4. TEORIJA NAPONA I DEFORMACIJA

4.1. NAPONSKO STANJE U TA^KIProces obrade metala deformisanjem dovodi do prmene po~etnog oblika metala u kona~ni, i

to pod dejstvom spolja{njih sila. Sile koje dejstvuju na izdvojeni deo neprekidne sredine, mogu dase jave u dva vida, i to: sile koje dejstvuju na svaki deo zapremine V- zapreminske sile i sile kojedejstvuju na svaki element A neprekidne sredine- povr{inske sile 1, 3, 4, 18, 19, 26, 32, 34, 58, 61,70, 71.

U mehanici neprekidne sredine razmatra se i izu~ava relativno pomeranje malih ~esticasredine, koje se pretpostavljaju makroskopski malim, tj. sadr`e veoma veliki broj molekula 26,62.U isto vreme te ~estice treba da budu male, tj. da predstavljaju materijalnu ta~ku. Dimenzije~estice neprekidne sredine, uzete za materijalnu ta~ku, mogu biti veoma razli~ite, po{to zavise oduslova kretanja sredine.

Na ~esticu neprekidne sredine, kao {to je napred re~eno, dejstvuju zapreminske i povr{inskesile. Ipak, osnovnu ulogu u mehanici neprekidne sredine ne igraju zapreminske (sile te`e, inercije),ve} povr{inske sile (me|usobni pritisak ~vrstih tela, pritisak te~nosti, sile trenja,…). Povr{inske silesu raspodeljene po povr{ini neprekidne sredine, ili po povr{ini dodira materijalnih ~estica. Te sile sejavljaju kao sile uzajamnog dejstva, pa stoga zavise od orijentacije povr{ine na koju dejstvuju.

Usled dejstva spolja{njih sila u neprekidnoj sredini se javljaju sile reakcije, koje su poanalogiji s prvim nazvane unutra{nje sile. Ako se telo nalazi u ravnote`i, to su spolja{nje iunutra{nje sile tako|e u ravnote`i.

Veli~ina unutra{njih sila, koja se odnosi ka jedinici povr{ine, predstavlja gustinu npr

povr{inskih sila, a naziva se napon. Ako se sa Fr

∆ ozna~i elementarna povr{inska sila, kojadejstvuje na elementarnu povr{inu A∆ sa normalom n

r, to je ukupni napon koji dejstvuje na

povr{inu A∆ jednak:

dA

Fd

A

Fp lim

0An

rrr

=∆∆

=→∆

(4.1)

Ukupni napon npr

u op{tem slu~aju nije paralelan sa normalom nr

. Stoga, mo`e da se

razlo`i na dve komponente, i to: nnpr

− paralelno sa nr

i τnpr

− tangencijalno k povr{ini dA.

Projekcija nnpr

naziva se normalni napon ili normalni pritisak, a τnpr

tangencijalni napon, ili, uslu~aju te~nosti, sila unutra{njeg trenja.

Naponsko stanje neprekidne sredine u ta~ki je poznato, ako je poznat napon na bilo kojojpovr{ini, koja prolazi kroz datu ta~ku. Vektor ukupnog napona np

r, koji dejstvuje na povr{inu dA sa

normalom nr

, predstavlja vektorsku funkciju ta~ke i orijentacije povr{ine na kojoj se posmatranapon, tj.:

npr

= npr

( rr

, nr

) (4.2)

Vektor ukupnog napona npr

zavisi od orijentacije povr{ine dA, tj. od pravca normale nr

.

Ako je normala nr

− ka povr{ini dA, u tom slu~aju je ukupni napon po apsolutnoj vrednosti jednaknaponu np

r za povr{inu sa normalom n

r, ali suprotnog znaka, tj.:

nn pprr

−=−

Vektor ukupnog napona u principu ne predstavlja karakteristiku naponskog stanja sredine uta~ki, po{to je isti razli~it za razne ta~ke tela, a tako|e i za razli~ite ravni kroz jednu ta~ku tela. Zadefinisanje naponskog stanja sredine u ta~ki potrebno je da se uvede jednozna~na funkcija ta~ke,koja ne zavisi od orijentacije povr{ine i u isto vreme dozvoljava da se izra~una napon u bilo kojojpovr{ini s normalom n

r. Takva veli~ina na\iva se tenzorom i javlja se nekim uop{tenim vektorom.

Ako je tenzor odre|en trima vektorima kpr

, i ako se razlo`e ti vektori u pravcu koordinatnih

osa po baznim vektorima (sl. 4.1) dobija se 26,62:

kpjpipp 1312111

rrrr⋅+⋅+⋅=

kpjpipp

kpjpipp

3332313

2322212rrrrr

rrrr

⋅+⋅+⋅=

⋅+⋅+⋅=(4.3)

gde su:

Pij − projekcije vektora 321 p,p,prrr

na ose Ox, Oy, Oz za koje mo`e da se uvede slede}e

uop{teno ozna~avanje:

P11 = σ11 = σx P12 = σ12 = τxy P13 = σ13 = τxz

P21 = σ21 = τzx P22 = σ22 = σy P23 = σ23 = τyz (4.4)

P31 = σ31 = τzx P32 = σ32 = τzy P33 = σ33 = σz

Projekcije Pij za i=j predstavljaju normalne komponente napona, a projekcije Pij za i≠j sutangencijalni komponentni naponi.

kr

z nr

1pr

y jr

npr

x ir

2pr

3pr

SLIKA 4.1

Iz izraza (4.3) sledi da tenzor napona mo`e biti odre|en sa devet brojeva, koji se nazivajukomponente tenzora napona. Tenzor napona napisan u tabli~nom obliku, uz zamenu izraza (4.4),glasi:

zzyzx

yzyyx

xzxyx

T

στττστττσ

=σ (4.5)

ili u drugom vidu pri razlaganju po baznim vektorima:

dzz

zz ∂

σ∂+σ

dyy

yy ∂

σ∂+σ

dxx

xx ∂

σ∂+σ

dyyzy

zy ∂

τ∂+τ

dyyxy

xy ∂

τ∂+τ

dxxzx

zx ∂τ∂

+τ

dzzyz

yz ∂τ∂

+τ

dzzxz

xz ∂τ∂

+τ

dxxyx

yx ∂τ∂

+τ

τxz

τyz

σz

σy

τzy

τxy

τyx

τzx

σx

321 pkpjpiTrrrsrr

⋅+⋅+⋅=σ (4.6)

Izraz (4.6) predstavlja afini ortogonalni tenzor drugog ranga u trodimenzionalnom prostoru,i to dat u dijadskom obliku. Tenzor drugog ranga ima 32 = 9 komponenata, za razliku od vektora,koji predstavlja tenzor prvog ranga i ima 31 = 3 komponente, odnosno skalara koji je tenzor nultogranga i ima 30 = 1 broj.

Tenzor odre|en izrazom (4.5) odnosno izrazom (4.6), odre|uje naponsko stanje u zadatojta~ki tela, pa se zato naziva tenzor napona. Vektor ukupnog napona predstavlja skalarni proizvodvektora i tenzor napona:

σ⋅= Tnpn

rr (4.7)

Komponente tenzora napona σij (i,j = 1,2,3) predstavljaju komponentne napone ukoordinatnim ravnima (sl. 4.2). Za ta~ku A komponentni naponi σij su ozna~eni na trima ravnima,koje prolaze kroz tu ta~ku, a paralelne su koordinatnim ravnima. Prvi indeks, u ozna~avanjukomponentnih napona, ukazuje na koordinatnu osu u pravcu koje dejstvuje npon, a drugi indekskoordinatnu osu koja je normalna na povr{inu u kojoj dejstvuje napon.

SLIKA 4.2

Normalni napon se ra~una pozitivnim ako izaziva istezanje, a negativan ako izaziva pritisak.Znak tangencijalnog napona je pozitivan ukoliko se poklapa sa pozitivnim pravcem koordinatneose, a da je pri tome i iste`u}i normalni napon u smeru pozitivne ose. Ako je normalni naponsuprotno orijentisan, tangencijalni napon }e biti pozitivan ako se njegov pravac poklapa sanegativnim delom odgovaraju}e koordinatne ose.

Tenzor napona Tσ predstavlja simetri~an tenzor. Naime, prema stavu o konjugovanostitangencijalnih napona, koji su simetri~ni u odnosu na glavnu dijagonalu, jednaki su me|usobno1,26:

τxy = τyx ; τxz = τzx ; τyz = τzy (4.8)

Na osnovu napred iznetog, za poznavanje naponskog stanja u bilo kojoj ta~ki napregnutogtela, dovoljno je da se znaju tri normalna i tri tangencijalna komponentna napona. Komponentetenzora napona karakteri{u unutra{nje sile koje dejstvuju u neprekidnoj sredini. Te komponente semenjaju u toku vremena, kao i pri prelazu od jedne ta~ke prostora ka drugoj. Stoga se komponentetenzora napona javljaju funkcijama vremena i koordinata. Ako se iste posmatraju u odre|enomtrenutku mogu se smatrati kontinualnim funkcijama koordinata:

Pn = Pn (x,y,z) σij = σij (x,y,z)

Pa se mogu tra`iti njihovi izvodi i diferencijali prvog i vi{eg reda.

4.2. GLAVNI NORMALNI NAPONI

Vektor ukupnog napona npr

, koji dejstvuje u proizvoljno orijentisanoj ravni sa normalom nr

(sl. 4.3) odre|en je izrazom (4.7).

Zamenom izraza (4.3), uz primenu izraza (4.4), u izraz (4.7) dobija se:

)pkpjpi()kajaia(p 321zyxnrrrrrrrrrr

⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅=

odnosno, posle sre|ivanja:

k)aaa(

j)aaa(i)aaa(p

zzyzyxzx

zyzyyxyxzxzyxyxxnr

rrr

⋅⋅σ+⋅τ+⋅τ+

+⋅⋅τ+⋅σ+⋅τ+⋅⋅τ+⋅τ+⋅σ= (4.9)

gde su:

ax = cos ( n,x ) ; ay = cos ( n,y ) ; az = cos ( n,z ) .

