4-tk_arh-matrichni metodi.pdf

1. Osnovni koncepti vo matricnata analiza 1

1. Матрична анализа на линиски конструкции Основни концепти Во матричната анализа, конструкцијата се разгледува како систем составен од повеќе линиски елементи (греда, стап) меѓусебно поврзани со јазолни точки (јазли). При тоа се јавуваат два типа едно-димензионални елементи, елемент-стап и елемент-греда, Сл.1. Кај елементот-стап, оската на елементот е праволиниска, елементот на двата краеви е зглобно поврзан и во истиот се јавува само аксијална сила. Кај елементот греда, оската е праволиниска, елементот може да биде еднострано или двострано вклештен, и во истиот се јавуваат статичките големини М,Т и N. Елемент – стап Елемент – греда Сл. 1. Еднодимензионални (линиски) елементи Овде ќе биде изложена матрична анализа на линеарни еластични конструкции составени од еднодимензионални (линиски) елементи. Основна цел на анализата на конструкциите е определување на напонската и деформационата состојба во елементите на конструкцијата од дејство на дадени влијанија (товари). Во понатамошниот текст за овие информации ќе биде употребен терминот -одговор на конструкцијата. При определување на одговорот на конструкцијата ќе ги применуваме:

≠ Условите за рамнотежа на силите. ≠ Условите за компатибилност на деформациите. ≠ Хуковиот закон кој дава врска помеѓу силите и поместувањата

(напрегањата и дилатациите).


Услови за рамнотежа на силите

Сл. 2. Рамнотежа на систем, елемент и јазел

Конструкцијата како целина мора да биде во рамнотежа под дејство на приложените товари и реакциите. Секој изолиран дел (елемент или јазел) мора да биде во рамнотежа под дејство на приложените сили и пресечните статички големини на краевите. Услови за компатибилност на деформациите Условите за компатибилност на деформациите (геометриски услови) се однесуваат на континуитетот во конструкцијата. Според овие услови поместувањата во ослонците на конструкцијата треба да бидат во согласност со условите на ослонување, на пример во точките каде има вклештување да бидат спречени сите степени на слобода, а во неподвижните ослонци да биде овозможена само ротацијата и слично. Хуков закон Овој закон ја дава врската помеѓу силите и поместувањата. Тој овозможува да се определат силите на краевите на елементите ако се познати соодветните поместувања и обратно. Сл. 3 Илустрација на Хуковиот закон Методи за анализа Во анализата на конструкциите овие три услови можат да бидат во целина или делумно користени. Редоследот на примена на истите, зависи од применетиот метод за анализа (метод на сили или метод на деформации). При анализа на статички определени конструкции, за определување на внатрешните статички големини доволна е примената само на условот за

P1 P2 P3 P3 P2

RA RB

Е,А

Р

EAPP

EA


рамнотежа на силите додека вториот и третиот услов може да се применат во случај ако е потребно да се определат поместувањата. Кај статички неопределените конструкции, за определување на одговорот на конструкцијата, потребно е да се применат сите три услови. Редоследот на примена на првите два услови зависи од одбраниот метод за анализа на конструкцијата и тоа: Во методот на сили, прво се користат условите за рамнотежа на силите а потоа условите за компатибилност на деформациите. Во методот на деформации, редоследот на примена на условите е обратен (условите за компатибилност а потоа услови за рамнотежа). Дефиниции и обележувања Систем – елемент Конструкцијата се состои од еластични елементи кои меѓусебно и со ослонците се поврзани со крути јазли формирајќи конфигурација (систем) со статичка и геометриска стабилност. Крајна цел на анализата е определување на одговорот на системот како целина. При тоа мора да бидат познати карактеристиките на системот односно, матриците на флексибилност и крутост на системот, а тие се определуваат преку карактеристиките (матриците) на неговите составни елементи. За реалната конструкцијата се формира математички модел и на истиот се спроведува анализата. Во моделот конструктивните елементи се претставени со нивните централни оски, а јазлите со точки каде завршуваат елементите. Овие јазли се одбрани во зависност од потребите на анализата и тоа, како пресечни точки на два или повеќе елементи или ако е потребно, еден елемент може да биде поделен на два или повеќе елементи воведувајќи јазли по должината на елементот. Систем, коодринати Дискретизација на системот и обележување на системот на јазли и елементи

Сл. 4. Конструкција-систем, товари , дискретизација и обележување

Дискретизација на елементи и начинот на обележување на јазлите и елементите е даден на горната скица. Позитивниот правец (оската +x) на секој елемент е усмерен од јазелот обележан со помал број кон јазелот обележан со поголем број.

P2 P3

P3 1

2

1 2

3

P2 P3

P3

P1 P2

P3

1 2 1 3

5

2

4

3

4

+x

1

2


Кај линиските системи на носачи, за кои постојат точно определени односи помеѓу поместувањата и силите на краевите на елементите (во рамките на усвоените претпоставки) точноста на пресметката е независна од степенот на дискретизацијата. Сили и поместувања Под поимот сила ќе подразбираме било која генерализирана сила, момент на свиткување или момент на торзија. Силите се означуваат: линиска сила момент на свиткување

Разликуваме три типа на сили: сили во јазли, сили во елементи, реактивни сили. Сили во јазли – се надворешни сили приложени во јазлите на конструкцијата, (на пр. силата Р2 на Сл. 4.). Ако товарите се приложени на елементите ( на пр. силите Р1 и Р3 на Сл. 4) со едноставна постапка се трансформираат во статички еквивалентни јазлови товари. Сили во елементи – се сили на краевите на секој елемент. Тие се предизвикани од силите во јазлите при што конструкцијата се деформира. Силите во елементите се префрлуваат во јазлите со спротивни насоки. Јазлите натоварени со силите во јазли и реактивните сили од елементите треба да бидат во рамнотежа. Реактивни сили – се јавуваат во точките на ослонување и истите се во рамнотежа со силите во јазлите. Промената на формата на конструкцијата изложена на товари и температура

P1 P1

P2 P2

сили во јазел

сили во елемент

реактивни сили

реактивни сили

сили во елемент

сили во јазел

статички еквивал. сили

Fleksibilnost i krutost 5

STATI^KA ANALIZA NA LINISKI KONSTRUKCII

FLEKSIBILNOST I KRUTOST Matri~niot koncept za analiza na konstrukciite se bazira vrz nivna diskretizacija na oddelni elementi, pri {to karakteristikite na konstrukcijata se dobivaat preku karakteristikite na oddelnite elementi. Za da se pravi razlika me|u konstrukcija i element, oznakite {to se odnesuvaat na konstrukcijata }e bidat so golemi, a onie za elementite so mali bukvi. Taka, na primer vektorite na silite i pomestuvawata po koordinatite na konstrukcijata, }e gi obeleìme so P i U , a na

elementite so p i u . Matricite na fleksibilnost so F i f , a matricite

na krutost }e gi obeleìme so K i k , Osnova za analiza na odgovorot na konstrukciite od dadeno vlijanie, e odnosot pome|u silite i pomestuvawata, bez ogled na metodot koj se primenuva. Ovoj odnos e opredelen so koeficientite na fleksibilnost i koeficientite na krutost. Koeficientite na fleksibilnost pretstavuvaat merka za elasti~nosta a koeficientite na krutost se merka za krutosta na konstrukcijata. Po definicija: koeficientot na fleksibilnost Fij pretstavuva pomestuvawe po

koordinata i od edini~na sila po koordinata j. koeficientot na krutost Kij pretstavuva sila po koordinata i od

edini~no pomestuvawe po koordinata j. Koeficienti na fleksibilnost i krutost Konstrukcii so edna koordinata

Odnosot pome|u silata i pomestuvaweto

Bidej}i po definicija, krutosta K11 pretstavuva sila po koordinata 1 predizvikana od edini~no pomestuvawe po istata koordinata, ovoj koeficient go dobivame ako vo gorniot izraz zamenime U1=1:

U1=1 →

Fizikalnoto tolkuvawe na koeficientite na fleksibilnost i krutost prikaàno za primerot, kontinuirana greda so dadena koordinatata 1:

EI3

LF

3

11

1111 PFU 1

3

1 PEI3

LU

11

3

KEI3

L1 →

311 L

EI3K

P=1

F11

K11

U1=1

L



Koordinata na sistem Sostojba P=1 po koordinata 1 Dijagram na momenti od P=1 na SNS Dijagram na momenti od P=1 na OSNS So kombinacija na ovie dijagrami se opredeluva koeficientot F11 (pomestuvawe od edini~na sila po koordinatata 1).

EIF

3

11 1536

23 ; U1= F11P1 , pri U1=1 → P1= K11 ,

311 23

1536

EIK ; koeficient na krutost, sila od edini~no pomestuvawe U1=1.

Fizikalnoto tolkuvawe na F11 i K11 e prika`ano na slednata slika:

P=1

EI

1

EI l l

1

EI

64

13 32

3 1

4

M np M op

P1=1

F11

K11

U1=1



Konstrukcija so 2 ili n koordinati Vo slu~aj na dve ili n koordinati, koeficientite na fleksibilnost ili krutost formiraat matrici na fleksibilnost F i matrica na krutost

K od red 2h2 ili nhn: Fizikalno: Od sostojbata P1=1 imame vertikalno pomestuvawe F11 vo pravec na koordinata 1, i rotacija F21 vo pravec na koordinatata 2 Od sostojbata P2=1 imame rotacija F22 vo pravec na koordinatata 2 i vertikalno pomestuvawe F12 vo pravec na koordinata 1. Vo dadeniot slu~aj na konzola so 2 koordinati, koeficientite na matricata na fleksibilnost F , opredeleni kako pomestuvawa od edini~ni sili na dadeniot sistem se:

63

32

62

232

2

23

EIEIEI

EIEIF

Od istovremeno dejstvo na proizvolni sili P1 i P2 na dadeniot sistem, pomestuvawata po dadenite koordinati se opredeluvaat spored ravenkite:

2221211

2121111

PFPFU

PFPFU

Ovie dve ravenki zapi{ani vo matri~na forma }e bidat:

PFU

P

P

FF

FF

U

U

2

1

2221

1211

2

1

P1=1; P2=0

F11

F21

P2=1; P1=0

F12

F22

1

F11 L

2 EI



^lenovite na matricata na krutost se opredeluvaat od sostojbite U1=1 U2=0; i U2=1 U1=0: Za opredeluvawe na silite po dadenite koordinati od istovremeno dejstvo na proizvolni pomestuvawa U1 i U2 se koristat ravenkite:

2221211

2121111

UKUKP

UKUKP

UKP

U

U

KK

KK

P

P

2

1

2221

1211

2

1

3/2/1

/1/26 2

EIK

Istata matrica na krutost mo`e da se opredeli i so inverzija na matricata na fleksibilnost: 1 FK ( IFK

U1=1 6EI/ 2

K21

K11

12EI/ 3

4EI/

6EI/ 2

K12

U2=1

K22



Fizikalnoto tolkuvawe na koeficientite na matricite F i K e prikaàno so primerot na slednata slika: Kontinuiran nosa~:

Koordinati na sistemot Fizikalno tolkuvawe na koeficientite na matricata na fleksibilnost na sistemot po dadenite 4 koordinati opredeleni kako pomestuvawa po koordinatite od sukcesivno dejstvo na edini~ni sili po sekoja od koordinatite (~lenovite vo ovoj slu~aj se so predpostaven znak). Ovde mora da se napomenat karakteristikite na matricata na fleksibilnost, kako simetri~na matrica (Fij= Fji) so ~lenovite po glavna dijagonala koi se pozitivni i razli~ni od nula, Fii>0. Istoto vaì i za matricata na krutost. Na slednata slika }e bide prikaàno fizikalnoto tolkuvawe na ~lenovite na matricata na krutost za istiot primer. Ovie ~lenovi se opredeluvaat kako sili od edini~ni pomestuvawa po dadenite koordinati (metod na deformacii).

