4. modelos multivariantes distribución conjunta de variables
TRANSCRIPT
4. Modelos Multivariantes
Curso 2011-2012
Estadística
Distribución conjunta de
variables aleatorias
3Modelos Multivariantes
Definiciones (v. a. discretas)
� Distribución de probabilidad conjuntade dos variables aleatorias X, Y
� Función de distribución conjunta:
��
��
�
===
∀≥==
==� �
∞=
−∞=
∞=
−∞=
�
�
�
�
�����
�������
����������
������
���
������ ���������� ≤≤=
4Modelos Multivariantes
Lanzamiento de dos dados
1 2 3 4 5 6
1 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36
2 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36
3 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36
4 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36
5 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36
6 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36
���
� ��
�������
X = “ Resultado de dado ROJO”
Y = “ Resultado de dado AZUL”
Distribución conjunta de probabilidad
P ( X=i , Y=j ) =1/36, (i,j de 1 a 6)
5Modelos Multivariantes
Ejemplo
S : SUMA DE DOS DADOS
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
0 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36
1 1/18 1/18 1/18 1/18 1/18
D : DIFERENCIA 2 1/18 1/18 1/18 1/18
DE DOS DADOS 3 1/18 1/18 1/18
4 1/18 1/18
5 1/18
��������������������������������������������������
���� ������!"�����������������! ������������#�������
��������!� ����
��� ���!#�$��%�&!� ��'��(�)���(���
6Modelos Multivariantes
Distribuciones Marginales
S : SUMA DE DOS DADOS
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
0 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 6/36
1 1/18 1/18 1/18 1/18 1/18 10/36
D : DIFERENCIA 2 1/18 1/18 1/18 1/18 8/36
DE DOS DADOS 3 1/18 1/18 1/18 6/36
4 1/18 1/18 4/36
5 1/18 2/36
1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36
*��+�������� *��+��������
7Modelos Multivariantes
Distribuciones Marginales
�
�
∞=
−∞=
∞=
−∞=
====
====
�
�
�
�
��������
��������
�����
�����
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0,16
0,18
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
�!"����
����
8Modelos Multivariantes
Distribuciones condicionadas
S : SUMA DE DOS DADOS
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
0 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 6/36
1 1/18 1/18 1/18 1/18 1/18 10/36
D : DIFERENCIA 2 1/18 1/18 1/18 1/18 8/36
DE DOS DADOS 3 1/18 1/18 1/18 6/36
4 1/18 1/18 4/36
5 1/18 2/36
1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36
D | S = 8
0 1/5
1 0
2 2/5
3 0
4 2/5
5 0
1
��� ���!#�$�������������#���
�� ���������#��#�������
,!������!"�����-�
'��(���.��(-��(�'��(����(-��/�'��(-�
9Modelos Multivariantes
Independencia
P(X=i, Y=j) = P( X= i ) × P( Y= j )
�������
1 2 3 4 5 6
1 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36
2 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36
3 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36
4 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36
5 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36
6 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36
���
� ��
Las variables aleatorias ��son independientes si y sólo si
10Modelos Multivariantes
Variables aleatorias continuas
�#!"0���,!�
#�&!� �����������!�#�$�������������
������
���
��������� ����
��
�
�
� ��� �=≤≤≤≤
�����1
��������
=
∀≥
� �∞
∞−
∞
∞−�������
�����
��
��
11Modelos Multivariantes
Variables aleatorias continuas
� Función de distribución
� Funciones de densidad marginales
� �∞− ∞−=
� ����� ���������� ������
�
�∞
∞−
∞
∞−
=
=
�������
�������
���
���
�����
�����
12Modelos Multivariantes
Las variables aleatorias X, Y tienen como función de densidad conjunta
������2��� 1 <<<<= ���������
1 1 3
� �
1
�
� �1
� �
�1
�
�1 1
�
�� � � � 2
1� � �� 2
�2
4
3� *��+������
� � 2 1 � � �
� � 2 3 � � �
� �
� �
�
�
�
� � � � � �� ���� � �
� � � �� ����
�� ����
� � �� �� � �
� � �� �� � �
+ ≤
−
≤ ≤ = =
+ ≤ =
= =
= = < <
= = < <
� �
��
� �
�
�
�
)�(��5�
13Modelos Multivariantes
Independencia
�
����$�������� �����0������������� ������������������
�������������
��
���� =
��
��
�
<<=
<<=
�<<<<=
���3��
���1��
������2�����1
1
����
����
�������
�
�
��
6��0����� ��
��
��
�
<<−==
<<==�≤≤≤=
�
�
�����+��
��
�����
�����
�����1
�
�
�����
��
����
����
����
��
��
��
7����0����� ���
�� �
�
14Modelos Multivariantes
Funciones de densidad
condicionadas
.
