4) unidad 1_intensiva2013

FRT - UTN Matemática Unidad 1

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Ing. Jaime Raúl SaavedraCoordinador Área Matemática

OBJETIVOS Definir a los conjuntos numéricos

Distinguir entre racional e irracional, entre real ycomplejo

Recordar la aritmética de los números reales ycomplejos

Adquirir habilidad en la resolución de situacionesproblemática


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Unidad 1 Matemática FRT - UTN

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unidad 1 Repasando:Conjuntos Numéricos

CONJUNTOS NUMÉRICOS

Cuando nos comunicamos en nuestra vida cotidiana y utilizamos el

término “conjunto”, seguramente nos estamos refiriendo a un grupo de

objetos de alguna naturaleza determinada.

Bueno, en matemática esta expresión no está para nada alejada de lo

que tu entiendes por un conjunto, la diferencia radica en que los

conjuntos que trataremos son aquellos que están formados por números.

Los números son elementos fundamentales en el estudio de la

matemática, ya que gracias a ellos se pueden precisar o determinar

exactamente respuestas a algunas de las preguntas del ser humano, es

por esto que es tan importante analizarlos, trabajarlos y lo que haremos

en esta unidad, agruparlos.

NÚMEROS NATURALES

Los números naturales son los que normalmente

ocupamos para contar, se representan por el

símbolo N. Y sus elementos son:

N = {1, 2, 3, 4, . . .1}

Este conjunto es “cerrado” bajo la suma y lamultiplicación, es decir, para todo par de números en N,su suma y su multiplicación también es un númeronatural.

Este conjunto NO es “cerrado” bajo la resta y la división,ya que para todo par de números en N, su diferencia ydivisión NO es necesariamente un número natural.

NÚMEROS CARDINALES

Cuando en el conjunto de los números naturales incluimos el 0, se

denomina como Números Cardinales, se representa por el símbolo N0, y

sus elementos son:

N0 = {0, 1, 2, 3, 4, . . .1}

CARDINALIDAD

Cuando queremoshablar de cantidadesdentro de los conjuntos,o aclarar si un conjuntoes más grande o no queotro, introducimos untérmino que llamamoscardinalidad, ésta solodepende del número deobjetos de nuestroconjunto.

Ejemplo: la cardinalidaddel siguiente conjunto es6.


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NÚMEROS NATURALES




N = {1, 2, 3, 4, . . .1}



NÚMEROS CARDINALES



sus elementos son:

N0 = {0, 1, 2, 3, 4, . . .1}

CARDINALIDAD




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NÚMEROS NATURALES




N = {1, 2, 3, 4, . . .1}



NÚMEROS CARDINALES



sus elementos son:

N0 = {0, 1, 2, 3, 4, . . .1}

CARDINALIDAD




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NÚMEROS ENTEROS

Es el conjunto formado por todos losnúmeros sin cifra decimal, es decir, losnúmeros naturales, sus inversos aditivos, y elneutro aditivo.

Z = {−. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .}

Observa que . . .

A diferencia de los números Naturales, este conjunto si es“cerrado” bajo la suma, la resta y la multiplicación; es decir,para todo par de números enteros, su suma, multiplicación ydiferencia es siempre un número entero.Pero como el mundo no es tan bello, este conjunto noconserva a la división, ya que una división entre dos númerosenteros no es necesariamente un número de Z.

NÚMEROS RACIONALES

Representados por Q y que cumple que para cada parde números racionales, la suma, resta, multiplicación ydivisión (excepto por cero), es siempre un número de Q,a este tipo de conjuntos se les conoce como CUERPO. Alconjunto de los números racionales lo representamosasí:

/ , , 0pQ p q Z qq

El conjunto Q a veces es llamado conjunto fraccionario.

Propiedades de las fracciones

PROPIEDAD EJEMPLO

.a c acb d bd

3 7 3.7 21.5 6 5.6 30

: .a c a db d b c

3 7 3 6 18: .5 6 5 7 35

a b a bc c c

3 4 3 4 75 5 5 5

a c ad bcb d bd

3 4 3.7 4.5 21 20 415 7 35 35 35

ac abc b

3.7 215.2 10

a cSi entonces ad bcb d

3 7 3.8 3.75 8

Se dice que un númeroa tiene inverso aditivo,si existe un b tal que,a + b = 0; b es tambiénconocido como − a.

Para cualquier númerox existe un único quecumple que:x + (ese único) = x; aese número loconocemos comoneutro aditivo, (otambién conocidocomo 0).