1

2

3 4

P1=1 F11

F21 F31

F41

P2=1

F12 F22

F32 F42

F13

F23 F33

F43 P3=1

F14

F24 F34 F44

P4=1

P1=1

P2=1

P3=1

P4=1



Opredeluvawe na matricata na fleksibilnost po metodot na edini~na sila Matricata na fleksibilnost na element ili konstrukcija moè da se opredeli so pomo{ na:

metodot na edini~na sila energetskiot metod re{enie na diferencijalnata ravenka po pomestuvawata inverzija na matricata na krutost.

Ovde }e bide iznesen metodot na edini~na sila. Edna elasti~na konstrukcija e izloèna na mnoèstvo od nadvore{ni sili .........21 n

T PPPP

Vektorot na pomestuvawata vo pravec na silite e:

...............21 niT UUUUU

U1=1

K11 K21 K31=0 K41=0

K23 K33 K43 U3=1

K14=0

K24=0

K34

U4=1

K44

U1=1

U3=1

U4=1

U2=1

K12 K22 K32

K42=0

U2=1

K13

P1 P2 Pn



Pomestuvaweto iU po principot na edini~na sila ili principot na

komplementarna virtuelna rabota, koga na konstrukcijata e priloèna edini~na sila vo to~kata i, iznesuva:

dVUV

T

i (1)

Kade e: - vektor na napregawata od edini~na sila vo to~kata i, - vektor na dilatacii od priloènite nadvore{ni sili. Kaj ednodimenzionalni konstrukcii = x ; = x .

Ako na konstrukcijata priloùvame edini~na sila vo site to~ki, dobivame vektor na pomestuvawata:

dVUV

T (2)

Vrskata pome|u napregawata i dilataciite e dadena so Hukoviot zakon:

TC

kade T se dilatacii od temperaturni vlijanija, a vrskata pome|u silite i

napregawata e dadena so izrazot

PM

kade M gi opredeluva napregawata vo poedini to~ki od sukcesicno dejstvo na edini~ni sili. Ako poslednite dva izrazi se zamenat vo ravenkata (2), se dobiva:

dVPdVMCU T

V

T

V

T

ili: TUPFU

Izrazot pred vektorot na silite vo prviot ~len ja pretstavuva matricata na fleksibilnost:

dVMCfV

T (3)

Za ednodimenzionalni konstrukcii matricite i M se vektori, a za stati~ki opredeleni konstrukcii tie se identi~ni, pa imame dVMCMf

V

T (4)

Matricata [C] ja opredeluva vrskata pome|u napregawata i dilataciite, a vektorot M , gi opredeluva napregawata od sukcesivno dejstvo na edini~ni sili na konstrukcijata.



Ovde }e bide izvedena matrica na fleksibilnost na element stap (so edna koordinata vo aksijalen pravec) so primena na ravenkata (1), i matrica f na element greda so 2 koordinati, so primena na ravenkata (4). Element - stap Pomestuvaweto vo pravec na koordinatata 1 spored metodot na edini~na sila, rav. (1), iznesuva:

dVUV

1

Kade e napregawe od edini~na sila, a e dilatacija od dejstvo na silata p1, pa imame:

dxAdvEA

p

A

p

EEA ;

1;

1 11

Ako ovie izrazi gi zamenime vo integralot, za EA=const, dobivame:

1

0

11

1p

EAAdx

EA

p

AdVU

V

Prethodno vidovme deka odnosot pome|u silite i pomestuvawata e daden so izrazot:

pfU , Spored toa matricata na fleksibilnost na element stap so edna koordinata }e bide:

EA

f

Element - greda so dve koordinati dVMCMf

V

T

y

E, A

x 1

p1, u1

y

E, I

x

2 (p1, u1) 1 (p2, u2)



J

yxxM )(

1);(

111

J

yxxM

22 ;

J

yxx

J

yx

J

yxM )(

1)(

1

; I

EEC

1

10

011

So zamena na ovie izrazi vo ravenkata (4), dobivame:

JdAydAydxxxIx

x

EJ

dAdxJ

yxxI

EJ

y

x

xdVMCMf

AA

A

V

T

0

2

0 0

222

00

;;)()(1

)(11)(1

02

2

2 )(

)()(11dx

xxx

xxx

EJf

Po izvr{enata integracija za matricata na fleksibilnost na elementot dobivame:

21

12

6EJf

Opredeluvawe na matricata na krutost po metodot na edini~no pomestuvawe

Matricata na krutost na konstrukciite ili nivnite elementi mo`e da se opredeli po metodot na edini~no pomestuvawe, energetskiot metod, re{enieto na diferencijalnata ravenka po pomestuvawata kako i so inverzija na matricata na fleksibilnost. Metodot na edini~no pomestuvawe e najpogoden i ovde }e bide izlo`eno opredeluvaweto na matricata na krutost po metodot na edini~no pomestuvawe.

1P =1

x

/)( x

x

/x 2P =1



Za elasti~na konstrukcija koja be{e razgleduvana pri opredeluvawe na matricata na fleksibilnost, silata Pi {to treba da se priloì so cel, pri poznata raspredelba na stvarnite napregawa da ja drì konstrukcijata vo ramnoteà, iznesuva:

dVPV

T

i (5)

Kade e: - vektor na dilatacii od edini~no pomestuvawe Ui=1, - vektor na napregawa od priloènite nadvore{ni sili. Ako na konstrukcijata priloùvame edini~ni pomestuvawa vo site to~ki, dobivame:

dVPV

T (6)

Vrskata pome|u napregawata i dilataciite e dadena so :

TT DD a vrskata pome|u pomestuvawata i dilataciite e:

UB

kade B gi opredeluva dilataciite vo poedini to~ki od edini~ni pomestuvawa. Ako poslednite dva izrazi se zamenat vo ravenkata (6), se dobiva:

dVDUdVBDP T

V

T

V

T

ili: TPUKP

Izrazot pred vektorot {U} vo prviot ~len ja pretstavuva matricata na krutost:

dVBDKV

T

(7)

Za ednodimenzionalni konstrukcii matricite i B se vektori, a za kinemati~ki opredeleni konstrukcii tie se identi~ni, pa imame

dVBDBkV

T (8)

Matricata [D] ja opredeluva vrskata pome|u napregawata i dilataciite, a vektorot B , gi opredeluva dilataciite od sukcesivno dejstvo na edini~ni pomestuvawa na konstrukcijata. Ovde }e bidat izvedeni; matrica na krutost na element stap (so dve koordinati vo aksijalen pravec) i matrica k na element greda so 4 koordinati, so primena na ravenkata (8).



Element - stap Kako {to se gleda od gornata slika, modelite na pomestuvawata od edini~ni pomestuvawa vo po koordinatite 1 i 2 se takvi, da tie linearno se menuvaat po dolìnata na elementot. Vo toj slu~aj funkcijata na pomestuvawata {u} e:

axfa

axxaaxu

)(1)(

1

010

Od slikata i prethodnata ravenka sledi:

102

0101

)(

0)0(0

aauuxза

aaauuxза

Ovie dve ravenki moè da se zapi{at vo matri~na forma:

aGa

a

u

u

1

0

2

1

1

01

Od ovaa ravenka se opredeluva vektorot na nepoznatite koeficienti {a}:

uGa 1

uGxfxu 1)()( Ako obeleìme:

)()( 1 xNGxf

uxNxu )()(

1101

1G

)()()1(1101

1)()( 2111 xNxN

l

xxxGxfxN

Vrskata pome|u pomestuvawata i dilataciite se dobiva od:

y

E, A

x 2 1

U1=1

U2=1



uBux

xN

x

xu

)()(

11)()()( 21

x

xN

x

xN

x

xNB

ED

E xx

Ako ovie izrazi gi zamenime vo ravenkata (8), dobivame:

dxEAdAdxEkA

02

00 11

111111

1

Dobienata matrica e matrica na krutost na element stap so 2 koordinati:

11

11

EAk

Element - greda so ~etiri koordinati (zanemareni aksijalni sili) Za opredeluvawe na vektorot {B} e potrebno da se poznavaat formite na pomestuvawata po dol`ina na elementot od edini~ni pomestuvawa po koordinatite vo jazlite na elementot. Formite na pomestuvawata se prika`ani na slednata slika:

1u =1

3u =1

2u =1

4u =1

1

E, I

3 2 4



Ovie formi }e gi opredelime preku op{tata diferencijalna ravenka za svitkuvawe na greda od ~etvrti red:

EI

qu IV (9)

kade q e ramnomerno raspredelen Tovar priloèn po dolìna na elementot. Ako zememe za ovoj slu~aj tovarite da bidat priloèni samo na kraevite na elementot odnosno vo jazolnite to~ki po koordinatite na elementot, q=0 , imame:

0IVu Ovaa ravenka pokaùva deka ~etvrtiot izvod na funkcijata na pomestuvawata, e ednakov na nula. Vo toj slu~aj re{enieto na ovaa ravenka se pretpostavuva vo forma: 3

32

210)( xaxaxaaxu (10)

Ili vo matri~na forma:

axf

a

a

a

a

xxxxu

)(1)(

3

2

1

0

32 (11)

Vrskata pome|u pomestuvawata na jazlite i nepoznatite koeficienti {a}}e ja dobieme od ravenkata (10), za x=0 i x= . Pri toa pomestuvawata 1u i 3u se

liniski pomestuvawa po koordinatite 1 i 3, a 2u i 4u se aglovi pomestuvawa (rotacii) po koordinatite 2 i 4 za koi potrebnite izrazi se dobivaat so diferencirawe na funkcijata )(xu vo ravenkata (10).

za x=0 u(0)=u1=a0 x=0 u’(0)= u2=

2321 32 xaxaa =a1

x= u( )=u3=3

32

210 aaaa

x= u’( )= u4=2

321 32 aaa

Ovie ravenki vo matri~na forma glasat:

aG

a

a

a

a

u

u

u

u

u

3

2

1

0

2

32

4

3

2

1

3210

1

0010

0001

Od poslednata ravenka se opredeluva:

uGa 1 So zamena vo ravenkata (11), imame: uxNuGxfxu )()()( 1 (12)



Vo slu~ajov,

2222

22

1

1212

13230010

0001

G

)()23()2()231(

)()(

3

3

2

2

3

3

2

2

3

3

2

2

3

3

2

2

1

xxxxxxxxx

GxfxN

Pri svitkuvawe na greda odnosot pome|u dilataciite i radiusot na

krivinata e daden so yrx

1 , kade {to y e rastojanie na razgleduvanoto

vlakno od neutralnata oska. Pri mali pomestuvawa 2

21

dx

ud

r od kade {to

sledi: yxu '')(

Ako vo ovaa ravenka go zamenime izrazot za pomestuvaweto (12), se dobiva:

uyxN )('' Matricata na krutost na gredniot element }e ja izvedeme so pomo{ na ravenkata (8):

dxdAyxNIyExNdVBDBkTA

V

T )('')(''00

Vtoriot izvod na funkciite na oblikot e daden so:

)

62()

126()

64()

