4. IV. 2018 09:40(M. Gintner: Základy fyziky)

4 Viacrozmerný pohyb

4.1 Geometria fyzikálneho priestoru

rozmernosť fyzikálneho priestoru = minimálny počet údajov potrebných na jednoznačné zadefinovanie polohy HB

Náš fyzikálny priestor sa javí ako trojrozmerný.

Aká je jeho geometria? Čo je v ňom najkratšia spojnica dvoch bodov? Pretnú sa v ňom niekedy dverovnobežky? Čomu sa v ňom rovná súčet všetkých uhlov v trojuholníku? Aký dlhý je v ňom obvodkruhu?

Príklad, keď sú veci trochu inak, než sme zvyknutí a pritom to máme rovno pod nosom:

geometria na povrchu gule (napr. zemský glóbus)

➢ Najkratšou spojnicou je kružnicový oblúk: zakrivenáčiara (kriamka), ktorú keď sledujeme v jednom smere,dostaneme sa tam, odkiaľ sme vyšli. Na povrchu Zemesú kriamkami napríklad rovník a poludníky.

➢ Dve kriamky kolmé na kriamku sa pretnú. Napríklad,dva poludníky, ktoré sú kolmé na rovník, sa stretnú napóloch.

➢ Súčet uhlov v trojuholníku je väčší ako .

➢ Obvod kruhu závisí na veľkosti zakrivenia, dostaneme len ako limitný prípad, keď polomer gulepošleme do nekonečna.

Toto všetko sa môžu dvojrozmerné bytosti dozvedieť o svojom svete meraniami, ktorými bytestovali rôzne geometrické vzťahy.

Podobne aj my sa môžeme meraním dozvedieť, aká je geometria nášho fyzikálneho priestoru. Jezrejmé, že v každom danom čase budú tieto merania limitované našimi technickými možnosťami.To sa týka ako rozsahu vzdialeností a veľkostí, na ktorých môžme geometrické vzťahy testovať, takaj presnosti tohoto testovania. Akékoľvek tvrdenie o geometrii nášho sveta by teda malo byťdoplnené informáciou o jeho presnosti a rozsahu platnosti.

1

Historicky sa geometrické vzťahy začali systematicky testovať pri vzniku prvých kultúr acivilizácií, ktoré začali stavať chrámy, paláce, pyramídy, kresliť mapy, rozdeľovať pozemky,budovať zavlažovacie systémy, konštruovať veľké lode. Pri všetkých takýchto úlohách dochádzalonevyhnutne k objavovaniu geometrických vzťahov, ktoré fungujú v našom svete. Taktonahromadená experimentálna skúsenosť viedla k formulovaniu Euklidovej geometrie, v tej podobe,ako nás ju učia počas základnej a strednej školy.

Za experimentálne overený fakt môžeme považovať tvrdenie, že zhruba v rozsahu platnostiNewtonovej fyziky je náš fyzikálny priestor veľmi dobre popísaný trojrozmernou Euklidovougeometriou. Ak každému bodu nášho sveta priradíme bod geometrického priestoru, tak priestorovévzťahy medzi objektami nášho sveta sa riadia euklidovskými vzťahmi v tomto geometrickompriestore.

súradnicové sústavy:

Tri nezávislé čísla jednoznačne popisujúce polohu daného bodu v 3D priestore nazývame jehosúradnicami. Počiatok súradnicovej sústavy zvyčajne stotožňujeme s polohou vzťažného telelsa.Najčastejšie používané súradnicové sústavy v 3D priestore:

prevody:

cylindrické ↔ kartézske

sférické ↔ kartézske

cylindrické ↔ sférické

2

vektory:

S trojrozmerným Euklidovym priestorom sa dá asociovať trojrozmerný vektorový priestor. Každejdvojici bodov priradíme vektor, ktorý bude smerovať od jedného bodu k druhému. Dĺžka vektorabude daná vzdialenosťou týchto bodov.

Ak nulový vektor stotožníme s počiatkom kartézskej súradnicovej sústavy a tri vektoryortonormálnej bázy budú ležať na osiach , a s rovnakou orientáciou ako majú tietoosi, potom kartézske súradnice koncového bodu vektora budú totožné so súradnicami tohotovektora v báze :

derivácia vektora podľa času:

Ak vektor reprezentuje fyzikálnu veličinu meniacu sa s časom, potom má zmysel uvažovať ovýpočte okamžitej rýchlosti zmeny tejto veličiny. Tak sa na scénu dostáva otázka, ako definovaťderiváciu vektorovej veličiny podľa času.