Cada elemento de Q

tiene los llamados

inversos multiplicativos,

que son aquellos que al

multiplicarse por el

elemento obtenemos 1.

Ejemplo:

15 . 15 , por lo tanto, el

inverso multiplicativo de

5 es 15

.


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Forma decimal

Toda fracción tiene su representación como número decimal, para

obtenerlo basta dividir el numerador con el denominador.

Un número Q puede tener tres tipos diferentes de expresiones decimales:

Decimal finita: 0,3 ; - 0,107 ; 12,0001

Decimal periódica pura:

0,5 = 0,555... ; 7,20 = 7,202020...

Decimal periódica mixta:

0,15 = 0,15555... ; 5,2513 = -5,251313...

Todo número racional puede escribirse como unaexpresión decimal cuya parte decimal puede tener unnúmero finito o infinito de cifras periódicas, puras o mixtas.

Para convertir un decimal en fracción, usamos la siguiente regla:

Ejemplo: pasar a fracción el número 23,35

NÚMEROS IRRACIONALES

Es el conjunto de todos los números que nopertenecen al mundo de los racionales, es decir nose pueden escribir como fracción ya que tieneninfinitos decimales sin ninguna relación. Una formade enunciar sus elementos es:

I = { a / a Q}

Algunos elementos de éste conjunto son: , , 2e , etc . . .

Observa que . . .Entre el conjunto de los números racionales y el de losirracionales no existe ningún elemento en común. Además,NO es un cuerpo, ya que sus elementos al sumarse, restarse,multiplicarse, o dividirse pueden obtener un número

racional, como por ejemplo; 2 12 , y 1 no es un numero

irracional.

todas las cifras de la expresión - las cifras no periódicas de la expresióntantos 9 como cifras decimales periódicas y tantos 0 como cifras decimales no periódicas

2335 233 2102 105123,3590 90 45


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NÚMEROS REALES

Es el conjunto que obtenemos entre la unión de todos los conjuntos que

hemos visto, pero como te habrás dado cuenta, en los números

racionales están ya incluidos los naturales y los enteros, entonces basta

decir que:

R = Q I

Ver diagrama de Venn del conjunto de los números R.

El conjunto de los números reales también puede representarse sobre una

recta. A cada número real le corresponde un único punto de la recta, y

cada punto de la recta representa un único número real.

A esta recta la llamamos recta real.

No siempre somos capaces de representar exactamente a un número

real, sin embargo siempre es posible obtener una representación

aproximada de él a partir de su expresión decimal.

Ejemplo: representa los siguientes números reales 52; 3; 0,2; ; 24

en la recta

real.

Observa que...No existe un número realque sea mayor o igual atodos los demás, ni unoque sea menor o igualque todos los demás.Además, entre dosnúmeros reales dadoscualesquiera existeninfinitos númerosracionales, e infinitosnúmeros irracionales.


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Propiedades

Al combinar los números reales utilizando las operaciones de suma y

multiplicación, tenemos:

PROPIEDAD EJEMPLO

a b b a 7 + 3 = 3 + 7

. .a b b a 4 . 5 = 5 . 4

( ) ( )a b c a b c (3 + 5) + 6 = 3 + (5 + 6)

( . ). .( . )a b c a b c (8 . 2) . 3 = 8 . (2 . 3)

.( )a b c ab ac ( ).b c a ab ac

2 . (1 + 4) = 2 . 1 + 2 . 4(1 + 4) . 2 = 2 . 1 + 2 . 4

( 1).a a (-1) . 3 = – 3

( )a a – (– 5) = 5

( ). .( ) ( )a b a b ab (- 4). 3 = 4. (- 3) = - (4. 3)

( ).( )a b ab (-2) . (-8) = 2 . 8

( )a b a b -(7 + 3) = -7 - 3

( )a b b c -(8 – 5) = 5 - 8

Orden operatorio

Siempre al momento de desarrollar un ejercicio donde aparezcan sumas,

restas, multiplicaciones, divisiones, potencias, etc, debes tener presente

que existe una prioridad en el desarrollo de éstas, es decir; hay

operaciones que deben realizarse antes que otras para obtener el

resultado correcto. Este orden es el siguiente:

1. Potencias

2. Multiplicaciones y divisiones

3. Sumas y restas.

La presencia de paréntesis dentro de algún ejercicio, nos indicará que

debemos realizar primero las operaciones que están dentro de él.

ALGORITMO DE LADIVISION

Sean a, b R con a 0,si dividimos a en b,entonces existen q y rtambién reales, talesque:

a = b . q + r

Ejemplo: divide 7 en 2.

