4. prelazni rezim-klasican postupak

Zlata Ž. Cvetković

Zlata Ž. Cvetković, Električna kola, predavanja, Elektronski fakultet u Nišu, 2010/2011

ELEKTRIČNA KOLA

4. VREMENSKI ODZIV-Klasičan postupak-

Funkcije pobude.

Odskočna ili Hevisajdova funkcija. Opisuje signal koji se od vrednosti nula za beskonačno kratko vreme uspostavlja na vrednost jedan. Koristi se za modelovanje prekidača u kolu.

Pomerena hevisajdova funkcija

( )⎩⎨⎧

≥<

=0,10,0

htt

t

( )⎩⎨⎧

≥<

=−TtTt

Tt,1,0

h

Električna kola, 2010/2011

Impulsna ili delta ili Dirakova funkcija. Opisuje signal koji beskonačno kratko traje a ima konačan integral po osi vremena. Koristi se za modelovanje procesa koji se odigravaju u zanemarljivo malom vremenskom intervalu u kome se trenutno razmenjuje konačna energija

Ima osobinu da je

Pomerena Dirakova funkcija

( )⎩⎨⎧

=∞≠

=δ0,0,0

tt

t

( )⎩⎨⎧

=∞≠

=−TtTt

Tt,,0

δ

( )⎩⎨⎧

=≠

=ττδ∫∞

∞−0,10,0

dtt

Funkcije pobude


Usponska ili ramp funkcija

Pomerena usponska funkcija

( ) ( )tttr h=

( ) ( ) ( )TtTtTtr −−=− h

Funkcije pobude


.

o Odziv kola na Hevisajdovu funkciju naziva se indicioni odziv kola ili indiciona funkcija

o Odziv kola na Dirakovu funkciju naziva se impulsni odziv kola ili Grinova funkcija

o Veze između Hevisajdove, Dirakove i usponske funkcije:

( ) ( )ttt

dhd

=δ ( ) ( ) ττδ= ∫t

t0

dh ( ) ( ) ( )tttrt

hdh0

=ττ= ∫ ( ) ( )ttrt

ddh =

Funkcije pobude


Kalem sa početnom energijom.

Kalem sa početnom energijom, , ima struju

što odgovara paralelnoj vezi strujnog izvora

vrednosti i kalema bez početne strujeRešavanjem prethodne jednačine po naponu dobija se

što odgovara rednoj vezi naponskog izvora vrednosti i kalema bez početne struje

0)0( IiL =−

( )tti

Ltu LL d

d)( =

∫∫∫∫ +=+==∞−∞−

tttu

LtIu

Lu

Lu

Lti

00

0

0d)(1)h(d)(1d)(1d)(1)( ττττττττ

)(0 thI

ttiLtLI

ttiL

ttLItu

d)(d)(

d)(d

d)h(d)( 00 +−=+−= δ

)(0 tLI δ


Kondenzator sa početnom energijom.

Kondenzator sa početnom energijom, , ima napon

što odgovara rednoj vezi naponskog izvora vrednosti i kondenzatora bez početnog napona

Rešavanjem prethodne jednačine po struji dobija se

što odgovara paralelnoj vezi strujnog izvora vrednosti i kondenzatora bez početnog napona

0)0( UuC =−

( )ttu

Cti CC d

d)( =

)(0 thU

)(0 tCU δ

∫∫∫∫ +=+==∞−∞−

ttti

CtUi

Ci

Ci

Ctu

00

0

0d)(1)h(d)(1d)(1d)(1)( ττττττττ

ttuCtCU

ttuC

ttCUti

d)(d)(

d)(d

d)h(d)( 00 +−=+−= δ


Akumulirana energija

Kalem i kondenzator su elementi koji mogu da (sakupljaju) akumuliraju energiju i nazivaju se dinamički elementi

Energija kalema se može izraziti preko struje kalema

Energija kondenzatora se može izraziti preko napona na kondenzatoru

Naponi kondenzatora i struje kalemova ne mogu trenutno da se promene i čine stanje kola

( ) ( )tiLtw LL2

21

=

( ) ( )tuCtw CC2

21

=


Jednačina odziva:

Jednačine stanja su jednačine kola po strujama kalemova i naponima kondenzatora i pobudama

Jednačina odziva se izvodi iz jednačina stanja i u opštem slučaju to je linearna nehomogena diferencijalna jednačina sa konstantnim koeficijentima po traženom odzivu

Odziv je napon ili struja u kolu usled akumulirane energije na dinamičkim elementima, ili pobude, ili i jednog i drugog

Trenutak vremena od koga počinjemo da određujemo odziv je trenutak komutacije, to je nulti trenutak na osi vremena, 0=t


Trenutak komutacije može da bude:

Trenutak obrazovanja kola

Trenutak zatvaranja prekidača ili promene položaja preklopnika

Trenutak skokovite promene pobude

Trenutak uključenja ili isključenja izvora energije

Trenutak dodavanja ili uklanjanja elementa ili grupe elemenata kola

Kolo u prelaznom režimu se rešava za

0=t

+≥0t


Nezavisni i zavisni početni uslovi:

Struje kalemova i naponi kondenzatora u trenutku komutacije su nezavisni početni uslovi kola

Nezavisni početni uslovi se zadaju u trenutku neposredno pre komutacije u , a to su