126()(''

232232

xxxxxN

0232232

2

32

2

32

)62

()126

()64

()126

(

)62

(

)126

(

)64

(

)126

(

dxxxxx

EJ

x

x

x

x

k

Po izvr{enoto matri~no mno`ewe i integrirawe za matricata na krutost na elementot greda so ~etiri koordinati, dobivame:



22

22

3

4626

612612

2646

612612

EJk

Element - greda so {est koordinati, izloèn na svitkuvawe i aksijalni dilatacii

Matricata na krutost na ovoj element se dobiva od izvedenite matrici na krutost na element izloèn na aksijalni dilatacii i matrica na greden element izloèn na svitkuvawe:

EJEJEJEJ

EJEJEJEJ

EAEA

EJEJEJEJ

EJEJEJEJ

EAEA

k

460

260

6120

6120

0000

260

460

6120

6120

0000

22

2323

22

2323

Na sli~en na~in kako i za prethodnite elementi, izvedeni se matricite na krutost za ednostano vkle{teni elementi so 3 i 5 koordinati. Izvedenite matrici se dadeni podolu: Element - greda, levo vkle{tena, desno potprena (3 koordinati,

zanemareni aksijalni dilatacii)

2

E, J,A

5 3 6 1

4

1

E, I

3 2



333

333

3332

3

EJk

Element - greda, levo vkle{tena, desno potprena (5 koordinati, vklu~eni

aksijalni dilatacii)

323

22

323

30

330

000

30

330

30

330

000

EJEJEJ

EAEA

EJEJEJ

EJEJEJ

EAEA

k

Element - greda, desno vkle{tena, levo potprena (3 koordinati,

zanemareni aksijalni dilatacii)

23

333

333

333

EJk

2

E, J,A

4 5

3 1

1

E, I

2

3



Element - greda, desno vkle{tena, levo potprena (5 koordinati, vklu~eni aksijalni dilatacii)

EJEJEJ

EJEJEJ

EAEA

EJEJEJ

EAEA

k

330

30

330

30

000

330

30

000

22

233

233

METOD NA DEFORMACII Metodot na deformacii e naj~esto upotrebuvan metod vo matri~nata analiza na konstrukciite. Nepoznati vo metodot se pomestuvawata vo jazlite a sistemot algebarski ravenki za nivno opredeluvawe gi pretstavuva uslovite za ramnote`a. Vo matemati~kata formulacija, metodot na deformacii koristi diskretizacija na konstrukcijata i matricata na krutost na sistemot se sostavuva od matricite na krutost na oddelnite elementi. Postapkata se sproveduva na osnoven kinemati~ki opredelen sistem, koj za razlika od metodot na sili e edinstven {to vo golema mera mu

2

E, J,A

4 5

3 1



dava prednost na metodot na deformacii pri kompjuterskata analiza na konstrukciite. Vo matri~nata analizata na liniskite konstrukcii problemot se sveduva na sostavuvawe i re{avawe na system linearni algebarski ravenki koi vo matri~na forma moè da se zapi{at:

UKP OP[TA POSTAPKA PRI ANALIZATA Postapkata }e bide pokaàna na na sledniot primer: Primer: da se opredeli odgovorot na dadenata konstrukcija od zadadeniot tovar. Koordinati na sistemot Koordinati na elementite Na prethodnata slika levo se dadeni koordinatite na sistemot (obeleàni so broevi od 1 do 6), a na desniot del e dadena diskretizacijata na konstrukcijata na elementi so koordinati na elementite. Pri toa elementot 1 (stolbot) e dvostrano vkle{ten element so 4 koordinati, a gredata e ednostrano vkle{ten element so 3 koordinati. Vo analizata }e gi zanemarime aksijalnite deformacii zaradi {to koordinatata 1, koja go pretstavuva horizontalnoto pomestuvawe vo nivoto na gredata, e zaedni~ka (edinstvena) za dvata jazli od gredata. Za sistemot (konstrukcijata) i dadenite koordinati na sistemot, vaì ravenkata:

UKP ;

kade : P - e vektor na silite po koodrinatite na sistemot,

U - e vektor na pomestuvawata po koodrinatite na sistemot,

40kNm

4,5kN/m

30kN

4EI

EI

2,0

2,0

8,0

UKP

6

2 1

4

3

5 ukp

2

3 1

2

1

4

3

ukp

2

3 1

2

1

4

3

1 1

1 2



K - e matrica na krutost na sistemot, Analogno, za sekoj element i negovite koordinatite vaì ravenkata:

ukp

kade : p - e vektor na silite po koodrinatite na elementot,

u - e vektor na pomestuvawata po koodrinatite na elementot, k - e matrica na krutost na elementot.

Matricata na krutost na sistemot K , se opredeluva od matricite na krutost na elementite so postapka koja }e bide prikaàna podolu. Pred da go opi{eme redosledot vo analizata spored matri~niot metod na deformacii, }e se zadrìme na re{avawe na ravenkata UKP .

Koordinatite na sistemot pri obeleùvaweto se grupirame taka da najnapred se obeleàni koordinatite vo slobodnite jazli na konstrukcijata a potoa koordinatite po stepenite vo leì{tata. Za vaka grupirani koordinati na sistemot, matricite i vektorite vo matri~nata ravenka moème da gi podelime na blokovi i ravenkata da ja razbieme na dve matri~ni ravenki na sledniot na~in:

R

S

RRRS

SRSS

R

S

U

U

KK

KK

P

P

Pri toa: SP - e vektor na sili po koordinatite vo slobodnite jazli ( za dadeniot

primer toa se koordinatite 1 i 2). Toa se sili dobieni od priloènite tovari na konstrukcijata ili vektor na tovarite). RP - e vektor na sili po koordinatite vo leì{nite jazli (za dadeniot

primer toa se koordinatite 3 do 6). Toa se vsu{nost nepoznatite reakcii vo leì{tata. SU - e vektor na pomestuvawata po koordinatite vo slobodnite jazli vo

konstrukcijata ( koordinatite 1 i 2). Toa se vsu{nost nepoznatite vo analizata, pomestuvawata od dadeniot tovar. RU - e vektor na pomestuvawata po koordinatite vo leì{nite jazli

(koordinatite 3 do 6). Tie se naj~esto ednakvi na nula (ograni~uvawa vo leì{tata). Matricata na krutost e isto taka podelena na blokovi (2h2) koi se odnesuvaat na dvete grupi na koordinati (S i R).



So ova grupirawe na koordinatite, matri~nata ravenka se razbiva na dve matri~ni ravenki:

RRRSRSR

RSRSSSS

UKUKP

UKUKP

Od prvata ravenka go opredeluvame vektorot SU i toj izraz go zamenuvame

vo vtorata ravenka:

)()( 1RSRSSSS UKPKU

RRRRSRSSSRSR UKUKPKKP )()( 1

Ako zememe vo predvid deka naj~esto RU =0, dobivame:

SSSS PKU 1)(

SRSSSSRSR UKPKKP 1)(

Spored toa analizata se uprosti pa imame: - pomestuvawata vo slobodnite jazli, SU gi dobivame kako proizvod od

inverzijata na blikot SSK od matricata na krutost na sistemot i vektorot na silite po koordinatite S, (vektor na tovarite). - reakciite odnosno silite po koordinatite vo leì{nite jazli, RP gi

dobivame kako proizvod od blikot RSK i vektorot na prethodno

opredelenite pomestuvawa po koordinatite S, SU .

Postapkata vo analizata e sledna: 1. Se formira OKOS i se obeleùvaat najnapred koordinatite po stepenite

na kinemati~kata neopredelenost (koordinati na sistemot S, obeleàni so broevite 1 i 2). Za opredeluvawe na pomestuvawata vo slobodnite jazli i dijagramot na momenti, ovie koordinati se dovolni (minimalen broj na potrebni koordinati) Pokraj ovie moè da se vovedat i dopolnitelni koordinati S ako imame interes da opredelime odgovor vo nekoi karakteristi~ni to~ki. Isto taka, ako vo istata analiza sakame da gi opredelime i reakciite, vo leì{tata voveduvame koorinati R.

Na primer, za istata zada~a, ako sakame da go opredelime vertikalnoto pomestuvawe vo sredina na gredata, voveduvame koordinata 3, a za rotacijata na krajot na gredata voveduvame koordinata 4. Ovie 4 koordinati



se dovolni za opredeluvawe na pomestuvawata vo jazlite i dijagramot na momentite. Reakciite vo leì{tata, moè da se opredelat od dobienite definitivni sili na kraevite na elementite koristej}i gi uslovite za ramnoteà. Ako sakame so istata analiza da gi opredelime i reakciite vo leì{tata, (koristej}i ja ravenkata SRSR UKP ) , prodolùvame so obeleùvawe na

dopolnitelni koordinati od 5 do 8. Vo ovoj slu~aj imame, 4 sistemski koordinati S (obeleàni so broevite 1 do 4) i 4 sistemski koordinati R (obeleàni so broevite 5 do 8) 2. Konstrukcijata se diskretizira na elementi (gredi i stolbovi) i se

obeleùvaat lokalnite koordinati na elementite. Pri toa koordinatite na sistemot sekoga{ treba da se nao|aat na kraevite na elementite. Vo zavisnost od odbranite koordinati na sistemot, diskretizacijata na dadenata konstrukcija na elementi, e razli~na i e prikaàna na slednata slika:

Vo prviot slu~aj konstrukcijata e diskretizirana so 2 elementi, od koi prviot element e kako tip na element dvojno vkle{ten (stolb) a vtoriot e ednostano vkle{ten (greda). Vo vtoriot slu~aj poradi vovedenata sistemska koordinata 3, gredata ja delime na dva elementa kako bi bil ispolnet uslovot da koordinatite na sistemot sekoga{ bidat na kraevite na elementite. Konstrukcijata e diskretizirana so 3 elementi i site se od isti tip, odnosno dvojno vkle{teni. Elementot 3 e vo ovoj slu~aj dvojno vkle{ten zaradi postoeweto na sistemskata koordinata 4. Elementite od isti tip ja olesnuvaat analizata. Isto taka kako kontrola na rezultatite od analizata, za elementot broj 3, silata po koordinatata 4 na elementot, {to }e se dobie od analizata, mora da bide ednakva na nula (vo ovoj slu~aj) bidej}i toa e momentot vo nepodvi`noto leì{te.

8

2 1

6

5

7

3 4

8

2 1

6

5

7

3 4

1 1 1 2 1 3

6

2 1

4

3

5

1 1 1 2



3. Vo zavisnost od tipot na elementite, numeri~ki se presmetuvaat matricite na krutost na elementite po lokalnite koordinati na elementite. Kaj konstrukcii so ortogonalni elementi lokalnite koordinati na elementite se sovpa|aat so sistemskite koordinati, no kaj konstrukcii so kosi elementi ne postoi vakvo sovpa|awe zaradi {to se voveduvaat takanare~eni, globalni koordinati na elementite.

Konstrukcija so ortogonalni elementi lokalni i globalni koordinati na elementite Konstrukcija Lokalni i globalni koordinati so kosi elementi na elementite Globalnite koordinati se definiraat samo za kosite elementi. Razlika pome|u lokalnite i globalnite koordinati za kosiot element postoi samo vo liniskata koordinata za na onoj kraj na elementot koj e vsu{nost sloboden jazel vo konstrukcijata.