Projekcije ukupnog vektora npr

u pravcima koordinatnih osa (sl. 4.3) odre|ene su Ko{i-jevim jedna~inama, koje daju vezu izme|u unutra{njih sila na granici ~vrstog tela i spolja{njih silakoje dejstvuju na tu povr{inu, pa se zato nazivaju i konturni uslovi:

zzyzyxzxnz

zyzyyxyxny

zxzyxyxxnx

aaap

aaap

aaap

⋅σ+⋅τ+⋅τ=

⋅τ+⋅σ+⋅τ=

⋅τ+⋅τ+⋅σ=

(4.10)

U izrazima (4.10) σij su komponente tenzora napona. Te komponente se javljaju na trimauzajamno upravnim ravnima, koje prolaze kroz ta~ku O.

z

pnz σn nr

τxy

σy M npr

τzy τn pny

pnx τxz

τyz

σz

SLIKA 4.3

Napred izneta analiza pokazuje da, ako su poznati naponi u tri uzajamno upravne ravni, kojeprolaze kroz datu ta~ku, mo`e da se odredi napon u bilo kojoj nagnutoj ravni koja prolazi kroz istuta~ku, kao i projekcije tog napona u pravcu koordinatnih osa.

Ako se vektor ukupnog napona npr

projektuje u pravcu normale nr

nagnute ravni, dobija senormalni napon, koji dejstvuje na razmatranu povr{inu, u obliku:

znzynyxnxn apapap ⋅+⋅+⋅=σ

odnosno:

xzzxzyyz

yxxy2zz

2yy

2xxn

aa2aa2

aa2aaa

⋅⋅τ+⋅⋅τ+

+⋅⋅τ+⋅σ+⋅σ+⋅σ=σ(4.11)

Veli~ina tangencijalnog napona τn (sl. 4.3) odre|ena je izrazom:

2n

2nn p σ−=τ (4.12)

gde je:

2nz

2ny

2nx

2n pppp ++= (4.12 a)

Vektor ukupnog napona npr

mo`e da bude paralelan sa normalom nr

neke ravni koja

prolazi kroz ta~ku. Ako je npr

nr

(sl. 4.3) dobi}e se samo normalna projekcija σn vektora npr

, dok

}e tangencijalni napon τn biti jednak nuli. Pravac vektora nr

, u tom slu~aju, naziva se glavni pravac,ili glavna osa tenzora, a vektor np

r mo`e da se izrazi preko vektora normale n

r i veli~ine σλ, koja

predstavlja glavni normalni napon za razmatranu ravan:

npn

rr⋅σ= λ (4.13)

Projekcije vektora ukupnog napona po izrazu (4.13) treba da su jednake projekcijama poizrazu (4.10). Izjedna~avanjem tih jedna~ina dobija se sistem od tri linearne jednorodne jedna~inesa ~etiri nepoznate ax , ay , az i λ koje odgovaraju glavnom pravcu. Sistem tih jedna~ina glasi:

( )( )

( ) 0aaa

0aaa

0aaa

zzyzyxzx

zyzyyxyx

zxzyxyxx

=⋅σ−σ+⋅τ+⋅τ

=⋅τ+⋅σ−σ+⋅τ

=⋅τ+⋅τ+⋅σ−σ

λ

λ

λ

(4.14)

^etvrta nepoznata u sistemu jedna~ina (4.14) dobija se iz uslovne jedna~ine za kosinusesmerova 69:

1aaa 2z

2y

2x =++ (4.14 a)

Da bi sistem jedna~ina (4.14) imao re{enja za nepoznate razli~ite od nule, determinantaobrazovana od koeficijenata sistema treba da bude jednaka nuli. Ta jednakost predstavlja kubnujedna~inu i naziva se karakteristi~nom jedna~inom tenzora napona, a glasi:

0III 322

13 =−σ⋅+σ⋅−σ λλλ (4.15)

Veli~ina σλ se javlja skalarom i zato ne zavisi od izbora koordinatnog sistema. Stoga jeneophodno da se i koeficijenti I1 , I2 , I3 kubne jedna~ine (4.15) ne menjaju pri promenikoordinatnog sistema. Takve veli~ine se nazivaju invarijantama. Invarijante simetri~nog tenzoradrugog ranga, i to: prva (linearna), druga (kvadratna) i tre}a (kubna) date su izrazima:

zzyzx

yzyyx

xzxyx

3

yyx

xyx

zzx

xzx

zzy

yzy2

zyx1

)T(I

)T(I

)T(I

στττστττσ

=

σττσ

+σττσ

+σττσ

=

σ+σ+σ=

σ

σ

σ

(4.16)

ili u sistemu glavnih osa:

3213

1332212

3211

)T(I

)T(I

)T(I

σ⋅σ⋅σ=σ⋅σ+σ⋅σ+σ⋅σ=

σ+σ+σ=

σ

σ

σ

(4.16 a)

gde su:

σ1 , σ2 , σ3 - tri korena kubne jedna~ine (4.15), koji se nazivaju glavni normalni naponi.

Tenzor napona izra`en preko glavnih normalnih napona je:

3

2

1

00

00

00

T

σσ

σ=σ (4.17)

Pri zapreminskom naponskom stanju neprekidne sredine kroz svaku ta~ku mogu da sepovuku tri me|usobno upravne ravni na kojima dejstvuju samo glavni normalni naponi σ1 , σ2 i σ3 ,a odsustvuju tangencijalni naponi. Te ravni se nazivaju glavne ravni.

Tre}ina prve invarijante tenzora napona naziva se srednji normalni napon, ili hidrostati~kipritisak:

p3)(3)T(I zyx1 −=σ+σ+σ==σ σ (4.18)

gde su:

σ − srednji normalni napon i

p − hidrostati~ki pritisak.

Ako su glavni normalni naponi u nekoj ta~ki jednaki me|usobno, i ako su pri tome jednaki isrednjem normalnom naponu, onda je naponsko stanje u toj ta~ki odre|eno sferi~nim tenzorom

napona sTσ :

σ⋅δ=σ

σσ

=σ ijs

00

00

00

T (4.18 a)

gde je :

δij = 1 za i=j i δij = 0 za i≠j −Kroneker-ov simbol.

Simbol Kroneker-a predstavlja jedini~ni tenzor drugog ranga, ~ije su komponente kosinusiuglova izme|u istoimenih osa Dekartovog koordinatnog sistema, tj.:

kjij iirr

⋅=δ .

4.3. ELIPSOID NAPONA

Neka se posmatra vektor ukupog napona npr

u sistemu glavnih osa, tj. u koordinatnomsistemu ~ije se ose poklapaju sa pravcima glavnih normalnih napona. U tom koordinatnom sistemuodsustvuju tangencijalni naponi, pa su projekcije ukupnog napona, kori{}enjem izraza (4.10), dateizrazima:

33n22n11n ap;ap;ap321

⋅σ=⋅σ=⋅σ= (4.10 a)

Re{avanjem izraza (4.10 a) po aλ ( λ = 1,2,3 ) i zamenom u izraz (4.14 a), dobija se:

1ppp

23

2n

22

2n

21

2n 321 =

σ+

σ+

σ(4.19)

Izraz (4.19) u koordinatnom sistemu glavnih osa predstavlja povr{inu drugog reda, odnosnoelipsoid. Ovaj elipsoid se naziva LAME-ov elipsoid napona, a odre|uje kraj vektora ukupnog

napona npr

proizvoljno nagnute ravni kroz ta~ku. Stoga ta povr{ina potpuno odre|uje naponskostanje ta~ke, pa se naziva Ko{i-jeva povr{ina napona. Povr{ina napona ostaje nepromenjena pripromeni koordinatnih osa, ali se pri tome javljaju drugi koeficijenti u izrazu (4.19).

Elipsoid napona po izrazu (4.19) odgovara zapreminskom naponskom stanju. Poluose togelipsoida su glavni normalni naponi u posmatranoj ta~ki.

Ako su glavni normalni naponi jednaki, elipsoid napona prelazi u sferu, pa su tada bilo kojetri uzajamno normalne ravni jednovremeno glavne normalne ravni.

Pri ravanskom naponskom stanju je jedan glavni normalni napon jednak nuli, pa elipsoidnapona prelazi u elipsu, a povr{ina napona prelazi u kontru napona.

Najzad, pri linearnom naponskom stanju, dva glavna normalni napona su jednaka nuli,elipsoid napona prelazi u pravu liniju.

4.4. RAZLAGANJE TENZORA NAPONASvaki tenzor, pa prema tome i tenzor napona, mo`e da se razlo`i na jedinstven na~in, na zbir

dva tenzora. U mehanici neprekidne sredine (teoriji plasti~nosti) tenzor napona se javljasimetri~nim tenzorom drugog ranga, jer je σij = σji . Ovaj tenzor mo`e da se predstavi kao zbir

devijatora tenzora napona Dσ i sferi~nog tenzora napona sTσ , tj.:

sTDT σσσ += (4.20)

ili u matri~nom obliku:

σσ

σ+

σ−στττσ−στττσ−σ

=στττστττσ

00

00

00

zzyzx

yzyyx

xzxyx

zzyzx

yzyyx

xzxyx

(4.20 a)

Devijator tenzora napona, na osnovu izraza (4.20 a), u metri~nom obliku odre|en jeslede}im izrazom:

*zzyzx

yz*yyx

xzxy*x

D

στττστττσ

=σ (4.21)

gde su:

ijij*ij δ⋅σ−σ=σ - komponente devijatora tenzora napona.

Navedeno razlaganje tenzora napona na devijator i sferi~ni tenzor napona ima posebnozna~enje u mehanici neprekidne sredine, tj. ima odre|eni fizi~ki smisao.

Naponsko stanje odre|eno sferi~nim tenzorom napona predstavlja stanje svestranogistezanja, ili svestranog pritiska (hidrstati~ki pritisak), u kome se nalazi telo uronjeno u te~nost podpritiskom. U tim uslovima, prema ispitivanjima francuskog nau~nika Brid`mena, a i premahipotezama plasti~nosti, mo`e da nastupi samo promena zapremine, i to u granicama elasti~nihdeformacija.

Prema tome, sferi~ni tenzor napona dovodi do promene zapremine. Preostaje da devijatortenzora napona, dovodi do promene oblika napregnutog tela.

Navedeno razlaganje tenzora napona na sferi~ni i devijator tenzora napona predstavlja, presvega, matemati~ku operaciju, ali pru`a mogu}nost da se uka`e i na fizi~ki smisao. Po{to devijatortenzora napona izaziva promenu oblika, to na osnovu tog tenzora napona mo`e da se sudi o tome,kakve }e deformacije izazvati odre|eni tenzor napona.

