4.6.3 příhradové konstrukce - fsv Čvut --...

© Petr Kabele 2005-2013

4.6.3 Příhradové konstrukce

"Forth rail bridge head-on-panorama josh-von-staudach" by Josh von Staudach - Own work."The Forth Bridge seen from South Queensferry" by Kim Traynor - Own work.By Fotograf: Marcus Tschaut (Self-photographed)Licensed under Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 via Wikimedia Commons

Forth Bridge (1890) 2529 m

Akashi Kaikyō Bridge (1998)3911 m


Základní předpoklady

• konstrukce je vytvořena z přímých prutů

• pruty jsou navzájem pospojovány v bodech =>styčnících

• vzájemné spojení prutů se ve všech styčnícíchse předpokládá kloubové

• soustava je podepřena jen vnějšími vazbami, které zabraňují pouze posunu, a to výhradně ve styčnících


Příhrady: - prostorové- rovinné: všechny pruty leží v jedné rovině

zatížení působí ve stejné rovině

Zatížení: -styčníkové

vznikají pouze osové =normálovésíly (konstantní po délce prutu)

-mimostyčníkové– pro výpočet osových sil v ostatníchprutech lze převést na ekvivalentní zatížení do styčníků

FFr1 Fr2

l1 l2 F=Fr1+Fr2

-Fl1= -Fr2(l1+l2)1 1

Pozor: prut 1 namáhán i ohybem!!


Schématické zakreslování příhradových konstrukcí

• zakreslujeme pouze pruty• každý průsečík prutů považujeme za styčník

f 6 g 7 h

5 89 10 11 12 13

a e1 b 2 c 3 d 4

f 6 g 7 h

5 89 10 11 12 13

a e1 b 2 c 3 d 4

• křížení prutů, které nejsou navzájem spojené, označíme obloučkem


Statická určitost rovinných příhradových soustav

• jednotlivé styčníky pokládáme za hmotné bodya na pruty soustavy pohlížíme jako na vnitřní vazby-kyvné pruty

• každý styčník (bod) má 2 stupně volnosti• každý prut odebírá soustavě 1 st. volnosti

sn= p + rext – n·2

sn… stupeň statické neurčitosti soustavyn… počet styčníkůp… počet prutůrext… počet odebraných stupňů volnosti vnějšími vazbami

f 6 g 7 h

5 89 10 11 12 13

a e1 b 2 c 3 d 4


Stupně volnosti Podepření staticky

Podepření kinematicky

Pozn.

sn = 0 (m = r)

a rext ≥ 3 a není výjimkový případ

určité určité kce. vč. všech jejích částí

pevně podepřena

sn > 0 (m < r) a rext ≥ 3 a

není výjimkový případ neurčité přeurčité

kce. vč. všech jejích částí pevně podepřena

sn < 0 (m > r) a/nebo rext < 3 a/nebo

výjimkový případ přeurčité neurčité

kce. nebo její část může samovolně změnit polohu

• statická/kinematická určitost příhradové soustavy

• posouzení vnějšího podepření

�rovinná příhradová soustava má minimálně 3 stupně volnosti

(min. 3 styčníky spojené 3 pruty ... m = 3)

�aby vnější vazby zamezily přemístění konstrukce, musí odebírat

soustavě nejméně 3 stupně volnosti (rext≥ 3)


• výjimkový případ podepření: přestože počet vnějších vazeb

i prutů příhrady je dostatečný k odebrání všech stupňů

volnosti konstrukce (r ≥ m, rext≥ 3) , jejich nevhodné

uspořádání nezabraňuje skutečným či nekonečně malým

posunům/pootočením konstrukce nebo její části


Posuďte statickou určitost zadané příhradové konstrukce

f 6 g 7 h

5 89 10 11 12 13

a e1 b 2 c 3 d 4

sn = 13.1 + (2+1) – 8.2 = 16 – 16 = 0

staticky i kinematicky určitá kce

f 6 g 7 h 5 10 12 15 17 8 9 14 19 11 j 13 16 k 18 a e 1 b 2 c 3 d 4

sn = 19.1 + (2+1) – 10.2 = 22 – 20 = 2

2x staticky neurčitá/kinematicky přeurčitá kce

f 6 g 7 h

5 89 10 11 12 13

a e1 b 2 c 3 d 4

sn = 13.1 + (2+2) – 8.2 = 17 – 16 = 1

1x staticky neurčitá/kinematicky přeurčitá kce


= =

• Ze základního trojúhelníka lze vytvořit složitější soustavu se třemi nepodepřenými stupni volnosti (tuhou desku) připojením dalších styčníku (hmotných bodů) vždy pomocí dvou příhradových prutů, např.