7 2

1 37 2.3 1


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Ejemplo: 6 + 4 · (14 − 22 · 3) − 26 ÷ 2

Primero debemos realizar el paréntesis (la potencia, luego la

multiplicación y después la resta). Luego la multiplicación por 4 y la

división 26 ÷ 2. Posteriormente terminamos con las sumas y restas.

Entonces se vería algo así:

6 + 4 · (14 − 22 · 3) − 26 ÷ 2 = 6 + 4 · (14 − 4· 3) – 26 ÷ 2

= 6 + 4 · (14 − 12) – 26 ÷ 2

= 6 + 4 · (2) – 26 ÷ 2

= 6 + 8 – 26 ÷ 2

= 6 + 8 – 13

= 14 – 13

= 1


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INTERVALOS

Como ya sabemos el conjunto de los números reales R, lo podemosrepresentar en una recta numérica. Por lo tanto cada segmento de éstarecta representa a un subconjunto de R, cada uno de estos subconjuntosse denomina Intervalo.

Existen distintos tipos de intervalos, la tabla siguiente los muestra:

INTERVALO GRAFICAIntervalo abierto

(a, b) = { x R / a < x < b}

Intervalo cerrado

[a, b] = { x R / a x b}

Intervalos semiabiertos

(a, b] = { x R / a < x b}

[a, b) = { x R / a x < b}

Intervalos infinitos

[a, ) = { x R / x a}

(a, ) = { x R / x > a}

(- , a] = { x R / x a}

(- , a) = { x R / x < a}

(- , ) = R

0 a b

0 a b

0 a

0 a

0 a

0

0 a b

0 a b

0 a


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VALOR ABSOLUTO

Para cualquier número real a, el valor absoluto de a, denotado por |a|,

es:

00

a si aa

a si a

Ejemplo:

a) |3| = 3 b) |- 3| = - (-3) = 3 c) |2 - | = - (2 - ) = - 2

Distancia entre puntos en la recta real

Si a y b son números reales, entonces la distancia entre los puntos a y b en

la recta real es:

d(a, b) = |b – a|

Ejemplo: la distancia entre los números – 8 y 2 es:

D(-8, 2) = |- 8 – 2|= |-10|= 10

Gráficamente

0 2- 8

10


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POTENCIACIÓN

Definición

. . . ... .na a a a a a Z y n N

a: base n: exponente

Propiedades

Sean a, b R – {0} y n, m Z, entonces:

PROPIEDAD EJEMPLO

.m n m na a a 3 2 3 2 52 .2 2 2

:m n m na a a 5 2 5 2 36 : 6 6 6

( . ) .n n na b a b 2 2 2(3.4) 3 .4

( : ) :n n na b a b 3 3 3(3: 2) 3 : 2

.nm m na a 23 3.2 62 2 2

0 1a 05 1

1a a 18 8

1nna

a 2

214

4

RADICACIÓN

Definición

: nn a b porque b a n Z a, b R

a: radicando n: índice de la raíz

La radicación de números enteros no siempre es un entero.



POTENCIACIÓN

Definición

. . . ... .na a a a a a Z y n N


Propiedades


PROPIEDAD EJEMPLO

.m n m na a a 3 2 3 2 52 .2 2 2

:m n m na a a 5 2 5 2 36 : 6 6 6

( . ) .n n na b a b 2 2 2(3.4) 3 .4

( : ) :n n na b a b 3 3 3(3: 2) 3 : 2

.nm m na a 23 3.2 62 2 2

0 1a 05 1

1a a 18 8

1nna

a 2

214

4

RADICACIÓN

Definición






POTENCIACIÓN

Definición

. . . ... .na a a a a a Z y n N


Propiedades


PROPIEDAD EJEMPLO

.m n m na a a 3 2 3 2 52 .2 2 2

:m n m na a a 5 2 5 2 36 : 6 6 6

( . ) .n n na b a b 2 2 2(3.4) 3 .4

( : ) :n n na b a b 3 3 3(3: 2) 3 : 2

.nm m na a 23 3.2 62 2 2

0 1a 05 1

1a a 18 8

1nna

a 2

214

4

RADICACIÓN

Definición





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Signos de la radicación de números reales

i. N° positivo = N° positivo

ii. N° negativo = N° negativo

iii. N° positivo = N° positivo

iv. N° negativo = R

impar

impar

par

par

Ej: = 3

Ej: = -2

Ej: = 2

Ej: = R

334

278

169

Propiedades

Sean a, b R y n, m N, entonces:

PROPIEDAD EJEMPLO

. .n n na b a b 3 33 ( 8).27 8 . 27 ( 2).3 6

: :n n na b a b 4 4 4 381:16 81: 162

.m m nn a a 3 6729 729 3

mn m na a 4

3 4 33 3

1 1aa

1 155

1nna

a 2

21 13

93

mn mna a

23 234 4

Radicales semejantes: dos radicales son semejantes cuando tienen

igual índice y mismo radicando.

