4 the z-transform การแปลงแซด

4 The z-transform

การแปลงแซดรศ.ดร . พี�ระพีล ยุวภู ษิ�ตานนท์�

ภูาคว�ชา ว�ศวกรรมอิ�เล�กท์รอิน�กส์�

EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com

Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

CESdSP DSP4-1

เป�าหมาย

• นศ ร �จั�กความหมายุขอิงการแปลง แซด• นศ เข�าใจัประโยุชน�และการน(าการแปลงแซด ไปใช�งาน



CESdSP DSP4-2

ทำ�าไมต้�องแปลงแซด ?

• เราใช�การแปลง DTFT เพี*+อิช,วยุในการว�เคราะห�ส์�ญญาณไม,ต,อิเน*+อิงท์างเวลาโดยุใช�

• และยุ�+งม�ประโยุชน� ในการว�เคราะห�ในเช�งความถี่�+ • แต, DTFT เป0นการแปลงท์�+ใช�ก�บส์�ญญาณ steady–

state (เช,น cos และ sin ) แต,ใช�ก�บส์�ญญาณท์�+ส์(าค�ญบางอิยุ,างไม,ได� เช,น u(n) หร*อิ nu(n)

• การแปลงแซด (Z-transform) ให�ค(าตอิบได�

{ }je

( )jH e



CESdSP DSP4-3

การแปลงแซด (z-Transform)

• ส์(าหร�บ ส์�ญญาณ x(n) จัะม�การแปลงแซดเป0น

• z หมายุถี่2ง ต�วแปรเช�งซ�อิน ซ2+งเราจัะให�เป0น “ ”

• ซ2+งม�ความหมายุถี่2ง ขนาด และ เฟส์“ ” “ ”•

( ) [ ( )] ( ) n

n

X z Z x n x n z

jz z e

z

Re

Im



CESdSP DSP4-4

การแปลงแซด (z-transform) (ต้�อ)

หาก ขนาด ม�ค,า เท์,า หน2+ง “ ” ( ) จัะได� 1z jz e

เราจัะได� ว,า การแปลง z กลายุเป0นการแปลงฟ เร�ยุร�

การแปลงฟู�ร�เยร�เป�นกรณี�พิ�เศษ ของการแปลงแซด

( ) ( ) ( )jj j n

z en

X z X e x n e



CESdSP DSP4-5

ต�วอิยุ,าง

ว�ธี�ท์(า

1

08.07

06

n-1 0 21

( ) {1,0.8,0.7,0.6}h n

1 2( ) 0.8 0.7 0.6H z z z z

h(n)



CESdSP DSP4-6

คู�ณีสมบั&ต้�การแปลงแซดทำ�'ส�าคู&ญ

• การเล*+อิน

• การประส์าน

• การค ณ x(n) ด�วยุ n

[ ( )] ( )mZ x n m z X z

( )[ ( )]

dX zZ nx n z

dz

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k

y n h k x n k Y z H z X z



CESdSP DSP4-7

การแปลง z ผกผ&น (Inversion of the z-Transform)

• เพี*+อิแปลงกล�บจัาก โดเมนแซดไปเป0นโดเมนเวลา

• พี�จัารณา

• จั�ดอิยุ ,ในร ป

1( ) [ ( )]x n Z X z

20 1 2

20 1 2

...( )

...

NNM

M

a a z a z a zX z

b b z b z b z

20 1 2

1 2

...( )

( )( )...( )

NN

M

a a z a z a zX z

z p z p z p



CESdSP DSP4-8

CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com


DSP4-9

[ ( )] ( )mZ x n m z X z



DSP4-10

( ) [ ( ) ( )] ( ) ( )k

Y z Z h k x n k H z X z



DSP4-11



DSP4-12



DSP4-13

ส�ต้รการแปลงทำ�'ส�าคู&ญ



DSP4-14

Delay

• อิ�มพี�ลส์� ท์�+ถี่ ก หน,วงเวลา



DSP4-15

ส�ต้รการแปลงทำ�'ส�าคู&ญ

• การแปลงค ,คอินจั เกต (Conjugate pair)



DSP4-16

โพิลสามกรณี�

• โพีลเป0นจั(านวนจัร�งไม,ซ(5าค,า• โพีลเป0นจั(านวนเช�งซ�อินไม,ซ(5าค,า• โพีลเป0นจั(านวนซ(5าค,า