Poznámka:•Tři příhradové pruty navzájem propojené do trojúhelníka tvoří soustavu se třemi nepodepřenými stupni volnosti (sn= 3·1 – 3·2 = – 3) - v podstatě tvoří tuhou desku.

sn= 5·1 – 4·2 = – 3sn= 3·1 – 3·2 = – 3 sn= 7·1 – 5·2 = – 3 sn= 9·1 – 6·2 = – 3


f 5 g 6 h

4 78 9 10 11 12

a e1 b c 2 d 3

f

8 9 10 11 12

a e

sn = 2 + (2+2) – 2·3 = 6 – 6 = 0

Př.

sn = 12·1 + (2+2) – 8·2= 16 – 16 = 0

• Příhradovou soustavu si pak lze představit jako složenou soustavu sestavenou z tuhýchdesek a můžeme počítat

sn = v + rext – d·3d… počet desekv… počet stupňů volnosti odebraných vnitřními vazbami (klouby, kyvné pruty, …)rext… počet stupňů volnosti odebraných vnějšími vazbami


f 6 g 7 h

5 10 12 15 89 14 16

11 j 13a e

1 b 2 c 3 d 4

sn = (16·1) + (2) – (9 ·2) = 18 – 18 = 0

Výjimkové případy

sn = 0 avšak rext = 2 ≤ 3⇒soustava se může volně pootáčet kolem bodu a

f g 6 h

5 78 9 10 11 12

a e1 b 2 c 3 d 4

sn = 12 ·1 + (2+2) – 8 ·2 = 16 – 16 = 0

sn = 0 a rext = 4 ≥ 3 avšak det[D] = 0 ⇒soustava je výjimkovým případem

8 10 11 12 a e c


Řešení vnějších reakcí a prutových sil:obecná metoda styčných bodů

• Příhradová soustava je staticky určitá.

• Příhradová soustava je řešena jako složená soustava sestavená z hmotných bodů.

• Účinek vnějších vazeb se nahradí odpovídajícími nezávislými složkami reakcí.

• Účinek vnitřních vazeb (příhradových prutů) se nahradí prutovými (osovými/normálovými) silami Ni tak, že kladná síla odpovídá taženému prutu.


• Má-li být celá příhradová soustava v rovnováze, musí být v rovnováze i každý styčník (hmotný bod) soustavy.

• V každém styčníku sestavíme 2 silové podmínky rovnováhy.

• Podmínky rovnováhy všech styčníků (n hmotných bodů) stačí k určení všech prutových sil (p) i všech nezávislých složek vnějších reakcí (rext):2n = p + rext

obecně soustava 2n rovnic


Př 1:


Dvojným styčníkemse nazývá styčník, ve kterém působí (kromě známých sil) právě 2 neznámé osové síly, případně složky reakcí

Použití zjednodušené metody styčných bodů vyžaduje, aby vřešené příhradové soustavě byl alespoň jeden dvojný styčník.

U většiny příhradových soustav na počátku řešení dvojný styčník neexistuje, proto se provádějí postupy, pomocí kterých se dvojný styčník vytvoří:

• U celé řady příhradových soustav se dvojný styčník získá tak, že z podmínek rovnováhy soustavy jako celku se určí vnější reakce.

• Použitím další metody řešení - metody průsečné.

Zjednodušení (zjednodušená metoda styčných bodů):•použijeme princip obecné metody styčných bodů•řešení provádíme postupně tak, že řešíme vždy 2 rovnice pro 2 neznámé (ve dvojnémstyčníku)


Nq Nr

j

Np Ns

Nq j

Np Nr

Nq

j

Np Nr

Nq

j

Nr

Zvláštní typy styčníků

Np = Nr Nq = Ns Nr = 0 Nq = 0

Np = Nr Nq = 0 Nq = 0 Np = Nr


Řešení vnějších reakcí a prutových sil:průsečná metoda

• Má-li být celá příhradová soustava v rovnováze, musí být v rovnováze i každá její část

