4. poset dan lateks-1

8/16/2019 4. Poset Dan Lateks-1

1/12


2/12

Isi

POSET da LATEKS

4.1 PARTIALLY ORDERED SET (POSET)

Definisi

Suatu relasi biner dinamakan sebagai suatu relasi pengurutan tak lengkap atau relasi

pengurutan parsial ( partial ordering relation ) jika ia bersifat reflexive, antisymmetric , dantransitive.

Ilustrasi

Misalkan A sebuah himpunan bilangan bulat positif dan R sebuah relasi biner pada A

sedemikian rupa sehingga ( a,b ) ada di dalam R jika a membagi habis b.

Karena jika a membagi habis b berarti b tidak membagi habis a kecuali a b, R

adalah sebuah relasi antis!mmetric. ( tolak setangkup )

Karena setiap bilangan bulat membagi habis dirin!a sendiri, R merupakan suatu

relasi refle"i#e. ( memantul )

Karena jika a membagi habis b, dan b membagi habis c, maka a membagi habis c, R

adalah sebuah relasi transiti#e. ( menghantar ).

$engan demikian R adalah sebuah relasi pengurutan parsial.

Secara intuitif, didalam suatu relasi pengurutan parsial, dua benda saling

berhubungan. %ika salah satun!a lebih kecil ( lebih besar ) daripada atau lebih pendek( lebih tinggi ) daripada lainn!a menurut sifat atau kriteria tertentu.

Memang istilah pengurutan (ordering ) berarti bahwa benda&benda di dalam

himpunan itu diurutkan menurut sifat atau kriteria tersebut. Akan tetapi, juga ada

kemungkinan bahwa dua benda di dalam himpunan itu tidak berhubungan dalam relasi

pengurutan parsial. $alam hal demikian, kita tak dapat membandingkan keduan!a dan tidak

mengidentifikasi mana !ang lebih kecil atau lebih rendah. 'tulah alasann!a digunakan istilah

“ pengurutan parsial ( partial ordering ) ”.

&"'( 2

Matematika DiskritPusat )a!a A*ar da eLearig

arni Kusni!ati, S.,MKom http*++www.mercubuana.ac.id


3/12

impunan A bersama&sama dengan suatu relasi pengurutan parsial R pada A

dinamakan himpunan terurut parsial ( Partially Ordered Set ) atau disingkat sebagai Poset,

dilambangkan dengan ( A, R ).

engurutan parsial paling terkenal adalah relasi ≤ dan ≥ pada himpunan - dan R.

ntuk alasan ini, ketika berbicara secara umum tentang sebuah pengurutan parsial R pada

himpunan A kita akan sering menggunakan s!mbol ≤ atau ≥ untuk R.

Contoh:

ada kasus khusus, missal A / 0, 1, 2, 3 4 dan 5 adalah relasi 6membagi7 pada A, maka

5 / (0,0), (0,2), (0,3), (1,1), (1,2), (2,2), (3,3) 4

8raf berarah*

&"'( 3




4/12

oset*

4. DIA!RA" #ASSE

erhatikan relasi 6 9 6 ( pembagi ) pada himpunan A / :, 0, 1, ;, :3 4.

8raf berarah !ang sesuai adalah*

Sehingga graf berarah di atas menjadi lebih sederhana seperti berikut*

&"'( 4




5/12

4.$ Per%an&in'an &ua %uah eleen

$alam relasi artial


6/12

>). Suatu elemen a ∈ A disebut Eleen Ter+e/il bhb (bila dan han!a bila)

a - semua elemen dalam A.

( a ∈ A, a Eleen Ter+e/il (% ∈ A) a - % )

Konsep elemen maksimal, minimal, terbesar dan terkecil dapat diperluas ke

impunan&himpunan bagian oset (A, -).

Contoh Soal:

Misal A / a, b, c, d, e, f, g, h, i 4. Relasi artial


7/12

&ari a % %h%

a). / %atas atas &ari a %,

%). i+a & %atas atas &ari a % *an' lain, a+a / 5 d.

). / ∈ A, / %atas %a5ah &ari a % %h% / 5 a c 5 b.

