus elementos, e a leitura é
a seguinte: “A é igual ao conjunto dos x, tal que x é uma vogal”; aqui o x é uma variável que
representa cada um dos elementos cuja propriedade é a de ser uma vogal do alfabeto português, o
que permite não incluir o y como vogal.
Podemos ainda estabelecer que a∈A e que 3∉A, ou que b∉A, que serão lidos: “o elemento a
pertence ao conjunto A”, “3 não pertence a A” e “b não é elemento de A”.
A.0.1.1.- Algumas observações sobre as desigualdades:
Para podermos compreender melhor o que vem a seguir, devemos recordar o seguinte:
[1] O conjunto dos números naturais: N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5,...} é um conjunto infinito.
[2] Dados dois números naturais x e y eles têm uma das seguintes propriedades
(1) x é igual a y ou então x é diferente de y : x = y ou x ≠ y
(2) se x é diferente de y com x ≠ 0 e y≠ 0, então x excede y ou y excede x: se x e y são
não nulos e x ≠ y então x > y ou x < y
Observar: os símbolos > e < são lidos respectivamente como: “maior” e “menor”.
parece com o número 7
parece com o número 4
Corte a linha inferior do símbolo com um pequeno traço:
Figura 2.- Forma prática de reconhecimento dos símbolos maior do que e menor do que
A.0.1.2.- As Propriedades da Igualdade:
A seguir estão listadas as três propriedades da igualdade, onde os símbolos: “∀” deve ser lido como
“para qualquer” ou “para todo”, o símbolo “⇔” como “equivale” e o símbolo “⇒” deve ser lido
como “se ...então”:
[1] Reflexiva: ∀a, a = a
[2] Simétrica: ∀a, ∀b, a = b ⇔ b = a
[3] Transitiva: ∀a, ∀b, ∀c, ∀b, (a = b e b = c) ⇒ a = c
A igualdade é uma relação de equivalência. As propriedades das relações de equivalência são
mostradas abaixo sob a forma de grafos.
a a b
a b
c
Reflexividade Simetria Transitividade
Figura 3.- Grafos representativos das Propriedades das Relações de Equivalência
A.0.1.2.- As Propriedades da Desigualdade:
� A desigualdade não é reflexiva nem simétrica, mas é transitiva, isto é: se a >b e b>c então a>c;
ocorrendo ainda que: se a<b e b<c então a<c. A desigualdade possui ainda, outras propriedades
notáveis, a saber:
� Se a > b, c > 0 ou c < 0, então a + c > b + c
� Se a < b e c < 0, então: ac > bc (o sinal da desigualdade se inverte quando ela é multiplicada
por qualquer número negativo). Veja ainda que: se a > b e c < 0, então: ac < bc
� Se a < b e c > 0, então: ac < bc e ainda, se a > b e c > 0, então: ac > bc
A.1.- CONECTIVOS
Símbolo Nome Leitura
∧∧∧∧ conjunção "e"
∨∨∨∨ disjunção "ou"
⇒⇒⇒⇒ implicação "se ..., então ..." ou "implica"
⇔⇔⇔⇔ equivalência "... se, e somente se ..." ou "equivale"
A.1.2.- Exemplos:
(1) x ≥ 0 ⇒ ( x = 0 ∨ x > 0)
leitura: "Se x é maior ou igual a zero, então x é igual a zero ou x é maior que zero".
Comentários: um número é maior que zero quando é positivo e, é denominado "nulo" quando for
igual a zero; a condição "x maior ou igual a zero" será satisfeita por uma e somente uma das
alternativas: "x é nulo" ou "x é positivo (não nulo)"
(2) x.y = 0 ⇒ ( x = 0 ∨ y = 0 )
leitura: "Se x vezes y é igual a zero, então x é igual a zero ou y é igual a zero".
comentário: para satisfazer à expressão "x.y = 0" basta que apenas o x seja igual a zero ou que o y
seja igual a zero; no entanto, se x e y forem simultaneamente zero, a condição será igualmente
satisfeita.
(3) x > y ⇔ y < x
leitura: "x é maior que y se, e somente se y é menor que x" ou "x é maior que y equivale a y é
menor que x".
NOTAR BEM: A palavra "ou", no nosso dia-a-dia, é utilizada no sentido exclusivo como no caso
do exemplo (1) em que se x for igual a zero ele não poderá ser maior que zero; no entanto na
Matemática a palavra "ou" pode assumir o sentido inclusivo, isto é, satisfazer a cada uma das
possibilidades ou a todas elas simultaneamente como em x.y.z = 0 onde há as seguintes
possibilidades exclusivas, ou não, entre si: x é nulo, y é nulo, z é nulo, x e y são nulos, x e z são
nulos, y e z são nulos ou então z, y e z são nulos.
A.1.3.- Exercício:
Analise cada uma das sentenças abaixo e diga se ela é verdadeira ou falsa justificando a sua
resposta
1. ( x > 0 ∧ y > 0) ⇒ x + y > 0
2. x + y 0 ⇒ ( x > 0 ∧ y > 0)
3. x + y > 0 ⇒ ( x > 0 ∧ y < 0)
4. x + y > 0 ⇒ ( x < 0 ∧ y < 0)
5. ( x + y ≥ 0 ) ⇒ (x ≥ 0 ∨ y ≥ 0 )
6. ( x + y > 0 ∧ x = 0 ) ⇒ (y ≥ 0 )
7. ( x + y > 0 ∧ x < 0 ) ⇒ ( y >−x ⇒ y > 0)
Obs.: “−x” deve ser entendido como “o valor de x com o sinal trocado”.
A.1.3.1.- Respostas Analisadas do Exercício A.1.3
1. ( x > 0 � y > 0) � x + y > 0 - Verdadeira. Se dois números são positivos, então a
soma deles é um número positivo.
2. x + y 0 � ( x > 0 � y > 0) - Falsa. Para que uma soma seja positiva não há
necessidade de que ambos os valores sejam positivos. Veja por exemplo que, para x
= 10 e y = -4, tem-se 10 + (-4) = 6 0.
3. x + y > 0 � ( x > 0 � y � 0) - Falsa. Tente criar um exemplo numérico para provar
que esta afirmativa é falsa.
4. x + y > 0 � ( x � 0 � y � 0) - Falsa. Pois a soma de dois números negativos
quaisquer deverá resultar um número negativo.
5. ( x + y �≥ 0 ) � (x �≥ 0 � y �≥ 0 ) - Verdadeira. Tente criar um exemplos que
justifiquem a resposta.
6. ( x + y > 0 � x = 0 ) ��(y �≥ �0 ) - Verdadeira. Pois a condição y > 0 satisfaz,
logo a hipótese y = 0 pode ser descartada, a palavra “ou” aqui é utilizada no sentido
exclusivo, pois y não pode ser ao mesmo tempo positivo e nulo.
7. ( x + y > 0 � x < 0 ) ��( y >-x ⇒ y >�0 ) - Verdadeira. Como o x é negativo o y
tem que ser um número positivo (y deve ser maior que zero), mas y tem que ter um
valor maior do que o valor de x com o sinal trocado, isto é y >-x, o que implicaria em
termos que ter um y positivo. Exemplo: se x = -4, y deve ser maior que −(−4) ou seja
y virá a ser maior que 4. Pense um pouco sobre isto.
A.2.- QUANTIFICADORES
Símbolo Nome Leitura
∀ quantificador universal “qualquer que seja” ou “para todo”
∃ quantificador existencial “existe um” ou “existe pelo menos um”
∃ ou ∃! --- “existe um único” ou “existe, e é único”
~∃, ¬∃ Negação do quantificador existencial “não existe”
A.2.1.- Exemplos:
(1) ∀x, x.0 = 0 (é verdadeira para todos os valores de x: um número multiplicado por 0 é igual a 0)
(2) ∃ x, x2 = x (é verdadeira para x = 0 e x = 1)
(3) ∃x, x + 3 = 7 (é verdadeira para x = 4)
(4) ∃| x, x = 9 (é verdade, pois somente x = 3 satisfaz; a raiz quadrada de um número positivo é um número positivo)
(5) ∃| x, x.5 = 0 (é verdadeira, esta sentença matemática é válida somente para x = 0)
(6) ~∃ x, 0.x = 5 (é verdadeira, pois qualquer x multiplicado por zero resultará zero e nunca cinco).
A.2.2.- Contra- Exemplos:
(1) ∀x, x2 >x (É falso, pois não vale para x = 0 ou para x = 1, portanto não vale para todo x) (2) ∃ x, x + 1 = x (É falso.) (3) ∃| x, x2 = x (É falso. Veja o exemplo 2 em 2.1) (4) ~∃ x, x2 = 1 (É falso. Pois x = 1 ou x = -1 satisfazem à sentença.)
A.2.3.- Exercício:
Dar o valor lógico (V -verdadeiro ou F -falso) das sentença abaixo justificando suas respostas.
Considere x pertencente ao conjunto dos números naturais (N = {0,1,2,3,4,5,...} )
(a) ∃ x∈N, x2 = x ( ) (b) ∃| x∈N, x2 = x ( ) (c) ∃| x∈N, x2 ≤ x ( ) (d) ∃| x∈N, x2 = 0 ( )
(e) ∃| x∈N, 05
=x ( ) (f) ∀x∈N, 0
5=
x ( ) (g) ∃ x∈N, 05
=x ( ) (h) ∀x∈N, x.0 ≤ x ( )
(i) ∀x∈N, x.0 = 0 ( ) (j) ∀x∈N, x ≤ x + 1 ( ) (l) ¬∃ x∈N, x2 = x3 ( ) (m) ∃| x∈N, x2 = 9 ( )
16
A.2.3.1.-Respostas Analisadas do Exercício A.2.3
(a) ∃ x∈N, x2 = x (V) (b) ∃| x∈N, x2 = x (F) (c) ∃| x∈N, x2 ≤ x (F) (d) ∃| x∈N, x2 < x (F)
Justificativas:
(a) x = 1 ou x = 0 satisfazem, logo existe pelo menos um x em n que satisfaz à igualdade: x2 = x. (b) Falso. Pois há dois valores em N que satisfazem à relação: o 0 e o 1. (c) Veja que o sinal ≤ não precisa ser satisfeito para o < e para o = , bastando satisfazer à igualdade ara que a expressão x2 ≤ x seja verdadeira. A sentença é falsa porque existem o 0 e o 1 satisfazendo a igualdade. Se a expressão fosse “∃ x∈N, x2 ≤ x” ela seria verdadeira. (d) Não existe em N nenhum número que elevado ao quadrado seja menor que ele mesmo. Veja: 22 = 4 e 4 > 2; mesmo para o zero e o 1 teremos: 02 = 0 e 12 = 1, e não ocorre que 0 > 0 nem que 1 > 1. No entanto, quando podemos utilizar os números negativos a sentença passa a ser verdadeira, pois se (-2)2 = 4 e 4 > -2, por outro lado, ocorre que (-2)3 = -8 e aí sim: -8 < -2.
... -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ...
Maior
Menor
Observar: O conjunto dos números inteiros é Z = { 0, ±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ± ...}
(e) ∃| x∈N, 05
=x (V) (f) ∀x∈N, 0
0=
x (F) (g) ∃ x∈N, 00
=x (F) (h) ∀x∈N, x.0 ≤ x (V)
Justificativas:
(e) É satisfeita para x =0. (f) É Falsa, não existe divisão por zero. (g) Idem ao (f). (h) É verdadeira apenas para os números naturais. Para os números inteiros negativos ( -1,-2,-3,...) seria falsa.
(i) ∀x∈N, x.0 = 0 (V) (j) ∀x∈N, x ≤ x + 1 (V) (l) ¬∃ x∈N, x2 = x3 (F) (m) ∃| x∈N, x2 = 9 (F)
Justificativas:
(i) É válida para todos os números naturais. (j) Idem ao (j). (k) É válida para x = 0 e x = 1. Não seria válida por exemplo para x = 2 ou mesmo para x = -1, pois (-1)2 = 1 e (-1)3 = -1.
A.2.4.- Exercício:
Sendo C = {2, 4, 6, 9}, complete as sentença a seguir com o quantificador conveniente:
17
(a) __ x ∈ C, x é um número par (b) __ x ∈ C, x é um número ímpar
(c)__ x ∈ C, x > 10 (d)__ x ∈ C, x < 10
A.2.4.1.- Respostas do Exercício A.2.4
(a) ∃ (existe pelo menos um) (b) ∃ ou ∃| (c) ~∃ (d) ∀
18
A.3.- CONJUNTOS NUMÉRICOS
A.3.1.- O CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS: N
Os postulados de Peano (Giuseppe Peano – 1958/1932) permitem construir o conjunto dos números
naturais:
(1) O zero é um número natural (2) Existem elementos x e y, números naturais, tais que x ≠ y (3) Se x é um número natural, então x +1é o sucessor de x (4) Todo número natural possui um sucessor (5) Zero não é sucessor de nenhum número natural (6) Se x e y são números naturais e possuem o mesmo sucessor então x = y (7) Um subconjunto de números naturais que contenha o zero, e que possua a propriedade: todo número deste conjunto tem um sucessor, então este subconjunto é o próprio conjunto dos números naturais.
N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}
A.3.2.- O Conjunto dos Números Inteiros: Z
Z = { 0, ±±±±1, ±±±±2, ±±±±3, ±±±±4, ±±±±5, ±±±±6, ±±±±7, ±±±±8, 9, ±±±±10, ±±±± ...}
ou
Z = {... ,-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
� Propriedade: Todo Número inteiro é um número natural, isto é: N ⊂⊂⊂⊂ Z � Leitura de “N ⊂ Z” : “N está contido em Z ou N é um subconjunto próprio de Z”.
Observação: Um conjunto é um subconjunto próprio de outro conjunto quando está contido neste
outro, mas não é igual a ele. Um conjunto igual a outro é dito subconjunto impróprio deste outro,
como por exemplo: {1,2,3} ⊆ {2,3,1},onde o símbolo ⊆ pretende exprimir esta idéia, no entanto
esta simbologia é pouco utilizada, podendo-se escrever {1,2,3} ⊂ {2,3,1}.
A.3.3.- O CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS: Q
O conjunto dos números racionais é aquele formado por todos os números que podem ser colocados
sob a forma de razão entre dois números inteiros, onde o segundo número seja diferente de zero:
19
Q = { x | x =
b
a , a∈Z ∧ b∈Z, b ≠ 0 }
Leitura: Q é igual ao conjunto dos x tais que x é igual à razão entre a e b, onde a e b
pertencem ao conjunto dos números inteiros, com b diferente de zero.
A.3.3.1.- impossibilidade da divisão por zero:
Na definição anterior, a restrição b ≠ 0 é importante e necessária, veja por exemplo: 5
10 = 2
porque: 10 = 5.2, no entanto para 0
10 = x não tem significado pois não existe nenhum valor de x
que satisfaça: 10 = 0.x. Este fato mostra a impossibilidade de divisão por zero.
A.3.3.2.- Exemplos de Números Racionais
São números racionais:
(1) Todos os números inteiros:
0 = 5
0
1
0= ; 1=
9
9
2
2= ; 2 = ;
1
2 -1=
10
10−; -2 =
1
2
4-
8
4
8 −==
− etc.
� Este fato pode ser representado por: Z ⊂⊂⊂⊂ Q (2) As frações ordinárias (próprias ou impróprias –frações mistas):
3
2;
5
9;
8
52 =
8
21;
5
1
25
5= ;
8
16= 2;
931
234 etc.
(3) Os decimais exatos:
0,4 = 10
4 (quatro décimos); 0,75 =
100
75 (setenta e cinco centésimos) que aqui são
representados sob a forma de frações decimais.
(4) As dízimas periódicas simples(ou números decimais periódicos simples):
0,555... = 9
55,0__
= ; 0,323232... = ___
320, = 99
32; 0,321321321... =
_____
321,0 = 999
321
Observação importante: pela regra que preside a escrita de dízimas periódicas
simples sob a forma de razão, ou seja, escrever o período como numerador e utilizar
no numerador um numeral formado por tantos algarismos “9” quantos forem os
algarismos do período, temos a registrar o seguinte fato importantíssimo: a dízima
20
0,999... é escrita como: 0,999... = 19
9= e assim, por exemplo, 9,999... = 10; ou
ainda, 0,0999... = 0,1 etc.
(5) As dízimas periódicas compostas:
3,222... = 3 + 9
2=
9
332 − (verifique!); 54,08323232... =
9900
5408540832 − =
9900
535424
A regra para a escrita das dízimas periódicas compostas sob a forma de razão é a
seguinte: escreva no numerador a parte não periódica seguida da parte periódica
formando um número inteiro, subtraia desta quantia o número obtido com a parte não
periódica. Escreva no denominador tantos “9s” quantos forem os algarismos da parte
periódica, seguidos de tantos zeros quantos forem os algarismos da parte não
periódica depois da vírgula.
A.3.5.- O CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS: Q’ OU I
São números irracionais os decimais não exatos e não periódicos:
(1) As raízes não exatas de números inteiros: 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 10 etc.; 3 2 ;
3 3 ; 3 4 etc.
(2) O número Pi: π = 3,141592645... é um número decimal infinito e não periódico, e que,
portanto não pode ser escrito sob forma de razão (não é racional). Examine agora o valor de Pi
com 30 casas decimais: π =3,14159265358979323846264338328... . . .
(3) O número de Ëuler: e = 2,71828182845...
Observação: O conjunto dos números Irracionais geralmente é representado por I ou por Q’ (onde
Q’ deve ser lido: complementar de Q)
A.3.6.- O CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS: R
A união do conjunto dos números racionais ao conjunto dos irracionais irá formar o
conjunto dos números reais R, e isto é representado por:
R = Q ∪ Q’ = {x | x é um número racional ou um número irracional }
21
A.3.6.1.- Fração: numerador e denominador:
NOTAÇÃO: Dado o número racional b
a com b≠0, seus elementos a e b recebem respectivamente
os nomes de numerador e denominador, ou seja, um número racional pode ser entendido como
adordeno
numerador
b
a
min= .
A.3.7.- O CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS
Você poderá encontrar em um livro de Matemática do terceiro colegial uma abordagem
bastante abrangente sobre os números complexos e suas propriedades. Neste texto, um conjunto de
idéias matemáticas introdutórias ao Cálculo Integral e Diferencial apenas iremos mencionar o
seguinte sobre os números complexos: a raízes de índice par de números negativos não são números
reais, elas são números complexos, como por exemplo: R∉− 4 , mas sim .4 C∈−
• Notação: i 21214)1(44 =−×=−×=−×=− onde i = 1− é denominada
unidade imaginária.
• Observação: R∈−3 8 pois 283 −=− .
• Note também que:
[1] Todo número natural é Inteiro: N ⊂⊂⊂⊂ Z.
[2] Todo número inteiro é racional: Z ⊂⊂⊂⊂ Q (eles podem ser colocados sob forma de
razão).
[3] Todo número racional e todo número irracional é real: Q ⊂⊂⊂⊂ R e Q’ ⊂⊂⊂⊂ R.
[4] Não há um número que seja racional e irracional ao mesmo tempo: Q ∩∩∩∩Q’= φφφφ.
[5] A união dos números racionais e irracionais formam o conjunto dos
números reais: Q∪∪∪∪Q’= R.
22
A.3.7.1.- Conjuntos Numéricos – Resumo:
[1] N ⊂⊂⊂⊂ Z ⊂⊂⊂⊂ Q ⊂⊂⊂⊂ R ⊂⊂⊂⊂ C
[2] Q ∩∩∩∩ Q’ = φφφφ
[3] Q ∪∪∪∪ Q’ = R
N
Z
Q
R
C
Q’
Figura 4- Os Conjuntos Numéricos Notáveis e suas relações
A.3.7.2.- Conjuntos Numéricos com Restrições – Notação:
(1) Sendo X um dos conjuntos N, Z, Q, R ou C: X* = {x ∈ X | x ≠ 0 } = X – {0}
(2) Sendo X um dos conjuntos Z, Q ou R:
+X = {x ∈ X | x ≥ 0 } - subconjunto de X formado pelos números não negativos de X
−X = {x ∈ X | x ≤ 0 } - subconjunto de X formado pelos números não positivos de X
*+X = {x ∈ X | x > 0 }= +X - {0} - subconjunto de X formado pelos números positivos de X
*−X = {x ∈ X | x <0 }= −X - {0} - subconjunto de X formado pelos números negativos de X
23
A.4.- NÚMEROS INTEIROS – ALGUMAS PROPRIEDADES
A.4.1- PARIDADE E IMPARIDADE
Um número inteiro a é par se, se somente se, ∃ x∈ Z, a = 2x. Um número inteiro b é ímpar
se, se somente se, ∃ x∈ Z, b = 2x + 1.
A.4.2.- NÚMEROS PRIMOS E COMPOSTOS
Um número inteiro p, diferente de zero e de um, isto é, p∈ (Z*-{1}), é primo se tem como divisores apenas: 1, -1, p e –p ( ou seja: ±1 e ±p ), o que pode ser escrito como:
∀p ∈Z ( D(p) = {-p,-1, 1, p} ⇔ p é um número primo )
A.4.3.- EXEMPLO DE NÚMEROS PRIMOS
[1] -7 é um número primo pois conjunto de divisores de –7 é: D(-7) = { -7, -1, 1, 7 }.
[2] A seguir apresentamos uma listagem de todos os números primos naturais até 50. Esta listagem
contém 15 números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.
A.4.4.- Decomposição em fatores primos
Os números inteiros distintos de 0, +1, –1 e que não forem primos são denominados
compostos, isto é, estes números são obtidos pela multiplicação de números primos, ou seja eles são
“compostos” por fatores primos, como por exemplo:
21= 3X7 32 = 2X2X2X2X2 = 25
300 = 2X2X3X5X5 = 22X 3X5
2
Assim, poderemos efetuar a fatoração prima (decomposição em fatores primos) dos números
compostos, através de um dispositivo prático, onde por tentativas se percorre, um a um,
seqüencialmente os números primos, a partir do 2, buscando todos os divisores para o número a ser
fatorado. Veja os exemplos a seguir:
24
A.4.5.- MDC (Máximo Divisor Comum) de números inteiros
Problema 1: Seja considerar dois números inteiros, como por exemplo 12 e 18. Deseja-se obter o
maior número que divida exatamente o 12 e o 18, isto é, deseja-se calcular o máximo divisor
comum de 12 e 18, ou ainda, deseja-se obter o MDC(12,18).
Solução do problema a partir do conceito de MDC:
[1] Calcula-se os divisores positivos de 12: D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12 }
[2] Calcula-se os divisores positivos de 18: D(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18 }
[3] Calculam-se os divisores comuns de 12 e 18: D(12) ∩ D(18) ={1, 2, 3, 6 }
[4] Toma-se o maior destes divisores comuns: 6
[5] Logo MDC(12,18) = 6.
Solução através da Fatoração:
12 2 18 2
6 2 9 3 3 3 3 3
1 1
Tomando os fatores comuns às duas fatorações, obtém-se:
MDC(12,18) = 2 X 3 = 6
Observação: mesmo que um dos números seja negativo, ou mesmo que os dois números sejam
negativos, o máximo divisor dos mesmos é sempre um número positivo. Assim sendo podemos
sempre considerar os números como positivos e buscar o MDC entre os seus divisores comuns
positivos. Utilizando ainda o exemplo anterior, se tivéssemos MDC(-12,18) ou MDC(12,-18) ou
ainda MDC(-12,-18) o resultado seria o mesmo:
MDC(-12,18) = MDC(12,-18) = MDC(-12,-18) = MDC(12,18) = 6
A.4.6.- MMC(Mínimo Múltiplo Comum) de números inteiros
Problema 2: Seja considerar dois números inteiros, como por exemplo 12 e 18. Deseja-se obter o
menor número que seja exatamente divisível por 12 e por 18 ao mesmo tempo, isto é, deseja-se
calcular o mínimo múltiplo comum de 12 e 18, ou ainda, deseja-se obter o MMC(12,18).
25
Solução do problema a partir do conceito de MMC:
[1] Calcula-se alguns dos múltiplos positivos de 12: M(12) = {0,12, 24, 36, 48, 60, 72... }
[2] Calcula-se alguns dos múltiplos positivos de 18: M(18) = {0, 18, 36, 54, 72, 90, ...}
[3] Toma-se o menor dos múltiplos comuns a 12 e 18: 36
[4] Logo MMC(12,18) = 36.
Solução através da Fatoração em Grupo:
12, 18 2 6, 9 2
3, 9 3 1, 3 3 1, 1
Tomando os fatores encontrados,e multiplivcando-os, obtém-se:
MMC(12,18) = 2 X 2 X 3 X 3 = 36
Problema 3: Quer-se obter o MMC(12,15,18,21).
[1] Calcula-se o MMC(12,15,18,21) através da fatoração em grupo, pois esta é uma das
formas mais fáceis de se obter o MMC de um conjunto com mais de dois números inteiros.
12, 15, 18, 21 2 6, 15, 9, 21 2
3, 15, 9, 21 3 1, 5, 3, 7 3 1, 5, 1, 7 5 1, 1, 1, 1 7 1, 1, 1, 1
[2] O MMC(12,15,18,21) = 22 X 32 X 5 X 7 = 4 X 9 X 35 = 1260.
A.4.6.1.- Propriedade que liga o MDC e MMC de dois números inteiros:
Os processos utilizados para calcular o MDC ou o MMC entre dois números inteiros está
ligado por uma fórmula bastante interessante:
∀∀∀∀ a∈∈∈∈Z, ∀∀∀∀ b∈∈∈∈Z , MDC(a,b). MMC(a,b) = a x b
de onde se pode obter:
∀∀∀∀ a∈∈∈∈Z, ∀∀∀∀ b∈∈∈∈Z , MDC(a,b) = (a x b) / MMC(a,b).
26
No entanto, esta fórmula só é válida somente para dois números inteiros e não pode ser
estendia para aplicações envolvendo três ou mais números inteiros.
Veja que: no Problema 1 nós obtivemos MDC(12,18) = 6 e que no Problema 2 nós obtivemos
MMC(12,18) = 36. Estes dois resultados satisfazem à fórmula MDC(12,18) X MMC(12,18) = 12 X
18 ou seja: 6 X 36 = 216 e 12 X 18 = 216. No entanto no Problema 3 obtivemos
MMC(12,15,18,21) = 1260 e é fácil verificar por inspeção dos valores envolvidos que o
MDC(12,15,18,21) = 3. No entanto 1260 X 3 ≠ 12 X 15 X 18 X 21 ou seja 3780 ≠ 68040.
27
A.5.- Números Reais – Algumas Propriedades
A.5.1.- O conjunto dos Números Reais é Denso
Uma propriedade notável dos números reais é a da densidade. A densidade garante que
dados dois números reais distintos a e b, existirá sempre um terceiro número real entre a e b.
O conjunto dos números reais é geralmente representado por uma reta orientada:
e0,5 = ½
-3 -2 -1 32 10 R
0,333... π
Apesar de termos localizado na reta real acima alguns números reais como exemplo ainda
não se pôde mostrar a idéia de densidade dos números reais.
A.5.1.1.- Um exemplo notável da Densidade dos números reais:
Seja por exemplo, um coelho e sua toca como vistos no desenho abaixo. O coelho deve estar
localizado numa posição demarcada como um e a entrada da toca, que é onde ele pretende chegar,
estará demarcada com zero.
Nesta situação idealizada há ainda um problema, o nosso coelho é péssimo em avaliar
distâncias. Assim ele, pretendendo chegar a um dado ponto, ao avaliar a distância a ser percorrida,
comete sempre um erro sistemático: consegue dar um pulo que atinge apenas a metade daquilo que
ele precisava saltar.
A pergunta que se faz é a seguinte: na figura a seguir, se o coelho sair da posição 1 ele
conseguirá chegar exatamente ao ponto demarcado com o número 0?
... 16
1
8
1 4
1 2
1 1 0
Sobre a seqüência: ,...64
1 ,
32
1 ,
16
1 ,
8
1 ,
4
1 ,
2
1 ,1 pode-se afirmar o seguinte: ela converge para o
zero. O ponto zero é denominado ponto de acumulação desta seqüência. É fácil notar que, entre o
28
ponto último ponto demarcado, o 64
1, e o zero haverá uma infinidade de números reais e, ainda,
por mais valores que se vá acrescentando à seqüência nunca se atingirá diretamente o valor zero.
A.5.2.- Módulo ou Valor Absoluto de um Número Real
A.5.2.1.- Módulo de um Número Real – Definição: :
Seja x∈R. O valor absoluto ou o módulo de x, denotado por |x| é dado por:
<
≥=
0 xse x,-
0 x se , ||
xx
A.5.2.2.- Módulo de um Número Real – Exemplos:
(a) | 5 | = 5 (b) | -7 | = − (−7 ) = 7 (c) | 0 | = 0
d) |−0,675| = 0,675 (e) | π− | = π (f) | 3-2| = −3-2
Veja no exemplo (b) que módulo de um número negativo é este número com o sinal trocado.
A.5.3.- Propriedades dos Números Racionais (NÚMEROS SOB A
FORMA DE RAZÃO)
A.5.3.1.- Frações Próprias e Impróprias e Números Mistos
Uma fração é imprópria quando seu numerador é maior ou igual ao seu denominador. Neste
caso podemos extrair os inteiros destra fração transformando-a em um número misto (ou fração
mista).
A.5.3.2.- Frações Impróprias: Extração de Inteiros- Um exemplo
Dada 2
15, uma fração imprópria para transformá-la em um número misto: divide-se o
numerador pelo denominador; o quociente desta divisão (o quociente da divisão é 7) passa a ser a
parte inteira do número misto; indica-se que o resto ( o resto foi igual a 1) continua sendo dividido
pelo denominador, ou seja: 2
1, escreve-se a parte inteira seguida da parte fracionária, compondo-se
29
assim o número misto: 2
17
2
15= . A esta operação se dá o nome de extração de inteiros da fração
imprópria.
A.5.3.3.- Número misto: transformação em fração imprópria – Um exemplo:
Dado o número misto 5
23 para transformá-lo em fração imprópria: toma-se como
numerador da fração imprópria o produto da parte inteira do número misto pelo denominador ( 3 X
5 ) e adiciona-se a este valor o numerador do fração imprópria (que é o 2); toma-se para
denominador da fração imprópria o denominador da parte fracionária do número misto (o número
5): 5
17
5
253
5
23 =
+×= .
A.5.3.4.- Simplificação de frações – Um exemplo
Simplificar uma fração significa dividir o numerador e o denominador da mesma por um
mesmo número, exprimindo-a, assim, de forma equivalente, mas mais simples. Veja os exemplos
abaixo onde o símbolo “~” é lido eqüivale a:
4
3~
8
6 (divisor do numerador e do denominador: 2)
3
2~
9
6~
18
12~
36
24~
72
48~
144
96
melhor seria dividir o numerado e o denominador pelo MDC(96,144) = 48, como a seguir é
mostrado.
4896 ÷
48144 ÷
Veja o que ocorre: 3
2 ~
144
96
A.5.3.5.- Adição de frações – Exemplos Diversos:
(a) Adição de frações com o mesmo denominador:
Com extração de inteiros: 5
11
5
6
5
24
5
2
5
4==
+=+
30
Com simplificação: 3
2
9
6
9
15
9
1
9
5==
+=+
Com extração de inteiros e simplificação: 2
11
6
31
6
9
6
72
6
7
6
2===
+=+
(b) Adição de frações com denominadores diferentes:
6 X5 X
90 :18 = 590 :15 = 6
90 MMC(15,18) 45
17
90
34
90
1024
90
2546
18
2
15
4===
+=
×+×=+
(c) Adição de frações com números mistos:
No caso da adição de frações e números mistos é indiferente se adicionamos as
partes inteiras e depois as partes fracionárias seguindo as regras da adição de frações:
18
7
18
725722
1
4
6
19
9
114
6
13
9
21 =
−+=−+=−+ ou
18
7
18
340
6
1
9
2)431(4
6
13
9
21 =
++=++−+=−+
A.5.3.6.- Multiplicação de frações – Exemplos:
No caso de multiplicação de frações por números mistos deve-se transformar o número
misto em fração imprópria antes de se efetuar a multiplicação:
(a) 7
51
35
251
35
60
75
154
7
15
5
4
7
12
5
4===
×
×=×=×
ou, simplificando antes de efetuar a multiplicação:
7
51
7
12
71
34
75
154
7
15
5
4
7
12
5
4==
×
×=
×
×=×=×
31
(b) 2
15
2
15
12
35
5
3
2
25
5
22
8
13 ==
×
×=×=×
� Tente verificar como foram feitas as simplificações no exemplo (b).
A.5.3.7.- Propriedades Importantes da Adição e da Multiplicação de frações:
Propriedades Justificativa utilizando valores numéricos
c
b
c
a
c
ba+=
+ , c ≠ 0 7
2
14
2
68 34
2
6
2
8
2
68==
+⇔+=+=
+
c
bab
c
a
c
ba×=×=
×, c ≠ 0 2438
2
68
2
68 24646
2
8
2
68=×=×=
×⇔=×=×=
×
32
A.6.- Potências
A.6.1.- Potenciação e Potência
Operação: Potenciação Resultado: Potência
dados b ∈ R, n ∈ N*- {1}, p ∈ R, então
bn = b . b . b . ... . b = p
e ainda: b0 = 1 b1 = b
Nomenclatura: b – base n – expoente p – potência
n fatores iguais a b
Figura 5.- Potenciação – quadro resumo
A.6.1.1.- Observações e exemplos sobre a potenciação:
[1] Para b = 0, n ≥≥≥≥ 0 e ∀∀∀∀n∈∈∈∈R, tem-se 0n = 0, 00 = 1 05= 0 X 0 X 0 X 0 X 0 = 0
[2] Para b > 0, ∀∀∀∀n∈∈∈∈R*, tem-se bn > 0 52 = 25 ( 5 > 0 e 25 > 0)
[3] Para b<0, ∀∀∀∀n∈∈∈∈N*,
<
>
0 b :ímparn
0b :par én n
n
se
se
(-2)1= -2 (-2)2 = 4 (-2)3= -8 (-2)4= 16 (-2)5= -32
(-1)1= -1 (-1)2 = +1 (-1)3= -1 (-1)4= +1 (-1)5= -1
33
A.6.1.2.- Quadro das Propriedades da Potenciação:
Na tabela abaixo considerar: a∈R, b∈R, m∈Z, n∈Z e que propriedades [1], [2] e [3] dizem
respeito às potências de mesma base.
[1] bm . bn = bm+n 53 . 57 = 512 73 . 74 . 7-5 = 73+4-5 = 72
[2] bm / bn = bm-n (com b≠0) 57 : 52 = 55 45 / 48 = 4 5-8 = 4-3 62 : 62 = 60 = 1
[3] (bm)n = bm.n (potência de potência) (23)2 = 23.2 = 26 (34)0 = 30 = 1
[4] (a . b)m = am . bm (5 . 3)2 = 52 . 32
[5] (a / b)m = (am) / (bm) (com b≠0) (2 / 5)3 = 23 / 53
As propriedades constantes desta tabela devido à propriedade simétrica da igualdade (todas elas sob a forma de igualdades), são válidas tanto da esquerda para a direita quanto da direita para a esquerda.
A.6.1.3.- Alguns Exemplos Importantes da operação com potências:
[1] (-2)2 ≠ -22 , pois (-2)2 = (-2).(-2) = + 4 enquanto -22 = -(22) = - 4.
[2] 322 )3(33
≠ , pois 8)2(2 33333
== = 6561 enquanto (32)3 = 93 = 729.
[3] 42 222
≠− , pois 222− = 2-4 de acordo com o exemplo [1].
A.6.2.- Potências de Expoente Inteiro Negativo ou Zero
[1] Seja calcular bm / bn com m<n: bm / bn = bm-n onde m-n < 0, o que significa bm-n ?
Vamos resolver este problema, inicialmente através de um exemplo numérico:
(a) 2535
3
222
2 −− ==
(b) 25
3
2
1
22
1
22222
222
22222
222
2
2====
xxxxx
xx
xxxx
xx
das relações (a) e (b) podemos tirar que: 2
2
2
12 =−
34
O fato aqui mostrado numericamente poderá ser mostrado teoricamente assim: seja calcular
“b0/bn” com n positivo. Há duas formas de faze-lo:
(a) b0/bn = b0-n = b-n
(b) b0/bn =nn bb
b 10
=
a partir das igualdades (a) e (b) pode-se tirar a seguinte conclusão:
b-n = nb
1( n∈ *
+Z ).
[2] Seja calcular bn/bn.
Há duas formas de faze-lo:
(a) Seja tomar bn = x, então bn/bn = x/x= 1
(b) bn/bn = bn-n = b0
a partir das igualdades (a) e (b) pode-se tirar a seguinte conclusão:
b0 = 1
[3] O símbolo 0-n para n ∈ *+Z (n inteiro, positivo e não nulo) não tem significado, ou sejam, por
exemplo, 0-1 ou 0-3 não representam valores numéricos. Note, no entanto, que se pode aceitar que 00
= 1, que é o que fazem muitos autores.
35
A.7.- Raízes
A.7.1.- Radiciação e Raiz
Operação: Radiciação Resultado: raiz
dados b ∈ R+ , n ∈ N*, p ∈ R+, então
pb bp nn =⇔=
Nomenclatura: b – raiz n – índice p – radicando
A.7.2.- Exemplos:
322232 55 =⇔= 497749 2 =⇔= 0000 66 =⇔= 1111 55 =⇔=
A.7.3.- Propriedades da Potenciação - exemplos
A.7.3.1.- Quadro das Propriedades da Radiciação:
Na tabela abaixo considerar: a∈R+, b∈R+, m∈Z, n∈N*, s∈ N*.
[1] nnn a.bb.a = e nnn b:ab:a = 333 147.2 =
[2] n mmn a)a( = 4 334 3)3( = 3 223 5)5( −− = 117)7( 00 ===
[3] aan n = e n nn .baba. = 33)3( 4 444 == 4 44 3.53.5 =
333.33.33.27 4 44 3434 ====
[4] sn smn m aa = 6 43.2 2.23 2 777 ==
[5] sns n aa = 63 2 77 =
Sentidos de validade das propriedades devido à propriedade simétrica da igualdade
36
7.3.2.- Radiciação - Exercícios Resolvidos:
As igualdades a seguir devem ser analisadas nos dois sentidos, da esquerda para a direita e vice-
versa. Tente verificar a cada passo quais das propriedades anteriores foi utilizada. Note que os
índices dos radicais envolvidos nesta multiplicação são iguais.
[1] 33 23 23 33 233 53 4.22.22.222232 =====
[2] 123.43.23.23.2 22 ====
[3] 2282:162:16 3 33333 ====
[4] 66 66 763 2.22.22128128 ====
[5] =××=××××××=×××× 3 325333333 532151225546)35(122535546
=××××=××××=×××= 3 223 33 23 23 33 325 32521553221553215
3 36150=
A.7.4.- Simplificação de Radicais
A propriedade [4] da tabela de propriedades da radiciação permitem “simplificar” os
radicais. Como já se afirmou anteriormente a igualdade possui a propriedade simétrica que nos
permite escrever a seguinte sentença matemática: n msn smsn smn m aaaa =⇔= .
A.7.4.1.- Simplificação de radicais – Exemplos:
(a) 33 223 226 46 422216 ==== × ×
37
(b) 4 334 31 34 314 344 34 124 34 1234 15 512555555555555 =×=×=×=×=×= × ×
A.7.4.2.- Comparação de radicais - Redução de radicais ao mesmo índice:
Problema: Colocar em ordem crescente os seguintes radicais: 463 32,248,8,13 .
A idéia é reduzir os radicais ao mesmo índice. Para isto deve-se seguir os seguintes passos
[1]Calcula-se o MMC(3,2,6,4). MDC(3,2,6,4) = 12.
[2] Adota-se o 12 como o novo índice comum a todos os radicais:
1212 443 4 285611313 ==× ; 1212 662 6 26214488 ==× ;
1212 226 2 61504248248 ==× ; 1212 334 3 327683232 ==× .
Comparado os radicais que agora estão com o mesmo índice podemos escrever:
12121212 262144615043276828561 <<< ou melhor: 82483213 643 <<<
A.7.4.3.- Confira o resultado dos seguintes exercícios com radicais:
(a) 626965424 =+−+
(b) 33 33333333 56532108069456945 =××==×××=×××
(c) 3333 21543216354 =++
(d) 666 326 36 23 857534325757575 =×=×=×=×
Observe que: o produto no exercício (c) exigiu uma redução dos radicais ao mesmo índice.
A.7.5.- Potências de Expoente Racional
Dados a∈R+, Qq
p∈ , temos:
q pqp
aa =
A.7.5.1.- Potências com Expoentes fracionários – exemplos:
(a) 33 232
2555 == (b) 77 21
= (c) 2288 3 3331
===
38
A.7.5.1.- Exercícios Resolvidos – Potências com expoentes fracionários e
expoentes decimais:
[1] Exprimir sob a forma de radical:
(a) 23
9 (b) 0,11024 (c) 32
216−
(d) 21
2−
(e) -0,6243
Soluções:
(a) 273)3()3(99 33232323
=====
(b) 22102410241024 10 10101010,1 ====
(c) 6
1
3
1
2
1
3
1
2
1
3
1
2
1
32
1
216
1216216
3 3
3
3 3
3
33
33
333
33 232
=×=×=×=×
=== −−
(d) 1
21
21
)2(2
1
2
12 −−
===
(e) 5 35
310
60,6-
243
1
243
1
243
1243 ===
[2] Exprimir sob a forma de potência de expoente racional:
(a) a (b) 4 3 62 (c) 3 4
1 (d)
7 32
1
Soluções:
(a) 41
4 aaa == (b) 21
12612 64 3 6 2222 === (c) 3
1
313
44
1
4
1 −== (d)
73
7 32
2
1 −=
A.7.6.- Racionalização de Denominadores
Quando uma fração possui para denominador um número irracional ela é denominada fração
irracional. Neste caso, nós devemos racionalizar o denominador desta fração por motivos que serão
explicados a seguir.
Por exemplo: a fração 2
1 é uma fração irracional, ou seja, com denominador irracional. Para
racionalizar o seu denominador devemos multiplicá-lo por 2 , e para que a fração não se altere,
devemos multiplicar o seu numerador também por 2 . Veja o que ocorre:
39
2
2
4
2
22
21
2
1==
×
×=
A.7.6.1.- Porquê racionalizar denominadores?
Pergunta: Porquê se deve racionalizar o denominador de uma fração irracional?
Vamos estabelecer que o melhor valor de 2 seja: 1,41421356217 obtido numa calculadora com
12 dígitos no visor e que o valor de 22 obtido na mesma calculadora seja: 0,707106781185.
Examine os seguintes cálculos onde se adotam valores cada vez mais próximos (ou melhores) de
2 :
Para a fração com denominador irracional:
Caso 1: adotar 2 = 1,414: 7072135785,0414,1
1
2
1=≅
Caso 2: adotar 2 = 1,41421: 777071085623,041421,1
1
2
1=≅
Caso 3: adotar 2 = 1,4142135624: 737071067813,04142135624,1
1
2
1=≅
Os cálculos acima mostram que a imprecisão dos valores encontrados na divisão é muito
grande. No caso da racionalização, passaremos a dividir um número irracional por um número
inteiro, fazendo com que a imprecisão ocorra somente na última casa decimal.
:
Para a fração com denominador racionalizado:
Caso 1: adotar 2 = 1,414: 707,02
414,1
2
2≅≅
Caso 2: adotar 2 = 1,41421: 707105,02
41421,1
2
2≅≅
Caso 3: adotar 2 = 1,4142135624: 7071067812,02
4142135624,1
2
2≅≅
Caso 4: efetuar o cálculo numa calculadora com 12 dígitos de precisão:
...87071067811,02
...74142135623,1
2
2≅≅
40
Os exemplos exibidos acima são suficientes para mostrar que quando não se racionaliza o
denominador de uma fração irracional corre-se o risco de se obter, nos cálculos, valores afetados de
erros bastante graves.
A.7.6.2- Exemplos simples de racionalização de denominadores:
(a) 222
24
4
24
22
24
2
4===
×
×=
(b) 55 25 2
5 5
5 2
5 25 3
5 2
5 342
2
22
2
22
22
22
2
2====
×=
(c) 822
84
4
84
22
244
2
44===
×
×=
(d) 3
37
3
37
33
37
3
7
9
7 15 12
15 15
15 12
15 1215 3
15 12
15 215==
×
×==
A.7.6.3.- Quanto vale 2-½?
Este é um exercício para verificar o que você aprendeu sobre as potências com expoentes
fracionários negativos e sua transformação em radicais, bem como a sua racionalização.
Escolha a sua resposta:
(a) 2
1 (b)
22
1 (c)
2
2 (d) 2 (e) NRA
Veja a resposta no final deste texto no item A.7.7.4.
A.7.7.- Radicais Semelhantes - Adição
A.7.7.1.- Adição de Radicais:
� Só se podem adicionar radicais semelhantes.
� Dois ou mais radicais são semelhantes quando possuem o mesmo radicando e o mesmo
índice, independentemente do valor numérico que o multiplique.
� São radicais semelhantes: 2 e 23 ; 4 3 , 5 4 3 , -3 4 3 e 0,75 4 3 .
A.7.7.2.- Adição de Radicais – Exercícios Resolvidos :
(a) 2222 =+
(b) 3428322537233 −=++−+
(c) 938367332343532 333 +−=+−++−
(d) =×−+×=×−+=−+ 235242225232225033282 253
41
272152424 −=−+=
(e) 37283325233427501812 +=+++=+++
A.7.7.3.- Exercício de Verificação da Aprendizagem:
Mostre que: aaaaaa 21132420048518734 −=++−
A.7.7.4.- Resposta do teste A.7.6.3:
Alternativa (c)
42
0.2.2.- O Texto Pré-Calculo B
Pré-Cálculo B
Álgebra
Professor Aury de Sá Leite
B.1.- O que é a Aritmética e o que é Álgebra
B.1.1.- Aritmética: duas definições
� A aritmética é a parte da matemática que estuda as propriedades dos números e as operações
que com eles se pode realizar.
� A aritmética é a parte da matemática em que se investiga as propriedades dos números
inteiros e racionais.
B.1.2.- Álgebra: duas definições
� A álgebra é a parte da matemática que ensina a calcular, generalizando e simplificando as
questões aritméticas, por meio de letras da alfabeto.
� A álgebra é a parte da matemática que estuda as leis e processos formais de operações com
entidades abstratas.
43
B.2.- Polinômios
B.2.1.- Definição:
Chamamos polinômio às expressões algébricas racionais inteiras.
B.2.1.1..- Exemplos de Polinômios:
(a) 34x(x)P1 += (b) 12x5x(x)P 32 −+= (c) 0
3 4x4(x)P ==
(d) 7y(y)P4 = (e) 75 3x(x)P = (f) 76xy5y2xy)(x,P 23
6 −+−=
(g) z-4y7x6xyz5yx-5zz)y,(x,P 2337 +−+−+=
Observações: • P1 é um binômio, isto é, possui dois termos algébricos: 4x e 3. • P2 é um trinômio. • Os polinômios P3, P4 e P5 são monômios, isto é, são polinômios de um só termo algébrico. • P6 é um polinômio de duas variáveis, enquanto P1 , P2 , P3 , P4 e P5 são polinômios de uma
variável. • P7 é um polinômio de três variáveis.
B.2.1.2..- Contra-exemplos de Polinômios:
As seguintes expressões algébricas não são polinômios: 163 5 ++ xx e 4x
35x 2 ++− ,
pois a primeira não é um polinômio pois é classificável como expressão algébrica irracional, isto é,
apresenta uma variável sob um radical; a segunda não é um polinômio pois é classificável como
expressão algébrica fracionária, isto é, apresenta uma variável num denominador.
B.2.2.- Polinômio Completo em X
O polinômio a uma variável
nn
1n1n
33
2210 xa xa ...xa xa xa aP(x) ++++++= −
−
é dito completo se, e somente se, os coeficientes numéricos a0, a1, a2, ..., an são todos, não nulos. Se
P(x) é um polinômio completo o número de termos de P(x) é n+1.
44
B.2.3.- Polinômio Nulo ou Polinômio Identicamente Nulo
Se na expressão nn
1n1n
33
2210 xa xa ...xa xa xa aP(x) ++++++= −
− , a0 = a1 = a2 = ... = an = 0
o polinômio P(x) é dito polinômio nulo, e é notado P(x) ≡ 0, o que significa que P(x)=0 para todo e
qualquer valor atribuído à variável x.
B.2.4.- Grau de um Polinômio
O grau de um polinômio P(x) é dado pelo expoente de maior valor que afete variável x de
um termo não nulo, que figure em P(x).
Notação: δP = n, onde n corresponde ao máximo expoente que afeta x no polinômio P(x). No caso
de polinômios de duas ou mais variáveis deve-se citar o grau de cada uma das variáveis.
Exemplos: Se P(x) = 7x2 - 5x7 + 4 então: δP = 7, x é um polinômio do 7o grau.
Se P(x) = 5x3y2 + 4x2y4+ x5+y – 2 então δPx = 5 e δPy = 4, ou seja, P é um polinômio
do 5o grau em x e do 4o grau em y.
Cuidado: O polinômio nulo não tem grau, ou seja, não existe δδδδP para P(x) ≡≡≡≡0.
B.3.- Operações com Polinômios
B.3.1.- Monômios semelhantes - Definição
Um monômio é composto por uma parte numérica (o coeficiente) e por uma parte literal.
Dois monômios são semelhantes se possuem parte literal idêntica.
Exemplos: São semelhantes os monômios
(a) 3333 x35 e x- ,0,712x ,4x
(b) 32233232 xya 5 ex ay ,y5xa ,xy4a − os monômios são semelhantes
apesar da parte literal não estar ordenada, o que faria com que os monômios fossem
escritos como: 32323232 xya 5 e xya ,xy5a ,xy4a − , o que mostra que é bem mais
fácil verificar a semelhança entre monômios quando a parte literal estiver ordenada.
B.3.2.- Simplificação de Polinômios
B.3.2.1.- Simplificação de Polinômios - Exercícios Resolvidos:
Simplifique os polinômios a seguir adicionando os termos semelhantes.
45
(a) 5x2 + 4x3- 5x3 + 2x –6 + 4x – 3x3 + 5x4 –2x + 5 – 2x3 = 5x4 – 6x3 + 5 x2 + 4x – 1 (confira!)
(b) Quando alguns dos monômios aparecem com a parte literal desordenada alfabeticamente,
para evitar-se problemas de leitura ou de interpretação, deve-se ordenar alfabeticamente a parte
literal destes monômios. Deve-se em seguida marcar os termos semelhantes, para somente então
adicioná-los segundo as marcações:
6x2y4z2 + 3z2y2x4 - 5y4x2z2 + 7x2y4z2 - 5x4z2y2 + 3z4y2x2 –7x2y2z4 + 12x4y2z4 =
= 6x2y4z2 + 3 x4y2z2 - 5x2y4z2 + 7 x2y4z2 - 5 x4y2z2 + 3 x2y2z4 - 7x2y2z4 + 12x4y2z4 =
= 8x2y4z2 - 2 x4y2z2 - 4 x2y2z4 + 12x4y2z4
B.3.3.- Multiplicação de Monômio por Monômio
Regra: multiplica-se os coeficiente (valores numéricos) e a seguir multiplica-se a parte
literal segundo as potências de mesma base.
Exemplos:
(a) 2x3yz2 × 5x2yz = 10x5y2z3 (b) a2b × (-ab2) × (-ab) = +a4b4
(b) (c) 3ab2c3 × (-2ac2d) = -6a2b2c5d (d) x2y × xy × x-3 = y2
46
B.3.4.- Multiplicação de Polinômio por Monômio
Regra: Multiplicar cada termo do polinômio pelo monômio.
Exemplo: 2xy (4x2 + 5y – 3xy + 3x2) = 8x3y + 10xy2 – 6x2y2 + 6x3y
B.3.5.- Multiplicação de Polinômio por Polinômio
Regra: Multiplicar cada termo de um dos polinômios por todos os termos do outro
polinômio, para em seguida eliminar-se os termos semelhantes.
Exemplos:
(a) (3x2 + 7xy – 2y2) . (x + y) = 3x2y + 7xy2 – 2y3 + 3x3 + 7x2y – 2xy2 = 3x3 + 10x2y + 5xy2 – 2y3
(b) (a2 + 2ab + b2) . (a – b) = a3 - 2a2b + ab2 - a2b + 2ab2 - b3 = a3 - 3a2b +3ab2 - b3
B.3.5.1.- Dispositivo prático para efetuar as multiplicações:
3x2 + 7xy – 2y2
x + y
3x2y + 7xy2 – 2y3
3x3 + 7x2y – 2xy2
3x3 + 10x2y + 5xy2 – 2y3
+
××××
a2 - 2ab + b2
a - b
- a2b + 2ab2 - b3
a3 - 2a2b + ab2
a3 - 3a2b +3ab2 - b3
××××
+
B.3.6.- Divisão de Polinômio por Monômio
Exemplo:
(a) 10x3y2 ÷ 5xy3 = 2x2y-1 (o produto não é um polinômio – é uma expressão irracional)
(b) 5x3yz-2 ÷ 2x3y-1z-3 = 2
5y2z
47
B.3.7.- Divisão de Polinômio por Polinômio
B.3.7.1.- Exercício Resolvido:
No exercício apresentado a seguir: o primeiro termo do polinômio P(x) (polinômio dividendo) é
dividido diretamente pelo primeiro termo D(x) (polinômio divisor); este resultado é anotado como
quociente; ele vai multiplicar cada termo de D(x). Os produtos resultantes aparecem subtraindo os
termos semelhantes de P(x). É evidente que o primeiro termo de P(x) é cancelado, e o processo se
repete, até que o resto seja de um grau menor que o polinômio D(x).
P(x) = 7x5 – 4x4 – 8x3 + 12x2 – 5x + 7 D(x) = x2 – 3
1o Passo:
7x5 – 4x4 – 8x3 + 12x2 – 5x + 7 x2 – 37x3
2o Passo:
7x5 – 4x4 – 8x3 + 12x2 – 5x + 7 x2 – 3 -7x5 +21x3 7x3
– 4x4 + 13x3 + 12x2 – 5x + 7
3o Passo:
7x5 – 4x4 – 8x3 + 12x2 – 5x + 7 x2 – 3 -7x5 +21x3 7x3- 4x2
– 4x4 + 13x3 + 12x2 – 5x + 7 4x4 - 12x2
13x3 – 5x + 7
4o Passo:
7x5 – 4x4 – 8x3 + 12x2 – 5x + 7 x2 – 3 -7x5 +21x3 7x3- 4x2 + 13x = Q(x) – 4x4 + 13x3 + 12x2 – 5x + 7 4x4 - 12x2
13x3 – 5x + 7 -13x3 +39x 34 x + 7 = R(x), sendo δR(x) < δQ(x)
48
B.3.7.2.- Divisão de Polinômio por Polinômio - Prova Real: l
Para se verificar a exatidão da operação divisão de polinômio por polinômio deve-se utilizar
a seguinte fórmula baseada no conceito de divisão com resto:
D(x) . Q(x) + R(x) = P(x)
No caso do exercício resolvido anteriormente, teremos:
(x2 – 3) × (7x3- 4x2 + 13x) + (34 x + 7 ) = 7x5 – 4x4 – 8x3 + 12x2 – 5x + 7
B.3.7.3.- Exercício com Resposta:
Resolver: a seguinte divisão P(x) ÷ D(x) = (8x5 + 4x3 – 2x2 – 1) ÷(2x2 + 1) onde o
polinômio dividendo é um polinômio incompleto.
Cálculos:
8x5 + 0 x4 + 4x3 – 2x2 + 0x – 1 2x2 + 1
Resposta: Q(x) = 4x3 – 1 R(x) = 0 - a divisão foi exata, o polinômio P(x) é divisível por D(x).
49
B.3.8.- Algoritmo de Briot-Ruffini
B.3.8.1.- Divisão de P(x) por x ±±±± a:
A divisão de um polinômio P(x) por um monômio do tipo x - a ou x + a pode ser feita
rapidamente através de uma regra denominada Algoritmo de Briot-Ruffini.
B.3.8.2.- Divisão de P(x) por x ±±±± a - Exercício Resolvido:
Seja dividir P(x) = 2x6 – 11x5 + 15 x4 + x3 – 10x +9 por x – 3.
1o Passo: Escrever no esquema abaixo o 3 ( ou seja o –a isto porque estamos dividindo P(x) por x –
3 onde a = -3 ) e os coeficientes de P(x), completando os termos faltantes de P(x) com zeros:
3 2 -11 15 1 0 -10 9
2o Passo: Baixar o primeiro coeficiente de P(x) ( no nosso caso o 2) multiplicando-o pelo 3; este
produto deve ser colocado embaixo do segundo coeficiente de P(x) acima do traço contínuo do
esquema, efetuando-se a adição algébrica ( -11 + 6 = -5):
3 ×××× 2
3 2 -11 15 1 0 -10 9 6 2 -5
3o Passo: Ir multiplicando pelo 3 os resultados que apareçam na última linha do esquema e ir
adicionando estes produtos aos coeficientes seguinte de P(x) até o último coeficiente ( no nosso
caso o 9).
3 ×××× -5Coeficientes de Q(x) R(x)
3 2 -11 15 1 0 -10 9 6 -15 0 3 9 -3 2 -5 0 1 3 -1 6
3o Passo: Escrever a solução, isto é o quociente e o resto da divisão
50
Q(x) = 2x5 -5x4 + x2 + 3x – 1 R(x) = 6
Note que:
• Q(x) é um polinômio um grau menor que o polinômio P(X) • termo do 3o grau de P(x) é zero e não é escrito • resto de uma divisão de um polinômio qualquer por x ± a é um termo de grau zero, ou seja uma constante.
51
B.3.8.3.- Exercícios resolvidos:
(1) Dividir P(x) = x4 + 5x3 + 3x2 –5x + 12 por D(x) = x + 3
-3 1 5 3 -5 12 -3 -6 9 -12 1 2 -3 4 0
Resposta: Q(x) = x3 + 2x2 –3x + 4 por R(x) = 0 a divisão é exata, isto é, P(x) é divisível por D(x).
(2) Dividir P(x) = 3x3 –2x + 1 por D(x) = x - 2
2 3 0 -2 1 6 12 20 3 6 10 21
Resposta: Q(x) = 3x2 + 6x + 10 por R(x) = 21
B.3.9.- Teorema do Resto e Teorema D’Alembert
B.3.9.1.- Teorema do Resto:
O resto da divisão de um polinômio P(x) pelo binômio ( x – a ) é P(a), ou seja, resto da
divisão é igual o valor numérico de P(x) para x = a.
Prova:
• Sabe-se que P(x) = D(x) × Q(x) + R(x), onde D(x) é o polinômio divisor, Q(x) é o
polinômio quociente e R(x) é o polinômio resto.
• Por hipótese: D(x) = x – a (de acordo com o enunciado do teorema).
• Como o polinômio divisor é do primeiro grau o resto deverá ser um valor numérico, ou seja,
um polinômio de grau zero, pois o resto é sempre um grau menor que o polinômio divisor.
Vamos adotar o resto da divisão como sendo R, um número real.
• A partri das considerações anteriores poderemos escrever: P(x) = (x-a) × Q(x) + R.
• Fazendo x = a na expressão anterior obtemos:
P(a) = (a-a) × Q(a) + R ⇒ P(a) = 0 × Q(a) + R ⇒ P(a) = 0 + R ⇒ P(a) = R .
B.3..2.- Teorema de D’Alembert:
Um polinômio P(x) é divisível por ( x – a ) se, e somente se, é P(a) = 0, ou seja, quando a um “zero” ou raiz de P(x).
Exemplos:
52
(1) O resto da divisão de P(x) = 3x3 –2x + 1 por D(x) = x – 2 será dado por:
P(2) = 3.23 –2.2 + 1 = 24 – 4 + 1 = 21.
(2) P(x) = x4 + 5x3 + 3x2 –5x + 12 é divisível por D(x) = x + 3 pois –3 é um zero ou uma raiz de
P(x), isto é P(-3) = 0. Veja: P(-3) = (-3)4 + 5(-3)3 + 3(-3)2 –5(-3) + 12 = 81 – 135 + 27 +15 + 12 = 0.
B.4.- Produtos Notáveis
B.4.1.- 1o caso: Quadrado da Soma indicada de dois termos algébricos
(a + b)2 = (a + b) ×××× (a + b) = a2 + 2ab + b2
Calculando pelo dispositivo prático:
a + b a + b
ab + b2
a2 + ab a2 + 2ab + b2
××××
+
Regra: O quadrado da soma indicada de dois termos algébricos é igual ao quadrado do
primeiro termo, mais o dobro do produto do primeiro pelo segundo termo, mais o quadrado
do segundo termo.
Exemplos:
(a) (3 + x)2= 32 + 2.3.x + x2 = 9 + 6x + x2 = x2+ 6x + 9
(b) (2x + 3)2 = (2x)2 + 2.2x.3 + 32 = 4x2 + 12x +9
(c) (5x2 + 3y)2 = (5x2)2 + 2.5x2.3y + (3y)2 = 25x4 + 30x2y + 9y2
B.4.2.- 2o caso: Quadrado da Diferença indicada de dois termos algébricos
(a - b)2 = (a - b) ×××× (a - b) = a2 - 2ab + b2
• Há multiplicações de polinômios cujo produto pode ser obtido facilmente através de regras práticas. A seguir vamos deduzir algumas destas regras tidas como principais.
53
Calculando pelo dispositivo prático:
a - b a - b
-ab + b2
a2 - ab a2 - 2ab + b2
××××
+
Regra: O quadrado da diferença indicada de dois termos algébricos é igual ao quadrado do
primeiro termo, menos o dobro do produto do primeiro pelo segundo termo, mais o quadrado
do segundo termo.
Exemplos:
(a) (3 - x)2= 32 - 2.3.x + x2 = 9 - 6x + x2 = x2 - 6x + 9
(b) (2x - 3)2 = (2x)2 - 2.2x.3 + 32 = 4x2 - 12x +9
(c) (-3y + 5x2)2 = (-3y)2 -2.5x2.3y + (5x2)2 = (5x2 - 3y)2 = (5x2)2 -2.5x2.3y + (3y)2 =
= 25x4 -30x2y + 9y2
B.4.3.- 3o caso: Produto da Soma Pela diferença indicada de dois termos
algébricos
(a + b) ×××× (a – b) = (a - b) ×××× (a + b) = a2 - b2
Calculando pelo dispositivo prático:
a + b a - b
- ab - b2
a2 + ab a2 - b2
××××
+
Regra: O produto da soma indicada pela diferença indicada de dois termos algébricos é igual
ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo.
Exemplos:
(a) (3 + x).(3 – x) = (3 - x).(3 + x) = 32 - x2 = 9 - x2
(b) (2x - 3).(2x + 3) = (2x + 3).(2x - 3) = (2x)2 - 32 = 4x2 - 9
54
(c) (5x2 + 3y) (5x2 - 3y) = (5x2 - 3y) (5x2 + 3y) = (5x2)2 + 2.5x2.3y + (3y)2 = 25x4 + 30x2y + 9y2
(d) (a2bc – abc2) . (a2bc – abc2) = (a2bc)2 – (abc2)2 = a4b2c2 – a2b2c4
B.4.4.- Cubo da Soma e Cubo da Diferença indicada de dois termos
algébricos:
(1) (a + b)3 = (a + b)2 × (a + b) = (a2 + 2ab + b2) × (a + b) =
= a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3 =
= a3 + 3a2b + 3a2b + b3
(2) (a - b)3 = (a - b)2 × (a - b) = (a2 - 2ab + b2) × (a - b) =
= a3 - 2a2b + ab2 + a2b - 2ab2 - b3 =
= a3 - 3a2b + 3a2b - b3
B.4.5.- Produtos notáveis envolvendo radicais:
Os produtos notáveis abaixo são muito importantes (note que vale a propriedade simétrica
da igualdade: se x = y então y = x). Veja que a finalidade do segundo fator no primeiro termo da
igualdade é conduzir o produto sempre a um mesmo resultado: a - b
(a) ba)b()a()ba)(ba()ba).(ba( 22 −=−=−+=+− onde ba − é
denominado conjugado de ba + , e vice-versa, isto é, ba + é o conjugado de ba − .
(b) ba)b)aba).(ba( 3 233 233 −=++− onde o conjugado de 33 ba − é 3 233 2 b)aba ++ ,
e vice-versa.
(c) ba)babbaa).(ba( 4 34 24 24 344 −=+++− onde o conjugado de 44 ba − é dado por
4 34 24 24 3 babbaa +++ , e vice versa.
B.4.6.- Produtos Notáveis – Aplicação na Racionalização de Denominadores
55
Na apostila anterior, Pré-Cálculo A, foi abordado o caso mais simples de racionalização de
denominadores. Agora, utilizando-se o produto da soma indicada pela diferença indicada de dois
termos algébricos adaptado aos números irracionais, vão ser analisados os casos mais complexos.
Exemplos:
(a) 321
32
32
32
)32()32(
)32(1
32
1+−=
−
−=
−
−=
−×+
−×=
+
O número irracional 32 − é denominado conjugado de 32 +
(b) )235(7
6
7
)235(6
1825
)235(6
2925
)235(6
)235()235(
)235(6
235
6+×=
+×=
−
+×=
×−
+×=
+×−
+×=
−
Note que: número irracional 235 − tem para conjugado: 235 + .
(c) 3333 233 2
3 233 233
3 233 2
33469
23
2233
)2233()23(
)2233(1
23
1++=
−
+×+=
+×+×−
+×+×=
−
Observar: no caso de um número irracional do tipo 233 − , devemos colocar o número 2
sob a forma de um radical de índice 3, assim, 333 333 832323 −=−=− que terá para
conjugado: .8833 3 233 2 +×+
(d) =−
+×+×+=
+×+×+×−
+×+×+×=
− 53
553533
)553533()53(
)553533(1
53
1 4 34 24 24 3
4 34 24 24 344
4 34 24 24 3
44
2
553533 4 34 24 24 3
−
+×+×+=
B.5.- Fatoração Algébrica – Casos de Fatoração
B.5.1.- 1o Caso de Fatoração: Colocação de fatores comuns em evidência
Exemplo:
5x2y + 10 xy2z = 5xy (x + 2yz)
importante deve-se verificar se o monômio que foi colocado em evidência multiplicado
pela expressão pela expressão do parêntesis resulta novamente na expressão inicial:
56
5xy (x + 2yz) = 5x2y + 10 xy2z
B.5.2.- 2o Caso de Fatoração: Fatoração do trinômio quadrado perfeito
Sabe-se que (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 e (a - b)2 = a2 - 2ab + b2, isto é, o quadrado de um
binômio é um trinômio denominado trinômio quadrado perfeito. Um trinômio quadrado perfeito
pode ser escrito como o quadrado de um soma ou uma diferença binomial.