Rozložme vektor vo vektorovej báze , ktorej bázové vektory sa nemenia s časom.Potom prirodzená definícia časovej derivácie vektora je

(1)

Použijúc túto definíciu a vlastnosti vektorov a derivácií, ľahko ukážeme, že

(2)

(3)

(4)

(5)

3

polohový vektor:

Polohový vektor určuje polohu daného bodu vzhľadom na referenčný bod (vzťažné teleso) .

Polohový vektor je vždy viazaný na dané vzťažné teleso a teda k nemu pridruženú vzťažnú sústavu.Ako sme už spomínali, počiatok súradnicovej sústavy zvyčajne stotožníme s referenčným bodom.Ak pracujeme s kartézskou sústavou a zladíme jej osi s ortonormálnou bázou, potom kartézskesúradnice HB budú súčasne vektorovými súradnicami polohového vektora.

4

4.2 Pohyb, rýchlosť, zrýchlenie

Pohyb je zmena polohy s časom. To znamená, že sa s časom mení polohový vektor:

Ak sa s časom nemení báza , potom sa závislosť na čase musí ukrývať v jehosúradniciach:

. (6)

Všimnime si, že vzťah (6) sa dá tiež interpretovať ako skladanie/rozkladanie pohybov: zloženímtroch jednorozmerných pohybov , a dostaneme výsledný pohyb .

Časovú zmenu polohy za čas dostaneme ako rozdiel polohových vektorov v čase a .Výsledkom je očividne opäť vektor (zmeny polohy)

. (7)

Z rovnakých dôvodov ako v jednorozmenrom prípade je pre popis pohybu telesa užitočné poznať,ako rýchlo sa mení jeho poloha. To znamená zaviesť priemernú rýchlosť (zmeny polohy telesa)

. (8)

Z definície vyplýva, že priemerná rýchlosť je nevyhnutne tiež vektorovou veličinou.

Teraz sme už len krok od zavedenia (okamžitej) rýchlosti

. (9)

Nakoniec zadefinujeme priemerné a okamžité zrýchlenie. Priemerné zrýchlenie je priemernárýchlosť zmeny priemernej rýchlosti

(10)

5

Opäť ide o vektorovú veličinu. Okamžité zrýchlenie je priemerným zrýchlením za nekonečne krátkyčas

. (11)

Keď spojíme (9) s (11), dostaneme

. (12)

Príklad: HB sa pohybuje s konštantným zrýchlením ,pričom v čase má rýchlosť , a nachádza sa v bode . Nájdite , a tvar trajektórie HB.

riešenie: Ide o veľkú inverznú úlohu v troch rozmeroch. V prvom kroku budeme riešenímdiferenciálne rovnice hľadať rýchlosť . Rozpíšme túto DR cezsúradnice v ortonormálnej báze

Ľavá strana sa bude rovnať pravej práve vtedy, keď sa budú navzájom rovnať súradnice pri rovnakých bázových vektoroch, čiže táto DR predstavuje vlastne tri DR:

DR

všetky riešenia

PP

Ci

riešenie

Takže sme našli rýchlosť pohybu HB ako funkciu času. V kompaktnejšom tvare má nájdené riešenie podobu

V druhom kroku nájdeme riešením DR polohový vektor . Opäť ide vlastne o riešenie troch DR:

DR

všetky riešenia

PP

6

Ci

riešenie

Takže pohyb HB je popísaný polohovým vektorom

Nakoniec nám zostáva určiť, akú krivku opisuje trajektória nášho HB. Je jasné, žecelý pohyb sa bude odohrávať iba v rovine . Súradnice a mámeparametrizované pomocou času. Tento parameter môžeme odstrániť, keď vyjadríme z a dosadíme ho do . Dostaneme

,

čo je rovnica prevrátenej paraboly. Znalci už určite rozpoznali, že pohyb, ktorým sa tu zaoberáme, zodpovedá vodorovnému vrhu v homogénnom gravitačnom poli.

Ako je vidno aj z tohoto príkladu, napriek tomu, že náš fyzikálny priestor je trojrozmerný, prianalýze niektorých pohybov si vystačíme s menším počtom súradníc, pokiaľ si vhodne zvolímesúradnicovú sústavu.

V dvojrozmernom priestore sa najčastejšie na popis polohy používa dvojrozmerná kartézskasúradnicová sústava . Okrem toho polárna súradnicová sústava , ktorú dostaneme,keď v cylindrickej sústave položíme .

7

4.3 Vektorový opis pohybu po kružnici

Pohyb po kružnici sa odohráva v rovine, preto si vystačíme pri jeho opise s dvoma súradnicami.Najjednoduchšie bude, keď si zvolíme za počiatok (a teda vzťažný bod) stred kružnice. Polohovývektor teda začína v strede kružnice a smeruje k HB, ktorý obieha po kružnici o polomere .