• Postup řešení:- U řešené příhradové soustavy musí být určeno vnější zatížení a vypočteny nutné

vnější reakce.- Soustavu rozdělíme řezem na 2 samostatné částitak, aby proťal právě 3 pruty- Účinek přerušených prutů nahradíme neznámými prutovými silami- Ze tří statických podmínek rovnováhy na jedné části vyřešíme 3 neznámé prutové

síly.15 kN 15 kN

xg 10 kN e N5 f

zg N8

I IIN8

Ax a b N2 N2 c d

Az 5 kN D

I II

5 2 8 2 2

8 2 2

5

1,50

1,5 2,5

2,515 0

1,5 2,5

2,5 2 0

N N N

N D

N D

→ − − − ⋅ =+

↓ − ⋅ + + =+

∩ − =


Obvyklé použití:• Kontrola výpočtu osových sil• Výpočet vybraných sil• Startovací metoda pro jiné způsoby řešení

Poznámka:• Řez lze vést i tak, že přeruší n>3 prutů, z nichž n-1 se protíná v

jediném bodě (přidružený momentový střed)

• Potom lze vypočítat sílu ve zbývajícím prutu z momentové podmínkyk přidruženému momentovému středu.(momentová podmínka k nevlastnímu bodu (→ ∞) přecházív součtovou podmínku)

1

a

N1=...


15 kN 15 kN

10 kN e 5 f

4 2,5 m7 8 9 6

a1 b 2 c 3 d

5 kN2 m 1,5 m 2 m

sn = 9 + (2+1) - 2.6 = 12 – 12 = 0

Př 2.


15 kN 15 kN

xg 10 kN e N5 f

zg N4 N8 N6

N7 N9 N6

N4 N8

Ax N1 N1 b N2 N2 c N3 N3 d

Az 5 kN D

2 21.5

2.5

N 1 N 2 N 3 N 4 N 5 N 6 N 7 N 8 N 9HODNOTA [kN] 20,91 20,909 17,09 -17,467 -17,091 -27,361 5 -7,4187 6,3625

OSOVÁ SÍLA Np

Ax= -10 kNAz= -13,637 kND = -21,363 kN

15 kN 15 kN

10 kN e 5 f

4 2,5 m7 8 9 6

a1 b 2 c 3 d

5 kN2 m 1,5 m 2 m

l4=l 6=3.20156 ml8= 2.91548 m


Př. 3:Pro zadanou příhradovou konstrukci posuďte statickou určitost a vypočítejtea) všechny vnější reakceb) osové síly v prutech 12, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21 a 22.V obrázku zakreslete uvažované směry a orientace reakcí a osových sil. Vždy napište podmínky rovnováhy , ze kterých při výpočtu vycházíte. Výsledné reakce vykreslete do zvláštního obrázku. U každé vypočtené prutové síly určete, zda je tahová či tlaková.

sn = 22 + 2·2 - 13 ·2 = 0

Konstrukce je staticky i kinematicky určitá.


a) Vnější reakce

Konstrukce je vně staticky neurčitá.

Tvoří ji však 2 tuhé desky vnitřně spojené kloubem ... uspořádání trojkloubového rámu.

Rx

Rz

Sx

Sz

TxTz Tx

Tz


Rx

Rz

Sx

Sz

Tx

Tz Tx

Tz

9

(kN)

9 9

5

5

b

t

I. II.

I.


b) Osové síly v prutech 12, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21 a 22.


Výpočet začneme od nejjednodušších prutů:

Sx

Sz


Pruty 17, 18, 19: průsečná metoda

SxSz

c

d


Prut 20 ... dvojný styčník d:

SxSz

c

d

Pruty 16 a 15 ... dvojný styčník e:

ef

Prut 12 ... styčník f:


(kN)

+ tah- tlak

Výsledky:


Tento dokument je určen výhradně jako doplněk k přednáškám z předmětuStavební mechanika 1 pro studenty Stavební fakulty ČVUT v Praze.Dokument je průběžně doplňován, opravován a aktualizován a i přes veškerou snahu autora může obsahovat nepřesnosti a chyby.

Připraveno s použitím materiálů poskytnutých doc. Ing. Michalem Polákem, CSc.

Datum poslední revize: 10.12.2013

4.6.3 příhradové konstrukce - fsv Čvut --...

Documents