Exemplos:
(a) x2 + 10x + 25 = x2 + 2.5.x + 52 = (x + 5)2
(b) x2 - 40x + 400 = x2 - 2.2.2.5.x + 202 = (x - 20)2
(c) 3 + 2 6 + 2 = 222 )23()2(2.3.2)3( +=++
(d) 22222 xy)3
1((xy)xy
3
12)
3
1(yxxy
3
2
9
1−=+××−=+−
(e) 1 – 6m3 + 9m6 = (1 –3m3)2
B.5.3.- 3o Caso de Fatoração – Fatoração da diferença de dois quadrados
Sabe-se que (a + b).(a - b) = a2 - b2 o que implica em: a2 - b2 = (a + b).(a - b).
Exemplos:
(a) x2 – y2 = (x + y).(x - y)
(b) 4a2x4 – x4y = (2ax2 – x2 y ).(2ax2 + x2 y )
(c) )5
4).(
5
4()
5
4).(
5
4(
25
162 +−=−+=− mmmmm
B.5.4.- 4o Caso de Fatoração: Agrupamento
A fatoração de uma expressão algébrica por agrupamento consiste na formação de grupos
envolvendo os termos da expressão, para que em seguida se possa aplicar um dos três casos
anteriores, de forma conveniente.
Exemplos:
(a) 2x2 – 3y + 6x – xy = (2x2 + 6x) - (3y + xy) = 2x(x + 3) – y (3 + x) = (3 + x) (2x – y)
(b) 1 – x4 = (1 + x2). (1 - x2) = (1 + x2). (1 - x).(1 + x)
(c) ab3 – a3b = ab(b2 – a2) = ab(b – a).(b+a)
57
(d) a3 – 10a2 + 25ax2 = a(a2 – 10a + 25x2) = a(a – 5x)2
(e) x4 – y4 = (x2 + y2).( x2 - y2) = (x2 + y2).( x + y).(x – y)
58
B.6.- Binômio de Newton
B.6.1.- Triângulo de Pascal e o Binômio de Newton
Os binômios (soma ou diferença indicada de dois monômios) elevados a expontes inteiros
não negativos podem ser transformados em polinômios, através de técnicas que envolvem o
triângulo de Pascal, que fornece os coeficientes do desenvolvimento.
B.6.1.1.- Triângulo de Pascal:
1 1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 ... ... ... ... ... ... 1
FÓRMULA dos números binomiais: n
pn
p!(n p
=
−
!
)!
B.6.1.2.- Propriedades do Triângulo de Pascal
1ª propriedade: Soma de dois elementos de uma linha: n
k
n
k
n
k
+
+
=
+
+
1
1
1
2ª propriedade: Soma de todos os elementos da linha: n n n n
nn
0 1 22
+
+
+ +
=...
3ª propriedade: Soma de elementos de uma coluna: k
k
k
k
k
k
n
k
n
k
+
+
+
+
+ +
=
+
+
1 2 1
1 . . .
n
nnnn...................
210
.................................
5
5................
1
5
0
5
4
4
3
4
2
4
1
4
0
4
3
3
2
3
1
3
0
3
2
2
1
2
0
2
1
1
0
1
0
0
Esquema de cálculo
dos elementos no
Triângulo de Pascal:
=
+
59
4ª propriedade: Soma de elementos de uma diagonal: k k k n
n k
n
n k0
1
1
2
2
1
+
+
+
+
+ +
−
=
+
−
. . .
B.6.1.3.- Os Binômios de Newton e a fórmula do Termo Geral
Os binômios de Newton são da forma: ( a + b )n, veja alguns exemplos:
( a + b )0 = 1 ( por definição - todo número elevado a 0 vale 1)
( a + b )1 = 1.a + 1.b ( por definição)
( a + b )2 = ( a + b ).( a + b ) =1.a2 + 2.a.b + 1.b2
( a + b )3 =(a + b).(a + b).(a + b) = ( a + b )2.( a + b ) = 1.a3 + 3.a2.b + 3.a.b 2+ 1.b3
( a + b ) 4 = ( a + b )2 .( a + b )2 = ( a + b )3.( a + b ) = 1.a4 + 4.a3.b + 6.a2.b 2+ 4.a.b3 + 1.b4
Complete o binômio a seguir:
( a + b ) 5 =___ a5 .b0+ ___ a4. b1 + ___ a3.b2+ ___ a2.b3 + ___ a.b4 +
Fórmula do Termo Geral:
60
B.7.- Resolução de Equações Polinomiais
B.7.1.- Equações Polinomiais do 1o Grau a uma variável
ax + b = 0 com a ≠ 0
Estas equações, as polinomiais do 1o grau a uma variável, são também denominadas
equações lineares a uma variável.
B.7.1.1.- Resolução e observações:
}a
b- {S
a
bxbax0bax =⇒
−=⇔−=⇔=+
Observações:
• O número real ab− é chamado raiz ou zero da equação.
• O conjunto S é denominado conjunto-solução da equação.
• Ao invés de S, alguns autores utilizam o V para dar nome ao conjunto dos zeros de
uma equação e neste caso o chamam de conjunto verdade da equação; este nome é
devido ao fato de que os elementos deste conjunto tornam a sentença algébrica (a
equação), verdadeira.
Exemplos:
(a) {-3}Sou 3}{V3x2
6x62x062x =−=⇒−=⇒
−=⇔−=⇔=+
• Note que o valor x = -3 torna a equação dada verdadeira ou ainda “o valor x = -3 zera a equação.
(b) {5}S5x4
20x204x0204x =⇒=⇒=⇔=⇔=−
(c) }3
7{V
3
7x073x =⇒=⇒=−
B.7.2.- Sistemas de Equações Lineares a Duas Variáveis
Há vários métodos de resolução para os sistemas lineares. O mais utilizado destes métodos é
o Método da Adição.
61
Exemplos:
(1)
2a = 6 ⇒ a = 3
+
=−
=+⇔
=−
=+
1b a
5b a
1ba
5ba
• Como a = 3 podemos substituir este valor em qualquer uma das duas
equações do sistema.
• Assim, substituindo o a na primeira equação vamos obter:
3 + b = 5 ⇒ b = 5 – 3 = 2.
• Logo temos a = 3 e b = 2 de onde o conjunto solução será dado por:
S={ (a,b) } = { (3,2) }
(2)
23y = 23 ⇒ y = 1
=+
=+⇔
−=−
=+
288y 10x -
-515y 10x
2)-por ar (multiplic 144y5x
5)por ar (multiplic -13y2x
• Como y = 1 e 2x + 3y = -1 que é a primeira equação do sistema linear
dado, podemos escrever: 2x + 3 × 1 = -1 ⇔ 2x + 3 = -1 ⇔ 2x = -4 ⇒ x = -2
• O conjunto solução deste sistema será: S = { (x,y) } = { (-2,1) }.
• As duas aequações do sistema linear dizem respeito aos mesmos valores de x
e de y. Por isto, podemos também, indiferentemente, substituir o valor de y na
segunda equação do sistema:
5x - 4y = -14 ⇒ 5x - 4×1 = -14 ⇔ 5x - 4 = -14 ⇔ 5x = -10 ⇒ x = -2.
(3) Você pode refazer o exemplo (2) multiplicando a primeira equação por 4 e a
segunda por 3. Tente isto e verifique que o resultado continua sendo o mesmo.
62
B.7.3.- Equações Polinomiais do Segundo Grau a uma variável
ax2 + bx + c = 0 com a ≠ 0
Esta equação será uma equação polinomial do 2o grau a uma variável se, e somente se, o
valor do coeficiente a for distinto de zero. Se a = 0 a equação passa a ser uma equação linears a
uma variável ou uma equação polinomial do 1o grau a uma variável.
B.7.3.1.- Resolução e observações:
Dada a equação ax2 + bx + c = 0 com a ≠ 0 vamos resolvê-la:
1o passo - explicitar o coeficiente c e multiplicar toda a equação por “4a", ou seja, multiplicar cada
um dos os termos da equação por “4a":
ax2 + bx = -c
4a2x2 + 4abx = -4ac
2o passo - adicionar b2 aos dois membros da igualdade:
4a2x2 + 4abx + b2 = b2 - 4ac
trinômio quadrado perfeito
3o passo - fatorar o trinômio quadrado perfeito presente no primeiro membro da igualdade:
(2ax + b)2 = b2 - 4ac
4o passo - extrair a raiz quadrada da equação toda
4ac - b2 b 2ax 4ac - b2 b) (2ax 2 ±=+⇒±=+
5o passo - explicitar o x (notar que: o segundo membro da igualdade pode ser dividido por “2a"
pois, como a ≠ 0, temos que 2a ≠ 0).
2a
4ac - b2 b x 4ac - b2 b2ax
±−=⇒±−=
que é a fórmula Resolutiva da Equação do 2o Grau.
63
0a com , 2a
4ac - b b x 0a com 0, c bx ax
22 ≠
±−=⇔≠=++
Esta equivalência nos indica que poderemos utilizar a Fórmula Resolutiva para obter as raízes das equações do 2o grau de maneira menos trabalhosa do que resolvendo passo a passo as equações .
64
Observação Importantíssima :
A equivalência algébrica: 0a com , 2a
4ac - b b x 0a com 0, c bx ax
22 ≠
±−=⇔≠=++ pode
ser demonstrada tanto no sentido de ida: ⇒, como no sentido de volta: ⇐, ou seja, a equivalância pode ser encarada como sendo duas implicações:
(ida: ⇒) 0a com , 2a
4ac - b b x 0a com 0, c bx ax
22 ≠
±−=⇒≠=++ (vide item A.7.3.1.)
(volta: ⇐) 0a com 0, c bx ax 0a com , 2a
4ac - b b x 2
2
≠=++⇒≠±−
= (é mais fácil de
serdemonstrada que a (ida: ⇒). Você deve tentar demonstrar esta implicação.
B.7.3.2.- Exercícios Resolvidos:
(1) Resolver x2 – 5x + 6 = 0.
Resolução:
Como x2 – 5x + 6 = 0 ⇒
=
−=
=
6
5
1
c
b
a
logo, substituindo estes valores na fórmula resolutiva da
equação do segundo grau, vem:
==−
=
==+
=⇒
±=
±=
−±=
×
××−−±−−=
22
4
2
15
32
6
2
15
2
15
2
15
2
24255
12
614)5()5(
1
12
x
xx
de onde se pode estabelecer que S ={ 2, 3 }.
• É sempre bom verificar se as raízes encontradas “realmente zeram” a equação, isto é, verificar se ao substituirmos os valores encontrados a equação se anula:
• x2 – 5x + 6 = 0 com x = 3 ⇒ 32 – 5 × 3 + 6 = 9 – 15 + 6 = 0 • x2 – 5x + 6 = 0 com x = 2 ⇒ 22 – 5 × 2 + 6 = 4 – 10 + 6 = 0
���� Justificativa: Quando se cometem erros de cálculos durante a utilização da fórmula
resolutiva, as raízes são afetadas por estes erros e conseqüentemente não zeram a equação.
(2) Resolver 25x2 + 10x + 1 = 0.
Resolução:
25x2 + 10x + 1 = 0 ⇒
=
=
=
1
10
25
c
b
a
de onde:
65
−=
−=
−=
−=
⇒±−
=±−
=−±−
=×
××−±−=
5
1
50
105
1
50
10
50
010
50
010
50
10010010
252
12541010
1
12
x
xx
de onde se pode estabelecer que S ={ 5
1−}, o que significa que esta equação possui duas raízes
reais iguais.
(3) Resolver 6x2 – x - 15 = 0 ⇒
−=
−=
=
15
1
6
c
b
a
⇒
50
3591
12
36011
62
)15(6411 −±=
−±=
×
−××−±=x no entanto, R359 ∉− o que nos leva à
seguinte conclusão: esta equação não possui raízes reais, ou seja, ela não tem solução no campo
dos números reais e seu conjunto solução em R (R = conjunto dos números reais) é vazio, isto é:
SR = { } ou SR = φ
CUIDADO: Esta equação tem solução no campo dos números complexos sendo que as suas raízes
são dois números complexos conjugados, do tipo a + bi e a – bi.
B.7.3.3.- Sobre as Raízes de uma Equação do 2o Grau – O discriminante ∆∆∆∆
A partir da fórmula resolutiva da equação do segundo grau pode-se fazer um estudo que
permite prever o tipo de raízes que serão obtidas após o cálculo. Adotando-se ∆ = b2 - 4ac, obtém-
se:
0a com ,2a
b
2a
4ac - b bx
2
≠∆±−
=±−
=
onde o ∆ é denominado discriminante da equação.
Voltando aos exercícios anteriores ( item anterior) podemos notar que:
para ∆ > 0 obtém-se duas raízes reais distintas
para ∆ = 0 obtém-se duas raízes reais idênticas
para ∆ < 0 não se obtêm raízes reais (há duas raízes complexas conjugadas)
66
B.7.3.4.- Resolução de Equações Incompletas do 2o Grau:
Há dois casos de equações incompletas do segundo grau:
1o Caso: ax2 + bx + c = 0 com a ≠≠≠≠ 0, b = 0 e c ≠≠≠≠ 0.
Exercício Modelo: 4 16 x 16 x 0 16 - x 22 ±=⇒±=⇒=⇒= x logo S={-4, 4}
2o Caso: ax2 + bx + c = 0 com a ≠≠≠≠ 0, b ≠≠≠≠ 0 e c = 0.
Exercício Modelo:
=⇒=
=⇒=×⇒=
808-x
0x 08)-(x x 0 8x - x 2
x de onde S={0, 8}
Observa-se que: as equações incompletas do 2o grau não necessitam ser resolvidas através
da Fórmula Resolutiva. No segundo caso como o produto x × (x - 8) = 0 é obrigatório que
um dos fatores seja nulo, isto é, x= 0 ou x = 8, para que a equação x × (x - 8) = 0 seja
satisfeita.
B.7.4.- Equações Polinomiais Biquadradas a uma Variável
Um tipo bastante particular de equação polinomial é a equação biquadrada:
0a com 2a
4ac - b2 b x 0a com 0 c bx ax 224 ≠
±−=⇔≠=++
B.7.4.1.- Exercícios Resolvidos:
(1) Resolver x4 – 13x2 + 36 = 0.
Resolução:
Como x4 – 13x2 + 36 = 0 ⇒
=
−=
=
36
13
1
c
b
a
logo, substituindo estes valores na fórmula resolutiva da
equação biquadrada, vem:
67
⇒
==
==
⇒±
=±
=−±
=×
××−−±−−=
42
8x
92
18x
2
513
2
2513
2
14416913
12
361413)(13)(x
2
2
22 ou
3} 2, 2, 3,{S
2x
2x
3x
3x
4x
ou
9x
4
3
2
1
−−=⇒
−=
+=
−=
+=
⇒
±=
±=
⇒
(2) Resolver x4 – 2x2 - 8 = 0.
Resolução:
Como x4 – 2x2 - 8 = 0⇒
−=
−=
=
8
2
1
c
b
a
⇒
−=
=
⇒±
=±
=+±
=⇒
2x
4x
2
62
2
362
2
3242 x
2
2
2 ou
2} 2, {S
R x
R x
2x
2x
R2-x
ou
4x
4
3
2
1
−=⇒
∉¬∃
∉¬∃
+=
−=
⇒
∉±=
±=
⇒
(3) Resolver x4 – 8x2 +16 = 0.
Resolução:
2} 2, {S
2x
2x
2x
2x
4x
ou
4x
4x
4x
2
8
2
08
2
64-648x
1
1
2
1
2
2
4 −=⇒
+=
−=
+=
−=
⇒
±=
±=
⇒
=
=
⇒=±
=±
= ou
(4) Resolver x4 – 2x2 +2 = 0.
Resolução:
} { S R2
4-2
2
8-42x 2 =⇒∉
±=
±=
B.7.5.- Estudo Sobre as Raízes das Equações Polinomiais
B.7.5.1.- Raízes ou Zeros de P(x) – O Teorema Fundamental da Álgebra:
• Ao igualarmos o polinômio a zero, o transformamos numa equação polinomial:
68
Considere o polinômio P(x) = x2 – 3x – 10. Deseja-se saber quais são os zeros ou raízes
deste polinômio. Para isto, vamos tomar P(x) = 0, isto é, vamos fazer x2 – 3x – 10 = 0, que é uma
equação polinomial do segundo grau, completa.
Resolvendo x2 – 3x – 10 = 0 obtemos: x = -2 e x = 5, que são as raízes ou zeros de P(x),
veja porquê: P(-2) = (-2)2 – 3 × (-2) – 10 = 4 + 6 – 10 = 0 e P(5) = (5)2 – 3 × (5) – 10 = 25 –15 –
10 = 0.
• Como ter certeza de que os únicos zeros de P(x) = x2 – 3x – 10 são –2 e 5?
Um fato notável sobre as equações polinomiais a uma variável é que: “ao grau da equação
corresponde o número de raízes ou zeros da mesma”. Esta propriedade que foi provada por Gauss
em 1799 e é conhecida como Teorema Fundamental da Álgebra.
No caso do polinômio P(x) = x2 – 3x – 10, δP=2 ( o grau de P(x) é igual a dois ou P(x) é do
segundo grau) teremos apenas duas raízes ou zeros, como –2 e 5 satisfazem à condição, não haverá
a possibilidade de existirem outras raízes.
• CUIDADO:
Por exemplo, o polinômio P(x) = x2 – 6x + 9 quando transformado em equação polinomial
x2 – 6x + 9 = 0 tem para conjunto solução S = { 3 }. Isto não indica que o polinômio tenha uma
única raiz, porque o 3 é uma raiz dupla de P(x)=0, ou seja, ao resolvermos a equação iremos
obter duas raízes iguais: x1 = x2 = 3.
B.7.5.2.- Relações entre Coeficientes e Raízes na Equação do 2o Grau
Seja ax2 + bx + c = 0 com a ≠ 0 e sejam a
acbbx
2
42
1
−+−= e
a
acbbx
2
42
1
−−−= as suas
raízes ou zeros.
• Adicionando as raízes: S = a
b
2a
2b
2a
4acbb
2a
4acbbxx
22
21
−=
−=
−−−+
−+−=+
• Multiplicando as raízes: P = =−−−
×−+−
=×2a
4acbb
2a
4acbbxx
22
21
a
c
4a
4ac
4a
4acbb
4a
4ac)b(b
2a2a
)4acb(b)(22
22
2
22222
==+−
=−−
=×
−−−=
69
• Resumindo: S = a
bxx 21
−=+ (soma das raízes) e P =
a
cxx 21 =× (produto das
raízes) são as relações entre os coeficientes e as raízes da equação do segundo grau denominadas
Relações de Girard.
B.7.5.3.- Exercício Resolvido:
Obter as raízes de x2 – 5x + 6 = 0 utilizando as relações de Girard.
Solução:
• Aplicando-se as Relações de Girard obtém-se:
===×=
==−
=+=
61
6
a
c P
51
5
a
bS
21
21
xx
xx
deve-se procurar agora, através de cálculo mental, dois números reais que adicionados resultem
S = 5 e que multiplicados resultem P = 6.
• É fácil estabelecer a hipótese: “ 2 e 3 satisfazem às condições S = 5 e P = 6”.
• É bom que adotemos como provisórios estes valores x1 = 2 e x2 = 3 para as raízes, pois
podemos nos ter enganado(!), para em seguida, verificar se eles realmente zeram a equação
dada, ou seja:
x2 – 5x + 6 = 0 para x = 2 e para x = 3 ?
• Vamos verificar:
para x = 2 ⇒ 22 – 5×2 + 6 = 4 – 10 + 6 = 0 e
para x = 3 ⇒ 32 – 5×3 + 6 = 9 – 15 + 6 = 0, o que confirma a hipótese inicial.
B.7.5.4.- Generalizando as Relações de Girard:
Para ax2+ bx + c = 0 ⇒
=×
−=+
a
c a
b
21
21
xx
xx
70
Para ax3+ bx2 + cx + d = 0 ⇒
−=××
=×+×+×
−=++
a
dxxx
a
cxxxxxx
a
bxxx
321
323121
321
Para ax4+ bx3 + cx2 + dx + e = 0 ⇒
=
=+++
=+++++
−=+++
a
exxxx
a
d-xxxxxxxxxxxx
a
cxxxxxxxxxxxx
a
bxxxx
4311
432431421321
434232413121
4321
4
Observar:
O processo de obtenção das Relações de Girard pode ser generalizado, ou seja:
• somando as raízes: ...xxxx 4321 ++++ se obtém a
b−;
• somando os produtos das raízes combinadas duas a duas:
......x...xx...xxxx...xxxxxx 4434232413121 ++++++++++ se obtém a
c;
• somando os produtos das raízes combinadas três a três se obtém a
d−, e assim por diante.
• Os resultados destes somatórios (de produtos combinados dois a dois, três a três, etc) são sempre obtidos em função dos coeficientes da equação, cujos sinais de – e de + vão se alternando: -b, c, -d, e, -f, g, -h, ... divididos pelo coeficiente a .
• A última relação entre os coeficiente e raízes da equação se apresenta como um produto único envolvendo todas as raízes da equação.
B.7.5.5.- Fatoração do Trinômio ax2 + bx + c
Quer-se fatorar o trinômio ax2 + bx + c = 0.
Solução:
[1] Coloca-se o ‘a’ em evidência : 0 a
cx
a
bxa cbxax 22 =
++×=++
71
[2] Adota-se )x(xa
b21 +−= e 21 xx
a
c×= : [ ] 0 )x(x x )x(x x a 2121
2 =×+×+−×
[3] Efetua-se os produtos: [ ] 0 x xx x-x xx a 21212 =+−×
[4] Fatora-se por agrupamento: [ ] 0 ) x(x x-) xx(x a 211 =+−×
[ ] 0 ) x(x )x-(x a 21 =+××
[5] de onde pode-se tirar que:
) x(x )x-(x a 212 +=++ cbxax
com a ≠ 0, x1 e x2 raízes da equação
B.7.5.6.- Exemplos:
(a) x2 – 5x + 6 = 0 tem para raízes 2 e 3, logo P(x) = x2 - 5x + 6 = (x – 2).(x –3)
(b) x2 + 4x - 5 = (x – 1).(x + 5) pois as raízes de x2 + 4x - 5 = 0 são 1 e –5.
(c) 4x2 – 4x + 1 = 0 tem raízes x1 = x2 = ½ logo: 4x2 – 4x + 1 = 4(x – ½).(x – ½) = 4(x – ½)2
B.7.5.7.- Escrita de Polinômios a partir das raízes – Exercícios Resolvidos:
(1) Escrever o polinômio tais que suas raízes sejam 4 e –2.
Solução: P(x)= (x – 4).(x + 2) = x2 – 2x - 8
(2) Escrever o polinômio tais que suas raízes sejam -1, 3 e 2.
P(x) = (x + 1).(x – 3).(x – 2) = x3 – 4x2 + x + 6
Confira os cálculos: x + 1 × x2 − 2x − 3 × x − 3 x − 2 − 3x − 3 − 2x2 +4x + 6x2 + x x3 − 2x2 −3xx2 − 2x − 3 x3 − 4x2 + x + 6
72
JALGB#01 – JOGOS PARA O PENSAMENTO ALGÉBRICO Nº 01 A ARITMÉTICA: BASE PARA O PENSAMENTO ALGÉBRICO
Neste JALGBR mostramos que a inter-relação entre a Aritmética e a Álgebra, é muito estreita e tremendamente poderosa, pois é praticamente impossível aprender Álgebra sem ter dominado perfeitamente as operações aritméticas e suas propriedades, bem como, saber aplicá-las na resolução de problemas matemáticos propostos através de enunciados linguísticos2.
1.1.- A Resolução de Problemas na Matemática
Creio, pela minha experiência, que a absoluta maioria dos professores de Matemática
concorda unanimemente que a leitura e a interpretação dos enunciados de problemas aritméticos –
mesmo os mais simples – nem sempre é uma tarefa das mais fáceis para maioria dos estudantes. Por
isto vamos a seguir discutir e propor uma série de procedimentos e/ou atitudes ‘saudáveis’ a serem
adotadas quando da resolução de problema que servem não somente para a Matemática, mas podem
ser estendidos para as mais diversas ciências mediante pequenas adaptações.
1.1.1.- Problemas: Resolvendo e Descrevendo os Passos da Resolução
Normalmente ao resolver um problema em Matemática, os seres humanos podem até relatar
os passos de resolução, mas geralmente o fazem de forma sucinta. Não envolvem nestes relatos
todos os avanços e recuos, tais como a compreensão do enunciado, as hipóteses feitas e descartadas,
as tentativas e os erros, eventos estes necessários para a consecução do objetivo que para ele parece
ser o principal: a obtenção de uma resposta aceitável.
1.1.1.1.- Sobre a Resolução de Problemas: Procedimentos e Atitudes
A tabela a seguir, apresenta cinco conjuntos de blocos que agrupam procedimentos e
atitudes, sob a forma de passos, que poderiam ser adotados ou seguidos durante a resolução de
problemas em geral. O uso destes passos tem como finalidade evitar a perda de informações muito
importantes sobre as habilidades intelectuais e estratégias cognitivas ali aplicadas, bem como a
perda de procedimentos e/ou atitudes que poderiam apontar para outros caminhos ou alternativas
válidas de resolução, possíveis para aquele tipo de problema.
2 A palavra ‘lingüístico’ é aqui utilizada no sentido ‘que tem por base a linguagem’, o que, no caso dos enunciados de problemas em matemática, implica no uso de uma linguagem especificamente clara e precisa. Em inglês o nome adotado é simplesmente: ‘word problems’.
73
Blocos Passos Procedimentos/atitudes
I 1 Perceber o(s) assunto(s) envolvido(s) no problema
I 2 Perceber os conceitos e objetos envolvidos no problema
II 3 Identificar subproblemas familiares no problema principal
II 4 Resolver os subproblemas familiares
II 5 Verificar a correção destas soluções parciais
III 6 Identificar os subproblemas não familiares no problema principal
III 7 Verificar conceitos e objetos utilizados em contextos não-familiares ou de modo ou forma não usual (prevenir a fixação funcional
3)
III 8 Estabelecer as possíveis ligações entre os subproblemas familiares e os não familiares
III 9 Tentar resolver os subproblemas não familiares
III 10 Verificar a correção destas soluções parciais
IV 11 Verificar comparativamente a correção das soluções parciais até aqui encontradas tentando convergir para a solução final
IV 12 Tentar a eliminação das soluções parciais não convenientes, na tentativa de estabelecer um caminho mínimo de resolução para o problema principal
V 13 Adotar e descrever a melhor solução encontrada para o problema principal
V 14 Preservar todas as anotações realizadas durante a resolução do problema para uma análise posterior, se necessário
1.1.1.2.- Percorrendo os Blocos Tabela de Procedimentos e Atitudes
Cada um dos blocos da tabela de Procedimentos e atitudes a serem observados durante a
resolução de um problema se apresentam como interdependentes. Este é um fato que deve ser
observado seriamente. Os possíveis caminhos que podem ser percorridos de um bloco para outro
são mostrados abaixo num diagrama de fluxo, o que visa realçar, esta interdependência entre os
blocos e os grupos de blocos.
3 fixação funcional [Dunker 1972] é um fenômeno cognitivo; ocorre quando não se entende um conceito ou um objeto, ou até mesmo um princípio, que estejam sendo usados num contexto distinto do costumeiro ou usado de uma forma não familiar.
74
I II III IV V
1.2.- O Pensamento Algébrico: Histórico
A palavra Álgebra aparece pela primeira vez como parte do título de um manuscrito árabe
possivelmente datado de 800 a.C. que continha regras para a resolução de certos tipos de equações.
A palavra Álgebra, segundo a edição 2001 do Dicionário Houaiss, provém do árabe: ‘al djabr’, o
que pode ser traduzido como “a redução” por causa das simplificações de escrita que essa técnica
matemática tornou possível.
Até o início do século XIX, Álgebra era o nome dado à Teoria das Equações.
A partir dos estudos mais aprofundados sobre as equações algébricas desenvolvidos por
Lagrange, Vandermonde e Gauss − que irão envolver necessariamente operações sobre entes
abstratos −, seguidos de estudos realizados por Abel, Cauchy e, sobretudo por Galois, chegar-se-á
Teoria dos Grupos de Substituições com Serret e Jordan nos meados do século XIX.
No início do século XIX, a representação dos números complexos, descoberta simultaneamente por
Argand, Wessel, Cauchy e Gauss, abriram um novo campo de pesquisa algébrica através dos
vetores, fazendo surgir a Álgebra Linear, com os matemáticos ingleses Hamilton, Cayley e
Sylvester e com Möbius e Grassmann, matemáticos alemães.
Em resumo: a partir dos meados do século XIX a Álgebra, que antes só se ocupava com o
estudo das equações, passa a dizer respeito também ao estudo de sistemas formais abstratos,
constituindo-se naquilo que passou a ser denominada: Álgebra Moderna.
Os sistemas formais abstratos envolvem conjuntos de símbolos, numéricos ou não, bem como o
estudo das propriedades e operações que possam ser realizadas com os mesmos, sobre os quais
falaremos na segunda parte deste livro.
1.2.1.- A Passagem do Pensamento Aritmético Para o Algébrico
A partir da 7ª série do Ensino Fundamental estes tipos de dificuldades – o da interpretação e
resolução de problemas matemáticos propostos através de enunciados linguísticos – irão se
75
intensificar de maneira incontrolável. É a partir desta fase da Escolarização Fundamental que,
devido à introdução dos conceitos, operações e propriedades dos polinômios e, a partir disto, da
introdução do conceito de equações algébricas, que a situação passa a exigir por si mesma uma
gama de conhecimentos bastante abstratos e/ou ‘técnicos’.
Além disto, as coisas se agravam quando pensamos na execução daquela tarefa já difícil no
campo da Aritmética – a da resolução de problemas matemáticos propostos através de enunciados
linguísticos –, somente que agora, por métodos algébricos. E pior, a resolução de problemas por
métodos algébricos que é, sem dúvida alguma, o ápice da aprendizagem neste campo, precisa de um
grande cabedal de informações e aprendizagens bastante complexas por envolverem um vasto
conjunto de propriedades, regras, procedimentos e atitudes, bem como a compreensão e aplicação
de métodos bastante elaborados.
1.2.2.- A Resolução Algébrica de Problemas
A efetiva resolução algébrica de um problema – que é de difícil execução pelos estudantes –
requer, entre outras coisas, a leitura e interpretação linguística, a codificação aritmética e a
transcodificação para o algébrico –, pelos seguintes motivos:
(a) O problema deve ser compreendido a partir da leitura e interpretação do enunciado, o que
poderíamos denominar: decodificação linguística, ou seja, o estudante tem que perceber através
de leitura o significado de um texto, muitas vezes bastante complexo e que normalmente
envolvem situações forçadamente artificiais que o educador acha(!?) que deveriam ser tomadas
como reais para aquele leitor;
(b) Entendido o texto – se é que isto ocorreu de forma completa –, o estudante passa à fase da
codificação aritmética, ele deve ‘pensar’ o problema aritmeticamente, ou seja, em termos das
estruturas aditivas e/ou multiplicativas4 presentes no problema, sendo que para isto ele tem que
recorrer;
(c) Entendido os aspectos aritméticos envolvidos no problema, segue a parte bem mais difícil
da transcodificação do-aritmético-para-o-algébrico, ou seja, o estudante precisa ‘escrever o
problema’ sob a forma de uma ou mais equações algébricas – estabelecer a relação entre os
valores numéricos e a incógnita ou incógnitas;
4 A adição pode ser pensada como sendo uma adição algébrica envolvendo tanto números positivos como negativos e a multiplicação pode ser pensada como envolvendo números inteiros e fracionários, fatos que introduzem a possibilidade de realizar não somente adições e multiplicações num sentido estrito, mas subtrações e divisões.
76
(d) Estabelecidas as equações algébricas, deve-se efetuas as "devidas" ou necessárias
manipulações algébricas, que levem o problema a uma resposta ou solução aceitável
algebricamente;
(e) Deve-se então, finalmente testar a(s) resposta(s) no problema.
1.3.- Escrevendo Propriedades Aritméticas de Forma Algébrica
Uma proposta pedagógica para se dar início na passagem do-aritmético-para-o-algébrico
que muito irá ajudar na compreensão das transcodificações aritmético/algébricas será o estudo das
propriedades da igualdade, da adição e da multiplicação escritas de forma algébrica, como serão
mostradas a seguir para a igualdade, a adição e a multiplicação.
O educador deve atentar para o uso dos símbolos da Lógica Matemática que deve ser
revisado com os estudantes tais como:
• Os símbolos de negação: ~ (não) ou ¬ (não)
• Os conectivos ∧ (‘e’ - conjunção), ∨ (‘ou’ - disjunção), ⇒ (‘ se ... então ...’ -
implicação) e ⇔ (‘... se e somente se ...’equivalência)
• Os quantificadores ∃, ∃|, ¬∃ (existenciais – respectivamente: ‘existe’, ‘existe um
único’ e ‘não existe’) e ∀ (universal: ‘qualquer que seja’)
1.3.1.- Propriedades da Igualdade
Estas propriedades podem ser estudadas na sua forma algébrica e podem ou não ser
acompanhadas na forma de grafos onde os arcos representam o sinal da igualdade. Veja a seguir as
duas formas de representação.
Utilizando os símbolos lógicos pode-se citar, se o educador achar necessário, que as
variáveis a, b, c utilizadas nas propriedades a seguir – dependo do nível de escolarização dos
estudantes –, são caracterizadas como sendo:
• ∀a,b∈N ou então ∀a,b,c∈N
• ∀a,b∈Z ou então ∀a,b,c∈Z
• ∀a,b∈R ou então ∀a,b,c∈R
• ∀a,b∈C ou então ∀a,b,c∈C
77
Observações:
• N = {0,1,2,3,4,5,...} é o conjunto dos números naturais
• Z = {0,±1, ±2, ±3, ±4, ±5,...} é o conjunto dos números inteiros
• R é o conjunto dos números reais e C é o dos números complexos.
• N ⊂ Z ⊂ R ⊂ C
1.3.1.1- Representação Algébrica
Propriedades da Igualdade Relação de Equivalência
• Reflexiva: a = a • Reflexiva: a R a
• Simétrica: a = b ⇒ b = a • Simétrica: a R b ⇒ b R a
• Transitiva: a = b ∧ b = c ⇒ a = c • Transitiva: a R b ∧ b R c ⇒ a R c
A igualdade é uma relação de equivalência.
1.3.1.2- Representação através de Grafos
a a
2º
1º
b a b a
c
3º
1º
2º
Reflexividade Simetria Transitividade
Propriedades da Igualdade
1.3.2.- Propriedades da Adição
Aqui está uma oportunidade para se introduzir de forma pedagógica perfeita o processo de
transcodificação do-aritmético-para-o-algébrico:
Para cada uma das propriedades da adição e em seguida para cada uma das propriedades da
multiplicação devem-se mostrar aos estudantes vários exemplos numéricos envolvendo números
não somente positivos, mas também negativos quando conveniente, com o intento de que os
78
estudantes possam fixar tanto as propriedades como os seus nomes. A partir disto, deve-se
introduzir a notação algébrica daquela propriedade, testando-as agora, com vários números, além
daqueles já utilizados nos exemplos numéricos anteriormente dados.
Chama-se a atenção do educador para o seguinte: não se deve nem tocar na conceituação
destas propriedades como: “Na Adição, a ordem das parcelas não altera a soma ou total” ou “Na
multiplicação a ordem dos fatores não altera o produto”, somente para citar dois exemplos. O que
se pretende aqui – e isto é o mais importante – é ligar fortemente o nome da propriedade à sua
notação algébrica.
1.3.2.1.- Propriedade Comutativa da Adição
Exemplos Numéricos: 2 + 3 = 3 + 2, 12 + 5 = 5 + 12 , etc.
Propriedade Comutativa da Adição
a + b = b + a
Testar a propriedade para: a = 9 e b = 7; para a = 21 e b = 32, etc.
1.3.2.2.- Propriedade Associativa da Adição
Exemplos Numéricos: (2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5), (12 + 5) + 7 = 12 + ( 5 + 7), etc.
Propriedade Associativa da Adição
(a + b) + c = a + (b + c)
Testar a propriedade para: a = 5, b = 8 e c = 2; para a = 23 e b = 18 e c = 10, etc.
1.3.2.3.- Propriedade do Elemento Neutro da Adição
Exemplos Numéricos: 2 + 0 = 2 ∧ 0 + 2 = 2, 12 + 0 = 12 ∧ 0 + 12 = 12, etc.
Propriedade do Elemento Neutro da Adição
a + 0 = a ∧∧∧∧ 0 + a = a
Testar a propriedade para: a = 9; para a = 21, etc.
Observação: Evidenciar que poderemos operar com o elemento neutro tanto pela direita como pela
esquerda do valor numérico graças à propriedade comutativa da adição: a + 0 = 0 + a.
79
1.3.2.4.- Propriedade do Elemento Oposto da Adição
Exemplos Numéricos: 7 + (−7)= 0 e (−7) + 7 = 0, (−12) + 12 = 0 e 12 + (−12) = 0, etc.
Propriedade do Elemento Oposto da Adição
a + (−−−−a) = 0 ∧∧∧∧ (−−−−a) + a = 0
Testar a propriedade para: a = 9; para a = 21, etc.
Observações:
• Observar que: o oposto de ‘a’ é o ‘−−−−a’ e que o elemento oposto de ‘−−−−a’ é o ‘a’. O
que pode ser mostrado numa reta numérica:
1 3 5 ... 2 4 6 −1 ... −2 −4 −6 −3 −5 0
O simétrico de 4 é –4 e o simétrico de −4 é o 4
• Evidenciar que poderemos operar com o elemento oposto aditivo tanto pela direita
como pela esquerda do valor numérico graças à propriedade comutativa da adição: a + (−−−−a)
= (−−−−a) + a.
• Alguns autores denominam o elemento oposto5 como sendo: o elemento inverso
aditivo.
1.3.3.- Propriedades da Multiplicação
1.3.3.1.- Propriedade Comutativa da Multiplicação
Exemplos Numéricos: 2 × 3 = 3 × 2, 12 × 5 = 5 × 12, etc.
5 As expressões: ‘oposto aditivo’ e ‘oposto multiplicativo’, bem como ‘inverso aditivo’ e ‘inverso multiplicativo’, são normalmente encontrados na literatura. Seja qual for a escolha, é bom ressaltar sempre o uso dos adjetivos ‘aditivo’ ou ‘multiplicativo’, deixando de lado o uso simples das palavras: ‘oposto’ e ‘ inverso’, que podem causa confusão em alguns casos.
80
Propriedade Comutativa da Multiplicação
a ×××× b = b ×××× a
Testar a propriedade para: a = 9 e b = 7; para a = 21 e b = 3, etc.
1.3.3.2- Propriedade Associativa da Multiplicação
Exemplos Numéricos: (2 × 3) × 5 = 2 × (3 × 5), (12 × 5) × 7 = 12 × ( 5 × 7), etc.
Propriedade Associativa da Multiplicação
(a ×××× b) ×××× c = a ×××× (b ×××× c)
Testar a propriedade para: a = 5, b = 3 e c = 2; para a = 10 e b = 5 e c = 4, etc.
1.3.3.3.- Propriedade do Elemento Neutro da Multiplicação
Exemplos Numéricos: 5 × 1 = 5 ∧ 1 × 5 = 5, 12 ×1 = 12 ∧ 1 × 12 = 12, etc.
Propriedade do Elemento Neutro da Multiplicação
a ×××× 1 = a ∧∧∧∧ 1 ×××× a = a
Testar a propriedade para: a = 9; para a = 21, etc.
Observação: Evidenciar que poderemos operar com o elemento neutro tanto pela direita como pela
esquerda do valor numérico graças à propriedade comutativa da multiplicação: a ×××× 1 = 1 ×××× a.
1.3.3.4.- Propriedade do Elemento Inverso da Multiplicação
Exemplos Numéricos: 7 × 7
1= 1 ∧
7
1 × 7 = 1, 12 ×
12
1= 1 ∧
12
1 × 12 = 1, etc.
Propriedade do Elemento Inverso da Multiplicação
a ×××× a
1= 1 ∧∧∧∧
a
1 ×××× a = 1
81
Testar a propriedade para: a = 9; para a = 21, etc.
Observações:
1. Evidenciar que poderemos operar com o elemento inverso multiplicativo oposto tanto pela
direita como pela esquerda do valor numérico graças à propriedade comutativa da
multiplicação: a ××××a
1= 1 ∧∧∧∧
a
1×××× a = 1.
2. Observar que o inverso multiplicativo de −a é a
1
− e que o inverso multiplicativo de
a
1
− é
−a.
3. Mostrar com exemplos que o sinal de menos é flutuante quando trabalhamos com uma
fração: 42
8
2
8
2
8−=
−=
−=− ou algebricamente
a
1
a
1
a
1
−=
−=− . Assim sendo
a
1− é o
inverso multiplicativo de ‘–a’, e vice versa.
4. Lembrar que a
1
− = a−1, assim: a × a−1 = a−1 × a = a0 = 1.
1.3.4.- Propriedades da Multiplicação com Relação à Adição
Exemplo Numérico: 2 × (3 + 5) = 2 × 3 + 2 × 5 ∧ (3 + 5) × 2 = 3 × 2 + 5 × 2
Propriedade Distributiva da Multiplicação
a ×××× (b + c) = a ×××× b + a ×××× c ∧∧∧∧ (b + c) ×××× a= b ×××× a + c ××××a
Testar a propriedade para: a = 3; b= 5 e c = 4; a = −2, b = 3 e c = −1; a = 5, b = −3 e c = −4, etc.
1.3.5.- Propriedade do Fechamento da Adição e da Multiplicação
Pode-se deixar de mencionar, pelo menos num primeiro momento, a propriedade do
fechamento tanto da adição como da multiplicação com relação aos conjuntos numéricos N, Z, Q
ou R.
O que pode ser dito é que quando aplicamos estas propriedades da adição ou multiplicação a
números naturais, por exemplo, os resultados sempre serão números deste mesmo tipo; o mesmo
82
ocorre para os demais conjuntos numéricos. É evidente que esta propriedade - a do fechamento –
também vale para os números reais e para os números complexos, mas isto não vem ao caso quando
estamos trabalhando com uma 7ª série e queremos introduzir conceitos de operações algébricas.
É evidente que em casos de estudantes mais interessados, nós poderíamos introduzir outras
propriedades operatórias – inclusive formalmente –, como muitas daquelas estudada no JARIT#04 –
A Axiomatização da Aritmética e os Conjuntos Numéricos – do volume desta coleção de Jogos Para
o Pensamento Lógico-Matemático intitulado “60 Jogos Para o Pensamento Aritmético”.
1.4.- A Ordem das Operações Aritméticas Fundamentais
São consideradas operações aritméticas toda e qualquer das operações: adição, subtração,
multiplicação, potenciação e radiciação quando envolvem apenas, como operandos, valores
numéricos (números reais em geral). No caso de envolverem além de números, símbolos que
possam substituir alguns destes valores numéricos, aquelas operações passam a ser denominadas
operações algébricas.
Dominadas as propriedades das quatro operações fundamentais da aritmética (adição,
subtração, multiplicação e Divisão) no conjunto N, deve-se introduzir a o conceito de ordem de
prioridade de realização de cada uma das operações.
Para se calcular o valor de uma expressão aritmética as operações devem ser realizadas em
uma ordem bem estabelecida: as multiplicações e as divisões devem ter precedência sobre as
adições e subtrações. Assim numa expressão aritmética deve-se
1. Resolver as multiplicações e divisões, ordenadamente, da esquerda para a direita;
2. Resolver restantes as adições e subtrações, ordenadamente, da esquerda para a direita.
1.4.1.- Vejamos Alguns Exemplos
Cabe ao educador apresentar aos estudantes expressões como as mostradas abaixo e treiná-los na
resolução das mesmas mostrando, sobretudo que a ordem das operações aritméticas deve
efetivamente ser estabelecida para que se evite o caos:
• 4 ×××× 7 + 1= 29 ou 4 ×××× 7 + 1= 32 ?
• 8 + 12 ÷÷÷÷ 4 = 5 ou 8 + 12 ÷÷÷÷ 4 = 11?
• 16 – 4 ¥ 3 + 12 ∏ 3 + 1 =______ ?
1.4.1.1.- Adotando a Técnica de Sublinhar as Operações Prioritárias
83
Nos exemplos a seguir nós sublinhamos as operações a serem realizadas em primeiro lugar
para mostrar ao leitor o que significa obedecer à ordem das operações conforme definida acima.
a) 7 + 5 × 4 − 2 + 12 ÷ 3 = 7 + 20 − 2 + 4 agora temos que entender que as operações por serem
binárias, devem ser realizadas passo-a-passo envolvendo apenas dois operandos (dois valores) a
cada passo:
1º passo: 7 + 20 = 27,
2º passo: 27 −2 = 25
e finalmente:
3º passo: 25 + 4 = 29.
b) 4 + 4 × 9 ÷ 2 × 3 = 4 + 36 ÷ 2 × 3 = 4 + 18 × 3 = 4 + 39 = 43. Note que as operações de
multiplicação e divisão foram sendo realizadas à medida que elas apareceram, rigorosamente da
esquerda para a direita, levando-se em conta que estas operações são binárias, isto é, envolvem
apenas dois operandos a cada vez.
c) Adotando um algoritmo para resolver este tipo de avaliação: Dispor os resultados de cada uma
das operações binárias (passo-a-passo) em linhas abaixo da expressão dada.
� Vamos aplicar este algoritmo para resolver os exemplos anteriores:
(a) 7 + 5 × 4 − 2 + 12 ÷ 3 =
7 + 20 − 2 + 4 =
27 – 2 + 4 =
25 + 4 = 29
(b) 4 + 4 × 9 ÷ 2 × 3 =
4 + 36 ÷ 2 × 3 =
4 + 18 × 3 =
4 + 54 = 58
1.5.- A Ordem das Operações Aritméticas Parentetizadas
As expressões aritméticas podem ser apresentadas com parênteses (cuja operação ‘colocação
de parênteses’ pode ser denominada parentesiação ou parentetização). A ordem de resolução dos
cálculos deve agora se ater primeiramente aos parênteses indo-se dos mais internos para os
externos, observando-se a ordem das operações aritméticas já discutidas anteriormente.
1.5.1.- Vejamos Alguns Exemplos
a) 3(4 – 2) + 12 ÷ (7 – 4) × (5 – 3) = b) ( 6 × (10 – ( 17 – 4 × 3) ) + (2 + 3) × 5 =
Vamos utilizar o algoritmo que usamos nos casos anteriores, somente que agora, atentando para os
parêntesis:
84
a) 3(4 – 2) + 12 ÷ (7 – 4) × (5 – 3) =
3 × 2 + 12 ÷3 × 2 =
6 + 4 × 2 =
6 + 8 = 14
b) ( 6 × (10 – ( 17 – 4 × 3) ) + (2 + 3) × 5 =
( 6 × (10 – ( 17 – 12) ) + 5 × 5 =
( 6 × (10 – 5 ) )+ 25 =
( 6 × 5 ) + 25 =
30 + 25 = 55
1.6.- A Ordem das Operações Potenciação e Radiciação
No caso de expressões aritméticas contendo potenciações e radiciações, elas têm precedência sobre
os parênteses, as multiplicações e divisões e sobre as adições e subtrações, que devem ser resolvidas
ordenadamente, da esquerda para a direita. Estudemos os exemplos a seguir:
a) 5 × 23 + 4 − 32 = 5 × 8 + 4 − 9 = 40 + 4 – 9 = 44 – 9 = 35
b) (2 + 32)(52 – 23) = (2 + 9) × (25 – 8) = 11 × 17 = 187
c) 9 + (23 − 3 8 ) × 3 − 5 = 3 + (8 – 2) × 3 − 5 = 3 + 6 × 3 – 5 = 3 + 18 – 5 = 21 – 5 = 16
1.7.- Resolução de Problemas: Erros Possíveis
Os erros ou equívocos, de acordo com a Psicologia Cognitivista, devem ser tomados como
objetos provisórios, passíveis de análise e necessitados de remediação. Estas ocorrências não devem
ser computadas ou punidas, mas remediadas, reencaminhadas racionalmente, analisadas pelo
educador para serem tomadas como contra-exemplos desde o início de uma dada aprendizagem. Os
erros e equívocos mais comuns e recorrentes devem ser estudados de forma diagnóstica sob a forma
de pré-testes e/ou pós-testes, de forma a se evitar no início, as suas ocorrências e, no futuro, as suas
repetições.
Nas tabelas a seguir os tipos de erros mais comuns (categorias de erros e suas respectivas
definições) cometidos durante a resolução de problemas (matemáticos) propostos através de
enunciados linguísticos, ou seja, sob a forma de um texto estruturado.
As tabelas a seguir foram baseadas no trabalho de Veillette & outros6, publicadas na revista
Didaskalia, especializada em educação, datada de setembro de 1993, sob o título:
6 [Veillette et alii 1993] Veillette, Michel & alii Système tutoriel intelligent pour la résolution de problèmes en thermodynamique. Didaskalia, No 1, septembre,1993. Consultado em 15 de fevereiro de 2013, Internet: http://documents.irevues.inist.fr/handle/2042/20082,
85
La causalité dans les raisonnements des étudiants,
que em português seria : A casualidade nos raciocínios dos estudantes.
A tabela existente no texto de Veillette, intitulado: “Système tutoriel intelligent pour la
résolution de problèmes en thermodynamique”, fazem parte do domínio de um STI - Sistema
Tutorial Inteligente / ITS – Intelligent Tutorial Systems, tendo que ter sido muitíssimo adaptada e
ampliadas ao serem trazidas para o nosso contexto. Os tipos de erros foram grupados segundo os
seguintes estágios do desenvolvimento da abordagem da resolução de um problema, conforme
mostraremos a seguir:
1. Erros cometidos durante a fase de leitura do texto (do enunciado lingüístico)
2. Erros cometidos durante a fase de resolução
3. Erros cometidos no momento de emitir a resposta
É evidente que alguns destes tipos de erros levam as respostas erradas, mas podem também
interromper o fluxo do raciocínio, não nos levando nenhuma conclusão.
Erros cometidos durante a fase de leitura do texto
Categoria Definição
1 Leitura errada
Adoção de um dado ou de uma hipótese a partir da leitura incompleta ou falha do texto do problema.
2 Leitura desatenta
Entendimento errôneo devido à desatenção, não sendo considerada uma leitura errada.
3 Interpretação errada do problema
Erro devido a uma interpretação errada do enunciado do problema, motivada por palavras, dados, símbolos, sentido, significado etc., não compreendidos.
4 Uso de subproblemas estranhos ao contexto
Erro ao dividir o problema principal em subproblemas não pertinentes ao contexto
Erros (equívocos) cometidos durante a fase de resolução
Categoria Definição
1 Erro de transcrição de dados
Erro cometido ao copiar (ou considerar) os dados durante a resolução do problema
2 Erro de formulação
Erro cometido ao tentar estabelecer a relação entre as variáveis e constantes do problema (formulações aritméticas, algébricas, trigonométricas, logarítmicas, etc.)
86
3 Erro de cálculo
Erro cometido ao efetuar cálculos (aritméticos, algébricos, trigonométricos, logarítmicos, etc.)
4 Uso de unidades de medida erradas ou indevidas
Erro devido à desconsideração ou ao uso de unidades de medida indevidas ou erradas (mistura de unidades)
5 Erro de arredondamento
Arredondamento indevido de dados memorizados ou obtidos por cálculo, ao longo da resolução do problema
6 Aplicação de um conceito de forma incompleta
Erro devido a um conceito comum, aplicado de forma incompleta, por ter sido mal assimilado
7 Conceito mal aplicado
Erro devido a um conceito comum, bem assimilado, mas aplicado de forma incorreta por erro de interpretação
8 Conceito desconhecido Erro motivado pela ignorância de um conceito
9 Aplicação de uma regra de forma incompleta
Erro devido a uma regra, uma fórmula, ou teorema aplicado de forma incompleta, por terem sido mal assimilados
10 Regra mal aplicada
Erro devido a uma definição, uma regra, uma fórmula, ou teorema, bem assimilados, porém aplicados de forma indevida – um equívoco
11 Regra desconhecida
Erro motivado pela ignorância de uma definição, uma regra, uma fórmula ou, de um teorema.
12 Utilização de regra falsa
Erro devido a uma definição, uma regra, uma fórmula, ou teorema, deformados ou inventados
13 Utilização negligente de regra
Propagação de erros devido à utilização negligente de uma regra, provocando, por exemplo, a adoção de dados incompletos, truncados ou inexatos.
14 Domínio mal assimilado
Erro motivado pela compreensão limitada ou incompleta do domínio de conhecimento
15 Domínio conhecido, mas mal delimitado
Erro motivado por aplicação de elementos que extrapolam o domínio de conhecimento
16 Desconhecimento do domínio Erro motivado pela ignorância do domínio de conhecimento
17 Adoção de hipóteses erradas
Erro cometido a partir da adoção de raciocínios não pertinentes que levem a hipóteses errôneas
18 Utilização de estratégia não permitida
Erro devido à utilização de uma estratégia ou de uma ferramenta cognitiva não permitida naquele contexto
19 Utilização de estratégia ineficaz
Erro devido à utilização de uma estratégia válida, mas não eficaz para a resolução do problema ou subproblema
20 Utilização de estratégia incompleta
Erro devido à utilização de uma estratégia eficaz para a resolução do problema, mas não conduzida a termo
87
Erros cometidos no momento de emitir a resposta
Categoria Definição
1 Erro de distração
Escolha de resposta errada motivada por confusão envolvendo: datas, nomes, arredondamento, escolha de unidades; confusão sintática ou semântica ocorrida na escolha de respostas escritas ou ao redigi-las
2 Erro voluntário
Resposta intermediária ou final voluntariamente modificada para se obter um resultado possível
3 Reposta absurda
Resposta intermediária, ou resposta final, escolhida de forma errada ou fora do contexto daquele problema
1.8.- Erros Cometidos Durante a Fase de Leitura do Texto
A leitura do enunciado de um problema e a sua correta interpretação linguística é a fonte
principal de erros que se propagam por todo processo de resolução. Uma interpretação errada do
enunciado pode invalidar completamente o raciocínio ou até mesmo resultar na interrupção do
processo de resolução, bem como invalidar completamente ou tornar inviável a emissão de uma
resposta. Por isto cabe recomendar ao educador, pelo menos num primeiro momento – aquele da
fixação de novos conteúdos –, que ele:
1. Escolha um vocabulário condizente com o nível de escolarização daquele a quem se
esteja propondo o problema;
2. Evite uma linguagem por demais complexa, circunvolutiva ou cifrada ao redigir o
enunciado;
3. Não misture unidades distintas de medida que exijam conversões complicadas para
adaptá-las ao raciocínio envolvido no problema, principalmente quando isto não for o
principal foco do que se propõe no enunciado;
4. Não tente mesclar no problema vários conteúdos de difícil identificação e
processamento naquela oportunidade.
Observamos que todas estas recomendações devem ser analisadas atentamente pelos
educadores, pois há casos dos mais desagradáveis que podem ocorre, como por exemplo: um
professor que acaba de introduzir o conceito de equações do segundo grau e que propõe a resolução
deste tipo de equações envolvendo o uso de operações com frações, radicais, bem antes da fixação
88
do conceito principal. A impressão que ficará nos estudantes ao não conseguirem obter as respostas
corretas é de que, eles não aprenderam a resolver as equações do segundo grau. Estes tipos de
exercícios devem ser aplicados com muitíssimo cuidado e geralmente devem ser mostrados pelo
próprio professor como outras possibilidades ou tipos de ocorrência de respostas.
1.9.- Erros Cometidos Durante a Fase de Resolução
Nos próximos itens iremos estudar alguns dos possíveis tipos de equívocos e/ou erros que
normalmente ocorrem devido a erros de fixação tanto dos conceitos como das regras algébricas.
Conceitos e regras da Álgebra, quando mal fixados, podem se perpetuar por toda vida escolar dos
estudantes, podendo ser levados por eles até mesmo à universidade. São equívocos de difícil
remediação depois que eles mal se fixam ou se fixam de forma errada, por isto, o educador deve
estar atento a cada passo do processo de aprendizagem da Álgebra por seus alunos.
1.9.1.- O Papel das Variáveis nas Expressões Algébricas
O papel das variáveis envolvidas no corpo das expressões algébricas – a em particular nas
equações e inequações – nem sempre é entendido de forma clara por muitos estudantes.
Com o objetivo de ampliar a visão dos educadores sobre o como os estudantes pensam sobre as
ocorrências das variáveis algébricas, vamos a seguir sugerir formas de explorar e testar a percepção
dos estudantes sobre o papel das variáveis nas equações algébricas em cada momento exato da
aprendizagem.
1.9.1.1.- Um Modelo de Teste-Diagnóstico Sobre o Uso das Variáveis
Este é um modelo de teste-diagnóstico de resposta aberta que aparece em várias publicações
constantes da literatura em língua inglesa sobre a verificação de concepções erradas de conceitos
algébricos (em inglês: ‘algebraic misconceptions’):
"Escreva uma equação usando as variáveis A e P para representar a afirmação:
‘Há seis vezes mais alunos do que professores nesta universidade’, usando as variáveis A para o número de alunos e P para o de professores."7
Em todas as suas ocorrências na literatura, este teste é apresentado normalmente seguido de
um índice percentual de respostas certas e/ou erradas, podendo ter sido aplicados em diferentes
7 “Write an equation using the variables S and P to represent this statement: "There are six times as many students as professors at this university." Use S for the number of students and P for the number of professors”.
89
níveis de escolarização, como no caso do anuário do NCTM de 1988 – página 128 (1988 Yearbook
– National Council of Teachers of Mathematic – page 128) aplicado em universitários.
Ele é um tipo de teste que permite aos educadores encontrarem os índices de acerto de suas
próprias turmas de estudantes, sendo que ao ser aplicado pelo autor do artigo da NCTM, obteve-se
como resultado: 63% de acertos/37% de erros.
O resultado deste teste, bastante inesperado e até mesmo constrangedor, diga-se de
passagem, por se tratar de uma resposta dada por universitários, foi o seguinte: os 37% (trinta e sete
por cento) dos estudantes universitários optaram pela alternativa "6A = P", não constatando que esta
resposta seria absurda, pois se teria “seis professores para cada aluno” ou, apenas como um
exemplo: "sessenta professores para cada dez alunos", o que seria o inverso do que solicitava o
enunciado do problema, isto é, seis vezes mais professores do que alunos. A resposta correta seria:
“A = 6P”.
1.9.1.2.- Repensando a Aplicação do Modelo de Teste-Diagnóstico
O teste-diagnóstico apresentado acima pode ser adaptado para a sua apresentação em sala de
aula, ou seja, pode ser apresentado sobre a forma um enunciado seguido de diversas alternativas de
respostas. Note que não se trata de transformá-lo em um teste de múltipla escolha – onde se espera
que apenas uma das alternativas seja verdadeira –, pois várias alternativas podem ser verdadeiras ao
mesmo tempo. O que se pretende com estes tipos de testes é buscar, entre as respostas possíveis,
qual delas se constitui a melhor das alternativas. Este é um tipo de ‘Jogo Para o Pensamento
Algébrico’ que nos permitirá vasculhar várias possibilidades de respostas todas verdadeiras.
Estes ‘jogos’ podem ser aplicados de acordo com a conveniência do momento, no conjunto
todo dos alunos de uma sala de aula sob a forma de pré-teste ou pós-teste. O educador verificará os
erros ou e tentará corrigi-los ou remediá-los, fixando os conceitos de forma correta através de
exaustivos exercícios de fixação quando necessário.
A melhor forma de aplicação, salvo melhor juízo do educador, é fazê-lo sob a forma de uma
discussão com todos os alunos, ou em grupos, usando apenas um teste e as suas alternativas. No
caso de salas de aula com sistema de projeção multimídia, devem-se projetar o teste ou os testes,
discutindo-os um-a-um, e as alternativas, também uma-a-uma, confrontando-as até esgotarem-se
todas as dúvidas dos alunos.
90
1.9.1.3.- O Modelo de Teste-Diagnóstico Adaptado ao Trabalho em Grupo
O teste-diagnóstico foi adaptado para apontar várias possibilidades de resposta, no entanto cabe ao
educador adequar o conjunto das respostas àquilo que ele pretende em termos de diagnóstico.
Qual ou quais das alternativas de resposta abaixo é a melhor para
representar a afirmação:
“Há seis vezes mais alunos do que professores na nossa escola’, usando as
variáveis A para o número de alunos e P para o de professores".
a) P = 6 + A
b) A = P + 6
c) P = 6 × A
d) A = 6 × P
e) A > P
f) P > A
g) P = A ÷ 6
h) Todas estão erradas
1.9.1.4.- O que se espera dos educadores e dos educandos:
• O educador não deve interferir nas discussões, deve estimular os alunos a pensarem
por si mesmos, interferindo somente quando for estritamente necessário.
• Espera-se que os estudantes devam chegar a conclusões do tipo:
� As respostas corretas que atendem ao enunciado são: (d) A = 6 × P e (g) P =
A ÷ 6
� A resposta (e) A > P é também verdadeira, porém não atende ao enunciado do teste.
� As demais respostas estão erradas, cabendo ao educador perguntar: O porquê
de cada uma destas demais respostas estarem erradas, e qual o significado algébrico
de cada uma delas.
1.9.1.5.- Um Conjunto de 15 Testes-Diagnósticos Sobre o Uso das Variáveis
Os testes a seguir mantêm as mesmas características do Modelo de Teste-Diagnóstico Sobre
o Uso das Variáveis estudado anteriormente, ou seja:
• Este é um tipo de ‘Jogo Para o Pensamento Algébrico’ que nos permitirá vasculhar
várias possibilidades de respostas verdadeiras e possíveis;
91
• Eles não são testes múltipla escolha – onde se espera que apenas uma das alternativas
seja verdadeira; várias alternativas podem ser verdadeiras ao mesmo tempo;
• A melhor forma de aplicação deste tipo de Jogo Para o Pensamento Algébrico, salvo
melhor juízo do educador, é fazê-lo sob a forma de uma discussão em conjunto, com todos
os alunos;
• Não é necessária a utilização de todas as alternativas, cabe ao educador escolher
aquelas que realmente interessam naquele instante pedagógico;
• No caso de salas de aula com sistema de projeção multimídia, deve-se discutir um-a-
um tanto os testes como as alternativas (verdadeiras e/ou falsas), até esgotarem-se as
dúvidas dos alunos;
• O educador não deve participar das discussões a não ser quando solicitado, ou
quando extremamente necessário para esclarecer as dúvidas mais contundentes.
Teste #01
���� Qual ou quais os valores de x satisfazem à equação: x + x + x = 12?
a) 3 + 4 + 5
b) 2 + 5 + 5
c) 4 + 4 + 4
d) 0 + 6 + 6
e) 0 + 0 + 12
Comentários:
Dependendo do nível de escolarização, muitos alunos apontarão que todas as alternativas como sendo verdadeiras, no entanto, a única verdadeira é a (c), pois a variável x que aparece nas três parcelas daquela alternativa deve assumir um valor único: x = 4, ou seja, cada uma das três parcelas da expressão vale x.
Teste #02
���� O binômio 4x + 4 é igual a:
a) 4(x+1)
b) x + x + x +x + 4
c) 2x + 2(x+2)
d) 4(x+2) – 4
e) 4x + 1
f) 6(x −2) + 2(−x + 16)
92
Comentários:
A única errada é a alternativa: (e). As demais alternativas são verdadeiras: em (a) basta aplicar a propriedade distributiva da multiplicação com relação à adição; em (b) basta agrupar os termos semelhantes; em (c), (d) e (f) basta realizar as operações indicadas e agrupar (adicionar) os termos semelhantes.
Teste #03
���� Analise a equação: x + y = x + m e diga em que condições ela é válida ou não válida?
a) Para x = y = m
b) Para x ≠ m e y = m
c) Para y = m e x qualquer
d) Para x ≠ m e y ≠ m
e) Para x = y = m = k, ∀k∈R
Comentários:
Aqui está um teste dos mais notáveis, pois requer um senso de observação bastante agudo. Aqui está um exemplo em que há várias respostas corretas, mas existem aquelas que denominamos ‘melhor resposta’. A alternativa (a), (b), (c) e (e) são verdadeiras, pois satisfazem à igualdade, no entanto a melhor das quatro respostas é a (c) por ser a mais genérica, podendo até mesmo ocorrer que x = m. A alternativa restante, (d), é falsa, não por causa do x ≠ m, mas por causa do e y ≠ m.
Teste #04
���� Analise a equação: x + y + z = x + m + z e diga em que condições ela é válida ou não válida?
a) Para x = y e y = m
b) Para x ≠ m e y = m
c) Para y = m e x qualquer
d) Para x ≠ m, y ≠ m e z ≠ m
e) Para x = y = z = m = k, ∀k∈R
Comentários:
A melhor forma de verificar a validade desta igualdade é substituir as variáveis por valores numéricos baseados em cada uma das alternativas, ou seja: em (a) adotar, por exemplo, x = y = 4 e m = 4. Como z pode assumir qualquer valor poderemos, sem perda de generalidade, adotar z = 7. Isto deve ser feito também com diversos valores numéricos para as demais alternativas.
93
Teste #05
���� Analise a equação: x + y + z = x + m + n e diga em que condições ela é válida ou não válida?
a) Para x = y e y = m
b) Para x ≠ m e y = m
c) Para y = m e x qualquer
d) Para x ≠ m, y ≠ m e z ≠ m
e) Para x = y = z = m = k, ∀k∈R
Comentários:
Recorra ao comentário da questão anterior para entender o mecanismo de teste para as alternativas.