Operaciones

a) Suma o resta: solo puede efectuarse cuando los radicales sonsemejantes.

Ejemplo: 3 33 8 2 11 2a a a a a

b) Producto o cociente: primero hay que reducirlo a índicecomún.

Ejemplo: 6 3 23.a b a b

Evita cometer el

siguiente error:

a b a b

Ejemplo:?

?

?

¡ !

9 16 9 16

25 3 4

5 7lo cual es INCORRECTO



c) Racionalización de denominador: se multiplica y divide por unaexpresión adecuada, de manera que permita suprimir losradicales del denominador.

Ejemplo:

1 1 . a b a ba ba b a b a b

NOTACIÓN CIENTÍFICA

Esta notación es útil, sobre todo, para expresar números muy grandes omuy pequeños.

Definición

N = a, bcd… x 10n

a: parte entera o mantisa

(solo una cifra, comprendida entre 1 y 9)

bcd… : parte decimal

10n: potencia entera de base 10

Si n es positivo, entonces N es grande.

Si n es negativo, entonces N es chico.

Operaciones

a) Para las sumas y restas hay que prepara los sumandos de modo que

tengan todos la misma potencia de base 10 y así poder sacar factor

común.

Ejemplo: 9 12 9 9 95,83.10 6,932.10 5,83.10 6932.10 6937,83.10

b) Para productos y cocientes, se multiplican (dividen) las mantisas entre si y

las potencias de base 10 se suman (restan). Ejemplo:

Ejemplo: 4 7 117,25.10 2,20.10 15,95.10

PRODUCTOS NOTABLES

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a – b)2 = a2 - 2ab + b2

CUBO DE UN BINOMIO

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3




Ejemplo:




Definición

N = a, bcd… x 10n







Operaciones



común.

Ejemplo: 9 12 9 9 95,83.10 6,932.10 5,83.10 6932.10 6937,83.10



Ejemplo: 4 7 117,25.10 2,20.10 15,95.10

PRODUCTOS NOTABLES


(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a – b)2 = a2 - 2ab + b2

CUBO DE UN BINOMIO

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3




Ejemplo:




Definición

N = a, bcd… x 10n







Operaciones



común.

Ejemplo: 9 12 9 9 95,83.10 6,932.10 5,83.10 6932.10 6937,83.10



Ejemplo: 4 7 117,25.10 2,20.10 15,95.10

PRODUCTOS NOTABLES


(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a – b)2 = a2 - 2ab + b2

CUBO DE UN BINOMIO

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3



DIFERENCIA DE CUADRADOS

a2 – b2 = (a + b) (a – b)

SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS

a3 – b3 = (a – b) (a2 + 2ab + b2)a3 + b3 = (a + b) (a2 – 2ab + b2)

LOGARITMO DE UN NÚMERO REAL

Definiciónn

blog a = n b = a con a, b > 0 y b 1

a, es el número logaritmado o argumentob, es la base del logaritmon, valor del logaritmo.

Propiedades

Nombre En símbolos

Logaritmo de un producto b b blog (x . y) = log x + log y

Logaritmo de un cociente b b blog (x :y) = log x - log y

Logaritmo de una potencia nb blog x = n . log x

Cambio de base. blog xlog x = a > 0 y a 1log b

a

a

Logaritmo en base a de a. log a = 1a

Logaritmo de uno. log 1 = 0a

Si la base es el numero neperiano “e”, entonces:

ln x = loge x logaritmo natural o neperiano




a2 – b2 = (a + b) (a – b)




Definiciónn



Propiedades

Nombre En símbolos





a

a








a2 – b2 = (a + b) (a – b)




Definiciónn



Propiedades

Nombre En símbolos





a

a







Unidad imaginaria

2j = -1 j = -1

j0 = 1 j3 = - j

j1 = j j4 = 1

j2 = -1 j5 = j

vemos que cuando elexponente es 4, se

repiten los valores de jn.

En general, cuandon 4, hacemos:

4

4 4 .

.