2

3 1

2

1

4

3

4

2

3 1

2

1

3

1 1

1 2

2 1

2 1

4

2 1

3

1 1

2

3 1

1 2

4

2 1

3

1 1

3 Karakteristiki na matricite na krutost 27

3. Карактеристики на матрицата на крутост и обележување на јазлите Решавањето на равенката UKP е една од најважните фази во анализата. Искуството покажува дека 1/3 до ½ од компјутерското време при линеарната еластична анализа, отпаѓа на решавањето на симултаните равенки, а тоа достигнува и до 80% од времето при нелинеарната анализа на конструкциите. Ова наметнува потреба од максимално користење на карактеристиките на матрицата [K] од што пак зависи ефикасноста на алгоритмот за решавање. Особини на матрицата [K] се:

1. симетричност, 2. тракаста форма, 3. расеано поставени блокови од матрицата.

[K] е квадратна од ред n=J*S, каде, J - е вкупен број на јазли S- е број на степени на слобода по јазел (3 степени на слобода при рамнинска анализа а 6 степени на слобода по јазел за просторна анализа).

1. Матрицата [K] е симетрична, поради што во меморијата на компјутерот може да се сторнираат само членовите од горниот триаголник на матрицата.

2. Во процесот на формирање на матрицата [K] од матриците на елементите, [k]i , постои тенденција на групирање на ненулти членови околу главната дијагонала со што се добива тракаста форма на матрицатата [K].

Бројот на членови во полутраката е: 2

)1B(BBnN

, n – ред на матрицата

За n=B матрицата е полна со вкупен број на членови 2

)1n(nN

.

Ефективната ширина на полутраката зависи од максималната разлика на обележувањата на јазлите од еден елемент. Тоа значи дека и начинот на


обележување на јазлите влијае на големината на В и на обемот и времето потребно за извршување на пресметковните операции.

C)1R(B R – max разлика помеѓу броевите на јазлите на еден елемент

C – број на степени на слобода по јазел (3) На дадениот пример на обележување на јазлите во системот, матрицата на крутост на системот ќе биде тракаста:

180N

9B

24n

За поинакво обележување матрицата на крутост на системот ќе биде полна.

300N

24B

24n

При компјутерска анализа на конструкциите, секогаш постои можност, автоматски да се променат обележувањата на јазлите. Но ако тоа не се направи, матрицата нема да биде тракаста, или пак ширината на полутраката В, ќе биде поголема, што ќе бара повеќе време за извршување на матричните операции.

1 2

3 4

5 6

7 8

1,2,3 4,5,6 координати во јазелот

22,23,24

1 8

2 7

3 6

4 5

1,2,3 22,23,24


Кондензација на степени на слобода Во некои случаи, групирањето на координатите на системот според параметрите кои се карактеристични за конкретниот проблем кој се решава, овозможува редуцирање на степените на слобода (кондензација) а со тоа и упростувања во анализата. Оваа техника особено е корисна при решавање на динамичките проблеми при што е можно да се елиминираат одредени степени на слобода по кои може да се занемарат масите. Во општ случај, кондензацијата на степените на слобода се сведува на слоедното: Тргнуваме од основната матрична равенка во методот на деформации: UKP Матриците и векторите во оваа зависност, ги делиме на блокови означени со индекси 1 и 2. Индексот 1 се однесува на степените на слобода (односно координатите на системот) кои остануваат, а индексот 2 на координатите кои се елиминираат.

2

1

2221

1211

2

1

U

U

KK

KK

P

P

Оваа матрична равенка може да се подели на две матрични равенки: 2221212

2121111

UKUKP

UKUKP

Од втората равенка се определува векторот 2U , а потоа тој израз се заменува во првата равенка:

1**

211

221211*

*2

122121

1211

22121121

22121

1211

221211121

22121

11121

221211

22121

2121111

21

221211

222

UKP)KKKK(K

PPKKP

U)KKKK(PKKP

UKKKUKPKKP

UK)PKUKK(KP

UKUKP

PKUKKU


Физикално, матрицата 211

2212 KKK , претставува модификација на матрицата на крутост по координатите од првата група, заради елиминацијата на степените на слобода по координатите од втората група.

*2

122121 PPKKP - се сили по координатите од првата група

*K - е кондензирана или редуцирана матрица на крутост на системот, по координатите од првата група. Решавањето на системот равенки се сведува на два чекори:

1. 1** UKP ; *1*

1 P)K(U

2. 21

221211

222 PKUKKU

Кондензацијата има голема примена кај динамичките проблеми. За примерот на слика 1, со занемарување на аксијалните дилатации, конструкцијата е 16 пати кинематички неопределена (4 линиски поместувања и 12 ротации). При слободни непригушени осцилации од практично значење се само хоризонталните инерцијални сили по координатите 1 до 4, додека инерцијалните сили по координатите 5 до 16 се многу мали и најчесто се занемаруваат. Според тоа од интерес се само поместувањата {U}1.

)KKKK(K

PP

UKP

0P

PKUKKU

211

221211*

1*

1**

2

21

221211

222

1

2

3

4 5 6 7

8 9 10

11 12 13

14 15 16

4. Матрици на трансформации 31

4.МатрицинатрансформацииЕлементите во конструкциите можат да завземаат различни меѓусебни положби при што

нивните координатни системи не се софпаѓаат.

За да можат да се вршат потребните операции помеѓу и се воведува

глобален координатен систем. Самата анализа на конструкциите всушност претставува

трансформација на информациите од една во друга форма. Овде значително место

заземаат:

транформации помеѓу локалниот и глобалниот координатен систем

трансформации на ниво елемент‐ систем

трансформации на силите кои делуваат на елементите во статички еквивалентни

јазлови товари

4.1Матрицинатрансформацијанасилиипоместувања‐Tрансформации на сили

Трансформациите на силите од глобалниот во локалниот систем се врши од условот да овие две

множества на сили се статички еквивалентни. Трите статички равенки се:


Може да се воспостават и обратни односи: силите по глобалниот систем да се изразат со

сили по оските на локалниот координатен систем.

‐Tрансформации на поместувања

Прво ќе ја изведеме трансформацијата сметајќи ги дадени .

Односите помеѓу добиваме давајќи сукцесивни поместувања по при што

ќе ги определуваме коефициентите на поместувањата по локалниот координатен систем.

Состојба

Состојба

Состојба

Вкупните поместувања се:

Сега ќе ја изведеме обратната трансформација: ги сметаме дадени . Даваме

сукцесивни поместувања


Состојба

Состојба

Состојба

Вкупните поместувања се:

Резиме:

Ако силите се трансформираат по релацијата

поместувањата се трансформираат по ралецијата

Ако поместувањата се трансформираат по ралецијата

силите се трансформираат по релацијата


4.2 Трансформација на матрица на флексибилност од локални воглобалниоскиОдносот помеѓу силите и поместувањата на елементот во локалниот координатен систем

е:

Ако сакаме да го воспоставиме односот помеѓу силите и поместувањата во глобалниот

координатен систем е

Во равенката треба да ставиме

Ако трансформацијата содржи само ротација


4.3Трансформацијанаматрицанакрутостодлокалнивоглобалниоски

Односот помеѓу поместувањата и силите на елементот во локалниот лкоординатен систем

е:

Ако сакаме да го напишеме односот помеѓу поместувањата и силите во глобалниот

координатен систем

Во равенката треба да ставиме

Ако трансформацијата содржи само ротација

Спрема тоа:

Ако е позната трансформацијата на силите‐ дефинирана е и трансформацијата на

поместувањата и обратно.


4.4Матрицанатрансформацијанасилитепокоординатитенасистемотвосилипокоординатитенаелементите

Силите по координатите на елементите поврзани се со силите по координатите на системот преку

матрицата, односно

Матрицата кај статички определените системи се определува од условите за рамнотежа.

Определувањето на кај статички определените системи ќе биде објеснето подоцна.

Столбот „J“ на се определува кога по координатата на системот „J“ се приложи единечна сила

(силите по останатите координати се нули) и од условите на рамнотежа се пресметуваат силите по

координатите на елементите.


4.5 Трансформација на матриците на флексибилност на елементите воматрицатанафлексибилнстнасистемотНа конструкциа се приложени силите по означените координати.

Деформационата енергија на конструкцијата е еднаква на работата извршена од овие сили по

соодветните поместувања и таа во матрична форма е:

Аналогно на овој израз деформационата енергија на секој елемент е:

А деформационата енергија на сите елементи изнесува

Или

Каде

Изедначувајќи ги равенките се добива:


4.6 Матрица на трансформација на поместувањата по координатите насистемотвопоместувањапокоординатитенаелементитеТрансформацијата на поместувањата на системот во поместувања на елементите се врши преку

матрицата , односно

Столбот „J“ на матрицата се определува кога по координатата на системот „J“ се приложи

единечно поместување (поместувањата по останатите координати се задржуваат на нула) и ги

идентификуваме соодветните компатибилнио поместувања на елементите .

4.7ТрансформацијанаматрицитенакрутостнаелементитевоматрицанакрутостнасистемотИзразот за деформациона енергија на системот рав. 4.33 може да се напише во алтернативна

форма

Истата деформациона енергија може да биде изразена преку деформационите енергии на

елементите, односно:

Каде:

Изедначувајќи ги равенките 4.47 и 4.49 и имајќи ја предвид равенката 4.45 се добива:


4.8СтатичкиеквивалентнијазловитовариАко на елементот дејствуваат само концентрирани сили анализата може да се спроведе на

вообичаен начин воведувајќи јазли и координати во точките каде се приложен. Меѓутоа, овој

начин го зголемува редот на и што ангажира голем простор во меморијата на ЕСМ и може да ја

намали точноста на резултатите. Поради тоа стандардна постапка за третирање на товарите кои

не се по координатите на системот (било да се концентрирани сили или континуирани) е нивна

замена со статички еквивалентни јазлови товари. Оваа трансформација се базира на законот за

суперпозиција на силите.

5.Методнасили–општапостапка

Во матричниот метод на сили, конструкцијата се смета дека се состои од дискретни елементи

меѓусебно поврзани со јазолни точки.

Постапката ќе биде илустрирана на статички неопределена конструкција, слика 1.

а) Конструкција и приложени товари

б) Основен систем, координати на системот в) Елементи и координати на

1i,2i,3i и4i и координати по прекубројните сили, 4pr и 5pr елементите

EI

10kNm

30kN

40 kN 7,5 kN/m

4EI

4,0 4,0

4,0

2 i 1 i

4 i

5 pr

6 pr

1 2 3 i

PFU

1

1 1

2

4

1 3

3 6 5

pfu


Постапката на пресметувањето во матричниот метод на сили е следна:

1. Се избира стабилен ОСОС (во дадениот пример системот е 2 пати статички неопределен и

за него е одбран основен систем – конзола)

2. Во местата каде што се сечат елементите и во местата каде е потребно да се определат

силите и поместувањата, се дефинираат координати на системот. (на сликата 1 тоа се

координатите 1i,2i, 3i и 4i).

3. Се дефинираат координати по прекубројните на ОСОС и се обележуваат во продолжение

на координатите на системот (на сликата 1 тоа се координатите 5 и 6 по непознатите

прекубројни сили). Координатите на системот 1,2,3 и 4 им се доделува индекс I додека

координатите по прекубојните добиваат индекс pr, а тоа ќе се однесува на сите вектори и

матрици во понатамошното пресметување.

4. Конструкцијата се дискретизира на елементи така да координатите бидат на краевите на

елементот. Во примерот, конструкцијата е дискретизирана на 3 елементи.