Teste #06
���� Os valores que satisfazem à equação x + y = 12 são:
a) 8 e 4 ou 4 e 8
b) 5 e 7 ou 7 e 5
c) 2 e 10 ou 10 e 2
d) 6 e 6
e) 8 ou 4
f) Todas menos a alternativa (d)
g) Todas menos a alternativa (e)
Comentários:
Deve-se destacar aqui o uso do ‘ou’ (um conectivo lógico denominado disjunção) e o conectivo ‘e’ (denominado conjunção), no caso de alunos do Ensino Médio, deve-se analisar as tabelas verdades relativas a estes dois tipos de conectivos. As únicas erradas são as alternativas (e) e (f). A alternativa (e) afirma que podem satisfazer à equação tanto o x = y = 8 ou então o x = y = 4, observe que é isto que significa ‘8 ou 4’. No caso, seria correta então a alternativa ‘8 e 4’ que seria exatamente equivalente à alternativa (a). No final da análise das alternativas de (a) até (e) deve-se analisar as alternativas (f) e (g) quanto à validade.
Teste #07
���� Para que valores naturais as expressões algébricas a seguir produzem números naturais pares (ou ímpares).
a) x −3
b) x/3
94
c) 2x – 1
d) 2x + 1
e) 2x
f) 2x + 4
Comentários:
� Lembrar antes que o conjunto dos números naturais é: N = { 0, 1, 2, 3, 4, ...}.
Este teste pode ser abordado de duas formas distintas: buscando-se as alternativas que gerem números ímpares ou aquelas que gerem números pares. A solução é encontrada por testes exaustivos envolvendo números naturais. As expressões (a) e (b) podem produzir números pares ou números ímpares dependendo do valor de x. A expressão (c) pode produzir o número ímpar –1 que não é natural, mas produzirá certamente todos os números naturais ímpares: 1, 3, 5, 7, .... Já a expressão (d) produzirá todos os números ímpares naturais a partir do 1 (quando x = 0), enquanto as expressões (e) e (f) produzirão os números pares, sendo que (e) produzirá todos os números naturais pares e a (f) produzirá os números pares a partir do 4, quando x∈N.
Teste #08
���� Quais das expressões algébricas abaixo produzem somente números pares inteiros e quais delas produzem somente números ímpares inteiros.
a) x −3
b) x/3
c) 2x – 1
d) 2x + 1
e) 2x
f) 2x + 4
Comentários:
� Lembrar antes que o conjunto dos números inteiros é: ZZZZ = { 0, ±1, ±2, ±3, ±4, ...}.
Aqui o foco do problema muda dos números naturais para os números inteiros. Assim sendo, as fórmulas (c) e (d) indiferentemente, produzirão números ímpares, enquanto as fórmulas (e) e (f) dependendo da escolha adequada do x ∈Z. É bom verificar isto com os alunos de forma exaustiva para outros exemplos como: 2x – 7 ou 2x + 10, somente para citar alguns exemplos.
95
Teste #09
���� Verifique quais das igualdades a seguir são algum tipo de transformação obtido a partir da equação 6 – 3x = 0 e justifique-as:
a) −6 + 3x = 0
b) 12 – 6x = 0
c) 3 – x = 0
d) 3x – 6 = 0
e) 3x = 6
f) 3x = −6
Comentários:
As alternativas deverão ser justificadas quanto a serem verdadeiras ou não, e por que.
Teste #10
���� Numa lanchonete enquanto 4 clientes preferem ‘milkshake de morango’ = ‘M’, 5 deles preferem ‘milkshake de chocolate’ = ‘C’. A expressão algébrica que representa isto é:
a) 4M = 5C
b) 4C = 5M
c) 8M = 10C
d) 8C = 10M
e) 4M – 5C = 0
Comentários:
Vamos analisar numericamente as alternativas (a) e (b): • Em (a) fazendo M = 10 temos (a) 4 × 10 = 5C ⇒ 40 = 5C ⇒ C = 8, ou seja, para cada 10 milkshakes de morango são consumidos 8 milkshakes de chocolate. • Em (b) para M = 8 temos (b) 4C = 5 × 8 ⇒ 4C = 40⇒ C = 10 , ou seja, para cada 8 milkshakes de morango são consumidos 10 milkshakes de chocolate. • Apelando para as proporções de M para C e de C para M obteremos as seguintes relações:
(a) 4M = 5C ⇒ 4
5=
C
M e em (b) 4C = 5M ⇒
4
5=
M
C.
• É verdadeira a alternativa (b). • Quanto às demais alternativas, (c) é verdadeira, (d) é falsa e (e) é verdadeira.
Teste #11
���� Numa lanchonete de cada 10 clientes, 6 pedem lanches acompanhados de batatas fritas. Adotando-se C = lanche com batatas fritas e S = lanche sem batatas fritas, Isto pode ser expresso algebricamente como:
a) 10 S = 6 C
b) 2C = 3S
96
c) 4S = 6C
d) 4C = 6S
e) 4S − 6C = 0
f) 4C − 6S = 0
g) 4C + 6C = 0
Comentários:
Deve-se utilizar a mesma forma de raciocínio adotado no teste #10. São verdadeiras as alternativas: (b), (d) e (f). Teste #12
���� O vigia de um estacionamento anota a quantidade veículos estacionados durante um certo dia de como: M para motos e A para automóveis, como sendo que A = 7M. Isto significa que
a) Há mais automóveis que motos estacionados
b) Há menos automóveis que motos estacionados
c) Se M =10 então A = 70
d) Se A = 25 então M = 3
e) Se A = 77 então M = 11
f) Se M = 4 então A < 32
g) Se M = 4 então A > 32
h) Se M = 5 então A ≤ 35
Comentários:
Pode-se pensar a equação A = 7M como sendo, ou seja, é fácil ver deste modo que se deve dividir a quantidade de automóveis por 7 para se obter a quantidade de motos, ou seja, A > M. A alternativa (a) é verdadeira. São verdadeiras ainda as alternativas: (c), (e), (f) e (h). Teste #13
���� A medida de um pedaço P de uma corrente com 6 elos vale 30 cm, então podemos afirmar que um pedaço X de uma corrente com 30 elos, quando comparada à medida de P, satisfaz às seguintes equações e/ou inequações:
a) X = 6P
b) X = P
c) 5X = P
d) X = 5P
e) X > P
f) X < P
97
Comentários:
O raciocínio aqui é o seguinte: X >P e X é 5 vezes maior que P, ou seja: X = 5P. A alternativa e satisfaz à relação existente entre os valores X e Y Teste #14
���� Das desigualdades a seguir:
(1) 5 ≥≥≥≥ 5 (2) x ≥≥≥≥ 5 para ∀∀∀∀x ∈∈∈∈ {5, 6, 7, 8, 9}
(3) 5 ≥≥≥≥ x para ∀∀∀∀x∈∈∈∈ {5, 6, 7, 8, 9} (4) 5 ≤≤≤≤ x para ∀∀∀∀x∈∈∈∈ {5, 6, 7, 8, 9}
(5) x + 5 ≥≥≥≥ 0 para ∀∀∀∀x∈∈∈∈ N (6) x + 5 ≤≤≤≤ 0 para ∀∀∀∀x∈∈∈∈ {5, 6, 7, 8, 9}
a) todas as desigualdades são verdadeiras
b) a desigualdade (1) é falsa
c) são falsas as afirmativas (1) e (6)
d) a afirmativa (3) é falsa
e) são verdadeiras (1), (2), (4) e (5)
f) são falsas (3) e (6)
g) há somente uma desigualdade falsa
Comentários:
São verdadeiras as desigualdades (1), (2), (4) e (5). A verificação da validade destas desigualdades pode ser testada para cada um dos valores possíveis de x.
Teste #15
���� Das desigualdades a seguir:
(1) x ≥≥≥≥ 3 e x < 10, x∈∈∈∈N N N N
(2) y <7 e y < 14, y∈∈∈∈NNNN
então, sendo os valores da soma dos valores de x: ∑∑∑∑x (ler: ∑∑∑∑x como ‘somatório dos valores de x’), e a soma dos valores de y: ∑∑∑∑y (ler ∑∑∑∑y como ‘somatório dos valores de y’), podemos afirmar que:
a) ∑x < ∑y b) ∑x = 42 c) ∑x < ∑y d) ∑x + ∑y = 105 e) ∑y – ∑x = 21
g) a quantidade de ‘valores de x’ ≥ quantidade de ‘valores de y’
h) a quantidade de ‘valores de y ‘ ≥ quantidade de ‘valores de x’
Comentários:
Em (1) x∈ {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} logo ∑x = 3+4+5+6+7+8+9 = 42.
Em (2) y∈ {8, 9, 10, 11, 12, 13} logo ∑y =8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13= 63.
98
1.9.2.- Sobre os Erros na Aplicação de ‘Regras’ Algébricas
No JALGBR#06 iremos estudar a resolução de problemas através de métodos algébricos.
Ali nos parece um bom momento para apresentar uma lista dos erros mais comuns na aplicação de
regras algébricas, sejam eles cometidos por distração ou por falha na fixação dos conceitos.
1.9.3.- As Soluções da Equação e a Resposta do Problema
Os estudantes ao interpretarem um problema quantitativamente, ou seja, ao tentarem
interconectar estes valores numéricos de alguma forma que lhes pareça lógica ou cabível, precisam
de alguma maneira, recorrer ao seu cabedal de conhecimentos operacionais lógico-aritméticos. Este
é o instante em que ele testa de forma intuitiva a "aritmética do problema", que denominamos
codificação aritmética para, somente então, tentar transpor aquilo que percebeu ou intuiu, para a
notação algébrica, processo bastante complexo que denominamos acima transcodificação do-
aritmético-para-o-algébrico.
Agora o que poderá ocorrer é o seguinte: se ele cometer um erro ou omissão, por menor que
seja, na codificação algébrica daquele problema, toda a manipulação algébrica que ele levar a cabo
a partir dali, mesmo com eficiência e correção, restará inútil.
É exatamente no passo final da resolução de um problema por métodos algébricos, em que se
devem testar os valores encontrados como resposta, que aparece um dos maiores de nossos
problemas, que é o seguinte: aonde realizar este(s) teste(s), no conjunto das equações algébricas ou
no enunciado do problema? É aqui que se devem prever os seguintes tropeços:
• Pode ocorrer particularmente, que as expressões algébricas – propostas pelo
estudante para a resolução daquele problema –, não estejam em conformidade com o
enunciado do mesmo. As soluções satisfazem às equações, mas não resolvem o problema
proposto, pois as equações foram formuladas de maneira errada.
• Pode ocorrer que entre as soluções encontradas uma ou mais delas sejam não
pertinentes – denominadas raízes estranhas –, isto é, há a possibilidade de se encontrar
valores que resolvem a equação, mas não o problema. Vamos exemplificara seguir.
• A distinção entre o conjunto solução da equação relativamente ao conjunto solução
do problema nos mostra a necessidade bastante saudável – que deve se tornar um hábito –
de se buscar sempre a verificação da ‘qualidade’ e da conveniência das raízes encontradas
seja algebricamente, seja com relação ao enunciado do problema. Veja os exemplos a seguir.
99
1º Problema-exemplo:
Se a medida de um pedaço P de uma corrente com 6 elos vale 30 cm, queremos saber então o seguinte: podemos afirmar que um pedaço X de deste mesmo tipo de corrente, mas com 30 elos, mede:
a) X = 6P
b) X = P
c) 5X = P
d) X = 5P
e) X > P
f) X < P
Comentário: Note que as alternativas (a), (b), (c) e (f) são falsas, mas as alternativas (d) e (e) são
válidas, mas somente a alternativa (d), X = 5P, resolve o problema.
2º Problema-exemplo:
Este ano a temperatura mínima no inverno, em uma cidade cujo termômetro sempre marca temperaturas abaixo de zero, pôde ser obtida pela equação:
30)3x(
49040
2=
+− . Qual foi esta temperatura?
Comentário: Note que a solução da equação é S={-10, 4}, mas a solução do problema será sem
dúvida: -10.
3º Problema-exemplo:
“Sabe-se que a temperatura de objeto resfriado abaixo de zero graus satisfaz à
seguinte equação x2 −−−− 9x −−−− 36 = 0. Qual a temperatura deste objeto?”
Comentário: Já sabemos que o conjunto solução da equação é Sequação = {12, −3}, mas a raiz 12 é
uma raiz estranha ao problema, ou seja, é uma raiz imprópria como solução do problema, pois o
objeto está resfriado abaixo de zero, e portanto, deve estar com uma temperatura negativa. O
100
conjunto solução para o problema será o seguinte Sproblema = {−3}.
4º Problema-exemplo:
A temperatura mínima em uma cidade do sul do Brasil é dada pela equação irracional:
xx =+ 6
Qual é esta temperatura?
Comentário:
Vejamos a resolução da equação: xx =+ 6 ⇒ 26 xx =+ ⇒ 062 =−− xx ⇒ x= 3 ou x= −2.
Vamos testar as raízes na equação dada:
x = 3 ⇒ 363 =+ ⇒ 39 = (V) é raiz da equação
x = −2 ⇒ 262 −=+− ⇒ 24 −= (F) é uma raiz estranha ou raiz imprópria à equação
Logo o conjunto solução será: S={3}
No 3º problema-exemplo nós tivemos o caso de uma raiz estranha ao problema,
neste 4º problema-exemplo, nós temos uma raiz estranha à equação, ou seja,
uma raiz imprópria.
Com os exemplos acima pretendemos mostrar que as raízes obtidas em uma equação devem
ser sempre testadas, seja com relação ao enunciado do problema ou seja, em alguns casos, testada
na própria equação como mostramos no caso de equações irracionais.
1.10.- Conclusão: A Interligação entre a Aritmética e a Álgebra
É indiscutível que as noções da Aritmética Elementar se constituem numa base necessária
para a compreensão das noções iniciais da Álgebra. O treinamento intensivo na leitura
(decodificação linguística) e interpretação de enunciados de problemas aritméticos (codificação
aritmética) visando resolvê-los é que permitirão a compreensão e uso da codificação algébrica
(transcodificação do-aritmético-para-o-algébrico).
A partir da resolução de problemas aritméticos apresentados através de enunciados
linguísticos, poderemos passar à resolução algébrica destes mesmos problemas, e até mesmo de
outros mais complexos. A este processo pedagógico daremos o nome de transcodificação do-
aritmético-para-o-algébrico. No entanto, apenas a ‘transcodificação’ não basta para se solucionar
101
os problemas, é necessário o domínio do ferramental algébrico para resolver, a partir do primeiro
momento, pelo menos as equações algébricas lineares com uma variável, através de métodos
significativos para os estudantes, que permitam raciocínios claros, naturais e auto-explicativos.
Nos próximos dois JALGBR iremos apresentar dois métodos bastante intuitivos e facilmente
assimiláveis – por envolverem raciocínios extremamente lógicos – para resolver as equações
algébricas do primeiro grau a uma variável, bem:
(1) O método que envolve dois tipos de análise: o método da ‘simples inspeção’
seguido do método do ‘dividir para conquistar’. O primeiro método fornece as
bases para o uso do segundo.
(2) O método da balança de dois pratos: uma metáfora altamente racional e
lógica, em que os pratos da balança representam cada um dos membros de uma
equação algébrica linear a uma variável.
102
JALGB#02 – JOGOS PARA O PENSAMENTO ALGÉBRICO Nº 02 MAQUINAS METAFÓRICAS DE PROCESSAMENTO ALGÉBRICO
Neste JALGBR estudaremos uma forma de modernizar e dinamizar uma metáfora bastante utilizada na área de Educação Matemática: aquela em que se utiliza uma máquina que, permite a entrada de dados − sejam eles numéricos ou algébricos −, e que admite após o processamento funcional, uma saída numérica ou algébrica.
2.1.- Um Jogo Para o Pensamento Aritmético e/ou Algébrico
É tradicional na área da Educação Matemática a representação pedagógica das
transformações funcionais através da metáfora de máquinas que, ao receberem a entrada de valores
numéricos ou algébricos, os transforma a partir da lei funcional – que atua como sendo o
processador daquela máquina – nos valores de saída.
Esta metáfora geralmente é utilizada para explicar a noção de cálculo do valor numérico de
Funções Reais de Variáveis Reais dados os valores numéricos das variáveis, como nos exemplos a
seguir:
f(x)=4x+3
x=5
23
f(x,y)=4x+y
x=5 e y = -2
18
Há também a aplicação destas máquinas de forma bastante ilustrativa pra mostrar a
composição de funções como, por exemplo, na figura mostrada a seguir, em que uma função g(x) –
em azul - é introduzida numa máquina cujo processamento se faz a partir da função f(x) – em
vermelho. Note que a saída se dá na cor vermelha com um realce em amarelo:
Problema: Sendo dadas f(x) = 3x + 2 e g(x) = –2x+ 4 calcule f(g(x)) = ?
Solução: f(g(x)) = f(–2x+ 4) = 3(–2x+ 4)+ 2 = −−−−6x +12 + 2 = −−−−6x +14
103
f(x)=3x+2
g(x)= −−−−2x+4
−−−−6x +14
f(g(x))=
2.1.1.- A Máquina Metafórica Pode Processar Números e Polinômios
A metáfora da máquina de processamento pode ser destinada tanto para processar valores
numéricos como para processar expressões algébricas, como mostrado nos exemplos abaixo:
+(-3)
-5
-8
××××(-3)
-5
+15
××××(4x+y)
2y
8xy+2y2
2.2.- Modernizando a Máquina Metafórica
Vamos modernizar a metáfora da máquina de processamento de dados adotando os
computadores como sendo estas máquinas – mostradas na figura a seguir –, o que nos aproxima da
realidade, pois o mecanismo daquelas máquinas deixa muito a desejar quanto ao funcionamento. No
caso, os computadores poderão ser programados para realizar de fato aquelas operações de forma
absolutamente correta.
+(-3)
-5 -8
104
××××(-3)
-5 +15
××××(4x+y)
2y 8xy+2y2
2.2.1.- Uma Máquina Metafórica para Múlti-Processamento
Outra metáfora bastante interessante, proposta a partir do nosso primeiro modelo, é aquela
formada por um conjunto de máquinas acopladas que processam a entrada de um mesmo dado duas
vezes – ou até mais vezes dependendo do número de máquinas acoplados entre si –, antes de emitir
o resultado, o que se denomina multiprocessamento, como a mostrado abaixo.
Como um acréscimo interessante, vamos utilizar a nossa metáfora, como tendo para
processadores dois computadores acoplados entre si, onde acrescentaremos a possibilidade da
entrada de vários dados, bem como a possibilidade de várias saídas de acordo com as cores
escolhidas para cada uma daquelas entradas.
105
2.2.- Os Vários Modelos de Máquinas Metafóricas
A seguir iremos mostrar os esquemas que permitirão processar até mesmo várias operações
simultaneamente a partir de dados introduzidos na primeira máquina – no nosso caso, introduzido
no primeiro ‘computador’.
2.2.1.- Modelos de Máquinas Metafóricas com Duas Entradas
O leitor deve observar pelas cores a ordem das entradas e a ordem das saídas.
2.2.2.- Modelo de Máquinas Metafóricas com Três Entradas
Também no caso de modelos de máquinas com três entradas, o leitor deve observar pelas
cores a ordem das entradas e a ordem das saídas.
106
2.2.3.- Modelo de Máquinas Metafóricas com Dois Processadores
Abaixo apresentamos um modelo de máquina funcional metafórica com dois
computadores – dois processadores. Deve-se levar em conta que as entradas devem
corresponder, de acordo com as cores, às cores das saídas.
2.3.- Alguns Exemplos de Operações Aritméticas e Algébricas
A seguir vamos dar exemplos do uso das máquinas metafóricas para processamento e
multiprocessamento.
+5 12 17
××××(-5)
-7
3
35
-15
107
××××(-5)
-7
3
-15
35
+5
-7
-3
-2
2
-12 -7
××××-2
-7
-3
6
-6
3 14
X + 2y
4y
3xy
4xy+8y2
3x2y+6xy2
6x 6x2+12xy
2.3.1.- Outros tipos de Aplicação
As máquinas metafóricas podem ser utilizadas em exercícios onde:
1. Somente sejam fornecidas a entrada e a saída;
2. Somente sejam fornecidos os operadores e a saída.
2.4.- Máquinas Metafóricas Abstratas
O uso das máquinas metafóricas com os desenhos de computadores pode ser estendido a
desenhos mais abstratos como os mostrados a seguir:
108
Entrada Saída
Entrada Saída
Entrada Saída
Entrada Saída
2.4.1.- Alguns Exemplos de Aplicação das Máquinas Metafóricas
Os exemplos a seguir são todos algébricos, o educador, a partir deles, poderá criar seus
próprios exemplos numéricos ou algébricos.
2.4.1.1.- Problema Proposto #01
2y + 5x2
x2 +3x+4y–y2
Entrada Saída
109
2.4.1.2.- Problema Proposto #02
+ (2x – 2y + z) fatorar
4x + 2y – 13z
Entrada Saída
2.4.1.3.- Problema Proposto #03
×××× (x + y) - 4xy
(x + y)
Entrada Saída
fatorar
2.4.1.4.- Problema Proposto #04
fatorar Dividir por 2x
6xy2+2xy+4x2y
Subtrair y2+2xy multiplicar
Entrada Saída
Respostas:
2y + 5x2
x2 +3x+4y–y2 6x2+3x+6y–y2
Entrada Saída
+ (2x – 2y + z) fatorar
4x + 2y – 13z 6x – 12z 6(x – 2z)
Entrada Saída
110
×××× (x + y) - 4xy
(x + y) x2 + 2xy + y2 x2 −−−− 2xy + y2
Entrada Saída
fatorar
(x −−−− y)2
fatorar Dividir por 2x
6xy2+2xy+4x2y 2xy(3y+1+2x)
y(3y+1+2x)
Subtrair y2+2xy multiplicar
3y2+1+2xy 2y2+1
Entrada Saída
2.5.- Conclusão
O uso das metáforas na matemática deve substituir apenas temporariamente o conceito ao
qual elas se referem. Tão logo haja, por parte do estudante, a compreensão do conceito, deve-se
abandonar a metáfora até ali utilizada, voltando a mencioná-la apenas em caso de necessidade,
como por exemplo, quando da necessidade de retomada ou de recuperação daquele conhecimento.
111
JALGB#03– JOGOS PARA O PENSAMENTO ALGÉBRICO Nº 03 O JOGO DE TRÁS-PARA-DIANTE COM MONÔMIOS E BINÔMIOS
O Jogo aqui proposto se destina a verificar (fazer um diagnóstico da aprendizagem), revisar ou ajudar os seus alunos a fixarem a aprendizagem de conceitos algébricos envolvendo: operações com monômios e binômios num primeiro momento, que em seguida, poderão ser estendidas às operações com trinômios e até mesmo polinômios. Produtos notáveis e fatoração também poderão ser envolvidos nestes jogos.
3.1.- Sobre Monômios, Binômios, Trinômios e Polinômios
Este jogo – De-Trás-Para-Diante – pode ser visto no livro “60 Jogos Para o Pensamento
Aritmético” desta coleção envolvendo as operações adição, multiplicação e suas operações inversas
subtração e divisão com números naturais e números inteiros. Aqui iremos aplicá-lo nas operações
envolvendo monômios e polinômios.
Para isto o educador deve ter introduzido e explorado através de exercícios no mínimo os seguintes
conceitos algébricos:
• Monômio (ou termo algébrico)
• Coeficiente numérico e parte literal (variável ou incógnita) de um monômio
• Grau de um monômio
• Semelhança de monômios – termos semelhantes
• Monômios semelhantes e redução de termos semelhantes
• Operações fundamentais com monômios incluindo a potenciação
• Binômio, trinômio, polinômio
• Multiplicação monômios × binômios e binômios por binômios, etc.
• Produtos Notáveis
• Casos de Fatoração
3.2.- Modelo de Folhas com Operações na Horizontal
As figuras a seguir mostram as ‘Folhas para o Jogo De-Trás-Para-Diante’ a serem impressas
em papel sulfite comum na medida A-4. Elas são quadriculadas contendo 10 ou 20 linhas
(numeradas na primeira coluna respectivamente: de 1 a 10 ou de 1 a 20 – que correspondem à
quantidade de rodadas possíveis no jogo) e nove colunas (numeradas de 1 até 8, deixando-se sem
112
numeração a última coluna – que é mais estreita que as colunas anteriores ). Esta última coluna –
aquela sem numeração - se destina às anotações da quantidade de pontos obtida em cada rodada do
jogo.
113
3.3. Regras do Jogo
1) Vamos supor que seus alunos já dominam os conceitos (ou uma parte deles) dentre os
apresentados anteriormente no item 3.1. acima, envolvendo: Monômios, Binômios, Trinômios e/ou
Polinômios, e que você deseja verificar (fazer um diagnóstico da aprendizagem), revisar ou ajudá-
los a fixar a aprendizagem de alguns dentre estes tópicos.
2) Escolha o modelo de ‘Folha para o Jogo De-Trás-Para-Diante’ mais conveniente (o modelo
com 10 ou o modelo com 20 linhas) para o jogo que irá propor.
3) Você deve preparar antecipadamente as jogadas (em cada uma das 8 colunas da folha do jogo)
que deverão ser ‘ditadas’ uma a uma, pausadamente, para os seus alunos, e que eles deverão anotar
os resultados nas suas respectivas folhas e na linha correspondente àquela rodada do jogo. Veja o
exemplo de suas anotações (trazidas prontas de casa) e a de seus alunos, feitas durante o ‘ditado’:
1 2 3 4 5 6 7 8 “Dobro de x” “+ 3” “+ 4x “×××× 4” “+ 10” “÷÷÷÷ 8” “−−−− 6” “ 2x”
1 2 3 4 5 6 7 8
2x 2x + 3 6x + 3 24x+6 24x+16 3x + 2 3x −−−− 4 6x2−−−−8x
4) Distribua para cada aluno(a) a ‘Folha para o Jogo De-Trás-Para-Diante’ escolhida por você.
5) Após ter ditado o conteúdo de todas as colunas você irá dar as respostas. Desenhe na lousa as oito
colunas numerando-as de 1 a 8. E comece a dar as respostas de-trás-para-diante:
1 2 3 4 5 6 7 8
6x2−−−−8x
6) Solicite aos alunos que acertaram cada passo, que levantem a mão (aí estará a base para o seu
diagnóstico – pois nenhum aluno que errou qualquer um dos valores anteriores chegaria a este
último resultado).
7) Escrevendo a resposta da coluna 7, repita o processo de perguntar quem acertou.
1 2 3 4 5 6 7 8
3x −−−− 4 6x2−−−−8x
8) Continue a anotar as respostas coluna a coluna até chegar à coluna 1.
9) Peça aos alunos que anote a quantidade de respostas certas, que ele obteve
114
naquela linha, na última coluna:
1 2 3 4 5 6 7 8
2x 2x + 3 6x + 3 24x+6 24x+16 3x + 2 Errou Errou 6
10) Continue o jogo, passando a ‘ditar’ as operações constantes da próxima linha (que você elaborou
antecipadamente em sua casa).
3.4.- Sugestões
(1ª) Se você não tiver a ‘Folha para o Jogo De-Trás-Para-Diante’ você poderá improvisá-la
usando páginas de um caderno universitário e solicitando aos seus alunos que a desenhem (sugiro
que você desenhe a folha na lousa e forneça as medidas a serem consideradas para cada uma das
colunas). Na verdade, a confecção da folha pelos seus alunos – desde que as medidas sejam estudas,
sugeridas e aceitas por eles, para somente então serem padronizadas para toda a turma - é também
um belo exercício pedagógico.
(2ª) Você poderá utilizar estas folhas de jogos para revisar alguns assuntos específicos de
matemática desde que se possam encadear os cálculos ao longo das oito colunas.
Eis alguns exemplos dos assuntos a serem explorados através deste jogo:
• Operações com números Naturais
• Operações com números Inteiros
• Operações com números racionais
• Operações com números decimais
• Transformações de medidas (de comprimento, de massa e de volume)
• Operações com polinômios, incluindo-se aí os produtos notáveis e a fatoração
3.5.- Modelo de Folhas com Operações na Vertical
As figuras a seguir mostram as ‘Folhas para o Jogo De-Trás-Para-Diante’ um pouco
diferentes das duas folhas apresentadas anteriormente. Estas folhas do tamanho A4 se apresentam
com 4 ou 6 regiões, respectivamente numeradas de 1 a 6 ou de 1 a 4.
Pontos obtidos
115
Estas folhas se destinam ao trabalho com expressões algébricas mais longas (trinômios,
quadrinômios, etc). Aqui as operações devem ser realizadas de cima para baixo em cada das duas
regiões, sendo que a quantidade de acertos em cada uma destas regiões deve ser anotada no rodapé
da página e, em seguida, somada.
3.6.- Como usar as Novas Folhas do Jogo De-Trás-Para-Diante
1) Escolha o modelo de ‘Folha para o Jogo De-Trás-Para-Diante’ mais conveniente (o modelo
com 4 ou com 6 áreas de trabalho) para o jogo que irá propor.
116
2) Você deve preparar antecipadamente as jogadas (em cada uma das 6 ou então 4 linhas da folha
do jogo) que deverão ser ‘ditadas’ uma a uma, pausadamente, para os seus alunos, e que eles
deverão anotar os resultados nas suas respectivas folhas e na linha correspondente àquela rodada
do jogo. Veja o exemplo de suas anotações (trazidas prontas de casa) e a de seus alunos, feitas na
sala de aulas durante o ‘ditado’:
3) Distribua para cada aluno(a) a ‘Folha para o Jogo De-Trás-Para-Diante’ escolhida por você.
4) Após ter ditado o conteúdo de todas as linhas você irá dar as respostas, após ter desenhado na
lousa as 6 ou 4 linhas, parta do último resultado, e preencha uma a uma as demais linhas, até
chegar à primeira linha.
5) A cada nova linha preenchida por você peça aos alunos que acertaram para levantar a mão (isto
permite a você fazer um diagnóstico sobre a aprendizagem dos tópicos envolvidos no jogo).
3.7.- Comentário Pertinente
Em hipótese alguma, deixe de levar preparados antecipadamente os exercícios a serem
propostos para os seus alunos. Ao tentar improvisar as passagens de uma para a outra coluna/linha
você poderá se distrair e cometer erros que podem se propagar por todo o jogo, o que será não
somente constrangedor para você, mas confundirá seus alunos, fazendo-os imaginar que eles
erraram tudo (!), mesmo quando, pelo contrário, eles acertaram e foi você quem errou ...
117
JALGB#04 – JOGOS PARA O PENSAMENTO ALGÉBRICO Nº 04 A RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES ALGÉBRICAS LINEARES
Neste livro iremos apresentar três métodos de resolução de equações lineares algébricas a uma variável na seguinte sequência: [1] Método da ‘Simples Inspeção’, [2] Método da Inspeção com o uso de ‘Anteparo’ e [3] Método da ‘Balança de Dois Pratos’. Vamos estudar primeiramente o Método de resolução de equações algébricas lineares por ‘Simples Inspeção’ e em seguida, iremos apresentar Método da Inspeção com uso de ‘Anteparo’ que abrange a aplicação do método da ‘Simples Inspeção’ como um seu sub-método. Este segundo método é baseado no conceito do ‘dividir para conquistar’. O Método da ‘Balança de Dois Pratos’ será apresentada a seguir no JALGBR#05.
4.1.- Sobre as Igualdades e as Identidade
Há, basicamente, dois tipos de igualdades algébricas: as equações e as identidades.
Uma identidade algébrica é uma igualdade que permanece verdadeira para quaisquer valores das
variáveis que nela ocorram, enquanto as equações algébricas são igualdades que podem ser
verdadeira apenas para valores específicos das variáveis, ou seja, uma equação somente é tornada
verdadeira para alguns valores das variáveis.
Vamos exemplificar cada uma delas e estudá-las:
[1] 2x + 5 = x − 7
[2] 2x = x + x
1ª Abordagem: As expressões [1] e [2] são igualdades, até aí, as coisas estão indo bem, no entanto
vejamos o que ocorre quando tentamos calcular o valor de x:
[1] 2x + 5 = x - 7 ⇒ 2x − x = −7 − 5 ⇒ x = −12 , ou seja, esta igualdade somente é
satisfeita para x = −12.
[2] 2x = x + x ⇒ 2x − x − x = 0 ⇒ 0 = 0 e daí ?
2ª Abordagem: Veja que 2x = x + x é uma igualdade que é tornada verdadeira para todo e qualquer
valor de x∈R, ou até mais, é válida para todo e qualquer valor de x∈C. Vamos verificar:
Para x = 3 ⇒ 2×3 = 3 +3 ⇒ 6 = 6 (V)
118
Para x = −10 ⇒ 2 × (−10) = −10 + −10 ⇒ −20 = −20 (V)
Para x = 0 ⇒ 2 × 0 = 0 + 0 ⇒ 0 = 0 (V)
Ao calcularmos o valor da igualdade [2] para x = 0 retornamos ao resultado encontrado na
nossa 1ª Abordagem, quando tentamos resolver aquela igualdade. Na verdade a igualdade [2] pode
ser escrita como: ∀x, 2x = x + x o que não ocorre com a igualdade [1].
3ª Abordagem: A igualdade [1] é válida apenas para um único e determinado valor de x.
4ª ideia: Alguns autores sugerem que no caso das identidades dever-se-ia utilizar, ao invés do sinal
de igualdade, o sinal de identidade: ≡. Assim teríamos no caso de nossos exemplos:
[1] 2x + 5 = x - 7
[2] 2x ≡≡≡≡ x + x
4ª Abordagem: Na álgebra muitas são as identidades notáveis, como por exemplo, os denominados
produtos notáveis básicos:
• (a+b)2 ≡ a2 + 2ab + b2
• (a−b)2 ≡ a2 − 2ab + b2
• (a+b)(a−b) = a2 − b2
5ª Abordagem: Não somente na Álgebra, mas na Trigonometria, na Teoria dos Logaritmos, e
outras teorias no campo da matemática há muitas identidades notáveis, como por exemplo:
• sen2 x + cos2 x ≡ 1
• sen(x+y) ≡ sen x cos y + sen y cosx de onde se tira que:
sen 2x ≡ sen(x+x) = 2 senx cosy
• cos(x+y) ≡ cos x cosy − senx seny de onde se tira que:
cos 2x ≡ cos(x+x) = cos2 x − sen2x
• logb A × logb B ≡ logb (A+B)
119
• logb A ≡ blog
Alog
c
c que é a identidade que permite a mudança de base como em:
log4 8 ≡ 2
3
4log
8log
2
2 = ou seja: 86444 323
=== .
4.1.1.- Sobre a Quantidade de Raízes ou Zeros de uma Equação
O Teorema Fundamental da Álgebra estabelece que toda equação polinomial de uma
variável com coeficientes complexos (ou reais) tem pelo menos uma raiz complexa, ou seja, existe
um número complexo que ‘zera’ este polinômio.
Uma implicação – que para nós educadores parece mais importante – é que todo polinômio
de grau n a uma variável, com coeficientes complexos (ou reais), contadas as raízes múltiplas, tem
exatamente n raízes.
Pode-se mostrar a equivalência destes dois enunciados seja pela fatoração do polinômio de
grau n através de monômios do tipo x − ri, onde r é a raiz i do polinômio, com 1 ≤ i ≤ n, ou seja,
dividindo-se o polinômio dado – a através de sucessivas divisões – por fatores algébricos lineares
do tipo acima referido: x − ri.
4.1.1.1- Um Exemplo Importante / Um Jogos Para o Pensamento Algébrico
Gosto muito de apresentar este exemplo como sendo um Jogo Para o Pensamento Algébrico
depois de dar conhecer aos estudantes o Teorema Fundamental da Álgebra em sua versão mais
simples: “Todo polinômio inteiro em x de grau n tem n raízes ou zeros”.
Para que este exemplo possa ser tomado como um Jogo Para o Pensamento, o educador deve
apresentá-lo passo a passo de forma dialogada, explorando ao máximo cada uma das ideias ali
contidas.
1º Passo: Perguntar: Estas duas equações são iguais?
9=x 92 =x
Comentário: Normalmente os estudantes acham que elas são uma mesma equação – “Porque têm as mesmas raízes” –, mas isto não é verdade. A primeira equação é do primeiro grau e a outra é do
segundo grau. Isto ocorre porque muitos estudantes pensam que a 9 é igual a 3± , no entanto,
39 = .
2º Passo: Citar o Teorema Fundamental da Álgebra (TFA)
Resposta: esta equação terá somente uma raiz, pois, de
Resposta: esta equação terá duas raízes, pois, de acordo
120
e perguntar a quantidade de raízes de cada uma das equações.
acordo com o TFA, ela é uma equação do primeiro grau.
com o TFA, ela é uma equação do segundo grau.
3º Passo: resolva as equações. Primeiramente resolva a
equação 9=x explicando cada passo, em seguida resolva a equação 92 =x justificando todos os passos.
9=x
3=x
S = {3}
92 =x
9=x ? Sendo e 3=x ? ou
9±=x ? Sendo 3±=x ? Justificar a sua resposta.
Comentário: É incorreta a passagem “ 92 =x ⇒ 9=x ”, pois estaríamos transformando uma equação do segundo grau em uma equação algébrica do primeiro grau, o que acarretaria a perda de uma das raízes da equação do segundo grau (Vide o Teorema Fundamental da Álgebra).
Veja como ficarão as duas equações resolvidas, lado a lado, de forma comparativa, da
maneira a serem apresentadas aos estudantes.
9=x
3=x
S = {3}
Teste aqui a raiz −3 e veja:
não é possível que: 93 =−
92 =x
9±=x 3±=x
Testar as raízes 3 e −3! As duas raízes satisfazem à equação dada logo podemos escrever que:
S= {3, −3}
4.2.- Os Pensamentos Lógico-Aritmético e Lógico-Algébrico
O que queremos dizer com a passagem do Pensamento Aritmético para o Pensamento
Algébrico – neste quarto volume da coleção de livros de Jogos Para o Pensamento Lógico-
Matemático, em que se usam jogos visando a estimulação de aprendizagens significativas para
aquele que aprende, é o seguinte: estamos tentando encontrar um caminho que nos leve do
Pensamento Aritmético – através do uso intensivo do Pensamento Lógico – chegar ao Pensamento
Algébrico, tornando-o claro e praticável por aqueles que aprendem.
Na verdade, o que pretendemos é integrar e praticar através de uma nova maneira de pensar
a Matemática através de Jogos Para o Pensamento. Integrar as quatro áreas – a Lógica, a
Aritmética, a Geometria e a Álgebra – como sendo pedagogicamente uma só, e até mais, repensar a
Educação Matemática como um tecido complexo, mas bem estruturado e totalmente bem urdido e
cimentado pelo Pensamento Lógico e estruturado através de Jogos Para o Pensamento.
121
Pensamento Aritmético
Pensamento Algébrico Pensamento Lógico
Pensamento Geométrico
Através deste enfoque pedagógico, o de fazer o Pensamento Lógico servir como uma ponte
de ligação entre os Pensamentos Aritmético, o Geométrico e o Algébrico, eles se tornam
respectivamente: Pensamento Lógico-Aritmético, Pensamento Lógico-Geométrico e Pensamento
Lógico-Algébrico, três importantes componentes do que Piaget denominou Pensamento Lógico-
Matemático, cimentados solidamente pelo Pensamento Lógico.
4.2.1.- A Construção do Pensamento Algébrico a Partir da Aritmética
A construção do Pensamento Algébrico depende de forma prática e imediata, daquilo que as
crianças aprenderam dos conceitos da Aritmética aplicados à resolução de problemas enunciados
linguisticamente. Muitos educadores por não considerarem isto, irão provocar nos seus alunos com
idades entre 12 e 13 anos, dificuldades e traumas de proporções inimagináveis e possivelmente de
difícil remediação.
Aceito como evidente a necessidade dos estudantes conhecerem muito bem os conceitos e
processos da aritmética, bem como de suas propriedades, para realizarem as necessárias
transcodificação do-aritmético-para-o-algébrico (vide JALGB#01), podemos passar a considerar o
seguinte na passagem do pensamento aritmético para o pensamento algébrico:
• É preciso levar os estudantes a reconfigurarem os conceitos e propriedades da
Aritmética ampliando-os e adequando-os, para poderem utilizá-los de forma clara e
segura num novo contexto, agora abstrato, que é o que se pode dizer, pelo menos
inicialmente, do Pensamento Algébrico.
• A minha experiência no Ensino Fundamental me permitirá, sem medo de
errar, afirmar que: entre a aritmética e a álgebra há um "vazio" a ser preenchido –
que denominamos "vazios" cognitivos ou lacunas cognitivas –, uma vez que, na
práxis escolar, muitos professores não costumam preparar seus alunos para a leitura e
a interpretação dos enunciados dos problemas – em particular o de problemas
matemáticos. Os estudantes, ao longo dos anos iniciais de escolarização,
aprenderam muito pouco, ou não aprenderam nada, sobre a decodificação linguística
dos problemas aritméticos
122
• Em função desta deficiência, a transcodificação do-aritmético-para-o-
algébrico, mencionada no JALGB#01, se torna para eles um verdadeiro pesadelo,
algo que os levará certamente a não gostar de Matemática, pois não se pode gostar de
algo que não se compreende, algo que os aflige e possivelmente os fazem detestar a
Matemática.
4.3.- Sobre a Resolução de Equações Algébricas Lineares
A resolução das equações algébricas lineares desde muitos anos é ensinada através do
CONCEITO TREMENDAMENTE ERRADO que prevê a passagem de termos de um membro
para o outro da igualdade utilizando-se a “operação inversa” relativamente àquele termo
algébrico. Este procedimento cria o que muitos professores de Matemática denominam “regras(!)
de manipulação algébrica” que normalmente não funcionam para todos os casos – um conjunto de
regras não explícitas e que normalmente não podem ser escritas, passadas por ele verbalmente caso
a caso. Ou seja, estas regras só funcionam quando é o professor que as aplica, mas quando é o aluno
que tenta aplicá-las eles sempre acabam cometendo erros. Para o estudante – que não pode se apoiar
em nenhum ferramental lógico para compreender a extensão deletéria desta regra – a aprendizagem
se torna uma verdadeira desgraça e fruto de infelicidade e até mesmo de angústia.
O professor não consegue perceber o porquê do estudante não está entendendo aquilo que
ele tão bem entende – que para ele parece tão evidente. O que acontece é que o professor tem o
ferramental competente, mas o sustém de forma subliminar8, para justificar a regra do “passar o
termo para o outro membro da equação usando a operação inversa”, o aluno não desenvolveu
este tipo de ferramenta.
A regra do “passar o termo para o outro membro da equação usando a operação inversa”,
por ser extremamente generalizante, não explicitando com clareza o que pode e não pode ser feito,
acaba por provocar erros de forma recursiva e irremediável ao longo de toda a vida escolar daquele
estudante. Normalmente esta regra(?) é adotada pelo estudante como um mantra9 que sempre
deveria dar certo, mas não dá.
8Subliminar: que não ultrapassa o limiar da consciência, que não é suficientemente intenso para penetrar na consciência; subconsciente. 9 Do sânscrito: mantra 'instrumento do pensamento, fórmula mística ou invocatória, hino, oração', derivado do sânscrito ‘man’ = 'pensar'.
123
4.3.1.- Uma Sequência Correta de Métodos Pedagógicos
A nossa experiência mostrou que dois métodos perfeitamente pedagógicos podem ser
utilizados no processo de oportunizar a aprendizagem deste conteúdo escolar bastante problemático.
O primeiro deles pode, ou até mesmo, deve ser utilizado a partir dos primeiros anos de
escolarização, o segundo deve ser introduzido quando julgado conveniente pelo educador ou com
mais intensidade a partir da 7ª série do Ensino Fundamental.
Estes métodos são os seguintes:
1. O método da ‘Simples Inspeção’
2. O método da ‘Inspeção com o uso de Anteparos’,
3. O método da ‘Balança de Dois Pratos’: envolve uma metáfora altamente
racional e lógica, em que os pratos da balança representam cada um dos membros de
uma equação algébrica linear a uma variável. Este método será estudado no
JALGBR#05, a seguir.
4.4.- Equações Algébricas Resolvidas por Simples Inspeção
Já sabemos que um primeiro passo para se compreender com perfeição a transcodificação
do-aritmético-para-o-algébrico é compreender antes de qualquer coisa, os conceitos e propriedades
da Aritmética. O segundo passo que antecede a aprendizagem das "regras de manipulação
algébrica" é a compreensão do que seja o cálculo algébrico por simples inspeção.
Queríamos dar um nome ao processo bastante notável que consiste na resolução de equações
algébricas através de uma análise rápida e simples de seus dados. Por isto fomos buscar na Teoria
da Prova [de Teoremas] a expressão “por simples inspeção”, que apesar de pouco utilizada nos dá
uma pista do que queremos fazer:
• Simples - é aquilo que é elementar, não apresentando qualquer embaraço
para sua compreensão;
• Inspeção - é o mesmo que observar com grande atenção, olhar
minuciosamente;
O processo da simples inspeção associado ao processo de dividir para conquistar é, na
verdade, mais um método de leitura lógico-matemática que amplia a compreensão do que seja a
busca de solução para uma equação algébrica linear a uma variável. O que é triste, é que este
124
método infelizmente não pode ser aplicado a todo e qualquer tipo de equação algébrica linear como
veremos a seguir.
4.4.1.- Não se Trata de Preferência, mas de Aprendizagem Significativa
No entanto, há educadores que preferem (ou prefeririam) ver o conteúdo da passagem do
Pensamento Aritmético para o Algébrico ser abordado de forma abstrata, focado estritamente no
Pensamento Algébrico ‘quase-mágico’, através do que muitos deles denominam "manipulações
algébricas".
As assim, erroneamente, denominadas ‘manipulações algébricas’, que os educadores
supõem serem genuinamente baseadas nas operações inversas – “passar para o outro ‘lado’ da
igualdade com o sinal ou com a operação trocada”. Infelizmente, estes são ‘truques’ a serem
assimilados pelos estudantes sem explicação nem justificativa, e que devem ser dogmaticamente
aplicados, como se estas ‘regras’ fossem naturalmente triviais e pudessem ser classificadas como
sendo em algum tipo de aprendizagem significativa.
Vale então ressaltar que, muitas crianças e jovens são capazes de resolver equações
algébricas até bastante complexas através de manipulação após longo e exaustivos treinamentos,
mas isso não implica que eles entendam e principalmente compreendam o motivo pelo qual
executam aqueles procedimentos algébricos apenas decorados, e mais, eles não estarão participando
de um jogo de codificação/decifração de códigos o que, sem dúvida alguma, seria muito mais
prazeroso, significativo e possivelmente perene para todos eles.
4.4.2.- Uma Primeira Abordagem do Método da Simples Inspeção
A utilização do processo de simples inspeção faz com que a criança aprenda a "jogar" um
jogo simbólico dos mais significativos para ela. Não dando a elas esta chance, até que bastante
lúdica e bem do gosto de crianças entre 12 e 13 anos, o educador estará perdendo a oportunidade de
mostrar que uma equação é um código, e que muitas destas equações podem ser decodificadas
através de raciocínios bastante simples.
A seguir iremos fazer uma análise de ideias que podem ser exploradas visando a
aprendizagem do Método da Simples Inspeção para a resolução de equações algébricas – mesmo
nos anos iniciais de escolarização, para somente então introduzir o método do dividir para
conquistar.
125
4.4.2.1.- Alguns Exemplos
É muito comum encontrar, mesmo nos primeiros anos de escolarização, expressões como as
apresentadas abaixo, denominadas sentenças abertas. Sugere-se que o leitor deva pensar em outras
alternativas, até mais inteligentes que as anteriores.
• � = 9 − 4 então � = ____
• 5 + 4 = � logo � = ____
• Se � + 3 = 7 podemos afirmar que � = ____
• � + � + 3 = 11 então � = ____
• � + 4 = 5 + 4 ⇒ � = ____
• � + 6 = 7 + 6 ⇒ � = ____
• � −6 = 15 ⇒ � =____
• 2 × � − 5 = 11 ⇒ � =____
• � ÷6 = 5 ⇒ � =____
• 7 × � − 1 = 62 ⇒ � =____
• 2 × � − 1 = � + 4⇒ � =____ (A ser resolvida por tentativas: fazer � = 1, 2, 3, ...)
Todas estas expressões podem ser resolvidas através de raciocínios lógicos bastante simples,
basta inspecionar cada uma delas para se descobrir o valor da variável, neste caso, representada por
� - normalmente chamada de quadradinho pelos educadores. Nada impede, no entanto, que outros
símbolos além do ‘quadradinho’ sejam utilizados para representar uma variável: �, ����, ����, ,
dando-se sempre preferência a figuras geométricas cujo interior esteja vazio, o que sugere a
possibilidade de que seu interior seja preenchido pelo valor verdade daquela sentença aberta
matemática.
4.4.2.2.- A Utilização de Variáveis Literais
Na etapa da aprendizagem do Método de Resolução de Equações Algébricas por Simples
Inspeção nem sempre se usa referenciar as variáveis por letras do alfabeto, como: x, y, z, ou outras
como a, b, c, etc, e muitos menos, referenciá-las por letras gregas como: α, β, δ, γ ou θ,
respectivamente: alfa, beta, delta, gama e teta, como se fará mais tarde ao longo dos demais anos de
escolarização.
Vamos mostrar o raciocínio envolvido na resolução de uma equação algébrica bastante imediata:
• Seja x + 4 = 9
126
• Suponhamos que depois da aprendizagem sobre as sentenças abertas com símbolos
geométricos a criança, ao observar a equação compreendeu que o valor que deve ser atribuído
ao x será 5, ou seja, a sentença aberta x + 4 = 9 pode ser tornada verdadeira quando
substituímos o x por 5, ou seja:
x + 4 = 9 então x = 5, ou melhor, x + 4 = 9 ⇒ x = 5
• Deve-se aproveitar esta oportunidade para introduzir o conceito de conjunto solução como
em ou conjunto verdade:
S = {5} ou V = {5}
• O valor da variável (ou incógnita) x foi encontrado por simples inspeção. Este é um
procedimento que, apesar de bastante limitado (não é extensível a todos os tipos de equações
algébricas), deveria ser bastante valorizado no campo da Educação Matemática.
• No tocante à adoção dos conceitos de conjunto solução ou conjunto verdade para apresentar
a "resposta" da equação, o educador deve verificar a oportunidade ideal para a sua introdução,
para que o processo de aprendizagem não se torne sobrecarregado ou carregado de fatos não
oportunos.
• Gosto muito de afirmar que o conjunto solução geralmente faz referência às raízes de uma
equação e que o conjunto verdade faz referência às raízes que satisfazem ao enunciado do
problema, adotando quando necessário Sequação e Sproblema, é bastante natural afirmar-se que o
conjunto verdade também poderá ganhar a notação: Vequação e Vproblema, mas que um conjunto
verdade é aquele que torna verdadeira seja a equação seja o problema, mas que eles
geralmente não precisam ser exatamente iguais entre si como foi mostrado no JALG#01.
4.5.- Equações Algébricas Lineares: Dividir para Conquistar
As equações algébricas imediatas, como as que foram vistas, podem ser resolvidas sem a
necessidade de nenhum outro tipo de análise que não seja uma inspeção direta sobre os termos da
daquela equação, no entanto, em alguns casos é preciso um pouco mais que isto. A estratégia que
iremos empregar a seguir se denomina “dividir para conquistar” e a meu ver é parte integrante do
método que estamos utilizando aqui. Vamos ver o que é isto.
4.5.1.- Sobre a Técnica Dividir Para Conquistar
A estratégia ou técnica denominada “dividir para conquistar” (do inglês: divide and
conquer) foi utilizada pela primeira vez por Anatolii Karatsuba em 1960 para resolver um problema
127
que envolvia o desenvolvimento de um algoritmo computacional. Esta técnica consiste em dividir
um problema maior em problemas menores encadeados ou em grafos arborescentes, até que o
problema principal possa ser resolvido através da combinação dos resultados de todos os problemas
menores seguindo-se o encadeamento de-trás-para-a-frente.
4.5.1.1.- Um Exemplo da Técnica Dividir Para Conquistar
Um problema clássico que pode ser resolvido através desta técnica – dividir para conquistar
– é o da Torre de Hanói. Abaixo mostramos uma Torre de Hanói com 5 discos:
4.5.1.2.- As Regras do Jogo
(1) Todos os discos devem ser movidos para o terceiro dos mastros;
(2) O segundo mastro deveria ser utilizado como suporte auxiliar para estes movimentos;
(3) Um a um, ou seja, apenas um por vez, os discos devem ser transferidos de um mastro
para outro;
(4) Um disco de diâmetro maior nunca poderá ser colocado, num dado mastro, sobre um
disco de diâmetro menor;
(5) Nenhum disco pode ser alocado fora destes três mastros;
(6) A tarefa deve ser realizada com o menor número possível de movimentos.
4.5.1.3.- Aplicando a Técnica do Dividir Para Conquistar
A regra de número (6) exige que a quantidade de movimentos seja mínima. Calcular
diretamente o número mínimo de movimentos para os 5 discos se torna muito difícil. Assim, o
problema deve ser dividido: primeiramente estudamos os movimentos mínimos para 2 discos,
depois para 3, e assim por diante até chegar aos 5 discos.
Para cumprir a tarefa prevista na regra (3) acima para uma quantidade qualquer ‘n’ de discos
iremos deduzir, no JALGB a seguir, uma fórmula algébrica que permita exprimir a quantidade
mínima de movimentos para quaisquer quantidades de discos.
128
Na verdade, tanto este quebra-cabeças foi criado por um matemático francês
Edouard Lucas em 1883 e esta lenda foi também inventada por ele.
O quebra-cabeças de Lucas possuía 8 discos.
4.5.2.- Exemplos da aplicação do Dividir para conquistar
4.4.3.1.- Primeiro Exemplo
• Consideremos agora a equação:
5x + 7 = 22
Haverá muitas crianças que não irão "adivinhar" a solução desta equação somente pela
aplicação direta do método da simples inspeção, por isto iremos apelas para uma estratégia
denominada “dividir para conquistar”, que significa tentar ‘dividir’ o problema em vários
subproblemas mais simples e resolve-los um-a-um. O educador deve realçar que estamos
trabalhando com códigos, que o valor a ser encontrado é o valor do x. Sendo assim, podemos fazê-
las compreender facilmente que agora o nosso código pode ser escrito como: anteparo + 7 = 22,
ou seja, isto quer dizer que se deve "tampar" o "5x" com um pequeno anteparo, e suponhamos, sem
perda de generalidade, que o nosso anteparo assuma a forma de ‘quadradinho’ (�), ao
reescrevermos a equação, ou seja:
� + 7 = 22
note que acabamos recaindo no caso do exemplo anterior, de onde, através de um simples
raciocínio, pode-se obter:
� = 15 (1)
de onde, "retirando-se" o anteparo (isto é, substituindo-o pelo 5x):
5x = 15 (2)
finalmente podemos ter:
x = 3 (3)
o valor x = 3 deve ser testado na equação original 5x + 7 = 22, devendo torná-la verdadeira.
Se isto ocorrer, então poderemos escrever que:
S = {3} ou V = {3}.
129
Uma observação Pedagógica Importante
A escolha da equação 5x + 7 = 22 se deu por motivo pedagógico. Note que ela exige
um raciocínio mais elaborado do que, por exemplo, o raciocínio envolvido ao resolvermos a
seguinte equação 2x + 5 = 9.
Faça um teste com seus alunos: Solicite que ele resolva as seguintes equações:
(a) 7x + 12 = 75
(b) 5x + 7 = 27
Pergunte em seguida qual delas é mais fácil de ser resolvida.
4.4.3.2.- Segundo Exemplo
• Consideremos a equação:
63
85=
+x
• Na equação deve-se usar um anteparo sobre a expressão 5x + 8
= 6
3 �
• Em resumo, queremos saber qual o número que dividido por 3 resulta 6. Ou seja, é o 18.
• Suponhamos que o nosso anteparo apresente o símbolo de um quadrado, obtendo-se:
� = 18 de onde 5x + 8 = 18.
• Se 5x + 8 = 18, trocando-se o 5x por ����, obtemos ���� + 8 = 18 ou seja ���� = 10.
• Se ���� = 10 então 5x= 10 e fica muito simples verificar que x = 2.
• E finalmente teremos: V = {2}.
4.4.3.3.- Terceiro Exemplo
• Consideremos a equação:
1175
83=+
+x
• Veja abaixo a sequência de passos para resolvê-la:
130
1175
83=+
+x⇒ � + 7 = 11 ⇒ � = 4 ⇒ 4
5
83=
+x⇒ = 4 ⇒ � = 20 ⇒
⇒ 3x + 8 = 20 ⇒ ���� + 8 = 20 ⇒ ���� = 12 ⇒ 3x = 12 ⇒ x = 4 ⇒ S = {4}
5 ����
• O educador deve chamar a atenção dos estudantes para as seguintes substituições,
enfatizando que a escolha dos símbolos pode ser qualquer
� = 5
83 +x, � = 3x + 8 e ���� = 3x
4.4.3.4.- Quarto Exemplo
• Consideremos a equação:
30)3x(
49040
2=
+−
• Veja abaixo a sequência de passos para resolvê-la:
−⇒=+
− 4030)3(
49040
2xα = 30 ⇒ α = 10 ⇒ 10
)3(
4902
=+x
⇒ 10β
490= ⇒ β = 49 ⇒
⇒ (x+3)2 = 49 ⇒ x + 3 = ± 49 ⇒ x + 3 = ± 7 ⇒ 73x
73x
−=+
=+⇒
10x
4x
−=
= ⇒ S ={−10, 4}
4.4.3.5.- Quinto Exemplo
• Consideremos a equação:
x93x −=−
É possível resolver a seguinte equação: x93x −=− , pelo Método da Simples Inspeção
usando anteparos?
Vejamos a solução pelo método da Manutenção da Igualdade:
131
dada.] equação a para imprópria raiz uma é '12' raizA [ }7{
equação] na soluções as[Testar
7
12
08419
18813)9(393
2
22
=⇒
⇒
=
=
⇒=+−⇒
⇒+−=−⇒−=−⇒−=−
S
x
ou
x
xx
xxxxxxx
NOTA →→→→ Não se conseguirá resolver este tipo de equação pelo método
da inspeção com o uso de anteparos.
4.4.3.6.- Uma Pesquisa a ser realizada
Sugerimos que o educador faça a seguinte pesquisa:
Obtenha exemplos de equações algébricas nas quais não se pode aplicar o Método de Inspeção com
ou sem o uso de anteparos, nas quais o método a ser aplicado deverá ser o método da Manutenção
da Igualdade – leia sobre a metáfora da Balança de Dois Pratos no JALGBR#05 a seguir.
4.6.- Comentários Finais
O leitor deve perceber que o Método da Inspeção com o uso de Anteparo incorpora de forma
implícita, como um submétodo, o da Simples Inspeção. Por sua vez estes dois métodos devem ser
ampliados para o Método da Balança de Dois Pratos. O diagrama de Venn-Eüler abaixo mostra a
relação de inclusão existente entre estes três métodos que devem ser abordados de forma
seqüencial, como mostraremos neste e no seguinte JALGB.
Método da Simples Inspeção
Método do Anteparo
Método da Balança de Dois Pratos
O método de resolução de equações lineares a uma variável previsto neste JALGB – Método da
Simples Inspeção associado ao Método do Anteparo – não tem a possibilidade de aplicação
extensível a todos os tipos de equações lineares. Por isto, no JALGB a seguir iremos ampliar o
nosso campo de ação introduzindo Método da Balança de Dois Pratos.
132
JALGB#05 – JOGOS PARA O PENSAMENTO ALGÉBRICO Nº 05 AS EQUAÇÕES ALGÉBRICAS E A BALANÇA DE DOIS PRATOS
A representação de uma equação algébrica linear através da metáfora da balança de dois pratos deve ser precedida do estudo da resolução de equações algébricas por simples inspeção e por análise (vide JALGB anterior). A conjugação destes três métodos para representar e resolver uma equação algébrica de uma variável oferece aos estudantes oportunidades de realizar aprendizagens significativas e bastante satisfatórias em termos da plena compreensão intelectual do que ele está realizando.
5.1.- Equações Algébricas e a Metáfora Balança de Dois Pratos
A metáfora que associa uma balança de dois pratos a uma igualdade algébrica é muito útil
para justificar a adoção das operações inversas. O Método permite justificar de forma clara e
objetiva todas as passagens algébricas. O que o educador deve realçar no caso das equações
algébricas lineares é o seguinte: o que se pretende é isolar a variável no primeiro membro e o
resultado numérico no segundo membro.
A Resolução de Equações Algébricas lineares com o uso da Metáfora da Balança de Dois
Pratos deve ser aplicada utilizando-se dois tipos de folhas avulsas como as mostradas a seguir:
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
133
1. Folha Avulsa com as Balanças de Dois Pratos: Inicialmente os estudantes
devem utilizar uma folha de papel sulfite A4 com os desenhos das balanças de dois
pratos para acompanhar as resoluções apresentadas pelo professor e depois para
resolverem os exercícios propostos;
2. Folha Avulsa com as Simples Igualdades: Fixado o método, deve-se alternar
este modelo de folha avulsa para a das simples igualdades, que permitirá desenvolver
a resolução de equações que possuam um maior número de passos.
O leitor encontrará nos exemplos a seguir a forma de se anotarem as operações e
propriedades aplicadas a cada passo nas transformações das igualdades envolvidas na resolução
das equações algébricas lineares, seja na Folha Avulsa com as Balanças de Dois Pratos, seja na
Folha Avulsa com as Simples Igualdades.
5.2.- Resolvendo de Novo as Equações do JALG Anterior
A seguir retomaremos as três equações resolvidas pelo “Método do Dividir para Conquistar
seguido da Simples Inspeção”, resolvendo-as pelo método da Balança de Dois Pratos, para em
seguida, mostrar uma série de exemplos resolvidos de equações mais complexas.
5.2.1.- Primeiro Exemplo
• Consideremos a equação:
5x + 7 = 22
• O educador deve frisar, a cada um dos próximos passos, que o que queremos é o valor de
x.
• Seja simular a balança de dois pratos que também denominada balança algébrica.
5x + 7 22 =
Deve-se justificar muito bem cada um dos passos a seguir, destacando sempre que a
idéia é ‘isolar’ o x no primeiro membro da equação, fazendo tudo para manter os pratos da
balança em perfeito equilíbrio.
134
O educador deve ainda recorrer ao Método do Anteparo estudado no JALGBR
anterior como um recurso a mais para analisar as aplicações, tanto das propriedades da
igualdade, como as aplicações das operações necessárias para as transformações ocorridas
com a igualdade algébrica.
5x + 7 22 =
−−−−7 −−−−7
5x 15 =
÷÷÷÷5 ÷÷÷÷5
x 3 =
5.2.2.- Segundo Exemplo
• Consideremos a equação:
63
85=
+x
• Seja utilizar a metáfora da balança de dois pratos para resolver a equação dada:
Lembrar o que foi feito anteriormente quando usamos o Método de Resolução por Simples Inspeção:
anteparo + 7 = 22
135
3
85 +x
6 =
3
85 +x
6 =
××××3
××××3
85 +x 18 =
−−−−8 −−−−8
x5 10 =
÷÷÷÷5 ÷÷÷÷5
x 2 =
O educador deve adotar as flechas
vermelhas apontando para baixo
quando os valores de cada um dos pratos
da balança, mantendo-se equilibrados,
aumentarem, seus pesos. As flechas
vermelhas apontando para cima
indicarão que os pratos estão sendo
aliviados de parte seus pesos.
Lembrar o que foi feito anteriormente quando usamos o Método de Resolução por Simples Inspeção:
= 6
3 �
136
5.2.3.- Terceiro Exemplo
• Consideremos a equação:
1175
83=+
+x
• Seja utilizar a metáfora da balança de dois pratos para resolver a equação dada:
75
83+
+x
11 =
75
83+
+x
11 =
−−−−7 −−−−7
5
83 +x 4 =
××××5
××××5
83 +x 20 =
−−−−8 −−−−8
Lembrar o que foi feito anteriormente quando usamos o Método de Resolução por Simples Inspeção:
� + 7 = 11
Lembrar o que foi feito anteriormente quando usamos o Método de Resolução por Simples Inspeção:
= 4
5 �
Lembrar o que foi feito anteriormente quando usamos o Método de Resolução por Simples Inspeção:
� = 20
137
x3 12 =
÷÷÷÷3 ÷÷÷÷3
x 4 =
5.3.- Exemplos Resolvidos de Equações Mais Complexas
Continuaremos a apresentar alguns exemplos de resolução de equações mais complexas.
Estes tipos de equações, bem como os diversos caminhos de resolução – quando os há –, devem ser
apresentados aos estudantes com cuidado, caso a caso, e sob a estrita supervisão do educador.
Muitos destes casos podem ser propostos como estudos em grupos para motivar a discussão
sobre a resolução das equações algébricas lineares pelo método de multicaminhos. Para mais
informações vá para o JALGBR#08 – nele iremos abordar as ideias teóricas sobre a resolução de
problemas matemáticos por múltiplos caminhos, isto é, a resolução ‘multicaminhos’ de problemas
matemáticos.
5.3.1.- Quarto Exemplo
• Consideremos a equação:
1145 −= x
• Este é um caso que deve ser explorado muitíssimo bem pelo educador, mostrando que há
vários caminhos de resolução para este tipo de equação.
Há três modos de abordar este caso:
138
1º MODO:
5 = 4x −−−−11
Vamos aplicar na igualdade acima a propriedade simétrica da igualdade: “Se a = b então b = a”.
4x - 11 = 5
4x −−−− 11 = 5
+11 +11
4x = 16
÷÷÷÷4 ÷÷÷÷4
x = 4
139
2º MODO:
5 = 4x - 11
−−−−4x −−−−4x
Vamos “multiplicar a igualdade por – 1”:
−−−−4x + 5 = −−−−11
××××(−−−−1) ××××(−−−−1)
4x −−−− 5 = 11
+5 +5
4x = 16
÷÷÷÷4 ÷÷÷÷4
140
x = 4
3º MODO:
5 = 4x - 11
+11 +11
16 = 4x
÷÷÷÷4 ÷÷÷÷4
4 = x
Vamos aplicar na igualdade acima a propriedade simétrica da igualdade: “Se a = b então b = a”.