• ใช�ว�ธี� Partial Fraction Expansion (PFE)



CESdSP DSP4-17

1.โพิลเป�นจำ�านวนจำร�งไม�ซ�-าคู�า



2 2

2

4 4( )

0.25 ( 0.5)( 0.5)

z zY z

z z z

21 24

( )( 0.5)( 0.5) 0.5 0.5

z C z C zY z

z z z z

1 2( ) 4

( 0.5)( 0.5) ( 0.5) ( 0.5)

Y z z C C

z z z z z



CESdSP DSP4-18

หา C1 และ C2

• หา C1

• หา C2

10.5

4 4(0.5)2

0.5 1z

zC

z

1 2

0.5

4 ( 0.5) ( 0.5) ( 0.5)

( 0.5)( 0.5) ( 0.5) ( 0.5)z

z z C z C z

z z z z

20.5

4 4( 0.5)2

0.5 1z

zC

z

1 2

0.5

4 ( 0.5) ( 0.5) ( 0.5)

( 0.5)( 0.5) ( 0.5) ( 0.5)z

z z C z C z

z z z z



CESdSP DSP4-19

( ) 2 2

0.5 0.5

Y z

z z z

2 2( )

0.5 0.5

z zY z

z z

( ) 2(0.5) ( ) 2( 0.5) ( )n ny n u n u n

ได�ผลการแปลงผกผ�นแซดเป0น



CESdSP DSP4-20

1

1( )

1

z transformna u n

az

2.โพิลเป�นจำ�านวนเชิ�งซ�อนไม�ซ�-าคู�า

2( )

1

zY z

z


ว�ธี�ท์(า1 2

2( )

1

C z C zzY z

z z j z j

1 2

2 2

( )

1 1j j

C z C zY z

z e z e

Y(z) แส์ดงโดยุ

2

0

cos sin2 2

j

j j

j

e



CESdSP DSP4-21

หา C1

2 2 21 22

22 2

( 1 ) ( 1 ) ( 1 )( )( 1 )

11 1

j j jj

j j

z z e C z z e C z z eY z z e

zz e z e

2

2 2 21 2

2 2 2 2

( 1 ) ( 1 ) ( 1 )

( 1 )( 1 ) 1 1j

j j j

j j j j

z e

z e C z e C z e

z e z e z e z e

=0

2

21

2 2 2

1 1 10.5

2( 1 ) ( )j

j

j j j

z e

C ej

z e e e



CESdSP DSP4-22

2

2 2 21 2

2 2 2 2

( 1 ) ( 1 ) ( 1 )

( 1 )( 1 ) 1 1j

j j j

j j j j

z e

z e C z e C z e

z e z e z e z e

หา C22 2 2

1 222

2 2

( 1 ) ( 1 ) ( 1 )( )( 1 )

11 1

j j jj

j j

z z e C z z e C z z eY z z e

zz e z e

2

22

2 2 2

1 1 10.5

2( 1 ) ( )j

j

j j j

z e

C ej

z e e e



CESdSP DSP4-23

แทำนคู�า C1 และ C2

1 2

2 2

( )

1 1j j

C z C zY z

z e z e

2 2

2 2

0.5 0.5( )

1 1

j j

j j

e z e zY z

z e z e

จัาก ตารางท์�+ 41. ข�อิ 14 หน�า 46*

2 cos( )*

n Cz C zC p n p C

z p z p



CESdSP DSP4-24

2 2

2 2

0.5 0.5( )

1 1

j j

j j

e z e zY z

z e z e

0.52

12

2 2

2 2

0.5 0.5( ) 2 0.5 1 cos( )

2 21 1

cos( )2 2

j jn

j j

e z e zy n n

z e z e

n



CESdSP DSP4-25

3.โพิลเป�นจำ�านวนซ�-าคู�า2

2( )

( 0.5)( 1)

zY z

z z


ว�ธี�ท์(า 21 2 3

2 2( )

( 0.5)( 1) ( 0.5) ( 1) 1

z C z C z C zY z

z z z z z

หา C1 2 ( 0.5)z z ( 0.5)z

1

2

0.5

( 0.5)

( 1)z

C z z

z

( 0.5)z 2 ( 0.5)C z z

3

2

( 0.5)