5. Во зависност од типот на елементот, се пресметуваат матрици на флексибилност на

елементите (елемент греда со 2 координати или елемент греда или конзола со вклучени

аксијални дилатации).

21

12

6EJf

матрица на флексибилност на греден елемент

6. Се формира равенката за рамнотежа на јазлите Pp , така што се определува

матрицата на трансформација на сили по координатите на системот во сили по

координатите на елементите, .

Столбот „J“ на матрицата се определува на тој начин што по координатата на системот

„J“ на ОСОС, се приложи единечна сила (силите по останатите координати се нули) и од

условите на рамнотежа се пресметуваат силите по координатите на елементите.


Определување на матрицата :

60 kN

2EI

EI EI 3,0

6,0

EIc=2EI

EIc/EI=2

1 2 3


Координати на системот Координати на елементите

2

1

5

6

3 4

31

2

1 i 2 i

3 i

4 PR

5 PR


Состојби Pi=1 на ОСОС

P1 =1,0

M(o)P1

P2 =1,0

M(o)P2

1,0 1,0

1,0

P3 =1,0

M(o)P3

3,0

6,0

M(o)P4

P5 =1,0

M(o)P5

6,0

P4 =1,0

3,0 3,0


Matrica na transformacija na silite po koordinati na sistemot vo sili po koordinati na elementite, [] :

Координати на системот

Р1=1 Р2=1 Р3=1 Р4=1 Р5=1

1 -1 -1 3 -6 0

2 1 1 0 6 -3

3 0 -1 0 -6 3

[ 4 0 1 0 0 -3

5 0 0 0 0 3

6 0 0 0 0 0

Матрицата ја делиме на блокови i и pr

7. Се определува матрицата на флексибилност на системот од матриците на флексибилност на елементите

-1 -1 3

1 1 0

[= 0 -1 0

0 1 0

0 0 0

0 0 0

-6 0

6 -3

[PR= -6 3

0 -3

0 3

0 0

Координати на ел

емен

тите


1 -0.5 0 0 0 0 -1 -1 3 -6 0

-0.5 1 0 0 0 0 1 1 0 6 -3

0 0 1 -0.5 0 0 0 -1 0 -6 3

[fs]= 0 0 -0.5 1 0 0 [ 0 1 0 0 -3

0 0 0 0 1 -0.5 0 0 0 0 3

0 0 0 0 -0.5 1 0 0 0 0 0

[

-1 1 0 0 0 0 -1.5 1.5 0 0 0 0 3 3 -4.5 18 -4.5

-1 1 -1 1 0 0 -1.5 1.5 -1.5 1.5 0 0 3 6 -4.5 27 -13.5

3 0 0 0 0 0 3 -1.5 0 0 0 0 1/EI -4.5 -4.5 9 -27 4.5

-6 6 -6 0 0 0 -9 9 -6 3 0 0 18 27 -27 144 -54

0 -3 3 -3 3 0 1.5 -3 4.5 -4.5 3 -1.5 -4.5 -13.5 4.5 -54 45

[F]

[F11] [F12] [F22] [F21]

3 3 -4.5 18 -4.5 -1

3 6 -4.5 27 -13.5 144 -54 18 27 -27

-4.5 -4.5 9 -27 4.5 -54 45 -4.5 -13.5 4.5


8. Се определува вектор на товарите по координатите на системот 1,2,3, и 4.

Определување на векторот на товарите (статички еквивалентни јазлови товари)

За сите елементи кои се товарени по својата должина со надворешен товар, (двојно вклештени или еднострано

вклештени елементи), користејќи таблици, се запишуваат силите на краевите на елементите (по координатите на

елементите), oslokp . Овие сили се префрлуваат во јазлите со спротивен знак, а потоа се запишува векторот на товарите по

координатите на системот со индекс i. Исто така се запишува и векторот на сили во правец на прекубројните, osPRP

45

45oslokp ;

0

30osPRP ;

0

45

45

P

P=60 P*L/8

45 3 45 45

1 2

45

P*L/8

P/2=30 kN


9. Определување на силите по координатите на елементите

PFU

pr

i

2221

1211

pr

i

P

P

FF

FF

U

U 0U pr

pr22i21

pr12i11i

PFPF0

PFPFU

Од втората равенка се определуваат прекубројните:

i211

22pr PFFP

Pp

pr

ipri P

Pp

i211

22pri

i211

22prii

prprii

P)FF(p

PFFPp

PPp

Со оваа равенка се определуваат силите по координатите на елементите.


Конечните вредности на силите по координатите на елементите се определуваат

според равенката:

osloki21

122pridef pP)FF(p

Mdef=Mo + M1*x1+M2*x2 деф. моменти во класичниот метод на сили

10. Определување на поместувањата по координатите на системот

iii

i211

221211i

i211

2212i11i

pr12i11i

PFU

P)FFFF(U

PFFFPFU

PFPFU

211

221211i FFFFF

Со оваа равенка се определува матрицата на флексибилност по координатите i или

кондензирана матрица на флексибилност.

Определување на поместувањата по координатите на системот

iii PFU

11. Определување на дефинитивните вредности на прекубројните сили:

ospri21

122pr PPFFP

Аdef=Аo + А1*x1+А2*x2 дефинитивни реакции во класичниот метод на сили.

5. Matri~en metod na deformacii 50


METOD NA DEFORMACII Metodot na deformacii ima naj~esta primena vo matri~nata analiza na konstrukciite. Kanonskite ravenki se sostavuvaat od uslovite za ramnoteà a nepoznatite vo metodot se pomestuvawata vo jazlite. Vo matemati~kata formulacija, metodot na deformacii koristi diskretizacija na konstrukcijata, a matricata na krutost na sistemot se sostavuva od matricite na krutost na oddelnite elementi. Postapkata se sproveduva na osnoven kinemati~ki opredelen sistem, koj za razlika od metodot na sili e edinstven. Toa vo golema mera mu dava prednost na metodot na deformacii pri kompjuterskata analiza na konstrukciite. Vo matri~nata analizata na liniskite konstrukcii problemot se sveduva na sostavuvawe i re{avawe na sistem linearni algebarski ravenki koi vo matri~na forma moè da se zapi{at:

UKP Општа постапка во анализата Postapkata }e bide pokaàna na na sledniot primer: Primer: da se opredeli odgovorot na dadenata konstrukcija od zadadeniot tovar. а) Koordinati na sistemot Koordinati na elementite б) в) Slika 1 а) Konstrukcija i tovar, б) koordinati na sistem, в) koordinati na elementi

40kNm

4,5kN/m

30kN

4EI

EI

2,0

2,0

8,0

UKP

6

2 1

4

3

5 ukp

2

3 1

2

1

4

3

ukp

2

3 1

2

1

4

3

1 1

1 2



Na Slika 1 б) dadeni се koordinatite na sistemot (obeleàni so broevi od 1 do 6), a na сликата в) e dadena diskretizacijata na konstrukcijata na elementi so koordinati na elementite. Pri toa elementot 1 (stolb) e dvoјно vkle{ten element so 4 koordinati, a gredata e ednostrano vkle{ten element so 3 koordinati. Vo analizata се zanemarени aksijalnite deformacii. Vo toj slu~aj, horizontalnoto pomestuvawe po koordinatata 1 е zaedni~ko za dvata jazli od gredata. Za sistemot (konstrukcijata) i dadenite koordinati na sistemot, vaì ravenkata:

UKP ;

kade : P - e vektor na silite po koodrinatite na sistemot,

U - e vektor na pomestuvawata po koodrinatite na sistemot, K - e matrica na krutost na sistemot, Analogno, za sekoj element i negovite koordinati, vaì ravenkata:

ukp

kade : p - e vektor na silite po koodrinatite na elementot,

u - e vektor na pomestuvawata po koodrinatite na elementot, k - e matrica na krutost na elementot.

Matricata na krutost na sistemot K , se opredeluva od matricite na krutost na elementite so postapka наречена метод на кодни броеви, koja }e bide prikaàna podolu. Pred da go opi{eme redosledot vo analizata spored matri~niot metod na deformacii, }e se zadrìme na re{avawe na ravenkata UKP .

Koordinatite na sistemot се oзначуваат taka што najnapred se означени koordinatite vo slobodnite jazli na konstrukcijata a potoa koordinatite вo правец на реакциите во ослонците. Za vaka grupirani koordinati na sistemot, matricite i vektorite vo matri~nata ravenka moème da gi podelime na blokovi i ravenkata da ja razbieme na dve matri~ni ravenki na sledniot na~in:

R

S

RRRS

SRSS

R

S

U

U

KK

KK

P

P

Pri toa: SP - e vektor na sili po koordinatite vo slobodnite jazli ( za dadeniot

primer toa se koordinatite 1 i 2). Toa se sili dobieni od priloènite tovari na konstrukcijata ili vektor na tovarite).



RP - e vektor na sili po koordinatite vo leì{nite jazli, односно тоа се

nepoznatite reakcii vo leì{tata по koordinatite 3 do 6. SU - e vektor na pomestuvawata po koordinatite vo slobodnite jazli vo

konstrukcijata (koordinatite 1 i 2). Toa se vsu{nost nepoznatite vo analizata, pomestuvawata od dadeniot tovar. RU - e vektor na pomestuvawata po koordinatite vo leì{nite jazli

(koordinatite 3 do 6). Tie se naj~esto ednakvi na nula (ograni~uvawa vo leì{tata). Matricata na krutost e isto taka podelena na blokovi (2h2) koi se odnesuvaat na dvete grupi na koordinati (S i R). So ova grupirawe na koordinatite, matri~nata ravenka se razbiva na dve matri~ni ravenki:

RRRSRSR

RSRSSSS

UKUKP

UKUKP

Od prvata ravenka go opredeluvame vektorot SU а потоа toj izraz go

zamenuvame vo vtorata ravenka:

)()( 1RSRSSSS UKPKU

RRRRSRSSSRSR UKUKPKKP )()( 1

Ako zememe vo predvid deka naj~esto RU =0, dobivame:

SSSS PKU 1)(

SRSSSSRSR UKPKKP 1)(

Na toj na~in analizata se poednostavuva, pa imame: - pomestuvawata vo slobodnite jazli, SU gi dobivame kako proizvod od

inverzijata na blikot SSK od matricata na krutost na sistemot i vektorot na silite po koordinatite S, (vektor na tovarite). - reakciite odnosno silite po koordinatite vo leì{nite jazli, RP gi

dobivame kako proizvod od blokot RSK i vektorot na prethodno

opredelenite pomestuvawa po koordinatite S, SU .

Postapkata vo analizata e sledna: 1. Se formira OKOS i se obeleùvaat najnapred koordinatite po stepenite

na kinemati~kata neopredelenost (koordinatite s na sistemot, obeleàni so broevite 1 i 2). Za opredeluvawe na pomestuvawata vo slobodnite jazli i dijagramot na momenti, ovie koordinati se dovolni -minimalen broj na potrebni koordinati)



Pokraj ovie moè da se vovedat i dopolnitelni koordinati S ako imame interes da opredelime odgovor vo nekoi karakteristi~ni to~ki. Isto taka, ako vo istata analiza sakame da gi opredelime i reakciite, vo leì{tata voveduvame koorinati R.