.
� � �� . � � #!��� � � �
� �
� � �� . � � #!��� � � �
� �
��� � �
�
��� � �
�
� � �� � � � �
� �
� � �� � � � �
� �
= >
= >
15Modelos Multivariantes
Independencia -II
1
1
1
. 1
� � 1 � � �
�� � � � 2 � � �� � �
� � 3 � � �
2� . � 1 � � �
3
�
��
�
� �
� � � �
� � � �� � �
� � � �
��� � � � �
�
= < <��
= < < < < � �� = < <�
= = < <
6��0����� ��
���
���
����
���
�����
��
����
����
����
��
��
��
�
�
��
≤≤=
≤≤−=
��
��
�
<<−==
<<==�≤≤≤=
�
�
���
�.�
����+�
��.�
�����+��
��
�����
�����
�����1
.
.
�
�
7����0����� ��
16Modelos Multivariantes
Independencia -III
���������
���������
��
���
���
=
=
.
.
����$�������� �����0������������� ������������������
.
.
17Modelos Multivariantes
Ejemplo
���
>+
≤+=
111
111
��
����
���
��� ���
������
���
�������
�
��
��
�
≤≤−−=
=
=
=
�
�
−+
−−
∞
∞−
�1
�
������1
��
��
11
1
1
1
11
11
π
π
π
18Modelos Multivariantes
Ejemplo (cont.)
1111
11.
11
1
1
�1
�
��
����.��8
�1
�
������3
11
11
���������
������
������
���
�������
���
��
��
�
−≤≤−−−
==
≤≤−−=
=
=
�
�−+
−−
∞
∞−
π
π
����� ���������
19Modelos Multivariantes
Independencia
�
����$�������� �����0������������� ������������������
�������������
��
���� =
��
��
�
<<=
<<=
�<<<<=
���3��
���1��
������2�����1
1
����
����
�������
�
�
��
6��0����� ��
��
�
��
�
�
≤≤−−=
≤≤−−=
���
��
�
>+
≤+=
������
��
������
��
���
�������
�
�
�1
��
�1
��
��
��
����1
11
1
11
1
111
111
1
π
ππ
7�6��0����� ��
20Modelos Multivariantes
Esperanza de g(X,Y)
� �
� �
∞
∞−
∞
∞−
∞=
−∞=
∞=
−∞=
=
===
������������������
���
���
����������������
���
���
��
�
�
�
�
������
�#"�����!�#�$����������0������
����������#� ��!�������� �����������������������
������
�#"�����!�#�$����������0������
������������#�� �������� �����������������������
21Modelos Multivariantes
Propiedades de E[g(X,Y)]
( )
9:;<9:=<;<9:=
�9&�"0�
�<�:�<�:
��������
����������
������
���
#!"0��������;�+�=����
1�
1�
1�
1�
1�1�
1�
+=+
+=
+=
�
�� +�
�� =
+=
+=+
+=
��
� �� �
� �� �
� �
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
������
������������
������������������
����������������������
��������������������������
�������
��
����
����
��
22Modelos Multivariantes
Covarianza
( )
�
�
����������
���������������
������������������
�������
��
��
��
��
==
−−=
−−=
� �∞
∞−
∞
∞−
y donde
:como define se y
por denota se , aleatorias variables dos de covarianza La
�� ==−−=
−−=
� �������
��
�������������
������������������
���
:discretas son sv.a' las Si
23Modelos Multivariantes
Propiedades de la covarianza
��������
> ������������� ��������
>!����"���!�����"!�����"#�������
���#������������!���"����������0����#������������ ���
������������������������������������������������ ��
����������
( )
( )
( ) ���
��
�
=−−=
−−=
−−=
� �
� �
� �
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
����������������
����������������
����������������������
����
����
��
24Modelos Multivariantes
Medias y Matriz de Varianzas
��
���
=
��
���
=
��
���
=
1
1
<:
������������*� ���
<:
"������?�# ��
@����� ��?�# ��
���
���
�
�
$!��
$�
�
�
σσ
σσ
µ
µ
�
�� ���������������� �����#���!�#�$����������#�&!� ��
�����
���
<:<�:���
<:<�:���
1
1
�����
�!�������
�!�������
��
���
���
=
==→
==→
σ
σµ
σµ
25Modelos Multivariantes