Dĺžka polohového vektora sa s časom nemení

(13)

Priemerná rýchlosť HB je rovnobežná so zmenou polohy , čo ostáva v platnosti aj pre okamžitúrýchlosť, ktorú dostaneme z priemernej rýchlosti v limite . V tejto limite sa však uhol medzi

a bude rovnať . Suma sumárum to znamená, že okamžitá rýchlosť HB je pri pohybe pokružnici vždy kolmá na spojnicu stredu kružnice a HB. Pri voľbe stredu kružnice ako vzťažnéhobodu je teda aj .

Posledné tvrdenie sa dá ľahko dokázať, ak zderivujeme podľa času skalárny súčin :

(14)

Keďže sa dĺžka nemení, je z (13) jasné, že derivácia podľa času sa musí rovnať nule, čiže

(15)

To teda znamená, že , pretože ani , ani nie sú nulové vektory.

V limite sa dĺžka rovná dĺžke oblúka, ktorú na našej kružnici vysekáva uhol

(16)

Potom pre veľkosť okamžitej rýchlosti dostaneme

8

, (17)

kde sme využili vzťah (16) a dosadili uhlovú rýchlosť . Takto sme zreprodukovali vzťahpre obvodovú rýchlosť pre pohyb po kružnici, ktorú sme zaviedli v kapitole o jednorozmernejkinematike.

V ďalšom kroku povýšime veličiny , a , ktoré sme zaviedli, keď sme pohyb po kružnicianalyzovali ako jednorozmerný pohyb, na vektorové veličiny, ktoré popisujú pohyb po kružnici vtrojrozmernom priestore. Toto povýšenie nám umožní popisovať tento pohyb spôsobom nezávislýmna orientácii roviny kružnice v priestore.

uhol :

➢ má smer vektorového súčinu vektorov, ktoré hovymedzujú. V prípade, že uhol meriame od osi , je

. Vektor je teda kolmý na rovinu kružnice.

➢ Dĺžka je daná veľkosťou uhla .

Keďže smer vektora je určený pomocou vektorového súčinu, bude v súvislosti s hľadanímorientácie asi užitočné spomenúť si na pravidlo pravej ruky: zahnuté prsty pravej ruky musiasmerovať od osi k polohovému vektoru a vztýčený palec potom ukazuje orientáciu vektora .

Nakoniec ešte poznamenajme, že podľa všeobecnej dohody sa za kladný smer otáčania považujeotáčanie proti smeru hodinových ručičiek.

uhlová rýchlosť :

Rýchlosť zmeny uhla je daná vzťahom

(18)

Ak sa s časom nemení rovina kružnice, po ktorej HB obieha, potom je . S časom sa totiž menílen dĺžka vektora , ale nie jeho smer a teda . Vektor uhlovej rýchlosti je v takomtoprípade kolmý na rovinu kružnice.

uhlové zrýchlenie :

Rýchlosť zmeny uhlovej rýchlosti je rovná nasledovnej časovej derivácii

9

(19)

Keď sa s časom nemení smer , je .

okamžitá rýchlosť :

Teraz nájdeme vzťah medzi uhlovou a okamžitou rýchlosťou pre HB, ktorý sa pohybuje pokružnici.

Pretože v limite platí

,

potom

.

Odkiaľ po dosadení príslušných veličín dostaneme vzťah medzi okamžitou a uhlovou rýchlosťou

(20)

okamžité zrýchlenie :

Vychádzajúc zo vzťahu (20) môžeme nájsť súvis medzi okamžitým a uhlovým zrýchlením:

(21)

Vidíme, že okamžité zrýchlenie pri pohybe po kružnici pozostáva z dvoch častí. Prvý člen na pravejstrane (21),

(22)

nazývame tangenciálne (dotyčnicové) zrýchlenie. Jeho veľkosť je rovná obvodovému zrýchleniu nakružnici z kapitoly o jednorozmerných pohyboch. Tangenciálne zrýchlenie leží vždy na dotyčniciku kružnici v mieste, kde sa nachádza HB. V prípade, že sa HB pohybuje po kružnici s konštantnourýchlosťou, čiže , je tangenciálne zrýchlenie nulové.

Druhý člen na na pravej strane (21),

, (23)

sa zvykne nazývať normálové (dostredivé) zrýchlenie. Pomocou pravidla pravej ruky alebopriamym odvodením z (23) zistíme, že toto zrýchlenie vždy smeruje do stredu kružnice, čiže je

10

kolmé na vyššiespomenutú dotyčnicu. Skutočne, keď dosadíme (20) do (23), dostaneme1

, (24)

kde . Očividne . Pre veľkosť dostredivého zýchlenia dostaneme známy vzťah

. (25)

Pri jeho odvádzaní sme využili, že a že zo vzťahu (20) vyplýva .

kartézske súradnice polohy, rýchlosti a zrýchlenia:

Odvodili sme vzťahy pre rýchlosť a zrýchlenie pohybu HB po kružnici v obecnej vektorovejpodobe. Pri riešení konkrétnych problémov nás často budú zaujímať kartézske zložky týchtoveličín.