/ ∈ A, / %atas %a5ah ter%esar (!reatest Lo5er oun& (!L))

&ari a % %h%

a). / %atas %a5ah &ari a %,

%). i+a & %atas %a5ah &ari a % *an' lain, a+a & 5 c.

$alam suatu oset, BC tidak selalu ada. etapi jika BC ada, maka BC tersebut tunggal.

al !ang sama, juga berlaku pada 8BC.

Contoh:

(:). ?arilah batas atas (b.a), b.a.tk, batas bawah (b.b), b.b.tb dari c d pada

diagram asse oset berikut ini*

&"'( !




8/12

4.6 LATE7S ( LATTICE )

Cerdasar konsep b.a.t dan b.b.t, didefinisikan BA'?D sebagai berikut*

Contoh Soal

entukan apakah oset !ang din!atakan dengan diagram asse di bawah ini

merupakan Battice @

a5a%:

(a). Battice, sebab setiap dua itik mempun!ai b.a.t dan b.b.t.

(b). Cukan Battice, sebab b.a.t dari a b tidak ada.

(c). Cukan Battice, sebab b.a.t dari c d tidak ada, ( b - a ).

(d). Battice, sebab setiap pasang titik mempun!a b.a.t b.b.t.

Contoh Soal:

:. $iketahui himpunan E / 0, 1, >, 2, 3, :0 4 dan oset (E, 5).

Relasi 5 didefinisikan sebagai berikut*

&"'( "




9/12

( ",! ∈ E ) " 5 ! " faktor dari !

$itan!akan* a). 8ambarlah diagram asse dari oset tersebut.

b). Apakah relasi 757 merupakan Battice F %elaskan @

c). ?arilah b.a, b.a.t, b.b, b.b.t dari > 2 pada oset tersebut @

b). Relasi 757 di atas adalah bukan merupakan Battice, sebab

elemen 0 dan 1 tidak mempun!ai batas bawah terbesar,

atau elemen 3 dan :0 tidak mempun!ai batas atas terkecil.

c). ntuk elemen > dan 2 *

batas atas (b.a.) * tidak ada, jadi b.a.t n!a juga tidak ada.

Catas bawah (b.b.) * tidak ada, jadi b.b.t n!a juga tidak ada.

0. $iketahui himpunan E /0, >, 2, 3, 0>4, didefinisikan relasi

partial order ( R ), sbb* (", ! ∈ E), " R ! bhb " faktor dari !

a). Cuatlah himpunan relasi R tersebut @

b). Cuat $iagram asse n!a

c). Apakah relasi 757 merupakan Battice F %elaskan @

d). ?arilah b.a, b.a.t, b.b, b.b.t dari > 2 pada oset tersebut @

&"'( #




10/12

a5a%:

a). impunan Relasi R / (0,0), (0,>), (0,2), (0,:0), (0,0>),

(>,>), (>,:0), (>,0>),

(2,2), (2,:0), (2,0>),

(:0,:0), (:0,0>),

(0>,0>) 4

c). Relasi 757 di atas adalah merupakan Battice, sebab

setiap pasang dua elemen selalu mempun!ai batas atas terkecil

dan batas bawah terbesar. ?ontoh*

Dlemen > dan 2 mempun!ai batas bawah terbesar, !aitu elemen 0

dan mempun!ai batas atas terkecil, !aitu elemen 0>.

Dlemen 0 dan 3 mempun!ai batas bawah terbesar, !aitu elemen 0

dan mempun!ai batas atas terkecil, !aitu elemen 3.

d). ntuk elemen > dan 2 *

batas atas (b.a.) * 0>, jadi b.a.t n!a juga 0>

batas bawah (b.b.) * 0, jadi b.b.t n!a juga 0.

Latihan Soal:

:. $iketahui himpunan E / 0, 1, >, G, 2, :H 4 dan oset (E, R).

Relasi 5 didefinisikan sebagai berikut*

&"'( $%




11/12


12/12

Daftar Pustaka

Cahri, S., 0HH2, Logika dan Himpunan, ni#ersitas Mataram, Mataram.

Simangunsong Iilson, Matematika dasar, ( %akarta* Drlangga, 0HHG)

&"'( $2



4. poset dan lateks-1

Documents