Bài Tập ToPo-Độ đo-Tích Phân Lebesgue

Học viên :Vũ Duy ThắngGiữa kì: * Lý thuyết có CM: Các câu: 4,5,8,13,16 * Các câu không CM: 2,10,12,15,18 Cuối kì: * Có CM: 20,21,27,34,35,40 * Không CM: 19,26,33,37,39 * Bài tập:             + Chương 5: Từ BÀI 1 --> BÀI 5             + Chương 6: Từ BÀI 1 --> BÀI 6             + Chương 7: Từ BÀI 1 --> BÀI 4

Tài liệu tham khảo1.Giáo trình Độ đo-Tích phân ĐHKHTN2.Bài tập Độ đo-Tích phân-Thày Đỗ Đức Thái3.Bài tập Topo-Độ đo-Tích phân(giáo trình bên ĐHSPHN)

Phần Đề Bài Tập

I.Độ ĐoBài 1Giả sử là các tập đo được Lebesgue(L) trong đoạn thỏa mãn

.Chứng minh

Bài 2Cho là một dãy tăng các tập đo được L của thỏa mãn

.

Chứng minh

Bài 3Cho là dãy tăng các tập đo được với .

Có thể kết luận được không?

Giải

Ví dụ thì song

Bài 4

Nếu là 1 tập đo được L với thì trong E có thể tìm được các điểm có khoảng cách giữa chúng là số vô tỷ.GiảiLấy cố định,vì nên E ko đếm được.

Xét tập A= với d là khoảng cách thông thường.Do nên A cũng có lực lượng continum(ko đếm được) vì thế ko phải mọi phần tử của A là số hữu tỷ->đpcmBài 5Cho tập không đếm được X.Xét ko quá đếm đượcXác định hàm tập trên như sau

Chứng minh là một -đại số và là một độ đo.Bài 6Cho A,B là các tập đo được theo độ đo .Chứng minh

II.Hàm đo được-Tích phân Lebesgue

Bài 1:Cho ví dụ hàm đo được trên E thì f(x) không nhất thiết đo được trên EBài 2

Cho dãy hàm trên A.Chứng minh nếu thì .

Cho ví dụ nếu bỏ giả thiết thì kết luận ko còn đúng nữa.Giải

ta chứng minh

Có với Vì nên

(đpcm)

Phản ví dụ (nếu bỏ giả thiết thì kết luận ko còn đúng)Ví dụ

Cho

Ta có song ko suy ra được

Bài 3Giả sử A là tập đo được có .Chứng minh

trên A

Cho ví dụ nếu bỏ giả thiết thì kết luận ko còn đúng.Giải

Nếu theo bài 2 ta có

Nếu ta có hơn nữa và nên

theo định lý Lebesgue hội tụ bị chặn đều ta có

Ví dụ

Xét dãy hàm thì

Bài 4Cho đo được trên A.Chứng minh các điều sau là tương đươngi)f khả tích L trên A

ii) hội tụ

iii) hội tụ

với

Giải

Bài 5

Cho f khả tích L trên A.Đặt .Chứng minh

Bài 6Giả sử là không gian đo hữu hạn.Đặt

1.Chứng minh nếu thì sự hội tụ theo d tương đương sự hôi tụ theo độ đo2.Chứng minh không gian là không gian metric đầy nếu đồng nhất các hàm với các lớp tương đương của nóGiải1.