1.

n q r q r

q r

r r

j j j j

j j

j j

Ejemplo: calcula j69

n = 69 69 : 4 = 17

y sobra 1 r = 1

j69 = j1 = j

NÚMEROS COMPLEJOS

DefiniciónA los números de la forma a + bj; donde a y b sonreales se les llama números complejos. Alconjunto formado por dichos números se lodenota C.En un número complejo a + bj, con a, b R, “a”es la parte real y “b” es la parte imaginaria.

Operaciones

OPERACION EJEMPLO

Suma

Z + Z = (a + b j) + (a + b j)1 1 12 2 2 = (a + a ) + (b + b )j1 12 2

(1 2 ) (2 4 )1 2 (1 2) (2 4) 3 6

Z Z j j

jj

Resta

Z - Z = (a + b j) - (a + b j)1 1 12 2 2 = (a - a ) + (b - b )j1 12 2

- (5 3 ) - (2 4 )1 2 (5 - 2) (3 - 4)

3

Z Z j j

jj

Producto

Z . Z = (a + b j) . (a + b j)1 1 12 2 22 = a a + b a j + b a j + b b j1 1 1 12 2 2 2

= (a a - b b )+ (b a + b a )j1 1 1 12 2 2 2

. (2 3 ) . (1 4 )1 22 2.1 2. 4 3.1 3. 4

(2 - 12) (8 3) - 10 11

Z Z j j

j j jj

j

Cociente

1 2 1 2 1 2 2 1

2 2 2 22 2 2 2

a - b ja + b j1 1 2 2Z : Z =1 2 a + b j a - b j2 2 2 22a a - b a j + b a j - b b j1 1 1 12 2 2 2 = 2 2

a + b2 2a a + b b b a - b a = ja + b a + b

2 3 1 - 21 2 1 2 1 - 2

22.1 - 2.2 3.1 - 3.22 2

1 2

2 6 - 4 32 2 2 21 2 1 2

8 1 -

5 5

: j jZ Z

j j

j j j

j

j



Unidad imaginaria

2j = -1 j = -1

j0 = 1 j3 = - j

j1 = j j4 = 1

j2 = -1 j5 = j




4

4 4 .

.

1.

n q r q r

q r

r r

j j j j

j j

j j


n = 69 69 : 4 = 17

y sobra 1 r = 1

j69 = j1 = j

NÚMEROS COMPLEJOS


Operaciones

OPERACION EJEMPLO

Suma

Z + Z = (a + b j) + (a + b j)1 1 12 2 2 = (a + a ) + (b + b )j1 12 2

(1 2 ) (2 4 )1 2 (1 2) (2 4) 3 6

Z Z j j

jj

Resta

Z - Z = (a + b j) - (a + b j)1 1 12 2 2 = (a - a ) + (b - b )j1 12 2

- (5 3 ) - (2 4 )1 2 (5 - 2) (3 - 4)

3

Z Z j j

jj

Producto


= (a a - b b )+ (b a + b a )j1 1 1 12 2 2 2

. (2 3 ) . (1 4 )1 22 2.1 2. 4 3.1 3. 4

(2 - 12) (8 3) - 10 11

Z Z j j

j j jj

j

Cociente

1 2 1 2 1 2 2 1

2 2 2 22 2 2 2



2 3 1 - 21 2 1 2 1 - 2

22.1 - 2.2 3.1 - 3.22 2

1 2

2 6 - 4 32 2 2 21 2 1 2

8 1 -

5 5

: j jZ Z

j j

j j j

j

j



Unidad imaginaria

2j = -1 j = -1

j0 = 1 j3 = - j

j1 = j j4 = 1

j2 = -1 j5 = j




4

4 4 .

.

1.

n q r q r

q r

r r

j j j j

j j

j j


n = 69 69 : 4 = 17

y sobra 1 r = 1

j69 = j1 = j

NÚMEROS COMPLEJOS


Operaciones

OPERACION EJEMPLO

Suma

Z + Z = (a + b j) + (a + b j)1 1 12 2 2 = (a + a ) + (b + b )j1 12 2

(1 2 ) (2 4 )1 2 (1 2) (2 4) 3 6

Z Z j j

jj

Resta

Z - Z = (a + b j) - (a + b j)1 1 12 2 2 = (a - a ) + (b - b )j1 12 2

- (5 3 ) - (2 4 )1 2 (5 - 2) (3 - 4)

3

Z Z j j

jj

Producto


= (a a - b b )+ (b a + b a )j1 1 1 12 2 2 2

. (2 3 ) . (1 4 )1 22 2.1 2. 4 3.1 3. 4

(2 - 12) (8 3) - 10 11

Z Z j j

j j jj

j

Cociente

1 2 1 2 1 2 2 1

2 2 2 22 2 2 2



2 3 1 - 21 2 1 2 1 - 2

22.1 - 2.2 3.1 - 3.22 2

1 2

2 6 - 4 32 2 2 21 2 1 2

8 1 -

5 5

: j jZ Z

j j

j j j

j

j



Propiedades

Sea Z = a + bj un número complejo

PROPIEDAD EN SÍMBOLOS EJEMPLO

Conjugado de Z. Z a bj 2 3 2 3Sea Z j Z j

Opuesto de Z. Z a bj 2 3 2 3Sea Z j Z j

Producto de un Z porsu conjugado.