141
x = 4
5.3.1.1.- Grafo de Resolução Multicaminhos da Equação 5 = 4x – 11
A seguir são mostrados dois grafos de uma mesma equação algébrica linear mostrando
alguns dos caminhos de resolução possíveis para aquela equação. No primeiro caso as passagens
algébricas são apenas mostradas sequencialmente, enquanto no segundo grafo aparecem etiquetas
indicativas não somente das propriedades, como a indicação das operações de transformação
realizadas.
5 = 4x - 11
4x – 11 = 5 5 + 11= 4x −−−−4x + 5 = −−−−11
4x – 5 = 11 16 = 4x
4x = 16
x = 4 Testar a Raiz
5 = 44 - 11 (VEDADE)
Uma técnica bastante interessante a ser adotada nestes tipos de grafo é a rotulação de cada
uma das setas de acordo com a propriedade ou operação utilizada para a transformação das
igualdades, como mostramos abaixo:
142
5 = 4x - 11
4x – 11 = 5 16 = 4x −−−−4x + 5 = −−−−11
4x – 5 = 11
4x = 16
x = 4 Testar a Raiz
Propriedade Simétrica da igualdade
Adicionar 11 à igualdade
Adicionar −4x à igualdade
Multiplicar a igualdade por −1
Adicionar 5 à igualdade
Dividir a igualdade por 4
Adicionar 11 à igualdade
Propriedade Simétrica da igualdade
5.3.2.- Quinto Exemplo
Este é um dos casos onde o Método de Resolução das Equações Algébricas Lineares com o
uso de Anteparos pára de funcionar.
• Consideremos a equação:
1535 +=+ xx
• Seja utilizar a metáfora da balança de dois pratos para resolver a equação dada:
5x + 3 = x + 15
Vamos partir da suposição de que queremos isolar o x no primeiro membro da equação.
143
5x + 3 = x + 15
−−−−x −−−−x
4x + 3 = 15
−−−−3 −−−−3
4x = 12
÷÷÷÷4 ÷÷÷÷4
x = 3
5.3.3.- Sexto Exemplo
xx 410 =+
A partir deste exemplo iremos utilizar apenas os esquemas de simples igualdades (vide item
5.1.) com anotações das propriedades e operações anotadas ao lado da equação. Sugerimos que pelo
mesmo numa primeira abordagem as anotações sejam feitas por extenso e não de forma
simplificada como mostramos abaixo:
xx 410 =+ (subtrair 10) ou então (−10)
104 −= xx (subtrair 4x) ou então (-4x)
103 −=− x (multiplicar por −1) ou (× −1)
144
103 =x (dividir por 3) ou (÷3)
3
10=x
Usar um dos dois:
=
3
10S (conjunto solução) ou
=
3
10V (conjunto verdade)
As equações algébricas lineares apresentadas até aqui apresentaram sempre respostas
inteiras e positivas, mas vez ou outra deve-se apresentar equações cuja resposta não seja deste tipo,
e cabe ao educador alertar os estudantes pata este fato: nem sempre as soluções das equações
apresentam cm respostas inteiras e positivas, mas podem ocorrer respostas pertencentes aos
conjuntos Z ou Q (respectivamente, conjunto dos números inteiros e conjunto dos números
racionais), como no exemplo acima e no sétimo exemplo, a seguir.
5.3.4.- Sétimo Exemplo
1627 −=+ xx (subtrair 2)
187 −= xx (subtrair x)
186 −=x (dividir por +6)
6
18
6
6
+
−=
+
x(indicar a divisão – para melhor entendimento)
⇒−= 3x { }3−=S
5.3.5.- Oitavo Exemplo
13273
−=+ xx
(multiplicar por 3)
39621 −=+ xx (subtrair 21)
506 −= xx (subtrair 6x)
505 −=− x (dividir por −5)
145
10=x
{ }10=S
5.3.6.- Nono Exemplo
Este é um exemplo que deve ser abordado pelo educador em sala de aula, de forma
intensamente dialogada com os estudantes – estimulando discussões e permitindo perguntas - de
forma muito cuidadosa.
36
5
4
62+
+=
+ xx
Como o mmc(4,6) = 12 - multiplicar todos os termos da igualdade por 12
3126
512
4
6212 ×+
+×=
+×
xx
Dividir cada termo pelos respectivos denominadores – simplificar as frações
312)5(2)62(3 ×++×=+× xx (efetuar as multiplicações indicadas)
36102186 ++=+ xx (efetuar as adições de termos semelhantes)
462186 +=+ xx (subtrair 2x)
46184 =+x (subtrair 18)
284 =x (dividir por 4)
7=x
{ }7=S
5.3.7.- Décimo Exemplo
Este é um caso em que poderemos utilizar o Método do Anteparo para a sua resolução.
Verifique:
146
112
10510 −=
+−
x (subtrair 10)
212
105−=
+−
x (multiplicar por x+2)
)2(21105 +−=− x (efetuar a multiplicação indicada)
4221105 −−=− x (adicionar 42)
x2163 −=− (dividir por −21)
x=3 (aplicar a propriedade simétrica da igualdade)
⇒= 3x { }3=S
5.4.- Jogos Para Pensamento Algébrico
Vamos propor, aqui, dois Jogos Para o Pensamento Algébrico bastante interessantes. Mas
primeiramente vamos criar um modelo de material que iremos utilizar nos jogos.
5.4.1.- Elaborando os Conjuntos de Cartões
O educador deve escolher uma equação algébrica linear que possa ser solucionada por vários
caminhos – sendo que quanto mais caminhos houver, melhor.
A partir da equação escolhida deve ele primeiramente montar um diagrama contendo todos
os possíveis caminhos de resolução daquela equação (vide o modelo no item 5.3.1.1.). Em seguida
deve elaborar os cartões sob a forma de esquemas de simples igualdades, mas sem as explicações
sobre as propriedades e transformações havidas nos passos de resolução da equação.
Veja alguns destes conjuntos de cartões a seguir.
O leitor irá encontrar cada um destes conjuntos no CD-R que acompanha este texto, que deverão ser
impressos em folhas de papel sulfite do tamanho A4 ou em papel cartonado (folhas estas que após a
impressão, deverão ser plastificadas e os cartões recortados um a um).
147
5.4.1.1.- Apresentando de Novo a Resolução do Nono Exemplo
O conjunto de cartões mostrado a seguir reproduz exatamente o caminho utilizado para a
resolução do nono exemplo dado no item 5.3.6., acima.
36
5
4
62+
+=
+ xx
12mmc(4,6) =
312
6
512
4
6212 ×+
+×=
+×
xx
312)5(2)62(3 ×++×=+× xx
36102186 ++=+ xx
462186 +=+ xx
2826 += xx
284 =x
7=x
{ }7=S
5.4.1.2.- Um Segundo Caminho de Resolução para o Nono Exemplo
Este caminho é bastante próximo do apresentado no item 5.4.1.1., com pequenas variações.
36
5
4
62+
+=
+ xx
12mmc(4,6) =
312)5(2)62(3 ×++×=+× xx
36102186 ++=+ xx
462186 +=+ xx
46184 =+x
284 =x
7=x
{ }7=S
5.4.1.3.- Um Terceiro Caminho de Resolução para o Nono Exemplo
Este caminho se distancia um pouco do apresentado no item 5.4.1.1., apresentando apresenta
algumas modificações que a meu ver são bastante interessantes (vide aquela passagem apontada por
uma flecha amarela).
148
36
54
62+
+=
+ xx
3
6
5
4
62=
+−
+ xx
12mmc(4,6) =
3126
512
4
6212 ×=
+×−
+×
xx
36)5(2)62(3 =+−+ xx
36102186 =−−+ xx
3684 =+x
284 =x
7=x
{ }7=S
5.4.1.3.- Um Quarto Caminho de Resolução para o Nono Exemplo
Este é um caminho bastante interessante pela ocorrência de um sinal negativo diante de um
sinal de parêntesis (vide a flecha em amarelo). Este é sem dúvida, um caminho que poderá ser
exposto e discutido com os estudantes.
36
5
4
62+
+=
+ xx
3
6
5
4
62=
+−
+ xx
12mmc(4,6) =
3126
512
4
6212 ×=
+−
+ xx
366
6012
4
7224=
+−
+ xx
36102186 =−−+ xx
3684 =+x
284 =x
7=x
{ }7=S
149
5.4.1.5.- Um Quinto Caminho de Resolução para o Nono Exemplo
Este é sem dúvida um caso de estudo que muda totalmente as regras até aqui adotadas.
Muitos educadores somente deveriam apresentar este caminho para as turmas muito avançadas nos
estudos da Álgebra.
36
5
4
62+
+=
+ xx
3
6
5
4
62=
+−
+ xx
12mmc(4,6) =
312
)5(2)62(3=
+−+ xx
36)5(2)62(3 =+−+ xx
36102186 =−−+ xx
3684 =+x
284 =x
7=x
{ }7=S
Note a passagem que foi apontada, de propósito por uma flecha vermelha, em que se faz
uma redução ao mesmo denominador das frações algébricas. No caso, a primeira delas é positiva e a
segunda negativa, o que a meu ver, é uma passagem difícil de ser entendida por grande parte dos
alunos, a não ser que esta situação tenha sido bastante estudada anteriormente.
5.4.2.- Um Primeiro Jogo Para o Pensamento Algébrico
Este é um jogo a ser resolvido por grupos de alunos.
1. O educador deve imprimir cada um dos conjuntos de cartões – já recortados – tantas vezes
quantos forem os grupos formados na sua sala de aulas. (40 alunos, divididos em grupos de 4,
exigirá 10 conjuntos de um mesmo caminho de resolução da equação algébrica linear).
2. O grupo deverá estudar a equação e colocar em ordem os cartões de modo que constituam
um caminho de resolução daquela equação.
3. Os elementos do grupo deverão justificar cada uma das passagem citando a propriedade ou
transformação algébrica aplicada a cada passo.
150
4. Os cartões ordenados e feitas as justificativas, cada um dos elementos do grupo deverá
passar o resultado para seus apontamentos.
5. Terminada esta etapa, um novo conjunto de cartões, contendo um novo caminho de
resolução deverá ser distribuído para cada um dos grupos. Note que todos os grupos devem
receber grupos de cartões idênticos.
6. Voltar ao passo 2 acima e dar continuidade aos trabalhos até que todos os caminhos de
resolução tenham sido explorados por todos os grupos.
5.4.3.- Um Segundo Jogo Para o Pensamento Algébrico
Depois de esgotadas as possibilidades do primeiro jogo (vide acima) deve-se utilizar os
exercícios apresentados acima como exemplos podem ser propostos para a resolução multicaminhos
através do seguinte estratagema pedagógico:
• O educador deve propor aos grupos de alunos uma mesma equação algébrica linear –
escolhida dentre aquelas apresentadas acima.
• O educador pode escolher, se achar conveniente, outra equação algébrica linear,
distinta das anteriores, que permita a resolução por vários caminhos (multicaminhos).
• Se necessário, ele deve apresentar de forma dialogada com seus alunos uma das
soluções deixando por escrito na lousa (este passo não será necessário no caso de turmas
mais adiantadas).
• Deve em seguida solicitar a cada um destes grupos que tente solucionar a equação
algébrica linear por um caminho. Se a equação estiver na lousa, deve solicitar que eles
resolvam por outro caminho distinto do que foi exposto.
• Deve distribuir pequenos cartões de cartolina para que cada grupo escreva em cada
um deles um dos passos da resolução da equação.
• O educador deve agora embaralhar e trocar entre os grupos o conjunto de cartões (no
caso os cartões são manuscritos) para que cada grupo estude a resolução dos demais grupos
através da montagem da sequência correta dos cartões.
5.5.- Observações
O educador interessado deve buscar um maior número de exemplos de equações algébricas
lineares que possam incrementar a aprendizagem de seus alunos.
151
O trabalho em grupo e a exploração continuada do método de multicaminhos: seja sob a
estrita orientação do educador seja em trabalhos de grupo por ele supervisionados, irá
complementar de forma bastante ampla a oportunização de aprendizagens das ideias do pensamento
algébrico que se tornarão cada vez mais significativas para os estudantes.
Aconselho que o professor não se perca na proposta de exercitação repetitiva, individual e
meramente ‘decorada’ (o que em inglês é o ‘leraning by rote’ = aprendizagem por repetição), sem
envolver o pensamento criativo e justificado.
O educador realmente interessado deve permitir que seus alunos trabalhem de forma
cooperativa, através da troca intensiva de ideias e propostas de resolução por multicaminhos. Se os
alunos devem trabalhar de forma cooperativa, o professor, por sua vez, deve atuar como um
colaborador (um animador) interessado, discutindo as propostas de resolução de uma mesma
equação, pelo método de multicaminhos, apresentadas pelos alunos.
152
JALGB#06 – JOGOS PARA O PENSAMENTO ALGÉBRICO Nº 06 Resolução de Problemas: Aritmética versus Álgebra
Escrever expressões algébricas a partir de enunciados linguísticos de problemas matemáticos deve ser precedido de uma série de passos básicos, ou seja, deve-se ‘treinar’ a escrita de sentenças ou expressões algébricas a partir de sentenças ou expressões linguísticas. Após esta fase, deve-se ‘treinar’ a transcodificação aritmético-para-o-algébrico dos enunciados de problemas matemáticos estudando a resolução aritmética, a resolução algébrica e a análise da estrutura lógico-numérica do problema. Sobre estas três formas de se encarar a solução de problemas a partir do enunciado linguítico é exemplificada.
6.1.- Enunciados Linguísticos Versus Expressões Algébricas
Não se pode considerar que a tradução de sentenças matemáticas do-aritmético-para-o-
algébrico – como no caso de representação algébrica de enunciados linguísticos de problemas – seja
algo a ser assumido como um processo natural. Este processo envolve a aprendizagem composta
por várias etapas que, partindo de casos bem simples, deve preparar o estudante para a etapa final, a
de ler, interpretar e modelar algebricamente os enunciados linguísticos de problemas na área de
ciências exatas: matemática, física ou teoria da computação, por exemplo.
6.1.1.- Expressando Algebricamente Expressões Linguísticas
O educador deve proporcionar aos seus alunos várias oportunidades de aprendizagem
envolvendo expressões linguísticas das mais diversas e de suas passagens-para-o-algébrico. Veja a
seguir alguns exemplos de Expressões Linguísticas e suas correspondentes expressões algébricas,
sem, contudo poder considerar que todas as possibilidades são aí esgotadas.
6.1.1.1.- Expressões Linguísticas Simples
Expressão Linguística Hipótese Expressão Algébrica
Adicionar 7 a um número qualquer Seja x o número 7 + x ou x + 7
Um número qualquer acrescido de 6 unidades Seja n o número 6 + n ou n + 6
153
Um número qualquer diminuído de 12 unidades Seja y o número y – 12
25 subtraído de um número qualquer Seja x o número 25 – x
Um número qualquer reduzido de 14 unidades Seja z o número z – 14
A diferença entre 20 e um número qualquer Seja x o número 20 – x
Observação Importante:
Veja que a palavra ‘qualquer’, no caso de frases como as mostradas acima, pode ser sempre
utilizada para significar uma variável ou incógnita. No caso de uma equação linear ou quadrática,
ainda num sistema de equações lineares, por exemplo, a variável acabará por assumir um valor
determinado, aí o uso da palavra ‘qualquer’ pode confundir o pensamento do estudante, pois não
teremos mais um valor qualquer para nossas variáveis e sim valores bem determinados.
No caso das identidades aí sim, se justificará o uso daquela palavra, como no exemplo: “∀x,
3x = 2x + x” que é lido “para qualquer x, 3x é igual à 2x adicionado a x”. Nas expressões a seguir
poderíamos continuar a usar a palavra qualquer quando nos referimos à variável, mas não o
fizemos, pois a expressão ‘um número’ pode indicar ‘um número qualquer’ especificamente nestes
casos, mas quando isto é reformulado para compor uma equação, a palavra qualquer não mais se
justificaria.
Expressão Linguística Hipótese Expressão Algébrica
5 acrescido do sêxtuplo de um número Seja x o número 5 + 6x
O dobro de um número subtraído de 5 unidades Seja n o número 2n – 5
O dobro de um número mais 4 Seja y o número 2y + 4
O triplo de um número diminuído de 3 unidades Seja n o número 3n – 3
O quíntuplo de 3 mais o quádruplo de um número Seja z o número 5 × 3 + 4z
30 diminuído do dobro de um número Seja x o número 30 – 2x
O sétuplo de um número mais o seu dobro Seja n o número 7n + 2n
154
Veja, por exemplo: “O dobro de um número mais 4, com a hipótese: seja y o número é
representado por 2y + 4” – aqui temos um número qualquer no sentido mais amplo da palavra,
enquanto na equação 2y + 4 = 0 o y valeria tão somente: –2. Aqui o y não é mais um número
qualquer!
6.1.1.2.- Expressões Linguísticas Envolvendo Duas ou Mais Variáveis
Expressão Linguística Hipótese Expressão Algébrica
Um número acrescido de 7 vezes um outro número Sejam a e b os números a + 7b
O dobro da soma dois números distintos Sejam x e y os números 2(x + y)
12 menos o quociente entre dois números distintos Sejam m e n os números 12 –
n
m
O quociente entre 36 e a soma de dois números Sejam a e b os números
ba +
36
A média aritmética de dois números Sejam x e y os números
2
yx +
A média aritmética de três números Sejam x, y, e z os
números 3
zyx ++
O produto ab menos o triplo da soma de a com b Sejam a e b os números ab – 3(a+b)
Metade da soma de a com b, mais o triplo de c Sejam a,b e c os
números c
ba3
2+
+
O óctuplo de um número adicionado a 20 vezes o
quádruplo de outro número menos 5
Sejam x e y os números 8x + 20(4y-5)
6.2.- Sobre a Resolução Algébrica de Problemas
Resolver de novo um problema ou uma situação-problema – que foi anteriormente resolvido
por métodos aritméticos – utilizando desta vez o ferramental da álgebra prevê quatro etapas
fundamentais:
155
[1ª Etapa] Leitura e interpretação do texto de apresentação ou de proposição do
problema ou da situação-problema.
[2ª Etapa] Equacionamento ou modelagem algébrica do problema ou da situação-
problema, ou seja, deve-se escrevê-lo(a) sob a forma de uma ou mais equações.
Será o número de incógnitas (variáveis) que irá determinar a quantidade mínima
de equações necessárias para a resolução do mesmo. Assim sendo, quanto menos
incógnitas estabelecidas na modelagem, menor o número de equações necessárias
para resolução da situação proposta. Deve-se também tomar cuidado, quando for
necessário, com a conversão unidades para adequá-las às exigências do problema,
levando-se em conta as conveniências.
[3ª Etapa] Resolução da equação ou das equações do problema ou situação.
[4ª Etapa] Interpretação e adoção de resultados da equação ou das equações de
acordo com o texto do problema ou situação, o seja, verificação das raízes
próprias e impróprias
Parece-nos desnecessário comentar que, nestes quatro passos, a ‘manipulação’ algébrica é
meramente um ferramental (vide a 3ª etapa), pois a parte mais importante fica, sem dúvida alguma,
por conta do raciocínio algébrico (2ª e 4ª etapas), e isto sem se pensar na 1ª etapa.
6.3.- Análise da Estrutura Lógico-Numérica de um Enunciado
É um costume bastante comum entre os professores de matemática (e de outras disciplinas
na área das Ciências Exatas) a reformulação do enunciado de um problema mediante a modificação
dos dados. Isto normalmente ocorre quando o professor deseja reutilizar um mesmo tipo de
problema com novos dados, seja como um novo exemplo, seja como tarefa para casa, ou mesmo,
para utilizá-lo em processos de avaliação do conhecimento.
6.3.1.- Sobre a Estrutura Lógico-Numérica de Problemas Matemáticos
A Análise da Estrutura Lógico-Numérica do Problema é algo a ser levado em conta pelos
professores quando eles pretendem modificar os dados – sejam lógicos ou numéricos – de um
enunciado com a finalidade de sua reutilização.
A Análise da Estrutura Lógica de um Problema consiste no estudo do conteúdo do
enunciado, envolvendo: a verificação da consistência das informações, o estudo da correlação entre
156
os dados, a possibilidade de modificação ou reformulação dos dados numéricos sem perda da
consistência lógica.
6.3.2.- Uma Confusão Causada por Inconsistência Lógico-Numérica
Lembro-me nitidamente de uma ocorrência com a qual me defrontei como membro do
Conselho de Escola, em uma escola em que eu lecionava Matemática nos anos 70, para avaliar o
seguinte: um dos professores de Matemática do 3º ano do Ensino Médio modificou – creio que
distraidamente – os dados numéricos de um problema de Geometria para aplicá-lo em uma
avaliação bimestral de aprendizagem, em que se deveria calcular o volume de uma pirâmide reta
cuja base deveria ser um triângulo retângulo
O enunciado original do problema era:
“Uma pirâmide reta (ou oblíqua) com 10 cm de altura tem para base o
triângulo retângulo de lados 9 cm, 12cm e 15cm. Qual o volume desta
pirâmide?”.
O professor “resolveu simplesmente acrescentar uma unidade (!!!) em cada lado daquele
triângulo”, e o enunciado ficou assim:
“Uma pirâmide reta (ou oblíqua) com 10 cm de altura tem para base o
triângulo retângulo de lados 10cm, 13cme 16cm. Qual o volume desta
pirâmide?”
Analisando a Estrutura Lógico-Numérica do “novo” problema pudemos verificar
o seguinte:
1. Dos 40 alunos submetidos àquela avaliação 39 resolveram o problema
utilizando a premissa errada (“o triângulo seria retângulo”).
2. Por outro lado, apenas um dos 40 alunos argumentou por escrito no suporte
da avaliação – quatro páginas mimeografadas com espaço para a resolução dos
problemas – que: o triângulo não era retângulo e, portanto, a premissa errada não
levaria a uma conclusão logicamente válida. Não apresentou, a partir disto,
nenhuma tentativa de cálculo.
3. Ouve casos em que alguns destes 39 alunos justificaram que o fato da
pirâmide ser reta ou oblíqua seria indiferente, pois ambas mantinham a mesma base
e a mesma altura. Sendo assim, tanto para uma como para a outra, o cálculo
157
produziria o mesmo resultado. Outros chegaram até a mencionar que isto era devido
ao princípio de Cavallieri.
4. O professor não aceitou o argumento do estudante e não atribuiu ao aluno os
pontos correspondentes àquela questão.
5. Após a terminante negativa de lhe atribuir os pontos relativos à questão, os
pais do estudante recorreram ao Conselho de Escola entendendo que o erro estava no
texto do problema e que o estudante deveria receber os pontos correspondentes
àquela questão.
6. O requerimento foi levado ao Conselho de Escola e foi proposto que dois
professores que trabalhavam naquela escola – um de Matemática (eu) e de um de
Física –, para estudar sobre o que fora requerido e dar um parecer por escrito.
7. A análise da situação e a apresentação do relatório exigiam urgência porque
aquela era a última avaliação do ano, e mais, o estudante dependia daqueles pontos
para a sua aprovação sem exame final.
8. O Professor de Física sugeriu que eu estudasse o caso – que afinal, era
pertinente à área de Matemática – e que nos reuníssemos para que ele tomasse
conhecimento de minhas conclusões e as aprovasse em caso de concordância.
9. Analisando a Estrutura Lógica do “novo” problema pude verificar o
seguinte:
• O triângulo de lados 10, 13 e 16 não é um triângulo retângulo! Esta
modificação na premissa do problema invalidaria o restante do enunciado
sem que, no entanto, impedisse que os cálculos fossem levados até um
resultado final, mas que não corresponderia de fato ao verdadeiro volume
daquela pirâmide – um erro induzindo outro.
• A área do triângulo não retângulo calculada com base no que
“deveriam(!) ser os seus catetos com 10cm e 13cm” é a seguinte:
A∆ =2
alturabase × =
2
1310×= 75
2
130= cm2.
• A área correta do triângulo de lados 10, 13 e 16 seria calculável pela
fórmula de Hierão:
A∆ = )()()( cpbpapp −×−×−×
onde p é o semiperímetro do triângulo e a, b, e c os lados.
158
Assim sendo, teríamos:
A∆ = )165,19()135,19()105,19(5,19 −×−×−× =
= 5,35,65,95,19 ××× ≅ 44,4214 ≅ 64,92
• O volume da pirâmide reta deveria ser calculado pela fórmula:
Vpirâmide = B.H3
1 onde B = área da base e H a altura da pirâmide
� Respostas nas provas de 39 dos alunos:
Vpirâmide = 250 10753
1=× cm3.
� Resposta correta:
Vpirâmide ≅ 3
649,2 1064,92
3
1=× ⇒ Vpirâmide ≅ 216,40 cm3.
• Ali estava uma situação lógica que poderia ser analisada a partir da
tabela verdade da implicação (⇒): uma premissa P Falsa pode implicar em
dois tipos de conclusão: Falsa ou então Verdadeira (respectivamente linhas 3
e 4 da tabela abaixo):
P ⇒ Q Premissa Conclusão Valor
Verdade
1 V ⇒ V Verdadeira Verdadeira V
2 V ⇒ F Verdadeira Falsa F
3 F ⇒ V Falsa Verdadeira V
4 F ⇒ F Falsa Falsa V
• É bem verdade que uma premissa Falsa pode levar a uma conclusão
Falsa (vide linha 3 da tabela). No entanto, no caso do nosso problema, a
premissa Falsa levou a uma conclusão Falsa (vide linha 4 da tabela), pois: o
volume da pirâmide que tem por base o triângulo cujos lados medem, em cm,
10, 13 e 16 e cuja altura é de 10 cm, vale aproximadamente 216,40 cm e não
159
250 cm3 como foi encontrada pelos 39 estudantes presentes àquela
avaliação.
• Apesar da simples citação de que o triângulo não seria retângulo como
previa o enunciado do problema, poderia ser tomado por alguns como um
argumento fraco, pois o volume daquela pirâmide, exatamente com aquela
base triangular com as medidas fornecidas no enunciado do problema,
poderia ser calculado, como particularmente mostramos acima. Mas isto não
tira do foco que a questão foi mal formulada por ser ambígua, gerando uma
dúvida formal.
• A partir de todos estes dados, a conclusão que foi estabelecida por
mim e pelo meu colega, professor de física, e em seguida apresentada ao
Conselho de Escola foi a seguinte:
“Quando em uma prova de concursos públicos ou de um concursos vestibulares a uma
faculdade se constata a existência de uma questão com enunciado dúbio ou inconsistente, a
questão é anulada e os pontos correspondentes àquela questão são automaticamente
atribuídos a todos os candidatos do concurso, mesmo aqueles que nada responderam. Este é,
sem dúvida alguma, salvo melhor juízo do Conselho de Escola, o que ocorreu com relação ao
Problema aplicado na prova bimestral de Matemática, e que nos orientou naquilo que deve ser
feito com relação à solicitação dos pais do estudante: dar como cancelada a questão e
atribuir os pontos correspondentes à mesma a todos os 40 estudantes participantes daquela
prova”.
• Conste que a conclusão acima foi apresentada sem nenhum dos
argumentos de lógica que apresentamos acima, e prontamente, o Conselho de
Escola acatou a nossa sugestão: os pontos da questão foram atribuídos ao
estudante cujos pais requereram a reparação, sem que se modificasse as notas
já atribuídas aos demais 39 estudantes, cuja questão foi considerada
corretamente respondida – apesar de não sê-lo.
6.4.- Resolução de Problemas e a Análise Lógico-Numérica
Os problemas-exemplo apresentados a seguir – exemplos da passagem dos pensamentos
aritmético-para-o-algébrico –, bem como suas respectivas reformulações serão, quando possível ou
necessário, analisados a partir de três perspectivas distintas, a saber:
a) Resolução aritmética;
160
b) Resolução algébrica;
c) Análise da estrutura lógico-numérica do problema.
A utilização sistemática destas perspectivas – na verdade formas de raciocínio lógico-
matemático, evidentemente estabelecerá uma prática bastante saudável de análise de problemas
aritméticos resolvidos por métodos algébricos, que deveria ser adotada pelos educadores.
É bom que se mencione que os problemas-exemplo apresentados a seguir, são alguns dos muitos
modelos possíveis de problemas aritméticos.
6.4.1.- Problema-Exemplo #01
Thiago e Frederico possuem juntos 35 miniaturas de automóveis HotWheels, Thiago
tem o quádruplo de miniaturas quando em comparação com a quantidade das
miniaturas de Fred. Quantos carrinhos têm cada um deles?
6.4.1.1.- Resolução Aritmética:
Quantidade toral de miniaturas dos dois amigos: 35
Thiago Fred
Quantidade toral de miniaturas dos dois amigos: 35
Thiago Fred
• Analise o esquema gráfico mostrado acima: Temos então cinco valores (cinco
quadradinhos) idênticos: um deles correspondendo à quantidade de miniaturas de Fred, e
mais quatro deles correspondendo à quantidade de miniaturas de Thiago.
• Os cinco quadradinhos correspondem ao total de 35 miniaturas.
• Logo cada quadradinho vale: 35 ÷ 5 = 7.
ou então:
161
Quantidade toral de miniaturas dos dois amigos: 35
Thiago Fred
7
7
7
7 7
6.4.1.2.- Resolução Algébrica:
• Seja x o valor de cada uma das partes destes número
• O maior dos números vale 4x
• O menor dos números vale: x
• Logo 5x = 35 ⇒ x = 5
35 = 7
• x = 7 ⇒ 4x = 4 × 7 = 28
• Thiago tem 28 miniaturas e Fred tem 7.
6.4.1.3.- Análise da Estrutura Lógico-Numérica do Problema:
O problema envolve valores múltiplos como, por exemplo, na reformulação do problema
mostrada abaixo, em que a quantidade total de 108 elementos, uma quantidade múltipla de 9.
6.4.1.4.- Uma Reformulação do Problema:
Marta, Jéssica e Carla colecionam animaizinhos de origami. Nestas coleções, cada
peça é considerada distinta da outra, seja pelo animal, o tamanho ou cor do papel. As
peças da coleção de Marta valem o triplo da quantidade de peças da coleção de
Jéssica. A coleção de Carla tem o quíntuplo de peças quando comparada com a
coleção de Jéssica. O total de peças nas coleções das três amigas é 108.
Quantas peças têm as coleções de cada uma delas?
• Veja que Jéssica é a que em a menor quantidade de peças na coleção. Logo, na
representação gráfica que iremos mostrar a seguir, ela tem uma quantidade que corresponde
a apenas um quadradinho.
162
• Desta forma iremos adotar três quadradinhos para representar a coleção de Marta e
cinco quadradinhos para resentar a coleção de Carla.
• Assim sendo, no esquema gráfico, a quantidade total de quadradinhos será: nove.
• Consequentemente a quantidade total de peças das três coleções deverá ser um
número inteiro positivo múltiplo de 9.
Carla
Jéssica
Marta
• Note que adotamos uma nova forma de representação das quantidades.
• Solicitamos ao leitor que verifique se este tipo de representação é melhor do que
adotado nos problemas anteriores. Justifique a sua resposta.
6.4.2.- Problema-Exemplo #02
Este é um problema aritmético dos mais simples e, por isto mesmo, foi escolhido para ser o
nosso primeiro exemplo envolvendo os três seguintes passos: a resolução aritmética, a resolução
algébrica e a análise de sua estrutura lógico-numérica.
O mais velho de dois irmãos se chama Paulo, sendo que Carlos é o mais novo. A
soma das idades dos dois irmãos é igual a 49 anos. Se a diferença entre a idade destes
dois irmãos é 15 anos, que idade tem cada um deles?
6.4.2.1.- Resolução Aritmética:
A melhor forma de se resolver aritmeticamente este problema é lançando mão de um
esquema gráfico que ilustre cada um dos passos do raciocínio lógico-aritmético:
• Sejam as idades dos irmãos representadas por duas colunas retangulares como
mostradas a seguir:
163
Pau
lo
Carlo
s
• A coluna mais alta se refere à idade de Paulo que é o mais velho dos dois irmãos, a coluna
menor se refere à idade de Carlos, o mais novo.
• A diferença entre as idade é de 15 anos:
Pau
lo
Carlo
s
15 anos a mais
quantidades Iguais
• Paulo tem a idade de Carlos mais 15 anos. Assim eles têm uma parte de suas idades
exatamente iguais, sendo que Paulo além da idade comum aos dois, tem mais 15 anos.
• Idade de Paulo + Idade de Carlos = 49 anos, de onde: subtraindo 15 de 49, teremos duas
quantidades iguais (em amarelo na figura acima) que corresponde à parte amarela da idade de
Paulo mais a idade de Carlos: 49 – 15 = 34. Como 34 vale duas vezes a idade de Carlos,
podemos tirar daí que: a Idade de Carlos = 34 ÷ 2 = 17 anos.
• Como Paulo tem 15 anos mais que Carlos a Idade de Paulo = 17 + 15 = 32 anos.
• Tirando a prova: 17 + 32 = 49 anos e 32 – 15 = 17 anos. Está coreto o raciocínio!
6.4.2.2.- Resolução Algébrica:
• Seja x a Idade de Carlos, logo a idade de Paulo será: x + 15.
• Sabe-se que as idades somadas resultam 49 anos:
x + x+ 15 = 49 ⇒ 2x + 15 = 49 ⇒ 2x = 49 – 15 ⇒ 2x = 34 ⇒ x = 2
34 = 17
x = 17 anos é a idade de Carlos
x + 15 = 17 + 15 = 32 anos é a idade de Paulo.
164
6.4.2.3.- Análise da Estrutura Lógico-Numérica do Problema:
Este é um problema que, se restrito conjunto dos números inteiros positivos, exige apenas
em termos lógico-numéricos que a soma da parte comum das idades seja um número par, porque se
for ímpar, ao ser dividida por 2 dará um valor fracionário, cuja fração corresponderá a1/2 ano ou 6
meses;já a diferença entre as idades poderá ser indiferentemente um número par ou ímpar.
Veja no exemplo a seguir, que de forma ainda mais dramática, não podemos esperar que a
quantidade de figurinhas de cada um inclua meia figurinha (!):
Jonas e Artur são dois amigos que possuem juntos 49 figurinhas. Jonas tem 13
figurinhas a mais que Artur. Quantas figurinhas têm cada um destes amigos?
Jonas Artur
Quantidade de figurinhas= 47
13
Este raciocínio é uma repetição do problema exemplo #03 e poderia ser apresentado com o
enunciado:
Jonas e Artur são dois amigos que possuem juntos 49 figurinhas. Artur tem 13
figurinhas a menos que Jonas Artur. Quantas figurinhas têm cada um destes amigos?
165
Jonas Artur
Quantidade de figurinhas= 47
13 figurinhas a menos 13
13 figurinhas a mais
6.4.2.4.- Reformulação Não Muito Imediata do Problema:
O problema a seguir mostra uma reformulação bastante mais complexa do exemplo anterior.
O esquema gráfico apresentado a seguir pretende expor a relação entre as idades das pessoas A e B.
A soma das idades de duas pessoas, A e B, é 36 anos. A idade da pessoa A diminuída
de 2 anos é igual à idade da pessoa B aumentada de 4 anos.
a) Quem destas pessoas é a mais velha?
b) Quantos anos de idade têm cada uma destas pessoas A e B?
• Esquema do enunciado:
A B
Quantidade das idades = 36 anos
2
+4
Quantidades iguais
Ficaram de fora um total de 10 Anos: 2 + 4 + 4
• Solução: 36 – 2 – 4 – 4 = 36 – 10 = 26 que corresponde a duas vezes a quantidade de
anos que cada um tem, representada na parte marrom do diagrama: 26 ÷ 2 = 13. Fato que
representado no diagrama nos mostra que: Idade de A = 19 anos e idade de B = 17 anos.
Confira!
166
A B
Quantidade das idades = 36 anos
2
+4
Quantidades iguais
Ficaram de fora um total de 10 Anos: 2 + 4 + 4
13 13
4 4
2
• Há outro raciocínio que pode ser utilizado: 36 – 2 = 34 ⇒ 34 ÷ 2 = 17,
• Logo, idade de B =17, idade de A = 17 + 2 = 19.
A B
Quantidade das idades = 36 anos
Quantidades iguais
(36 – 2) ÷÷÷÷ 2 = 17
Ficaram de fora 2 anos
4
2
A B
Quantidade das idades = 36 anos
2
17 17
6.4.3.- Problema-Exemplo #03
A soma de dois números é 57. O maior deles é o quádruplo do menor, mais 12
unidades. Quais são estes números?
6.4.3.1.- Resolução Aritmética:
• Este é o esquema que sugerimos para representar o enunciado acima:
167
+12
Este é o maior número Este é o menor número
A soma destes dois números vale 57
• Calculemos exatamente o valor do conjunto formado pelos 5 quadradinhos:
57 – 12 = 45
+12
Este é o maior número menos 12 Este é o menor número
A soma destes dois números agora vale 57 – 12 = 45
• Se o conjunto de cinco quadradinhos exatamente iguais totalizam 45, podemos
calcular o valor de cada um deles: 45 ÷ 5 = 9.
• Vamos indicar isto no esquema e conferir o resultado:
+12
O maior número = 4 × 9 + 12 = 48 O menor número = 9
A soma destes dois números vale 57
9
9
9
9 9
• 5 × 9 + 22 – 45 + 12 = 57.
6.4.3.2.- Resolução Algébrica:
• Seja x o valor de cada uma das partes destes número
• O maior dos números vale 4x + 12
• O menor dos números vale: x
• Logo 4x + 12 + x = 57 ⇒ 4x + x = 57 – 12 ⇒ 5x = 45 ⇒ x = 9
168
• x = 5 ⇒ 4x + 12 = 4 × 9 + 12 = 36 + 12 = 48
• Os números são: 48 e 9.
6.4.3.3.- Análise da Estrutura Lógico-Numérica do Problema:
Há que se tomar cuidado com o fato de termos valores, múltiplos um do outro, a menos de
uma eventual adição ou subtração efetuadas sobre um ou outro dos números envolvidos naquela
soma. No caso do enunciado envolver números, pode ocorrer que o conjunto de valores
atribuídos,seja quanto aos números, seja quanto à multiplicidade ou à soma dos mesmos, venha a
ocorrer resultados não pertencentes ao conjunto dos números inteiros positivos (como pro exemplo:
frações impróprias, decimais periódicos ou não periódicos, mas com a parte decimal muito extensa).
Sejam quais forem as intenções do educador isto pode ser levado a efeito, mas sugere-se que
deve-se testar os seus resultados antes de propô-lo aos estudantes.
6.4.3.4.- Uma Reformulação do Problema:
Seja x a quantidade de figurinhas que Paulo possui. Alexandre possui o dobro das
figurinhas de Paulo e Clara possui o triplo mais duas figurinhas quando em
comparação à quantidade de figurinhas de Alexandre.
Quantas figurinhas tem cada um deles se o total de figurinhas é 62.
Não vamos apresentar a resolução deste problema, mas apenas mostrar o esquema abaixo
que deve orientar a resolução do mesmo.
Paulo Alexandre Carla
+ 2
6.4.4.- Problema-Exemplo #4
Certa importância em dinheiro deve ser dividida entre 10 pessoas em partes iguais.
Se a partilha fosse feita somente entre 8 dessas pessoas, cada uma delas receberia a
mais a quantia de R$ 8.000,00. Calcular o total da importância.
169
6.4.4.1.- Resolução Aritmética:
Vamos adotar um esquema linear horizontal para representar a nossa situação:
• Temos um grupo de 10 pessoas que receberão partes iguais de uma quantia em dinheiro cujo
total não sabemos quanto seja:
• Cada uma das oito pessoas receberia R$ 8.000,00 a mais se duas delas fossem retiradas da
partilha:
• Duas pessoas a menos (10 – 2 = 8) faria com que sobrasse R$ 8.000,00 para cada uma das 8
pessoas restantes, ou seja: 8 × 8.000 = 64.000.
• Note que os R$ 64.000,00 foram retirados de duas daquelas 10 pessoas:
8 × R$8.000,00 = R$ 64.000,00
R$ 64.000,00
• Logo o que receberiam cada uma das 10 pessoas seria o equivalente a R$ 64.000,00 ÷ 2, ou
seja, R$ 32.000,00:
R$ 64.000,00
R$ 64.000,00 ÷ 2 = R$ 32.000,00
6.4.4.2.- Resolução Algébrica:
• Seja x a quantia que cada uma das 10 pessoas irá receber.
• O Total de dinheiro a ser dividido será: 10x.
170
• Retirando-se 2 pessoas da partilha teremos que cada uma destas 8 pessoas receberá:
x+8000
• De onde poderemos tirar a seguinte igualdade algébrica: 10x = 8×(x+ 8000).
• Resolvendo a equação acima, teremos:
10x = 8×(x+8000)
10x = 8x + 64000
2x = 64000
x= 32000 , ou seja, R$ 32.000,00 é a quantia que cada uma das 10 pessoas irá receber
• Conferindo a resposta: 10 × 32000 = 8×(x+8000) ?
320000 = 8×(32000+8000) ⇒ 320000 = 8×40000 ⇒ 320000 = 320000 (verdade!)
6.4.4.3.- Análise da Estrutura Lógico-Numérica do Problema:
• O valor total T a ser distribuído entre ‘n’ pessoas e ‘n – p’ pessoas deve ser divisível
ao mesmo tempo por n e n – p.
6.4.4.4.- Uma Reformulação Não Muito Imediata do Problema:
• Veja, por exemplo, que se n = 8 e p = 3, n – 3 = 5. Seja adotar T = R$ 480.000, 00.
• Veja que: T ÷ 8 = 60.000 e T ÷ 5 = 96.000,00. Cada uma das 5 pessoas receberá
R$36.000,00 a mais do que se o dinheiro fosse dividido entre 8 pessoas.
6.4.5.- Problema-Exemplo #05
A soma de 3 números inteiros positivos resultou 24. Quais são estes números?
6.4.5.1.- Resolução Aritmética:
• Vamos supor que os números sejam: a, b e c, de acordo com o esquema abaixo, onde
o a é representado por um quadradinho:
a:
• Como a, b e c são números inteiros e positivos consecutivos, como por exemplo em:
10, 11 e 12, que são separados apenas pela diferença crescente de uma unidade, ou seja:
11 = 10 + 1, 12 = 10 + 2,
171
podemos adotar o seguinte esquema para representar o nosso enunciado:
+ 1 + 2 a: b: c:
• Podemos ainda escrever que:
+ 1 + 2 a: b: c: a a a
• Veja que b = a + 1 e c = a + 2 (e também podemos concluir que c = b + 1).
• Veja ainda que a + b + c = 24, logo então, de acordo com o esquema:
3 × a + 3 = 24. Confira!
• Assim sendo: 24 – 3 valerá 21 que é exatamente o valor de 3 × a, de onde a = 3
21= 7.
• Logo os números são: a = 7, b = a + 1 = 8 e c = a + 2 = b + 1 = 9.
• Confira a soma.
6.4.5.2.- Resolução Algébrica:
• Sejam os números x, x+1 e x+2
• x + x + 1 + x + 2 = 24 ⇒ 3x + 3 = 24 ⇒ 3x = 24 – 3 ⇒ 3x = 21 ⇒ x = 3
21= 7.
• Resposta: x = 7, x+1= 8 e x+2= 9.
• Verificação: 7 + 8 + 9 = 24.
6.4.5.3.- Análise da Estrutura Lógico-Numérica do Problema:
A reformulação deste problema poderá ser feita levando-se em conta números pares,
números ímpares sucessivos, tanto quanto números inteiros múltiplos de 3, 4, 5 etc. Podemos ainda
introduzir ideias que permitam envolver nestas sequências numéricas nãom somente números
positivos como negativos, ou ambos.
6.4.5.4.- Uma Reformulação do Problema:
A soma de 3 números pares, inteiros e positivos resultou 36.
Quais são estes números?
172
Solução: x, x+2 e x+4 são números. Logo x + x + 2 + x + 4 = 36 ⇒ 3x + 6 = 36 ⇒ x = 10.
Resposta: x = 10, x + 2 = 12 e x + 4 = 14.
6.4.5.5.- Uma Reformulação Não Muito Imediata do Problema:
A soma de 4 números inteiros múltiplos de 9 resultou 9. Quais são estes números?
Solução: x, x+9, x + 18 e x+27 são números múltiplos de 9.
Logo x + x + 9 + x + 18 + x + 27= 9 ⇒ 4x + 27 = 9 ⇒ 4x = 9 – 45 ⇒ 4x = – 36 ⇒ x = –9
Resposta: x = –9 , x + 9 = 0 e x + 18 = 9 e x + 27 = 18.
6.4.6.- Problema-Exemplo #06
O perímetro de um retângulo é 80 cm e seus lados estão na proporção de 5 para 3.
Quanto mede cada lado?
6.4.6.1.- Resolução Aritmética:
• Seja o retângulo abaixo onde b é a medida da base e h a altura. Se a proporção entre
b e h é respectivamente: 5 por 3 devemos distribuir 5 segmentos auxiliares sobre b e 3
sobre h, que perfazem 8 unidades padrão.
• Assim sendo, b = 5 unidades padrão e h = 3 unidades padrão.
3 unidades
5unidades
• Logo temos aqui uma proporção: 3
5=
h
bque costuma aparecer com a seguinte
notação: b:h :: 5:3.
• O perímetro do retângulo é dado pela fórmula: Perímetro retângulo = 2b + 2h = 80.
• A expressão 2b + 2h = 80 pode ser dividida por 2, resultando: b + h = 40.
• Os 40 cm devem ser distribuídos pelas 8 unidades de medida exatamente iguais,
dispostas sobre os lados, ou seja, 40 ÷ 8 = 5.
173
• 5 é a medida de cada um dos segmentos alocados sobre os lados b e h, de onde b =
25 cm e h = 15cm.
6.4.6.2.- Resolução Algébrica:
• Seja x a razão de proporcionalidade
• Seja adotar 5x e 3x como sendo as medidas dos lados do retângulo como na figura a
seguir:
5x
3x
5x
3x
• O perímetro do retângulo (a soma das medidas dos lados do retângulo) será indicado
como: 2 × 5x + 2 × 3x = 80 ⇒ 10 x + 6x = 80 ⇒ 16x = 80 ⇒ x = 16
80= 5.
• x = 5 ⇒
=×=
=×=
cmx
cmx
15533
25555 perímetro = 80 cm
25
15
25
15
6.4.6.3.- Análise da Estrutura Lógico-Numérica do Problema:
A ideia central deste problema se prende à alocação de pequenos segmentos de reta,
exatamente iguais entre si, na quantidade que permita manter a proporcionalidade estabelecida no
problema. No mais, o restante do cálculo depende apenas do conceito de perímetro e de como
calculá-lo.
6.4.6.5.- Uma Reformulação do Problema:
O perímetro de um pentágono é 357 cm sendo que seus lados são proporcionais a 3,
4, 5, 3 e 2. Quanto mede o seu lado maior e o seu lado menor?
174
• A quantidade de segmentos a serem distribuídos pelos lados do pentágono totaliza: 3
+ 4 + 5 + 3 + 2 = 17.
• Dividindo 357 por 17 obtemos: 21.
• Logo os lados deste pentágono medem pela ordem:
3 × 21 = 63 cm; 4 × 21 = 84 cm; 5 × 21 = 105 m, 3 × 21 = 63 cm e 2 × 21 = 42 cm.
6.4.6.5.- Uma Outra Reformulação do Problema:
Esta formulação trabalha com a área e não mais com o perímetro do retângulo.
Um terreno retangular tem uma área de 540 m2 e seus lados estão na proporção 5 para 3.
Quais são as medidas deste terreno?
3 unidades
5unidades
• Sabemos que a área do retângulo é dada pela fórmula: Aretângulo = b × h, onde b é a
medida da base e h a medida da altura.
• Logo: 5 unidades × 3 unidades = 15 unidades de superfície, de onde dividindo 540
m2 por 15, temos: 540m2 ÷ 15 unidades de superfície = 36 m2.
• 36 m3 é a medida de cada unidade de superfície mostrada na figura (em amarelo):
3 unidades
5unidades 36 m2 = 6m × 6m
175
• Se cada um dos segmentos de reta demarcados no retângulo vale 6 m, as dimensões
do retângulo são: base = 5 × 6 m = 30 m e altura = 3 × 6 m = 18m.
• Conferindo: A área do retângulo vale 30 m × 18m = 540 m2.
6.4.7- Problema-Exemplo #07
Este é um problema tradicional – para não dizer paradigmático - que merece ser estudado em
detalhes.
Numa granja há galinhas e porcos. O total de animais é 30 e o total de pés é 96.
Quantas são as galinhas e quantos são os porcos.
6.4.7.1.- Resolução Aritmética:
• Se na granja só houvesse 30 galinhas teríamos ao todo 60 pés.
• Como temos um total de 96 pés, existem 96 – 60 = 36 pés a mais.
• Este 36 pés só podem pertencer aos porcos, ou seja, para saber a quantidade de porcos, basta
então calcular: 36 : 2 = 18 é a quantidade de porcos.
• Se há 18 porcos, teremos 30 – 18 = 12 galinhas.
• Conferindo os cálculos: 12 × 2 + 18 × 4 = 24 + 72 = 96. A solução está correta.
6.4.7.2.- Resolução Algébrica:
• Sendo x a quantidade de galinhas e seja y a quantidade de porcos, temos:
�
=+
=+
9642
30
yx
yx⇒
=+
−=−−
96 42
6022
yx
yx⇒ 2y = 36 ⇒y = 18
� y = 18 ∧ x + y = 30 ⇒ x + 18 = 30 ⇒ x = 12
� Solução: S= (x,y) = (galinhas, porcos) = (12, 18).
• Conferindo os cálculos: 2x + 4 y = 96 ⇒2 × 12 + 4 × 18 = 24 + 72 = 96. A solução está
correta.
6.4.7.3.- Análise da Estrutura Lógico-Numérica do Problema:
A seguir vamos citar uma série de observações sobre o enunciado do problema acima no que
diz respeito à sua estrutura lógico-numérica.
• Um Jogo Para o Pensamento Aritmético-Algébrico
176
Uma experiência interessante aqui sugerida é concretizar o problema utilizando o seguinte
material:
1. Uma placa de isopor com 10 ou 20 mm de espessura, com as dimensões de 20cm ×
30 cm no mínimo;
2. 2.- Palitos de dente;
3. Batatas pequenas, do tipo aperitivo.
4. O enunciado do problema – a ser utilizado nesta experiência – deve ser limitado 8,
9 ou 10 animais (quando usaremos de 8 a 10 batatas pequenas), levando-se em conta que:
• A quantidade de pés dos animais deve ser sempre um número par, mas a
quantidade de animais pode ser um número ímpar;
• A quantidade de pés nunca deve ser menor que a quantidade de galinhas
multiplicada por 2, nem maior que a quantidade de porcos multiplicada por 4.
5. O problema deve ser pré-calculado pelo professor, como por exemplo:
• Hipótese: 8 animais, sendo 3 galinhas e 5 porcos;
• Cálculos para atender à hipótese: 2 pés × 3 galinhas + 4 pés × 5 porcos = 6 +
20 = 26 pés.
Numa granja há galinhas e porcos. O total de animais é 8 e o total de pés é 26.
Quantas são as galinhas e quantos são os porcos.
6. Separar uma quantidade de palitos de dente igual à quantidade de pés dos animais, no
nosso caso: 26 palitos.
7. Montar as galinhas – os animais bípedes – uma batata com dois palitos nelas
inseridos para servirem de pés, como mostrado na figura abaixo:
177
8. Repetir a inserção destes palitos em tantas batatas quantas forem a quantidade de
animais, e cuidadosamente fixar estas ‘galinhas’ na placa de isopor como mostrado na figura
abaixo:
Quantidade de pés que sobrou: 10 Perguntar: Todos os animais são galinhas?
9. Contar a quantidade de pés que sobraram, no nosso caso 10 pés.
10. Retirar cuidadosamente, da placa de isopor, cada um dos ‘animais’ e colocar neles
mais duas pernas, ‘transformando-os’ em porcos.
11.
Três galinhas
Cinco Porcos
12. Agrupar os estudantes e solicitar que os estudantes formulem novos enunciados para
o problema, limitando a quantidade de animais a nove.
13. Verificar a quantidade de pés se todos os animais fossem galinhas. Fazer o mesmo
para o caso em que os animas fossem somente porcos. Inserir a noção de limitante superior e
limitante inferior para a quantidade de pés, no caso em que a quantidade de animais é 9.
14. Discutir sobre a paridade e imparidade das quantidades de pés e de animais.
6.4.7.4.- Uma Reformulação Imediata do Problema:
Vamos mostrar uma reformulação do problema, adaptando-o para uma definida contagem
dos pneus de motocicletas e de automóveis, veículos estes, estacionados no estacionamento de um
shopping como, no exemplo:
178
No estacionamento de um shopping estão estacionados 145 veículos. Se estes
veículos são automóveis e motos, e o total de pneus totaliza 494 – não
computados aí os pneus estepes presos na lateral traseira dos automóveis.
Quantas são as motocicletas e quantos são os automóveis.
O leitor deve notar que a estrutura lógica do enunciado do problema foi levemente alterada
pela inserção da observação: “não computados aí os pneus estepes presos na lateral traseira dos
automóveis”. Que a nosso ver é algo extremamente necessário para que não se invalidade a conexão
do problema com uma situação real do dia-a-dia.
6.4.8.- Problema-Exemplo #8
Um estudante recebe 3 reais por problema que acerta e paga 2 reais por problema que
erra. Fez 50 problemas e recebeu 85 reais. Quantos problemas ele acertou?
Inicialmente vamos elaborar uma tabela para tentar controlar a quantidade de acertos versus
erros, o total a receber ou a pagar:
6.4.1.- Resolução Aritmética:
Este é um problema difícil e que pode ser compreendido com facilidade quando resolvido
algebricamente. No entanto, quando olhado do ponto de vista da aritmética,ele nos parece de algum
modo difícil de ser expresso
• Temos que supor que ele errou alguns problemas, pois é o que de fato ocorreu, pois
ele só recebeu 85 reais.
• Vamos supor que Q(acertos) e Q(erros) representam, respectivamente, as
quantidades de acertos e a quantidade de erros.
• Na verdade é um pouco difícil perceber que a cada problema errado, o estudante
deixa de ganhar R$ 3,00 e tem que pagar do seu bolso, ou do que ganhou até ali, R$ 2,00, ou
seja, cada problema errado leva dele R$ 5,00.
• Se ele resolvesse corretamente todos os 50 problemas, ele receberia:
R$3,00 × 50 = R$ 150,00
• Mas ele só recebeu R$ 85,00, deixando de ganhar: R$ 150,00 – R$ 85,00 = R$ 65,00.
179
• Calculemos quantos problemas ele errou, tendo que devolver R$ 5,00 a cada erro:
R$ 65,00 ÷ R$ 5,00 = 13 problemas errados
• Logo dos 50 problemas, se ele errou 13, ele acertou 50 – 13 = 37 problemas.
6.4.8.2.- Resolução Algébrica:
Podemos resolver este problema de duas maneiras:
6.4.8.2.1.- 1ª Maneira: Através de uma Equação Linear Algébrica:
Infelizmente este tipo de equacionamento algébrico não é claro, devolvendo-nos a ideia de que
falta algo para que possamos bem compreender o que estamos fazendo. Confira:
• Seja x a quantidade de acertos do estudante
� A quantidade de ganho do estudante é: 3x
� A quantidade de problemas não resolvidos será: 50 – x
• A quantia que ele ganhou acertando e errando os problemas será dada pela equação:
3x – 2(50 – x) = 85
• Resolvendo a equação:
3x – 2(50 – x) = 85 ⇒ 3x – 100 + 2x = 85 ⇒ 5x = 85 + 100 ⇒5x = 185 ⇒x = 5
185 = 37
• Logo, como a quantidade de acertos é: 37, a quantidade de erros será: 50 – 37 = 13.
6.4.8.2.2.- 2ª Maneira: Através de uma Sistemas de Equações Lineares Algébricas:
Esta forma de resolução é mais rápida e fácil de compreender, veja:
• Seja x a quantidade de problemas certos e y a quantidade de problemas errados, logo:
•
=−
=+
(2) 8523
(1) 50
yx
yx ⇒
=−
=+
8523
5022
yx
yx ⇒ 5x = 135⇒ x = 37
• De (1) vem que: x+ y = 50 ⇒37 + y = 50 ⇒ y = 50 – 37 = 13
6.4.8.3.- Análise da Estrutura Lógico-Numérica do Problema:
Este problema traz um dilema: quando o estudante erra um problema, o que ele realmente
perde ou deixa de ganhar?
• A resposta seria: o estudante deixa de ganhar R$ 3,00 e ainda perde R$ 2,00. Ou seja,
ele dá um ‘lucro’ de R$ 5,00 para o professor.
180
• Assim do total que deveria receber pelo acerto de todos os problemas propostos, ele
deve subtrair deste valor total, um quantia de R$ 5,00, a cada problema erraado.
• É claro que haverá casos em que ele não recebe nem paga nada ao professor, mas há
casos em que ele ficará devendo.
6.4.8.4.- Uma Reformulação do Problema:
Um pai propõe a seu filho, que está com preguiça de realizar uma tarefa escolar constituída por um conjunto de 35 questões de múltipla escolha de matemática, que pagará 5 reais por cada problema resolvido corretamente pelo filho e que perderá 3 reais a cada problema não
resolvido. No final, o garoto não ganhou nem pagou nada.
Quantos problemas foram resolvidos por ele?
• Veja que ele teve que acertar uma certa quantidade de problemas para poder pagar
pelos problemas não solucionados.
• Vamos resolvê-lo através de um sistema de equações lineares algébricas:
• Seja x a quantidade de problemas certos e y a quantidade de problemas errados, logo:
•
=−
=+
(2) 025
(1) 35
yx
yx ⇒
=−
=+
025
3522
yx
yx ⇒ 7x = 35⇒ x = 5
• De (1) vem que: x+ y = 35 ⇒ 5 + y = 35 ⇒ y = 35 – 5 ⇒ y = 30
• Acho que o garoto estava bastante despreparado para a realização da tarefa !!!
6.4.9.- Problema-Exemplo #09
Uma torneira enche, com água, um reservatório de 600 litros em 6 horas, mas outra torneira que tem menor vazão que a primeira, irá encher este mesmo reservatório em
12 horas. Se abrirmos as duas torneiras ao mesmo tempo em quanto tempo o reservatório ficará cheio?
6.4.7.1.- Somente Apresentamos a Resolução Aritmética:
• Devemos calcular quanta água (litros) cada uma das torneiras jorra na unidade de
tempo (hora):
� 600 l ÷ 6 h = 100 l /h
� 600 l ÷ 12 h = 50 l /h
• Abrindo-se as duas torneiras ao mesmo tempo quantos litros de água serão
despejados no reservatório?
� 100 l /h + 50 l /h = 150l /h
• Jorrando 150l /h o reservatório ficara cheio em quanto tempo?
181
� 600 l ÷ 100 l /h = hhh
6100
600
/100
600=×=
l
l
l
l
Este é um problema que possui outra variante em que enquanto uma torneira enche um reservatório,
uma outra, aberta deixa vazar água numa menor quantidade do reservatório.
6.4.10.- Problema-Exemplo #10
Dois automóveis partem de duas cidades distintas A e B, distantes 600 km uma da
outra, em sentidos opostos, com as velocidades médias 50 km/h e 100 km/h
respectivamente.
(a) Depois de quanto tempo se encontrarão?
(b) Aonde exatamente se encontrarão?
6.4.10.1.- Somente Apresentamos a Resolução Aritmética:
• Veja nos esquemas o significado da expressão ‘sentidos opostos’:
B A
B A
1º Caso 2º Caso
• No primeiro caso os veículos em algum instante se encontrarão em algum ponto da
estrada mas, no segundo caso, não se encontrarão nunca.
• Vejamos qual será a distância dos automóveis a cada hora da viajem:
� No tempo t = 0 horas ⇔ a distância será de 600 km.
� No tempo t = 1 hora ⇔ a distância irá diminuir 50 km + 100 km, ou
seja:
A distância depois de uma hora de viajem será:
600 km - (50 Km + 100 km) = 600 km – 150 km = 450km
� No tempo t = 2 horas ⇔ a distância irá diminuir 2 × (50 km + 100
km), ou seja,:
600km – 300 km = 300 km.
182
� Sabemos que a distância diminui 150 km a cada hora, assim sendo os
carros percorrerão os 60 km em 4 horas.
• Onde eles se encontrarão é um problema simples de se resolver, basta calcular:
50 km/hora × 4 horas = 200 km
100 km/hora × 4 horas = 400 km
Confira no esquema abaixo:
B A
200 km 400 km
6.5.- Comentários Finais
Os problemas-exemplo até aqui apresentados não esgotam as possibilidades de outros e mais
interessantes enunciados. Nos livros desta coleção – Jogos Para o Pensamento Lógico-Aritmético –
voltaremos a abordar este assunto.
Os educadores interessados devem completar esta pesquisa acrescentando outros problemas
cujo enunciado possa ser abordado aritmeticamente e algebricamente, visando comparar estes
processos de resolução de problemas.
183
JALGB#07 – JOGOS PARA O PENSAMENTO ALGÉBRICO Nº 07 OPERANDO COM CÓDIGOS ALGÉBRICOS
Neste JALGBR iremos introduzir um conjunto de símbolos genéricos que serão utilizados como incógnitas em expressões aritméticas. Isto nos dará a oportunidade de simular muitos dos raciocínios algébricos exigidos quando da resolução de equações algébricas e de sistemas de equações lineares, preparando antecipadamente os estudantes para a passagem do pensamento aritmético-para-o-algébrico.
7.1.- As Tabelas de Símbolos e Valores Numéricos
A Álgebra envolve, entre outras coisas, o estudo das equações lineares – polinômios com
seus termos algébricos, associados por sinais de operações e de igualdade ou de desigualdade. No
entanto, antes de se introduzir este importante conceito algébrico poderemos nos servir de Jogos
Para o Pensamento Lógico que irão facilitar a passagem do pensamento aritmético-para-o-algébrico.
Ao adotarmos um conjunto de símbolos genéricos, mas de alguma forma padronizados,
associados aos sinais das operações aritméticas e da igualdade, que muitos tipos de jogos bastante
interessantes poderão ser propostos.
7.1.1.- Os Cartões Algébricos Amarelos e os Cartões Numéricos Verdes
O material a ser utilizado nos jogos que serão propostos a seguir: os Cartões Algébricos
Amarelos e os Cartões Numéricos Verdes, poderão ser impressos a partir do conteúdo do CD-R que
acompanha este livro.
• Os Cartões Algébricos Amarelos trazem impressos os símbolos e os sinais das
operações aritméticas e o sinal de igualdade, bem como os parêntesis:
� Estes cartões, três a três, foram estudados para se apresentarem com
características gráficas bastante próximas – uma lógica adotada por motivos
psicopedagógicos10 – sendo que algumas diferenças de localização das áreas
claro/escuro em cada dos três elementos de um mesmo grupo podem ser
diferenciados um do outro:
10 Isto simula os processos matemáticos de identificação de termos algébricos, como nos seguinte exemplos: xy2, x2y, 2xy, 2yx, -2xy, xyz, xzy, zyx, x2yz, x2y2z, x2yz3, que apresentam pequenas diferenças, às vezes imperceptíveis numa primeira análise.
184
• Os Cartões Numéricos trazem impressos:
� Os valores numéricos inteiros positivos e o zero, limitados à faixa que se
inicia em 0 e chega ao 20 – na cor verde;
� Os valores numéricos inteiros negativos e o zero, limitados à faixa que se
inicia em -20 e chega ao 0 – na cor verde claro.
� Abaixo apresentamos as três tabelas contendo os cartões denominados Cartões Algébricos
Amarelos e os Cartões Numéricos Verdes:
5 6 7 1 2 4 3
12 13 14 8 9 11 10
19 20 0 15 16 18 17
5 6 7 1 2 4 3
12 13 14 8 9 11 10
19 20 0 15 16 18 17
-5 -6 -7 -1 -2 -4 -3
-12 -13 -14 -8 -9 -11 -10
-19 -20 0 -15 -16 -18 -17
-5 -6 -7 -1 -2 -4 -3
-12 -13 -14 -8 -9 -11 -10
-19 -20 0 -15 -16 -18 -17
185
7.1.1.1.- Imprimir, Plastificar e Recortar
O leitor deve imprimir o material acima em folhas de papel A4 comuns – vide o CD-R que
acompanha este livro –, plastificá-las, recortando os cartões simbólicos e numéricos em seguida.
7.1.2.- A Tabela de Controle de Atribuição dos Valores Simbólicos
A tabela a seguir – que pode impressa numa folha de papel sulfite A4 a partir do CD-R que
acompanha este volume – visa facilitar o controle de atribuição de valores aos símbolos algébricos,
facilitando o trabalho educador na preparação dos exercícios:
1
2
3
4
5
6
7
8
7.1.3.- O Cálculo do Valor Numérico de Expressões Algébricas
O cálculo do valor numérico de expressões algébricas é uma das aplicações das mais
triviais dos Cartões Algébricos Amarelos – cartões simbólicos – e dos Cartões Numéricos Verdes –
tanto os verdes (contendo números inteiros positivos) ou verdes claros (contendo números inteiros
negativos).
Vejamos alguns exemplos do cálculo do valor numérico de expressões algébricas montadas
com os cartões simbólicos e numéricos a seguir.
186
• Calcular o valor numérico das expressões segundo os valores tabelados
apresentados logo abaixo:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
5 2 -3 6 4 10 9 7 8 19 3
• Soluções:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
5 5 3
10 8 -1 19
5 6
15
-9
10 2
-3
20
2 10 20
-11 44 -4
7.2.- Exercícios do Tipo Jogos Para o Pensamento Algébrico
Os jogos apresentados a seguir são alguns exemplos do uso dos Cartões Simbólicos Verdes e
dos Cartões Numéricos que devem ser estudados pelo educador quanto à conveniência de
apresentá-los aos seus alunos. Sugere-se também como em todos os jogos destes 4 volumes de
187
Jogos Para o Pensamento Lógico-Aritmético que os educadores mais interessados criem os seus
próprios jogos, explorando ao máximo este material.