Correlación
�����
���
#"������ ����
��������������� �����#�����#�$����#���#��� ���������
�!���!��
���������
��
=ρ
ρ
��������
> 5��≤ ρ����≤ A�
> ���� ��� ������0����� ������ �#������%�
> ���"��⇔ ρ�����&��'%��ρ����� &��(%�
26Modelos Multivariantes
n variables aleatorias
������ )� �����1�
'����B�#���#C�#!����0�������������!���!#���������
,!���� �����+�������������������� �����=���=1�������=�����
0��#���#�#�������� ���!#�$����0���������#�&!� ��
��������������������#� ��!�������"0��������!�#�$����
������#�&!� �
�����
�����
�
=
)�
�
�
�
1
�
�
)
� � �
))
)
�*�*�****�����
����
) )
�� 1�1�1�
1�
� �
����������������
����������#�&!� �$���� ���!#����!�#�$�������
� � �∞− ∞− ∞−
−
= ��
�
27Modelos Multivariantes
Vector de variables aleatorias
)
� � �
))
)
)
)
�*�*�****�����
����
����
)���
) )
�� 1�1�1�
1�
1�
1�
� �
����������������
����������#�&!� �$���� ���!#����!�#�$�����0���
����������#�&!� ����������!�#�$���!�
0�����#���# �����������#�&!� ���0���������$���� ���!#��!�
#� ��!��������������# ���%�&!� ��������
� � �∞− ∞− ∞−
−
=
→=
��
�
�
�
28Modelos Multivariantes
Distribuciones marginales
))��
��
)
������������
��
)���
�� 1�1�
�
1�
����������
������=���"��+�������������!�#�$�����
�
#� ��!��������������# ���%�&!� ��������
� � �∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−=
→=
�
�
D���"������
))����
������
�������������
�����
�� 1�1� �����������
�����������"��+�������������!�#�$�����
� � �∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−= �
D���"������� ��
29Modelos Multivariantes
Esperanza
1�1��11�
1�1�1�1�
1�1�
1�1�1�
1�
������
������������<��:
��
��������<:
��"� ������C#���9�
�����������������<�:
���������+����9�0������
����������
�����������������
�����
�������������
����������������
����
))
����
))��
)))
)
� �
� � �
�
� � �
� � �
∞∞−
∞∞−
∞∞−
∞∞−
∞∞−
∞∞−
∞∞−
∞∞−
∞∞−
∞∞−
∞∞−
∞∞−
=
=
=
=
=
=
��
��
��
�
�
��
�
30Modelos Multivariantes
Vector de Medias y Matriz de
Varianzas
��
���
≠=
=→
�����
�����
�
=
��
�
��
�
�
=
=
=
→
�����
�����
�
=
→=
�������
�!��!��
��
��
��
�
)���
����
��
)))
)
)
)))
+
)
σ
σ
σσσ
σσσ
σσσ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
���
��<:
<:
<:
<:
<:
���� ��������������?�# �����������
1
1
1�
1
1
1�1
��1
1
�
11
��
1
�
1�
�
����
�
�
��
�
�
�
31Modelos Multivariantes
Independencia
������
����$������
�� �����0������������������ ������������������
11��1�
1�
������������������
���
)))
)
�=
32Modelos Multivariantes
Transformaciones Lineales
))
))
+
)
+
)
������
�������
)���
)���
µµµ +++==
=+++=
→=
→=
�
�
11��
11��
1�
1�
<:<:
#�� �� �����?�# �����������
���� �����������������?�# �����������
��
��
�
�
�
�
( )
�����
�����
�
�����
�����
�
==
))))
)
)
)
�
�
�
���!���!���
�
����
�
�
�1
�
1
1�
1
1
1�1
��1
1
�
1�<:<:
σσσ
σσσ
σσσ
����
33Modelos Multivariantes
Transformaciones Lineales
Caso General
�����
�����
�
�����
�����
�
�����
�����
�
=
=
=→=
�����
�����
�
�����
�����
�
=
�����
�����
�
×→
�����
�����
�
=
→=
,)))
,
,
)))
)
)
,),,
)
)
+
),),,
)
)
,
,),,
)
)
+
)
���
���
���
���
���
���
!���!��
���
�
�
�
���
���
���
�
�
�
),
���
���
���
)���
�
����
�
�
�
����
�
�
�
����
�
�
�
�
����
�
�
�
�
����
�
�
1�
111�1
�1���
1
1�
1
1
1�1
��1
1
�
1�
1111�
��1��
1
�
1�
1111�
��1��
1
�
1�
1111�
��1��
1�
<:<:
<:<:
#�� �� ������*� ���
���� �����������������?�# �����������
σσσ
σσσ
σσσ
���
����
�
�
34Modelos Multivariantes
Transformaciones Lineales
(Independencia)
( )
111
1
1
1
1
�
1
�
1
�
1
1
1
1
�
1�
11��
1�
1�
��
��
��
<:
#�� �� �����?�# �����������
� �����0��������� �����������������?�# �����������
))
))
)
))
+
)
+
)
���
�
�
�
����!��
�������
)���
)���
σσσ
σ
σ
σ
+++=
�����
�����
�
�����
�����
�
=
+++=
→=
→=
�
�
�
����
�
�
�
�
�
�
35Modelos Multivariantes
Ejemplo:
%��#!�������"������������������������!"�����1�����������
���� ��������0����� ���#���� ���!#�$��!����"����������
�<:<:
2<:<:
����
�1/�<:
1/�<:
������
�1
�
�1
�
�11�
�1
1
�
�
�
=
=
==
==
+++=
��
��
�
==
=
→
�����
�����
�
=
�
�
�
�
��
�
�
�
$!���!��
$���
$$$�
$$���
$!��
$�
$)����,-$
$
$
$
$
�
�
36Modelos Multivariantes
Ejemplo
Se dispone de n sobres con sus correspondientes cartas. Se extraen las cartas de los sobres, se sortean y se vuelven a introducir de forma aleatoria cada una en un sobre. ¿Cuál es el número esperado de cartas que coinciden con su sobre inicial?
�����
<:<:<:<:
���#���������!�#���#��#�����#�� ������������
���#���������!�#���#��#�����#�� ������������
���#��#���#���7E"���
1�
1�
=+++=
+++=
���
=
+++=≡
)))
��������
�
��
�����
)
�
)
�
�
�
�
��
37Modelos Multivariantes
Ejemplo
� Un proceso fabrica una proporción p de tornillos defectuosos. Se define X como la variable “número de tornillos extraídos del proceso hasta que aparecen r defectuosos”. Se pide E[X] y Var[X].
����
<:<:<:<:
<:<:<:<:
/���<:
/�<�
11�
1
1
1
1
�
.
.��!���!���!���!��
.
��������
..�!��
.�
��
�
�
�
�
�
��
�
�
−=+++=
=+++=
���
−=
=
+++=
≡
≡
≡
�
�
�
1
i
1
X
E[X geométrica aleatoria variable
XX
defectuoso ésimo-i el aparece que hasta extraídos tornillos de Número
defectuoso 2º el aparece que hasta extraídos tornillos de Número
defectuoso primer el aparece que hasta extraídos tornillos de Número
�����
�����
38Modelos Multivariantes
Media de n variables
aleatorias independientes
��
��
�
=
=
�+++
=
∀=∀=
��
�
��
�
�
+++=
+++=
+++=
→=
)�!��
��
)
����
��!����������
)
�!���!���!���!��
)
��������
)
����
)���
)
��
)
)
)
+)
11�
1
11�
1�
1�
1�
<:
<:
<:<:<:<:
<:<:<:<:
���������
σ
µ
σ
�
�
�
�
varianza y media misma la tienen variables las Si
ntesindependie aleatorias variables de Vector�
39Modelos Multivariantes
Teorema Central del Límite
�� C�������"�������$���� ���!#����!�#�$��������
1
�� �
�/�����
���/
9� �#�����������������"�����
��0���������$���� ���!#��"��"����#���� �����0����
����� �������������������#!��#���!�������
1/
1�
1
1�
1
� ∞−−
∞→
=Φ
+++=
∞<<∞−Φ=�
��
≤
−
∞<
* �
)
)
)
��-
)����
***)
��/�,
000���
π
σ
µ
σµ
�
40Modelos Multivariantes
Teorema Central del Límite
:(aprox.) Entonces
varianza
y media de adprobabilid de óndistribuci misma la con
ntes,independie aleatorias variables Sea
2 �
1�
∞<σ
µ
)000���
���1
)1�
σµ→
41Modelos Multivariantes
)
5��1 � ��1 ��8 ��2 ��- � ��1
�
��4
�
��4
*����(���4
?���(����-
5��1 � ��1 ��8 ��2 ��- � ��1
�
�
1
3
8
4
*����(���4
?���(����-/����
��1� ����
+++=
�
��
42Modelos Multivariantes
Binomial-Poisson-Normal
F��"����
���
'�������
λλλλ
7�"������
µµµµ�σσσσ
�� →∞→ .)