Na primer, za istata zada~a, ako sakame da go opredelime vertikalnoto pomestuvawe vo sredina na gredata, voveduvame koordinata 3, a za rotacijata na krajot na gredata voveduvame koordinata 4, Слика 2. Ovie 4 koordinati se dovolni za opredeluvawe na pomestuvawata vo jazlite i dijagramot na momentite. Reakciite vo leì{tata, moè da se opredelat od dobienite definitivni sili na kraevite na elementite koristej}i gi uslovite za ramnoteà. Ako sakame so istata analiza da gi opredelime i reakciite vo leì{tata, (koristej}i ja ravenkata SRSR UKP ) , prodolùvame so obeleùvawe na

dopolnitelni koordinati od 5 do 8, слика 2. Vo ovoj slu~aj imame, 4 sistemski koordinati S (obeleàni so broevite 1 do 4) i 4 sistemski koordinati R (obeleàni so broevite 5 do 8)

Слика 2. Координати на систем 2. Konstrukcijata se diskretizira na elementi (gredi i stolbovi) i se

obeleùvaat lokalnite koordinati na elementite. Pri toa koordinatite na sistemot sekoga{ treba da se nao|aat na kraevite na elementite. Vo zavisnost od odbranite koordinati na sistemot, diskretizacijata na dadenata konstrukcija na elementi, e razli~na i e prikaàna na slika 3:

Слика 3. Координати на систем, дискретизација со 2 и дискретизација со 3 елементи и координати на елементи

8

2 1

6

5

7

3 4

8

2 1

6

5

7

3 4

1 1 1 2 1 3

6

2 1

4

3

5

1 1 1 2



Vo prviot slu~aj konstrukcijata e diskretizirana so 2 elementi, od koi prviot element e dvojno vkle{ten елемент (stolb) a vtoriot e ednostano vkle{ten (greda). Vo vtoriot slu~aj, poradi vovedenata sistemska koordinata 3, gredata ja delime na dva elementa kako bi bil ispolnet uslovot, koordinatite na sistemot sekoga{ bidat na kraevite na elementite. Konstrukcijata e diskretizirana so 3 elementi i site se od isti tip, odnosno dvojno vkle{teni. Elementot 3 e vo ovoj slu~aj dvojno vkle{ten zaradi postoeweto na sistemskata koordinata 4. Elementite od isti tip ja olesnuvaat analizata. Isto taka kako kontrola na rezultatite od analizata, za elementot broj 3, silata po koordinatata 4 na elementot, {to }e se dobie od analizata, mora da bide ednakva na nula a toa e momentot vo nepodvi`noto le`i{te.

3. Vo zavisnost od tipot na elementite, numeri~ki se presmetuvaat

matricite na krutost na elementite po lokalnite koordinati na elementite. Kaj konstrukcii so ortogonalni elementi lokalnite koordinati na elementite se sovpa|aat so sistemskite koordinati i matricite na krutost po lokalni koordinati se sovpa|aat so matricite po globalni koordinati. Istite mo`e da se koristat za opredeluvawe na matricata na krutost na sistemot. Kaj konstrukcii so kosi elementi ne postoi vakvo sovpa|awe zaradi {to se voveduvaat takanare~eni, globalni koordinati na elementite. Matricite na krutost po lokalnite koordinati se transformiraat vo matrici na krutost na elementite po globalni koordinati. Ovie matrici na krutost se koristat pri opredeluvawe na matricata na sistemot.

Слика 4. Координати на систем, дискретизација со 2 елементи, локални и глобални координати на елементи

lokalni i globalni koordinati na елементите

2

3 1

2

1

4

3

4

2

3 1

2

1

3

1 1

1 2

2 1

1 1

1 2

2 1

4

2 1

3

1 1

2

3 1

1 2

4

2 1

3

1 1 1 1

1 2

Konstrukcija so ortogonalni elementi

Konstrukcija so коси elementi

lokalni i globalni koordinati na елементите



Globalnite koordinati se definiraat samo za kosite elementi. Transformacijata na matricite na krutost od lokalni vo globalni koordinati, se vr{i so pomo{ na matricata na rotacija:

Za elementot 1 na Slika 4 transformacijata se odnesuva samo vo liniskata koordinata 3.

Слика 5. Елемент, локални и глобални координати, матрица на ротација Матрица на ротација се формира на следниот начин: Првата колона на матрицата [R] на елементот се формира од состојбата

u1g=1 (единично поместување по глобалната координата 1g). Од оваа состојба постои само поместување по 1 а поместувањата по локалните координати 2,3 и 4 се еднакви на нула.

На сличен начин се определува втората колона на [R] , од состојбата u2g=1. Во овој случај има поместување само со локалната координата 2.

За состојбата u3g=1.0 , од геометријата на конструкцијата се определува, u 3 = -c, додека поместувањата по сите останати локални координати се еднакви на нула.

Од состојбата u4g=1, има поместување само по локалната координата 4. На ваков начин се определуваат матриците на ротација за сите елементи каде има несовпаѓање на координатите на елементот со координатите на системот, односно за кои што е потребно да се изврши трансформација. Со овие матрици на ротација се определуваат глобалните матрици на крутост на елементите :

u3g=1,0

u3g=1,0

y=1/tg 2y1c

1000

0c00

0010

0001

R

1g 2g

1

3g 4g

2

3

4

1 1

2

3 1

1 2

1 1

1 2

3 4

1g 2g

3g

4g



4. Се формира матрицата на крутост на системот од матриците на крутост

на поедините елементи по равенката:

U1=1 U2=1 u1 0 0 u2 0 0 u3 -c 0

[ u4 0 1

u5 -y 0

u6 0 1

u7 0 0

Вообичаено е наместо матрично множење по оваа равенка да се користи методот на кодни броеви.

5. Се определува векторот на товарите

За сите елементи кои се товарени по својата должина со надворешен товар, (двојно вклештени или еднострано вклештени елементи), користејќи таблици, се запишуваат силите на краевите на елементите (по координатите

на елементите), oslokp . Овие сили се префрлуваат во јазлите со спротивен

знак, а потоа се запишува векторот на товарите по координатите на системот. Исто така се запишува и векторот на сили во правец на

прекубројните, osRP

Статички еквивалентни јазлови товари

P=60 P*L/8

45 3 45 45

1 2

45

P*L/8

P/2=30 kN

U1=1,0

y=1/tg 2y1c

U2=1,0



45

45oslokp ;

0

30P os

R ;

0

45

45

P

6. Се определува поместувањето по координатите на системот и реакциите во лежиштата. Решавањето на равенката , доведува до равенките:

7. Се определуваат поместувањата по координатите на елементите од веќе определените поместувања на системот.

S1

SSSSS PKUu

S - блок од матрица на трансформацијата на поместувањата на системот

во поместувања на елементите, по координатите S.

Столбот „J“ на матрицата се определува кога по координатата на системот „J“ се приложи единечно поместување (поместувањата по останатите координати се еднакви на нула) a потоа ги идентификуваме соодветните компатибилни поместувања на елементите . Поместувањата по координатите на елементите може да се определат од координатите на системот и кодните броеви на елементите.

8. Се определуваат силите на краевите на елементите

Ако во анализата се користени матрици на крутост на елементите во глобални оски, добиените сили на крајот на елементот исто така се во глобални оски и е потребна нивна трансформација по локални оски. Тоа се врши по равенката:

9. Ако конструкцијата е натоварена со сили по елементите, добиените решенија за силите од краевите на елементите и реакциите не се дефинитивни. Тие се пресметани од јазловите товари кои дејствуваат на конструкцијата и само едниот систем на сили на кои се разлага товарот по елементите- статички еквивалентните јазлови товари. За конечно решение, на овие реакции и сили на краевите на елементите треба да се додадат соодветните реакции и сили на краевите на елемантите од товарите по елементите на ОКОС односно.

oslokdef pukp

oslRSRSRdef PUKP

5.1 Metod na kodni broevi 58

Stati~ka analiza na liniski konstrukcii

Формирање на матрицата на крутост на системот со методот на кодни броеви За конструкции со повеќе елементи формирање на матрицата на крутост на системот, [K] со равенката,

ST kK

доведува до потешкотии и е нерационално поради високиот ред на матриците Sk и .

- (број на координати на елементите) х (број на координати на системот).

Sk - (број на координати на елементите)2. Покрај тоа, голем дел од елементите во овие матрици се еднакви на нула со кои непотребно се вршат голем број операции при компјутерското пресметување. Значителна редукција во аритметичките операции при формирањето на матрицата [K], се постигнува со методот на кодни броеви односно со директно внесување на учеството на поедините елементи во крутоста на системот. Методот на кодни броеви ќе биде илустриран на следниот пример:

Слика 6. Конструкција и товар, координати на систем, дискретизација и

координати на елементи Определување на матрицата на крутост на системот со методот на кодни броеви: 1. За дадената конструкција се дефинираат координатите на системот (по

степените на слобода) и координатите на елементите. 2. Според типот на елементите, се пресметуваат матриците на крутост за сите

елементи, [k]i. 3. За секој елемент се запишуваат таканаречени, кодни броеви, кои ги

претставуваат координатите на системот кои одговараат на соодветните координати на елементите. За елемент 1 во дадениот пример, кодни броеви се 3, 1, 0, 0, што означува

дека: на координатата 1 од елементот, одговара координатата 3 од системот,

2

1

4

3

1 2

3 4

1 2

3

1

2

3

P=60 1 2 3



на координатата 2 од елементот, одговара координатата 1 од системот, по координатите 3 и 4 од елементот, кодните броеви се 0, поради тоа што на

не постои координата на системот соодветна на овие координати од елементот.

На тој начин се запишуваат кодни броеви за сите елементи. Истите се запишуваат до матриците на крутост на елементите (за колоните и за редовите од матриците). За дадениот пример, матриците на крутост на елементите и нивните кодни броеви се:

36181818

18121812

18183618

18121812

27

4

612

264

612612

2

22

31EI

.sim

EIk

144367236

36123612

723614436

36123612

216

22

EIk

393

9279

393

27333

333

333

2

233

EIEIk

4. Се определуваат членовите во матрицата на крутост на системот на следниот

начин: Членот К11 се определува со сумирање на членовите од матриците на елементите за кои во нивните кодни броеви фигурира 1. За примерот, тоа се членовите од матриците на елементите 1 и 2, означени со сини стрелки и истите се сумираат,

EI666,2144216

EI236

27

EIK11

Во кодните броеви за елементот 3, не фигурира коден број 1, што значи дека овој елемент не учествува во крутоста на системот по координатата 1. За определување на вондијагонален член, на пример К12, се сумираат членовите од матриците на крутост на елементите кои ги имаат кодните броеви 1 и 2, а тоа е само елементот 2, (означени со црвени стрелки):

3 1 0 0

3

1 0 0

0 1 0 2

0

0 2

1

3 2 0

3 2 0



EI666,072216

EI2KK 2112

Вондијагоналните членови се симетрични и истите може да се определат на два начина, еднаш одејќи прво со кодниот број за редот (1) а потоа кодниот број за колоната (2), при што се определува членот К12 , или прво кодниот број за редот (2) а потоа за колоната (1) при што се определува членот К21. На таков начин се определуваат и останатите членови од матрицата [K]:

5555,03333,06666,0

3333,03333,26666,0

6666,06666,06666,2

EI

27

3

27

12.

27

9

27

27

216

144227

18

216

722

216

1442

27

36

EIK

simetr

61 5.2. Diskontinuiteti


Дисконтинуитети во конструкциите

1. Дисконтинуитети во јазлите и во елементите

а) Зглобови во ослонците Решавањето во ваков случај може да се спроведе применувајќи два пристапи:

≠ по степените на слобода кои ги овозможува дисконтинуитетот се воведува координата,

≠ за таков елемент се користи модифицирана матрица на крутост која го респектира граничниот услов.