2 2.Z Z a b 2 2

2 3. 2 3 4 9 13

Sea Z jZ Z

Suma de un Z con suconjugado. 2Z Z a 2 3 2.2 4Sea Z j Z Z

Resta de un Z con suconjugado. 2Z Z bj 2 3 2.3 6Sea Z j Z Z j j

Representación grafica

El conjunto numérico visto en esta unidad, queda definitivamente en esteorden:

ImaginariosIrracionales

N° Complejos NaturalesReales

Racionales CardinalesEnteros

Eje Real

Eje Imaginario

Zdeconjugadobj-aZ

bjaZ

Zdeopuestobj-a-Z-



Trabajo practico N° 1Conjuntos numéricos

1) Dado el conjunto 73, 1, , 5, , 0,85, 624

X e

, encuentra:

a) X Q c) X I

b) X Z d) X N

2) Contesta si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas

a) La diferencia de dos números naturales es otro natural.

b) Existen infinitos números racionales entre 1 y 2.

c) Si a = -2 y b = 0, entonces a:b = 0

d) El cociente entre un número y su opuesto es igual a (-1).

e) Para todo a R, (a-1)-1 = a

3) Elige la opción correcta

a) Si n es un número tal que n Z, entonces, ¿Cuál/es de las

siguientes expresiones representa/n tres números consecutivos?

i. 2n, 2n + 1, 2n +2 ii. 4n, 4n +2, 4n + 4 iii. 2n – 2, 2n – 1, 2n

OPCIONES SOLO iii i y ii i y iii ii y iii TODAS

b) Si a Z y b N, entonces el conjunto más pequeño al que

pertenece siempre ab

es:,,,,,,

OPCIONES R I Z Q N

c) ¿Cuál de las siguientes expresiones NO es racional?

OPCIONES 30 26 0,353 15

( )



d) ¿Qué número dividido por 5p

da como resultado 5p .

OPCIONES25p 5p 5

p

25p

14) Sean a y b enteros, b 0. Si a - b = 175 y la división de a por b tiene

cociente 15 y resto 7, hallar a y b.

5) Si se divide un número natural a por 2 se obtiene como cociente

entero un número que llamamos b y el resto 0. Al dividir b por 2

obtenemos como cociente entero un número c y el resto 1. Luego

dividimos c por 2 y en este caso el cociente es 1 y el resto 0. ¿Cuál es

el número a?

6) Razona si las afirmaciones siguientes son falsas o verdaderas poniendo

un contraejemplo en aquellas que sean falsas.

a) Hay números enteros que no son racionales

b) Hay números reales que no son racionales

c) Un número real es racional o irracional

d) Todo número decimal es real

e) Todo número decimal se puede escribir en forma de fracción

f) Todo número decimal periódico se puede escribir en forma de

fracción

g) Un número irracional es real

h) Hay números racionales que no son reales

i) Los números irracionales tienen infinitas cifras decimales

j) Todos los números racionales tienen infinitas cifras decimales que

se repiten

k) Algunos números racionales tienen infinitas cifras decimales que

se repiten

7) Realiza las siguientes operaciones sobre el conjunto de los números

reales.

a) (3 8) [5 ( 2)] d) 3 1 5 1:4 2 3 6



b) 5 [6 2 (1 8) 3 6] 5 e)2

4 6 2 3 512 . .2 : (2 .2 .2)2

c) 2 2 4 3 510 2 1 23 3 5 5 2

f) 1 13 25 6

8) Escribe un número que cumpla con las condiciones dadas:

a) Decimal periódico puro que al redondear a la milésima da 3,677

b) Decimal periódico mixto que al truncar a la centésima da 8,97

c) Irracional que al redondear a la diezmilésima de 5,0023

9) Expresa en forma de fracción los siguientes números:

a) 3,666… d) 3,0002222…

b) 4,33333…. e) 3,3332323232…

c) 12,1333…

10) Expresa cada número en notación científica

a) 123,5248 x 105 = ……………………

b) 0,01245 x 109 = ……………………

c) 5437,65 x 108 = ……………………

d) 9877,3288 x 10-5 = ……………………

e) 1200000 = ……………………

f) 0,00000000132 = ……………………

11) Realiza las siguientes operaciones y expresa el resultado en notación

científica (usa tu calculadora).