4.5. INVARIJANTE DEVIJATORA TENZORA NAPONADevijator tenzora napona dat je izrazom (4.21). Njegove invarijante se odre|uju na isti

na~in, kao i invarijante tenzora napona predstavlja zbir komponenata na glavnoj dijagonal;i, tj.;

( ) 0DI zyx*z

*y

*x1 =σ−σ+σ−σ+σ−σ=σ+σ+σ=σ (4.22)

Izraz (4.22) pokazuje da je prva invarijanta devijatora tenzora napona jednaka nuli, odnosnoda je suma normalnih komponenata devijatora tenzora napona jednaka nuli. Ako se taj izrazupotrebi sa izrazom (1.7) i (1.7a) vidi se da su ti izrazi sli~ni. Iz toga sledi zaklju~ak, da se normalnekomponente devijatora tenzora napona menjaju sli~no kao i normalne deformacije.

Naime, ako je jedna normalna komponenta devijatora tenzora napona pozitivna druge dve sunegativne, i obrnuto, ako je jedna negativna, druge dve su pozitivne. Ovo isto va`i i za normalnedeformacije (ϕx, ϕy, ϕz, ili εx, εy, εz).

Ista promena normalnih deformacija i normalnih komponenata devijatora tenzora naponaomogu}uje da se pri poznatom naponskom stanju odredi deformaciono, i obrnuto (sl. 4.4). Pri tomeje, pri poznatom naponskom stanju (sl. 4.4a) mogu}e je jednozna~no odrediti ,deformaciono stanje(sl. 4.4c). Me|utim, pri poznatom deformacionom stanju (sl. 4.4d) nije mogu}e odreditijednozna~no naponsko stanje, koje uslovljava takvo deformaciono stanje, po{to postoji sedamrazli~itih mogu}nosti rasporeda napona 1. Na sl. 4.4f i 4.4g vide se dva mogu}a naponska stanja.Na toj istoj slici pod b) i e) dat je prikaz devijatorskog stanja, koje se odre|uje na osnovu poznatognaponskog stanja i srednjeg normalnog napona.

Slika 4.4

Poseban zna~aj u teoriji plasti~nosti, a prema tome i u teoriji obrade deformisanjem, imadruga invarijanta devijatora tenzora napona, koja je odre|ena izrazom:

( )σ−στ

τσ−σ+

σ−σττσ−σ

+σ−στ

τσ−σ=σ

zzx

xzx

zzy

yzy

yyx

xyx2 DI (4.23)

Re{avanjem determinanata u izrazu (4.22) i zamenom srednjeg normalnog naponanormalnim naponima, dobija se:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2zx

2yz

2xy

2z

2y

2x2 6

6

1DI τ+τ+τ+σ−σ+σ−σ+σ−σ−=σ (4.23a)

Kvadratni koren modula druge invarijante devijatora tenzora napona predstavlja intenzivnosttangencijalnog napona:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2zx

2yz

2xy

2z

2y

2x2i 6

6

1DI τ+τ+τ+σ−σ+σ−σ+σ−σ==τ σ (4.24)

Pored τi, u teoriji obrade deformisanjem, od zna~aja je i skalarna veli~ina σi, koja se nazivaintenzivnost napona, efektivni ili uop[teni napon, a data je izrazom:

( ) ( ) ( ) ( )2zx

2yz

2xy

2z

2y

2xii 6

2

13 τ+τ+τ+σ−σ+σ−σ+σ−σ=τ⋅=σ (4.25)

Napred date veli~ine mogu da se izraze i preko glavnih normalnih napona. U tom slu~ajutreba u prednje izraze izostaviti tangencijalne napone, po{to isti odsustvuju u glavnim ravnima, anormalne napone zameniti glavnim normalnim naponima.

Zna~aj druge invarijante devijatora tenxora napona u teoriji plasti~nosti proisti~e otuda {to taveli~ina, posredno preko τi i σi, defini{e prelaz materijala iz elasti~nog u plasti~no stanje, odnosnopreko nje mo`e da se iska`e jedna od hipoteza plasti~nosti (vidi poglavlje 5).

Intenzivnost napona σi, u zavisnosti od vida naponskog stanja (linearno, ravansko ilizapreminsko) menja se u granicama:

( )( )minmaxi 1865.0 σ−σ÷=σ

gde su:

σmax i σmin - maksimalni i minimalni glavni normalni napon.

Tre}a invarijanta devijatora tenzora napona predstavlja determinantu obrazovanu odkomponenata devijatora tenzora napona. Ova veli~ina nema posebno zna~enje u teoriji plasti~nosti,pa se zato ne izla`e detaljno.

4.6. GEOMETRIJSKA INTERPRETACIJASrednji normalni napon σ i intenzivnost tangencijalnog napona mogu da dobiju veoma

jednostavnu geometrijsku interpretaciju u koordinatnom sistemu glavnih osa σ1, σ2 i σ3 (sl 4.5).

σ3

nr

P(σ1, σ2, σ3)

0 σ2

Q(σ1*, σ2*, σ3*)

σ1+σ2+σ3=0

σ1

Slika 4.5

Naponsko stanje u nekoj ta~ki napregnutog tela odre|eno je glavnim normalnim naponima

σ1, σ2 i σ3. To naponsko stanje predstavljeno je ukupnim vektorom →

OP na sl. 4.5. Pored ukupnogvektora, koordinatni po~etak i zaklapa jednake uglove sa koordinatnim osama. U tom slu~aju su,po{to je suma kvadrata kosinusa jednaka jedinici, kosinusi uglova izme|u normale n

r i koordinatne

ose jednaki:

( ) ( )3,2,1i,31,ncos i ==σ

pa je jedini~ni vektor normale nr

razmatrane ravni:

( )kji3

1n

rrrr++=

gde su:

kij,irrr

− jedini~ni vektori po osama σ1, σ2 i σ3.

Prava linija σ1 = σ2 = σ3, koja prolazi kroz koordinatni po~etak, a normalna je na razmatranuravan, naziva se hidrostati~ka osa, jer odgovara hidrostati~kom naponskom stanju.

Vektor SOr

je kolinearan sa normalom nr

i predstavlja projekciju vektora POr

na normalunr

. Taj vektor je proporcionalan srednjem normalnom naponu, tj. njegov intenzitet je dat izrazom:

σ⋅=σ+σ+σ=

⋅+⋅+⋅⋅⋅σ+⋅σ+⋅σ=⋅=

3)(3

1

)k3

1j

3

1i

3

1()kji(nPOSO

321

321

rrrrrrrrr

(4.26)

Projekcije vektora SOr

na koordinatne ose su jednake srednjem normalnom naponu σ(Sx=OScos(n,σi)=σ), pa se zato normala n

r naziva hidrostati~kom osom, jer sve ta~ke na njoj

defini{u stanje svestranog pritiska, ili istezanja, odnosno sferi~no naposko stanje.

Vektor QOr

, koji le`i u datoj ravni, mo`e da se odredi izrazom:

kji

k)(j)(i)(SOPOQO

*3

*2

*1

321rrr

rrrrrr

⋅σ+⋅σ+⋅σ=

=⋅σ−σ+⋅σ−σ+⋅σ−σ=−=(4.27)

Projekcije vektora QOr

na koordinatne ose usvojenog sistema predstavljaju normalnekomponente devijatora tenzora napona, pa isti odre|uje devijatorsko naponsko stanje. Stoga seravan, u kojoj le`i taj vektor, naziva devijatorska ravan.

Intenzitet vektora QOr

:

i2

32

22

1 2)()()(3

1QO τ⋅=σ−σ+σ−σ+σ−σ=r

(4.28)

proporcionalan je intenzivnosti tangencijalnog napona.

Projekcije koordinatnih osa σ1, σ2 i σ3 na devijatorsku ravan D daju nove ose 1’, 2’ i 3’

(sl.4.6). Polo`aj vektora QOr

, tj. tangencijalnog napona τn, u novom koordinatnom sistemu nadevijatorskoj ravni, odre|en je uglom ϖσ (sl. 4.6).

Veli~ine kosinusa uglova izme|u osa koordinatnog sistema σ1, σ2, σ3 i ose 3’ su:

( ) ( ) ( )6

13,cos3,cos;

3

23,cos 213 −=′σ=′σ=′σ

3’

3

2π

3

2π

ωσ

1’ τn 2’

Slika 4.6

Po{to su poznate veli~ine kosinusa, mo`e da se odredi projekcija vektora →

OQ na osu 3', tj.:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) σ

→⋅−=′σ⋅σ−σ+′σ⋅σ−σ+′σ⋅σ−σ= wcosOQ3,cos3,cos3,cosOQpr 332211

Ugao izme|u vektora →

OQ i negativnog dela ose 3' je ωσ i isti se kre}e u granicama od 0o do60o. U zavisnosti od veli~ine tog ugla mo`e da se defini{e i naponsko stanje (0 < ωσ < 30o-istezanje; ωσ = 30o- smicanje i 30 < ωσ < 60o- pritisak), pa se zato naziva ugao vida naponskogstanja 62.

4.7. GLAVNI TANGENCIJALNI NAPONINormalni i tangencijalni napon, koji dejstvuju u nagnutoj ravni, odre|eni su izrazima (4.11)

i (4.12). Ako se u izraz (4.12) zamene ukupni napon pn i normalni napon σn, i to izra`eni prekoglavnih normalnih napona σ1, σ2 i σ3, dobija se izraz za τn u bilo kojoj nagnutoj ravni:

( )2233

222

211

23

23

22

22

21

21

2n aaaaaa σ+σ+σ−σ+σ+σ=τ (4.30)

gde su:

a1,a2 i a3- kosinusi uglova izme|u normale n nagnute povr{ine i glavnih osa 0σ1, 0σ2, 0σ3.

