GRAFICA DE UNA FUNCIÓN DE VARIAS VARIABLES

UNIDAD NOMBRE TEMAS

4

Funciones vectorial de

varias variables

4.2 Gráfica de una función de dos variables

Definición (funciones de dos variables)

Sea , si a cada par ordenado hacemos corresponder un

número real , entonces decimos que es una función de e ,

y escribimos . Al conjunto lo llamaremos dominio de y

al correspondiente conjunto de valores lo llamamos recorrido

de . Llamaremos a las variables e variables independientes y a la variable variable dependiente.

Observación : de manera análoga podemos definir funciones de tres o mqs

variables, . En todo caso el dominio será un subconjunto de y el recorrido un subconjunto de . Para efectos del curso nos limitaremos

ha estudiar los casos .

Ejemplo 1

Hallar y dibujar el dominio de las siguientes funciones

1.

2.

Solución

Para hallar el dominio de recuerde que el argumento de una raíz cuadrada debe ser positivo o cero :

Lo cual corresponde al interior de un círculo de radio 3, como se muestra en la figura 1.

Figura 1: dominio de f(x,y)

Para hallar el dominio de recuerde que en un cociente el denominador no puede ser cero, por lo que el argumento del radical debe ser positivo :

Lo cual corresponde al exterior de la parábola , sin incluir la parábola misma, esto se muestra en la figura 2.

Figura 1: dominio de g(x,y)

Las funciones de varias variables pueden combinarse de la misma forma que lo hacemos con las funciones de una variable

Suma y resta:

Producto:

Cociente:

La función compuesta dada por se define solamente si es una

función de dos variables y una función de una única variable. En este caso

Para todo par en el dominio de . Por ejemplo, la función

Puede verse como la composición de la función de dos variables

y la función de una variable

Una función que puede expresarse como suma de funciones de la forma

(donde es un número real, son enteros positivos) se conoce como función poli nómica de dos varibles.Por ejemplo, la función

es una función poli nómica.

Y una función racional es el cociente de dos funciones poli nómicas.

Ejemplo 2

Determine el dominio de la función

Solución

Como cada uno de los radicales debe ser no negativo, tenemos que

Lo cual corresponde al anillo que se muestra en la figura 3.

Figura 3: dominio de f(x,y)

Bibliografía: Libro: Cálculo Tomo II Autor: Roland E. Hostetler Robert P. Editorial: Grupo Editorial Iberoamericano Libro: Cálculo con Geometría Analítica Autor: Swokowski Earl W. Editorial: Grupo Editorial Iberoamericano