a) 8,05 x 107 + 3,16 x 107 = ……………………

b) 3,13 x 108 - 1,66 x 107 = ……………………

c) 3,11 x 104 . 2,22 x 102 = ……………………

d) 9,14 x 1010 : 3,07 x 106 = ……………………



12) Expresa mediante intervalos el conjunto de reales que cumplan:

a) Que sean mayores que 23b) Que sean menores que – 5

c) Que estén entre 56 y 8

d) Que sean mayores o iguales que 0.

13) Expresa el conjunto solución de las operaciones entre intervalos.

Luego, grafícalas.

a) 7 3x x c) 3 5x x e) 23( , 0) (0, 2)o

b) 1 2x y x d) [ , ] (0, ) f) 3 14 2[ 2, ] ( ,4]

14) Determina el conjunto de los números:

a) Naturales, que satisfacen 5 6x

b) Enteros, que satisfacen e x e número e 3 ( : 2,71...)

15) Si a y b son reales positivos y además a < b y b > 1, ¿cuál de las

siguientes proposiciones es falsa?

a) 0a b d) 1 0

a b

b) 2b a e) 1a b

c) 1 0

a b

16) Desarrolla las potencias

a) 2(2 )n c) 2 3 2( 5 )zx y e) 2 3( 1)q

b) 2 2( )q p d) 1 3 3(2 )z y x

17) Expresa estos radicales como potencia.

a) 3 27 c) 3 125

b) 8 64 d) 4 1000



18) Expresa los radicales dados como potencia de exponente racional yresuelve:

a) 3 97 d) 3 1210

b) 413 e) 4 815

c) a aa

3

f)

2

3 5

17 .7

7

19) Efectúa las siguientes operaciones:

a) 32 2

b) 5 18 8 2 72

c) 64 3 43 3 . 3 : 3

d) 2

5 . 3

e) 3 102 75 2 : 2 . 2

f) 3 33 24 375

20) Racionaliza el denominador

a) 3. 53

d) 4 54 5

b) 2 12 1

e)

p mp m

c) 83 5

f) x yx y

21) Desarrolla y expresa el resultado usando exponentes racionales.

a)33 4

5 2

x xx

c)35. 9

27 . 125

b) 1x x y d) 6

3

2 . 2

16



22) Resuelve las siguientes operaciones combinadas.

a)21 ( 3) 1 32,16 .

4 2 2 8

c) 1 22 2a

a a

23) Demuestra que:1 12 2

1 12 2

a b a ba b

24) Calcula el valor de las siguientes expresiones. Aplica propiedades (no

uses calculadora).

a)26

2 5 3

64 .4log2 . 512

c)4

525. 625log

125

b) 3 3

27. 729log81. 27

d)3

749. 343log

2401

25) Aplica la definición y/o propiedades para encontrar el valor de x tal

que:

a) log 25 2x d) 2log 1 1x

b) 5log 322x e) log log3 log0,1x

c) 4log ( 1) 2x f) 1log 4 log log 22

x x

26) Aplica propiedades y expresa como suma algebraica las siguientes

expresiones:

a) 1 2log[(3 ) (3 ) ]xa b x c) ( ) 1log .a b cb c

b)2

33 2log x

y z

d)2 2

2log( )x yx y

2 3

3

1 2

1 6 5 2 12 . :0,035 105 7 4 7 2) :

1 1 1 1 700 102 . :3 2 3 4 59

b

11 20,25 0,5 3 3) (81 9 ) ( 27) ( 8)d



27) Sabiendo que log 2 0,3 y que log 3 0,48, calcula aplicando

propiedades:

a) log 14,4 f) 39log5

b) log 0,048 g) 4log 781,25

c) 0,025log8

h)3 5

4 3

(3,2) .0,64log0,0125. 80

d)512log

5

i) 5,4log12,8

e) log 3,2 . 1,6

28) Calcula

a) j152 b) (-j)87 c) j11 . j36 d) (-j)45 : j7

29) Dados los complejos:

1 2 3 433 4 5 2 72

Z j Z j Z Z j . Calcula:

a) 1 2 3( ).Z Z Z c) 14 3Z Z e) 3

21 .ZZ

b) 1 3 4 3Z Z Z Z d) 1

1 4Z Z

f) 1

3 44Z

Z Z

30) Dados los complejos: 1 22 3 6Z j y Z j .Determina el número Z que verifica las igualdades dadas y luegografícalo.