Iz izraza (4.30) vidi se da je τn funkcija triju kosinusa smerova. Jedna od tih veli~ina mo`e

da se elimini{e primenom izraza (4.14a). Zamenom te veli~ine (npr. 22

21

23 aa1a −−= ) u izraz

(4.30) dobija se :

222

213

222

211

22

21

23

22

22

21

21

2n )aa1(aa)aa1(aa −−⋅σ+σ+σ−−−σ+σ+σ=τ

Veli~ina τn ima}e ekstremnu vrednost u odre|enoj nagnutoj ravni. Polo`aj te ravni, odnosnoveli~ina kosinusa uglova koje normala na tu ravan zaklapa sa koordinatnim osama, dobija seizjedna~avanjem τn po a1 i a2 sa nulom, tj.:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 0a2a2aa1aa2a2a2a

0a2a2aa1aa2a2a2a

2322

2

2

2

13

2

22

2

112

2

32

2

2

2

2

n

1311

2

2

2

13

2

22

2

111

2

31

2

1

1

2n

=σ−σ⋅−−σ+σ+σ⋅−⋅σ−⋅σ=∂

τ∂

=σ−σ⋅−−σ+σ+σ⋅−⋅σ−⋅σ=∂τ∂

(4.31)

Deljenjem prve od jedna~ina (4.31) sa -4(σ1-σ3) i druge sa -4(σ2-σ3) dobijaju se dvejedna~ine :

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 02

1aaa

02

1aaa

312232

21312

312232

21311

=σ−σ−⋅σ−σ+⋅σ−σ

=σ−σ−⋅σ−σ+⋅σ−σ(4.31a)

Jedno od re{enja jedna~ina (4.31a) su a1= 0 i a2= 0. Re{enja razli~ita od nule mogu se dobitiako se u prvu jedna~inu stavi a2= 0, odnosno a1= 0 zameni u drugu jedna~inu. Tada se dobija :

2

1a 1 ±= ;

2

1a 2 ±=

Vrednost a3 dobija se zamenom a1 i a2 u relaciju (4.14a).

Napred dobijena re{enja daju Tabelu 4.1 sa {est vrednosti kosinusa smerova, pri kojimatangencijalni napon dobija ekstremnu vrednost - minimalnu, ili maksimalnu.

TABELA 4.1

Grupa vrednosti kosinusa uglovaKosinusismerova 1 2 3 4 5 6

a1 0 0 ±1 0 ± 21 ± 21

a2 0 ±1 0 ± 21 0 ± 21

a3 ±1 0 0 ± 21 ± 21 0

Prve tri kolone daju vrednosti kosinusa smerova ravni koje se poklapaju sa koordinatnimravnima. Kako su te ravni, u razmotrenom slu~aju, glavne ravni, to na njima odsustvujetangencijalni napon, odnosno ima minimalnu vrednost - nultu vrednost.

Druge tri kolone odre|uju ravni, koje prolaze kroz jednu od glavnih osa i dele ugao izme|udruge dve ose, tj. grade uglove od 45o sa tim osama . Zamenom vrednosti kosinusa smerova iz ovihkolona dobijaju se ekstremne vrednosti tangencijalnih napona, koji se nazivaju glavni tangencijalninaponi :

( ) ( ) ( )1331322321122

1;

2

1;

2

1σ−σ±=τσ−σ±=τσ−σ±=τ (4.32)

Iz izraza (4.32) vidi se da su glavni tangencijalni naponi jednaki polurazlici dva glavnanormalna napona. Indeksi uz glavne tangencijalne napone defini{u ose sa kojima taj napon zakalpaugao od 45o. Zbir glavnih tangencijalnih napona jednak je nuli, tj.:

0312312 =τ+τ+τ (4.33)

Na povr{inama, na kojima dejstvuju glavni tangencijalni naponi, dejstvuju i normalninaponi. Vrednosti tih napona dobijaju se zamenom kosinusa smerova iz tri poslednje kolone u izraz(4.11), i iste su:

( ) ( ) ( )1331322321122

1;

2

1;

2

1σ+σ=σσ+σ=σσ+σ=σ (4.34)

Iz izraza (4.34) sledi da su normalni naponi, u ravnima u kojima dejstvuju glavnitangencijalni naponi, jednaki poluzbiru dva glavna normalna napona.

[est ravni u kojima dejstvuju glavni tangencijalni naponi prikazane su na sl. 4.7. Na istojslici su ozna~eni i glavni normalni naponi, koji dejstvuju u tim ravnima.

σ3 σ3 σ3

τ31 τ23

σ12 τ12

σ2 σ31 σ2 σ23 σ2

σ1 σ1 σ1

σ3 σ3 σ3

τ12 σ31 τ31 σ23

τ23

σ12 σ2 σ2 σ2

σ1 σ1 σ1

Slika 4.7

Ukoliko je zadovoljena nejednakost σ1 > σ2 > σ3 maksimalni glavni tangencijalni napon bi}e

231

max13

σ−σ=τ=τ . Izme|u ove veli~ine i intenzivnosti tangencijalnog napona postoji slede}i

odnos :

( ) maxi 155.11 τ⋅÷=τ (4.35)

4.8. OKTAEDARSKI NAPONNeka se posmatra nagnuta ravan ~ija normala zaklapa jednake uglove sa koordinatnim

osama ( )( )31,ncos i =σ , koje se poklapaju sa glavnim normalnim naponima (sl.4.8). Ta ravan

odseca jednake odse~ke na koordinatnim osama, )OCOBOA( == .

Postoje ~etiri takve ravni, koje sa jo{ ~etiri paralelne ravni obrazuju oktaedar (sl. 4.8), pa sezato te ravni nazivaju oktaedarske.

σ3

C σ0

σ0

σ0 τ0

τ0 0 τ0 B σ2

τ0

A σ0

σ1

Slika 4.8

Ukupni napon na oktaedarskoj ravni dobija se zamenom kosinusa smerova i vrednostiprojekcija ukupnog napona po izrazu (4.10a) u izraz (4.12) :

( )23

22

21

2n

3

1p σ+σ+σ=

Normalna komponenta ukupnog napona dobija se zamenom prednjih vrednosti u izraz(4.11) i ozna~ava se sa σo, po{to se odnosi na oktaedarsku ravan :

( ) σ=σ+σ+σ=σ 321o3

1 (4.35)

Izraz (4.35) pokazuje da je oktaedarski napon jednak srednjem normalnom naponu, i dapredstavlja invarijantnu veli~inu za datu ta~ku.

Tangencijalna komponenta ukupnog napona naziva se oktaedarski tangencijalni napon, adata je izrazom:

( ) ( ) ( )213

232

221o

3

1σ−σ+σ−σ+σ−σ±=τ (4.36)

Oktaedarski tangencijalni napon mo`e da se izrazi i u drugom obliku, ako se koriste do sadadati izrazi. Jedan od tih izraza je:

( ) ( )σσ −±=τ TI3TI23

12

210 (4.37)

ili:

( )σ−±=τ DI3

220 (4.38)

Upore|uju}i izraz (4.38) sa izrazima (4.24) i (4.25) vidi se da je tangencijalni oktaedarskinapon proporcionalan intenzivnosti tangencijalnog napona τi , odnosno intenzivnosti napona σi .Ovaj napon stoji u odre|enom odnosu sa maksimalnim glavnim tangencijalnim naponom, i to:

941,0816,0 max0 ≤ττ≤ (4.39)

Oktaedarski tangencijalni napon je od posebnog zna~aja u teoriji plasti~nosti, jer defini{eprelaz materijala iz elasti~nog u plasti~no stanje.

4.9. MOROVI KRUGOVI NAPONAGeometrijsko prikazivanje zapreminskog naponskog stanja u razli~itim presecima, koji

prolaze kroz datu ta~ku, veoma je o~igledno preko dijagrama Mora. Neka se u toj ta~ki pravcikoordinatnih osa poklapaju sa glavnim pravcima i neka je zadovoljena nejedna~ina σ1 > σ2 > σ3.Izraz (4.11) za normalni napon tada dobija oblik:

233

222

211n aaa ⋅σ+⋅σ+⋅σ=σ (4.11 a)

Izraz (4.12), u razmatranim uslovima glasi:

23

23

22

22

21

21

2n

2n aaa ⋅σ+⋅σ+⋅σ=τ+σ (4.12 b)

Za dobijanje izraza, koji odre|uju Mohr-ove krugove napona treba uvesti, pored izraza (4.11a) i (4.12 b), i izraz (4.14 a) u obliku:

1aaa 23

22

21 =++ (4.14 b)

Prethodna tri izraza omogu}uju da se izvede jedna~ina koja odre|uje Mohr-ov krug napona.Zato je potrebno da se izraz (4.11 a) pomno`i sa −(σ2+σ3) i da se doda odgovaraju}a strana togizraza izrazu (4.12 b). Pored toga, desnom delu izraza (4.12 b) treba dodati ~lan σ2σ3 , a levom istitaj ~lan pomno`en sumom kvadrata kosinusa smerova iz izraza (4.14 b). Nakon tih dodavanja,dobija se 1:

( )( ) ( ) ( )2

322

2132

233

222

21132

23

23

22

22

21

213232n

2n

2n

aaaaaa

aaa

++⋅σ⋅σ+⋅σ+⋅σ+⋅σ⋅σ+σ−

−⋅σ+⋅σ+⋅σ=σ⋅σ+σ+σ⋅σ−τ+σ

Sre|ivanjem prethodnog izraza dobija se:

( ) ( )312121

2

322n

2

32n a

22σ−σ⋅σ−σ⋅+

σ−σ

=τ+

σ+σ

−σ (4.40a)

Na isti na~in dobijaju se i slede}a dva izraza:

( ) ( )321222

2

132n

2

13n a

22σ−σ⋅σ−σ⋅+

σ−σ

=τ+

σ+σ

−σ (4.40b)

Predhodni izrazi predstavljaju jedna~ine krugova u koordinatnom sistemu σn−τn. Polo`ajcentra krugova je na apscisnoj osi, i to na rastojanjima: 0,5(σ2+σ3); 0,5(σ3+σ1) i 0,5(σ1+σ2) odkoordinatnog po~etka. Veli~ina polupre~nika krugova odre|ena je ~lanovima na desnoj strani izraza(4.40). Ta veli~ina je funkcija kosinusa smerova, pa svaki od izraza (4.40) odre|uje familijukoncentri~nih krugova.

Tri kruga, odre|ena izrazima (4.40), dobijena za razli~ite vrednosti kosinusa smerova, alitako da zadovoljavaju izraz (4.14 b), daju u preseku ta~ku P, koja grafi~ki odre|uje vrednostinormalnog i tangencijalnog napona u nagnutoj ravni kroz datu ta~ku sa usvojenim vrednostimakosinusa smerova. Ovde je zna~ajno da se odredi podru~je u kome mo`e da se na|e ta~ka P. Zato seanaliziraju veli~ine radijusa krugova pri uslovu σ1>σ2>σ3.

Radijus kruga po izrazu (4.40 a) ima minimalnu vrednost pri a1=0 i raste sa pove}anjem a1.To zna~i da }e polo`aj ta~ke P biti izvan kruga minimalnog polupre~nika.

Radijus kruga po izrazu (4.40 b) ima maksimalnu vrednost pri a2=0 i opada sa porastom a2 ,po{to je ~lan (σ2−σ1) negativan. To zna~i da }e polo`aj ta~ke P biti unutar kruga sa najve}impolupre~nikom.