( 1)

C z z

z

1z

1 2 20.5

0.52

( 1) (0.5 1)z

zC

z



CESdSP DSP4-26

2 2( 1)z z 2( 0.5) ( 1)z z

21

1

( 1)

z

C z z

22 ( 1)

( 0.5)

C z z

z

2( 1)z

23 ( 1)C z z

2

1

1

12

( 0.5) (1 0.5)z

z

zC

z

หา C2

หา C3 2 ( 1)z z 21

1

( 1)( 1)

( 0.5)( 1) ( 0.5)z

C z zC z z

z z z

3 ( 1)

1

C z z

z

( 1)z

แท์น z=1 ตรงๆเลยุ ไม,ได� (เพีราะอิะไร?) และ ส์�งเกต การต�ดค,า C1 ไว�ต้�องแทำน C2=2 ลงไปก�อน



CESdSP DSP4-27

21

3

1

21

1

( 1) 2( 0.5)

( 0.5)( 1)

2( 0.5) ( 1)

( 0.5)( 1)

( 1)

z

z

z C z zC

z z

z z C z

z z

z

1( 1)

( 0.5) ( 1)

C z

z z

1

1 02

(1 0.5)

z

21

3

1

( 1) (2)

( 0.5)( 1) ( 0.5) 1z

C z zz zC z

z z z z

13

11 1

( 1) (2)

( 0.5)( 1) ( 0.5) 1 zz z

C zzC

z z z z

จั�ดส์มการใหม,เพี*+อิหา C3

ส์ล�บเท์อิม 2 ก�บ 3

ใช� การหา

แท์นค,า z=1ในข�5นตอินน�5 เท์อิม C1 จัะหายุไปเอิงเม*+อิ z=1



CESdSP DSP4-28

2

2 2

2 2 2( )

( 0.5)( 1) ( 0.5) ( 1) 1

z z z zY z

z z z z z

แท์นค,าลงไป

( ) 2(0.5) 2 2ny n n



CESdSP DSP4-29

ประโยชิน�ของ z-Transform

• 1. ช,วยุในการหาผลตอิบส์นอิงในโดเมนเวลาขอิงระบบ• 2. ช,วยุหาผลการประส์าน•3.ช,วยุหาเอิาท์�พีท์ขอิง difference equation



DSP4-30

1 ชิ�วยในการหาผลต้อบัสนองในโดเมนเวลาของระบับั

ต�วอิยุ,าง1 0

( ) ( ) ( )N M

l ml m

y n a y n l b x n m

ว�ธี�ท์(า( ) 0.9 ( 1) ( )y n y n x n

1( ) 0.9 ( ) ( )Y z z Y z X z

1

( ) 1( )

( ) 1 0.9

Y zH z

X z z

( ) (0.9) ( )nh n u nEEET0485 Digital Signal Processing

http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

CESdSP DSP4-31

2. ชิ�วยหาผลการประสาน



( ) (0.5) ( )nh n u n1

( ) ( )3

n

x n u n

( ) ( ) ( )y n h n x n

( ) ( ) ( )Y z H z X zเราท์ราบว,า( ) , 0.5

0.5

zH z z

z

0

1

10

1( ) ( )

3

1 1 1,

1 13 313 3

nn n

n n

n

n

X z x n z z

zz z

z z



CESdSP DSP4-32

( )10.53

z zY z

z z

หา inverse z-transform2

1 2( )1 1( 0.5)( 0.5)( ) ( )3 3

z C z C zY z

zz z z

1 23, 2C C 3 2

( )1( 0.5) ( )3

z zY z

z z

1( ) 3(0.5) ( ) 2 ( )

3

nny n u n u n

แปลงกล�บ



CESdSP DSP4-33

3.ชิ�วยหาเอาทำ�พิ1ทำของ difference equation

ต�วอิยุ,างการหมนขอิงดาวเท์�ยุมแส์ดงได�ด�วยุ ( ) ( 1) 0.5 ( 2) 0.5 ( ) 0.5 ( 1)y n y n y n x n x n

( )y n= ต(าแหน,งมม(angular position) ( )x n= ท์อิร�ก (Torque) จัากต�วข�บ

ให�หา y(n) ท์�+ x(n) เป0น ( )nว�ธี�ท์(า แปลง z

1 2 1( ) ( ) 0.5 ( ) 0.5 ( ) 0.5 ( )Y z z Y z z Y z X z z X z



CESdSP DSP4-34



DSP4-35

1

1 2

0.5 0.5( ) ( )