Svi ostali početni uslovi su zavisni početni uslovi, a to su

Ako su nezavisni i zavisni početni uslovi isti komutacija je regularna pa je

u protivnom je komutacija neregularna

( ) 00 IiL =− ( ) 00 UuC =−

( )+0Li ( )+0Cu

−= 0t

( ) ( )+− = 00 LL ii ( ) ( )+− = 00 CC uu


12

Posmatraćemo kola koja sadrže jedan i dva dinamička elementa

Ona se mogu opisati diferencijalnim jednačinama prvog i drugog reda

Rešavaćemo ih u prelaznom režimu primenom klasičnog postupka

Odziv kola je posledica postojanja akumulirane energije na dinamičkim elementima ili pobude, ili i jednog i drugog


Odziv kola:

Kompletan odziv kola:

Potpuni ili kompletan odziv kola, , posle trenutka nula plus, se sastoji od dve komponente

Prinudne (ustaljene) komponente, , koja predstavlja odziv na pobudu i zato zavisi od oblika pobudnog signala i

Sopstvene (prelazne) komponente, , koja predstavlja odziv na nezavisne početne uslove, zavisi od konfiguracije kola i isčezava (nestaje) tokom vremena

)()()( sp txtxtx +=

)(p tx

)(s tx

)(tx


Prinudna komponenta odziva:

Prvo se odredi prinudna komponenta odziva

Prinudna komponenta odziva, , ima oblik pobude i određuje se iz nehomogene diferencijalne jednačine

U slučajevima kada je pobuda jednosmerna ili prostpriodična može se direktno odrediti iz kola u stacionarnom stanju

)(p tx


)(p tx

Kola prvog reda, RL i RC kolo

Kola koja sadrže jedan dinamički element su kola prvog reda (RL i RC kola)

Za opisivanje stanja kola dobija se diferencijalna jednačina odziva prvog reda u obliku

Na osnovu homogenog dela diferencijalne jednačine formira se karakterističa jednačina

a njeno rešenje je

( ) ( ) ( )tftxadt

tdx=+

0=+ asas −=


Kola drugog reda, RLC kolo

Kola drugog reda se mogu opisati diferencijalnom jednačinom drugog reda jer sadrže i kalem i kondenzator (RLC kolo)

Opšti oblik diferencijalne jednačine odziva drugog reda je

Karakteristična jednačina je oblikaa njena rešenja su

( ) ( ) ( ) ( )tftxattx

at

tx=++ 212

2

dd

dd

0212 =++ asas

DDaaaas ±=±−=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛±−= σ

2221

2

211

2,1


Koreni karakteristične jednačine:

Zavisno od vrednosti diskriminante D razlikuju se sledeći slučajevi:

Aperiodičan slučaj kada je D>0 pa su rešenja realna i različita,

Kritično aperiodičan slučaj je za D=0 pa je

Pseudo periodičan slučaj je za D<0 kada su rešenja konjugovano kompleksna,

Prostoperiodičan slučaj je za D<0 i , kada je

ω+σ== j*21 ss

0σ =ω== j*

21 ss

,11 σ=s 22 σ=s

σσσ 21 ==


Sopstvena komponenta odziva:

Sopstvena komponenta odziva, , zavisi od kola i određuje se iz homogenog dela diferencijalne jednačine. Zavisno od s je:

Za kolo prvog reda oblika

Za aperiodičan slučaj ima oblik

Za kritično aperiodičan slučaj

Za pseudo periodičan slučaj

( ) tt BeAetx 21 σσs +=

( ) ( ) tetBAtx σs +=

stAetx =)(s

( )tBtAetx t sinωωcos)( σs +=

)(s tx


)(s tx

Određivanje integracionih konstanti A i B:

Diferencijalnu jednačinu odziva reševamo sa početnim uslovima za promenljivu i njene izvode u trenutku

Za kolo prvog reda konstanta iznosi

Kod kola drugog reda konstante A i B se određuju iz diferencijalne jednačine odziva u trenutku i još jedne jednačine koja se formira tako što se izraz za kompletan odziv diferencira po vremenu,

( ) ( )++ −= 00 pxxA

+= 0t

ttx

ttx

ttx

d)(d

d)(d

d)(d sp +=


+= 0t

Određivanje integracionih konstanti A i B :

Rešavanjem sistema jednačina

određuju se konstane A i B za kolo drugog reda

( ) ( ) ( )+++ += 000 sp xxx

( ) ( ) ( )+++ =

+=

== 0d

d0d

d0d

d sp

tttx

tttx

tttx


21

Prvo se odrede nezavisni početni uslovi u Zatim se odrede zavisni početni uslovi uIspišu se jednačine stanja i formira diferencijalna jednačina odzivaIz homogenog dela diferencijalne jednačine odziva se odrede kompleksne učestanosti sPretpostavi se rešenje za kompletan odziv kola kao zbir prinudne i sopstvene komponente odzivaPrvo se odredi prinudna komonenta odziva iz stacionarnog stanjaNa kraju se odrede konstante u sopstvenom odzivu, iz početnih uslova u


−= 0t+= 0t

+= 0t

Algoritam rešavanja zadatka primenom klasičnog postupka - REZIME:

Pitanja za usmeni:

1. Hevisajdova funkcija2. Dirakova funkcija3. Usponska funkcija4. Predstavljanje početne energije kalema preko strujnog i

naponskog generatora5. Predstavljanje početne energije kondenzatora preko

naponskog i strujnog generatora 6. Nezavisni i zavisni početni uslovi u kolu – primeri7. Kola prvog reda, RC i RL kola8. Prinudna komponenta odziva kola za jednosmernu,

eksponencijalnu i prostoperiodičnu pobudu – primeri9. Određivanje integracionih konstanti odziva 10.Kompletni odziv kola


4. prelazni rezim-klasican postupak

Documents