Najzad, radijus kruga po izrazu (4.40 c) ima minimalnu vrednost pri a3=0 i raste sapove}anjem a3, pa }e polo`aj ta~ke P biti izvan kruga sa minimalnim polupre~nikom.

Napred data analiza omogu}uje da se odredi podru~je koje defini{e mogu}e vrednostinormalnog i tangencijalnog napona bilo koje nagnute ravni kroz datu ta~ku. To podru~je je{rafirano na sl. 4.9. Na toj slici su obele`eni glavni normalni naponi, polo`aji centara Mohr-ovihkrugova, kao i polo`aj ta~ke P za karakteristi~ne nagnute ravni.

τn α1=45, α2=90, α3=45a2=0

a1=0a=0

C 01 B 02 03 A σn

α1=90, α2=0,α3=45

σ3

0.5(σ2+σ3)

σ2

0.5(σ1+σ3)

0.5(σ1+σ3)

σ1

Slika 4.9

Pove}anjem, ili smanjenjem, glavnih normalnih napona za istu vrednost ne dolazi dopromene polupre~nika krugova (razlike glavnih normalnih napona ostaju iste), ve} se samopomeraju centri krugova u odnosu na osu τn. Tako je mogu}e, da se osa τn, koja odgovara tenzorunapona Tσ, dodavanjem hidrostati~kog pritiska - srednjeg normalnog napona σ - pomeri u novipolo`aj, koji odgovara devijatoru tenzora napona Dσ (sl. 4.10). Polo`aj te ose τn je takav da uvekpreseca krugove, kako bi bio zadovoljen uslov da je prva invarijanta devijatora tenzora naponajednaka nuli. Konstrukcija te ose se izvodi tako {to se opi{e pravougaonik oko najve}eg polukruga,pa se gornja temena spoje sa centrima druga dva kruga O1 i O3. U preseku tih linija dobija se osa τn,koja odgovara devijatoru tenzora napona Dσ.

dzzyz

yz∂

τ∂+τ

dzzxz

xz∂

τ∂+τ

dxxyx

yx∂

τ∂+τ

dyyzy

zy∂

τ∂+τ

dyy

y

y∂

σ∂+σ

dyyxy

xy∂

τ∂+τ

dxdx

xx

x∂

σ∂+σ

dy

dz

σxτyx

τzx

τyz

τxz

σz

τzy

τxy

τn τn

za Tσ σ3 - σ σ1 - σ

0 01 02 03 σn

σ3 0’

σ2

3

321 σ+σ+σ=σ

σ1

Slika 4.10

4.10. USLOVI RAVNOTE@ENaponsko stanje u nekom telu, koje je optere}eno spolja{njim silama, menja se od ta~ke do

ta~ke. To zna~i da su komponente tenzora napona, koje odre|uju naponsko stanje u ta~ki, funkcijakoordinata ta~aka.

Neka je naponsko stanje u ta~ki N odre|eno tenzorom napona:

zzyzx

yzyyx

xzxyx

NT

σττ

τστ

ττσ

=σ

Pri prelasku iz ta~ke N, ~iji je polo`aj odre|en koordinatama x, y i z, u susednu ta~ku N′ sakoordinatama x+dx, y+dy i z+dz (sl. 4.11) menjaju se komponente tenzora napona. Za komponentuσx, razvojem u Taylor-ov red, dobija se:

( ) ( ) dzz

dyy

dxx

z,y,xdzz,dyy,dxx xxxxx

∂

σ∂+

∂

σ∂+

∂

σ∂+σ=+++σ (4.41)

Slika 4.11

za Dσ

dzz

zz

∂

σ∂+σz

y

x

N

σy

Razvijanjem funkcije σx u ta~ki N′ u Taylor-ov red izostavljeni su ~lanovi vi{eg reda, naimeprira{taj svakog napona izra`ava se parcijalnim izvodom te komponente napona po koordinatama.Za slu~aj da je pomeranje ka susednoj ta~ki samo uzdu` jedne ose, npr. ose x, onda otpadaju iposlednja dva ~lana u izrazu (4.41). Koriste}i napred izneto tenzor napona u ta~ki N′ glasi:

dzz

dyy

dxx

dzz

dyy

dxx

dzz

dyy

dxx

T

zz

zyzy

zxzx

yzyz

yy

yxyx

xzxz

xyxy

xx

N

∂

σ∂+σ

∂

τ∂+τ

∂

τ∂+τ

∂

τ∂+τ

∂

σ∂+σ

∂

τ∂+τ

∂

τ∂+τ

∂

τ∂+τ

∂

σ∂+σ

=′σ

Naponi koji se javljaju u ta~ki N i N′ prikazani su na stranama elementarne zapremine, ~ijesu povr{ine paralelne sa koordinatnim ravnima (sl. 4.11). Prikazani naponi pomno`eni sapovr{inama na kojima dajstvuju daju povr{inske sile, koje optere}uju izdvojenu elementarnuzapreminu. Pored tih sila, pomenuta zapremina mo`e da bude optere}ena i zapreminskim silama(npr. te`ina ili inercijalne sile). Sve te sile moraju da budu u ravnote`i.

Izdvojeni element zapremine (sl. 4.11) je dosta mali pa se u teoriji plasti~nosti ~estozanemaruju sile te`e X, Y i Z u pravcima x, y i z (sl. 4.11). Pored toga, s obzirom da se isti nalazi ustanju mirovanja, ili se pomera sa malom brzinom, mogu da se zanemare i inercijalne sile

⋅⋅ρ

dt

dvdV i .

Jedna~ina ravnote`e momenata oko ose a-a (sl. 4.11) dobija se iz uslova:

02

dxdydzdx

x2

dydxdzdy

y2

dxdydz

2

dydxdz yx

yxxy

xyyxxy =⋅

∂

τ∂+τ−⋅

∂

τ∂+τ+⋅⋅τ−⋅⋅τ (4.42)

Postavljanjem istih uslova za ose x i y dobijaju se izrazi, koji obezbe|uju ravnote`uelementa protiv obrtanja, tj. te momentne jedna~ine daju stav o konjugovanosti tangencijalnihnapona ;

xzzxzyyzyxxy ;; τ=ττ=ττ=τ (4.43)

odnosno u tenzorskom ozna~avanju:

jiij τ=τ (4.43a)

Izraz (4.43) omogu}uje da se izvede zaklju~ak da je za poznavanje naponskog stanja u nekojta~ki napregnutog tela dovoljno da se znaju {est komponenata tenzora napona, i to: tri normalnanapona i tri tangencijalna.

Uslov ravnote`a sila u x pravcu (∑Fx = 0), uz zanemarivanje sile te`e i inercijalne sile, glasi:

0dxdydxdydzz

dxdzdxdzdyy

dydzdydzdxx

xzxz

xz

xyxy

xyxx

x

=⋅τ−⋅

∂

τ∂+τ+

+⋅τ−⋅

∂

τ∂+τ+⋅σ−⋅

∂

σ∂+σ

Ukoliko se postave i uslovi ∑Fy = 0 i ∑Fz = 0, i tako dobijeni izrazi srede i podele sa dV =dxdydz, dobija se sistem od tri parcijalne diferencijalne jedna~ine, koje izra`avaju uslov ravnote`asila, koje dejstvuju na beskona~no mali element u pravouglom koordinatnom sistemu x,y i z:

0zyx

0zyx

0zyx

zzyzx

yzyyx

xzxyx

=∂

σ∂+

∂

τ∂+

∂

τ∂

=∂

τ∂+

∂

σ∂+

∂

τ∂

=∂

τ∂+

∂

τ∂+

∂

σ∂

(4.44)

U tenzorskom ozna~avanju izrazu (4.44) odgovara:

0x i

ij=

∂

σ∂(4.44a)

Polo`aj ta~ke u cilindri~nom koordinatnom sistemu odre|en je koordinatama ρ,θ i z.Naponsko stanje u nekoj ta~ki N odre|eno je tenzorom napona:

zzz

z

z

NT

σττ

τστ

ττσ

=

θρ

θθθρ

ρρθρ

σ (4.45)

U ta~ki N′, koja je na rastojanju dρ, dθ, dz od ta~ke N, naponsko stanje je, sli~no kao upravouglom koordinatnom sistemu, odre|eno tenzorom napona:

dzz

dd

dzz

dd

dzz

dd

T

zz

zz

zz

zz

zz

N

∂

σ∂+σθ

θ∂

τ∂+τρ

ρ∂

τ∂+τ

∂

τ∂+τθ

θ∂

σ∂+σρ

ρ∂

τ∂+τ

∂

τ∂+τθ

θ∂

τ∂+τρ

ρ∂

σ∂+σ

=

θθ

ρρ

θθ

θθ

θρθρ

ρρ

ρθρθ

ρρ

σ ′(4.45a)

Naponsko stanje u ta~ki N i N′, a u cilindri~nom koordinatnom sistemu, prikazano je na sl.4.12. Uslov ravnote`e sila u ρ pravcu (∑Fρ = 0), za meridijansku ravan kroz sredinu izdvojenogelementa, uz zanemarivanje sile te`e i inercijalne sile, i stavljanjem da je sin dθ/2≈dθ i cos dθ/2≈1,glasi:

( )

0dzd2

d2dzddzdddd

dddzz

dzddzddd

z

zz

=ρ⋅θ

σ−ρ⋅τ−ρ

θ

θ∂

τ∂+τ+ρθρ⋅τ−

−ρ⋅θρ

∂

τ∂+τ+θρ⋅σ−⋅θρ+ρ

ρ

ρ∂

σ∂+σ

θρθρθ

ρθρ

ρρρ

ρρ

Slika 4.12

Ukoliko se postave i uslovi ∑Fθ = 0 i ∑Fz = 0, i tako dobijeni izrazi srede i podele sazapreminom dV = ρdθdρdz, dobija se sistem od tri parcijalne diferencijalne jedna~ine ravnote`e ucilindri~nom koordinatnom sistemu:

0z

1

0z

1

0z

1

zzzz

z

z

=ρ

τ+

∂

σ∂+

θ∂

τ∂⋅

ρ+

ρ∂

τ∂

=ρ

τ+

∂

τ∂+

θ∂

σ∂⋅

ρ+

ρ∂

τ∂

=ρ

σ−σ+

∂

τ∂+

θ∂

τ∂⋅

ρ+

ρ∂

σ∂

ρθρ

θρθθθρ

θρρρθρ

(4.46)