≠ б) Зглобови во јазлите (меѓу елементите)

≠ по степените на слобода кои ги овозможува дисконтинуитетот се воведува координата,

≠ за таков елемент се користи модифицирана матрица на крутост која го респектира граничниот услов.

а) б) Сите елементи со 4 координати елементи со 3 и 4 координати в) Дисконтинуитети во елементите не пренесува M не пренесува Т не пренесува N Во практиката најчесто се јавува дисконтинуитет кој не пренесува момент. a) б) Елементи со 4 координати

1

2

3 1

2

3

1

2 3

4

1

2

3

1

2

1

2 3

4

5

1

2 3 1

263 4

54



в) г) Елементи со со 3 и со 4 координати кондензација на ниво на елемент

a

4

a

6

a

2

a

6

a

6

a

12

a

6

a

12

a

2

a

6

a

4

a

6

a

6

a

12

a

6

a

12

EIk

22

2323

22

2323

1

1

2 1

23

3 1

2 3 1

24

34

2

3 1

4

a b EI

2

3 1

1 1

4 2

3 1

1 2

4

a b

2

3 1

4 EI

5

7 6

1 2 5 6

1

2

5

6



b

4

b

6

b

2

b

6

b

6

b

12

b

6

b

12

b

2

b

6

b

4

b

6

b

6

b

12

b

6

b

12

EIk

22

2323

22

2323

2

b

40

b

6

b

2

b

600

0a

4

a

600

a

2

a

6

b

6

a

6)

b

12

a

12(

b

6

b

12

b

6

a

12

b

20

b

6

b

4

b

600

b

60

b

12

b

6

b

1200

0

0

a

2

a

6

a

6

a

12

0

0

0

0

a

4

a

6

a

6

a

12

EIk

22

22

22332323

22

2323

2

2

32

2

3

211

221211* kkkkk

кондензирана матрица на крутост на елемент

5 7 3 4

5

7

3

4



2

2

bbabb

b1a1

abaaa

b1a1

EIk

Матрица на крутост на греден елемент со дисконтинуитет Сили на краевите на елементот со дисконтинуитет натоварен со рамномерно поделен товар:

os4,3,2,12

122121 ppkkp

2

3 1

4

a b EI

2

3 1

4

a b EI

q

2

3 1

4 EI

5

7 6

2

3 1

1 1

4 2

3 1

1 2

4

a b

12

qa 2

2

qa

q q

2

qb

12

qb2

q

)ba(2

a

12

qa 2

12

qb2



12

qa

12

qa

)ba(2

q

p

2

2

2 ;

12

qb

2

qb

12

qa

2

qa

a2

qp

2

2

os4,3,2,1

)a3ba4b(b

ba8b5a3

)b3ab4a(a

ab8b3a5

)ba(8

qp

434

344

434

344

331

1

2

3

4

q

a b

66 5.3. Elementi so promenliv presek


Елементи со променлив попречен пресек

Распределбата на напрегањата во елементите од конструкцијата, зависи од односот на

нивната крутост (EI) и текот на внатрешните сили. За таа да биде порамномерна, што се

одразува на економичноста на конструкцијата, многу често карактеристиките на

елементите се менуваат по нивната должини. Промената може да биде степенеста или

континуална.

Ваквата промена на напречниот пресек предизвикува значителни промени во системот

равенки поради промената како на матриците на крутост на елементите така и на

еквивалентните јазолни товари.

Елементи со степенеста промена на попречниот пресек

За анализа на овие елементи се применуваат повеќе пристапи:

1. Елементите се делат на помали воведувајќи јазлови точки и координати во местата

каде се менува попречниот пресек. При тоа не е потребно развивање на нова

матрица на крутост на елементите но ваквиот начин доведува до зголемување на

редот на матрицата на крутост на системот.

2. Елементот се дискретизира како во претходниот начин, меѓутоа на ниво на

елемент се врши кондензација на степените на слобода во новововедените јазли.

Со ова матрицата на крутост на елементот останува од исти ред и натаму анализата

ја следи вообичаената постапка.

Потребно е да се нагласи дека во првиот пристап, промената на напречниот пресек

има влијание на еквивалентните јазлови товари.

Пристапот со кондензација на степените на слобода на ниво на елемент ќе биде

илустриран со пример.

2

3 1

4 2EI

5

6

EI



2

22

31

a4

a612

a2a6a4

a612a612

a

EI2k

2

22

31

b4

b612

b2b6b4

b612b612

b

EI2k

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

kkkkkk

kkkkkk

kkkkkk

kkkkkk

kkkkkk

kkkkkk

EIk

2221

1211

kk

kkEIk

211

221211* kkkkk

Кондензираната матрица на крутост на елементот е матрица на крутост на греден елемент со 4

координати со степенеста промена на пресекот на елементот.

2

3 1

1 1

4 2

3 1

12

4

a b

1 2 5 6

1

2

5

6

5 6 3 4

5

6

3

4

2

3 1

4 2EI EI



Вклучување на влијанието на деформациите на смолкнување во анализата

Кај поедини конструктивни елементи, како на пример греди, рамки, скари, платна,

влијанието на деформациите од смолкнување може да биде значително. Ова е посебно

изразено кај платната кои многу често се применуваат во високоградбата за примање на

хоризонталните сили. Ако односот на нивната височина спрема ширината е помал од 5,

изведените матрици [f]и [k] се незадоволителни и потребна е нивна модификација со

земање на предвид на деформациите на смолкнување.

Матрицата на крутост за овој случај ќе биде изведена преку матрицата [f] по претходно

опишаната постапка.

При пресметување на матрица на флексибилност на греден елемент со две координати

[f],

беа земени предвид само деформациите од свиткување. Овде ќе биде покажано како се

вклучува влијанието од смолкнувањето. За определување на матрицата [f] ќе ја

примениме равенката:

‐ напрегања од сукцесивно приложувани единечни сили по координатите

– ја определува врската помеѓу напрегањата и дилатациите

За

За

Од каде



Очигледно е дека оваа матрица е сингуларна што значи дека елементот само со јакоста на

смолкнување не може да ги носи моментите и .

Комплетната матрица во која се вклучени деформациите од свиткување и од

смолкнување се добива со суперпозиција на двете матрици:

Каде коефициентот се пресметува според изразот:

Овие членови се додаваат на членовите по 2 и 4 координата од претходно изведената

матрица на крутост за греден елемент со 4 координати. На тој начин се добива

комплетната со вклучени деформации од свиткување и смолкнување:



12 6 12 6

3 2 3 2

4 6 2

2EIk

e 12 61simetr.

3 2

4

Оваа матрица се применува за моделирање на елемент платно, со изразени деформации,

од смолкнување , при анализа на рамки со платна.

6 Vlijanie od horizontalni tovari 71


Анализа на конструкции состевени од повеќе системи на хоризонтални

товари

Кај објектите од високоградба нагласена е потребата за обезбедување отпорност на

објектот на влијание од хоризонтални сили кои произлегуваат од

Ветер

Сеизмички сили

Експлозии

Конструкцијата може да биде составена од:

еден тип носечки елементи,

или комбинација од повеќе типови елементи.

Пореална анализа на конструкцијата како целина е тродимензионалната анализа која

е многу комплицирана.

Во практиката: со занемарување на определени влијанија при взаемното дејство на

системите, кои не се од битно значење, можна е поодделна анализа на поедините

системи – рамнинска анализа.

Претпоставки за примена на упростената анализа од влијание на хоризонтални сили

се:

1. хоризонталните сили дејствуваат во нивото на меѓукатната конструкција,

2. меѓукатната конструкција во хоризонталната рамнина се однесува како крута

дијафрагма, (има бесконечна крутост во своја рамниа)



3. Влијанието на хоризонталните сили може да се разгледува независно во двата

ортогонални правци, што има оправдување кога конструкцијата е симетрична,

со симетрична распределба на крутосни карактеристики.

На сликатa 1 е прикажанa во основа, една конструкција симетрична во правецот

y‐y. Истата е составена од 6 попречни рамки, по три лево и десно од оската на

симетрија. Крајните рамки означени со 1, се чисти рамки составени од греди и

столбови, рамките бр.2 се составени од греди, столбови и платна на левата

страна, а рамките бр. 3 имаат платно во средината

Y

Y

P



Слика 1. Конструкција составена од 6 напречни системи (чисти рамки и рамки со аб

ѕидови‐платна)

Конструкцијата е натоварена со хоризонтална сила Р во нивото на меѓукатната

конструкција. Потребно е да се определи одговорот на системот од дејството на

товарот Р.

Напречните системи се поврзани со меѓукатна конструкција која се однесува како

крута дијафрагма и обезбедува еднакви поместувања на различните попречни

системи (рамки) во правец на силата Р.

Поради симетричноста на системот во правец на делување на товарот, како и крутата

меѓукатна конструкција, може да се примени упростената рамнинска постапка. Според

оваа постапк (метода на еднакви поместувања), за секоја рамка поединечно, се

определува крутоста во хоризонтален правец а потоа крутостите се суперпонираат и се

определува вкупната крутост на објектот .

Постапката за определување на одговорот на систем составен од столбови, греди и

платна, идентична е како кај рамките, водејќи сметка за одредени специфичности кои

треба да се респектираат при гредите со крути јазли.



Кога гредата завршува во платно‐ нејзината должина се продолжува за d/4 во

внатрешноста на платното, каде d е висина на гредата,

Наједноставен начин е сериско поврзување на поедините носиви системи со кратки

стапови со зглобови на двата краја со бескрајна крутост во аксијален правец.

Ваквиот начин доведува до тешкотии поврзани со капацитетот на компјутерот. Овој

проблем се надминува ако за секој систем се формира матрица на крутост по

хоризонталните координати.

Анализта по оваа постапка се одвива во следните фази:

1. Се формираат матриците на крутост на системите 1,2 и 3 при што линиските

поместувања се третираат како први.

o

b/d

b/h

h

d/4

d/4 r 4/do 4

d

2

hr



Степен на кинематичка неопределеност на системите:

Систем 1 ‐ 25



2. Бидејќи силите на конструкцијата се приложени само по хоризонталните

координати, се кондензираат матриците на крутост само по линиските

поместувања. Применувајќи ја постапката за кондензирање на матрицата на

крутост, се определуваат матриците, .

3. Напречната крутост на целата конструкција, односно вкупната крутост на

системот во хоризонтален правец, се добива како збир на напречните крутости

на поедините елементи. За разгледуваниот пример:

4. Се определуваат поместувањата по хоризонталните координати

P)K(U 1**

Каде се сили приложени по хоризонталните координати односно во нивото

на меѓукатната конструкција.

5. Распределбата на силите кои се приложени на целата конструкција на сили

по педините рамки, се врши од условот да сите системи имаат поместувања

еднакви на .

Во разгледуваниот случај:

*11 UKP

*22 UKP

*33 UKP

Контрола:

)PPP(2P 321



6. Понатаму, анализата на поединечните рамки се спроведува според општата

постапка во матричниот метод на деформации.

*21

122

3

23,2 UKK

U

UU

3

2

*1

U

U

UU

U

Matri~en metod na deformacii

Primer 1 :

Diskretizacija i koordinati na sistemot

1

2

1 2

EI

2EI

3,0 5,0

20 kN/m’

40 kN

Dijagram na momenti

1

1 задача: Со помош на методот на на сили, да се определи матрицата на флексибилност на дадената конструкција по дадените координати.