Polohový vektor:

,

kde

(26)

Pri našej voľbe kartézskej súradnicovej sústavy vyzerajú kartézske súradnice uhlovej polohy,uhlovej rýchlosti a uhlového zrýchlenia nasledovne

, (27)

kde a . Kartézske súradnice rýchlosti dostaneme derivovaním súradníc (26):

(28)

Úloha: Odvoďte vzťahy (28) z (20).

riešenie: Vzťahy (28) dostaneme, keď do (20) dosadíme (26) a (27):

1 Využijeme tiež vzťah známy z algebry vektorového súčinu .

11

Nakoniec nájdeme v kartézskom súradnicovom systéme vyjadrenie pre zrýchlenie. Keď zderivujeme podľa času (28), dostaneme

(29)

Aby sme dešifrovali, ktoré časti kartézskych súradníc celkového zrýchlenia zodpovedajútangenciálnemu a ktoré dostredivému zrýchleniu, dosadíme kartézske vyjadrenia vektorov , , a

do (22) a (23)

(30)

(31)

Sčítaním týchto výrazov pre tangenciálne a dostredivé zrýchlenie naozaj dostaneme celkovézrýchlenie (29)

(32)

rozklad pohybu po kružnici na dva harmonické pohyby:

V kapitole o jednorozmernom pohybe sme zaviedli harmonický pohyb a ukázali jeho súvis skolmým priemetom rovnomerného pohybu HB po kružnici na priamku prechádzajúcu stredom tejtokružnice. V tejto chvíli, keď sme zvládli opis pohybu HB po kružnici pomocou trojrozmernéhopolohového vektora, je namieste pozrieť sa na tento súvis vo vektorovej formulácii.

Jeden z možných spôsobov rozkladu pohybu po kružnici na dva jednorozmerné pohyby dostaneme,keď polohový vektor opisujúci tento pohyb rozložíme na súčet dvoch vektorov, a , zktorých každý bude smerovať pozdĺž jednej z kartézskych osí v rovine kružnice:

(33)

Potom

(34)

(35)

Ak sa HB pohybuje po kružnici s konštantnou uhlovou rýchlosťou , čiže , potom každýz polohových vektorov a reprezentuje jednorozmerný harmonický pohyb. Samozrejme,nie je nevyhnutné vybrať práve osi a za priamky, na ktoré premietame pohyb po kružnici, abysme dostali harmonický pohyb. Rovnako dobre poslúži každá priamka prechádzajúca stredomkružnice.

12

4.4 Prechody medzi vzťažnými sústavami

Uvažujme dve vzťažné sústavy, a , ktorých definičné vzťažné body sú a . Nech je polohový vektor voči . Vo všeobecnosti sa poloha voči môže meniť,takže môže byť funkciou času. Nech opisuje pohyb HB v a pohyb v .

: … pohyb voči

: … pohyb voči

… pohyb voči

Vzťah medzi polohami (a pohybmi) bodu voči a voči :

(36)

kde a sú časy merané vlastnými hodinami každej z týchto sústav, t.j. takými, ktoré sú nehybnévoči a voči . Nazvime tieto časy vlastnými časmi príslušných VS. Rýchlosť v každej VS jedefinovaná ako zmena polohy za jednotku vlastného času danej VS. Takže rýchlosť v je

(37)

a rýchlosť v

(38)

Rýchlosť v je daná rýchlosťou voči

(39)

Teraz predpokladajme, že sme experimentálne zistili, že fyzikálne deje trvajú z pohľadu obidvochVS rovnako dlho2, keď ich v každej VS meriame jej vlastnými hodinami. To znamená, žeakýkoľvek časový interval trvania nejakého deja v je číselne rovný časovému intervalutrvania tohoto deja z pohľadu

2 To, že nemusí byť pravda, že čas v každej VS beží rovnako rýchlo, nás mohlo napadnúť už pri jednorozmerných pohyboch. Zdalo sa nám ale, že tam má čitateľ dostatok práce so zvládnutím iných skutočností a tak sme si túto zaujímavosť odložili na neskôr.

13

(40)

Ak naviac začneme merať čas v oboch sústavách súčasne, tak aj . Potom

(41)

Analogicky dostaneme za uvedených predpokladov transformačný vzťah pre zrýchlenie

(42)

kde je zrýchlenie v , je zrýchlenie v a zrýchlenie voči .

14