Polo`aj ta~ke u sferi~nom koordinatnom sistemu odre|en je koordinatama ρ, θ, ϕ.Naponsko stanje u dvema bliskim ta~kama N i N′ prikazano je na stranama elementarne zapremine(sl. 4.13). Uslovi ravnote`e sila u pravcima ρ, θ i ϕ daju, sli~no kao u do sad razmatranimkoordinatnim sistemima, tri parcijalne diferencijalne jedna~ine ravnote`e:

( )

( )

( ) 0ctg231

sin

11

03ctg1

sin

11

0ctg21

sin

11

=ϕ⋅τ+τρ

+θ∂

σ∂⋅

ϕ⋅ρ+

ϕ∂

τ∂⋅

ρ+

ρ∂

τ∂

=τ+ϕσ−σρ

+θ∂

τ∂⋅

ϕ⋅ρ+

ϕ∂

σ∂⋅

ρ+

ρ∂

τ∂

=ϕτ+σ−σ−σρ

+θ∂

τ∂⋅

ϕ⋅ρ+

ϕ∂

τ∂⋅

ρ+

ρ∂

σ∂

ϕθρθθϕθρθ

ρϕθρϕθϕρϕ

ρϕθϕρρθρϕρ

(4.47)

Slika 4.13

Jedna~ine ravnote`e u pravouglom (4.44) i (4.44a), cilindri~nom (4.46) i sferi~nom (4.47)sastoje se iz tri parcijalne diferencijalne jedna~ine. Kako je za poznavanje naponskog stanja u nekojta~ki napregnutog tela potrebno da se odrede tri normalna i tri tangencijalna napona, to sistemdiferencijalnih jedna~ina nije dovoljan. Zato je potrebno (o tome }e biti kasnije re~i) da se uvedudodatne jedna~ine.

Slika 4.14

Pored prostornog naponskog stanja, u postupaka obrade deformisanjem, ~esto se javljaosnosimetri~no i ravansko naponsko stanje. Osnosimetri~no naponsko stanje se javlja kodsimetri~nih predmeta rada, u kojih je spolja{nje optere}enje ravnomerno raspore|eno po spolja{njojpovr{ini (sl. 4.14 a). Zbog takvog rasporeda optere}enja naponsko stanje je jednako u svimmeridijanskim presecima (ravan kroz osu simetrije), pa stoga, ako se koristi polarni koordinatnisistem, naponi ne zavise od koordinate θ, tj. ∂ / ∂θ = 0 . Pored toga, u meridijanskoj ravni ne moguda se jave tangencijalni naponi, zbog simetri~nosti optere}enja, odnosno τρθ = τθρ = τzθ = τθz = 0, anormalni napon σθ je istovremeno i glavni normalni napon σθ = σ2.

Koriste}i isti pristup, kao i pri izvo|enju jedna~ina ravnote`e za prostorno naponsko stanje ucilindri~nom koordinatnom sistemu, uz uva`avanje napred re~enog, dobijaju se dve parcijalnediferencijalne jedna~ine za osnosimetri~no naponsko stanje u obliku:

0z

0z

zzz

z

=ρ

τ+

∂

σ∂+

ρ∂

τ∂

=ρ

σ−σ+

∂

τ∂+

ρ∂

σ∂

ρρ

θρρρ

(4.48)

Ravansko stanje mo`e da se javi kao ravansko deformaciono stanje (sl.4.14c) i kao ravanskonaponsko stanje (sl.4.14b). Pri ravanskom deformacionom stanju odsustvuje deformacija u pravcuose y (u primeru prikazanom na sl.4.14c zbog velike du`ine {tapa mo`e da se zanemari deformacijapo du`ini), dok kod ravanskog naponskog stanja odsustvuje napon u pravcu ose y (sl.4.14b). Poredtoga, sve komponente napona za oba slu~aja ne zavise od koordinate y (∂/∂y=0), a tangencijalninaponi u ravni upravnoj na osu y su jednaki nuli (τxy=τyx=τyz=τzy= 0).

Zamenom vrednosti tangencijalnih napona i uslova ∂/∂y=0, koji va`e pri ravanskom stanju,u jedna~ine ravnote`e za prostorno naponsko stanje, dobijaju se odgovaraju}e jedna~ine ravnote`epri ravanskom stanju. Ako se koristi pravougli koordinatni sistem te jedna~ine glase:

0zx

0zx

zzx

xzx

=∂

σ∂+

∂

τ∂

=∂

τ∂+

∂

σ∂

(4.49)

Pri re{avanju nekih problema, u kojih se javlja ravansko stanje, mogu da se koriste ijedna~ine ravnote`e u polarnom koordinatnom sistemu. Te jedna~ine se dobijaju na isti na~in kao ipredhodne.

4.11. DEFORMACIONO STANJE U TA^KIZa odre|ivanje deformacionog stanja u nekoj ta~ki napregnutog tela posmatra se geometrija

procesa, odnosno analizira se promena oblika tela. Pri tome se polazi od beskona~no malihdeformacija, koje se razmatraju pri elasti~nom deformisanju metala, a tako|e i pri plasti~nomdeformisanju, i to u vidu prira{taja deformacije. Zbir tih prira{taja deformacije daje kona~nudeformaciju, koja odre|uje promenu oblika nekog tela. Kona~na deformacija je jednorodna ako supomeranja ta~ke linearne funkcije koordinata, odnosno ako ravni i prave linije pre deformisanjaostaju ravni i prave posle deformisanja. Ovakve deformacije su predmet razmatranja.

4.11.1. Deformacije kao funkcije pomeranjaDeformacija neprekidne sredine najbolje mo`e da se izrazi preko promene rastojanja izme|u

dve susedne materijalne ~estice, koje nastaje u procesu promene oblika tela, pod dejstvomspolja{njeg optere}enja. Ako je ta razlika, u stanju pre i posle deformisanja, jednaka nuli za svematerijalne ~estice, to zna~i da se telo ne deformi{e, ve} mo`e samo da se pomera kao apsolutno~vrsto telo. Me|utim, ukoliko dolazi do promene rastojanja izme|u ta~aka, javljaju se deformacije utim ta~kama. Kako je u op{tem slu~aju, promena rastojanja izme|u susednih ta~aka razli~ita, to je ideformaciono stanje, u zapremini koja se deformi{e, razli~ito od ta~ke do ta~ke.

Da bi moglo da se analizira deformaciono stanje u nekoj ta~ki tela, sli~no kao i za naponskostanje, koristi se elementarni paralelopiped stranica dx, dy i dz koji sadr`i tu ta~ku. Neka seposmatraju dve beskona~no bliske ta~ke A i B na rogljevima paralelopipeda (sl. 4.15 a) 34 ~iji jepolo`aj pre deformisanja odre|en koordinatama x, y i z, odnosno (x+dx), (y+dy) i (z+dz). Posledeformisanja te ta~ke prelaze u nove polo`aje A′ i B′ sa koordinatama, koje su date na sl. 4.15b.

Rastojanje izme|u ta~ke A i A′ predstavlja pomeranje u, ~ije su projekcije na koordinatneose ux, uy i uz. Ove veli~ine nazivaju se komponentna pomeranja ta~ke i jednaka su:

ux=x′ - x ; uy=y′ - y ; uz=z′ - z

razlici odgovaraju}ih koordinata ta~ke A i A′. Komponentna pomeranja su, u op{tem slu~aju,razli~ite za razli~ite ta~ke tela, odnosno ista su funkcija koordinata, ako se predpostavi da seposmatraju dva veoma bliska trenutka:

ux=ux(x,y,z) ; uy=uy(x,y,z) ; uz=uz(x,y,z) Napred date funkcije komponenata pomeranja mogu da se razlo`e u Taylor-ov red. Tako }e

pomeranje ta~ke B, koja je beskona~no blizu ta~ki A (sl. 4.15) biti odre|eno izrazom 62:

dzz

udy

y

udx

x

uuu

dzz

udy

y

udx

x

uuu

dzz

udy

y

udx

x

uuu

zzzzz

yyyyy

xxxxx

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+=′

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+=′

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+=′

Za slu~aj da se pomeranje neke ta~ke vr{i paralelno nekoj od osa, onda otpadaju prira{taji uodnosu na druge dve ose. Ako se ovo primeni na du` AC , koja je paralelna osi Ox, bi}e prira{tajidy=dz=0, pa su pomeranja ta~ke C′ odre|ena izrazima:

;dxx

uuu;dx

x

uuu;dx

x

uuu z

zzy

yyx

xx∂

∂+=′

∂

∂+=′

∂

∂+=′

Pomeranje ta~aka paralelopipeda (sl. 4.15a) u nove polo`aje (sl. 4.15b), u toku procesadeformisanja dovodi do promene rastojanja izme|u tih ta~aka, kao i do promene po~etnog oblikaparalelopipeda. Promena rastojanja izme|u pojedinih ta~aka u x, y i z pravcu predstavlja linijskedeformacije εx, εy i εz. S druge strane, obrtanje stranica paralelopipeda u pojedinim ravnimapredstavlja deformacije smicanja - klizanja γxy, γyz i γzx. Izgled ovih deformacija za slu~aj da sejavljaju posebno, prikazan je na sl. 4.16 1, 32, 34, 62.

(x+dx, y+dy, z+dz)

Slika 4.15

Linijske deformacije koje se nazivaju i normalne deformacije, kao i deformacije smicanja,odnosno tangencijalne deformacije, mogu da se izraze u funkciji komponentnih pomeranja. Zaizvo|enje tih zavisnosti najbolje je da se posmatraju projekcije izdvojenog elementarnogparalelopipeda (sl. 4.15), i to u xOy, yOz i zOx ravni. Projekcija pomenutog paralelopipeda pre iposle deformisanja, u ravni xOy, prikazana je na sl. 4.17. Ta~ke paralelograma ACDH pre{le su unove polo`aje A′C′D′H′ posle deformisanja. Pomeranje ta~aka C′ i H′ mo`e da se izrazi prekopomeranja ta~ke A′, {to je i prikazano na sl. 4.17. Pri tome su zanemareni izvodi vi{eg reda.