7.2.1.- Jogos dos Valores Fixados Para as Variáveis
• Estes são jogos a serem resolvidos pelo método de tentativas: o educador
fornece valores numéricos que devem ser utilizados para preencher os valores das
variáveis que satisfaçam à igualdade aritmética simbólica.
7.2.1.1.- 1º Caso: n Variáveis e n+1 Valores Numéricos
O educador deve escolher um conjunto de n+1 valores numéricos e deve propor o seguinte:
Substituir as variáveis abaixo pelos números: 2, 3, 5 ou 7, não se admitindo a repetição
dos números.
17
• Deve-se levar em conta que a operação multiplicação tem prevalência sobre a
adição.
• Resultados:
2 3 52 3 52 3 52 3 5
3 2 73 2 73 2 73 2 7
• Conferindo: 2 + (3 × 5) = 17 e 3 + (2 × 7) = 17. O parêntesis não é necessário,
servindo apenas para realçar a prioridade da multiplicação sobre a adição.
7.2.1.2.- 2º Caso: n Variáveis e n+k Valores Numéricos, para k = 1, 2, 3, ...
O educador deve escolher n + k valores numéricos onde k = 1, 2, 3, ... e n a quantidade de
variáveis, propondo por exemplo:
Substituir as variáveis abaixo pelos números: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10 e 20, sem repetição
dos mesmos.
19
188
• Resultados:
2222 10101010 6 6 6 6 4 4 4 4 9999
10101010 2 2 2 2 6 6 6 6 4 4 4 4 9 9 9 9 (pela comutatividade da ‘××××’)
3 3 3 3 6 6 6 6 1 1 1 10000 8 8 8 8 10101010
5555 20 20 10 920 20 10 920 20 10 920 20 10 9
• Possivelmente deve haver muitos outros resultados, o leitor pode tentar
conseguir as suas próprias soluções.
7.2.1.3.- 3º Caso: Variáveis restritas a um intervalo numérico
• O educador deve estabelecer um subintervalo de números inteiros não
negativos contido no intervalo de 0 →← 20 – exatamente os valores da série dos
Cartões Numéricos.
• Nada impede que o educador escolha o intervalo 0 →← 20, mas o jogo fica
mais interessante à medida que se limita o intervalo numérico.
• Veja um exemplo de exercício:
Substituir as variáveis abaixo pelos números inteiros contidos no intervalo
2 →← 7, sem repetição dos mesmos:
17
• Soluções:
2 2 2 2 5 35 35 35 3
2 2 2 2 3 53 53 53 5
3 2 7 3 2 7 3 2 7 3 2 7
5 4 3 5 4 3 5 4 3 5 4 3
189
• Possivelmente deve haver muitos outros resultados, o leitor pode tentar
conseguir as suas próprias soluções.
7.2.1.4.- 4º Caso: Obtenção do Máximo e Mínimo da Expressão Algébrica
• As expressões simbólicas devem aqui ser calculas para produzir, a partir de
valores fornecidos pelo educador, o seu valor máximo e o seu valor mínimo.
• Veja um exemplo muito simples deste exercício:
Substituir as variáveis abaixo pelos números inteiros: 1, 2, 3, 4, 5 e 6, sem repetição dos
mesmos, com a finalidade de se obter o máximo valor da expressão e o seu mínimo valor.
• Solução:
Máximo: 6 5 4 34 ←este é o máximo ? Verifique.
Mínimo: 1 2 3 5 ←este é o mínimo ? Verifique.
• Veja um exemplo de exercício bastante difícil:
Substituir as variáveis abaixo pelos números inteiros: 1, 2, 3, 4, 5 e 6, sem
repetição dos mesmos, com a finalidade de se obter o máximo valor da expressão e
o seu mínimo valor.
Máximo: 4 2 6 5 1 31 ?
4 2 5 6 1 33 ←este é o máximo ?
Mínimo: 6 3 1 5 4 4 ←este é o mínimo ?
190
• Veja outro exemplo de exercício bastante difícil:
Substituir as variáveis abaixo pelos números inteiros contidos no intervalo
2 →← 7, sem repetição dos mesmos, com a finalidade de se obter o máximo valor
da expressão e o seu mínimo valor.
• Solução: Este exercício é deixado para o leitor como um Jogo Para o
Pensamento Algébrico. A técnica aqui, em particular nesta expressão, é a seguinte:
� Para calcular o máximo: deve-se primeiramente maximizar a
multiplicação, para somente em seguida, maximizar a divisão;
� Para calcular o mínimo: deve-se primeiramente minimizar a
multiplicação, para somente em seguida, minimizar a divisão.
7.2.2.- Jogo Com Conjuntos de Equações Lineares
Os jogos que iremos apresentar aqui simulam sistemas de equações lineares cuja busca das soluções
devem ser realizadas através de raciocínio lógico.
7.2.1.1.- 1º Caso: Sistemas Lineares n Variáveis e n+k equações
• O educador deve escolher os valores dos símbolos:
no 3 2 1 6
• Em seguida deve montar as equações:
4
36
6
191
• Solução:
� Há duas equações que podem ser diretamente resolvidas:
36
6
1
A segunda equação deve ser interpretada como 1 × 1 = 1.
� Por substituição podemos calcular os demais valores dos símbolos:
4
6
6 6 3
1
1
� De onde poderemos tirar o seguinte:
1 4
3 6
3
2
7.2.1.2.- 2º Caso: Sistemas Lineares 2 Variáveis e 2 equações
1º exercício:
7
3
2º exercício:
⇒⇒⇒⇒
⇒⇒⇒⇒
⇒⇒⇒⇒
⇒⇒⇒⇒
192
9
-3
• Veja os valores dos símbolos presentes nas ‘equações’ acima:
1º exercício: 2º exercício:
5555
2222
3333
6666
7.2.3.- Jogo com as Somas dos Elementos Lineares em Matrizes 3 ×××× 3
As matrizes 3 × 3 são tabelas cujos elementos são distribuídos em 3 linhas e 3 colunas. Como
mostrado na figura a seguir, onde mostramos ainda, as diagonais principal e secundária:
Linha 1
Linha 2
Linha 3
Col
una
1
Col
una
2
Col
una
3
Diagonal Principal Diagonal Secundária
As somas intituladas Somas Lineares são as somas dos elementos matriciais: linha por linha,
coluna por coluna, bem como, as somas dos elementos constantes das diagonais.
Veja abaixo um exemplo de matriz numérica 3 × 3 nas formas que normalmente podem ser
representada em Matemática:
−
−
7/3316
2150
93/12
ou
7/3316
2150
93/12
−
−
193
No nosso caso, os elementos simbólicos sempre são tomados como sendo número inteiros, nada
impedindo, no entanto, que as matrizes de modo geral apresentem números de todos os tipos como
reais, complexos, bem como expressões trigonométricos, logarítmicas, etc.
7.2.3.1.- Exemplo 1: Matrizes com apenas 2 elementos distintos
•O educador deve escolher três símbolos e montar a matriz 3 × 3:
•O educador deve, em seguida, utilizar a Tabela de Controle de Atribuição dos Valores
Simbólicos para anotar os valores – números inteiros positivos e o zero, visando facilitar a
confecção da matriz 3 × 3:
no 4 5
13
15
13
13 14 14 13 14
•Como Resolver este Jogo?
� Vemos que na segunda linha ocorre três vezes um mesmo símbolo:
15
de onde podemos tirar que:
vale 5.
194
� Veja que poderemos tirar o valor do símbolo
seja da 1ª coluna ou da
1ª linha:
13
14
14141414
5
5
ou
13 5
� Logo o valor do símbolo
é 4.
7.2.3.2.- Exemplo 2: Matrizes com 4 elementos distintos
• Tal como no primeiro caso, a matriz 3 × 3 deverá ter um valor numérico, de preferência
inteiro e positivo, que devem ser anotados na Tabela de Controle de Atribuição dos Valores
Simbólicos:
no 3 5 2 1
•Montar a matriz simbólica 3 × 3, e alocar na vertical e na horizontal bem como nas
diagonais as somas dos valores dos símbolos:
8888
10101010
5555
7777 8888 6666 9999 9999
•Como Resolver este Jogo?
� Vemos que na diagonal secundária ocorre três vezes um mesmo símbolo:
195
� Vemos que, se três destes símbolos somam 9, podemos concluir que cada um
deles vale 3.
� Na primeira linha temos:
8888
que equivale a
8888 3 3
de onde podemos
tirar que:
vale 2.
� Vejamos as linhas 2 e 3 da matriz:
10101010
7777 que equivale a
10101010
5555
2 3
3 de onde podemos
tirar que
vale 5 e
vale 1.
7.2.4.- Jogo com as Somas dos Elementos Lineares em Matrizes 4 ×××× 4
Vamos mostrar a seguir dois exemplos de jogos com matrizes 4 × 4 em que algum tipo de
disposição dos símbolos permite calcular com relativa facilidade os valores destes elementos.
7.2.4.1.- Exemplo 1: Matrizes 4 ×××× 4 com 4 Símbolos Distintos
•O educador deve escolher 4 variáveis distintas e atribuir os seus respectivos valores
utilizando a Tabela de Controle de Atribuição dos Valores Simbólicos:
no 3 5 2 1
•A distribuição dos símbolos na matriz 4 × 4 deve obedecer a alguns critérios, entre outros,
que permitam facilitar a resolução do jogo proposto:
196
� Uma das linhas ou colunas deve se apresentar com 4 símbolos iguais – veja a
2ª linha;
� Uma das linhas ou colunas deve apresentar dois símbolos distintos
apresentado aos pares - veja a 1ª linha;
� Uma das linhas ou colunas deve apresentar os quatro símbolos distintos –
veja a 3ª linha.
8888
11111111
14141414
10101010 11111111 11111111 12121212 9999
10101010
6666
•Vamos analisar um dos conjuntos de raciocínios a ser adotado na resolução do jogo:
� Encontrar o valor da variável que esteja repetida 4 vezes numa linha ou
coluna
8888
⇒⇒⇒⇒ vale 2.
� Utilizando a 1ª linha podemos calcular mais um dos valores:
10101010
⇒⇒⇒⇒ vale 3.
� Utilizando as duas últimas linhas da matriz:
11111111
14141414
� Podemos isolar os símbolos dos quais ainda não temos o valor, utilizando as
novas somas resultantes, para gerar alguns novos valores.
197
� Na figura a seguir as flechas verdes mostram a comparação entre elementos
ou conjunto de elementos simbólicos cujos valores são conhecidos versus valores
que são conhecidos.
� As flechas vermelhas indicam a transferência dos cálculos ou expressões do
1º passo para o segundo.
1º Passo:
6666
11111111
5555
------------- -------------------------------------------- ----------------------------
2º Passo:
6666
5555
1111
____________________________________________________________________
7.3.- Uma nova Forma de Propor a Utilização dos Resultados
Até aqui as nossas propostas envolviam apenas calcular o valor das variáveis (símbolos),
aqui nós vamos acrescentar uma nova proposta para a aplicação dos valores dos símbolos
encontrados na resolução do problema.
198
7.3.1.- Exemplo 1: Retomando o Item 7.2.1.1.
• Este é o conjunto de equações apresentados no item 7.2.1.1.:
4
36
6
Resolvidas as ‘equações’ acima calcule o valor numérico da seguinte expressão:
4
���� Solução:
• Para facilitar os cálculos vamos expor na seguinte Tabela de Controle de Atribuição
dos Valores Simbólicos os valores dos símbolos aqui utilizados:
no 3 2 1 6
• O leitor deve conferir os cálculos que produz o valor numérico da expressão dada
acima:
(3 × 6 + 2) ÷(2 + 3) × 6 = 20 ÷ 5 × 6 = 4 × 6 = 24
NOTA IMPORTANTE: A expressão assinalada em vermelho deve ter as suas operações
efetuadas na sequência em que aparecem (da esquerda para a direita).
7.3.2.- Exemplo 2: Retomando o Item 7.2.4.2.
• Esta é a matriz 4 × 4 apresentada no item 7.2.4.2:
a) Calcule o valor dos símbolos que aparecem na matriz;
b) Calcule o valor numérico da expressão apresentada em seguida.
199
5555
9999
8888
10101010 6666 9999 9999 9999
10101010
5555
4
���� Solução:
• Para facilitar os cálculos vamos expor na seguinte Tabela de Controle de Atribuição
dos Valores Simbólicos os valores dos símbolos aqui utilizados:
no 3 2 1
O leitor deve conferir os cálculos que produz o valor numérico da expressão dada acima:
(3 × 2 + 1) × 3 - (3 + 2 ) × 1 = 7 × 3 - 5 × 1 = 21 − 5 = 16
7.3.3.- Exemplo 3: Retomando o Item 7.2.3.2.
• Esta é a matriz 3 × 3 apresentada no item 7.2.3.2:
a) Calcule o valor dos símbolos que aparecem na matriz;
b) Calcule o valor numérico da expressão apresentada em seguida.
8888
10101010
7777
7777 8888 6666 9999 9999
200
4
���� Solução:
• Para facilitar os cálculos vamos expor na seguinte Tabela de Controle de Atribuição
dos Valores Simbólicos os valores dos símbolos aqui utilizados:
no 3 5 2 1
O leitor deve conferir os cálculos que produz o valor numérico da expressão dada acima:
(5 × 3 + 1) ÷ 2 - (3 + 2 ) × 3 = 16 ÷ 2 − 5 × 3 = 8 − 15 = −7
7.4.- Conclusões
Novos tipos de Cartões são propostos a seguir, bem como a sugestão do uso de cartões em
tamanho ampliado para serem utilizados em sala de aula pelos educadores em quadros imantados.
7.4.1.- Os Novos Cartões Amarelos, Verdes e Brancos
A seguir vamos apresentar novos cartões amarelos – adotando como variáveis as letras
latinas maiúsculas, as minúsculas, e ainda os sinais das operações, os sinais de igualdade e
desigualdade – e os cartões verdes, contendo valores numéricos. Os cartões com fundos brancos são
aqueles em que os sinais estão impressos.
A B C D E
F G H I J
a b c d e
f g h i j
K L M N O
P Q R S T
U V W X Y Z
k l m n o
p q r s t
u v w x y z
201
10 11 12 13 14
15 16 17 18 19
20 21 22 23 24
25 26 27 28 29
Observação: No caso dos números ou resultados negativos devem-se utilizar os sinais de
‘−’ para caracterizar este fato.
7.4.2.- O Uso de Cartões Gigantes
Os educadores poderão elaborar os seus próprios cartões em tamanho gigante para expor na
lousa imantada ou num cartaz de pregas as expressões e matrizes simbólicas.
202
JALGB#08 – JOGOS PARA O PENSAMENTO ALGÉBRICO Nº 08 OS ÁLGEBRA TILES OU LADRILHOS ALGÉBRICOS: COMO USAR
Os Pensamentos, tanto o Algébrico quanto o Aritmético, têm nos Ladrilhos Algébricos (do inglês: Álgebra Tiles) um ferramental dos mais notáveis devido à versatilidade para representar e simular várias operações aritméticas, as operações com polinômios até o 2º grau – adição, subtração, multiplicação, fatoração e divisão (a operação mais complexa) –, bem como a resolução de equações algébricas lineares e equações do 2º grau. Os ladrilhos Algébricos corroboram a nossa tese de que o Pensamento Aritmético deve servir de base para o Pensamento Algébrico (Veja JALGBR#01). As equações algébricas do 1º ou 2º graus resolvidas com o Algebra Tiles / Ladrilhos Algébricos serão abordadas em outro JALGBR.
8.1.- Os Ladrilhos Algébricos: Frente e Verso
Apresentamos abaixo mostramos as frentes e versos dos três ladrilhos básicos do “Álgebra
Tiles” ou Ladrilhos Algébricos. As frentes destes ladrilhos são de cores distintas: amarelo =
unidade, verde = x e azul = x2, enquanto o verso de todos eles é sempre vermelho, representando
respectivamente: –1, –x e –x2, conforme se poderá ver a seguir.
8.1.1.- O Ladrilho com valores +1 e –1
Frente: +1 Verso: –1
As medidas reais do ladrilho +1 e – 1 são mostradas abaixo:
4 cm
2 cm
203
8.1.2.- O Ladrilho com valores +x e –x
Frente: +x Verso: –x
As medidas reais do ladrilho +x e – x são mostradas abaixo:
8 cm 8 cm
2 cm
8.1.3.- O Ladrilho com valores +x2 e –x2
Frente: +x2 Verso: –x2
As medidas reais do ladrilho +x2 e – x2 são mostradas abaixo:
8 cm
8 cm 8 cm
204
8.2.- Os Ladrilhos Algébricos: Folhas A4 a Serem Impressas, Dobradas e Plastificadas
O leitor encontrará no CD-R que acompanha este livro as 3 folhas no formato A4, mostradas abaixo, em que estão impressas cada um dos conjuntos dos 3 tipos de Ladrilhos Algébricos de acordo com as seguintes medidas. As instruções a serem seguidas no recorte, dobradura e plastificação dos Ladrilhos Algébricos são as seguintes:
Cortar: Dobrar:
���� Os ladrilhos correspondentes a “+1 / –1” deverão ser dobrados e imediatamente colados usando cola do tipo bastão (cola pastosa para colar
papel) , para ema seguida, serem plastificados. Procure dispor os cartões já colados de forma a bem aproveitar o plástico com medida A4.
205
8.3.- Os Ladrilhos Algébricos e As Operações Aritméticas
Para as aplicações aritméticas dos Ladrilhos Algébricos iremos utilizar apenas aquele que
corresponde às unidades positiva/negativa, ou seja, +1/–1, sendo que as suas dimensões, para
facilitar a manipulação sobre o tampo de uma mesa, devem ser alteradas para 3cm × 3cm,
especialmente quando se trabalha com crianças pequenas.
Recomenda-se que sejam impressos, dobrados e colados usando cola do tipo bastão (cola
pastosa para colar papel) e plastificados pelo menos, 20 destes cartões duplos (amarelo ligado numa
única peça ao vermelho) para cada aluno. Procure dispor os conjuntos de cartões de forma a
melhor aproveitar o plástico de medida A4.
Veja abaixo o modelo da página com os ladrilhos unitários que terão a medida 3cm × 3cm e
leia o texto explicativo que consta desta página:
Unidades com medidas 6 cm x 3 cm: recortar cada linha com cinco peças (amarelo + vermelho),
dobrar na linha verde, plastificar cada um destes conjuntos com 5 ladrilhos cada, recortar.
Unidades com medidas 6 cm x 3 cm: recortar cada linha com cinco peças (amarelo + vermelho),
dobrar na linha verde, plastificar cada um destes conjuntos com 5 ladrilhos cada, recortar.
206
8.3.1.- Os Pares de Soma-Zero
Denominamos ‘Par de Soma-Zero’ ou ‘Par de Cartões que se Anulam’ quando numa
representação de uma operação temos dois cartões de cores opostas ‘amarelo + vermelho’, verde +
verelho ou azul + vermelho, o par deve ser eliminado pois aritmeticamente isto corresponde à
operação:
amarelo + vermelho = +1 + (–1) = 0
verde + vermelho = +x + (–x) = 0
azul + vermelho = +x2 + (–x2) = 0
Veja o exemplo na figura a seguir, onde a partir da operação ‘5 + (–3)’, três cartões vermelhos
eliminam 3 cartões amarelos, resultando na soma = 2:
(a) Representar: 5 + (–3) (b) Elimiar os Pares Soma-Zero (c) Soma = 2
8.3.2.- Concretizando Adições com os Ladrilhos Algébricos
Os exemplos a seguir são auto-explicativos. Examine-os:
Operação: 3 + 2 = ?
1º)
2º)
207
Operação: –4 + (–3) = –7
1º)
2º)
Operação: +5 + (–3) = +2
1º)
2º)
3º)
Operação: –6 + 2 = –4
1º)
2º)
3º)
208
8.3.3.- O Oposto Aditivo (e Oposto Multiplicativo) de um Número Inteiro
Para compreendermos o que seja a concretização da subtração com o Algebra Tiles /
Ladrilhos Algébricos devemos antes, compreender o que seja o oposto aditivo ou simétrico de um
número inteiro:
A expressão aritmética: ‘– (– a)’ pode ser lida como ‘oposto de (– a)’
‘o oposto aditivo de +a’ é igual a ‘–a’
‘o oposto aditivo de –a’ é igual a ‘+a’
• A figura abaixo mostra o que seja, numa Reta Numerada Z o oposto
opostos aditivos ou simétricos:
oposto de +a = –a
oposto de –a = +a
–a ... –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 ... +a
aumenta diminui
Veja as ideias teóricas e os exemplos a seguir conferindo na reta numérica acima:
– (+a) = –a pode ser lido como ‘o oposto aditivo de ‘+a’ é igual a ‘–a’
– (+6) = –6 – (+0) = – 0 = 0
‘– (–a ) = +a pode ser lido como ‘o oposto aditivo de ‘–a’ é igual a ‘+a’
‘– (–7 ) = +7 ‘– (– 0 ) = +0 = 0
8.3.1.1.- Opostos Aditivos e Opostos Multiplicativos
Vamos apelar um pouco para algumas ideias teóricas:
O elemento neutro da adição é o zero, pois: 0 + a = a + 0 = a
O oposto aditivo de ‘+a’ é ‘–a’ pois: a + (–a) = –a + a = 0
O elemento neutro da multiplicação é o 1, pois: 1 × a = a
O oposto aditivo de ‘a’ é ‘a
1’ pois: a ×
a
1 = 1.
Veja os exemplos: 7 ×7
1 = 1 –5 ×
5-
1 = 1
5
3 ×
3
5 = 1
209
8.3.1.2.- Opostos Aditivos e Opostos Multiplicativos
Para calcular o oposto de uma representação numérica com os cartões Álgebra Tiles deve-se
apenas virar os cartões expondo a cor do verso. Veja os Exemplos a seguir:
Oposto de( )=
Operação: –(+3) = –3
Oposto de( )=
Operação: –(–4) = +4
8.4.- As Operações Polinomiais com os Ladrilhos Algébricos
Os cartões +1 e –1, +x e –x, +x2 e –x2 serão utilizados para representar polinômios e
concretizar operações como adição, multiplicação e fatoração. Os exemplos a seguir são auto-
explicativos.
8.4.1.- Representação de Polinômios com o Uso dos Ladrilhos
Algébricos
Os polinômios abaixo foram representados através dos Ladrilhos Algébricos.
P(x) = 5x - 7
P(x) = -2x + 15
210
P(x) = 3x2
P(x) = –x2 + 2x – 5
P(x) = 2x2 – 3x + 4
-P(x) = -(2x2 – 3x + 4)
8.4.2.- Adições e Subtrações de Polinômios
Vamos tomar dois dos polinômios – que aparecem acima como exemplos – renomeando-os como
P1(x) e P2(x) para exemplificar a seguir, a obtenção da soma e a diferença entre os mesmos.
P1(x) = 2x
2 – 3x + 4
P2(x) = –x
2 + 2x – 5
8.4.2.1.- Um Exemplo de Adição de Polinômios
A adição prevê que eliminemos os pares de soma-zero e agrupemos os ladrilhos restantes:
P1(x) + P2(x)= x2 – x – 1
P1(x) + P2(x)= ?
211
8.4.2.2.- Um Exemplo de Multiplicação de Polinômios
Os mesmos dois polinômios anteriores serão subtraídos um do outro, ou seja, iremos
adicionar o primeiro polinômio aos oposto do segundo polinômios: P1(x) + ( −P2(x) ), como
mostrado abaixo:
– P2(x)= x2– 2x + 5 P2(x)= –x
2+ 2x - 5
P1(x) = 2x2 +3x +4
P1(x) – P2(x)= 3x2 + x + 9
Oposto de P2(x) ����
Queremos calcular: P1(x) −−−− P2(x)= ?
Vamos adicionar P1(x) ao oposto de P2(x), ou seja:
P1(x) + ( −−−− P2(x) )= ?
Resultado ����
8.4.4.- A Multiplicações de Polinômios
As multiplicações são realizadas com o auxílio de um suporte onde os polinômios são
dispostos: um na vertical e outro na horizontal.
8.4.4.1.- 1º Exemplo:
1º Passo:
• Distribuir os ladrilhos correspondentes a cada um dos dois polinômios, ordenando
primeiramente os ladrilhos ‘x’ e depois os ladrilhos unitários no esquema prático
mostrado abaixo.
212
• Alocar os dois polinômios: um deles na vertical – esta escolha pode ser qualquer:
P1(x) ou P2(x) poderia ser ali alocado –, e o outro polinômio na horizontal, como
mostrado na figura:
•
P2(x) =
P1(x) =
P1(x)×P2(x)= ?
×
P1(x) =
P2(x) =
P1(x)×P2(x)= ?
×
2º Passo:
• Vejamos a alocação dos polinômios e em seguida a operação de multiplicação:
P2(x) = 2x – 2
P1(x) = – x + 2
P1(x)×P2(x)= (2x – 2) x (2x + 2)
×
P2(x) = 2x – 2
P1(x) = – x + 2
P1(x)×P2(x)=2x2 + 6x – 4
×
8.4.4.2.- 2º Exemplo:
P2(x) = x – 5
P1(x) = x – 2
P1(x)×P2(x)=(x-5) × (x-2)
P2(x) = x – 5
P1(x) = x – 2
P1(x)×P2(x)=x2 + 3x +10
213
8.4.4.3.- 3º Exemplo:
O Leitor atento irá notar que nesta multiplicação o produto apresenta um par soma-zero, ou
seja, um ladrilho + x contra 4 ladrilhos – x. Feito os cálculos: x + (– 4x) = –3x. Confira:
P2(x) = 2x + 1
P1(x) = x - 2
P1(x) ×××× P2(x)= (x-2)(2x+1) =
P2(x) = 2x + 1
D(x) = x - 2
P1(x) ×××× P2(x)= (x-2)(2x+1) = 2x2 - 3x - 2
8.4.5- A Fatorações de Polinômios
A fatoração de polinômios do 2º grau por este método só pode ser realizada quando se
consegue agrupar os diversos Ladrilhos Algébricos sob a forma de um retângulo (ou quadrado),
mesmo que para isto seja necessário completá-lo com ladrilhos soma-zero: x /−x, como mostrado
abaixo.
P2(x) = ?
P2(x) ?
P(x) = (x+6) ×××× (x+1) = x2 + 7x + 6
P2(x) = 2x + 1
D(x) = x - 2
P1(x) ×××× P2(x)= 2x2 - 3x - 2
Nos exemplos a seguir o leitor irá encontrar a forma de completar os polinômios que não
forma um quadrado ou um retângulo (veja itens: 8.4.5.2. e 8.4.6.2.).
Observação importante:
A distribuição dos ladrilhos algébricos no dispositivo prático deve obedecer a seguinte regra básica: o conjunto das unidades (no formato retangular) deve estar ligado pelo vértice ao último dos ladrilhos do tipo x2 (veja nos exemplos a seguir), sendo que os ladrilhos do tipo x e –x (pares de soma zero) devem ser dispostos de modo a completar o retângulo que compreende todos os ladrilhos.
214
Veja nos dois exemplos a seguir que, depois de distribuir os ladrilhos do tipo x2 e os do tipo
1 (ladrilhos unitários), devemos preencher as lacunas com pares de ladrilhos de soma-zero, ou seja,
somas do tipo: x + (–x ) = 0.
P2(x) = ?
P1(x) = ?
P(x)= 2x2 - 8
Vértice
P2(x) = 2x - 4
P1(x) = x + 2
P(x)= 2x2 - 8
P2(x) = ?
P1(x) = ?
P(x)= x2 - x - 6
Vértice
P2(x) = x - 3
P1(x) = x + 2
P(x)= x2 - x - 6
Estes são os pares soma-zero ou o pares que se anulam!
P2(x) = ?
D(x) = ?
P1(x) ×××× P2(x)= 2x2 - 3x - 2
Vértice
P2(x) = 2x + 1
D(x) = x - 2
P1(x) ×××× P2(x)= 2x2 - 3x - 2
Este é o par
soma-zero ou o par que se anula!
215
8.4.6- A Divisão de Polinômios
Ao contrário das multiplicações de polinômios com o uso do Algebra Tiles / Ladrilhos
Algébricos, a divisão de polinômios se mostra bastante complexa e será estudada em detalhes e
exemplificada em seus vários casos
• 1º Caso: O polinômio P(x) é múltiplo do polinômio divisor D(x), ou seja, P(x) é
divisível por D(x), que denominaremos divisão com resto zero, ou seja, R(x) = 0;
• 2º Caso: O polinômio P(x) não é divisível por D(x), que denominaremos divisão
com resto diferente de zero, ou seja, R(x) ≠ 0.
� Observação Importante: Há ainda ocorrências bastante complexa a serem
consideradas nos dois casos acima: Tanto os polinômios P(x) divisíveis por D(x)
quanto aqueles não divisíveis, podem ter que ser completados por pares de
ladrilhos soma-zero.
Abaixo mostraremos os casos das divisões exatas que não necessitam bem como aquelas que
necessitam da complementação com pares de ladrilhos de soma-zero.
8.4.6.1.- 1º Exemplo:
• Este é um exemplo do 1º caso da divisão entre os polinômios P(x) e D(x)
onde P(x) é divisível pelo polinômio D(x), ou seja, uma divisão com resto R(x)=0:
Q(x) = ?
D(x) = x + 1
Q(x) = (x2+7x+6)÷÷÷÷(x+1), R(x) = ?
P(x) = (x2+7x+6)÷÷÷÷(x+1)
Q(x) = x + 6
D(x) = x + 1
Q(x) = (x2+7x+6)÷÷÷÷(x+1) = x + 6, R(x) = 0
P(x) = (x2+7x+6)÷÷÷÷(x+1)
8.4.6.2.- 2º Exemplo:
• Este é um exemplo do 1º caso da divisão entre os polinômios P(x) e D(x)
onde P(x) é divisível pelo polinômio D(x), ou seja, esta é uma divisão com resto
R(x)=0, mas que exige a completação do polinômio P(x) com pares de soma zero
do tipo +x / – x.
216
• O educador deve ficar atento ao seguinte: o polinômio P(x) a ser dividido por
D(x) deve ser disposto no esquema prático com a finalidade de se apresentar como
sendo um retângulo ou um quadrado. Caso isto não seja verificado, há que se
estudar não somente a disposição dos ladrilhos que compõem o polinômio P(x) no
esquema prático, mas como completar o polinômio com pares de soma-zero.
Q(x) = ?
D(x) = x - 2
Q(x) = (2x2-3x– 2) ÷÷÷÷ (x-2)= ?, R(x) = ?
Q(x) = ?
D(x) = x - 2
Q(x) = (2x2-3x– 2) ÷÷÷÷ (x-2)= ?, R(x) = ?
Este é o par
soma-zero ou o par que se anula!
Q(x) = 2x + 1
D(x) = x - 2
Q(x) = (2x2-3x– 2) ÷÷÷÷ (x-2)= 2x+1, R(x) = 0
8.4.6.3.- 3º Exemplo:
• Neste exemplo, bem mais complexo do que o anterior temos que,
primeiramente, estudar a forma da disposição dos ladrilhos do polinômio P(x) no
esquema prático, o que não é muito fácil, diga-se de passagem.
• Este é um exemplo bastante complexo do 1º caso da divisão entre os
polinômios com resto R(x) = 0 que exigirá, por sua vez, a completação do
polinômio P(x) com 3 pares de soma zero do tipo +x / – x.
217
Q(x) = ? D(x) =2x - 3
Q(x) = (2x2+5x-12) ÷÷÷÷ (2x-3), R(x) = ?
P(x) = (2x2+5x-12)
Q(x) = ?
D(x) =2x - 3
Q(x) = (2x2+5x-12)÷÷÷÷(2x-3), R(x) = ?
P(x) = (2x2+5x-12)
Pares de soma-zero ou pares que se anulam!
Q(x) = ?
D(x) =2x - 3
Q(x) = (2x2+5x-12)÷÷÷÷(2x-3), R(x) = ?
P(x) = (2x2+5x-12)
8.4.6.4.- 4º Exemplo:
• Este é um exemplo do 2º caso da divisão entre os polinômios P(x) e D(x)
onde P(x) não é divisível pelo polinômio D(x), onde mostramos uma divisão onde
o resto R(x) é um número inteiro positivo.
O educador deve ficar atento ao seguinte: o polinômio P(x) a ser dividido por D(x) deve ser
múltiplo do divisor. Caso isto não seja verificado, há que se estudar como dispor o polinômio P(x)
no esquema prático, como sendo um retângulo ou quadrado e obter de forma separada o resto R(x).
218
• Este é um exemplo do 2º caso da divisão entre os polinômios P(x) e D(x)
onde P(x) não é divisível pelo polinômio D(x);
Q(x) =
D(x) = x + 1
Q(x)=(x2+8x+9) ÷÷÷÷ (x+1), R(x)=?
P(x) = (x2+8x+9)
R(x) = 2
Q(x) = x+7
D(x) = x + 1
Q(x) = (x2+8x+9) ÷÷÷÷ (x+1)= x+7, R(x)=2
P(x) = (x2+8x+9)
R(x) = 2
8.4.6.5.- 5º Exemplo:
• Este é outro exemplo do 2º caso da divisão entre os polinômios P(x) e D(x)
onde P(x) não é divisível pelo polinômio D(x); com resto R(x) inteiro e positivo.
Q(x) = ?
D(x) = x + 3
R(x) = 3
Q(x)=(x2+8x+18) ÷÷÷÷ (x+3), R(x)=?
P(x) = (x2+8x+18)
Q(x) = x + 5
D(x) = x + 3
R(x) = 3
Q(x)=(x2+8x+18) ÷÷÷÷ (x+3)=x+5, R(x)=3
P(x) = (x2+8x+18)
8.4.6.6.- 6º Exemplo:
• Este é um exemplo do 2º caso da divisão entre os polinômios P(x) e D(x)
onde P(x) não é divisível pelo polinômio D(x);
• Aqui teremos que completar o polinômio P(x) com pares de soma zero do
tipo + 1 / – 1, sendo que os ladrilhos complementares devem ser tomados como
resto da divisão.
219
Q(x) = ?
D(x) = x + 3
Q(x)=(x2+8x+2) ÷÷÷÷ (x+3), R(x)=?
P(x) = (x2+8x+2)
Q(x) = ?
D(x) = x + 3
R(x) = -13
Q(x)=(x2+8x+2) ÷÷÷÷ (x+3), R(x)=?
P(x) = (x2+8x+2)
Q(x) = x + 5
D(x) = x + 3
Q(x)=(x2+8x+2) ÷÷÷÷ (x+3)=x+5, R(x)=-13
P(x) = (x2+8x+2)
R(x) = -13
8.5.- Comentários Finais
O leitor poderá ver a seguir vários comentários sobre o material industrializado
Algeblocks® que possui muitas vantagens e algumas desvantagens quando comparado ao Algebra
Tiles / Ladrilhos Algébricos – item 8.5.1.
No Item 8.5.2. há este autor faz uma interessante sugestão a ser estudada detidamente, que é
a de ampliação do material do Algebra Tiles / Ladrilhos Algébricos pela adoção do ‘ladrilho’ que
simula o x3. Confira os exemplos de aplicação utilizando esta ampliação.
8.5.1.- Um Estudo Comparativo Algebra Tiles Versus Algeblocks®
Na Internet, os leitores que gostam de pesquisar ou estudantes de Educação Matemática,
encontrarão um material restrito mas interessante bastante semelhante ao Algebra Tiles / Ladrilhos
220
Algébricos denominado Algeblocks®. Um ligeiro estudo comparativo do Algebra Tiles e do
Algeblocks® permite verificar os seguintes fatos, entre outros.
Algebra Tiles / Ladrilhos Algébricos Algeblocks®
O Algebra Tiles é um material concreto
educacional de domínio público, não se constata
especificamente a existência de um autor.
Algeblocks® é um material concreto educacional
registrado e pode ser adquirido, via Internet, através
do site do ETA hand2mind:
http://www.hand2mind.com/
O Algebra Tiles, na versão apresentada neste livro,
só permite simular operações com polinômios até
do 2º grau.
O Algeblocks® permite operar com polinômios até
do 3º grau.
O Algebra Tiles é um material planar que pode ser
impresso numa impressora jato de tinta, e depois
de devidamente dobrado, pode ser plastificado.
Não existe, neste estudo que realizamos aqui, a
possibilidade de uso do ‘ladrilho’ x3, ‘um cubo’ de
aresta igual a x.
O Algeblocks® permite o uso de blocos com termos
algébricos com as seguintes combinações: 1, x, x2,
x3, y, y2, y3, xy, x2y e xy2, apresentados sob a forma
de 8 blocos na forma de prismas coloridos. Até
mesmo a unidade é um cubo de aresta unitária.
O custo para a elaboração de 10 conjuntos de
ladrilhos do Algebra Tiles - um conjunto para cada
grupo de 4 alunos – evidentemente é baixíssimo
quando comparado ao custo de materiais
algébricos industrializados.
O custo do material industrializado é elevado, mas
tem a vantagem de abranger um amplo espectro do
Pensamento Algébrico através do próprio material,
livros e CDs de treinamento para os educadores,
lesson plans (planos de aula) para os estudantes
O material do Algebra Tiles (os ladrilhos e folhas
de exercícios) é de facílima reposição.
O material do Algeblocks® a ser resposto, no caso
da perda de uma das peças, ou perda por quebra ou
desgaste dos dispositivos práticos, exige a compra de
conjuntos completos do material.
O Algebra Tiles exige um treinamento rápido. Há,
disponível na Internet, vários Applets para
download gratuito – os Applets são aplicativos
computacionais simuladores.
O Algeblocks® exige um treinamento bastante
especializado. E o educador deve estar muito
motivado para aprender a usar o material devido às
suas abrangentes possibilidades de aplicação.
221
O material impresso sobre ‘Algebra Tiles’
é facilmente encontrável na Internet mediante
pesquisa no site do Google.com.
O material impresso sobre Algeblocks® ainda é
muito limitado, mas a ETA hand2mind fornece
livros e CDs para treinamento
O Algebra Tiles / Ladrilhos Algébricos, devido a
suas limitações operacionais – não operar com os
termos algébricos: x3, xy, x2y e xy2 –, exige que se
passe do pensamento algébrico concreto para o
pensamento algébrico abstrato bem antes de se
poder simular alternativas algébricas normalmente
exigidas como, por exemplo, no caso da Geometria
Analítica bi e tridimensional.
O Algeblocks® devido à possibilidade de operar
com os termos algébricos que ainda não existem no
Álgebra Tiles tais como: x3, xy, x2y e xy2, que
permitem ampliar a abrangência pedagógica da
simulação de operações algébricas. Fato este a ser
pesquisado
O Algebra Tiles está mais próximo da
representação do que seja a unidade, o x e o x2: um
quadrado de 1x1 unidades, um retângulo de altura
1 e uma extensão arbitrária x repetida no ladrilho
que representa o x por x, Ito é, o x2.
Há um erro no Algeblocks onde todas as peças são
indistintamente sólidos geométricos, mesmo a
unidade, o x e o y são sólidas e nãoplanares. Este é
um detalhe a ser considerado pedagogicamente, por
se tratar de uma indistinção entre o que sejam áreas
e volumes.
8.5.2.- Sobre o Algebra Tiles na Internet
O leitor encontrará, ao fazer pesquisas no Google usando as palavras “Algebra Tiles”,
vários Applets (softwares animados para simulação onde todas as operações podem ser realizadas
on-line, ou então podem ser transferidos para o seu computador (faça o download) para ser usado
off-line. Use estes Applets para simular e conferir os cálculos até aqui apresentados.
• Há ainda apostilas bastante explícitas que ensinam o uso dos Algebra Tiles /
Ladrilhos Algébricos.
Damos a seguir dois endereços onde o leitor poderá encontrar os Applets do Algebra Tiles
(dois entre muitos dos sites americanos, mas com textos e instruções somente em inglês):
• Site do NLVM – National Library of Virtual Manipulatives: onde ele é apresentado
como: ‘Algebra Tiles – Visualize multiplying and factoring algebraic expressions using
tiles’:
222
http://nlvm.usu.edu/
• Site do NCTM – National Council of Teachers of Mathematics apresentado como:
Illuminations-Resources for Teaching Math:
http://www.nctm.org/resources/default.aspx
8.5.3.- Sobre o Algeblocks® na Internet
Além das diversas informações encontráveis no site do ETAhand2mind, há uma bastante
interessante que o leitor deve acessar e procurar ler com atenção, é um white paper11 escrito por
Ferdinand D. Rivera do Departamento de Matemática da Universidade Estadual de San José que
pode ser encontrado no seguinte endereço:
http://www.hand2mind.com/pdf/algeblocks/algeblocks-whitepaper.pdf
Neste White paper o leitor irá encontrar uma foto com 8 blocos componentes do
Algeblocks®, sendo que a unidade, o x e o y não são como se gostaria de pensar figuras planas.
11 White Paper: Relatório Oficial; neste caso, cujo conteúdo (Algeblocks) foi referendado pelo EtaCuisenaire.
223
JALGB#09 – JOGOS PARA O PENSAMENTO ALGÉBRICO Nº 09 A REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DE FÓRMULAS ALGÉBRICAS
Neste JALGBR iremos expor uma série de identidades algébricas que podem ser provadas serem válidas através de procedimentos geométricos.
9.1.- A Álgebra Geométrica
No Livro II dos ‘Elementos’ de Euclides de Alexandria poderemos encontrar uma Álgebra
Geométrica, ou seja, ali são expostas as possibilidades de se obter a solução de problemas
algébricos através de métodos construtivos ou ilustrativos com base na geometria.
Muitas destas ideias algébrico-geométricas serão mostradas nos itens a seguir, levando-se
sempre em conta que os segmentos de reta a, b, c,..., etc., constituintes das figuras representam
números reais quaisquer, ou seja, a, b, c, ...∈R, a não ser que se estabeleça outra coisa12, como: a, b,
c,...∈R+, isto e, a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0,...., ou ainda a, b, c, ...∈R*, ou seja, a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0, .... No
caso de se adotar um ou dois destes valores como sendo iguais a zero, os casos apresentados a
seguir devem ser cuidadosamente avaliados.
9.2.- As Ideias Básicas Para a, b, c∈∈∈∈RRRR
9.2.1.- A Propriedade Simétrica da Adição de Dois Números Reais:
a + b = b + a
Sejam os segmentos de medidas ‘a’ e ‘b’ (a,b∈∈∈∈R+):
a b
A soma de ‘a’ com ‘b’ é igual à soma de ‘b’ com ‘a’:
a b
a + b
a b
b + a
12 R: conjunto dos números reias; R+: números reais não negativos; R*: números reais não nulos.
224
9.2.2.- O Quadrado de um Número Real: a ×××× a = a2
Seja o segmentos de medida ‘a’ (a∈∈∈∈R+):
a
O quadrado de a, a2 = a ×××× a, será representado geometricamente pela superfície de um quadrado de lado a, ou seja, um quadrado de área a2 :
a
a
a
a
a2
9.2.3.- A Propriedade Comutativa da Multiplicação:
a ×××× b = b ×××× a ou ab = ba
Sejam os segmentos de medida ‘a’ e ‘b’ (a,b∈∈∈∈R):
b a
O produto a ×××× b = b ×××× a , será representado geometricamente pela superfície de um retângulo com base ‘a’ e altura ‘b’ ou com base ‘b’ e altura’a’:
a
a
a ×××× b
b
b b ×××× a
225
9.2.4.- A Propriedade Distributiva da Multiplicação com relação à
Adição:
c ×××× (a + b) = c ×××× a + c ×××× b = ca + cb
Sejam os segmentos de medida ‘a’ , ‘b’ e ‘c’ (a,b,c∈∈∈∈R):
b a c
O produto c ×××× (a + b) = c ×××× a + c ×××× b , será representado geometricamente pela superfície de dois retângulos justapostos cuja base será igual à ‘soma’ dos segmentos ‘a + b’ e a altura será ‘c’:
b a
c c ×××× a c ×××× b
Observar que: pela propriedade comutativa da multiplicação poderíamos ter: c ×××× (a + b) = (a + b) ×××× c = a ×××× c + b ×××× c, equivalente à área de um retângulo de base ‘c’ e altura ‘a + b’.
9.2.5 - Subtração entre dois segmentos: a −−−− b
Sejam os segmentos de medidas ‘a’ e ‘b’:
a b
A diferença de ‘a’ para ‘b’ é igual à soma algébrica de ‘a’ com ‘−−−−b’, isto é, ‘ a + (−−−−b)’:
a
a - b
b
226
9.2.6.- A Propriedade Distributiva da Multiplicação com relação à Adição
Algébrica de dois Números: c ×××× (a −−−− b) = c ×××× a −−−− c ×××× b
Sejam os segmentos de medida ‘a’ e ‘b’:
b a c
O produto c ×××× (a −−−− b) = c ×××× a −−−− c ×××× b, será representado geometricamente pela superfície de um retângulo cuja base será igual a ‘ a −−−− b’ e altura ‘c’:
a
c
c ×××× (a - b)
b
Observar que: pela propriedade comutativa da multiplicação,
poderíamos ter: c ×××× (a −−−− b) = (a −−−− b) ×××× c que é equivalente à área de um
retângulo de base ‘c’ e altura ‘a −−−− b’.
9.3.- Os Produtos de Binômios
Até aqui estávamos pensando as variáveis a, b e c como sendo números reais (a,b,c∈R), no
entanto, todas estas propriedades podem ser repensadas como sendo referentes a polinômios e
poderíamos, a partir de agora, nos referir, por exemplo, à expressão algébrica:
c ×××× (a + b) = c ×××× a + c ×××× b
como sendo a
Propriedade Distributiva da Multiplicação de um Monômio por um Binômio.
A partir disto veja como poderíamos denominar a nossa próxima propriedade:
“Produto de dois binômios”.
227
9.3.1.- O Produto de Duas Adições binomiais Indicadas:
(a + b) ×××× (c + d) = ac + ad + bc + bd
Sejam os segmentos de medidas ‘a’, ‘b’, ‘c’ e ‘d’. Então o produto dos monômios (a + b) ×××× (c + d) será representado geometricamente pela soma das áreas das quatro figuras geométricas apresentadas a seguir, cujas áreas são respectivamente: ‘ac’, ‘ad’, ‘bc’ e ‘bd’:
c + d
b a
c
d
a+ b
a ×××× c b ×××× c
a ×××× d b ×××× d
Nota ImportanteNota ImportanteNota ImportanteNota Importante: : : : É bom que se note que as áreas ou as formas das figuras envolvidas
nas ilustrações geométricas das propriedades, ou das fórmulas algébricas, não precisam
necessariamente ser mantidas de um exemplo para outro. Assim, no exemplo a seguir iremos
usar outras figuras para representar os produtos ‘a ×××× b’, ‘a ×××× c’, ‘a ×××× d’ e ‘b ×××× c’. Veja abaixo
que modificamos as figuras e também mudamos as cores para dar maior ênfase à ocorrência.
As figuras do item 10.3.1., acima: produto de duas adições indicadas:
As figuras do item 10.3.2., a seguir: produto de duas diferenças indicadas
228
9.3.2.- O Produto de Dois Binômios (ou de Duas Diferenças Indicadas):
(a−−−−b)××××(c−−−−d)= +ac −−−− ad −−−− bc + bd = +ac + bd −−−− ad −−−− bc
Sejam adotar novas figuras para as nossas representações, que a partir disto passam a ter outras cores:
b
d b ×××× d
a
c a ×××× c
Assim, comparando as figuras desenhadas acima e as desenhadas abaixo, fica fácil verificar quanto vale (a−−−−b)××××(c−−−−d), confira pelas cores:
(a−−−−b)××××(c−−−−d) = +ac −−−− ad −−−− bc + bd = +ac + bd −−−− ad −−−− bc
b
a
c
b ×××× d
b ×××× c
b ×××× d
(a-b) ×××× (c-d)
d
a ×××× d
b ×××× (c-d)
(a-b) ×××× d
Observe que ao subtrairmos ad e bc de ac estaremos subtraindo duas vezes a área bd, por isto a necessidade de adicionarmos bd uma vez à área total obtida, senão o resultado final corresponderia a:
(a−−−−b)××××(c−−−−d) ≠≠≠≠ +ac −−−− ad −−−− bc Sugerimos ao leitor que verifique o que a expressão algébrica acima representa geometricamente.
229
9.3.2.- O Produto de Dois Binômios
O Produto da Adição Indicada de Dois Números Pela Diferença Indicada de Dois Números
Confira pelas cores:
(a+b)××××(c−−−−d) = +ac −−−− ad + bc −−−− bd = +ac + bc −−−− ad −−−− bd
a
c
b ×××× d
b ×××× c
b ×××× d d
a ×××× d
b ×××× (c-d)
b
a ×××× c
c-d
(a+b)××××(c−−−−d)
9.4.- Produtos Notáveis Binomiais Quadráticos
9.4.1.- O Quadrado da Soma indicada de dois números:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
a2 ba
b2 ab
a + b
a + b
230
9.4.2.- O Quadrado da Diferença indicada de dois números:
(a −−−− b)2 = a2 −−−− 2ab + b2
a2
b2
ab
ba
a2−−−−2ab+b2
−−−−ba −−−−ba
b2
−−−−b2
9.4.3.- O Produto da Soma pela Diferença indicada de dois números:
(a + b)(a −−−− b) = a2 −−−− b2
b2
a
b
a - b
a + b
a - b
a
b
a - b
b a - b
a
9.4.4.- Quadrado da Adição Indicada de Três Números:
(a + b + c)²= a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc
cb b2
c2
b c
c
b
a
a
ac
ab
a2 ca ba
bc
231
� Note que o Quadrado da Adição Indicada de Três Números também pode
ser verificado Algebricamente:
(a + b + c)2 = ( (a + b) + c)2 = (a + b)2 + 2(a + b)c + c2 =
= a2 +2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
9.4.5.- Quadrado da Adição, Menos o Quadrado da Diferença:
(a + b)² −−−− (a −−−− b)² = 4ab
a
a
b
b
b
a
b
a
(a + b)2
a
a
b
b
b
a
b
a
a-b
a-b (a-b)2
a
a
b
b
b
a
b
a
b
4a
9.5.- Produtos Notáveis Binomiais Cúbicos
Este material, geralmente composto por bloquinhos de madeira ou plástico, é encontrado à
venda em lojas especializadas ou em site internacionais que negociam material didático. No entanto
você pode fabricar estes bloquinhos utilizando pedaços de isopor maciço ou montá-los em papel
cartonado.
232
O ideal seria, nas salas de aula, que os professores fornecessem o material em madeira ou
cartonado para a montagem do cubo da soma indicada de dois números. Este material, geralmente
composto por bloquinhos de madeira, é encontrado à venda em lojas de material concreto escolar.
9.5.1.- Cubo da Adição Indicada de Dois Números:
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
Material Concreto para Montar o Cubo da Adição Indicada de dois números:
Os blocos destinados à montagem de (a + b)3 devem trazer as etiquetas: a3, a2b, ab2 e b3,
sendo importante que o educador, ao apresentar os blocos verifique com seus alunos como
estabelecer onde estão as arestas com valores a e/ou b em cada um destes blocos.
a3 b3 ab2
ab2
ab2
a2b a2b
a2b
Montagem do Cubo Representativo de (a+b)3 – Modelagem #01
As figuras abaixo mostram de forma bastante abstrata três das maneiras de se montar o cubo
da adição indicada de dois números. Pode ser que alguns estudantes encontrem algum tipo de
dificuldade para compreender a distribuição dos oito blocos através destas figuras, por isto, vamos a
seguir aventar mais hipóteses sobre esta montagem.
233
Montagem do Cubo Representativo de (a+b)3 – Modelagem #02
O leitor deve verificar nas figuras anteriores que além daquelas diversas formas de dispor os
oito cubos representando (a + b)3 há muitas outras.
Nas figuras a seguir, chama-se a atenção para as projeções das bases (inferior e superior) da
representação que mostra através de cores a disposição dos blocos.
O educador não deve utilizar logo no início nenhuma destas bases para orientar a montagem
do cubo da soma de a mais b, pelo menos inicialmente.
Montagem do Cubo Representativo de (a+b)3 – Modelagem #03
Os esquemas exibidos nas figuras abaixo mostram a distribuição de cores das bases inferior e
superior do ‘cubo da soma de a mais b’, bem como uma das possíveis formas de distribuições dos
oito blocos, de acordo com o esquema de distribuição de cores de cada uma das bases.
234
� Note que a fórmula do Cubo da Adição Indicada de Dois Números
também pode ser verificado Algebricamente:
(a + b)³ = (a + b) ×××× (a + b)2 = (a + b) ×××× [a2+ 2ab + b2] =
= [a3+ 2a2b + ab2] + [a2b+ 2ab2 + b3] = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
9.5.2.- Cubo da Diferença Indicada de Dois Números:
(a −−−− b)³ = a³ −−−− 3a²b + 3ab² −−−− b³
� Note que a fórmula do Cubo da Diferença Indicada de Dois Números deve
ser verificado Algebricamente:
235
(a − b)³ = (a − b) ×××× (a − b)2 = (a −b) ×××× [a2 − 2ab + b2] =
= [a3 + 2a2b + ab2] + [a2b − 2ab2 − b3] = a³ − 3a²b + 3ab² − b³
9.6.- Algumas Aplicações Notáveis da Álgebra Geométrica
9.6.1.- Como Provar No Retângulo abaixo, que: a² = bc?
a2
1 2
3
4
c
a
a
bc b
c
a
Solução: Basta verificar que: “área do quadrado de aresta a + Área do triângulo 1 + Área do
triângulo 3” é exatamente igual “área do retângulo de base c e altura b + Área do triângulo 2 + Área
do triângulo 4”. Como os triângulos 1 e 2 são congruentes, e os triângulos 3 e 4 são congruentes,
pode-se afirmar o seguinte:
Se a2 + A∆∆∆∆1 + A∆∆∆∆3
= bc + A∆∆∆∆2 + A∆∆∆∆4
⇒⇒⇒⇒ a2 = bc pois A∆∆∆∆1 + A∆∆∆∆3
= A∆∆∆∆2 + A∆∆∆∆4
.
9.6.2.- Como Provar que: 3
1)
2
1( 2
1
=∑+∞
=
n
n ?
Solução:
• Primeiramente vamos desenvolver parcialmente a somatória:
3
1...
64
1
16
1
4
1...)
2
1()
2
1()
2
1()
4
1()
2
1( 642
1
2
1
=+++=+++==∑∑+∞
=
+∞
=
n
n
n
n
Note ainda que 3
1)
4
1()
2
1(
1
2
1
==∑∑+∞
=
+∞
=
n
n
n
n
236
• Em seguida vamos examinar as figuras abaixo:
41
161
641
... e assim por diante. 3× 41 3× 161 3× 641 ... e assim por diante.
• Associando em um mesmo esquema as figuras anteriores obtemos:
•
41
41
161
641
161
641
� Note que as áreas coloridas ao serem adicionas irá corresponder a 1/3 da figura.
9.7.- Provado Desigualdades Utilizando a Álgebra Geométrica
9.7.1.- Como mostrar que (a + b)2 ≠≠≠≠ a2 + b2
Um erro muito comum cometido por estudantes que acabaram de tomar contacto com as
noções de álgebra é imaginar que a seguinte igualdade é verdadeira: (a + b)2 ≠ a2 + b2. O que
propomos aqui é verificar se esta igualdade é válida utilizando as representações algébrico-
geométricas.
Por simples inspeção das duas figuras abaixo podemos concluir primeiramente que:
237
(a + b)2 > a2 + b2.
a2 ba
b2 ab
a2
b2
a + b
a + b
No entanto, é preciso reformular esta desigualdade para que ela seja válida para quaisquer a
e b pertencentes ao conjunto dos números reais, ou seja, a,b∈R, como por exemplo, para os casos
em que ocorram a = 0 e/ou b = 0:
para a = 0 e/ou b = 0 temos (a + b)2 = a2 + b2
Deste modo se a,b∈R, teremos:
(a + b)2 ≥≥≥≥ a2 + b2
Sendo R*= R – {0}, se a∈R* e/ou b∈R*, isto é: a≠0 e/ou b≠0, é que teríamos:
(a + b)2 ≠≠≠≠ a2 + b2, ou mais exatamente: (a + b)2 > a2 + b2.
9.7.2.- Como mostrar que (a + b)3 ≠≠≠≠ a3 + b3 ?
a a
b
b
a3
b3
a3
b3
238
Novamente, por simples inspeção das figuras acima, e da hipótese que a,b∈R+, pode-se
inferir que (a + b)3 ≥ a3 + b3, pois se a = 0 e /ou b = 0, teremos (a + b)3 = a3 + b3.
9.8.- Observações Sobre a Álgebra Geométrica
Ao examinar detidamente as provas algébrico-geométricas no Livro II dos ‘Elementos’ de
Euclides, verificamos que este tipo de prova acaba por não poder ser estendida de forma
indiscriminada a todas as relações algébricas.
No entanto, algumas das demonstrações que iremos estudar no JALGBR#20 - Princípio da
Indução Matemática podem ser ‘mostradas’ por métodos geométricos e demonstradas por métodos
lógico-matemáticos. Recomendamos aos leitores interessados que procurem verificar estas
demonstrações algébrico-geométricas no JALGBR citado.
239
JALGB#10 – JOGOS PARA O PENSAMENTO ALGÉBRICO Nº 10 SOBRE FÓRMULAS FECHADAS E FÓRMULAS RECURSIVAS
O Jogo denominado Torre de Hanói é um jogo muito utilizado para exemplificar a obtenção de fórmulas algébricas fechadas e abertas (fórmulas recursivas). Neste estudo iremos obter estes dois tipos de fórmulas por simples inspeção dos movimentos de 1, 2, 3 e 4 discos, segundo as regras de movimentação dos mesmos, para levá-los do primeiro para o terceiro dos três pinos da torre. No entanto, antes de estudar os ‘movimentos’ da Torre de Hanói estudaremos o que seja uma fórmula recursiva matemática.
10.1.- Indução Matemática
A Indução Matemática é um processo de prova onde se deve assumir que um dado número
natural possui uma propriedade, e em seguida deve-se demonstrar que os sucessores deste número
também possuem desta mesma propriedade. A indução é usada geralmente quando se deseja provar
que algo é verdade para qualquer número inteiro sem precisar provar para os infinitos casos
particulares.
Na literatura, a ideia da Indução Matemática é, na maioria das vezes, metaforicamente
associada à construção de uma fileira de dominós – com infinitos(!) dominós –, dispostos
verticalmente e assentados sob um de seus lados mais estreito.
Devemos enfileirar alguns dominós deixando um espaço apropriado entre eles de tal forma
que, se um deles cair, o próximo cairá.
Derrubar o primeiro na direção do dominó seguinte é provar que o primeiro deles pode
efetivamente cair – este é o "passo básico". Na medida em que os demais dominós da fileira vão
caindo um-a-um, estaremos provando que: se o primeiro dominó pôde cair – desde que as
condições ideais de distanciamento de um para outro tenham sido mantidas – todos os demais irão
automaticamente cair. Este passo é denominado “passo indutivo”.
240
Sobre as Fórmulas Recursivas
O termo ‘recursividade’ é usado de maneira geral para descrever o processo de repetição de
um objeto de um jeito semelhante ao que já fora mostrado. Um bom exemplo disso são as imagens
repetidas que aparecem quando dois espelhos são apontados um para o outro, e as imagens se
multiplicam de forma telescópica, uma encaixada na outra até o infinito.
A seguir iremos estudar o que sejam as fórmulas recursivas matemáticas através de quatro
exemplos dois deles bastante simples e dois mais complexos, para somente então abordarmos em
um estudo bastante detalhado, a Torre de Hanói.
10.1.1.- Fórmula Recursiva Para a Operação Multiplicação
A operação de multiplicação de dois números naturais a e b (a,b∈N), é recursivamente
definida por:
>−×=×
=×
1 ),1(
1
bbaba
aa
Veja que a fórmula é composta por duas expressões algébricas, a primeira delas é
denominada base e a segunda passo indutivo.
10.1.2.- Fórmula Recursiva Para a Operação Potenciação
Normalmente a potenciação de um número real a, an, onde n é um inteiro não negativo, pode
ser definida grosseiramente através de uma fórmula fechada como:
an = a ×××× a ×××× a ×××× a ××××... em que a multiplicação deve conter n fatores, para n > 0,
sendo que, para n = 0, define-se: a0 = 1.
Por outro lado, esta definição não diz tudo, e precisaríamos acrescentar ainda uma série de
outras propriedades, que devem se demonstradas, e não apenas exemplificadas como mostrado
abaixo:
241
Por outro lado podemos definir a potenciação de um número real a, an, onde n é um inteiro
não negativo, pela seguinte fórmula recursiva:
>×=
=− 1 ,
1)1(
0
naaa
ann
Para calcularmos, por exemplo o valor de a5 teremos que aplicar a fórmula acima, várias
vezes até obtermos o resultado final:
45 aaa ×=
34 aaa ×= ⇒⇒⇒⇒ 35 aaaa ××=
23 aaa ×= ⇒⇒⇒⇒ 25 aaaaa ×××=
12 aaa ×= ⇒⇒⇒⇒ 15 aaaaaa ××××=
01 aaa ×= ⇒⇒⇒⇒ 05 aaaaaaa ×××××=
10 =a ⇒⇒⇒⇒ 15 ×××××= aaaaaa
logo: aaaaaa ××××=5
Note que podemos utilizar ainda outra forma para definir an:
>×=
=
=
− 2 ,
1
)1(
1
0
naaa
aa
a
nn
Note as diferenças entre a primeira e a segunda das definições e veja, que com estes novos
recursos recurso nós economizaríamos uma linha de cálculo:
45 aaa ×=
34 aaa ×= ⇒⇒⇒⇒ 35 aaaa ××=
23 aaa ×= ⇒⇒⇒⇒ 25 aaaaa ×××=
12 aaa ×= ⇒⇒⇒⇒ 15 aaaaaa ××××=
aa =1 ⇒⇒⇒⇒ aaaaaa ××××=5
logo: aaaaaa ××××=5
242
10.1.3.- Fórmula Recursiva Para a Função Fatorial de n
O exemplo clássico de uma função definida recursivamente é a seguinte definição da função
>−×=
=
0 para ),1()(
1)0(
nnfatorialnnfatorial
fatorial
O cálculo do fatorial de 4, por exemplo, é dados recursivamente por:
)3(4)4( fatorialfatorial ×=
)2(34)4( fatorialfatorial ××=
)1(234)4( fatorialfatorial ×××=
)0(1234)4( fatorialfatorial ××××=
11234)4( ××××=fatorial
24)4( =fatorial
A observação feita para a fórmula recursiva para a obtenção de an através de uma nova formulação
também serve para a fórmula recursiva do fatorial. Calcule e confira: economizaremos uma linha de
cálculo.
>−×=
=
=
0 para ),1()(
1)1(
1)0(
nnfatorialnnfatorial
fatorial
fatorial
10.1.4.- Fórmula Recursiva Para Número de Fibonnacci
Os números de Fibonnacci são definidos usando-se a fórmula de recorrência definida por:
>−+−=
=
=
1 para ),2()1()(
1)1(
0)0(
nnFibonnaccinFibonnaccinFibonnacci
Fibonnacci
Fibonnacci
Esta fórmula ao ser aplicada gera uma sequência infinita com os seguintes valores:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...
243
10.2.- Estudando em Detalhes o Jogo Torre de Hanói
Retomamos aqui, com mais detalhes o estudo do Jogo Torre de Hanói já abordado
ligeiramente no JALGBR#04.
O Jogo denominado Torre de Hanói é um jogo tradicional que se apresenta com uma base
retangular, onde estão fixados na vertical, três pinos equidistantes entre si e alinhados numa linha
imaginária central e paralela às bordas da base.
Vários discos de tamanhos distintos entre si, perfurados nos seus centros, são empilhados no
primeiro pino de tal forma que os de menor diâmetro se sobrepõem aos de maiores diâmetros.
Várias regras bastante específicas devem ser seguidas, mas as mais complexas são: os discos do
primeiro pino devem ser passados ao terceiro pino, utilizando-se o pino central como auxiliar, de
forma que nunca os discos maiores não podem se sobrepor aos discos, e mais esta passagem de
todos os discos do primeiro para o terceiro pino deve ser feita com o mínimo de movimentos.
PINO #1 P INO #2 P INO #3
10.3.- A Lenda que Cerca a Torre de Hanói
Conta a lenda, que foram erigidos em Hanói, dentro de um templo, alinhados, três mastros
verticais de diamante, sendo que discos circulares com uma perfuração também circular em seus
centros foram empilhados no primeiro dos mastros. Estes discos eram de ouro, todos com a mesma
espessura, porém com diâmetros distintos. Os discos que foram empilhados no primeiro mastro de
forma que o que ficava na base era o maior deles, e consecutivamente empilhou-se os demais de
244
forma a se construir uma torre que iria se afunilando da base para o topo. A quantidade destes
discos seria 64, segundo a lenda.
A lenda ainda acrescenta que os monges deste templo estariam encarregados de mover estes
discos de um mastro para outro de forma ritual.
10.3.1.- As Regras Para a Movimentação Discos
Os discos de uma Torre de Hanói devem ser movimentados segundo as seguintes regras:
(1) todos os 64 discos deveriam ser movidos para o terceiro dos mastros;
(2) o segundo mastro deveria ser utilizado como suporte auxiliar para estes
movimentos;
(3) uma a um, ou seja, apenas um por vez, os discos deveriam ser transferidos de um
mastro para outro;
(4) um disco de diâmetro maior nunca poderia ser colocado, num dado mastro,
sobre um disco de diâmetro menor;
(5) nenhum disco poderia ser alocado fora destes três mastros;
(6) a tarefa deveria ser realizada com o menor número possível de movimentos.
10.3.1.1.- A Torre de Hanói e o Fim do Mundo
A lenda ainda acrescentava que quando a tarefa fosse cumprida a torre desmoronaria e o
mundo acabaria, mas na verdade, este quebra-cabeças foi criado por um matemático francês
Edouard Lucas em 1883 e esta lenda, foi também por ele inventada. O quebra-cabeças de Lucas
possuía 8 discos.
10.4.- Estudando os Movimentos de 1 e de 2 Discos
As figuras a seguir mostram como são movimentados os um e dois discos alocados nas
Torres de Hanói.