1 0.5

zY z X z

z z

ได� Transfer function 1

1 2

0.5 0.5( )

1 0.5

zH z

z z

ขยุายุอิอิกเป0น

/ 4 / 4

1.25 1.25

/ 4 / 4

( ) 0.5( 1)

( 0.707 )( 0.707 )

0.79 0.79

0.707 0.707

j j

j j

j j

Y z z

z z e z e

e e

z e z e

1.25 1.25

/ 4 / 4

0.79 0.79( )

0.707 0.707

j j

j j

e z e zY z

z e z e

เม*+อิ ค ณกล�บด�วยุ z

( ) 1.58(0.707) cos( / 4 1.25), 0ny n n n ต(าแหน,งมม y(n) หาได�จัากการแปลง z ผกผ�น

ฟู2งก�ชิ&นถ่�ายโอน (Transfer function)



DSP4-36

ข�อิก(าหนด 1

เราเร�ยุก H(z) ว,าเป0น ฟ8งก�ช�นถี่,ายุโอิน (Transfer function) โดยุท์�+

y h x( ) ( ) ( ) : ROC =ROC ROCY z H z X z

( ) ( ) ,n

n

H z h n z¥

-

=- ¥

= å

y(n) เอิาท์�พีท์ขอิงระบบ ม�การแปลง z

หร*อิROC ขอิง h(n) จัะต�อิง overlap ก�บ ROC ขอิง x(n) จั2งจัะม� Y(z)

1 1

( ) ( ) ( )N M

k lk l

y n a y n k b y n l

จัากระบบ LTI ท์�+ม�ส์มการความแตกต,างเป0น



DSP4-37

1 1

( ) ( ) ( )N M

k lk l

k l

Y z a z Y z b z X z

หร*อิเข�ยุนเป0น H(z)1

1

( ) ( )( )

( ) ( )1

Ml

llN

kk

k

b zY z B z

H zX z A za z

( 1)0 1

0

( 1)1

M M M M

N N NN

bb z z b z

b

z z a z a

1 20

1 2

( )( ) ( )

( )( ) ( )N M M

N

z z z z z zb z

z p z p z p

เราได� zk= ซ�โร, pk

=โพีล

1

0

1

( )

M

lN M

N

k

z zH z b z

z p

ถี่�า ROC ครอิบคลม unit circle จัะหาผลตอิบส์นอิงความถี่�+ขอิงระบบได�

( ) 10

1

( )

j

Mj

lj j N M

Nj

kz e

e zH e b e

e p

1

0

1

( )j j

Mj

j jN

e z e zH e b

e p e p

Magnitude response

Transfer function

1 1

( ) 0M N

j j jk k

constant linearnonlinear

H e or N M e z e p

Phase response

หาผลต้อบัสนองคูวามถ่�'จำากการแปลง z



CESdSP DSP4-38

แสดงเวคูเต้อร�จำากโพิลและซ�โร�ไปย&ง unit circle

เวคเตอิร�จัากซ�โร,ไป unit circle:

Re(z)

Im(z)

Unit circle

pk

zlj

le z

jke p

เวคเตอิร�จัากโพีลไป unit circle:



CESdSP DSP4-39


ว�ธี�ท์(า( ) 0.9 ( 1) ( )y n y n x n

ส์(าหร�บส์�ญญาณ y(n)

1

1( )

1 0.9H z

z

0.9z

ผลตอิบส์นอิงความถี่�+โพีลซ�โร, พีล9อิต



CESdSP DSP4-40

สร1ป

• หาผลล�พีท์�การแปลงแซดได�ในบางกรณ�ท์�+ใช�การแปลง DTFT ไม,ได�

• ส์มการการแปลงแซดให�ความหมายุมากกว,าหน2+งส์�ญญาณโดเมนเวลา โดยุแตกต,างก�นตาม ROC

• การแปลงแซดช,วยุหาผลล�พีธี�ส์มการผลต,างได� • การแปลงแซดช,วยุหาผลตอิบส์นอิงความถี่�+ได�



CESdSP DSP4-41

4 the z-transform การแปลงแซด

Documents