Linijska deformacija du`i AC, tj. relativna deformacija u x pravcu, predstavlja koli~nikapsolutne promene te du`i u odnosu na njenu po~etnu vrednost, tj.:

x

u

dx

dxudxdxx

uu

AC

ACCA xx

xx

11x

∂

∂=

−

−+

∂

∂+

=−′′

=ε

Relativna deformacija du`i AH u y pravcu je:

y

u

dy

dyudyy

uudy

AH

AHHA yy

yy

22y

∂

∂=

−

−

∂

∂++

=−′′

=ε

Slika 4.16

Slika 4.17

Pored linijskih - relativnih deformacija - u ravni xOy dolazi i do zaokretanja du`i AHiAC .Ugao zaokretanja tih du`i je mali, pa mo`e da se pretpostavi da je tgα ≅ α. Sa slike 4.17 sledi:

1x

ux

u

udxdxx

uu

dxx

u

CA

CC

x

y

xx

x

y

2

2xy

+∂

∂∂

∂

=

−+∂

∂+

∂

∂

=′′

′′≈α

Veli~ina xx

x

uε=

∂

∂ je relativna deformacija u x pravcu. S obzirom da je veoma mala veli~ina

u pore|enju sa jedinicom, ista mo`e da se zanemari. U tom slu~aju je ugao zaokretanja du`i CA ′′na y osi dat izrazom:

x

uyxy

∂

∂≈α

Na isti na~in mo`e da se odredi i zaokretanje du`i AH na osi x, tj.:

y

uxyx

∂

∂≈α

Ukupna promena pravog ugla HAC daje deformaciju smicanja u ravni xOy:

x

u

y

u yxxy

∂

∂+

∂

∂=γ

Linijske deformacije u y i z pravcu, kao i deformacije smicanja u ravnima yOz i zOxodre|uju se na isti na~in, kao i napred date deformacije. Zavisnost malih deformacija odkomponentnih pomeranja, u Dekartovom pravouglom koordinatnom sistemu, glase:

z

u

x

u

z

u

y

u

z

u

y

u

x

u

y

u

x

u

xzzx

zz

zyyz

yy

yxxy

xx

∂

∂+

∂

∂=γ

∂

∂=ε

∂

∂+

∂

∂=γ

∂

∂=ε

∂

∂+

∂

∂=γ

∂

∂=ε

(4.50)

Izraze (4.50) izveo je Ko{i. Ti izrazi mogu da se napi{u u op{tem obliku 62:

∂

∂+

∂

∂=ε

i

j

j

iij x

u

x

u

2

1(4.50 a)

Normalne deformacije su pozitivne ukoliko se javlja pove}anje rastojanja izme|u ta~aka, anegativne kada se to rastojanje smanjuje. Tangencijalne deformacije se ra~unaju pozitivnim ukolikodolazi do smanjenja pravog ugla izme|u strana paralelopipeda.

Kako je napred re~eno, deformacija smicanja jednaka je zbiru dva ugla (sl. 4.17). Ovadeformacija izra`ava promenu pravih uglova izme|u strana paralelopipeda, tj. promenu oblika, panije od zna~aja kolike su pojedine vrednosti uglova αxy i αyx, ve} koliki je njihov zbir. To

omogu}uje da se ukupna deformacija smicanja u ravni podeli na dve polovine, npr. yxxy 2

1i

2

1γγ .

Ove deformacije nose iste indekse kao i tangencijalni naponi i jednake su me|usobno, tj. i za njih

va`i uslov konjugovanosti tangencijalnih deformacija ( yxxy 2

1

2

1γ=γ itd.).

Normalne i tangencijalne deformacije, kao i tenzor deformacije, mogu biti odre|eni i zacilindri~ni i sferi~ni koordinatni sistem. U tim koordinatnim sistemima deformacije su odre|eneslede}im izrazima 3,62:

- cilindri~ni koordinatni sistem (ρ, θ, z):

ρ∂

∂=ε

ρρ

u

ρ∂

∂+

θ∂

∂⋅

ρ=γ θρ

ρθ

uu1

ρ∂

∂=ε

ρρ

u

θ∂

∂⋅

ρ+

∂

∂=γ θ

θz

z

u1

z

u(4.51)

z

u zz

∂

∂=ε

z

uu zz

∂

∂+

ρ∂

∂=γ

ρρ

- sferi~ni koordinatni sistem (ρ, θ, ϕ):

θ∂

∂⋅

ρ+⋅

ρ−

ρ∂

∂=γ

θ∂

∂⋅

ϕ⋅ρ+⋅

ϕ⋅ρ−

θ∂

∂⋅

ρ=γ

⋅ρ

−ρ∂

∂+

θ∂

∂⋅

ϕ⋅ρ=γ

⋅ρ

+ϕ∂

∂⋅

ρ=ε

⋅ϕ⋅ρ

+ρ

+θ∂

∂⋅

ϕ⋅ρ=ε

ρ∂

∂=ε

ρ

ϕ

ϕ

ϕρ

ϕθ

θθϕ

θθρ

ρθ

ρ

ϕ

ϕ

ϕρθ

θ

ρρ

u1u

1u

u

sin

1u

tg

1u1

u1uu

sin

1

u1u1

utg

1uu

sin

1

u

(4.52)

Izrazima (4.50), (4.51) i (4.52) potpuno je odre|eno deformaciono stanje u bilo kojoj ta~kinapregnutog tela.

4.12. TENZOR DEFORMACIJA

4.12.1. Op{ti pojmoviPo{to su odre|ene normalne i tangencijalne deformacije mo`e da se defini{e deformaciono

stanje u bilo kojoj ta~ki napregnutog tela preko tenzora deformacije. Tenzor malih deformacijanapisan u matri~nom obliku, sli~no kao i tenzor napona glasi:

zzyzx

yzyyx

xzxyx

2

1

2

12

1

2

12

1

2

1

T

εγγ

γεγ

γγε

=ε (4.53)

Tenzor malih deformacija (4.53) se javlja simetri~nim tenzorom po{to su tangencijalnedeformacije istih indeksa, po uslovu konjugovanosti, me|usobno jednake, tj. γxy = γyx, γyz = γzy i γzx =γxz. Ovaj tenzor, kao geometrijska karakteristika deformacije, igra osnovnu ulogu u teorijideformisanja ~vrstih tela 3.

Za deformacije, isto kao i za napone mo`e da se odrede ravni u kojima odsustvujudeformacije smicanja, a javljaju se samo normalne deformacije, koje se nazivaju glavne normalnedeformacije (ε1, ε2 i ε3). Ravni u kojima su deformacije smicanja jednake nuli nazivaju se glavneravni, a normale na te ravni, u pravcu kojih se javljaju normalne deformacije, glavne osedeformacija.

Glavne normalne deformacije odre|uju se na isti na~in kako je to ura|eno pri odre|ivanjuglavnih normalnih napona. Srednja normalna deformacija ε, isto kao i srednji normalni napon,jednaka je:

33321zyx ε+ε+ε

=ε+ε+ε

=ε (4.54)

Pored glavnih normalnih deformacija, mogu da se odrede i maksimalne (glavne)deformacije smicanja. Te deformacije, isto kao i glavni tangencijalni naponi, javljaju se u ravnimakoje su paralelne jednoj koordinatnoj ravni i grade jednake uglove od 45o s drugim dvema, aodre|ene su izrazima:

133132232112 ;; ε−ε=γε−ε=γε−ε=γ (4.55)

Suma glavnih tangencijalnih deformacija jednaka je nuli.

4.12.2. Razlaganje tenzora deformacijeTenzor deformacije, isto kao i tenzor napona, mo`e da se razlo`i na sferi~ni tenzor

deformacije TεS i devijator tenzora deformacije Dε, tj. :

εεε += DTT S (4.56)

Sferi~ni tenzor deformacije, napisan u matri~nom obliku, glasi:

ijS

00

00

00

T δ⋅ε=

ε

ε

ε

=ε (4.57)

Devijator tenzora deformacije dobija se kao razlika tenzora deformacije Tε i sferi~nogtenzora deformacije Tε

S. U matri~nom obliku glasi:

*ij

zzyzx

yzyyx

xzxyx

2

1

2

12

1

2

12

1

2

1

T ε=

ε−εγγ

γε−εγ

γγε−ε

=ε (4.58)

gde su:

εδ−ε=ε ijij*ij -komponente devijatora tenzora deformacije.

Srednja normalna deformacija ε, kao suma normalnih deformacija, uvo|enjem izraza (1.7a),jednaka je nuli. To zna~i da je i sferi~ni tenzor deformacije Tε

S = 0. Kako ovaj tenzor karakteri{epromenu zapremine, sledi da je ta promena zanemarljiva, odnosno jednaka nuli. Neznatna promenazapremine mo`e da se javi pod optere}enjem usled elasti~nih deformacija i ista i{~ezava poprestanku dejstva spolja{njeg optere}enja.

Zamenom TεS = 0 u izraz (4.56), dobija se:

εε = DT (4.56a)

S obzirom da pri plasti~nom deformisanju dolazi do promene oblika tela, to na osnovuizraza (4.56a) sledi da devijator tenzora deformacije karakteri{e upravo promenu oblika.

4.12.3. InvarijanteU teoriji obrade deformisanjem od zna~aja su invarijante devijatora tenzora deformacije.

Prva invarijanta devijatora tenzora deformacije jednaka je nuli, tj. :

( ) ( ) ( ) ( ) 0DI zyx1 =ε−ε+ε−ε+ε−ε=ε (4.59)

Druga invarijanta devijatora tenzora deformacije jednaka je zbiru minora ~lanova po glavnojdijagonali. Posle sre|ivanja mo`e da se napi{e u obliku:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2zx

2yz

2xy

2xz

2zy

2yx2 2

361

DI γ+γ+γ+ε−ε+ε−ε+ε−ε−=ε (4.60)

Dvostruka vrednost korena od modula druge invarijante devijatoa tenzora deformacijejednaka je intenzivnosti tangencijalne deformacije, tj. :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2zx

2yz

2xy

2xz

2zy

2yx2i 2

332

DI2 γ+γ+γ+ε−ε+ε−ε+ε−ε⋅==γ ε (4.61)

U koordinatnom sistemu glavnih osa deformacija γi glasi:

( ) ( ) ( )213

232

221i 3

2ε−ε+ε−ε+ε−ε⋅=γ (4.61a)

Pored intenzivnosti tangencijalne deformacije, u teoriji deformacije uvode se i slede}eveli~ine, i to:

- oktaedarska deformacija smicanja:

( ) ( ) ( )213

232

221o 3

2ε−ε+ε−ε+ε−ε⋅=γ (4.62)

- oktaedarska normalna deformacija:

3321

oε+ε+ε

=ε=ε (4.63)

- intenzivnost deformacije:

( ) ( ) ( )213

232

221i 3

2ε−ε+ε−ε+ε−ε⋅=ε (4.64)

Izme|u pojedinih deformacija postoje odre|eni odnosi, i to:

( )

( )

( )maxi

maxi

maxo

155.11

155.11

941.0816.0

γ⋅÷=ε

γ⋅÷=γ

γ⋅÷=γ

(4.65)

gde su:

γmax,εmax- najve}e apsolutne tangencijalne i normalne deformacije.