245
Os movimentos apresentados nas figuras acima são os movimentos cuja quantidade é
estimada como mínima. Assim, os discos poderiam até ser movido com um número de movimentos
muito maior, o que feriria uma das regras do jogo ( a regra (6) ), pois o que se pretende é mover os
discos com o menor número de movimentos possível.
10.5.- Estudando os Movimentos de 3 e de 4 Discos
Na notação a seguir iremos adotar n-uplas ordenadas para mapear a posição dos discos com
relação aos 3 pinos. Assim, sendo primeiramente iremos numerar os pinos como sendo Pino#1 ↔ 1,
Pino#2↔ 2e Pino#3↔3.
246
No caso de cinco discos nós termos uma quíntupla ordenada, em que as coordenadas serão:
(disco#1,d disco#2,d disco#3,disco#4,d disco#5) que devem ser preenchidas pela posição que os
discos ocupam com relação aos pinos: Pino#1 ↔ 1, Pino#2↔ 2e Pino#3↔3.
Vejamos alguns exemplos da Torre de Hanói com 5 discos, a seguir:
PINO #1 P INO #2 P INO #3
PINO #1 P INO #2 P INO #3
(3,3,2,1,1) (3,3,3,1,1)
Notação: (disco#1, disco#2, disco#3, disco#4, disco#5)
PINO #1 P INO #2 P INO #3
PINO #1 P INO #2 P INO #3
(3,3,3,2,1) (1,1,1,1,1)
Notação: (disco#1, disco#2, disco#3, disco#4, disco#5)
Nas figuras a seguir o leitor poderá observar dois fatos notáveis.
• O primeiro fato é:
� Os movimentos de 3 discos reproduzem os movimentos de dois discos, ora
num sentido ora noutro (movimentos de desconstrução da torre que estava no
pino#1 e reconstrução da torre no Pino#3).
� O mesmo acontece com os movimentos de 4 discos que se servem dos
movimentos já realizados com 3 discos (desconstrução e reconstrução), com
pequenas variações no tocante à utilização dos pinos.
• O segundo fato é que:
� No caso dos movimentos de 3 discos podemos utilizar uma notação
envolvendo ternas ordenadas para simbolizar os movimentos: (1,1,1) significa
todos os discos – desde o primeiro até o terceiro disco – estão no pino 1 (veja na
247
figura com os movimentos de 3 discos a passagem [0]). Já (3,2,1) significa o
disco 3 está no primeiro pino, enquanto o disco 2 está no segundo pino e o disco
1 está no terceiro pino (veja na figura com os movimentos de 3 discos a
passagem [2]).
� No caso dos movimentos de 4 discos iremos utilizar uma notação envolvendo
quádruplas ordenadas para simbolizar os movimentos: (1,1,1,1) significa todos
os discos desde o primeiro até o terceiro estão no pino 1; (3,3,2,1) significa o
disco 4 está no primeiro pino, enquanto o disco 3 está no segundo pino e os
discos 2 e o disco 1 estão no terceiro pino (veja na figura com os movimentos de
4 discos respectivamente as passagens [0] e [4]).
T3 = 7 T4 = 15
10.6.- Grafo Com Todos os Estados Possíveis Para 3 Discos
Vamos a seguir mostrar um grafo correspondente a todos os estados possíveis de uma Torre
de Hanói contendo 3 discos, para em seguida encontrar o melhor caminho desenhando um Circuito
Hamiltoniano a ele correspondente.
248
No grafo abaixo, o menor dos caminhos, mostra exatamente os estados atingidos e
registrados com os movimentos de três discos. No entanto, todos os outros estados possíveis
também são mostrados.
(1,1,1)
(1,2,3)
(1,2,2)
(1,1,3)
(3,2,2)
(1,3,2)
(1,1,1)
( 1,2,3)
(1,3,3)
(1,1,2)
(1,2,2) (1,3,1)
(1,1,3)
(1,2,2)
(3,3,1)
(3,3,3)
(3,2,1)
(1,3,2)
(1,3,3)
(1,1,2)
(1,3,1) (1,2,1)
(3,1,3)
(3,1,1)
(3,2,3)
(3,1,2) (3,3,2)
(2,2,1)
(2,3,3)
( 1,3,2)
(1,1,1)
(1,2,3)
(1,3,3)
(1,1,2)
(1,2,2) (1,3,1)
(1,1,3)
( 1,2,2)
(2,1,2)
(2,2,2)
(2,3,1)
(2,1,1) (2,2,3,)
(2,3,2)
(2,1,3)
O Menor Caminho
Desta forma, movimentar os discos pode ser uma tarefa que no mínimo será efetuada com
um número padronizado de movimentos, nada impedindo que as pessoas gastem mais movimentos
que o mínimo necessário. Aí é que está a motivação para o estudo deste jogo para o pensamento.
10.6.1. Quantas são as Ternas e Quantos são s Movimentos Possíveis?
Veja que alguns tipos de disposições de discos não estão previstas no grafo acima. O grafo
só mostra os possíveis posicionamento dos três discos deixando em brancos 4 regiões daquele
grafo. Poderíamos a título de um Jogo Para o Pensamento verificar que estados impossíveis são
estes, sabendo que:
1. A quantidade de ternas possíveis de serem formadas usando os numerais 1, 2
e 3 tomados 3 a 3 com repetição respectivamente de 3 vezes , 2 vezes e 1 vez cada
um destes elementos é dado pela fórmula da Permutação Simples com 3, 2 ou 1
Elementos Repetidos:
361236123!3123PP 33,2,13 =×××=×××=×××=
249
2. Para facilitar mostramos novamente o grafo apontando as regiões onde devem
figuras as demais ternas (círculos azuis) que não são movimentos possíveis para os 3
discos.
3. Se contarmos os círculos vermelhos (27) e adicionarmos à quantidade de
discos azuis (8) iremos obter exatamente 36 círculos correspondendo às 36 ternas
ordenadas, conforme foi calculado no item 1 acima.
(1,1,1)
(1,2,3)
(1,2,2)
(1,1,3)
(3,2,2)
(1,3,2)
(1,1,1)
( 1,2,3)
(1,3,3)
(1,1,2)
(1,2,2) (1,3,1)
(1,1,3)
(1,2,2)
(3,3,1)
(3,3,3)
(3,2,1)
(1,3,2)
(1,3,3)
(1,1,2)
(1,3,1) (1,2,1)
(3,1,3)
(3,1,1)
(3,2,3)
(3,1,2) (3,3,2)
(2,2,1)
(2,3,3)
(1,3,2)
(1,1,1)
( 1,2,3)
(1,3,3)
(1,1,2)
(1,2,2) (1,3,1)
(1,1,3)
(1,2,2)
(2,1,2)
(2,2,2)
(2,3,1)
(2,1,1) (2,2,3,)
(2,3,2)
(2,1,3)
O Menor Caminho
Um fenômeno interessante ocorre ao compararmos o grafo acima e o triângulo de Pascal. Na
figura a seguir o leitor poderá notar que os valores ímpares do Triângulo de Pascal estarão na
posição dos nós vermelhos do grafo anterior enquanto os azuis estarão nas regiões
1 1 1
1 2 1 1 3 3 1
1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1
10.7.- Tentando Encontrar Uma Fórmula Fechada Para Tn
Analisando as figuras anteriores que simulam a quantidade mínima de movimentos dos
discos em uma Torre de Hanói, para 1, 2, 3 e 4 discos respectivamente, podemos construir a
seguinte tabela:
250
Número de Discos 1 2 3 4 5 6 ... n
Movimentos 1 3 7 15 31 63 ... 2n - 1
Diferença entre os valores 2 4 8 16 32 ... 2n
Analisando a tabela acima (por simples inspeção) podemos estabelecer a fórmula fechada
para o cálculo do número mínimo de movimentos para movimentar n discos na torre de Hanói.
Tn = 2n − 1
10.7.1.- Movendo os 64 discos da Torre Original
Se considerarmos que a Torre de Hanói “original” tem 64 discos, iríamos ver que a quantidade de
movimentos necessários para mover todos os discos seria imensamente grande, ou seja:
T64 = 264 – 1 = 18.446.744.100.000.000.000 movimentos.
Se considerarmos que cada um destes movimentos gastasse aproximadamente cinco
minutos, poderíamos verificar que o tempo gasto para realizar esta proeza seria de
aproximadamente: 1.754.827.250.000.000 de anos.
10.8.- Uma Fórmula Recursiva Para Tn
Voltando às figuras anteriores com os movimentos mínimos de 1, 2, 3, e 4 discos, podemos escrever
• T1 = 1
• T2 = 3
• T3 = 7, no entanto, examinando a figura acima podemos afirmar que: T3 = 2× T2 + 1
E também que:
• T4 = 2 × T3 + 1.
De onde podemos generalizar:
Tn = 2××××Tn−1 + 1, para n = 1, 2, 3, 4, ...n, com T0=0
251
10.9.- Caminhos e Ciclos Hamiltonianos
A seguir iremos definir grafo, caminhos hamiltonianos e ciclos hamiltonianos, dando alguns
exemplos da aplicação da Teoria dos Grafos em problemas reais.
10.9.1.- Circuito Hamiltoniano para a Torre de Hanói com 3 discos
Nas áreas de matemática e da ciência da computação um grafo é um conjunto de pontos
(vértices ou nós) ligados por segmentos de retas (arestas). Há casos em que as arestas podem ser
direcionadas e, neste caso, são representadas por "setas" ou vetores.
Um caminho que passa exatamente uma vez, e somente uma vez, por cada vértice de um
grafo é chamado caminho hamiltoniano. Se o caminho começa e termina no mesmo vértice, temos
um ciclo hamiltoniano. Um grafo que contém pelo menos um ciclo hamiltoniano é um grafo
hamiltoniano. Deve-se considerar também como evidente, que nem todo grafo é hamiltioniano. Um
mesmo grafo pode possuir um ou mais ciclos.
Os grafos 1 e 2 da figura abaixo são hamiltonianos, enquanto que o da figura 3 não é.
1 2 3
10.9.2.- Um Exemplo da Aplicação de Grafos em Problemas Reais
O exemplo a seguir: Problema do Caixeiro Viajante é um exemplo tradicional da busca de
ciclos hamiltonianos, que podem também envolver a busca de ciclos hamiltonianos de menor custo.
10.9.2.1.- Problema do Caixeiro Viajante
Suponha que a área de venda de um caixeiro viajante inclua várias cidades, muitas das quais,
aos pares, estão conectadas por rodovias. O trabalho do caixeiro requer que ele visite cada cidade
pessoalmente. Sob que condições seria possível que ele estabelecer uma viagem circular que o leve
ao ponto de partida (um ciclo hamiltoniano) de forma a que ele visite cada cidade exatamente uma
vez?
252
10.10.- A Torre de Hanói: Caminhos e Ciclo Hamiltoniano
A figura abaixo nos mostra o caminho minimal – um ciclo - para os deslocamentos de 3
discos na Torre de Hanói desenhados sobre um Caminho Hamiltoniano.
(1,1,1) (1,1,3)
(1,2,3)(1,2,2)
(3,2,2)(3,2,1)
(3,3,1)
(3,3,3)
A figura a seguir nos mostra o Caminho Hamiltoniano para uma Torre de Hanói com 4
discos. Na figura estão anotados apenas os estados de 0 até 15, que poderão ser facilmente
verificados a partir da correspondência mostrada na tabela que ao lado do grafo. A notação de
quádruplas ordenadas adotada na tabela deve ser interpretada como:
(posição do disco 4, posição do disco 3, posição do disco 2, posição do disco 1)
1
2
3
45
6
0
7
8
9
1011
13
1415
12
Estado Quádrupla
0 (1,1,1,1)
1 (1,1,1,2)
2 (1,1,3,2)
3 (1,1,3,3)
4 (1,2,3,3)
5 (1,2,3,1)
6 (1,2,2,1)
7 (1,2,2,2)
8 (3,2,2,2)
9 (3,2,2,1)
10 (3,2,1,3)
11 (3,2,1,1)
12 (3,3,1,1)
13 (3,3,1,2)
14 (3,3,3,2)
15 (3,3,3,3)
Entendendo-se ainda por posição 1, o primeiro pino; posição 2, o segundo pino, etc. Assim,
a quádrupla (3,3,1,2) representaria: no primeiro pino estará o disco 2, os discos 3 e 4 estarão no
pino 3 e o disco 1 estará no pino 2.
253
10.10.1- A Torre de Hanói e um Caminho Hamiltoniano
Vamos mostrar a seguir um dos possíveis caminhos no grafo dos movimentos de três discos
numa Torre de Hanói. Note que definimos acima como sendo um caminho hamiltoniano aquele que
que passa exatamente uma vez, e somente uma vez, por cada vértice do grafo.
(1,1,1)
(1,2,3)
(1,2,2)
(1,1,3)
(3,2,2)
(1,3,2)
(1,1,1)
( 1,2,3)
(1,3,3)
(1,1,2)
(1,2,2) (1,3,1)
(1,1,3)
(1,2,2)
(3,3,1)
(3,3,3)
(3,2,1)
(1,3,2)
(1,3,3)
(1,1,2)
(1,3,1) (1,2,1)
(3,1,3)
(3,1,1)
(3,2,3)
(3,1,2) (3,3,2)
(2,2,1)
(2,3,3)
( 1,3,2)
(1,1,1)
(1,2,3)
(1,3,3)
(1,1,2)
(1,2,2) (1,3,1)
(1,1,3)
( 1,2,2)
(2,1,2)
(2,2,2)
(2,3,1)
(2,1,1) (2,2,3,)
(2,3,2)
(2,1,3)
10.10.2- A Torre de Hanói e Um Ciclo Hamiltoniano
Acima foi dito que se um caminho hamiltoniano começa e termina no mesmo vértice, temos
aquilo que se denomina ciclo hamiltoniano. Um grafo que contém pelo menos um ciclo
hamiltoniano é um grafo hamiltoniano. . Um mesmo grafo pode possuir um ou mais ciclos.
(1,1,1)
(1,2,3)
(1,2,2)
(1,1,3)
(3,2,2)
(1,3,2)
(1,1,1)
( 1,2,3)
(1,3,3)
(1,1,2)
(1,2,2) (1,3,1)
(1,1,3)
(1,2,2)
(3,3,1)
(3,3,3)
(3,2,1)
(1,3,2)
(1,3,3)
(1,1,2)
(1,3,1) (1,2,1)
(3,1,3)
(3,1,1)
(3,2,3)
(3,1,2) (3,3,2)
(2,2,1)
(2,3,3)
( 1,3,2)
(1,1,1)
(1,2,3)
(1,3,3)
(1,1,2)
(1,2,2) (1,3,1)
(1,1,3)
( 1,2,2)
(2,1,2)
(2,2,2)
(2,3,1)
(2,1,1) (2,2,3,)
(2,3,2)
(2,1,3)
254
10.11.- Provando a Validade da Fórmula Aberta
Até aqui as fórmulas, tanto a fechada como a recursiva, destinadas ao cálculo dos
movimentos mínimos de 1, 2, 3, e 4 discos na Torre de Hanói, foram obtidas por simples inspeção
e dedução a partir das figuras simulam estes movimentos.
Vamos mostrar que há a possibilidade de se demonstrar pelo Princípio de Indução Finita
Matemática. (a ser estudada nos JALGBR#19 e JALGBR#20) a validade da Fórmula aberta que
calcula a quantidade mínima de movimentos para n discos na Torre de Hanói: Tn = 2n −−−− 1, T0 = 0.
A forma mais simples e mais comum de indução matemática prova que uma propriedade
vale para todos os números naturais n e consiste de dois passos:
1. A base: mostra a fórmula da propriedade para n = 1 (ou n = 0), que deve ser aceita
como válida.
2. O passo indutivo: deve-se aceitar também que a fórmula que figura no passo
indutivo, vale para n = k, e então deve-se provar a partir disto, que o mesmo enunciado
deverá valer para n = k+1.
3. No caso da Torre de Hanói: T0 = 0 é a base e Tn = 2n −−−− 1 o passo indutivo.
255
JALGB#11 – JOGOS PARA O PENSAMENTO ALGÉBRICO Nº 11 JOGO DOS PRODUTOS NOTÁVEIS E DO PRODUTO DE STEVIN
Este jogo nos permite concretizar através de figuras geométricas, quadrados e retângulos, e de uma régua, os seguintes produtos notáveis básicos: (a+b)×(a+b), (a−b)×(a−b) e (a+b)×(a−b). Aqui também se faz referência ao cubo do binômio (a+b) e remete-nos aos Binômios de Newton, assunto desenvolvido nos Prolegômenos.
11.1.- Sobre o Jogo dos Produtos Notáveis
Este é um jogo em que os produtos notáveis são concretizados através do uso de um
conjunto de cinco figuras geométricas – dois quadrados distintos, dois retângulos exatamente iguais
(congruentes) e uma régua contendo as medidas lineares. Deste jogo podem participar pelo menos
dois jogadores, podendo-se também incluir aí um observador, que deve agir como um juiz ou
coordenador.
11.1.1.- As peças do Jogo
A seguir vamos apresentar as cinco peças do Jogo dos Produtos Notáveis em suas
verdadeiras grandezas.
1ª Peça: A Régua com as Medidas Lineares
Uma régua com as medidas a, b, a + b e a – b, denominada régua de medição (a medição é
a ação de medir cujo resultado será a medida):
a b
a + b
a −−−− b
Nota importante:
A suposição aqui é a de que a > b, mas isto não é necessário, o importante para as nossas
experimentações é que tenhamos sempre a ≠ b. Para facilitar a construção de nossa régua de
256
medição podemos imaginar que a ≅ 8 cm e que b ≅ 3 cm (o sinal ≅ é lido ‘é congruente a’ e
significa ‘tem a mesma medida que’ no caso de a ≅ c, por exemplo, diríamos: ‘a tem a mesma
medida que c’).
11.1.2.- As 2ª e 3ª Peças: Os Quadrados com áreas a2 e b2
O quadrado com aresta medindo ‘a’, ou seja, o quadrado de lado a, pois a sua área será dada
por a × a = a2 e o quadrado de ‘b’: b × b = b2.
Verifique as medidas das peças acima, utilizando a régua de medição.
11.1.3.- As 4ª e 5ª Peças: Os Retângulos Idênticos com Área a ×××× b
Dois retângulos com arestas medindo ‘a’ e ‘b’, ou seja, os retângulos idênticos com áreas
dadas por a × b e b × a.
257
11.2.- Concretização dos Produtos Notáveis
11.2.1.- O Quadrado da Soma Indicada de 2 Números
Sabe-se, da Álgebra, que (a + b)2 = (a + b) × (a + b) = a2 + 2(a × b) + b2. Veja os cálculos a
seguir:
a + b a + b ab + b2
a2 + ab a2 + 2ab + b2
××××
+
e a figura a eles correspondente:
a + b
b + a
2××××(a××××b) a2 b2
11.2.2.- O Quadrado da Diferença Indicada de 2 Números
Sabe-se, da Álgebra, que (a − b)2 = (a − b) × (a − b) = a2 − 2(a × b) + b2. Veja os cálculos a
seguir:
a - b a - b -ab + b2
a2 - ab a2 - 2ab + b2
××××
+
Queremos agora que você e seu(s) colega(s) tentem concretizar estes cálculos utilizando as
cinco peças deste jogo. A solução deste problema poderá ser conferida mais à frente no item
11.3.1., a seguir.
258
11.2.3.- O Produto da Soma pela Diferença Indicada de 2 números
Sabe-se, da Álgebra, que (a + b) × (a − b) = (a − b) × (a + b) = a2 + b2. Veja os cálculos a seguir:
a + b a - b - ab - b2
a2 + ab a2 - b2
××××
+
Queremos agora que você e mais um colega tentem concretizar estes cálculos utilizando as
cinco peças deste jogo. A solução deste problema poderá ser conferida mais à frente no item
11.3.2., a seguir.
11.2.4.- Um Desafio: Concretizar o cubo do binômio (a+b)
Um grande desafio é o de se montar o produto notável que corresponde ao cubo de (a+b), ou
seja, aquele cuja concretização irá nos fornecer um cubo com arestas a+b, cujos cálculos são a
seguir apresentados:
(a + b)3 = (a + b)2 × (a + b) = (a2 + 2ab + b2) × (a + b) =
= a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3 =
= a3 + 3a2b + + 3a2b + b3
O leitor mais interessado por obter este cubo utilizando-se das planificações e montagens de
dois cubos e seis prismas com as seguintes medidas:
1. Um cubo de aresta a
2. Três prismas com arestas a, a e b;
3. Três prismas com arestas a, b e b
4. Um cubo com aresta b.
a3 b3 ab2
ab2
ab2
a2b a2b
a2b
� Mais informações sobre este produto notável pode ser obtida no JALGBR#09.
259
11.3.- Soluções dos Itens 11.2.2. e 11.2.3.
11.3.1.- O quadrado da Diferença Indicada de 2 Números
a
a −−−− b
(a −−−− b) ×××× a
[1] [2 e 3]
b
(a −−−− b) ×××× a =
a2 – a ×××× b
b2
b
a −−−− b
a −−−− b + b = a
a ×××× b
a
(a −−−− b) ×××× (a −−−− b)
(a −−−− b) ×××× a + b2 −−−− (a ×××× b)
[4]
Confira a seqüência dos cálculos observando a figura acima, passo a passo:
1. Subtraia da peça a2 a peça a × b. O resultado será o retângulo de arestas: (a − b) e a.
2. A área do retângulo de arestas (a − b) e a poderá ser calculada como:
(a − b) × a = a2 – a × b.
3. Seja ‘adicionar’ (justapor) b2 à área a2 – a × b, isto é: a2 – a × b + b2.
4. Seja ‘subtrair’ (recortar) a × b da área a2 – a × b + b2, isto é:
a2 – a × b + b2 – a × b = a2 – 2 × a × b + b2= a2 – 2ab + b2
11.3.2.- O Produto da Soma pela Diferença Indicada de 2 números
Neste caso o uso da régua de medição será muito útil aqui. Veja:
260
a + b
a −−−− b [2]
[3] [4]
(a + b) ×××× (a −−−− b)
[1]
Confira a seqüência dos cálculos observando a figura acima, passo a passo:
1. Com o auxílio da régua de medição e desenhe numa folha de papel transparente (papel
vegetal) um retângulo de arestas a + b e a – b.
2. Justaponha as peças a2 e a × b e cubra com o desenho feito no papel sulfite.
3. Seja ‘subtrair’ (recortar) a × b e b2 da área não coberta pelo desenho do papel vegetal,
obtendo-se: a2 + a × b − b2 – a × b = a2 – b2.
11.4.- Fórmulas do Binômio de Newton
Através de multiplicações sucessivas nós poderemos calcular (a + b)n e (a – b)n, para
diversos valores de n∈N, cujos resultados iniciais são mostrados a seguir:
261
Cuja fórmula geral (também denominada Termo Geral) será dada por:
onde a expressão
k
n é o número binomial, cujo cálculo é feito através de uma fórmula que
envolve os números fatoriais:
k
n =
)!(!
!
knk
n
−, fazendo k variar de 0 até n, conforme o que está
indicado no somatório: ∑=
n
k 0
, que representa a soma dos termos
k
n xn-k yk, com 0 ≤ k ≤ n.
Para maiores detalhes sobre os Binômios de Newton e o Triângulo de Pascal
vá até o item B.6 dos Prolegômenos.
262
JALGB#12 – JOGOS PARA O PENSAMENTO ALGÉBRICO Nº 12 Algebra Tiles e a Resolução de Equações Algébricas Lineares
O Material Concreto Ladrilhos Algébricos (do inglês: Algebra Tiles) estudado no JALGBR#08 nos permite, além de concretizar várias propriedades e operações algébricas, simular as operações envolvidas na resolução de equações lineares algébricas com o uso da metáfora da Balança de Dois Pratos vista no JALGBR#05.
12.1.- Ideias Iniciais
O leitor deverá reler os seguintes Jogos Para o Pensamento Algébrico: JALGBR#08 e
JALGEBR#09, para rever algumas das ideias que serão utilizadas aqui.
Estas ideias são as seguintes:
1.- Os Ladrilhos Algébricos correspondentes à unidade e à variável x (a serem impressos nas
mesmas dimensões propostas no JALGBR#08, dobrados, plastificados e recortados):
Frente: +1 Verso: –1
Frente: +x Verso: –x
2.- A ideia metafórica da Balança de Dois Pratos, a ser impressa numa folha de tamanho A4,
como mostrado a seguir:
=
Espaço parr anotar a equação e fazer o
controle das operações
de multiplicação, divisão e soma-zero:
+1 /-1 e +x /- x
12.2.- Um Primeiro Exemplo:
Vamos tomar o primeiro exemplo encontrado no ALGBR#08:
263
5x + 7 22 =
1º Passo: Escrever a equação no quadro e em seguida representá-la sobre a balança de dois
pratos utilizando os ladrilhos algébricos, anotando a operação de divisão, multiplicação ou
soma-zero a ser realizada em seguida:
5x + 7 22
(-7) (-7)
=
2º e demais Passos: Efetuar a operação indicada (divisão, multiplicação ou soma-zero) na
balança algébrica e, somente em seguida, anotar o resultado por escrito, para então, anotar a
nova operação a ser realizada:
5x + 7 22
(-7) (-7)
5x 15
(÷5) (÷5)
=
264
5x + 7 22
(-7) (-7)
5x 15
(÷5) (÷5)
=
5x + 7 22
(-7) (-7)
5x 15
(÷5) (÷5)
=
5x + 7 22
(-7) (-7)
5x 15
(÷5) (÷5)
x 5
=
265
12.2.1.- Observação Importantíssima:
Veja que: o segundo e terceiro exemplos encontrados no ALGBR#08, não têm como ser
diretamente representados na Balança de Dois Pratos com a utilização dos Ladrilhos Algébricos.
3
85 +x
6 =
75
83+
+x
11 =
Estes tipos de equações algébricas lineares devem ser preparados antecipadamente, ou seja,
devem ser multiplicados pelo divisor do primeiro termo, no primeiro caso, multiplicado por 3, e no
segundo caso, multiplicado por 5, fazendo que estes dois exemplos recaiam numa equação do
mesmo tipo do nosso primeiro exemplo.
12.3.- O Segundo Exemplo:
Este é o quarto exemplo tomado de empréstimo do JALGBR#05:
5 = 4x −−−−11
Resolvendo:
5 4x - 11
(+11) (+11)
=
266
5 4x - 11
(+11) (+11)
16 4x
(÷4) (÷4)
=
5 4x - 11
(+11) (+11)
16 4x
(÷4) (÷4)
4 x
=
12.4.- O Terceiro Exemplo:
Este é o quinto exemplo tomado de empréstimo do JALGBR#05:
5x + 3 = x + 15
267
Resolvendo:
5x + 3 x + 15
(-3) (-3)
=
5x + 3 x + 15
(-3) (-3)
5x x + 12
(-x) (-x)
=
5x + 3 x + 15
(-3) (-3)
5x x + 12
(-x) (-x)
4x 12
(÷4) (÷4)
=
268
5x + 3 x + 15
(-3) (-3)
5x x + 12
(-x) (-x)
4x 12
(÷4) (÷4)
x 3
=
12.5.- Conclusões
O leitor interessado deve tentar resolver os demais exercícios apresentados como exemplos
no JALGBR#05, considerando que algumas daquelas equações não podem ser resentadas
diretamente com o uso dos Ladrilhos Algébricos, e por isto elas devem ser preparadas
(simplificadas) para tal.
Os Ladrilhos Algébricos podem ser ampliados e colados sobre uma manta plástica imantada
para que se possa utilizá-los numa lousa imantada, preparando-a com os símbolos idênticos àqueles
que figuram na folha A4 apresentada no início deste JALGBR.
269
JALGB#13 – JOGOS PARA O PENSAMENTO ALGÉBRICO Nº 13 OS PRODUTOS DE STEVIN E DE WARRING
Neste JALGBR iremos apresentar dois tipos de Produtos Notáveis: o Produto de Stevin e o Produto de Warring. Normalmente estes dois tipos de produtos notáveis não são conhecidos pelos nomes de seus autores, mas este tipo de referência se torna um recurso pedagógico relevante na medida em que permite os remeter às pesquisas na História da Matemática. A memorização destas fórmulas é bastante fácil por que elas possuem leis de formação claras. O uso destas fórmulas normalmente se destina à simplificação dos cálculos, evitando a necessidade de multiplicar os binômios, o que numa prova ou num concurso, significaria perda de tempo.
13.1.- O Produto de Stevin
O Produto de Stevin13 é o produto de dois fatores de binomiais do 1º grau, do tipo:
(x + a) e (x + b)
onde x é a variável, a e b são números reais, como nos exemplos a seguir:
1. (x + 3) × (x + 5)
2. (x + 4) × (x − 2)
3. (x − 8) × (x + 4)
4. (x − 5) × (x − 6)
Claro que você pode obter o resultados dos produtos acima apresentados sem utilizar a
fórmula do Produto de Stevin – que vamos apresentar a seguir –, simplesmente multiplicando os
binômios. No entanto o que se observa é que: numa prova de vestibular ou de concurso, isto
significaria perda de um precioso tempo, tempo este que poderia ser diminuído se nós soubéssemos
a maneira de se obter o mesmo resultado de forma mais rápida, ou seja, utilizando o Produto de
Stevin.
13.1.1.- O Produto de Stevin para 2 Binômios do 1º Grau
O produto de Stevin para dois binômios tem a seguinte fórmula:
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b) x + ab
13 Simon Stevin (1548/1620), matemático, físico e engenheiro holandês, que no campo da Física fez estudos em estática e hidrostática.
270
131.1.1.- Efetuando o Produto de Stevin
1. (x + 3) × (x + 5) = x2 + 8x + 15
� Confira: (x + 3) ×××× (x + 5) = x2 + (3 + 5) x + 3 ×××× 5
2. (x + 4) × (x − 2) = x2 + 2x − 8
� Confira: (x + 4) ×××× (x −−−− 2) = x2 + (4 −−−− 2) x + 4 ×××× (−−−−2)
3. (x − 8) × (x + 4) = x2 − 4x − 32
� Confira: (x −−−− 8) ×××× (x + 4) = x2 + (−−−−8 + 4) x + (−−−−8) ×××× 4
4. (x − 5) × (x − 6) = x2 − 11x + 30
� Confira: (x −−−− 5) ×××× (x −−−− 6) = x2 + [(−−−−5)+(−−−−6)] x + (−−−−5)××××(−−−−6)
13.1.2.- O Produto de Stevin para 3 Binômios do 1º Grau
O produto de Stevin para três binômios tem a seguinte fórmula:
(x + a)(x + b)(x + c) = x3 + (a + b + c)x2 + (ab + ac + bc)x + abc
Para deduzir esta fórmula podemos aplicar o Produto de Stevin uma vez e em seguida
efetuando o produto do trinômio pelo binômio restante, como mostrado abaixo:
(x + a)(x + b)(x + c) = [x2 + (a + b) x + ab] ×××× (x + c) =
= [x3 + (a + b) x2 + abx] + [cx2 + (ac + bc) x + abc] =
= x3 + (a + b + c)x2 + (ab + ac + bc)x + abc
13.1.3.- Representação Gráfica do Produto de Stevin
1. Seja tomar um retângulo de área (x + a) por (x + b) considerando, sem perda de
generalidade, que a > b:
x + b
x + a
271
2. Seja adotar, ainda sem perda de generalidade, que: a > x > b, e dividir o retângulo inicial
segundo os valores lineares de a, b e x:
x a
x
b
x2
x + b
x + a
3. Vamos anotar o valor das áreas de cada um dos quatro retângulos formados no interior da
figura inicial:
x a
x
b
x2 ax
bx ab
De onde podemos tirar a igualdade:
(x + a)(x + b) = x2 + ax + bx + ab = x2 + (a + b) x + ab
13.1.4.- Fatoração a Partir do Produto de Stevin
Há alguns tipos de trinômios (bastante particulares) que podem ser fatorados utilizando-se a
ideia do produto de Stevin, ou seja:
x2 + Sx+ P = (x + a) ×××× (x + b), onde: S = a + b e P = a ×××× b
x² + 11x + 24 = (x + 3) (x + 8)
x² − 11x + 24 = (x − 3) (x −8)
x² − 5x − 24 = (x + 3) (x − 8)
x² + 5x − 24 = (x − 3) (x + 8)
272
13.2.- Produto de Warring
São denominados Produtos de Warring14 os produtos da forma:
(a −−−− b) (a2 + ab + b2) = a3 −−−− b3
(a + b) (a2 – ab + b2) = a3 + b3
que podem ser calculados da seguinte forma:
(a + b) (a2 – ab + b2) = a3 – a2b + ab2 + a2b – ab2 + b3 = a3 + b3
(a −−−− b) (a2 + ab + b2) = a3 + a2b + ab2 −−−− a2b – ab2 −−−− b3 = a3 −−−− b3
13.2.1.- Produto de Warring - Exemplos
(x + 3) (x2 – 3x + 9) = x3 + 33 = x3 +27
(x – 5) (x2 + 5x + 9) = x3 – 125
2 Edward Waring (1734/1798) foi um matemático inglês que publicou um importante livro de álgebra: Meditationes Algebraicae, traduzido por Daniel Weeks, e publicado pela American Mathematical Society, 1991. 459 p. ISBN 0821801694. A ele se deve a Conjectura sobre números primos que leva seu nome: ‘Conjectura de Waring’.
273
JALGB#14 – JOGOS PARA O PENSAMENTO ALGÉBRICO Nº 14 FATORAÇÃO DE POLINÔMIOS E PRODUTOS NOTÁVEIS
Aqui vamos abordar, de forma complementar aos JALGBR anteriores, os assunto (1) Casos Notáveis de Fatoração Polinomial e (2) Fórmulas dos Produtos Notáveis – que são operações inversas uma da outra. Já abordamos este tipo de assuntos nos JALGBR #08, #09, #10, #12 e #13, e recomendamos que o leitor os releia e compare com este atual JALGBR. Um interessantíssimo Jogo Para o Pensamento Algébrico aqui alocado no final, pretende sintetizar todas as ideias estudadas nos JALGBR supra citados.
14.1.- Fatoração de Polinômios e Produtos Notáveis
Há na Educação Fundamental Matemática a necessidade de se memorizar fórmulas que
visam facilitar a simplificação de expressões algébricas polinomiais ou evitar cálculos
desnecessários de expressões algébricas envolvendo produtos.
Na verdade, estas fórmulas devem ser primeiramente deduzidas para que sejam facilmente
reconhecidas quando necessário, para somente depois disto serem memorizadas. Estes conjuntos de
fórmulas, que na verdade representam operações inversas uma da outra, são as denominadas:
(1) Expressões Fatoráveis
(2) Expressões Fatoradas
Já abordamos este tipo de assuntos nos seguinte JALGBR:
• JALGBR#08 – Os Algebra Tiles ou Ladrilhos Algébricos: Como Usar
• JALGBR#09 – Representação Geométrica de Fórmulas Algébricas
• JALGBR#10 – Sobre Fórmulas Fechadas e Fórmulas Recursivas
• JALGBR#12 – O Jogo dos Produtos Notáveis
• JALGBR#13 – O Produto de Stevin e o Produto de Warring
Sugerimos ao leitor que reveja estes cinco JALGBR a fim de selecionar o que há de
incomum entre eles e o que será abordado neste nosso JALGBR#14, pois eles tratam praticamente
de assuntos muito próximos quando não idênticos, mas abordados de pontos de vista pedagógico
diverso.
274
14.2.- Os Casos Notáveis de Fatoração Algébrica
Denominamos fatoração algébrica notável ao processo que permite expressar um dado
polinômio sob a forma de um produto de polinômios. Este processo é muito importante na medida
em que se apresenta como uma ferramenta para resolver equações e simplificar algumas expressões
algébricas racionais.
Note que algumas expressões polinomiais (expressões algébricas com coeficientes inteiros,
com uma ou mais variáveis) nem sempre resulta numa fatoração envolvendo fatores inteiros, estes
tipos de polinômios são ditos irredutíveis sobre os inteiros ou primos.
14.2.1.- Exemplo de Polinômio Primo ou Irredutível em Z Z Z Z
O polinômio x2 – 5 é primo, ou seja, não é fatorável em Z, mas pode ser fatorável como
sendo o produtor de duas expressões irracionais (expressões polinomiais não inteiras em x), como
mostrado abaixo:
O exemplo dado a seguir apresenta uma expressão algébrica não fatorável:
2x2 + y + 3
14.2.2.- Fatoração Completa
Um polinômio estará completamente fatorado quando cada um dos fatores obtidos forem
primos. Veja na igualdade que o primeiro passo da fatoração mostrada aqui está incompleta, pois o
polinômio x2 – 9 não é primo, e poderá ser fatorado como sendo (x + 3)×(x − 3)
=−−+ 9923 xxx ×+ )1(x )9( 2 −x ×+= )1(x )3()3( +×− xx
14.3.- 1o Caso de Fatoração:
Fatoração por Evidência do Fator Comum – Isolamento do Fator Comum
Exemplos:
(a) 5x2yt + 10xy2z = 5xy (xt) + 5xy (2yz) = 5xy (x + 2yz)
)5()5(52 +×−=− xxx
275
(b) 12x3 – 6x2y + 3xy + 9 = 3(4x3 – 2x2y + xy + 3)
Importante: deve-se verificar se o monômio que foi colocado em evidência ao ser multiplicado
pela expressão do parêntesis resulta novamente na expressão inicial:
5xy (xt + 2yz) = 5x2y + 10 xy2z
Em tempo: Verifique se a fatoração do segundo exemplo acima está correta.
14.4.- 2o Caso de Fatoração:
Fatoração do Trinômio Quadrado Perfeito
Sabe-se que (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 e (a - b)2 = a2 - 2ab + b2, isto é, o quadrado de um
binômio é um trinômio denominado trinômio quadrado perfeito. Um trinômio quadrado perfeito
pode ser escrito como o quadrado de um soma ou uma diferença binomial.
Exemplos:
(a) x2 + 10x + 25 = x2 + 2.5.x + 52 = (x + 5)2
(b) x2 - 40x + 400 = x2 - 2.2.2.5.x + 202 = (x - 20)2
(c) 3 + 2 6 + 2 = 222 )23()2(2.3.2)3( +=++
(d) 22222 xy)3
1((xy)xy
3
12)
3
1(yxxy
3
2
9
1−=+××−=+−
(e) 1 – 6m3 + 9m6 = (1 –3m3)2
Em tempo: Verifique a dedução de cada uma dos exemplos acima, desenvolvendo algebricamente
os quadrados perfeitos.
276
14.5.- 3o Caso de Fatoração:
Fatoração da diferença de dois quadrados
Sabe-se que (a + b).(a - b) = a2 - b2 o que implica em: a2 - b2 = (a + b).(a - b).
Exemplos:
(a) x2 – y2 = (x + y).(x − y) = (x − y).(x + y) =
(b) 4a2x4 – x4y = (2ax2 – x2y ).(2ax2 + x2
y )
(c) )5
4).(
5
4()
5
4).(
5
4(
25
162 +−=−+=− mmmmm
Em tempo: Verifique a dedução de cada uma dos exemplos acima, efetuando as multiplicações
indicadas.
14.6.- 4o Caso de Fatoração:
Fatoração Por Agrupamento
A fatoração de uma expressão algébrica por agrupamento consiste na formação de grupos
envolvendo os termos da expressão, para que em seguida se possa aplicar um dos três casos
anteriores, de forma conveniente. Pedagogicamente este é um caso de fatoração bastante complexo
que requer muita atenção e deve ser muitíssimo bem explorado pelos educadores.
Exemplos:
(a) 2x2 – 3y + 6x – xy = (2x2 + 6x) - (3y + xy) = 2x(x + 3) – y (3 + x)
=
= (3 + x) (2x – y)
(b) 1 – x4 = (1 + x2). (1 - x2) = (1 + x2). (1 - x).(1 + x)
(c) ab3 – a3b = ab(b2 – a2) = ab(b – a).(b+a)
(d) a3 – 10a2 + 25ax2 = a(a2 – 10a + 25x2) = a(a – 5x)2
(e) x4 – y4 = (x2 + y2).( x2 - y2) = (x2 + y2).( x + y).(x – y)
277
Em tempo: Verifique a dedução de cada uma dos exemplos acima, efetuando as multiplicações
indicadas.
14.7.- 5o Caso de Fatoração:
Fatoração do Trinômio ax2 + bx + c
Problema: Quer-se fatorar o trinômio ax2 + bx + c = 0.
Solução:
[1] Coloca-se o a em evidência : 0 a
cx
a
bxa cbxax 22 =
++×=++
[2] Adota-se15 )x(xa
b21 +−= e 21 xx
a
c×= :
[ ] 0 )x(x x )x(x x a 21212 =×+×+−×
[3] Efetuam-se os produtos: [ ] 0 x xx x-x xx a 21212 =+−×
[4] Fatora-se por agrupamento: [ ] 0 ) x(x x-) xx(x a 211 =+−×
[ ] 0 ) x(x )x-(x a 21 =+××
[5] de onde se pode tirar o seguinte:
) x-(x )x-(x a 212 =++ cbxax
com a ≠ 0, x1 e x2 raízes da equação
Exemplos:
(a) x2 – 5x + 6 = 0 tem para raízes 2 e 3,
logo P(x) = x2 - 5x + 6 = (x – 2).(x –3)
15 Esta é a fórmula de Girard da Relação entre os coeficientes e raízes da equação do 2º Grau (vide JALGBR#15, a seguir)
278
(b) x2 + 4x - 5 = (x – 1).(x + 5) pois as raízes de x2 + 4x - 5 = 0
são 1 e –5.
(c) 4x2 – 4x + 1 = 0 tem raízes x1 = x2 = ½
logo: 4x2 – 4x + 1 = 4(x – ½).(x – ½) = 4(x – ½)2
Em tempo: Verifique a dedução de cada uma dos exemplos acima, efetuando as multiplicações
indicadas.
14.8.- 6o Caso de Fatoração:
Fatoração do Polinômio a³ + 3a²b + 3ab² + b³
Sabe-se que: (a + b)³ = (a + b) ×××× (a + b)2 = (a + b) ×××× [a2+ 2ab + b2] =
= [a3+ 2a2b + ab2] + [a2b+ 2ab2 + b3] = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
14.9.- 7º Caso de Fatoração
Fatoração do Polinômio a³ −−−− 3a²b + 3ab² −−−− b³
Sabe-se que: (a − b)³ = (a − b) ×××× (a − b)2 = (a − b) ×××× [a2 − 2ab + b2] =
= [a3 − 2a2b + ab2] + [− a2b + 2ab2 − b3] = a³ − 3a²b + 3ab² − b³
14.10- 8º Caso de Fatoração
Fatoração do Binômio de Warring
Fatoração de a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2) (Produto de Warring)
Fatoração de a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2) (Produto de Warring)
279
14.11.- Um Importante Jogo Para o Pensamento Algébrico
Dissemos na introdução deste JALGBR que dever-se-ia memorizar estas fórmulas. Esta
memorização deve levar em conta que uma expressão algébrica fatorável tem, quando fatorada, a
possibilidade de ser reconstituída através da multiplicação dos fatores que a ela correspondente.
Adotando o símbolo ‘↔’ com o significado de ‘corresponde a’, poderemos, sem perda de
generalidade, escrever esta ideia de forma esquemática, onde, da seguinte forma:
Uma Expressão Algébrica Fatorável ↔↔↔↔ Um produto Notável
Um produto Notável ↔↔↔↔ Uma Expressão Algébrica Fatorável
14.10.1.- Analisando os Conjuntos de Cartões do Jogo
Abaixo mostramos o conjunto de cartões denominado ‘Expressões Fatoráveis X Expressões
Fatoradas’, onde em fundo amarelo figuram as Expressões Algébricas Fatoráveis e em fundo verde
claro figuram as respectivas Fatorações (Produtos Notáveis) a elas correspondentes.
Eles estão divididos em 3 subconjuntos de cartões, onde sobre um fundo amarelo estão as
Expressões Fatoráveis e sobre um fundo verde claro estão as Expressões Fatoradas, a saber:
1. Cartões Abstratos – Cartões do Primeiro Tipo
2. Cartões Contendo Exemplos – Cartões do Segundo Tipo
3. Cartões que exigem a fatoração completa – Cartões do terceiro Tipo
14.11.1.1.- O Conjunto dos Cartões Abstratos ou do Primeiro Tipo
a2 + 2ab + b
2
(a + b)2
a2 − 2ab + b
2
(a − b)2
280
a2 − b2
(a − b)(a − b)2
ax2 + bx + c
a(x − x1)(x − x2)
x2 + bx + c
(x − x1)(x − x2)
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a + b)3
a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
(a – b)3
a3 + b3
(a + b) (a2 – ab + b2)
a3 – b3
(a – b) (a2 + ab + b2)
ax2 + bx + c
a = 1, b = r1 + r2 = S, c = r1 × r2 = P
(x − r1)(x − r2)
281
x2 + (a + b)x + ab
(x + a)(x + b)
x2 – (a + b)x + ab
(x – a)(x – b)
x2 + (a – b)x – ab
(x + a)(x – b)
x2 + (-a + b)x – ab
(x – a)(x + b)
x3+(a+b+c)x2+(ab+ac+bc)x+abc
(x + a)(x + b)(x + c)
14.11.1.2.- O Conjunto dos Cartões Contendo Exemplos ou do Segundo Tipo
O leitor deve ter notado que os cartões acima apresentam os casos de ‘Expressões Fatoráveis
X Expressões Fatoradas’ representados em sua forma mais genérica ou abstrata (simbólica).
No entanto, outros tipos de ‘Expressões Fatoráveis X Expressões Fatoradas’ terão que ser
apresentados de forma específica, ou seja, a através de exemplos contendo, nestes casos, expressões
não genéricas, mas específicas, como nos casos da ‘Fatoração por Evidência’ e ‘Fatoração por
Agrupamento’. Claro deve ficar que poderemos apresentar muitos outros exemplos para este
mesmo tipo de ideia, também envolvendo os casos abstratos anteriores agora sob a forma de
expressões específicas (exemplos), como mostramos a seguir:
282
axy − aby + ay
ay(x − b + 1)
35x2y − 14xy + 21xy2
7xy(5x − 2 + 3y)
2x2 – 3y + 6x – xy
(2x−y)(x + 3)
x2 – 7
(x − 71/2
)(x + 71/2
)
x2 – 5
(x − 5 )(x + 5 )
5x2yt + 10xy2z
5xy(xt + 2yz)
x2 – 40x + 400
(x – 20)2
283
x2 + 10x + 25
(x + 5y)2
1 – 6m3 + 9m6
(1 – 3m3)2
14.11.1.3.- O Conjunto dos Cartões com Fatoração Completa ou do Terceiro
Tipo
Como se afirmou nos itens 14.2.1. e 14.2.2. uma fatoração completa exige que todos os
fatores constantes da expressão fatorada sejam primos ou irredutíveis a novos fatores, isto é, seja
uma expressão não fatorável.
Fatorar Completamente :
1 – x4
(1 + x2) (1 – x2) =
= (1 + x2) (1 + x) (1 – x)
Fatorar Completamente:
(2x2 + 6x)2
4x4 + 24x3 + 36x2 = 4x2(x2 + 6x + 9) =
= 4x2(x + 3)2
Fatorar Completamente:
x3 + x2 – 9x – 9
x2(x+1)–9(x+1)= (x+1)(x
2–9)=
= (x+1)(x–3)(x+3)
14.11.2.- Regras do Jogo
Este é um importante Jogo Para o Pensamento Algébrico e para a memorização dos diversos
casos de fatoração até aqui estudados.
284
Antes de se iniciar os jogos devem-se imprimir os cartões, plastificá-los e em seguida
recortá-los, separando-os em dois grandes conjuntos: os de fundo amarelo e os de fundo verde
claro.
14.11.2.1.- A 1ª Abordagem:
1. O jogo envolve pelo menos três pessoas: um gerente (que poderia inicialmente ser o
professor ou educador - cuja principal tarefa é a de anotar os acertos) e outros duas pessoas,
que são efetivamente os jogadores;
2. O gerente deve separar somente os Cartões Verdes do Primeiro Tipo, embaralhando-os
bem;
3. O gerente retira do maço de cartões um deles e o mostra aos jogadores;
4. Os jogadores, sem que um veja o que o outro está fazendo, tentam escrever a Expressão
Fatorável constante do cartão de fundo verde mostrado pelo gerente;
5. Cada acerto ou erro, que deve ser conferido pelo gerente, nas seguintes tabelas (vide a
seguir: Conjunto dos Cartões Abstratos ou do Primeiro Tipo – Parte A e Parte B) que deverá
notar para os jogadores, em caso de acerto: ‘ 1’ e, em caso de erro’ 0;
Conjunto dos Cartões Abstratos ou do Primeiro Tipo – Parte A
a2 + 2ab + b
2
(a + b)2
a2 − 2ab + b2
(a − b)2
a2 − b2
(a − b)(a − b)2
ax2 + bx + c
a(x − x1)(x − x2)
x2 + bx + c
(x − x1)(x − x2)
a3 + 3a
2b + 3ab
2 + b
3
(a + b)3
a3 + b
3
(a + b) (a2 – ab + b
2)
a3 – b
3
(a – b) (a2 + ab + b
2)
Conjunto dos Cartões Abstratos ou do Primeiro Tipo – Parte B
ax2 + bx + c
a = 1, b = r1 + r2 = S, c = r1 × r2 = P
(x − r1)(x − r2)
x2 + (a + b)x + ab
(x + a)(x + b)
x2 – (a + b)x + ab
(x – a)(x – b)
x2 + (a – b)x – ab
(x + a)(x – b)
x2 + (-a + b)x – ab
(x – a)(x + b)
x3+(a+b+c)x
2+(ab+ac+bc)x+abc
(x + a)(x + b)(x + c)
285
6. Ao serem utilizados todos os cartões do monte de cartões, o gerente calculará a quantidade
de pontos de cada um dos jogadores;
7. Dependendo da quantidade de erros ou acertos, o jogo poderá ser repetido, ou então deve-se
tentar uma nova abordagem, descrita a seguir.
14.11.2.2.- A 2ª Abordagem:
1. Caso a quantidade de acertos tenha sido satisfatória, uma nova partida poderá ser proposta,
agora com os Cartões do Primeiro Tipo, cujos fundos sejam amarelo, procedendo-se da
mesma maneira da rodada anterior.
2. O educador, apenas para seu controle, deverá comparar a quantidade de pontos obtida por
cada um dos jogadores, quando da primeira abordagem e da segunda abordagem.
14.12.- Conclusão
Todo o conjunto de JALGBR sobre estes assuntos, além deste JALGBR#14, a saber:
• JALGBR#08 – Os Algebra Tiles ou Ladrilhos Algébricos: Como Usar
• JALGBR#09 – Representação Geométrica de Fórmulas Algébricas
• JALGBR#10 – Sobre Fórmulas Fechadas e Fórmulas Recursivas
• JALGBR#12 – O Jogo dos Produtos Notáveis
• JALGBR#13 – O Produto de Stevin e o Produto de Warring
devem ser retomados e reexaminados, com a finalidade de se aproveitar ao máximo as
oportunidades de aprendizagem e fixação da aprendizagem, cabendo ao educador a tarefa de
discutir e selecionar com os estudantes as abordagens mais adequadas.
286
JALGB#15 – JOGOS PARA O PENSAMENTO ALGÉBRICO Nº 15 RESOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES DO 2º E DO 4º GRAUS
Neste JALGBR iremos apresentar dois tipos de equações polinomiais com coeficientes reais a uma variável: as Equações do Segundo Grau a as Equações do Quarto Grau.
15.1.- Equações Polinomiais do Segundo Grau
Esta é equação é denominada equação quadrática ou equação polinomial do segundo grau
com coeficientes reais (a , b, e c são números reais, com a ≠ 0):
ax2 + bx + c = 0, onde: a,b,c∈R e a ≠ 0
Se a = 0 a equação passa a ser uma equação linear a uma variável ou uma equação
polinomial do 1o grau a uma variável, ou seja, bx + c = 0, com b ≠ 0. Para que a notação fique
mais elegante, poe4mos trocar os coeficientes, escrevendo, sem perda de generalidade, que: ax + b
= 0, com a ≠ 0 .
15.2.- Fórmula Resolutiva das Equações do 2º Grau
Dada a equação ax2 + bx + c = 0 com a ≠ 0 vamos obter a sua Fórmula Resolutiva, ou
seja, desejamos escrevê-la de forma a explicitar o valor de x. Os cinco passos que a seguir são
mostrados consistem na dedução da Fórmula Resolutiva da Equação do 2º Grau. Por hora, não
formulamos esta ideia como sendo um Teorema a ser provado, que é o que se fará logo adiante.
1o passo - explicitar o coeficiente c e multiplicar toda a equação por “4a", ou seja, multiplicar cada
um dos os termos da equação por “4a":
ax2 + bx = -c
4a2x2 + 4abx = -4ac
2o passo - adicionar b2 aos dois membros da igualdade:
4a2x2 + 4abx + b2 = b2 - 4ac
trinômio quadrado perfeito
287
3o passo - fatorar o trinômio quadrado perfeito presente no primeiro membro da igualdade:
(2ax + b)2 = b2 - 4ac
4o passo - extrair a raiz quadrada da equação toda
4ac -b b 2ax 4ac - b b) (2ax 222 ±=+⇒±=+
5o passo - explicitar o x (notar que: o segundo membro da igualdade pode ser dividido por “2a"
pois, como a ≠ 0, temos que: 2a ≠ 0).
2a
4ac - b b x 4ac - b b2ax
22 ±−
=⇒±−=
que é a fórmula Resolutiva da Equação do 2o Grau.
0a com , 2a
4ac - b b x 0a com 0, c bx ax
22 ≠
±−=⇔≠=++
Esta equivalência nos indica que poderemos utilizar a Fórmula Resolutiva para obter as raízes das equações do 2o grau de maneira menos trabalhosa do que
resolvendo-a passo a passo, com a finalidade de isolar o valor de x.
15.2.1.- Observação
A fórmula Resolutiva da Equação do 2º Grau pode ser apresentada como um Teorema
(Hipótese/Tese)
Teorema: ax2 + bx + c = 0, a,b,c∈R, a≠0 ⇔⇔⇔⇔ a2
4acbbx
2 −±−= , a,b,c∈R, a≠0
Provar este Teorema implica em provar a duas seguintes implicações:
(Ida: ⇒⇒⇒⇒) ax2 + bx + c = 0, a,b,c∈R, a≠0 ⇒a2
4acbbx
2 −±−= , a,b,c∈R, a≠0
(Volta: ⇐⇐⇐⇐) a2
4acbbx
2 −±−= , a,b,c∈R, a≠0 ⇒ ax2 + bx + c = 0, a,b,c∈R, a≠0
288
Pedagogicamente, sugerimos que o educador aborde primeiramente a prova da validade da
‘volta’ deste teorema por exigir menos conceitos teóricos. A prova da ‘ida’ , como já se
pôde ver no item anterior é bem mais complexa e exige um conhecimento algébrico mais
avançado, deveria ser reservado para uma aula especial em que todos os pré-requisitos
para isto tenham sido estudados e bem fixados.
A seguir, a prova da segunda parte deste teorema é apresentada como exercício.
15.2.2.- Exercícios Resolvidos:
(4) Mostre que: “ a2
4acbbx
2 −±−= , a,b,c∈R, a≠0 ⇒⇒⇒⇒ ax2 + bx + c = 0, a,b,c∈R, a≠0 ”.
Resolução:
Hipótese: Sejaa2
4acbbx
2 −±−= , a,b,c∈R, a≠0 e
Tese: que vamos provar que esta fórmula é equivalente à 0bx x 22 =++ c
Como a≠0, tem-se que 2a≠0, podemos escrever que:
4acbb2ax 2 −±−= ⇒ 4acbb 2ax 2 −±=+ ⇒ 4acbb) (2ax 22 −=+ ⇒
⇒ 4acbb4abx x4a 2222 −=++ ⇒ 4ac4abx x4a 222 −=+ ⇒ 044abx x4a 222 =++ ac ⇒
⇒ 0)bx 4a(x 22 =++ c ⇒ 4a = 0 ou 0bx x 22 =++ c , mas 4a≠0, logo 0bx x 22 =++ c .
(5) Resolver x2 – 5x + 6 = 0.
Resolução: Como x2 – 5x + 6 = 0 ⇒
=
−=
=
6
5
1
c
b
a
, substituindo estes valores (a, b, c) na fórmula
resolutiva da equação do segundo grau, vem:
==−
=
==+
=⇒
±=
±=
−±=
×
××−−±−−=
22
4
2
15
32
6
2
15
2
15
2
15
2
24255
12
614)5()5(
1
12
x
xx
de onde se pode estabelecer que o conjunto solução da equação é: S ={ 2, 3 }.
289
• É sempre bom verificar se as raízes encontradas “realmente zeram” a equação, isto é, verificar se ao substituirmos os valores encontrados a equação se anula:
• x2 – 5x + 6 = 0 com x = 3 ⇒ 32 – 5 × 3 + 6 = 9 – 15 + 6 = 0 • x2 – 5x + 6 = 0 com x = 2 ⇒ 22 – 5 × 2 + 6 = 4 – 10 + 6 = 0
Justificativa: Quando se cometem erros de cálculos
durante a utilização da fórmula resolutiva, as raízes são
afetadas por estes erros e consequentemente não zeram a
equação.
Nota de Ordem Pedagógica: O educador deve chamar à atenção dos educandos para o fato de que
a explicitação dos valores dos coeficientes ( a = ..., b = .... e c = ...) é uma medida muito útil quando
se tratar mais adiante de simplificar os cálculos, tornando-os imediatos. Tomando o exercício acima
como exemplo, os cálculos se reduziriam simplesmente a:
x2 – 5x + 6 = 0 ⇒
=
−=
=
6
5
1
c
b
a
⇒
=
=⇒
±=
−±=
2
3
2
15
2
24255
1
1
x
xx
→→→→ Mostre aos seus alunos como fazer isto (simplificar os cálculos) nos outros exercícios.
(6) Resolver 25x2 + 10x + 1 = 0.
Resolução: 25x2 + 10x + 1 = 0 ⇒
=
=
=
1
10
25
c
b
a
de onde:
−=
−=
−=
−=
⇒±−
=±−
=−±−
=×
××−±−=
5
1
50
105
1
50
10
50
010
50
010
50
10010010
252
12541010
1
12
x
xx
Assim sendo, se pode estabelecer que S ={ 5
1−}, o que significa que esta equação possui duas
raízes reais iguais.
(7) Resolver 6x2 – x - 15 = 0
Resolução:
−=
−=
=
15
1
6
c
b
a
⇒ 50
3591
12
36011
62
)15(6411 −±=
−±=
×
−××−±=x
290
No entanto, considerando que R359 ∉− irmos concluir que: esta equação não possui raízes
reais, ou seja, ela não tem solução no campo dos números reais e seu conjunto solução em R (R =
conjunto dos números reais) é vazio, isto é:
SR = { } ou SR = φ
CUIDADO: Esta equação tem solução no campo dos números complexos sendo que as suas raízes
são dois números complexos conjugados, do tipo a + bi e a – bi, um estudo que normalmente é
proposto aos estudantes do 3º ano do Ensino Médio.
15.3.- Discussão das Raízes de uma Equação do 2o Grau
A partir da fórmula resolutiva da equação do segundo grau pode-se fazer um estudo que
permite prever o tipo de raízes que serão obtidas após o cálculo. Adotando-se ∆ = b2 - 4ac, obtém-
se:
0a com ,2a
b
2a
4ac - b bx
2
≠∆±−
=±−
=
onde o ∆ é denominado discriminante da equação.
Voltando aos exercícios anteriores ( item ) podemos notar que:
para ∆ > 0 obtém-se duas raízes reais distintas
para ∆ = 0 obtém-se duas raízes reais idênticas
para ∆ < 0 não se obtêm raízes reais (há duas raízes complexas conjugadas)
15.4.- Resolução de Equações Incompletas do 2º Grau:
Há dois casos de equações incompletas do segundo grau:
1o Caso: ax2 + bx + c = 0 com a ≠≠≠≠ 0, b = 0 e c ≠≠≠≠ 0.
Exercício Modelo: 4 16 x 16 x 0 16 - x 22 ±=⇒±=⇒=⇒= x logo S={-4, 4}
2o Caso: ax2 + bx + c = 0 com a ≠≠≠≠ 0, b ≠≠≠≠ 0 e c = 0.
291
Exercício Modelo:
=⇒=
=⇒=×⇒=
808 -x
0x 08)-(x x 0 8x - x 2
x de onde S={0, 8}
Observe que:
• As equações incompletas do 2o grau não necessitam ser resolvidas através da Fórmula
Resolutiva, apesar de o poderem.
• No segundo caso apresentado acima, como o produto vale zero: x × (x – 8) = 0 é obrigatório
que um dos fatores seja nulo, isto é, ‘x = 0’ ou ‘x – 8 = 0 ⇒ x = 8’, para que a equação x × (x
– 8) = 0 seja satisfeita.
• Esta é uma lei denominada Lei do Fator Nulo: “Se o produto de dois números é zero, então
um ou ambos os números é zero”. Ou algebricamente: “Se ab = 0, então a = 0 ou b = 0 (o que
inclui a possibilidade de que a = b = 0)”.
15.5.- Equações Polinomiais Biquadradas a uma Variável
Um tipo bastante particular de equação polinomial é a equação biquadrada:
0a com 2a
4ac - b2 b x 0a com 0 c bx ax 224 ≠
±−=⇔≠=++
15.5.1.- Exercícios Resolvidos:
(1) Resolver x4 – 13x2 + 36 = 0.
Resolução:
Como x4 – 13x2 + 36 = 0 ⇒
=
−=
=
36
13
1
c
b
a
logo, substituindo estes valores na fórmula
resolutiva da equação biquadrada, vem:
292
3} 2, 2, 3,{S
2x
2x
3x
3x
4x
ou
9x
4
3
2
1
−−=⇒
−=
+=
−=
+=
⇒
±=
±=
⇒
(2) Resolver x4 – 2x2 - 8 = 0.
Resolução:
Como x4 – 2x2 - 8 = 0⇒
−=
−=
=
8
2
1
c
b
a
⇒
−=
=
⇒±
=±
=+±
=⇒
2x
4x
2
62
2
362
2
3242 x
2
2
2 ou
2} 2, {S
R x
R x
2x
2x
R2-x
ou
4x
4
3
2
1
−=⇒
∉¬∃
∉¬∃
+=
−=
⇒
∉±=
±=
⇒
(3) Resolver x4 – 8x2 +16 = 0.
Resolução:
2} 2, {S
2x
2x
2x
2x
4x
ou
4x
4x
4x
2
8
2
08
2
64-648x
1
1
2
1
2
2
2 −=⇒
+=
−=
+=
−=
⇒
±=
±=
⇒
=
=
⇒=±
=±
= ou
(4) Resolver x4 – 2x2 + 2 = 0.
Resolução
⇒
==
==
⇒±
=±
=−±
=×
××−−±−−=
42
8x
92
18x
2
513
2
2513
2
14416913
12
361413)(13)(x
2
2
22 ou
293
} { S R2
4-2
2
8-42x2 =⇒∉
±=
±=
15.6.- Quantidade de Raízes das Equações Polinomiais
O estudo da relação entre os coeficientes e as raízes das equações polinomiais é algo que
deve ser introduzido logo após o conhecimento do Teorema Fundamental da Álgebra, no que diz
respeito à quantidade de raízes destes polinômios quanto ao grau.
15.6.1.- Raízes ou Zeros de P(x) – O Teorema Fundamental da Álgebra
Ao igualarmos um polinômio a zero, o transformamos numa equação polinomial:
Considere o polinômio P(x) = x2 – 3x – 10. Deseja-se saber quais são os zeros ou raízes
deste polinômio. Para isto, vamos tomar P(x) = 0, isto é, vamos fazer x2 – 3x – 10 = 0, que é uma
equação polinomial do segundo grau, completa.
Resolvendo x2 – 3x – 10 = 0 obtemos: x = -2 e x = 5, que são as raízes ou zeros de P(x),
veja por que: P(-2) = (-2)2 – 3 × (-2) – 10 = 4 + 6 – 10 = 0 e P(5) = (5)2 – 3 × (5) – 10 = 25 –15 –
10 = 0.
Como ter certeza de que os únicos zeros de P(x) = x2 – 3x – 10 são –2 e 5?
Um fato notável sobre as equações polinomiais a uma variável é que:
“ao grau da equação algébrica corresponde o número de raízes ou zeros da mesma”.
propriedade que foi provada por Gauss em 1799 e é conhecida como Teorema Fundamental da
Álgebra.
No caso do polinômio P(x) = x2 – 3x – 10, δP = 2 ( o grau de P(x) é igual a dois ou P(x) é do
segundo grau) teremos apenas duas raízes ou zeros, como –2 e 5 satisfazem à condição, não haverá
a possibilidade de existirem outras raízes.
CUIDADO:
Por exemplo, o polinômio P(x) = x2 – 6x + 9 quando transformado em equação polinomial,
ou seja, x2 – 6x + 9 = 0 tem para conjunto solução S = { 3 }. Isto não indica que o polinômio tenha
uma única raiz, porque 3 será uma raiz dupla de P(x) = 0, ou seja, ao resolvermos a equação iremos
obter duas raízes iguais: x1 = x2 = 3.
294
15.6.1.- Um Jogo Para O Pensamento Algébrico
Gosto muito de apresentar este exemplo como sendo um Jogo Para o Pensamento Algébrico
depois de dar conhecer aos estudantes o Teorema Fundamental da Álgebra em sua versão mais
simples: “Todo polinômio inteiro em x de grau n tem n raízes ou zeros”.
Para que este exemplo possa ser tomado como um Jogo Para o Pensamento, o educador deve
apresentá-lo passo a passo de forma dialogada, explorando ao máximo cada uma das ideias ali
contidas.
1º Passo: Perguntar: Estas duas equações são iguais?
9=x 92 =x
Comentário: Normalmente os estudantes acham que elas são uma mesma equação – “Porque têm as mesmas raízes” –, mas isto não é verdade. A primeira equação é do primeiro grau e a outra é do
segundo grau. Isto ocorre porque muitos estudantes pensam que a 9 é igual a 3± , no entanto,
39 = .