0

0

12222211

11122111

P

p

Pp

xx

xx

0

0

22222211

21122111

P

p

Pp

xx

xx

0

0

32222211

31122111

P

p

Pp

xx

xx

6,0

2EI

EI EI 3,0

EIc=2EI EIc/EI=2

1 2 3

1 2

3

X1

X2

ОСОС

2

Определување на коефициентите и слободните членови во канонските равенки : Состојби Xi=1,0 и Pi=1,0 в на ОСОС

P1 =1,0

M(o)P1

P2 =1,0

M(o)P2

1,0 1,0

1,0

P3 =1,0

M(o)P3

3,0

6,0 M1

X2 =1,0

M2

6,0

X1 =1,0

3,0 3,0

3

Коефициенти и слободни членови:

90633223333

1

1086362

12336

2

1

2886663

12366

22

12

11

EIc

EIc

EIc

923336

1

5423632

1

2761323312

1

546612

12361

923312

1

362361

32

31

22

21

12

11

PP

PP

PP

PP

PP

PP

EIc

EIc

EIc

EIc

EIc

EIc

Определување на прекубројните од Р1=1, Р2=1 и Р3=1,0: pX 1

P1=1,0 P2=1,0 P3=1,0 -1 P1=1,0 P2=1,0 P3=1,0

x1 x1 x1 = - 11 12 * 1p 1p 1p

x2 x2 x2 21 22 2p 2p 2p P1=1,0 P2=1,0 P3=1,0 -1

x1 x1 x1 = - 288 -108 * 36 54 -54x2 x2 x2 -108 90 -9 -27 9

`

36 54 -54 -9 -27 9

0.006313 0.007576 0.159091 0.136364 -0.272730.007576 0.020202 0.090909 -0.13636 -0.22727

P1=1,0 P2=1,0 P3=1,0 x1 x1 x1 = -0.15909 -0.13636 0.272727 x2 x2 x2 = -0.09091 0.136364 0.227273

4

Дијаграми на моменти од Р1=1, Р2=1 и Р3=1,0:

МР1

5

МР2

6

Определување на коефициентите на матрицата на флексибилност:

dsEI

MMds

EI

MMds

EI

MMf

dsEI

MMds

EI

MMds

EI

MMff

dsEI

MMds

EI

MMf

np

op

op

np

np

np

npp

op

np

np

np

op

np

np

np

31313113

2012121

2112

111111

dsEI

MMds

EI

MMf

dsEI

MMds

EI

MMds

EI

MMff

dsEI

MMds

EI

MMf

op

np

np

np

np

op

op

np

np

np

op

np

np

np

333333

3232323223

222222

МР3

7

EI

,),,(

EIff

EI

,),,(

EIff

EI

,),,(

EIf

615039503611

2

1

06032201801

2

1

558960332005264201

2

1

3113

2112

11

EI

,),,(

EIf

EI

,),,(

EIff

EI

,),,(

)EI(),,(

EIf

6552395036123

6

1

210322018023

6

1

495062205901

22

132201801

2

1

33

3223

22

65522106150

2104950060

615006055901

,,,

,,,

,,,

EIF За I=0,0027 m4

339838778227

87731832222

82272222042071

,,,

,,,

,,,

EIF

2.5519 0.5795 0.637

[F]-1=[K]=EI 0.5795 2.222 0.31 0.637 0.31 0.5487

8

Физикално толкување на коефициентите на матрицата [F]:

f11

f21

F31

9

f12 f22

F32

10

f13

f23 f33

11

Физикално толкување на коефициентите на матрицата [K]:

U1=1

k11 k21

k31

12

U2=1

k12 k22

k32

13

k13 k23

k33

14

2 задача: Да се определи одговорот на дадената конструкција од надворешниот товар со помош на матричниот метод на сили.

60 kN

2EI

EI EI 3,0

6,0

EIc=2EI EIc/EI=2

1 2 3

15

Координати на системот Координати на елементите Состојби Pi=1 на ОСОС

2

1

5

6

3 4

3 1

2

1 i 2 i

3 i

4 PR

5 PR

P1 =1,0

M(o)P1

P2 =1,0

M(o)P2

1,0 1,0

1,0

P3 =1,0

M(o)P3

3,0

16

Matrica na transformacija na silite po koordinati na sistemot vo sili po koordinati na elementite, [] : -1 -1 3 -6 0

1 1 0 6 -3 0 -1 0 -6 3 [ 0 1 0 0 -3 0 0 0 0 3

0 0 0 0 0

6,0

M(o)P4

P5 =1,0

M(o)P5

6,0

P4 =1,0

3,0 3,0

-1 -1 3 1 1 0 [ 0 -1 0

0 1 0

0 0 0 0 0 0

-6 0 6 -3

[PR= -6 3

0 -3 0 3 0 0

17


45

45oslokp ;

0

30osPRP ;

0

45

45

P

P=60 P*L/8

45 3 45 45

1 2

45

P*L/8

P/2=30 kN

18

1 -0.5 0 0 0 0 -1 -1 3 -6 0 -0.5 1 0 0 0 0 1 1 0 6 -3 0 0 1 -0.5 0 0 0 -1 0 -6 3 [fs]= 0 0 -0.5 1 0 0 [ 0 1 0 0 -3 0 0 0 0 1 -0.5 0 0 0 0 3

[ 0 0 0 0 -0.5 1 0 0 0 0 0

-1 1 0 0 0 0 -1.5 1.5 0 0 0 0 3 3 -4.5 18 -4.5-1 1 -1 1 0 0 -1.5 1.5 -1.5 1.5 0 0 3 6 -4.5 27 -13.53 0 0 0 0 0 3 -1.5 0 0 0 0 1/EI -4.5 -4.5 9 -27 4.5

-6 6 -6 0 0 0 -9 9 -6 3 0 0 18 27 -27 144 -540 -3 3 -3 3 0 1.5 -3 4.5 -4.5 3 -1.5 -4.5 -13.5 4.5 -54 45

[F] [F11] [F12] [F22] [F21] 3 3 -4.5 18 -4.5 -1 3 6 -4.5 27 -13.5 144 -54 18 27 -27 -4.5 -4.5 9 -27 4.5 -54 45 -4.5 -13.5 4.5

oslokiPRidef PP])F[]F[(p

211

22 osPRidefPR PP]F[]F[P

211

22

19

[F22]= 144 -54 -54 45 [F21] 18 27 -27 -1 -1 3 -6 0 -4.5 -13.5 4.5 1 1 0 6 -3 [ 0 -1 0 - -6 3 * 0.0126 0.0152 0.1591 0.1364 -0.273

0 1 0 0 -3 0.0152 0.0404 0.0909 -0.136 -0.227 [F22]-1 *[F21]1

0 0 0 0 3 [F22]-1 0 0 0 0 0 -0.955 -0.818 1.6364 0.6818 1.2273 -0.955

[PR -0.682 -1.227 0.9545 -0.273 0.4091 0.6818 0.2727 -0.409 -0.682 0 0 0

[PR [F22]-1 *[F21] -0.955 -0.818 1.6364 0.6818 1.2273 -0.955 -0.682 -1.227 0.9545 -0.273 0.4091 0.6818 0.2727 -0.409 -0.682 0 0 0 -0.045 -0.182 1.3636 -6.136 0 -6.136 0.3182 -0.227 0.9545 -45 -24.55 0 -24.55 0.6818 0.2273 -0.955 * 45 {P}i = -20.45 + 45 = 24.55 0.2727 0.5909 -0.682 0 14.318 -45 -30.68 -0.273 0.4091 0.6818 30.682 0 30.68 0 0 0 0 0 0

[i [PR [F22]-1 *[F21] {p}oslok {p}def

20

Реакции: -45

{P}PR def = - 0.1591 0.1364 -0.273 * 45 + 30 0.0909 -0.136 -0.227 0 0

{P}i {P}osPR

{P}PR def = -1.023 + 30 = 31.023 -10.23 0 10.227

31,023

10,227

P=60 30,68 24,55

6,14

10,09

30,97

Mdef (SAP2000) Mdef

21

Kondenzirana matrica na fleksibilnost: 211

221211* FFFFF

211

22 FF 0.1591 0.1364 -0.273 0.0909 -0.136 -0.227 [F11] [F12]

3 3 -4.5 18 -4.5 2.4545 3.0682 -3.886 3 6 -4.5 - 27 -13.5 3.0682 5.5227 -4.295

-4.5 -4.5 9 -27 4.5 -3.886 -4.295 6.3409

3 3 -4.5 2.4545 3.0682 -3.886 0.5455 -0.068 -0.6143 6 -4.5 - 3.0682 5.5227 -4.295 = -0.068 0.4773 -0.205

-4.5 -4.5 9 -3.886 -4.295 6.3409 -0.614 -0.205 2.6591

6591,2205,0614,0

205,04773,0068,0

614,0068,05455,0*F

65522106150

2104950060

615006055901

1

,,,

,,,

,,,

EI)zadacaod(F

Поместувања по координатите на системот од дејство на силата Р: 0.54545 -0.06818 -0.6136 -45 -27.614 -10227

{U}= [F]*. {P}i = -0.0682 0.477273 -0.2045 . 45 = 1/EI 24.5455 =1/E 9091

-0.6136 -0.20455 2.6591 0 18.4091 6818,2

[F]* {P}i

22

Поместувања (U*Е) по координатите на системот од зададениот товар :

23

3 задача: Да се определи одговорот на дадената конструкција од надворешниот товар со помош на матричниот метод на деформации.

Координати на системот и дискретизација на елементи

60 kN

2EI

EI EI 3,0

6,0

EIc=2EI EIc/EI=2

1 2 3

1

2

3

24

Координати на елементите (локални) Матрици на крутост на елементите и кодни броеви на елементите: кодни броеви за елемент:

36181818

18121812

18183618

18121812

27

4

612

264

612612

2

22

31EI

.sim

EIk

;

144367236

36123612

723614436

36123612

216

22

EIk ;

393

9279

393

27333

333

333

2

233

EIEIk

2

1

4

3

1 2

3 4

1 2

3

1

2

3

3 1 0 0

3

1 0 0

0 1 0 2

0

0 2

1

3 2 0

3 2 0

3 1 2

25

Определување на матрицата на крутост на системот со методот на кодни броеви:

555503333066660

333303333266660

666606666066662

27

3

27

1227

9

27

27

216

144227

18

216

722

216

1442

27

36

,,,

,,,

,,,

EI

.simetr

EIK


45

30

45

30

2oslokp ; ;p;p os

lokos

lok

0

0

0

0

0

0

0

31 ;

0

45

45

P

3 45 45

1 2 P=60 P*L/8

45 45

P*L/8

P/2=30 kN P/2=30 kN

26

Определување на поместувањата по координатите на системот од влијание на надворешниот товар:

PKU

UKP

1

659220506140

2050477300680

61400680545501

555503333066660

333303333266660

6666066660666621

,,,

,,,

,,,

EIFK;

,,,

,,,

,,,

EIK

40918

545524

614271

0

45

45

659220506140

2050477300680

614006805455011

,

,

,

EI,,,

,,,

,,,

EIPKU

Поместувања по координатите на елементите (со помош на кодните броеви): Кодни броеви за елементот 1 се: 3 , 1 , 0, 0. Според тоа поместувањата на елементот 1 се U3, U1, 0, 0 односно:

0

0

61427

40918

11

,

,

EIU

4-tk_arh-matrichni metodi.pdf

Documents