Geometrijsko prikazivanje deformacionog stanja, isto kao i naponskog stanja, veoma jeo~igledno preko dijagrama Mora.

Za razliku od Mor-ovog kruga napona u kome osa τn mo`e da se~e, ili ne krugove, u Mor-ovom krugu deformacija osa uvek γ se~e krugove, jer va`i uslov (1.7a), odnosno tenzor deformacijeje jednak devijatoru tenzora deformacije (4.56a). Odre|ivanje polo`aja ose γ je jednostavno io~igledno sa slike 4.18.

Slika 4.18

4.13. NEPREKIDNOST DEFORMACIJEKomponente tenzora deformacije (4.53) odre|ene su izrazima (4.50), (4.51) i (4.52). One su

date u funkciji komponentnih pomeranja. Zato izme|u njih postoji odre|ena zavisnost, koja senaziva uslov neprekidnosti deformacija. Iz tog uslova mogu da se izvedu tri diferencijalne jedna~inekompatibilnosti deformacija, koje uspostavljaju zavisnost izme|u komponentnih deformacija. Tejedna~ine ne zavise od materijala koji se deformi{e.

Izvo|enje jedna~ine kompatibilnosti deformacijepokaza}e se za ravansko naponsko ideformaciono stanje u ravni x-z. Sve deformacije ne zavise od y, a pomeranje uy ne zavisi od x i z.

U tom slu~aju postoje slede}e komponentne deformacije:

x

u

z

u;

z

u;

x

u zxxz

zz

xx

∂

∂+

∂

∂=γ

∂

∂=ε

∂

∂=ε

Dvostrukim diferenciranjem εx po z i εz po x dobija se :

2z

3

2z

2

2x

3

2x

2

xz

u

xz;

zx

u

z ∂∂

∂=

∂∂

ε∂

∂∂

∂=

∂

ε∂

Sre|ivanjem prethodnih izraza dobija se:

∂

∂+

∂

∂

∂∂

∂=

∂

ε∂+

∂

ε∂

x

u

z

u

zxxzzx

2

2z

2

2x

2

U prethodnoj jedna~ini izraz u zagradi predstavlja defomaciju smicanja γxz. Na isti na~inmogu da se izvedu i druge dve jedna~ine kompatibilnosti deformacija, tako da se kona~no dobija34,62:

xzzx

zyyz

yxxy

zx2

2x

2

2z

2

yz2

2z

2

2

y2

xy2

2y

2

2x

2

∂∂

γ∂=

∂

ε∂+

∂

ε∂

∂∂

γ∂=

∂

ε∂+

∂

ε∂

∂∂

γ∂=

∂

ε∂+

∂

ε∂

(4.66)

Na isti na~in mogu da se izvedu jo{ tri jedna~ine kompatibilnosti 34:

∂

γ∂−

∂

γ∂+

∂

γ∂

∂

∂=

∂∂

ε∂

∂

γ∂−

∂

γ∂+

∂

γ∂

∂

∂=

∂∂

ε∂

∂

γ∂−

∂

γ∂+

∂

γ∂

∂

∂=

∂∂

ε∂

zyxzyx2

yxzyzx2

xzyxzy2

xyzxyzz2

zxyzxyy2

yzxyzxx2

(4.66a)

Diferencijalne jedna~ine kompatibilnosti deformacija sadr`e {est nepoznatih komponentnihdeformacija. Iz tih jedna~ina se vidi da kad su poznate dve deformacije, tre}a deformacija jepotpuno odre|ena i jedinstvena.

4.14. BRZINA DEFORMACIJEO pojmu kona~ne brzine deformacije ve} je bilo re~i u ta~ki 3.2. U ovoj ta~ki se analiziraju

male brzine deformacije.

U procesu plasti~nog deformisanja dolazi do kretanja neprekidne sredine. Pri tome se menjame|usobno rastojanje materijalnih ~estica. Kako je promena rastojanja izme|u pojedinih ta~aka, uop{tem slu~aju razli~ita, to su razli~ite i brzine deformacije.

Trenutno stanje kretanja neprekidne sredine mo`e da se odredi poljem brzine:

)t,z,y,x(uu ii && = (4.67)

~ije su projekcije u pravcima koordinantnih osa:

)t,z,y,x(fu

)t,z,y,x(fu

)t,z,y,x(fu

3z

2y

1x

=

=

=

&

&

&

(4.67a)

Projekcije brzina pomeranja ta~aka neprekidne sredine predstavljaju izvode komponenatapomeranja po vremenu:

t

uu;

t

uu;

t

uu z

zy

yx

x∂

∂=

∂

∂=

∂

∂= &&& (4.67b)

Vrednosti projekcija brzina pomeranja pojedinih ta~aka grafi~ki su prikazane na uglovimaelementarnog paralelopipeda (sl. 4.19) 6. Te brzine, s obzirom da su funkcije koordinata ivremena, menjaju se od ta~ke do ta~ke. Grani~na vrednost odnosa razlike brzina pomeranja u dvesusedne ta~ke i njihovog rastojanja, kada to rastojanje te`i nuli, odre|uje brzinu deformacije uodre|enoj ta~ki. Za dobijanje izraza, npr. za normalnu komponentu brzine deformacije u x pravcumo`e da poslu`i slika 4.20, naime:

x

u

dx

udxx

uu

xx

xx

x∂

∂=

−∂

∂+

=ε&

&&

&& (4.68a)

Na isti na~in se dobijaju izrazi za normalne komponente brzine deformacije u y i z pravcu:

z

u;

y

uz

zy

y∂

∂=ε

∂

∂=ε

&&

&& (4.68b)

Slika 4.19

Slika 4.20

Tangencijalne komponente brzine deformacije, koje izra`avaju brzinu promene pravog ugla(npr. CAB sl. 4.20) odre|uju se na slede}i na~in:

z

u

x

u

dz

udzz

uu

dx

udxx

uu

xzx

xxz

zz

xz∂

∂+

∂

∂=

−∂

∂+

+−

∂

∂+

=β+α=γ&&

&&

&&&

&&&& (4.69a)

Na isti na~in se odre|uju i druge dve tangencijalne komponente brzine deformacije:

y

u

z

u

x

u

y

u

zyyz

yxxy

∂

∂+

∂

∂=γ

∂

∂+

∂

∂=γ

&&&

&&&

(4.69b)

Normalne i tangencijalne komponente brzine deformacije mogu da se izraze i u funkcijikomponenata deformacija. Da bi se do{lo do te veze treba zameniti komponente brzine pomeranja uizrazima (4.68) i (4.69) izrazom (4.67b), tj.:

tx

u

y

u

ttx

u

ty

u

x

u

y

u

tx

u

ttx

u

x

u

xyyxyxyxxy

xxxxx

∂

γ∂=

∂

∂+

∂

∂

∂

∂=

∂∂

∂+

∂∂

∂=

∂

∂+

∂

∂=γ

∂

ε∂=

∂

∂

∂

∂=

∂∂

∂=

∂

∂=ε

&&&

&&

(4.70a)

Na isti na~in se dobijaju i ostale zavisnosti:

t;

t

t;

t

zxzx

yzyz

zz

yy

∂

γ∂=γ

∂

γ∂=γ

∂

ε∂=ε

∂

ε∂=ε

&&

&&

(4.70b)

Normalne i tangencijalne komponente brzine deformacije predstavljaju komponentesimetri~nog tenzora, koji se naziva tenzor brzine deformacije. Taj tenzor u matri~nom obliku glasi:

zzyzx

yzyyx

xzxyx

2

1

2

12

1

2

12

1

2

1

T

εγγ

γεγ

γγε

=ε

&&&

&&&

&&&

& (4.71)

Za tenzor brzine deformacije va`e ista svojstva, kao i za tenzore napona i deformacije. Ovajtenzor je simetri~an, {to zna~i da su tangencijalne komponente brzine deformacije koje imaju isteindekse jednake. Pored toga, i ovde postoje glavne ose u kojima odsustvuju tangencijalnedeformacije, a postoje samo tri glavne normalne brzine deformacije 321 i, εεε &&& .

Tenzor brzine deformacije ima, isto kao i tenzori napona i deformacije, tri invarijante, i to:

( )

( ) ( ) ( )

( ) 321

zzyzx

yzyyx

xzxyx

3

133221zxyzxyzxzyyx2

321zyx1

2

1

2

12

1

2

12

1

2

1

TI

4

1TI

0TI

ε⋅ε⋅ε=

εγγ

γεγ

γγε

=

εε+εε+εε=γ+γ+γ−εε+εε+εε+=

=ε+ε+ε=ε+ε+ε=

ε

ε

ε

&&&

&&&

&&&

&&&

&&&&&&&&&&&&&&&

&&&&&&

&

&

&

(4.72)

S obzirom da se pri plasti~nom deformisanju ne menja zapremina, to sledi da je ( ) 0TI1 =ε& .

Tenzor brzine deformacije mo`e da se razlo`i na sferi~ni tenzor brzine deformacije, i nadevijator tenzora brzine deformacije. Po{to sferi~ni tenzor brzinedeformacije ima samo komponente

na glavnoj dijagonali koji su ( ) 0TI3

1i ==ε=ε ε&

&& , to je tenzor brzine deformacije jednak devijatoru

tenzora brzine deformacije ( )ε&D , koji je povezan sa promenom oblika neprekidne sredine.

U teoriji plasti~nosti od zna~aja je druga invarijanta devijatora tenzora brzine deformacije.Preko te veli~ine mo`e da se defini{e intenzivnost brzine deformacije smicanja:

( ) ( ) ( ) ( )213

232

2212i

6

2DI2 ε−ε+ε−ε+ε−ε==γ ε &&&&&&& & (4.73)

Po analogiji sa (4.62) uvodi se intenzivnost brzine deformacije:

( ) ( ) ( )213

232

221

ii 3

2

3ε−ε+ε−ε+ε−ε⋅=

γ=ε &&&&&&

&& (4.74)

kao i oktaedarska brzina deformacije smicanja:

( ) ( ) ( )213

232

2210 3

2ε−ε+ε−ε+ε−ε=γ &&&&&&& (4.75)

Za brzine deformacija, isto kao za deformacije i napone mo`e da se konstrui{e Mohr-ovkrug napona.