2º Passo: Citar o Teorema Fundamental da Álgebra (TFA) e perguntar a quantidade de raízes de cada uma das equações.
Resposta: esta equação terá somente uma raiz, pois, de acordo com o TFA, ela é uma equação do primeiro grau.
Resposta: esta equação terá duas raízes, pois, de acordo com o TFA, ela é uma equação do segundo grau.
3º Passo: resolva as equações. Primeiramente resolva a
equação 9=x explicando cada passo, em seguida reolva a equação 92 =x justificando todos os passos.
9=x
3=x
S = {3}
92 =x
9=x ? Sendo e 3=x ? ou
9±=x ? Sendo 3±=x ?
Justificar a sua resposta.
Comentário: É incorreta a passagem “ 92 =x ⇒ 9=x ”, pois estaríamos transformando uma equação do segundo grau em uma equação algébrica do primeiro grau, o que acarretaria a perda de uma das raízes da equação do segundo grau (Vide o Teorema Fundamental da Álgebra).
Veja como ficarão as duas equações resolvidas, lado a lado, de forma comparativa:
9=x
3=x
S = {3}
Teste aqui a raiz −3 e veja:
não é possível que: 93 =−
92 =x
9±=x 3±=x
Testar as raízes 3 e −3! As duas raízes satisfazem à equação dada
logo podemos escrever que:
S= {3, −3}
295
15.7.- Jogos Para o Pensamento sobre a Equação do 2º Grau
O educador, utilizando o seguinte esquema que contém quadrículas em que figuram vários
dos conceitos relativos à Equação Quadrática, poderá propor alguns Jogos Para o Pensamento
Algébrico, muito interessantes.
x = a2
ac4bb 2 −±− , a ≠ 0 ax2 + bx + c = 0, a≠0 0,2
422 ≠
−±−= a
a
acbbx
ax2 + bx + c = 0, a≠0, b=0 ax2 + bx + c = 0, a = 0 ? ax2 + bx + c = 0, a≠0, c=0
x = ab− , a ≠ 0
x = a
c−± , a ≠ 0
x” =
a2ac4bb 2 −−− , a ≠ 0
x= 0 ou x = (ax + b) ax4 + bx2 + c = 0, a≠0 ay2 + by + c = 0, a≠≠≠≠0, y =x2
ax2 + bx = 0, a≠0 ax2 + c = 0, a≠0 ax2 = 0, a≠0 ⇔ x=0
y =a2
ac4bb 2 −±−± ,a ≠0
y’ =a2
ac4bb 2 −±−+ ,a ≠0
y” =a2
ac4bb 2 −±−− ,a ≠0
∆ = 0 ∆ < 0 ∆ > 0
∆ = 0, ∆ > 0 ou ∆ < 0, x.(ax + b) = 0 ∀a, b, c ∈ R
∀a, b, c ∈ R ∀a, b, c ∈ R ∀a, b, c ∈ R
∀a, b ∈ R ∀a, c ∈ R ∀a ∈ R
x ∉ R ¬∃ x∈ R ~∃ x∈ R
∆ = b2 – 4ac x'∈ R, x”∈R, x’≠ x” x'∈ R, x”∈ R, x’= x”
x = a2
b ∆±− , a ≠ 0 ax2 + bx + c = 0, a≠1 x2 + bx + c = 0
S = x’ + x” = a
b− P = x’ × x” =
a
c
Se a = 1 então, tem-se: S = x’ + x” = –b
P = x’ × x” = c
x2 – Sx + P = 0 ax2 + bx + c = 0, a≠0 S = soma das raízes P= produto das raízes
0cbxax 2 =++ , a≠0 (1) ⇔⇔⇔⇔
x = a2
ac4bb 2 −±− , a ≠ 0 (2)
É mais fácil provar que (2) ⇔⇔⇔⇔ (1) (1) ⇔⇔⇔⇔ (2)
296
15.7.1.- Alguns Jogos a Serem Propostos
• O primeiro destes jogos poderá ser aquele em que cada um dos conceitos deve ser
reconhecido pelos estudantes.
• Um segundo tipo de Jogo poderá ser aquele em que as quadrículas que contém conceitos
interdependentes ou derivados devam ser associadas em um Esquema Cognitivo que,
conforme o JLOGC#38 pode ser de um dos seguintes tipos:
� Esquemas cognitivos de ação
� Esquemas cognitivos de identificação
� Esquemas cognitivos procedimentais
� Esquemas cognitivos teórico-científicos
� Esquemas cognitivos operacionais
• Outros Esquemas Cognitivos mais completos podem ser propostos a partir dos esquemas
Cognitivos parciais encontrados pelos estudantes.
15.8.- Conclusão
O JALGBR, a seguir, contém mais alguns conceitos relativos às Equações do Segundo
Grau, que complementam as ideias até aqui estudadas.
297
JALGB#16 – JOGOS PARA O PENSAMENTO ALGÉBRICO Nº 16 EQUAÇÕES DO 2º GRAU: MANIPULAÇÕES ALGÉBRICAS
As equações do segundo grau podem ser submetidas a uma série de manipulações algébricas que nos permitirão explicitar e estudar várias de suas propriedades notáveis.
16.1.- Equação do 2º Grau: Manipulação de Coeficientes
Podemos submeter equações do 2º grau (ax2 + bx + c = 0, a,b,c∈R) a uma série de
manipulações algébricas, normalmente destinadas a explicitar uma dada propriedade, como se verá
a seguir. O estudo destas propriedades nos permitirá melhor subsidiar e entender a resolução
gráfico-geométrica das equações deste tipo.
16.2.- Fatoração do Trinômio ax2 + bx + c
A fatoração do trinômio ax2 + bx + c = 0 permitirá ao educador ‘construir’ equações do
segundo grau a partir das suas raízes.
Vejamos seguir como proceder para a obtenção o trinômio ax2 + bx + c em sua forma
fatorada:
[1] Coloca-se o ‘a’ em evidência : 0 a
cx
a
bxa cbxax 22 =
++×=++
[2] Adota-se )x(xa
b21 +−= e 21 xx
a
c×= : [ ] 0 )x(x x )x(x x a 2121
2 =×+×+−×
[3] Efetuam-se os produtos: [ ] 0 x xx x-x xx a 21212 =+−×
[4] Fatora-se por agrupamento: [ ] 0 ) x(x x-) xx(x a 211 =+−×
0 )] x(x ) x[(x a 21 =−×−×
[5] de onde se pode tirar que:
)] x(x ) x[(x a 212 −×−×=++ cbxax
com a ≠ 0, x1 e x2 raízes da equação
298
16.2.1.- exemplos de Fatoração do Polinômio P(x) = ax2 + bx + c
A seguir são mostradas várias aplicações para o resultado da dedução acima, analise bem
cada um deles e estabeleça as relações entre estes três casos.
(a) x2 – 5x + 6 = 0 tem para raízes 2 e 3, logo P(x) = x2 − 5x + 6 = (x – 2).(x –3)
(b) x2 + 4x – 5 = (x – 1).(x + 5), pois as raízes de x2 + 4x − 5 = 0 são 1 e –5.
(c) 4x2 – 4x + 1 = 0 tem raízes x1 = x2 = ½, logo: 4x2 – 4x + 1 = 4(x – ½).(x – ½) = 4(x – ½)2
(d) 3x2 – 6x – 15 tem raízes x1 = 5 e x2 = – 3, logo: 3x2 – 6x – 15 = 3(x – 5).(x + 3)
Observar que a recíproca da propriedade que permite a fatoração do trinômio do 2º grau nos
permite partir das raízes das raízes para obter o polinômio que a elas corresponda, como será
mostrado nos exemplos a seguir.
16.1.1.2.- Escrita de Polinômios a partir das raízes – Exercícios Resolvidos
Esta é sem dúvida uma técnica a ser adotada pedagogicamente pelos professores que
desejem ‘inventar’ suas próprias equações algébricas de acordo com as raízes que deseja obter.
(1) Escrever o polinômio do 2º grau tal que suas raízes sejam 4 e –2.
Solução: P(x) = (x – 4).(x + 2) = x2 – 2x – 8
(2) Escrever o polinômio tais que suas raízes sejam 2 e – 2 .
Solução: P(x) = (x – 2 ).(x + 2 ) = x2 – 2
(3) Escrever o polinômio tais que suas raízes sejam -1, 3 e 2.
Solução: P(x) = (x + 1).(x – 3).(x – 2) = x3 – 4x2 + x + 6
Confira os cálculos: x + 1 × x2 − 2x − 3 ×
x − 3 x − 2 − 3x − 3 − 2x2 +4x + 6 x2 + x x3 − 2x2 −3x x2 − 2x − 3 x3 − 4x2 + x + 6
(4) Escrever o polinômio cujas raízes são r e 2r.
Solução: P(x) = (x – r ).(x – 2r) = x2 – 3r + 2r2
299
16.3.- Resolução de Equação de 2º grau pelo Produto de Stevin
Uma situação inversa àquela mostrada acima, em que as equações do 2º grau são escritas a
partir de raízes escolhidas a priori, é aquela em que, dada a equação podemos, em muitos casos
através da aplicação do Produto de Stevin obter estas raízes por simples inspeção e um raciocínio
bastante simples.
Vamos supor que as raízes de uma equação do 2º grau sejam r1 e r2, e que o coeficiente a
seja igual a 1, assim, podemos escrever:, utilizando o Produto de Stevin, que
(x – x1).(x – x2) = x2 – (x1 + x2) x + x1x2 = 0.
Vamos adotar S = x1 + x2 = Soma das Raízes e P = x1x2 = Produto das raízes, sendo que no
caso de a≠0, poderemos escrever: ax2 + bx + c = 0 ⇒ 0a
cx
a
bx 2 =++ .
Recorrendo-se à dedução mostrada no item 16.1.1., podemos estabelecer ainda que:
)x(xa
b21 +−= = –S e 21 xx
a
c×= = P
de onde, finalmente: 0a
cx
a
bx 2 =++ ⇒ 0PSxx 2 =+− .
16.3.1.- Relação entre Coeficientes e Raízes – Relações de Girard
Além da obtenção dos valores da soma e do produto das raízes através do produto de Stevin,
podemos realizar estes cálculos através da fórmula resolutiva da equação do 2º grau. Na verdade
este outro método é mais trabalhoso do que o método anterior, mas as passagens algébricas se
constituem num excelente Jogo Para o Pensamento Algébrico. A partir disto vamos estudar as
relações ente os coeficientes e as raízes dos polinômios inteiros em x com graus superiores ao 2º
grau, denominadas Relações de Girard16.
16 Albert Girar (1590-1639): Nascido na França teve que se refugiar na Holanda por motivos religiosos. Estudou matemática Universidade de Leiden (1617). Como professor ensinou matemática, engenharia, óptica e música e publicou extensivamente em matemática. Trabalhou em álgebra, trigonometria e aritmética, e publicou um tratado sobre trigonometria contendo as primeiras abreviaturas sen, cos, tag (1626). Em 1629 publicou o livro Invention nouvelle en l'algèbre, demonstrando que as equações podiam ter raízes negativas e imaginárias. Também forneceu fórmulas para o cálculo da área do triângulo. Em álgebra desenvolveu esboços do teorema fundamental da álgebra e traduziu (1625) os trabalhos de Stevin e também ficou famoso por ser o primeiro a formular a definição da sucessão de Fibonacci, a saber: fn+2 = fn+1 + fn.
300
16.3.2.- Relações de Girard para a Equação do 2º Grau
Seja ax2 + bx + c = 0 com a ≠ 0 e sejam a
acbbx
2
42
1
−+−= e
a
acbbx
2
42
2
−−−= as
suas raízes ou zeros.
• Adicionando as raízes: S = a
b
2a
2b
2a
4acbb
2a
4acbbxx
22
21
−=
−=
−−−+
−+−=+
• Multiplicando as raízes: P = =−−−
×−+−
=×2a
4acbb
2a
4acbbxx
22
21
a
c
4a
4ac
4a
4acbb
4a
4ac)b(b
2a2a
)4acb(b)(22
22
2
22222
==+−
=−−
=×
−−−=
• Resumindo: S = a
bxx 21
−=+ (soma das raízes) e P =
a
cxx 21 =× (produto das raízes)
são as relações entre os coeficientes e as raízes da equação do segundo grau
denominadas Relações de Girard.
16.3.3.- Exercício Resolvido:
Obter as raízes de x2 – 5x + 6 = 0 utilizando as relações de Girard.
Solução:
• Aplicando-se as Relações de Girard obtém-se:
===×=
==−
=+=
61
6
a
c P
51
5
a
bS
21
21
xx
xx
• deve-se procurar agora, através de cálculo mental, dois números reais que adicionados
resultem
o S = 5 e que multiplicados resultem P = 6.
• É fácil estabelecer a hipótese: “ 2 e 3 satisfazem às condições S = 5 e P = 6”.
301
• É bom que adotemos como provisórios estes valores x1 = 2 e x2 = 3 para as raízes, pois
podemos nos ter enganado(!), para em seguida, verificar se eles realmente zeram a equação
dada, ou seja:
• x2 – 5x + 6 = 0 para x = 2 e para x = 3 ?
• Vamos verificar:
o para x = 2 ⇒ 22 – 5×2 + 6 = 4 – 10 + 6 = 0 e para x = 3 ⇒ 32 – 5×3 + 6 = 9 –
15 + 6 = 0, o que confirma a hipótese inicial.
16.3.4.- Generalizando as Relações de Girard
Neste tópico iremos generalizar as relações de Girard de forma intuitiva, como mostramos a
abaixo:
• Para ax2+ bx + c = 0 ⇒
=×
−=+
a
c a
b
21
21
xx
xx
• Para ax3+ bx2 + cx + d = 0 ⇒
−=××
=×+×+×
−=++
a
dxxx
a
cxxxxxx
a
bxxx
321
323121
321
• Para ax4+ bx3 + cx2 + dx + e = 0 ⇒
=
=+++
=+++++
−=+++
a
exxxx
a
d-xxxxxxxxxxxx
a
cxxxxxxxxxxxx
a
bxxxx
4311
432431421321
434232413121
4321
4
16.3.4.1.- Veja como Avançar na Generalização das Relações de Girard
O processo de obtenção das Relações de Girard pode ser generalizado da forma que
exporemos a seguir:
• Somando as raízes: ...xxxx 4321 ++++ se obtém a
b−;
• Somando os produtos das raízes combinadas duas a duas:
302
......x...xx...xxxx...xxxxxx 4434232413121 ++++++++++ se obtém a
c;
• Somando os produtos das raízes combinadas três a três se obtém a
d−, e assim por diante.
• Os resultados destes somatórios (de produtos combinados dois a dois, três a três, etc) são
sempre obtidos em função dos coeficientes da equação, cujos sinais de – e de + vão se
alternando: -b, c, -d, e, -f, g, -h, ... divididos pelo coeficiente a .
• A última relação entre os coeficiente e raízes da equação se apresenta como um produto único
envolvendo todas as raízes da equação.
16.4.- Esquema ‘X’ Para a Fatoração de ax2 + bx + c = 0, a = 0
Há um esquema que visa facilitar a fatoração dos trinômios do 2º grau a uma variável
real, e também para escrever a equação do 2º grau a partir de suas raízes, ou seja, a sua forma
fatorada.
Este esquema é denominado Esquema ‘X’ ou Esquema ‘Diamante’, de acordo com o
desenho escolhido para servir de suporte para os dados numéricos como mostrado abaixo. Cabe
esclarecer que estes dois esquemas são exatamente o mesmo, mas a doção do Esquema ‘X’ facilita
a sua utilização prática por se apresentar com um desenho mais simples de ser desenhado numa
folha de papel ou no caderno.
Esquema ‘X’:
P
S
r1 ≡ x1 r2 ≡ x2
⇒⇒⇒⇒
x2 − Sx + P = 0
(x−x1)(x−x2) = 0
Esquema ‘Diamante’
P
S
r1 ≡ x1 r2 ≡ x2
⇒⇒⇒⇒
x2 − Sx + P = 0
(x−x1)(x−x2) = 0
303
onde:
1. r1≡ x1 e r2 ≡ x2 são as raízes ou zeros do polinômio.
2. P = r1 × r2 ≡ x1 × x2 e S = r1 + r2 ≡ x1 + x2
3. ax2 + bx + c = 0, se a = 1: ax2 + bx + c = x2 − Sx + P ⇒ S = −b e P = c;
4. ax2 + bx + c = 0, se a ≠ 0: 0a
cx
a
bx 2 =++ ⇒ 0PSxx 2 =+− ⇒ S =
a
b−e P =
a
c;
16.4.1.- Um 1º Tipo de Jogo: Exemplos
Os diagramas abaixo foram completados. Confirme os resultados numéricos para S, P, x1 e
x2, bem como as equações:
?
?
5 2
⇒
10
7
5 2
⇒
x2 − 7x + 10 = 0
(x−5)(x−2) = 0
−24
2
? ?
⇒
−24
2
6 −4
⇒
x2 − 2x − 24 = 0
(x−6)(x+4) = 0
?
?
−5 −3
⇒
15
−8
−5 −3
⇒
x2 + 8x + 15 = 0
(x+5)(x+3) = 0
304
−24
−15
? ?
⇒
−14
−5
2 −7
⇒
x2 + 5x − 14 = 0
(x−2)(x+7) = 0
4
?
4 ?
⇒
4
1
4 5
⇒
x2 − 5x + 4 = 0
(x−4)(x−1) = 0
?
7
9 ?
⇒
−18
7
9 −2
⇒
x2 + 7x −18 = 0
(x−9)(x+2) = 0
0,75
?
0,5 ?
⇒
0,75
2
1,5 0,5
⇒
x2+2x+0,75 = 0
(x−0,5)(x−1,5)=0
16.4.2.- Folha de Exercícios – Primeiro Modelo
O leitor encontrará uma folha no tamanho A4 com uma série de cinco esquemas completos –
os esquemas ‘X’ e locais para o polinômio e sua respectiva fatoração.
Este deverá ser assumido como um Jogo Para o Pensamento Algébrico
1. A folha deve ser impressa (seja em cores ou apenas na cor preta) e distribuída aos
estudantes.
2. Cabe ao professor fornecer os dados um-a-um e em seguida corrigir os exercícios.
3. Os estudantes devem atribuir um ponto a cada exercício resolvido corretamente.
4. Ao final dos cinco exercícios deve-se contar o número de acertos.
305
⇒
⇒
Nome: ____________________ Número:____ Série:___________
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
2 pontos por acerto ↓↓↓↓
Total de Acertos:
1)
2)
3)
4)
5)
16.4.3.- Um 2º Tipo de Jogo: Exemplos
Este Jogo Para o Pensamento Algébrico não envolve apena uma implicação como o jogo
anterior. Trata-se aqui de uma bi-implicação: dados à esquerda geram dados à direita do esquema e
este geram dados novamente à esquerda.
Veja abaixo dois exercícios propostos com os respectivos resultados.
Exercício: Completar o esquema a seguir de acordo com o que foi aprendido no 1º exemplo:
Exercícios Propostos: Resultados:
x2 − 5x + 6 = 0
⇔
x2 − 5x + 6 = 0
(x -3)(x-2)=0
⇔
6
5
3 2
x2 − 16 = 0
⇔
x2 − 16 = 0
(x−4)(x+4)=0
⇔
−16
0
−4 4
306
16.4.4.- Outro Modelo de Folha de Exercícios
O leitor encontrará, no CD-R que acompanha este livro, este segundo modelo de folha no
tamanho A4 com o 2º tipo de Jogos Para o Pensamento Algébrico.
⇒
⇒
Nome: ____________________ Número:____ Série:___________
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
2 pontos por acerto ↓↓↓↓
Total de Acertos:
1)
2)
3)
4)
5)
16.4.5.- Um Esquema Para a Fatoração de ax2 + bx + c = 0, a≠≠≠≠0
Um problema mais complexo do que o da fatoração da equação x2 + bx + c = 0 – que foi
mostrada anteriormente – é o caso da fatoração da equação ax2 + bx + c = 0, onde a ≠ 0.
O método será mostrado, primeiramente em sua forma prática, depois será explicado passo a
passo e, finalmente, o método será demonstrado algebricamente, comprovando-se a sua validade.
16.4.5.1.- Método de fatoração ax2 + bx + c = 0, onde a ≠≠≠≠ 0: Forma Prática
1. Seja a equação do 2º grau: 3x2 + 11x + 6 = 0 ⇔ ax2 + bx + c = 0
2. Calcule a × c = 3 × 6 = 18
3. Reescreva a nova equação como x2 + bx + ac = 0: x2 + 11x + 18 = 0
4. Fatore o novo polinômio usando o Esquema ‘X’:
307
18
11
? ?
⇒
18
11
2 9
⇒
(x + 2)(x + 9) = 0
3 × 6
11
2 3 × 3
5. Faça uma troca de variáveis, trocando o ‘x’ da fatoração do novo polinômio pelo produto
‘ax’ do polinômio inicial, isto é: troque o ‘x’ por ‘3x’ na fatoração acima
(x + 2)(x + 9) = 0 ⇒ (3x + 2)(3x + 9) = 0
6. Divida a expressão nova expressão por ‘a’:
[ (3x + 2)(3x + 9) ] ÷ 3 = 0 ⇒ (3x + 2)(x + 3) = 0
7. De onde finalmente podemos tirar que:
3x2 + 11x + 6 = 0 ⇔ (3x + 2)(x+3) = 0
16.4.5.2.- Método de fatoração ax2 + bx + c = 0, onde a ≠≠≠≠ 0: Com Justificativas
1. Seja a equação do 2º grau: 3x2 + 11x + 6 = 0 ⇔ ax2 + bx + c = 0
2. Multiplique a equação dada por ‘a’( no caso a = 3):
3 × (3x2 + 11x + 6) = 0 ⇒ 9x2 + 33x + 18 = 0
3. Reescreva a equação termo a termo em função do ax = 3x:
9x2 + 33x + 18 = 0 ⇒ (3x)2 + 11 × (3x) + 18 = 0
4. Faça uma troca de variáveis, adotando: 3x = m e reescreva a equação em função de ‘m’:
(3x)2 + 11 × (3x) + 18 = 0, para 3x = m ⇒ m2 + 11m + 18 = 0
5. Fatore o novo polinômio (m2 + 11m + 18 = 0) usando o Esquema ‘X’:
18
11
? ?
⇒
18
11
2 9
⇒
(m + 2)(m + 9) = 0
308
6. Faça a destroca de variáveis, trocando o ‘m’ da fatoração do novo polinômio pelo produto
‘ax’ do polinômio inicial, isto é: troque o ‘m’ por ‘3x’:
(m + 2)(m + 9) =0 ⇒ (3x + 2)(3x+9) =0
8. Divida a expressão nova expressão por ‘a’:
[ (3x + 2)(3x + 9) ] ÷ 3 = 0 ⇒ (3x + 2)(x + 3) = 0
9. De onde finalmente podemos tirar que:
3x2 + 11x + 6 = 0 ⇔ (3x + 2)(x+3) = 0
16.4.5.2.- Método de fatoração ax2 + bx + c = 0, onde a ≠≠≠≠ 0: Demonstração
1. Seja a equação do 2º grau: ax2 + bx + c = 0 com a ≠ 0.
2. Multiplique a equação dada por ‘a’ e reescrever a nova expressão em função de ax:
a × (ax2 + bx + c) = (ax)2 + abx + ac = (ax)2 + b × (ax) + ac = 0
3. Faça uma troca de variáveis, adotando: ax = m e reescreva a equação em função de ‘m’:
a × (ax2 + bx + c) = (ax)2 + b × (ax) + ac = m2 + bm + ac = 0
4. Fatore o novo polinômio m2 + bm + ac = 0 usando o Esquema ‘X’ modificado, onde r’1 e r’2
são as raízes da nova equação:
P=ac
S=b
r'1 a×r'2
⇒
S= r'1+ar'2
r'1 a×r'2
P= a×r'1×r'2
⇒
(m + r’1)(m + ar’2) = 0
� Note que no Esquema ‘X’ temos: P = a × r’1 × r’2 e, poderíamos adotar indiferentemente
(sem perda de generalidade): S = r’1 + ( a × r’2 ) ou então S = ( a × r’1 ) + r’2.
5. Em resumo, temos o seguinte:
a × (ax2 + bx + c) = (ax)2 + b × (ax) + ac = m2 + bm + ac = (m + r’1)(m + ar’2) = 0
ou seja: a × (ax2 + bx + c) = (m + r’1)(m + ar’2) = 0
6. Dividindo a igualdade por ‘a’:
309
[ a × (ax2 + bx + c) ] ÷ a = [ (m + r’1)(m + ar’2) ] ÷ a = 0
7. Finalmente, obtém-se:
(ax2 + bx + c) = (m + r’1)(m + r’2) = 0
16.4.6.- Exercícios resolvidos
1.- Seja a equação do 2º grau: 2x2 + 13x + 15 = 0
30
13
? ?
⇒
30
13
3 5
⇒
(2x + 3)(x + 5) = 0
2.- Seja a equação do 2º grau: 3x2 + 5x + 2 = 0
6
5
? ?
⇒
6
5
3 2
⇒
(3x + 2)(x + 1) = 0
3.- Seja a equação do 2º grau: 2x2 + 11x + 12 = 0
24
11
? ?
⇒
24
11
8 3
⇒
(x + 4)(2x + 3) = 0
310
16.5.- Forma Canônica da Equação do 2º Grau:
A palavra Canônica(o) vem do latim canonìcus,a,um: 'relativo a uma regra, a uma medida';
quando vinda do grego: kanonikós,ê,ón: 'feito conforme as regras, relativo a regras ou à teoria.
No caso da equação Canônica da Equação do 2º Grau, consegue-se explicitar através de
processamento algébrico algumas propriedades notáveis desta equação.
A dedução da forma canônica da equação polinomial do segundo grau é mostrada abaixo
bem como as propriedades notáveis desta equação são apontadas nos itens 3, 4 e 5.
16.5.1.- Forma Canônica da Equação Completa do 2º Grau
1. Seja cbxaxxf ++= 2)( com a ≠ 0
2. =++= )()( 2
a
c
a
bxxaxf =
−−++ )
4()
4(
2
2
2
22
a
c
a
b
a
b
a
bxxa
−−+
2
22
4
4)
2(
a
acb
a
bxa
3. Da igualdade acima, adotando-se: b2− 4ac = ∆ temos, finalmente:
∆−+=
2
2
4)
2()(
aa
bxaxf com a ≠ 0.
4. Note ainda que 2
x x
221 +
=a
b
5. No caso de y = f(x) a equação de uma parábola, paráboladavérticea
b=
+=
2
x x
221 .
16.5.2.- Forma Canônica da Equação ax2+bx=0
1. Seja cbxaxxf ++= 2)( com a ≠ 0 e c = 0
2. bxaxxf += 2)( =+= )( 2
a
bxxa =
−++ )
2()
2(
2
2
2
22 bb
a
bxxa
−+ 22 )
2()
2(
bbxa
16.5.3.- Forma Canônica da Equação: x2+bx=0
1. Seja cbxaxxf ++= 2)( com a =1 e c = 0, ou seja: bxxxf += 2)(
2. =+= bxxxf 2)( =−++ )2
()2
(2
2
2
22 bb
bxx 22 )2
()2
bbx −+
311
16.6.- Completação do Quadrado de um Trinômio do 2º Grau
Vamos exemplificar a técnica de completação do quadrado de forma prática, para somente
então desenvolver a idéia teórica, que poderá ser aplicada na resolução geométrica das Equações de
2º Grau para valores de a = 1 ou a ≠ 1.
16.6.1.- Completação dos Quadrado para a = 1
Queremos provar a equivalência (bi-implicação) algébrica onde a,b,c∈RRRR, a =1:
x2 + bx + c = 0 ⇔
222
22
+−=
++
bc
bbxx
16.6.2.- Completação dos Quadrados para a ≠≠≠≠ 1
Queremos provar a equivalência (bi-implicação) algébrica onde a,b,c∈RRRR, a ≠≠≠≠ 0:
ax2 + bx + c = 0 ⇔
222
2a
b
a
c
2a
bx
a
bx
+−=
++
� Deixamos para o leitor a prova da ida e da volta desta identidade:
(Ida ⇒) ax2 + bx + c = 0 ⇔ 22
2
22
+−=
++
a
b
a
c
a
bx
a
bx
(Volta ⇐) 22
2
22
+−=
++
a
b
a
c
a
bx
a
bx ⇒ ax2 + bx + c = 0
16.7.- Conclusão
As manipulações algébricas envolvendo as equações do 2º grau, como se viu até aqui, se
mostram bastante interessantes e apropriadas para serem propostas como Jogos Para o Pensamento
Algébrico. No entanto, cabe ao educador adequar, com muito cuidado e critério, estes tipos de jogos
de acordo com a habilidade e conhecimentos de seus alunos.
312
JALGB#17 – JOGOS PARA O PENSAMENTO ALGÉBRICO Nº 17 RESOLUÇÃO GEOMÉTRICA DAS EQUAÇÕES DO 2º GRAU
A equação do segundo grau podem ser submetidas a uma série de manipulações algébricas como se pode ver no JALGBR anterior que nos permitiram explicitar e estudar uma série de suas propriedades mais notáveis. O que iremos estudar aqui é uma nova forma de manipulação denominada Completação do Quadrado do Trinômio que nos levará finalmente à possibilidade de resolver este tipo de equação por um método geométrico muitíssimo interessante.
17.1.- Completação do Quadrado de um Trinômio do 2º Grau Vamos exemplificar a técnica de completação do quadrado de forma prática, para somente
então desenvolver a idéia teórica, que poderá ser aplicada na resolução geométrica das Equações de
2º Grau para valores de a = 1 ou a ≠ 1.
O leitor encontrará a seguir:
a) A análise algébrica do Processo de Completação do Quadrado;
b) Três exemplos (quando a = 1) bastante elucidativos da Completação do Quadrado,
explicados passo a passo;
c) Um exemplo (quando a ≠ 1) da Completação do Quadrado, também explicados
passo a passo.
17.1.1.- Completação dos Quadrado para a = 1
Queremos provar a equivalência (bi-implicação) algébrica onde a, b, c∈RRRR, a =1:
x2 + bx + c = 0 ⇔
222
22
+−=
++
bc
bbxx
� Vamos provar a ida e a volta da equivalência lógica:
(Ida ⇒) x2 + bx + c = 0 ⇒ 22
2
22
+−=
++b
cb
bxx
x2 + bx + c = 0 ⇒ x2 + bx = −c ⇒ 22
2
22
+−=
++b
cb
bxx
313
(Volta ⇐) 22
2
22
+−=
++
bc
bbxx ⇒ x2 + bx + c = 0
222
22
+−=
++
bc
bbxx ⇒ 22 cbxx −=+ ⇒ x2 + bx + c = 0
NOTA IMPORTANTE:
O leitor deve compreender muito bem o diagrama exibido a seguir antes de iniciar a
resolução, propriamente dita, de uma equação do 2º grau (quando a = 1) pelo método
geométrico mediante a aplicação do processo de completação do quadrado
x
x
x2
bx
x
x
x
x2
x
x
x x
x2
Hipótese geométrica Tomar a metade de ‘b/a’ Compor um quadrado
b
xb
2
xb
2
2
2
b
2
b
2
b
2
b
2
b
xb
2
xb
2
Representação Gráfica da Solução:
� 1º Passo: Buscar o Complemento:
x
x
½ b
x
½ b
?
½ b
x
½ bx
x2
= −−−−c
314
� 2º Passo: Completar o Quadrado, adicionando o complemento aos membros da igualdade:
x
x
½ b
x
½ b
(½ b)2
½ b
x
½ bx
x2
= −−−−c
(½ b)2
+
17.1.2.- Exemplos de Completação do Quadrado para a = 1:
17.1.2.1.- 1º Exemplo
Dada a equação do 2º grau x2 + 10x – 39 = 0 queremos completar o trinômio x2 + 10x – 39
para torná-lo um trinômio quadrado perfeito :
• Resolução Algébrica:
x2 + 10x – 39 = 0 ⇒ x2 + 10x = 39 ⇒ x2 + 2 × 5x = 39 ⇒
x2 + 2 × 5x + 25 = 39 + 25 ⇒ x2 + 10x + 25 = 64
• Resolução Gráfica:
� 1º Passo: Buscar o Complemento:
5
x
x
x2 5x
5 5x
=
?
39
315
� 2º Passo: Completar o Quadrado, adicionando o complemento aos membros da
igualdade:
5
x
x
x2 5x
5 5x
= 39
25
25 +
39 + 25 = 64
NOTE QUE: ‘x2 + 2 ×××× 5 ×××× x + 25’ é um Trinômio Quarado Perfeito igual a ‘ (x + 5)2 ’
� 3º Passo: Resolver a igualdade por Comparação entre as áreas dos quadrados
25
5
x
x
x2 5x
5 5x
= 64
8
8
VEJA QUE OS QUADRADOS TÊM AS MESMAS ÁREAS.
� 4º Passo: Cálculo Algébrico
A partir do desenho acima, podemos escrever:
(x + 5)2 = 64 ⇒⇒⇒⇒ x + 5 = ±±±± 8 ⇒⇒⇒⇒ x + 5 = 8 ou x + 5 = −−−− 8 ⇒⇒⇒⇒ x = 3 ou x = −−−−13,
ou seja:
x2 + 10x – 39 = 0 tem para conjunto solução S = { 3, −−−−13 }
316
17.1.2.2.- 2º Exemplo
Vamos resolver geometricamente a seguinte equação do segundo grau:
x2 + 6x – 16 = 0.
Resolução:
Note que a equação pode ser colocada na forma: x2 + 6x = 16 e que, ainda mais, o
segundo termo da igualdade apresenta um quadrado perfeito.
3
x
x
x2 3x
3 3x
= 16 4
4
Seja, agora, completar o quadrado no primeiro termo da equação:
= 16 4
4
3
x
x
x2 3x
3 3x 32
32 + = 25 5
5
Do diagrama acima podemos tirar:
(x + 3)2 = 25 ⇒⇒⇒⇒ x + 3 = ±±±± 5 ⇒⇒⇒⇒ x = 2 ou x = −−−−8.
17.1.2.3.- 3º Exemplo
Vamos resolver algebricamente e geometricamente a seguinte equação do segundo grau: x2 −−−− 5x + 6 = 0.
Resolução Algébrica:
Seja isolar na equação x2 −−−− 5x + 6 = 0 o termo independente de variável: x2 −−−− 5x = −−−− 6 e
reescrever a equação completando os quadrados:
317
2ou x 32
5
2
12
1
2
5
4
1
4
2524)
2
5(
4
256)
2
5(6)
2
5()
2
5(
2
222
==⇒+±=⇒
⇒±=−⇒=+−
=−⇒
⇒+−=−⇒−=−−
xx
xx
xx
Resolução Gráfica:
x
x
x2
5 5x
x
x
x
x2
½ 5x
½ 5x
x
x
½ 5
x x
½ 5
(½5)2
=
½ 5
x
x
x2 ½ 5x
½ 5 ½ 5x
+
(½ 5)2
−−−−6
(½ 5)2
6)2
5()
2
5x( 22 −=−− de onde:
22 )2
5(6)
2
5x( +−=− ⇒⇒⇒⇒
4
256)
2
5x( 2 +−=− ⇒⇒⇒⇒
⇒⇒⇒⇒ 4
1
4
2524)
2
5x( 2 =
+−=− ⇒⇒⇒⇒
2
1
2
5x ±=− . Logo:
2
5
2
1x += ou
2
5
2
1x +−= isto
é: 3x = ou 2x =
318
17.1.3.- Completação dos Quadrados para a ≠≠≠≠ 1
Queremos provar a equivalência (bi-implicação) algébrica onde a,b,c∈RRRR, a ≠≠≠≠ 0:
ax2 + bx + c = 0 ⇔
222
2a
b
a
c
2a
bx
a
bx
+−=
++
� Deixamos para o leitor a prova da ida e da volta desta identidade:
(Ida ⇒) ax2 + bx + c = 0 ⇔ 22
2
22
+−=
++
a
b
a
c
a
bx
a
bx
(Volta ⇐) 22
2
22
+−=
++
a
b
a
c
a
bx
a
bx ⇒ ax2 + bx + c = 0
NOTA IMPORTANTE:
O leitor deve compreender muito bem o diagrama a seguir antes de iniciar
resolução propriamente dita de uma equação do 2º grau (quando a = 1) pelo método
geométrico mediante a aplicação do processo de completação do quadrado
x
x
x2
xa
b
x
x
x
x2
½ xa
b
x
x
x x
x2
Hipótese geométrica Tomar a metade de ‘b/a’ Compor um quadrado
½ xa
b a
b
xa
b
2
xa
b
2
2
2
a
b
a
b
2
a
b
2
a
b
2
a
b
2
319
� 1º Passo: Buscar o Complemento:
x
x
x
x2 xa
b
2
xa
b
2
a
b
2
a
b
2
?
� 2º Passo: Completar o Quadrado, adicionando o complemento aos membros da igualdade:
x
x
x
x2 xa
b
2
xa
b
2
a
b
2
a
b
2
2
2
a
b
+ = 2
2
a
ba
c−
17.1.3.1.- 1º Exemplo
Vamos resolver algebricamente e geometricamente a seguinte equação do segundo grau:
6x2 + x −−−− 5 = 0.
• Resolução Algébrica:
6x2 + x −−−− 5 = 0 ⇒ 12
111
12
12011
62
)5(6411 2 ±−=
+±−=
×
−××−±−=x
de onde podemos escrever que: 6
5
12
101 ==x ou 1
12
122 −=
−=x
• Resolução Gráfica:
� 1º Passo: Buscar o Complemento:
Preparação da equação: 6x2 + x − 5 = 0 ⇒ 06
5
62 =−+ x
xx ⇒
6
5
62 =+
xx
320
1/12
x
x
x2
1/12
x
1/12
1/12 x
= 5/6
?
Nota: 12
1
6
1
2
1valede
� 2º Passo: Completar o Quadrado, adicionando o complemento aos membros da
igualdade:
1/12
x
x
x2
1/12
x
1/12
1/12 x
= 5/6
1/144
1/144 + = 144
1120 +
144
121 =
Nota: 144
121
144
1120
144
1
6
5=
+=+
Do diagrama acima podemos tirar:
144
121)
12
1( 2 =+x ⇒⇒⇒⇒
12
11
12
1±=+x ⇒⇒⇒⇒
12
11
12
11 =+x ou
12
11
12
12 −=+x ⇒⇒⇒⇒
⇒⇒⇒⇒ 6
5
12
101 ==x ou 1
12
121 −=−=x ⇒⇒⇒⇒ S = {
6
5, −−−−1}
321
17.1.3.2.- 2º Exemplo – Um caso para Pensar
Vamos resolver algebricamente e geometricamente a seguinte equação do segundo grau:
100x2 −−−− 50x −−−− 24 = 0.
• Resolução Algébrica:
200
11050
200
1210050
200
9600250050
1002
)24(1004)50(50 2 ±=
±=
+±+=
×
−××−−±−=x ⇒
⇒ 200
110501
+=x ou
200
110502
−=x ⇒
200
1501 =x ou
200
602
−=x ⇒ 8,01 =x ou 3,02 −=x
• Resolução Gráfica:
� 1º Passo: Buscar o Complemento:
Preparação da equação: 100x2 −−−− 50x −−−− 24 = 0 ⇒ x2 −−−− 0,5x −−−− 0,24 = 0 ⇒ x2 −−−− 0,5x = 0,24
−−−−0,25 −−−−0,25
x
x
x2
−− −−0,
25 x
−−−−0,25
−−−−0,25 x
= 0,24
?
� 2º Passo: Completar o Quadrado, adicionando o complemento aos membros da
igualdade:
322
−−−−0,25 −−−−0,25
x
x
x2
−− −−0,
25 x
−−−−0,25
−−−−0,25 x
= 0,24
0,0625
0,0625 + =
���� Note que colorimos as áreas ‘negativas’ em vermelho dando a entender que devem ser
consideradas áreas – no sentido positivo do termo, portanto positivas – mas que devem ser
subtraídas da área em amarelo.
Do diagrama acima podemos tirar:
(x – 0,25)2 = 0,3025 ⇒⇒⇒⇒ x – 0,25 = ±±±± 0.55 ⇒⇒⇒⇒ x – 0,25 = 0.55 ou x – 0,25 = –0.55 ⇒⇒⇒⇒
⇒⇒⇒⇒ x = 0.80 ou x = – 0.30 ⇒⇒⇒⇒ S = { 0,8 ; –0,3}
17.2.- Conclusão
As ideias que utilizamos acima podem ser encontradas em ‘Os Elementos17’, a monumental
obra de Euclides de Alexandria.
O leitor encontrará na Internet a obra completa, seja em português ou em inglês, e
possivelmente em muitas outras línguas. Para consultá-la use o Google buscando por: ‘Os
Elementos de Euclides’ ou ‘The Elements of Euclid’ – em outras línguas conforme desejar –
fazendo buscas, nos dois casos anteriormente citados (português ou inglês) respectivamente com os
termos: ‘quadráticas’ ou ‘quadractics’. Em alguns sites há ainda a possibilidade de se baixar a obra
(com extensão .pdf) completa em português18.
17 Os Elementos de Euclides de Alexandria é um conjunto de 13 livros é, na verdade, um grande tratado matemático baseado em ideias aritméticas e geométricas escrito por volta do ano 300 a.C. 18 A obra é composta por 13 livros em que, onde além de definições, postulados e noções comuns/axiomas, demonstram-se 465 proposições, em sequência lógica, referentes à geometria euclidiana, a da régua e compasso, e à aritmética, isto é, à teoria dos números. Os seis primeiros livros dão conta da geometria plana; os três seguintes, da teoria dos números; o livro 10, o mais complexo, estuda uma classificação de incomensuráveis e/ou irracionais; e os três últimos abordam a geometria no espaço e/ou estereometria.
0,3025
323
Podemos afirmar, e talvez o leitor já tenha percebido isto, que o método aqui apresentado
que data de mais de 2000 anos, tem a sua utilização justificada apenas antes da dedução (ou
descoberta) da fórmula resolutiva das equações do 2º Grau que tem menos de 500 anos.
Não resta dúvida de que este método tem um valor histórico incontestável sendo, no entanto
que, ele seja didaticamente recomendável apenas para estudantes muito interessados em
Matemática.
Já, para os interessados nesta obra de Euclides, há uma edição da UNESP, em português,
com 593 páginas, devida ao professor Irineu Bicudo.
324
JALGB#18 – JOGOS PARA O PENSAMENTO ALGÉBRICO Nº 18 OS NÚMEROS POLIGONAIS
A ideia dos números poligonais, ou números figurados, têm raízes na Grécia antiga e têm aplicações que nos chegam até hoje através da Teoria dos Números. Muitas propriedades algébricas interessantes interligam, só para citar alguns exemplos, os números triangulares, quadrados, pentagonais e hexagonais, como mostraremos aqui. Um farto material pedagógico concreto é disponibilizado para a realização de importantes Jogos Para o Pensamento Algébrico envolvendo os números poligonais a serem levados às salas de aula.
18.1.- Os Números Poligonais
Um número poligonal é um número inteiro não negativo representado por pontos dispostos
na forma de um polígono regular. Os números poligonais são um tipo particular de números
figurados.
Os números poligonais têm sido utilizados regularmente desde a sua descoberta na Grécia
antiga no desenvolvimento de algumas ideias notáveis da Teoria dos Números, incluindo aí o
triângulo de Pascal, o teorema de Pitágoras, e o teorema do número poligonal de Fermat, que será
apresentado mais adiante.
18.1.1.- Um pouco de História
A ideia da criação dos números poligonais tem a sua origem atribuída a Pitágoras (570 a.C /
480 a.C.) e seus seguidores, os Pitagóricos. No entanto nos parece que os Pitagóricos não se
aprofundaram neste estudo, sendo que Diofanto de Alexandria (201-215.C. / 285- 299 a.C.)
escreveu um amplo tratado sobre números poligonais, em que acrescenta diversos teoremas
importantes sobre o assunto. As provas são no estilo euclidiano – quase-axiomático – e todo o
trabalho revela a mão criativa do grande matemático grego, que é tido como o ‘pai’ da Álgebra.
Há fortes indícios de que foi o matemático grego Hypsicles de Alexandria (190 a.C. / 120
a.C.) o primeiro a produzir uma fórmula genérica para o número poligonal com k lados e de ordem
n:
K-Poligonal(n) = K(n) = [ (k −−−− 2)n2 −−−− (k −−−− 4)n ] ÷÷÷÷ 2.
Outros matemáticos que também são conhecidos por terem trabalhado na teoria de números
poligonais são Nicômaco de Gerasa (60 d.C / 120 d.C) e Theon de Esmirna (70 d.C. / 135 d.C.).
325
Nicômaco publicou um tratado que foi traduzido do grego para o inglês por Martin Luther
D'ooge, intitulado ‘Introduction to Arithmetic’ e que traz ainda um amplo estudo sobre a Aritmética
Grega realizado por Frank Egleston Robbins e Louis Charles Karpinski. O livro foi editado pela
‘The Macmillan Company’ (London: Macmillan And Company, Ltd., 1916). O texto bastante
interessante pode ser obtido gratuitamente por download no site do ‘The Internet Archive’:
https://archive.org/.
18.1.2.- Os Quatro Primeiros Números Poligonais
Sequências contendo os quatro primeiros termos de cada um dos quatro primeiros Números
Poligonais e suas respectivas leis de formação são mostradas a seguir.
1 3 6 10
Números triangulares
n = 1 2 3 4
1 4 9 16
Números Quadrados
n = 1 2 3 4
T(n) = n (n+1) / 2 Q(n) = n2
1 5 12 22
Números Pentagonais
n = 1 2 3 4
1 6 15 28
Números Hexagonais
n = 1 2 3 4
P(n) = n (3n-1) / 2 H(n) = n (2n-1)
326
18.2.- Estudo As Propriedades dos Números Poligonais
Nos itens a seguir iremos estudar algumas propriedades notáveis dos Números Poligonais,
provando-as algebricamente ou de forma figurativa.
18.2.1.- Os Números Triangulares
1 3 6 10 T(n) =
n = 1 2 3 4
18.2.1.1.- Números Triangulares: Contagem dos Pontos
Número de ordem
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ...
Quantidade de Pontos
1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 ...
18.2.1.2.- Números Triangulares: Fórmula Iterativa
T(1) = 1
T(2) = 1+ 2 = 3
T(3) = 1+ 2 + 3 = 6
T(4) = 1+ 2 + 3 + 4 = 10
...
T(n) = 1+2+3+ ... + n
18.2.1.3.- Números Triangulares: Fórmula Recursiva
T(1) = 1
T(2) = T(1)+ 2 = 3
T(3) = T(2) + 3 = 6
T(4) = T(3) + 4 = 10
...
T(1) = 1
T(n+1) = T(n) + (n + 1)
327
18.2.1.4.- Números Triangulares: Fórmula Fechada
Teorema: 2 ×××× T(n) = n ×××× (n + 1)
O significado de ‘2 ×××× T(n) = n ×××× (n + 1)’ é o seguinte:
O dobro de um número triangular de ordem n, T(n), equivale à área de um retângulo
cujos lados medem: n por n+1.
���� Provando o Teorema [1º modo] - Esta é uma maneira bastante abstrata de provar o
teorema:
T(1) = 1 ⇒ 2 × T(1) = 2 × 1
T(2) = 3 ⇒ 2 × T(2) = 2 × 3
T(3) = 6 ⇒ 2 × T(3) = 3 × 4
T(4) = 10 ⇒ 2 × T(4) = 4 × 5
... ...
T(n) = 2 ×××× T(n) = n ×××× (n+1)
���� Provando o Teorema [2º modo] - Esta é uma maneira mais simples de provar o teorema:
T(n) = 1 + 2 + 3 + ... + (n-1) + n
. T(n) = n + (n-1) + (n-2) + ... + 2 + 1 .
2 ×××× T(n) = (n+1) + (n+1) +(n+1) + ... + (n+1) + (n+1)
Logo: 2 ×××× T(n) = n ×××× (n+1)
���� Provando o Teorema [3º modo] - Esta é uma prova figurativa ou figural do Teorema
a) Vamos reorganizar a distribuição dos pontos dos números triangulares:
328
b) Vamos construir retângulos através da duplicação dos triângulos e calcular as suas áreas: c)
2T(1) = 2××××1 2T(2) = 2××××3 2T(3) = 3××××4 2T(4) = 4××××5 ... 2T(n) = n××××(n+1)
A Fórmula Fechada da formação dos Números Triangulares:
T(n) = [n × (n+1) ] / 2, ou ainda: 2
nn
2
1)(nnT(n)
2 +=
+×=
18.2.1.5.- Números Triangulares: Resumo das Fórmulas
18.2.2.- Os Números Quadrados
1 4 9 16 Q(n) =
n = 1 2 3 4
18.2.2.1.- Números Quadrados: Contagem dos Pontos
Número de ordem 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ...
Quantidade de Pontos 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 ...
Fórmula Iterativa Fórmula Recursiva Fórmula Fechada
T(n) = 1+2+3+ ... +n T(1) = 1 e T(n+1) = T(n) + (n+1) T(n) = [n (n+1)] / 2
329
18.2.2.2.- Números Quadrados: Fórmula Iterativa
Q(1) = 1
Q(2) = 1 + 3 = 4
Q(3) = 1 + 3 + 5 = 9
Q(4) = 1 + 3 + 5 + 7 = 16
...
Q(1) = 1
Q(n) = 1+3+5+7+ ... + (2n-1)
18.2.2.3.- Números Quadrados: Fórmula Recursiva
Q(1) = 1
Q(2) = Q(1) + 3 = 4
Q(3) = Q(2) + 5 = 9
Q(4) = Q(3) + 7 = 16
...
Q(1) = 1
Q(n+1) = Q(n) + (2n + 1)
18.2.2.4.- Números Quadrados: Fórmula Fechada
Q(1) = 1 = 12
Q(2) = 4 = 22
Q(3) = 9 = 32
Q(4) = 16 = 42
...
Q(n) = n2
18.2.2.5.- Números Quadrados: Resumo das Fórmulas
Fórmula Iterativa Fórmula Recursiva Fórmula Fechada
Q(n) = 1+3+5+ ... +(2n-1) Q(1) = 1 e Q(n+1) = Q(n) + (2n+1) Q(n) = n2
330
18.2.3.- Os Números Pentagonais
1 5 12 22 P(n) =
n = 1 2 3 4
18.2.3.1.- Números Pentagonais: Contagem dos Pontos
Número de ordem 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ...
Quantidade de Pontos 1 5 12 22 35 51 70 92 117 145 ...
18.2.3.2.- Números Pentagonais: Fórmula Iterativa
P(1) = 1
P(2) = 1 + 4 = 5
P(3) = 1 + 4 + 7 = 9
P(4) = 1 + 3 + 5 + 7 = 16
...
P(n) = 1+3+5+7+ ... + (2n-1)
18.2.3.3.- Números Pentagonais: Fórmula Recursiva
P(1) = 1
P(2) = P(1) + 4 = 5
P(3) = P(2) + 7 = 12
P(4) = P(3) + 10 = 22
...
P(1) = 1
P(n+1) = P(n) + (3n + 1)
331
18.2.3.4.- Números Pentagonais: Fórmula Fechada
Teorema: P(n) = n ×××× (3n + 1) / 2
���� Provando o Teorema - Esta é uma prova Figurada do Teorema ‘ P(n) = n ×××× (3n + 1) / 2 ’
Vamos reorganizar a distribuição dos pontos dos números pentagonais:
1 5 = 4+1 12 = 9+3 22 = 16+6 P(n) =
n = 1 2 3 4 ... n
P(n) = Q(n) + T(n-1)
P(1) = 1
P(2) = Q(2) + T(1) = 22 + 1
P(3) = Q(3) + T(2) = 32 + 3
P(4) = Q(4) + T(3) = 42 + 6
...
P(n) = Q(n) + T(n-1) onde T(n-1) = [(n-1) n)] / 2
Logo:
P(n) = n2 + [(n-1) ×××× n ] / 2
P(n) = [ 2n2 + (n-1) ×××× n ] / 2
P(n) = [ 2n2 + n2 - n) ] / 2
P(n) = [3n2 – n] / 2
P(n) = n (3n-1) /2
18.2.3.5.- Números Pentagonais: Resumo das Fórmulas
Fórmula Iterativa Fórmula Recursiva Fórmula Fechada
P(n) = 1+4+7+ ... +(3n-2) P(1) = 1 e P(n+1) = P(n) + (3n+1) P(n) = n (3n-1) / 2
332
18.2.4.- Os Números Hexagonais
1 6 15 28 H(n) =
n = 1 2 3 4
18.2.4.1.- Números Hexagonais: Contagem dos Pontos
Número de ordem 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ...
Quantidade de Pontos 1 6 15 28 45 66 91 120 153 190 ...
18.2.4.2.- Números Hexagonais: Fórmula Iterativa
H(1) = 1
H(2) = 1 + 5 = 6
H(3) = 1 + 6 + 8 = 15
H(4) = 1 + 6 + 8 + 13 = 28
...
H(n) = 1+6+8+13+ ... + (4n-3)
18.2.4.3.- Números Hexagonais: Fórmula Recursiva
H(1) = 1
H(2) = H(1) + 5 = 6
H(3) = H(2) + 9 = 15
H(4) = H(3) + 10 = 28
...
H(1) = 1
H(n+1) = H(n) + (3n + 1)
333
18.2.4.4.- Números Hexagonais: Fórmula Fechada
Por simples inspeção vamos verificar se a igualdade ‘ H(n) = Q(n) + 2 ×××× T(n-1) ’ é verdadeira;
H(1) = 1 = Q(1) + 2 × T(0)
H(2) = 6 = 4 + 2 = Q(2) + 2 × T(1)
H(3) = 15 = 9 + 6 = Q(3) + 2 × T(2)
H(4) = 28 = 16 + 12 = Q(4) + 2 × T(3)
...
H(n) = Q(n) + 2 ×××× T(n-1) onde T(n) = [n (n+1)] / 2
H(n) = n2 + 2 ×××× [(n-1) n] / 2
H(n) = n2 + n2 −−−− n = 2n2 −−−− n = n(2n−−−−1)
18.2.4.5.- Números Triangulares: Resumo das Fórmulas
Fórmula Iterativa Fórmula Recursiva Fórmula Fechada
H(n) = 1+5+9+ ... +(4n-3) H(1) = 1 e H(n+1) = H(n) + (4n+1) H(n) = n (2n−−−−1)
18.2.5.- Os Números K-Poligonais
As fórmulas apresentadas a seguir dizem respeito aos números poligonais com k, onde n é a
ordem do número poligonal na sequência dos valores:
Fórmula Iterativa K(n) = 1 + (k − 1) + (2k − 3)+ ... +[ (k − 2)n − (k − 3)]
Fórmula Recursiva K(1) = 1 e K(n + 1) = K(n) + ((k − 2)n + 1)
Fórmula Fechada K(n) = [ (k − 2)n2 − (k − 4)n ] / 2
18.2.5.1.- Dedução de Fórmulas: Um Jogo Para O Pensamento Algébrico
Como um Jogo Para o Pensamento Algébrico o leitor deve tentar a obtenção das fórmulas
T(n), Q(n), P(n) e H(n) a partir das fórmulas K(n), adotando k = 3, 4, 5 e 6.
334
Exemplo para o T(n):
Fórmula Iterativa: T(n) = 1 + 2 + 3 + ...+ n
Fórmula Recursiva : T(1) = 1 e T(n + 1) = T(n) + ((3 − 2)n + 1) ⇒ T(n+1) = T(n) + (n + 1)
Fórmula Fechada: T(n) = [ (3 − 2)n2 − (3 − 4)n ] / 2 ⇒ T(n) = ( n2 + n ) / 2 ⇒T(n) = n ×(n+1) / 2
18.3.3.- Os Números Poligonais e a Quase Triangularização
Denominamos quase-triangularização às seguintes fórmulas T(n), Q(n), P(n), H(n) e K(n)
expressas em função da fórmula do T(n) a menos de n unidades, como mostrado abaixo:
Quase Triangularização
T(n) = T(n −−−− 1) + n
Q(n) = 2 T(n −−−− 1) + n
P(n) = 3 T(n −−−− 1) + n
H(n) = 4 T(n −−−− 1) + n
...
K(n) = (k −−−− 2) T(n −−−− 1) + n
Sugerimos ao leitor que tente reproduzir cada um dos valores de T(n), Q(n), P(n) e H(n),
para as ordens n = 1, 2,3 e 4.
18.3.- Jogos Para o Pensamento com os Números Poligonais
A seguir vamos enunciar várias propriedades dos números poligonais seguidos de suas
formulações algébricas, que o leitor poderá tentar provar, pelo menos pelo método figurado, como
excelentes modelos de Jogos Para o Pensamento Algébrico.
335
18.3.1.- Tabela de Valores para os Números Poligonais
Abaixo apresentamos uma tabela contendo os dez primeiro números poligonais para os
triângulos, quadrados, pentágonos, hexágono, heptágono, octógono, eneágono e decágono. Em
seguida propomos uma série de Teoremas que permitem mostrar as diversas propriedades destes
números bem como a inter-relação entre estes conjuntos de números.
Número de ordem n =
Número Poligonal ↓↓↓↓
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Triangular: T(n) = 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55
Quadrado: Q(n) 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100
Pentagonal: Q(n) 1 5 12 22 35 51 70 92 117 145
Hexagonal: H(n) 1 6 15 28 45 66 91 120 153 190
Heptagonal: Hep(n) 1 7 18 34 55 81 112 148 189 235
Octogonal: O(n) 1 8 21 40 65 96 133 176 225 280
Eneagonal: E(n) 1 9 24 46 75 111 154 204 261 325
Decagonal: D(n) 1 10 27 52 85 126 175 232 297 370
18.3.2.- Algumas Relações entre os Números Poligonais
A seguir vamos apresentar uma série de 10 fórmulas que estabelecem as relações entre os
valores entre os diversos números poligonais. Antes de verificar a Prova Algébrica de cada uma
destas relações, o leitor deve simular as operações na tabela de valores mostrada acima.
1. T(n) + T(n+1) = Q(n+1)
Prova algébrica:
• Por definição, temos: T(n) = 2
)1( +nn e Q(n) = n2
• Logo:
T(n) + T(n+1) = 2
)1( +nn+
2
)2)(1( ++ nn=
2
2322 ++++ nnnn=
336
=2
222 2 ++ nn= 12 ++ nn = 2)1( +n = Q(n+1) C.Q.D.
2. 8 ×××× T(n) + 1 = Q(2n+1)
Prova algébrica:
• Por definição, temos: T(n) = 2
)1( +nn e Q(n) = n2
• Logo:
(1) 8 ×××× T(n) + 1 = 82
)1( +nn+1 = 4 )( 2 nn + + 1 = 44 2 +n n + 1
(2) Q(2n+ 1) = (2n +1)2 = 44 2 +n n + 1
• De onde: (1) = (2) ⇒⇒⇒⇒ C.Q.D.
3. T(3n−−−−1) = 3 ×××× P(n)
Prova algébrica:
• Por definição, temos: T(n) = 2
)1( +nn e P(n) =
2
)13( −nn
• Logo:
(1) T(3n−−−−1) = 2
)113)(13( +−− nn =
2
3)13( nn − =
2
39 2 nn −
(2) 3 ×××× P(n) = 32
)13( −nn= 3
2
3 2 nn − =
2
39 2 nn −
• De onde: (1) = (2) ⇒⇒⇒⇒ C.Q.D.
4. T(n−−−−1) + Q(n) = P(n)
Prova algébrica:
• Por definição, temos: T(n) = 2
)1( +nn, Q(n) = n2 e P(n) =
2
)13( −nn
• Logo:
T(n−−−−1) + Q(n) = 2
)11)(1( +−− nn+ n2=
2
)1( nn −+ n2=
2
2 nn −+ n2=
=2
2 22 nnn +−=
2
3 2 nn −=
2
)13( −nn= P(n) C.Q.D.
337
5. T(2n−−−−1) = H(n)
Prova algébrica:
• Por definição, temos: T(n) = 2
)1( +nn e H(n) = n (2n−1)
• Logo:
T(2n−−−−1) = 2
)112)(12( +−− nn=
2
2)12( nn −=
2
24 2 nn −= 2n2 − n = n(2n − 1) = H(n)
18.4.- Números Poligonais: Material Para Uso na Sala de Aula
O leitor encontrará no CD-R que acompanha este volume um farto material para ser
utilizado na sala de aulas com a finalidade de ser poder trabalhar com os números poligonais.
18.4.1.- Números Poligonais: A Tabela dos Valores
A tabela de valores deve ser impressa, plastificada e recortada, e distribuída uma para
cada grupo de dois estudantes.
Números Poligonais – Tabela de Valores
Número de ordem: n =
Número Poligonal ↓↓↓↓
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Triangular: T(n) = 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55
Quadrado: Q(n) 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100
Pentagonal: Q(n) 1 5 12 22 35 51 70 92 117 145
Hexagonal: H(n) 1 6 15 28 45 66 91 120 153 190
Heptagonal: Hep(n) 1 7 18 34 55 81 112 148 189 235
Octogonal: O(n) 1 8 21 40 65 96 133 176 225 280
Eneagonal: E(n) 1 9 24 46 75 111 154 204 261 325
Decagonal: D(n) 1 10 27 52 85 126 175 232 297 370
338
18.4.2.- Números Poligonais: A Tabela de Fórmulas Algébricas
A tabela de fórmulas também deve ser impressa, plastificada e recortada, e distribuída aos
grupos de estudantes durante o trabalho em sala de aula com os Números Poligonais Básicos: T, Q,
P e H.
Números Poligonais Básicos: Fórmulas Algébricas
Fórmula Iterativa Fórmula Recursiva Fórmula Fechada
T(n) = 1+2+3+ ... +n T(1) = 1 e T(n+1) = T(n) + (n+1) T(n) = [n (n+1)] / 2
Q(n) = 1+3+5+ ... +(2n-1) Q(1) = 1 e Q(n+1) = Q(n) + (2n+1) Q(n) = n2
P(n) = 1+4+7+ ... +(3n-2) P(1) = 1 e P(n+1) = P(n) + (3n+1) P(n) = n (3n-1) / 2
H(n) = 1+5+9+ ... +(4n-3) H(1) = 1 e H(n+1) = H(n) + (4n+1) H(n) = n (2n−−−−1)
18.4.3.- Números Poligonais: O Conjunto das Relações
Os conjuntos de cartões abaixo, mostrados em seu tamanho reduzido, será encontrado em
sua verdadeira grandeza no CD-R que acompanha este volume, devendo ser impresso, plastificado e
recortado, para ser utilizado um-por-vez, com a finalidade de ter a sua expressão verificada quanto à
validade:
a) Utilizando a Tabela dos Valores – Verificação por simples inspeção à Tabela
b) Utilizando as Fórmulas Algébricas – Prova Algébrica das Relações
���� NOTA IMPORTANTE:
O educador deve preparar muito bem a sequência das ações a serem levadas a efeito em sala de aula, a saber:
(a) Utilização da Tabela de Valores Básicos para a verificação empírica das fórmulas, seguida mais tarde, após a plena fixação deste tipo de verificação, da Prova Algébrica,
(b) Prova Algébrica destinada à comprovação teórica das fórmulas,
a partir da escolha, da forma mais adequada possível, de uma ou mais, dentre as 23
fichas que compõem os quatro Conjuntos das Relações mostrado a seguir.
339
18.4.3.1.- Relações Algébricas Envolvendo Apenas Números Triangulares
T(n) = T(n−−−−1) + n T(n+1) = T(n) + n + 1
2 ×××× T(n) = n ×××× (n+1) 3 ×××× T(n) + T(n−−−−1) = T(2n)
3 ×××× T(n) + T(n+1) = T(2n+1) 9 ×××× T(n−−−−1) + 3 ×××× n = T(3n−−−−1)
T(n) + T(n+1) = (n+1)2 8××××T(n) + 1 = T(n−−−−1)+6××××T(n)+T(n+1)
18.4.3.2.- Relações Algébricas Envolvendo Números Quadrados
Q(n) = Q(n+1) – (2n+1) Q(2n+1) = T(n−−−−1)+6 ×××× T(n)+T(n+1)
Q(n) = 2 ×××× T(n−−−−1) + n Q(n) = 8 ×××× T(n) + 1
340
Q(n+1) = T(n) + T(n+1)
18.4.3.2.- Relações Algébricas Envolvendo Números Pentagonais
P(n) = 3 ×××× T(n−−−−1) + n 3 ×××× P(n) = T(3n−−−−1)
3 ×××× P(n) = T(3n−−−−1) P(n) = 3 ×××× T(n−−−−1) + n
P(n) = Q(n) + T(n−−−−1) P(n+1) = P(n) + (3n+1)
18.4.3.2.- Relações Algébricas Envolvendo Números Hexagonais
H(n) = 4 ×××× T(n−−−−1) + n H(n) = T(2n−−−−1)
341
H(n) = 2 ×××× T(n−−−−1) + Q(n) H(n+1) = H(n) + (4n+1)
18.5.- Teorema do Número Poligonal de Fermat
O teorema do número poligonal de Fermat afirma que:
“Todo número natural é soma de, no máximo, n números poligonais. Todo número
natural pode ser escrito como: a soma de três ou menos números triangulares, quatro ou
menos números quadrados, cinco ou menos números pentagonais, e assim sucessivamente’.
Veja, por exemplo, que o número 25 pode ser escrito como:
25 = 10 + 15 (2 números triangulares)
25 = 16 + 9 (2 números quadrados)
24 = 22 + 1 + 1 (3 números pentagonais).
Veja, por exemplo, que o número 35 pode ser escrito como:
35 = 15 + 10 + 10 (3 números triangulares)
35 = 25 + 9 + 1 (3 números quadrados)
35 = 35 (35 já é um números pentagonal).
Um corolário bem conhecido deste teorema é o teorema dos quatro quadrados de Lagrange,
que prova que todo número natural pode ser expresso como a soma de quatro quadrados, por
exemplo, 7 = 4 + 1 + 1 + 1.
342
Joseph Louis Lagrange demonstrou o caso quadrado em 1770 e Carl Friedrich Gauss
demonstrou o caso triangular em 1796 , porém o teorema só foi provado de forma geral
por Cauchy em 1813.