a) 1 2Z Z Z b) 22 1Z Z Z c) 2

1 2(1 ).Z j Z j Z

31) Calcula la componente real o imaginaria según sea el caso:

a) 23 4Re ( 2 )5 2

j jj

c) 2

8Im( 4 2 )

jj

b) 4 3Re ( 2 ) ( 1 6 )j j d) 32 7 8Im 7

3jj

32) Encuentra la parte real de Z sabiendo que:

a) 35(1 ).3 1

1j j Z j

jj j

b)3

(1 2 ). 11 22

j Z Zjj



APLICACIONES

33) Juan tiene que poner zócalos de madera a dos

paredes de 12 m y 9 m de longitud. Para ello ha

averiguado la longitud del mayor listón de

madera que cabe en un número exacto de

veces en cada pared. ¿Cuál será la longitud de

este listón?

34) Tenemos un tablero de ajedrez (64 casillas). Por cada casilla ponemos

tantos granos de arroz según el siguiente orden, en

la primera casilla del tablero un grano de arroz; por

la segunda casilla, 2 granos de arroz; por la tercera

casilla, 4 granos; por la cuarta casilla, 8 granos y así

sucesivamente por las demás casillas.

a) ¿cuántos granos pondremos en la última casilla del tablero?

b) ¿cuántos granos habrá si sumamos todas las casillas del tablero?

c) Supongamos que en 1 kg de arroz hay 6.000 granos. ¿Cuántosgranos hay en una tonelada?¿Cuántas toneladas de arrozequivalen a los granos de arroz quecorresponden al último casillero deltablero?

d) Un vagón de ferrocarril carga (10.000kg). ¿Cuántos vagones se necesitanpara cargar los granos de arroz quehabían en el último casillero?

e) Un vagón mide 10m de longitud aproximadamente, y supongamos

que están separados por una distancia de 2m entre vagones,

¿qué longitud tendría un tren junto con sus vagones para

transportar los granos de arroz que habían en el último casillero?



35) Rodrigo tiene una parcela de 10000m2. Sólo utiliza un cuarto de ella

para plantar tomates.

a) ¿cuántos m2 ha plantado?

b) ¿Qué fracción de la parcela no ha

plantado?

c) ¿Cuántos m2 quedan sin plantar?

36) Una bomba centrífuga vierte 10048 l/hora de agua en un depósito

cilíndrico de 5 m de diámetro y 3,2 m de alto. Calcule qué altura

habrá alcanzado el agua al cabo de 4 horas de funcionamiento y

cuántos litros de agua faltan para llenar totalmente el depósito.

37) El gas anhídrido carbónico se encuentra en la atmósfera en la

proporción de 0,3 %. Si 1 litro pesa 1,96 g, ¿Cuánto pesará el anhídrido

carbónico contenido en un salón de 10 metros de largo, 8 metros de

ancho y 5 metros de alto?

38) La velocidad de la luz, en el vacío, es de 300000 km/s. ¿Cuántos

metros recorre la luz en un día?. Expresa el resultado en notación

científica.

39) Una determinada bacteria mide 2.10–6 m.

¿Cuántas bacterias colocadas en línea recta

serian necesarias para cubrir 1m de longitud?

40) El diámetro de la luna es de 3500 km aprox. ¿Cuánto tiempo tardaría

en dar una vuelta completa alrededor de la misma, un satélite cuya

órbita se encuentra a 200 km de la superficie lunar, si su velocidad

media es de 800000 m/h?



CIRCUITO SERIE RL

LZ R jX

Z: impedancia compleja.

XL: reactancia inductivamedida en ohm, [].

Se calcula: XL = .L: pulsación eléctrica,medida en ciclos porsegundos, [c/s]Se calcula: = 2..fL: inductancia, se mideen henry, [Hy].f: frecuencia de la red,medida en hertz, [Hz].

Modulo de la impedancia:

2 2LZ R X []

Desfase entre tensión ycorriente:

L

RarctgX

41) Un circuito serie R-L se alimenta con una fuente de tensión alterna V

de 50 Hz de frecuencia.

a) Determina la impedancia compleja del circuito.

b) ¿cuál será el desfasaje entre la tensión y corriente del circuito?

Ver al margen, conceptos necesarios para resolver este ejercicio.

R = 100

L = 0,1 Hy

4) unidad 1_intensiva2013

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