18.6. – Conclusão
Além do valor histórico da Teoria dos Números Poligonais há ainda a possibilidade
pedagógica invulgar a ser explorada pelos educadores quando da fixação e, em particular, da
justificação algébrica das fórmulas comprováveis através do método de simples inspeção. Deve-se
aproveitar para mostrar a distinção entre a exploração intuitiva na Tabela de Valores e a prova
algébrica. A primeira serve apenas à verificação de alguns casos, enquanto aprova algébrica é
genérica, se estendendo a todos os valores de n ∈ N* = {1,2,3,4,5,6,...}.
343
JALGB#19 – JOGOS PARA O PENSAMENTO ALGÉBRICO Nº 19 SEQUÊNCIAS DE CONSTRUCTOS GEOMÉTRICO-ALGÉBRICOS
Estes são um tipo de poderosos Jogos Para o Pensamento Algébrico que envolve uma sequência de padrões geométricos (uma sequência de constructos geométricos) cujos comportamentos podem ser expressos: de forma numérica num primeiro momento, e em seguida, expressos algebricamente. Em outras palavras: deve-se passar da contagem de elementos unitários em uma sequência de constructos geométricos para uma sequência de valores numéricos, e a partir daí propor, através de raciocínio lógico-aritmético a lei algébrica de formação para a sequência numérica ali encontrada. Fórmulas que permitam calcular os perímetros e as áreas (ou até mesmo volumes) destas figuras podem ser também encontradas, bem como as leis recursivas de formação destas sequências.
19.1.- Sequências de Constructos Geométrico-Numéricos
Os constructos19 geométricos sequenciais ou geométrico-numéricos denominados números
poligonais, são conhecidos desde a Grécia Antiga (vide JALGBR anterior). Os Números Figurados
ou Números Poligonais são números expressos como sendo cada uma das figuras um conjunto bem
ordenado de pontos, organizados geometricamente e cujos elementos estão ligados um-a-um
sequencialmente por uma lei de formação geométrica, que passa pelo numérico e que pode ser
expressa algebricamente.
Os números Poligonais foram estudados de forma detalhada no JALGBR anterior.
1 3 6 10
Números triangulares
1 4 9 16
Números Quadrados
1 5 12 22
Números Pentagonais
1 6 15 28
Números Hexagonais
19 Constructo: aquilo que é elaborado ou sintetizado com base em dados simples. No caso dos constructos geométricos isto geralmente é feito com o auxílio de pequenos círculos pintadas em cores diversas.
344
Existem muitos outros tipos de constructos geométricos sequenciais, que ao serem expressos
sob a forma de sequências numéricas, revelam a existência de leis endógenas de formação,
exprimíveis algebricamente através de uma função que geralmente mapeie valores20 de N* em N,
isto é: f: N*→N e/ou, algumas vezes, mapeie N em N, isto é: f: N→N.
Em função dessa ligação entre os pensamentos geométrico e algébrico, passando pelo
numérico, alguns autores se referem a este tipo de fenômeno como sendo ‘Padrões Geométricos e
suas respectivas Expressões Algébricas’ ou até mesmo ‘sequências numérico-pictóricas com leis de
formação expressas algebricamente’. Nós escolhemos o nome: Sequências de Constructos
Geométricos que podem ser expressas algebricamente.
19.1.1.- Constructos Geométricos e Expressões Algébricas
Como se verá neste nosso estudo, deu-se preferência para os padrões geométricos
construídos sobre malhas quadriculadas, cujas quadrículas são sempre referidas como tendo uma
unidade de área, cuja verdadeira grandeza meça, de preferência 1cm × 1 cm , ou seja, com 1cm2.
Esta medida facilitará o desenho destas formas sobre papeis quadriculadas com espaço de 1 cm
entre as linhas.
No entanto, nada impede que adotemos, no desenho destes constructos, triângulos, círculos
pequenos ou grandes, cubos com 1cm de aresta, ou até mesmo segmentos de reta simulando palitos
de fósforo, como nas sequências geométricas mostradas a seguir:
���
1 2 3 4 →→→→ n
���
1 2 3 4 →→→→ n
20 Lembrar que: N = {0,1,2,3,4,...} e que N* = N – {0} = {1,2,3,4,...}
345
1 2 3 4 →→→→ n
���
���
1 2 3 →→→→ n
���
1 2 3 4 →→→→ n
���
1 2 3 4 →→→→ n
346
O educador perceberá que cada uma destas sequências de constructos geométricos podem
se prestar a algum tipo raciocínio geométrico-numéricos passados ao algébrico, tais como fórmulas
do o cálculo de perímetros, de áreas ou volumes do conjunto de constructos. No entanto, alguns
outros constructos servirão apenas para raciocínios e estudos de sequências que permitam expressar
algebricamente os valores quantitativos dos segmentos, triângulos, círculos, cubos etc, que
compõem cada um dos constructos daquela sequência.
19.2 - Estudando Algumas Sequências Geométricas Simples
Vamos iniciar nossos estudos com alguns exemplos bastante simples de sequências de
constructos geométricos.
19.2.1.- Exemplo 1:
Aqui o que queremos é descobrir as leis algébricas de formação (a) das áreas dos
constructos, tanto quanto, (b) dos perímetros dos constructos, bem como as expressões algébricas
para (a) e (b), sabendo-se que cada uma das quadrículas tem para área 1 unidade e para perímetro 4
unidades.
���
1 2 3 4 →→→→ n
Número de controle 1 2 3 4 5 6 7 ... f(n)
Área 2 4 6 8 10 12 14 ... 2n
Perímetro 6 8 10 12 14 16 18 ... 2n + 4
Notas:
1. É fácil perceber que para os números de controle 5, 6 e 7, nós atribuímos valores
numéricos (em vermelho) de acordo com o que se ‘percebeu’ com relação à lógica da
formação das sequências numéricas.
2. A lei de formação das áreas dos constructos é: f(n) = 2n, f:NNNN*→→→→N.N.N.N.
347
3. A lei de formação dos perímetros dos constructos é: f(n) = 2n + 4, f:NNNN*→→→→N.N.N.N.
19.2.2.- Exemplo 2:
O que queremos descobrir neste exemplo é o mesmo que pretendíamos no exemplo anterior
(1º Exemplo): (a) as áreas dos constructos e (b) os perímetros dos constructos, bem como as
expressões algébricas para (a) e (b).
���
1 2 3 →→→→ n
Número de controle 1 2 3 4 5 6 7 ... f(n)
Área 4 6 8 10 12 14 16 ... 2n + 2
Perímetro 10 14 18 22 ? 26 ? 30 ? 34 ? ... ????
Notas:
1. A lei de formação dos perímetros não é tão fácil de ser encontrada aqui como foi no caso
do exemplo anterior (1º Exemplo). Vamos estudar aritmeticamente o que ocorre.
Note que cada valor seguinte da sequência de perímetros é igual ao valor
anterior mais 4 unidades, assim sendo podemos escrever:
10 = 6 + 4 = 2 ×××× 3 + 4
14 = 10 + 4= 2 ×××× 5 + 4
18 = 14 + 4= 2 ×××× 7 + 4
O notável aqui é que os números na cor verde são as variáveis enquanto os
números 2 e 4 são constantes para todos os valores dos perímetros. A sequência: 3,
5, 7, ... é a sequência dos números ímpares a partir do 3, ou seja, têm para lei de
formação: 2n+1, com n valendo: 1, 2, 3, e assim por diante.
348
4. Logo podemos escrever o seguinte:
f(n) = 2 ×××× (2n + 1) + 4, f(n) = 2 ×××× (2n+1) + 4, f:NNNN*→→→→NNNN,
5. Da expressão anterior f(n) = 2(2n+1) + 4 podemos tirar que: f(n) = 4n + 2 + 4 = 4n +
6.
6. Logo nossa tabela ficará assim:
Número de controle 1 2 3 4 5 6 7 ... f(n)
Área 4 6 8 10 12 14 16 ... 2n + 2
Perímetro 10 14 18 22 26 30 34 ... 4n + 6
19.2.3.- Exemplo 3:
Retomando o que foi estudado nos exemplos anteriores a este (1º e 2º Exemplos)
considerando os constructos como se fossem apenas figuras quadriculadas, calcule (a) as áreas dos
constructos e (b) os perímetros dos constructos, bem como as expressões algébricas para (a) e (b).
.
���
1 2 3 →→→→ n
Número de controle 1 2 3 4 5 6 7 ... f(n)
Área 5 8 11 14 17 20 23 ... ????
Perímetro 12 14 16 18 20 22 24 ... ????
Notas:
1. A lei de formação tanto das áreas como dos perímetros não são fáceis de serem aqui
encontradas, como nos dois exemplos anteriores. Vamos estudar aritmeticamente o que
ocorre.
349
Observe que cada valor seguinte da sequência das áreas é igual ao valor anterior
mais 3 unidades, assim sendo podemos escrever:
8 = 5 + 3
11 = 8 + 3 = 5 + 3 + 3 = 5 + (2 ×××× 3)
14 = 11 + 3= 5 + 3 + 3 + 3 = 5 + (3 ×××× 3)
17 = 5 + (4 ×××× 3)
...
f(n) = 5 + (n -1) ×××× 3 = 5 + 3n – 3 ⇒⇒⇒⇒ f(n) = 3n + 2
2. Os Perímetros:
Há duas maneiras de se calcular isto. A primeira delas foi inteiramente intuitiva, a
segunda foi baseada no primeiro valores da sequência, a terceira foi baseada na ideia de
que todos os valores dos perímetros são números pares e, portanto, são múltiplos de 2.
1ª maneira 2ª maneira 3ª maneira
12 = 10 + 2
14 = 10 + 2 + 2 = 10 + 2 ×××× 2
16 = 10 + 2 + 2 + 2 = 10 + 3 ×××× 2
18 = 10 + 4 ×××× 2
20 = 5 ×××× 2 + 10
...
f(n) = 2n + 10
14 = 12 + 2
16 = 12 + 2 ×××× 2
18 = 12 + 3 ×××× 2
...
f(n) = 2(n – 1) +12
f(n)= 2n – 2 + 12
f(n) = 2n + 10
12 = 2 ×××× 6
14 = 2 ×××× 7
16 = 2 ×××× 8
18 = 2 ×××× 9
...
f(n) = 2(n + 5)
f(n) = 2n + 10
3. Agora vamos à nossa tabela:
Número de controle 1 2 3 4 5 6 7 ... f(n)
Área 5 8 11 14 17 20 23 ... 3n + 2
Perímetro 12 14 16 18 20 22 24 ... 2n + 10
350
19.2.4.- Exemplo 4:
Vamos estudar agora uma sequência de constructos geométricos em que não se deseja
calcular as áreas, pois ela envolveria o cálculo da área do triângulo, que sai da nossa finalidade
principal, que é descoberta de funções do tipo f:N* → N, apesar de que, podemos estabelecer que
estes triângulos equiláteros têm lados medindo 1 unidade, ou seja, 1cm.
���
1 2 3 4 →→→→ n
Neste caso queremos calcular as fórmulas que nos dão a quantidade total de triângulos, a
quantidade de triângulos amarelos e a quantidade e triângulos vermelhos para os valores de
controle: 1, 2, 3, 4,..., bem como o perímetro dos constructos.
Número de controle 1 2 3 4 5 6 7 ... f(n)
∆∆∆∆’s amarelos 2 3 4 5 6 7 8 ... n + 1
∆∆∆∆’s vermelhos 1 2 3 4 5 6 5 ... n
Total de ∆∆∆∆’s 3 5 7 9 11 13 15 ... 2n + 1
Perímetro 5 7 9 11 13 15 17 ... 2n + 3
Vamos apenas por curiosidade calcular a área de um destes triângulos:
A área do triângulo equilátero será dada por: A∆ = 2
hb ×, onde b
será a medida da base, que por hipótese é unitária: l = 1cm, e a altura h
deverá ser calculada a partir dos dados apresentados no triângulo, mediante
a aplicação do Teorema de Pitágoras:
42
22
222 ll
l +=
+= hh ⇒ 4
3
4
4
4
222222 llll
l =−
=−=h ⇒ h = ±4
3 2l
⇒ h = ±2
3l,
como h > 0, teremos h = +2
3l
l
2l
h
351
→ Especificamente no nosso caso, como escolhemos l = 1, teremos finalmente:
A∆ = 2
hb ×= 433,0
4
732,1
4
3
22
31
≅≅=
×
Observe que a área do triângulo equilátero foge da ideia de se buscar valores em N para o
sequenciamento numérico. Já no caso de triângulos formados por uma das diagonais de um
quadrado, podem ser interessantes, pois se a área do quadrado é unitária, a área deste triângulo
valerá exatamente meia unidade, o que possivelmente possa vir a ser aproveitado em alguns
exercícios envolvendo sequências geométrico-numéricas.
Área = 1 cm2 Área = ½ cm2
19.3 - Estudando Sequências Geométricas Quadráticas
Os conjuntos de constructos que aqui serão apresentados são diferentes daqueles estudados
até aqui. As leis de formação destes novos constructos não são mais funções lineares, mas funções
do segundo grau.
19.3.1.- Exemplo 1:
���
1 2 3 4 →→→→ n
19.3.1.1.- Solução
Volume(n) = n2, Volume: NNNN*→→→→NNNN
352
Número de controle 1 2 3 4 5 6 7 ... f(n)
Número de cubos 1 4 9 16 25 36 49 ... n2
Volume em cm3 1 4 9 16 25 36 49 ... n2 cm3
19.3.2.- Exemplo 2:
Área(n) = (n + 1)2 = (n + 2)2 – n2
Acima são mostradas as representações geométricas dos números quadrados 1, 4 e 9
formados por quadrículas em amarelo e as bordas, formadas por quadrículas em branco, utilizadas
para contornar as representações destes números. Pergunta-se:
1) Quantas quadrículas brancas serão utilizadas para contornar os números quadrados 16, 25,
36.
2) Qual a fórmula para a obtenção da quantidade de quadrículas para o contorno de um número
quadrado n2?
3) Qual a relação entre o número quadrado e a quantidade de quadrículas utilizada em seu
contorno?
19.3.2.1- Solução
1 2 3 4 5 6 7 8 ...
Quadrículas centrais 1 4 9 16 25 36 49 64 ... n2
Quadrículas no contorno 8 12 16 20 24 28 ... 4n+4
Total de quadrículas 9 16 25 36 49 64 ... (n+2)2
353
Notas:
É fácil Observar que: (n + 2)2 = (4n + 4) + n2 onde 4n+4 é a quantidade das
quadrículas do contorno do constructo e n2 é a quantidade de quadrículas centrais (em
amarelo)
19.3.3.- Exemplo 3:
Estágio 1 Estágio 2 Estágio 3 Estágio 4
1. Examine o Estágio 1 e o Estágio 2 das figuras geométricas acima. Em seguida examine os
Estágios 2 e 3. Descreva o que deverá ser feito para que a partir de um estágio (n – 1) se
possa criar o n-ésimo estágio.
2. Observe os padrões desenhados e organize suas informações na tabela a seguir:
Estágios 1º 2º 3º 4º 5º n-ésimo
Quadrados amarelos
Quadrados brancos
Total de quadrados
19.3.3.1- Solução
Estágios 1º 2º 3º 4º 5º n-ésimo
Quadrados amarelos 1 2 3 4 5 n
Quadrados brancos 0 1 4 9 16 (n−−−−1)2
Total de quadrados 1 3 7 13 21 (n−−−−1)2 + n
354
19.3.4.- Exemplo 4:
...
Estágio 1 Estágio 2 Estágio 3 ... Estágio n
1. Examine o Estágio 1 e o Estágio 2. Em seguida examine os Estágios 2 e 3. Descreva o que
deverá ser feito para que a partir de um estágio (n - 1) se possa criar um estágio n.
2. Observe os padrões desenhados. Use o conceito de simetria para facilitar as suas contagens.
Organize suas informações na tabela a seguir:
Estágio No 1 2 3 ... f(n)
No de quadrados pretos
No de quadrados brancos
No de quadrados cinza
No total de quadrados
3. Qual a razão de crescimento das quantidades dos quadrados, segundo as cores, de um
estágio para outro? Qual destes quadrados, quanto à cor, está aumentando em uma razão
maior do que as outras?
4. Quantos quadrados de cada cor haverá no 8º estágio?
5. Quantos quadrados de cada cor haveria no estágio de número zero?
6. Em que estágios haverá 42 quadrados da cor preta? Em qual estágio haverá 102 quadrados
brancos? Em qual estágio haverá 870 quadrados no total?
7. Quais são as dimensões dos retângulos em cada um dos estágios? É possível exprimir este
fato em função de n?
355
19.3.4.1- Solução
Estágio No 1 2 3 ... f(n)
No de quadrados pretos 6 10 14 ... 4n+2
No de quadrados brancos 2 8 18 ... 2n2
No de quadrados cinza 4 12 24 ... 2n2+2n
No total de quadrados 12 30 56 ... 4n2+6n+2
1) O crescimento dos quadrados pretos é o mais lento, aumentam 4 a cada novo estágio,
numa taxa de crescimento constante. Os quadrados brancos crescem a uma taxa superior
à dos quadrados pretos, mas o que mais aumentam são os quadrados na cor cinza. Note
que os quadrados cinza crescem (em cada uma das linhas horizontais acrescentadas a
cada estágio) de acordo com a sequência dos números pares, a partir do 2: 2, 4, 6, 8, ...,
2n ( o que na verdade resultaria: 4, 8, 12, 16, ..., 4n quadrados cinza acrescentados a cada
estágio), enquanto os quadrados da cor branca crescem (em cada uma das verticais
acrescentadas a cada estágio) de acordo com a seqüência dos números ímpares a partir de
1: 1, 3, 5, 7,..., 2n+1, ou seja: 2, 6, 10, 14, 4n+2 (confira!).
2)
. 3) Quando n = 8:
• quadrados pretos = 4××××(8) + 2 = 34, • quadrados brancos = 2××××( (8)2 = 128, • quadrados cinza = 2××××( (8)2 + 2××××( (8) = 144.
Quando n = 0: • quadrados pretos = 2 • quadrados brancos = 0 • quadrados cinza = 0 •
4) O desenho irá apresentar 42 quadrados pretos quando: 4n + 2 = 42. Resolvendo esta
equação iremos encontrar sempre um número par, neste caso, n = 10. O desenho irá
apresentar 102 quadrados brancos se: 2n2 = 102 der um número par como solução, o
que não será o caso. O desenho irá apresentar 870 quadrados no total se: 4n2 + 6n + 2
= 870, apresenta-se com pelo menos uma solução par. Uma das soluções desta equação
do segundo grau é 14. E exatamente, quando, n = 14, o nosso retângulo necessitará de
870 quadrados para compô-lo.
356
5) Dimensões do retângulo
• Para o Estágio n = 1, o retângulo terá dimensões 4 ×××× 3 (largura ×××× altura) • Para o Estágio n = 2, o retângulo terá dimensões 6 ×××× 5 (largura ×××× altura) • Para o Estágio n = 3, o retângulo terá dimensões 8 ×××× 7 (largura ×××× altura) • Para o Estágio n = 4, o retângulo terá dimensões 10 ×××× 9 (largura ×××× altura) • ... • No Estágio n teremos: largura = 2n + 2 e altura = 2n + 1, ou seja,
Árean = (2n + 2)(2n + 1) = 4n2 + 6n + 2,
será a equação que fornecerá o total de quadrados na figura.
19.3.5.- Exemplo 5:
Sabe-se que cada um os cubos desde o primeiro são montados com cubos menores cuja
aresta mede 1cm.
������������
Estágio 1 Estágio 2 Estágio 3 Estágio 4 ... Estágio n
Estágios 1º 2º 3º 4º 5º n-ésimo
Volume em cm3 1 8 27 64 ... n2 cm3
Área do cubo em cm2 6 24 48 96 ... 6××××2n cm2
357
19.4.- Contagem de Segmentos em Sequências Geométricas
Há casos em que a contagem deve se ater à quantidade de segmentos unitários que formam
os constructos, como se estivéssemos trabalhando com palitos de fósforo para formar as figuras.
Nos exemplos a seguir não daremos as respostas algébricas, mas tão somente a contagem dos
segmentos. Nada impede, no entanto, que a contagem das quantidades também se atenha ao cálculo
da área delimitada pelos segmentos, ou então à quantidade de segmentos internos ou esternos aos
constructos.
19.4.1.- Exemplo 1:
���
1 2 3 4 →→→→ n
4 7 10 13 →→→→ f(n)
19.4.2.- Exemplo 2:
4 6 8 10 12
358
19.4.3.- Exemplo 3:
4 7 10 13 16
19.4.4.- Exemplo 4:
8 24 48 80
19.4.5.- Exemplo 5:
6 11 16 ?
Neste exemplo pode-se solicitar a contagem além da quantidade de segmentos de reta, a
contagem de quadrados bem como a contagem da quantidade de triângulos. Veja, por exemplo, que
o primeiro constructo tem 6 triângulos, já o segundo constructo tem 12 triângulos.
359
19.5.- Fórmulas Recursivas para Sequências Geométricas
Nos exemplos a seguir, além das contagens e cálculos anteriormente levados a efeito, nós
acrescentamos a geração de fórmulas recursivas para alguns elementos encontrados ou percebidos
nos constructos.
19.5.1.- Exemplo 1:
Este Jogo Para o Pensamento Algébrico foi escolhidos como exemplo, justamente pela sua
complexidade e pela possibilidade de podermos propor vários tipos de problemas interessantes para
alunos do Ensino Médio.
1º Problema Proposto: Descobrir quais seriam os próximos elementos geométricos da
Sequência – desenhando pelo menos dois destes elementos:
2º Problema Proposto: Estabelecer a quantidade de quadradinhos necessários para a
obtenção de cada uma das demais figuras geométricas na sequência.
3º Problema Proposto: Dar a lei de formação algébrica f(n) para cada um dos elementos
da sequência;
4º Problema Proposto: Dar a lei de formação indutiva Tn para construção sequência a
partir de um elemento fundamental;
5º Problema Proposto: Estabelecer algum tipo de relação entre a quantidade de
quadradinhos e os perímetros de cada constructo.
6º Problema Proposto: Estabelecer algum tipo de relação entre a quantidade de
quadradinhos e as áreas de cada constructo.
7º Problema Proposto: Qual será a soam de todos os quadradinhos utilizados para a
construção das 10 primeiros figuras? E das 20 primeiras figuras?
360
1ª Construção 2ª Construção
3ª Construção
4ª Construção
Soluções:
Nesta tabela Tn deve ser entendido com a quantidade total de quadradinhos no constructo
correspondente a n-ésima figura. Assim T4 corresponderá será escrito como T4 = 10, sendo que a
fórmula recursiva será: Tn = Tn-1 + n, que nos fornecerá a lei de recorrência da formação das
construções.
Quantidade de Quadradinhos 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª 8ª 9ª n-ésima
Na figura 0 1 3 6 10 15 21 28 36 ... Tn
Adicionados à figura anterior 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ... n
Perímetro = 0 4 8 12 16 20 24 ... ... ... 4n
Área = 0 1 3 6 10 15 21 ... ... ... n
Fórmula Algébrica Esta é a fórmula da soma dos termos da P.A.
‘1 + 2 + 3 + 4 + ...+ n’ para n termos
n(n+1) / 2
Fórmula Recursiva
T0 = 0
T1 = T
0 + 1
T2 = T
1 + 2
T3 = T
2 + 3
T4 = T
3 + 4
...
...
...
...
...
Tn = T
n −− −−1 + n
361
Comentários:
A fórmula do Termo Geral: Tn= Tn−−−−1 + n
A fórmula do termo geral Tn = Tn−−−−1 + n é válida para n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... e a quantidade de
termos Tn deve ser calculada por recorrência ao valor anteriormente obtido Tn−−−−1. O início da
indução se dá para n = 0 que é o valor de indução para esta fórmula.
A fórmula da Área de Cada Construção: Árean= n
No caso desta sequência as áreas se comportam exatamente como o número de ordem n.
A fórmula do Perímetro de Cada Construção: Perímetron= 4××××n
19.5.2.- Exemplo 2: QUANTOS TRÂNGULOS?
Sabendo-se que cada quadrado (em vermelho) pode ser dividido por uma de suas diagonais
em dois triângulos congruentes aos triângulos (em amarelo), pede-se calcular a sequência que
representa a quantidade de triângulos em cada um dos construtos abaixo mostrados e a respectiva
fórmula algébrica que permita calcular isto.
���
1 2 3 4 →→→→ n
f(n) = 2n2 + 2n
���
1 2 3 4 →→→→ n
3 10 14 18
f(n) = ?
362
19.6.- Sequências Geométricas: Tipos de Questionamentos
A seguir mostramos uma série de possibilidades de questionamentos que poderão ser feitos
com relação a uma dada sequência de padrões (constructos) geométricos. Cabe ao educador
escolher estes questionamentos (ou tipos de problemas) e adequá-los de acordo com o nível de
escolaridade dos estudantes, nos quais estes Jogos Para o Pensamento Algébrico serão aplicados.
Veja uma sugestão para o texto pode ser utilizado em Jogos Para o Pensamento Geométrico-
Algébricos, e mais, analise uma série de problemas geométrico-algébricos e suas respectivas
respostas.
Jogo Para o Pensamento Algébrico - Número xx
Na sequência abaixo há elementos compostos por elementos unitários − quadrados medindo
1 cm de lado −, sendo que a cada passo, para se obter a construção seguinte da sequência, são
adicionados novos elementos unitários, obedecendo a uma certa lei de formação.
Colocar aqui pelo menos 3 dos elementos iniciais
da sequência geométrico-algébrica
Problema 1: Descubra como serão formadas algumas das próximas 2, 3 ou até 4 das figuras
da sequência.
Problema 2: Dê a lei algébrica desta formação, quando possível.
Problema 3: Quantos quadrados haverá no 10º conjunto formado segundo a lei de formação
que você descobriu? E no 20º?
Problema 4: Quantos quadrados foram utilizados, no total, para construir as 10 primeiras
figuras da sequência? E as 20 primeiras figuras?
363
Problema 5: Há fatores que podem multiplicar a quantidade de elementos de cada uma das
construções para se encontrar a seguinte?
Problema 6: Se a soma da quantidade de elementos de três construções consecutivas
sempre resulta um número par. Você deve mostrar o porquê, usando álgebra.
Problema 7: Se a soma da quantidade de elementos de duas construções consecutivas
sempre resulta um número ímpar. Você deve mostrar o porquê, usando álgebra.
Problema 8: Para cada uma das sequências de figuras, verifique se há uma lei de formação
para os perímetros das mesmas.
Problema 9: Para cada uma das sequências de figuras, verifique se há uma lei de formação
para as áreas das mesmas.
19.6.1.- Vários Problemas Geométrico-Algébricos Com Respostas
Os elementos constituintes das sequências de constructos a seguir (que denominamos aqui
construções21) são formados quadrículas medindo idealmente 1 cm de lado, o que facilitaria
desenhá-las num papel quadriculado. São dez exemplos bem simples, distintos uns dos outros, que
podem ser utilizados pelos educadores em Jogos Para o Pensamento Algébrico de acordo com as
sugestões acima apresentadas acima. Caberá ao educador propor os problemas convenientes ao
nível de escolaridade dos envolvidos na resolução de alguns daqueles problemas. A tabela
apresentada em cada um dos exemplos contemplam apenas os dados sobre a área e o perímetro das
figuras.
Algumas fórmulas aritméticas devem ser reconhecidas pelos alunos para ele se sair bem
nestes Jogos Para o Pensamento Algébrico:
1. Se x é um número natural par ⇒ x = 2n, com n∈N
2. Se x é um número natural ímpar ⇒ x = 2n + 1 ou x = 2n – 1 , com n∈N
21 Aqui sugerimos que o educador utilize a nomenclatura: construções ao invés de constructos, ao trabalhar com estudantes do Ciclo Básico ou Fundamental de escolarização.
364
3. Numa Progressão Aritmética: sendo o primeiro termo da PA = a1; a razão da PA = r, os
temos seguintes = an então an = 2
n1)(n ×− para n = 1, 2, 3, 4, ...
4. Numa Progressão Geométrica: sendo o primeiro termo da PG = a1; a razão da PA = q, os
temos seguintes = an então an = 2
q a n1 ×
para n = 1, 2, 3, 4, ...
5. A soma dos n primeiros números naturais positivos: 1 + 2 + 3 + 4 + ...+ n = 2
1)(nn +×
19.6.1.1.- Sequência de Construções 1:
1ª Construção 2ª Construção
3ª Construção
4ª Construção
Número de controle 1 2 3 4 5 6 ... f(n)
Área 2 6 12 20 ... n ×××× (n + 1)
Perímetro 6 10 14 18 ... 4n + 2
17.6.1.2.- Sequência de Construções 2:
1ª Construção 2ª Construção
3ª Construção
4ª Construção
Número de controle
1 2 3 4 5 6 ... f(n)
Área 1 3 6 10 ... n ×××× (n + 1) / 2
Perímetro 4 8 12 16 ... 4n
365
19.6.1.3.- Sequência de Construções 3:
1ª Construção 2ª Construção
3ª Construção
4ª Construção
Número de controle 1 2 3 4 5 6 ... f(n)
Área 3 5 7 9 ... 2n + 1
Perímetro 8 12 16 20 ... 4n + 4
19.6.1.4.- Sequência de Construções 4:
1ª Construção 2ª Construção
3ª Construção
4ª Construção
Número de controle 1 2 3 4 5 6 7 ... f(n)
Área 1 4 7 10 ... 3n – 2
Perímetro 4 10 16 22 ... 6n – 2
19.6.1.5.- Sequência de Construções 5:
1ª Construção 2ª Construção
3ª Construção
4ª Construção
Número de controle 1 2 3 4 5 6 7 ... f(n)
Área 1 4 9 16 25 36 49 ... n2
Perímetro 4 8 12 16 20 24 28 ... 4n
366
19.6.1.6.- Sequência de Construções 6:
1º conjunto 2º conjunto 3º conjunto 4º conjunto 5º conjunto
Número de controle
1 2 3 4 5 6 7 ... f(n)
Área 2 5 10 17 26 ... n2 + 1
Perímetro 8 12 16 20 24 ... 4n + 4
19.6.1.7.- Sequência de Construções 7:
1ª Construção 2ª Construção
3ª Construção
4ª Construção
Número de controle
1 2 3 4 5 6 ... f(n)
Área 1 4 9 16 ... n2
Perímetro 4 10 16 22 ... 6(n–1) + 4
Notar que: 6(n–1) + 4 = 6n – 6 + 4 = 6n – 4
19.6.1.8.- Sequência de Construções 8:
1ª Construção 2ª Construção
3ª Construção
4ª Construção
367
Número de controle 1 2 3 4 5 6 7 ... f(n)
Área (amarelo) 3 8 15 24 ... n2 + 2n
Perímetro (amarelo) 8 12 16 20 ... 4n + 4
3 = 1 + 2 ; 8 = 2 + 2 ×××× 3 = 2 + 2 ×××× (2 + 1) ; 15 = 3 + 3 ×××× 4 = 2 + 3 ×××× (3 + 1) ;
24 = 4 + 4 ×××× 5 = 4 + 4 ×××× (4 + 1) ... n+n××××(n+1) = n + n2 + n = n2 + 2n
19.6.1.9.- Sequência de Construções 9:
1ª Construção 2ª Construção
3ª Construção
4ª Construção
19.6.1.10.- Sequência de Construções 10:
1ª Construção 2ª Construção
3ª Construção
4ª Construção
Número de controle 1 2 3 4 5 6 ... f(n)
Área (amarelo) 7 10 13 16 ... 3n + 4
Perímetro (amarelo) 16 22 28 34 ... 6n + 10
Área (cinza) 2 6 12 20 ... n2 + n
Perímetro (cinza) 6 10 14 18 ... 4n + 2
Número de controle 1 2 3 4 5 6 ... f(n)
Área (amarelo) 2 7 14 23 ... n2 – 2
Perímetro (amarelo) 8 12 16 20 ... 4n + 4
368
19.6.1.11.- Sequência de Construções 11:
1ª Construção 2ª Construção
3ª Construção
4ª Construção
Número de controle 1 2 3 4 5 6 ... f(n)
Área (amarelo) 8 13 18 23 ... 5n + 3
Comprimento( base) 3 5 7 9 ... 2n+1
Altura 3 3 3 3 ... 3
Área total 9 15 21 27 ... 6n+3
8 + (n – 1) ×××× 5 = 8 + 5n – 5 = 5n + 3
19.6.1.12.- Sequência de Construções 12:
Valor de n 1 2 3 4 5 6 ... f(n)
Comprimento( base) 3 4 5 6 ... n + 2
Altura 4 5 6 7 ... n + 3
Área total 12 20 30 42 ... n2 + 5n + 6
Área (amarelo) 9 17 27 39 ... n2 + 5n + 3
(n+2)××××(n+3) = n2+5n+6
19.7.- Conclusão
Os jogos até aqui apresentados são todos do tipo Jogos para o Pensamento Algébrico e são
muito apropriados ao seu uso nas salas de aula mediante uma adequação pedagógica de acordo com
o nível dos estudantes a serem envolvidos na realização das tarefas.
369
JALGB#20 – JOGOS PARA O PENSAMENTO ALGÉBRICO Nº 20 PROVANDO TEOREMAS E FÓRMULAS MATEMÁTICAS
Os Métodos de Prova de Teoremas envolvem raciocínios lógico-formais bem como conhecimentos bastante complexos da Aritmética, da Geometria e da Álgebra. Aqui iremos mostrar muitos destes métodos de prova e exemplificá-los a cada passo.
20.1.- Introdução
Muitos autores não apontam diferenças entre o que sejam os postulados e os axiomas. No
entanto, podemos estabelecer algumas diferenças muito sutis entre o que sejam eles:
• Um Postulado é uma proposição não evidente nem demonstrável, que se admite como
princípio de um sistema dedutível ou de um sistema de normas práticas. Os Postulados são
os fundamentos de uma demonstração, porém eles mesmos indemonstráveis, normalmente
originados sejam de princípios inatos da consciência, ou seja, de generalizações da
observação empírica.
• Um Axioma é uma proposição lógico-formal que se admite como verdadeira porque dela se
podem deduzir as proposições de uma teoria ou de um sistema lógico ou matemático.
Uma observação importante é que tanto os postulados como as definições são estabelecidos
de acordo com os teoremas que se queira provar, devendo o conjunto de postulados (axiomas), que
adotado inicialmente de forma minimal, pode ser ampliado para suportar os Teoremas mais
elaborados da Teoria. Em outras palavras: numa Teoria novos Teoremas podem exigir a
reformulação ou ampliação do conjunto de postulados (AXIOMAS) inicialmente estabelecido.
20.1.1.- Provando Teoremas de Acodo com Euclides
O conceito de Teoremas que podem ser provadas a partir de proposições tidas como
verdadeiras ‘a priori’ foi introduzido por Euclides de Alexandria (360 a.C. / 295 a.C.) em sua obra
Os Elementos. Euclides denominou estas verdades fundamentais com o nome de postulados.
O Método Euclidiano se constituía da apresentação de:
• Um conjunto de conceitos linguísticos primitivos elementares – entes elementares
da Linguagem ou Teoria;
• O enunciado de um limitado conjunto de ‘postulados’ (axiomas) – proposições
aprioristicamente aceitas como verdadeiras e sem a necessidade de prova;
370
• Um conjunto de definições.
2.1.2.- Sobre o Formalismo
Modernamente é o Formalismo – concepção fundamental da lógica matemática,
desenvolvida principalmente a partir dos trabalhos de David Hilbert (1862-1943), matemático
alemão – que assegura a coerência dos sistemas pelo uso da linguagem simbólica e do método
axiomático:
• Foi, praticamente, com David Hilbert que se iniciou a tentativa de formalizar a
matemática, ou seja, inicia-se um movimento em que se acreditava poder formular
completamente a matemática e, de tal maneira consistente, que se poderiam ser
apresentadas formalmente quaisquer proposições matemáticas e, que estas, poderiam
ser provadas usando-se um pequeno número de símbolos com significados bem
definidos.
• A axiomatização é o primeiro passo da formalização, sendo que a este primeiro
passo devem seguir formas de se provar que a matemática assim criada seria livre de
contradições.
• Em 1931 Gödel mostrou que a formalização não pode ser considerada como uma
técnica por meio da qual se possa obter uma matemática livre de contradições.
20.1.2.- Axiomas, Teoremas, Corolários, Lemas e Conjecturas
Quando começamos a nos aprofundar no estudo da Matemática nós iremos nos deparar com
os entes primitivos, axiomas e definições daquela dada Teoria ou Linguagem, que permitirão provar
os Teoremas. No entanto, há além destes, outros elementos a serem considerados nesta estrutura
denominada Teoria da Prova, a saber:
• Entes Primitivos: os entes primitivos não são definidos em termos de outros
conceitos previamente definidos, mas são apenas motivados informalmente, seja
pela intuição ou seja pela experiência cotidiana. Teorias formais não podem
prescindir de noções primitivas, sob pena de regresso infinito. O fato de que elas não
serem definidas, não significa que elas não podem ser caracterizadas através de
exemplos e frases de apoio ao raciocínio. Um conceito pode ser primitivo em um
contexto, podendo não sê-lo em outro.
• Definição: operação linguística que busca a determinação clara e precisa de um
conceito ou um objeto, estabelecendo suas características, propriedades e suas
371
delimitações exatas. O conceito ou objeto ‘a definir’ (onde ‘a definir’ =
‘definiendum’, do latim – termo que designa o objeto a ser determinado pelo
conjunto de ‘termos definidores’ (onde ‘termos definidores’ = ‘definiens’, do latim −
termos com os quais se determina o objeto a definir determinando as características
gerais do conceito ou objeto).
• Axioma: Os axiomas são afirmações ou proposições consideradas verdades básicas
que serão utilizadas como conjuntos de hipóteses nas provas de Teoremas. Os
axiomas são afirmações que não necessitam de prova e são aceitas como necessárias
para o desenvolvimento de uma Teoria.
• Teorema: Em geral os teoremas são representados como uma implicação: “Se P
então Q” ou em símbolos “P ⇒ Q”, onde P é o antecedente e Q o consequente da
implicação que, em se tratando de teoremas, são respectivamente denominada
hipótese e tese. Alguns autores assumem a notação “P ⇒ Q” de um teorema, como
podendo P ser composto por um conjunto de verdades, ou seja, ∀x [P1(x), P2(x) ...
Pn(x)] ⇒ ∀x Q(x), onde P1(x), P2(x) ... Pn(x) é a hipótese, composta normalmente
por proposições: definições, axiomas, lemas e teoremas prévios, já provados.
• Corolário de um Teorema: É um teorema que entre as suas hipóteses se inclui um
teorema anteriormente provado, um corolário deve ser entendido como uma
consequência de um teorema anteriormente provado.
• Lema: os lemas são geralmente apresentados como um conjunto de ‘pré-teoremas’,
básicos e necessários para se provar um teorema mais complexo. A prova de um
teorema complexo a partir da adoção de lemas se constitui na estratégia de dividir
para conquistar, ou seja, resolver subproblemas (provar os lemas) para em seguida
resolver o problema principal (provar o teorema mais complexo).
• Conjectura: é uma proposição hipotética aceita como verdadeira apesar de não
poder ser provada, mas também não poder ser rejeitada. Uma conjectura é tal que
não se consegue encontrar nenhum caso em que ela tenha falhado e por isto vem
sendo utilizada como verdadeira apesar, de não se ter encontrado ainda uma forma
de prová-la.
• Outros nomes dados aos Teoremas: Outros nomes, não muito utilizados, podem ser
dados eventualmente aos teoremas, mas isto quando necessário para o
372
desenvolvimento de uma teoria mais ampla ou intrincada, tais como: Lei, Princípio,
Regra.
A partir dos entes primitivos, postulados e definições a seguir serão provados, como
exemplos neste JALGBR, vários Teoremas tanto da Geometria, como da Álgebra e da Teoria dos
Números.
20.2.- Métodos de Prova
Para provarmos proposição – um lema, um teorema ou um corolário – podemos escolher
entre vários métodos aquele mais conveniente ou indicado para cada caso. Um método de prova
envolve a utilização de rigorosos argumentos lógicos e matemáticos – sejam aritméticos e/ou
algébricos e/ou geométricos – que demonstrem inequivocamente a verdade da proposição.
Há pelo menos quatro Métodos de Prova mais importantes no campo do Pensamento
Lógico-Matemático que são os seguintes:
• Prova Direta
� Prova Sem Uso de Palavras
� Prova por Dissecção (ou Dissecação)
� Prova por Métodos Hiptético-Dedutivos
� Prova da Existência e Unicidade
• Prova Indireta
� Por Contraposição
� Por Redução ao Absurdo ou por Contradição
• Indução Matemática
20.3.- Métodos Diretos de Prova
A seguir vamos expor, discutir e exemplificar os diversos tipos de provas diretas de
teoremas.
20.3.1.- Prova Sem o Uso de Palavras
É um Método de Prova que, baseado em elementos visuais e/ou numéricos sequenciais,
exige apenas que se descubra algum tipo de Lei de Formação da sequência. Normalmente a
descoberta destas leis é intuitiva dispensando argumentos formais lógico-matemáticos, quase não
havendo a necessidade de argumentação linguística ou até mesmo de comentários – por isto prova
sem o uso de palavras.
373
20.3.1.2.- Exemplo:
Veja o exemplo a seguir, onde os números poligonais triangulares são mostrados de forma
figurativa acompanhados das respectivas contagens de pontos que participam de cada uma das
figuras.
1 3 6 10
... →→→→ ?
Por inspeção direta aos dados acima apresentados devemos tentar primeiramente entender a
forma de construção das próximas figuras da sequência, bem como os próximos valores da
sequência numérica.
• Veja abaixo a figura seguinte da série mostrada anteriormente:
15
• Veja abaixo a sequência numérica com a nova figura:
(1, 3, 6, 10, 15, ..., n)
Onde:
1 = 1
1 + 2 = 3
1+ 2 + 3 = 6
1 + 2 + 3 + 4 = 10
1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
...
...
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + n − 1 + n = ...
374
• A forma de se encontrar os próximos valores da sequência é construtiva: optamos por seguir
adicionando novos valores numéricos aos valores anteriormente obtidos, ou então teremos
que construir figura a figura, o que seria mais complicado do que a alternativa anterior.
• Veremos mais à frente neste texto, que poderemos provar pelo Método da Indução Finita
que a fórmula que permite calcular diretamente o valor numérico da n-ésima figura da
sequência:
1 + 2 + 3+ 4 + 5 + ...+ (n −−−− 1) + n = 3
12 2 +n
���� Veja a prova desta fórmula no item 19.4.2.
20.3.1.3.- Contra-exemplo:
Muito cuidado deve ser tomado com relação às formulas, que testadas para uma certa
quantidade de termos de uma sequência, são adotadas como válidas. Vejamos a seguir um destes
tipos de fórmula que deixa de valer a partir de algum termo da sequência de número primos:
Considere a seguinte sentença:
“n∈∈∈∈N, n2 + n + 41 é um número primo”.
Esta sentença é verdadeira para n = 0, n = 1, e espantosamente é válida até que até n seja
igual a 40. No entanto, ela falha para n = 41, pois: 412 + 41 + 41 = 1763 não é um número primo,
isto é, 1763 é um número composto, pois é divisível por 41 e 43, ou seja: 1763 = 41 × 43. É
evidente que basta um exemplo de falha desta fórmula para mostrar que ela não é válida..
20.3.2.- Prova por Dissecação (Dissecção)
Dissecar é decompor os elementos ou a estrutura de algo, para melhor compreendê-lo ou
torná-lo compreensível. Um teorema que é comumente provado por dissecção (ou dissecação) é o
Teorema de Pitágoras.
20.3.2.1.- Exemplo:
Há mais de 40 maneiras de provar o Teorema de Pitágoras pelo método da dissecação. A
seguir iremos mostrar dois exemplos de prova deste teorema.
375
Teorema de Pitágoras “Num triângulo retângulo qualquer, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à
soma dos quadrados das medidas dos catetos”
Hipótese: Seja um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede “a” e os catetos medem “b” e “c”
Tese: Então é válida a seguinte relação: a2 = b2 + c2
Prova:
c a
b C A
B
Hipótese: Tese: a2 = b2 + c2
c
b - c
b + c
b
c
[2] Transformar em uma única figura:
Área= (b+c) ×××× b – (b–c) ×××× c = b2 + c2
c
[1] Sobrepor ao ����ABC os quadrados b2 e c2
Obtendo: Área Total = b2 + c2
b
b c
c a c
[5] Assim, de [1] e [4] podemos concluir que: a2 = b2 + c2 que é a Tese.
a a
[4] Área Final = a2
a a
b c
b
[3] Recortar e montar
�
�
c
a a
376
20.3.3.- Métodos Hipotético-Dedutivo – Modus Ponens
Esta é uma prova baseada unicamente em rigorosos argumentos lógicos e matemáticos
normalmente justificados através de linguagem natural envolvendo os elementos não definidos, os
axiomas e as eventuais definições de uma teoria. Normalmente, neste caso, é utilizada a regra de
inferência lógica conhecida como Modus Ponens (Afirmação do Antecedente):
Seja P ⇒ Q uma implicação lógica, onde P = {P1, P2, P3, ... , Pn} é um conjunto finito de
hipóteses, então a seguinte regra é, válida:
Q
QP
P
⇒, que significa, “Se ‘P’ e ‘P ⇒⇒⇒⇒ Q’ são válidas, então ‘Q’ é válida”.
���� Note que as proposições acima do traço são as premissas válidas, a proposição abaixo do
traço é a conclusão, validada pelas premissas.
Assim, a regra de inferência lógica Modus Ponens, pode ser reescrita, no nosso caso da
prova de Teoremas (na Lógica Matemática), como sendo:
Teorema:
‘Se P então Q’
Hipótese: P
Tese: Q
Prova: Mostra-se que a hipótese é verdadeira, isto é, “Se P é verdade então Q será verdade”.
Observação:
Uma outra regra de inferência que pode ser utilizada na prova de Teoremas é aquela
denominada Modus Tollens (Negação do Consequente):
Q
QP
P
¬
⇒
¬
, que significa: “Se ‘¬¬¬¬ P’ e ‘P ⇒⇒⇒⇒ Q’ são válidas, então ‘¬¬¬¬Q’ é válida”.
20.3.3.1.- Exemplo 1: Teorema do tipo P ⇒⇒⇒⇒ Q (implicação)
Teorema: Se n é um número inteiro ímpar então n2 é ímpar.
Em símbolos: ∀∀∀∀n∈∈∈∈ZZZZ, n ímpar ⇒⇒⇒⇒ n2 é ímpar.
377
Observações:
1. Não basta mostrar que a proposição vale para alguns valores de n: −5 × −5 = 25, −3 ×−3 =9,
−1 × −1 = 1, 1 × 1 = 1, 3 × 3 = 9, 5 × 5 = 25, 7 × 7 = 49 e assim por diante, é preciso provar
algebricamente que o Teorema é válido para todo n∈Z.
2. A prova algébrica deste Teorema envolve dois conceitos definidos:
2.1. Definição: ∀x∈Z é par se existir k∈Z tal que x = 2k.
2.2. Definição: ∀x∈Z é ímpar se existir k∈Z tal que x = 2k+1.
Prova:
Hipótese: n∈∈∈∈Z, n é ímpar Tese: n2 é ímpar
• Seja por hipótese n um número inteiro ímpar, então por definição n = 2k+1 para algum k inteiro.
• Seja tomar o quadrado de n: n2 = (2k+1)2 = 4k2 + 4k + 1 = 2(2k2+2k) + 1.
• Adotando 2k2+2k = K∈Z podemos escrever: n2 = 2K + 1, de onde pela definição podemos tirar que: n2 é um número inteiro ímpar.
• CQD
20.3.3.2.- Exemplo 2:
A prova de um teorema através de dedução lógico-algébrica a partir da consideração de um
conjunto de hipóteses comprovadas teoricamente, ou seja, o nosso Teorema é uma implicação do
tipo P ⇒ Q com P = {P1, P2, P3, ... , Pn} um conjunto finito de hipóteses.
Existem cinco e somente cinco classes de poliedros de Platão
Conjunto de Hipóteses:
(1) Os poliedros de Platão (THODI) são os seguintes: Tetraedro (4 faces) , Hexaedro
(6 faces) , Octaedro (oito faces), Dodecaedro (12 faces) e Icosaedro (20 faces).
(2) 2
FnA
×= (3)
2
VmA
×= (4) Fórmula de Eüler: 2FAV =+− ⇒⇒⇒⇒ 2AVF +=+
378
A = quantidade de arestas; F = quantidade de faces; V = quantidade de vértice
n = número de arestas na face; m = quantidade de arestas que partem de cada vértice
Prova:
1ª Parte: Dedução
• De (1) n
A2F = e de (2)
m
A2V = substituídos em (3): 2
22+=+ A
m
A
n
A ( ÷÷÷÷ A) ⇒⇒⇒⇒
⇒⇒⇒⇒Amn
21
22+=+ ⇒⇒⇒⇒
Amn
1
2
111=−+ ⇒⇒⇒⇒
Amn
mnnm 1
2
22=
−+ ⇒⇒⇒⇒
mnnm
mnA
−+=
22
2
Como A > 0 temos que ter: 3n ≥ e 3m ≥ ���� (VERIFICAR !)
• 2
FnA
×= ⇒⇒⇒⇒ FnA ×=2 ⇒⇒⇒⇒
n
AF
2=
• Sabe-se, por hipótese, que F = 4, 6, 8, 12, 20, que são poliedros conhecidos.
2ª Parte: Cálculos
• Seja tomar a equação: mnnm
mnA
−+=
22
2 e testá-la para todos os valores possíveis de
n e m tais que 3n ≥ e 3m ≥ :
a) m = n = 3 ⇒⇒⇒⇒ 966
18
−+=A = 6 ⇒⇒⇒⇒
3
12=F = 4 (Tetraedro)
b) m = 3 e n = 4 ⇒⇒⇒⇒ 1268
24
−+=A = 12 ⇒⇒⇒⇒
4
24=F = 6 (Hexaedro)
c) m = 4 e n = 3 ⇒⇒⇒⇒1268
24
−+=A = 12 ⇒⇒⇒⇒
3
24=F = 8 (Octaedro)
d) m = 3 e n = 5 ⇒⇒⇒⇒ 15610
30
−+=A = 30 ⇒⇒⇒⇒
5
60=F = 12 (Dodecaedro)
e) m = 5 e n = 3 ⇒⇒⇒⇒ 15106
30
−+=A = 30 ⇒⇒⇒⇒
3
60=F = 20 (Icosaedro)
f) m = n = 4 ⇒⇒⇒⇒ 1688
32
−+=A =
0
32 é um valor impossível.
Verifique porque não se deve continuar testando valores.
379
20.3.3.3.- Exemplo 3: Teorema do tipo P ⇔⇔⇔⇔ Q (bi-implicação ou equivalência)
Teorema: ax2 + bx + c = 0, a,b,c∈R, a≠0 ⇔⇔⇔⇔ a2
4acbbx
2 −±−= , a,b,c∈R, a≠0
Observação:
Provar este Teorema implica em provar a duas seguintes implicações:
(Ida: ⇒) ax2 + bx + c = 0, a,b,c∈R, a≠0 ⇒a2
4acbbx
2 −±−= , a,b,c∈R, a≠0
(Volta: ⇐) a2
4acbbx
2 −±−= , a,b,c∈R, a≠0 ⇒ ax2 + bx + c = 0, a,b,c∈R, a≠0
Como mera sugestão pedagógica, sugerimos que o educador aborde primeiramente a prova da
validade da volta deste teorema, por exigir menos ideias teóricas, enquanto a ida por ser mais
complexa e exigir conhecimentos algébricos bastante mais avançados, deve ser reservada para
uma aula especial em que os pré-requisitos sejam bem estudados ou revisados.
20.3.4.- Prova de Existência e Unicidade
A prova da existência e unicidade de alguma propriedade ocorre na Teoria das Equações
Diferenciais, no caso em que se demonstra que uma dada equação diferencial possui uma e somente
uma solução. No Cálculo I, há um teorema interessante em que se pretende provar que há um par de
funções reais de variáveis reais f (x) e g(x) tais que:
)()(
xgdx
xdf= e )(
)(xf
dx
xdg−=
isto é: a derivada de f(x) é igual a g(x) e a derivada de g(x) é igual a –f(x). Estas funções existem e
são f(x) = sen x e g(x) = cos x, tais que:
=dx
senxd )(cosx e senx
dx
xd−=
)(cos
e mais, não existe nenhuma outro par de funções que satisfaça este teorema.
Estes assuntos ultrapassam o nível deste nosso estudo. No entanto, há um teorema muito
interessante da Teoria dos Conjuntos, em que se pretende prova que o conjunto com nenhum
elemento (conjunto vazio) é único. Já a existência do conjunto vazio é garantida por definição.
380
Definição: O conjunto com nenhum elemento é denominado conjunto vazio e tem a seguinte notação: ∅
Teorema: Existe somente um conjunto com nenhum elemento, ou seja, o conjunto vazio é único.
Prova:
1. Suponhamos que ∅1 e ∅2 são conjuntos com nenhum elemento.
2. Sabe-se que ∅ ⊂ A, ∀A e mais, ∅ ⊂ ∅;
3. Como ∅1 e ∅2 são conjuntos vazios, podemos escrever: ∅1 ⊂ ∅2 e ∅2 ⊂ ∅1.
4. No entanto se ∅1 ⊂ ∅2 e ∅2 ⊂ ∅1 temos que ∅1 = ∅2 e ∅2 = ∅1 = ∅.
20.3.5.- Método Hipotético-Dedutivo – Prova por Contraposição
Este método leva em conta a seguinte equivalência da Lógica proposicional:
(P ⇒⇒⇒⇒ Q) ⇔⇔⇔⇔ (¬¬¬¬Q ⇒⇒⇒⇒ ¬¬¬¬P).
Dado um Teorema da forma "p implica q" podemos colocá-lo na forma contrapositiva: "q
não implica p" ou seja: “a negação de q implica a negação de p”. Não se deve confundir este tipo
de prova com a prova por contradição. Em resumo, os passos por provar um teorema através de
contraposição são os seguintes :
1. Escreva a declaração na forma: “p implica q” ou (p ⇒⇒⇒⇒ q);
2. Escreva a contrapositiva da declaração inicial: “não q não implica p” ou (¬¬¬¬q ⇒⇒⇒⇒ ¬¬¬¬p).
3. Prove a contraposição de forma direta.
4. Conclua que o teorema é verdadeiro, baseado na equivalência: (p⇒⇒⇒⇒q) ⇔⇔⇔⇔ (¬¬¬¬q⇒⇒⇒⇒¬¬¬¬p).
20.3.5.1.- Exemplo:
TEOREMA
P: “Se n2 é um número inteiro par” então Q: “n é um número par”.
A ser provado por contraposição, isto é: (P ⇒⇒⇒⇒ Q) ⇔⇔⇔⇔ (¬¬¬¬Q ⇒⇒⇒⇒ ¬¬¬¬P)
381
Prova:
1. Vamos negar que n seja um número par: ¬¬¬¬Q ≡ “n é um número ímpar” ou ¬¬¬¬Q ≡ “n não é um
número par”.
2. A contraposição da afirmativa P é: ¬¬¬¬P ≡ “Se n2 é um número inteiro ímpar”, então ¬¬¬¬P ≡ “n2 é
um número ímpar” ou ¬¬¬¬P ≡ “n2 não é um número par”.
3. Se n é um número inteiro ímpar então n = 2x + 1, x ∈Z (¬¬¬¬Q é verdadeira).
4. Vamos calcular o quadrado de n: n2 = (2x + 1)2 = 4 x 2 + 4 x + 1 = 2(2x 2 + 2x) + 1.
5. Fazendo (2x 2 + 2x) = y, y ∈Z iremos obter: n2 = 2(2x 2 + 2x) + 1 = 2y + 1 é um número ímpar
(¬¬¬¬P é verdadeira).
6. CQD - O teorema está provado.
20.3.5.- Método Indireto de Prova: Redução ao Absurdo/Por Contradição
A prova de teoremas por redução ao absurdo é um método de prova que se inicia por
estabelecer uma afirmativa contrária àquilo que se pretende provar. Esta afirmativa deve levar a
uma contradição, ou seja um absurdo. Assim o objeto da prova, antes negado e constatado como
falso, agora deve ser assumido como verdadeiro.
O Método de Prova de Teoremas por Redução ao Absurdo é também denominado Método
de Prova por Contradição.
O Método de Prova de Teoremas por Redução ao Absurdo é baseado na seguinte tautologia
da Lógica Predicativa: quer-se provar que: QP ⇒
então usa-se: Q))PP(Q( ⇒¬∧⇒¬ , onde P)(P ¬∧ é a contradição.
Teorema:
Se P então Q
Hipótese: P é verdade; Assumir ¬¬¬¬Q como verdade, por hipótese;
Tese: Q é verdade.
Se ¬¬¬¬Q acarreta uma contradição, isto é, P ∧∧∧∧¬¬¬¬P passam a ocorrer, então ¬¬¬¬Q é falsa, e pela Lei do Terceiro Excluído da Lógica Predicativa tem-se: Q é verdadeira.
20.3.5.1.- Exemplo 1:
TEOREMA: 2 é um número Irracional.
382
Prova:
• Vamos supor como hipótese que 2 é um número racional (o que contraria a tese do Teorema).
• Assim sendo, 2 pode ser escrito sob a forma de razão: 2 = b
a, com a,b∈Z, impondo-se
que mdc(a,b) = 1 (a e b não têm fatores comuns).
• Seja quadrar a expressão 2 = b
a ⇒ 2 =
2
2
b
a ⇒ 2b2 = a2.
• Temos que: 2b2 = a2 ⇔ a2 = 2b2 ,ou seja, a2 é um número par.
• Se a2 é um número par, então deve existir k∈Z tal que a = 2k.
• Se 2b2 = a2 e a = 2k então 2b2 = (2k)2 = 4k2.
• Mas se 2b2= 4k2 então b2 = 2k2 ou seja, fazendo k = 2K2, b = 2K,
• NOTA: Já provamos acima que: ‘Se b é ímpar b2 é ímpar’ (vide item 20.2.3.) e que ‘Se b é par b2 é par’ (vide item 19.2.4.) obtém-se que b também é par
• b2 = 2K implica que b é par,
• Se a e b são números pares temos que: mmc(a,b) = 2 ou seja, a e b têm como fator comum o 2 o que contraria a hipótese.
• Logo 2 é um número irracional. C.Q.D.
20.3.5.2.- Exemplo 2:
O conjunto vazio – um conjunto sem elementos – é subconjunto de todo e qualquer conjunto.
Em outras palavras: ∀A, ∅ ⊂ A.
Pré-requisito: Definição da inclusão um conjunto X é subconjunto ou está incluso no conjunto Y,
se e somente se, todos os elementos de X são elementos de Y, ou seja,
X ⊂ Y ⇔ ( ∀x∈X ⇒ x∈ Y),
Prova:
1. Seja estabelecer por hipótese que exista um conjunto A tal que o conjunto vazio não
esteja contido em A, isto é: ∃A, ∅ ⊄ A.
2. Pela definição de subconjunto, deve existir algum elemento x em ∅ tal que x ∉A.
3. No entanto, isto é um absurdo, pois ∅ não possui elementos.
383
4. Conclusão: Se ‘∃A, ∅ ⊄ A’ é falsa, temos que ‘¬∃A, ∅ ⊄ A’ é verdadeira, ou
mais: ∀A, ∅ ⊂ A é verdade.
20.3.6.2.2.- Corolário do Teorema anterior
∅∅∅∅ ⊂⊂⊂⊂ ∅∅∅∅
20.3.7.- A Indução Matemática
Muitos teoremas, fórmulas e propriedades que sejam verdadeiras para os números naturais
ou para alguma variável que possa assumir valores em N (conjunto dos números naturais) podem
ser provadas utilizando-se o método da Indução Finita Matemática ou o Princípio da Indução
Matemática:
Se P(0) é verdadeira e se para algum n∈N, P(n+1) é verdadeira sempre que P(n) for verdadeira,
então, P(n) é verdadeira para todo número inteiro N.
20.3.7.1.- Princípio de Indução Matemática – Um Exemplo
Provar que 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + n = 2
)1n(n +
20.3.7.1.1.- Prova:
•••• Provar a validade da fórmula consiste em mostrar que:
X = {x | x = 2
)1n(n +, para ∀n∈N } = N.
���� Vamos usar o princípio da Indução Finita:
(1) Verificar a validade para n = 0: x = 02
0
2
)10(0==
+ ⇒ 0 ∈∈∈∈ X
(2) Aceitar como hipótese que, para um dado k∈∈∈∈X: 1 + 2 + 3 + ... + k = 2
)1k(k +
(3) Verificar se a igualdade é válida para k + 1:
Será que 1 + 2 + 3 + ... + k + (k+1) = 2
)2k)(1k()1k(
2
)1k(k ++=++
+ é verdadeira?
���� Vejamos duas maneiras distintas de se mostrar a validade de (3)
384
1ª Maneira de provar a Fórmula:
•••• De (2) acima vamos supor por hipótese que: 1 + 2 + 3 + ... + k = 2
)1( +kk é verdade
•••• Adicionando (k+1) à igualdade: 1 + 2 + 3 + ... + k + (k+1) = 2
)1( +kk+ (k+1)
•••• 1 + 2 + 3 + ... + k + (k+1) = 2
)1(2)1( +++ kkk de onde colocando-se o fator (k+1) em
evidência, obtém-se, finalmente: 1 + 2 + 3 + ... + k + (k+1) =2
)2)(1( ++ kk que prova o
que queríamos.
2ª Maneira de Provar a Fórmula:
•••• Seja tomar: 1 + 2 + 3 + ... + k + (k+1) = 2
)2)(1( ++ kk
1 + 2 + 3 + ... + k + (k+1) = =++
2
)2)(1( kk=
+++
2
222 kkk
= =+
++
2
22
2
2 kkk
2
)1(2
2
)1( ++
+ kkk
•••• de onde 1 + 2 + 3 + ... + k + (k+1) = )1k(2
)1k(k++
+ e está provada a igualdade.
20.3.7.2.- Princípio de Indução Matemática – Um Contra-Exemplo
Dada a igualdade: 1 + 2 + 3+ 4 + 5 + ...+ (n - 1) + n = 3
12 2 +n,
mostre que apesar de P(0), P(1), ..., P(n) para um certo n finito, serem verdadeiras,
esta relação não é verdadeira para P(n+1).
Sugestão:
•••• Teste a relação para 1, 2 e 3, e diga o que pôde ser concluído.
•••• Veja que a adição de números inteiros deve sempre resultar um número inteiro, no entanto,
para n = 3: 3
19
3
132 2
=+×
, ou seja: 1 + 2 + 3 = 3
19 o que mostra que a fórmula é falsa.
•••• Basta que a fórmula falhe para um dado valor para aceitarmos que ela não é válida. Veja no
item a seguir a prova de que a igualdade é falsa por métodos algébricos.
385
20.3.7.2.- Prova Algébrica da Falsidade da uma Fórmula
Dada a igualdade: 1 + 2 + 3+ 4 + 5 + ...+(n - 1) + n = 3
12 2 +n,
mostre pelo método da indução finita matemática que ela é falsa.
20.3.7.2.1.- Prova:
•••• Seja adotar Soma(n) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ...+(n - 1) + n = 3
12 2 +n,
•••• Assim teremos para n = 1 que: Soma(1) = 13
112 2
=+×
,
•••• Se n = n−1 então:
Soma(n-1) = 3
1242
3
1)12(2
3
1)1(2 222 ++−=
++−=
+−× nnnnn=
3
342 2 +− nn
•••• Assim, iremos adotar como hipótese de indução: Soma(n-1) = 3
342 2 +− nn.
•••• Substituindo na igualdade original Soma(n) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ...(n - 1) + n= 3
12 2 +n, a
nossa hipótese de indução, teremos:
Soma(n) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ...+(n - 1) + n = 3
12 2 +n ⇒
⇒ Soma(n) = 3
342 2 +− nn + n =
3
12 2 +n, mas isto vai acarretar uma desigualdade, veja a
seguir:
3
342 2 +− nn + n =
3
12 2 +n ⇒
3
3342 2 nnn ++− =
3
12 2 +n ⇒
3
32 2 +− nn =
3
12 2 +n ⇒
3
212 2 ++− nn =
3
12 2 +n ⇒
3
12 2 +n +
3
2+− n =
3
12 2 +n
que é uma igualdade falsa, ou seja, uma desigualdade.
20.4.- Expressões Utilizadas na Teoria da Prova de Teoremas
Há algumas expressões e símbolos utilizados durante e ao final de demonstrações de
teoremas. Vamos analisar algumas delas a seguir.
386
20.4.1.- O que quer dizer “Sem perda de generalidade”
Ao provarmos um teorema podemos estabelecer hipóteses onde a variável envolvida é
apenas uma das muitas que poderiam escolhidas ou selecionadas. Na verdade, o que se vai provar
para aquela variável é válido para todas as demais, por extensão, e isto torna conveniente a menção
de “Seja supor sem perda de generalidade, que”: é uma hipótese que envolvendo apenas uma das
variáveis ou um dos valores pode ser estendida a todas as demais variáveis ou valores.
20.4.2.- O que significam C.Q.D. ou Q.E.D.
Q.E.D. (às vezes escrito QED) é a abreviatura da expressão Latina "quod erat
demonstrandum" ("como queríamos demonstrar") que em português corresponde a C.Q.D. (às
vezes escrito como CQD), normalmente é colocado no final de uma demonstração matemática para
indicar que ela foi completada. Um pequeno quadrado preenchido ou , ou então vazio �,
normalmente podem ser utilizados, com a mesma finalidade, em textos impressos.
20.5.- Concluindo
O educador poderá encontrar uma série de Teoremas muito interessantes na Teoria dos
Conjuntos. Provar estes teoremas produzirá oportunidades de aprendizagem bastante interessantes
sobre métodos de prova de Teoremas.
Num próximo JALGBR irmos utilizar vários exemplos de métodos de prova utilizados na
Teoria dos Conjuntos.