).=λ
λσ
λµ
λ
=
=
∞→
���
1/�
.).
).
.
)
−=
=
→
∞→
σ
µ
43Modelos Multivariantes
Aproximación Binomial-Normal
n=25, p=1/2
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
44Modelos Multivariantes
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
� 4 �� �4 1� 14 3� 34 8� 84 4�
Aproximación Binomial-Normal n = 50, p=0.5
45Modelos Multivariantes
7�"�����'�=�≤ ���4�
F��"�������'�=�≤ ���
Corrección por continuidad
46Modelos Multivariantes
Corrección por continuidad
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
F��"�����������'�=�≤ ���
7�"����������'�=�≤ ���4�
47Modelos Multivariantes
���B�� "��!���"!�� �����84�0��������!��0�#���,!�������#��
!��0�"�����14G���0�������!��������0�#���#�#�$��
�3 31
��H%!C��������0�����������,!��������"!�� ���B�����)�# �"�� ��
�3����"�� �����# !��I
%C�#!���)�# �� F��"��� 84 � 14
84�3 � 14 � J4 � ���
�3
�0�)�"�#�$��7�"���� �� 14 1
� �) . 0 �
��� � 0 0 0
� 1� 0 0
→ = =
= = =� �
�
→ K
�3 �1 4 �3 4 � ��81
1��H%!C��������0�����������,!�����"!�� ���#� ��+��
�3��"C��0���������# !���I
� �3 �3 �8 84 � 314
�1 4 �� 14� �1 4 � � � � 83�� �
1 K
�
��� � �� 0 � 0 � 0
� ��� � ��� � ��� � ��� � 0
0 02 ��� 0 � 3 � 3� 0 � 0
0
= = ≤ ≤ =
≥ = = + = + + = =
≥ = = − =
�
333
48Modelos Multivariantes
Aplicación a Control de Recepción
49Modelos Multivariantes
Plan de muestreo simple por atributos
Una compañía recibe lotes con un gran número de piezas.
Según el contrato cada lote debe tener como máximo una proporción de piezas defectuosas igual pA (AQL).
Un plan de muestreo simple por atributos consiste en
determinar
n: número de piezas muestreadas
c: número máximo de piezas defectuosas en
la muestra
De forma que si X es el número de piezas defectuosas en la
muestra se aplica la siguiente regla:
x ≤ c se acepta el lote
x > c se rechaza el lote
50Modelos Multivariantes
Riesgos del vendedor y comprador
� Riesgo del vendedor: Probabilidad de rechazar un lote bueno (con porcentaje de defectuosas igual al pA (AQL))
α=P( X > c| p = pA).
� Riesgo del comprador: Probabilidad de aceptar un lote malo (con un porcentaje de defectuosas pR>> pA)
β = P( X≤ c| p = pR).
51Modelos Multivariantes
Planteamiento del problema
4�-5*��
6�*-
)
�2+7�8
.2�296α8:�-5���-)�-���
.:�:96β8:�-5�� �,.�����
7;<�+=!78
)8*�,�>�,�-5*��/
8,?��,��-�- *��5�5
52Modelos Multivariantes
Ecuación del vendedor
����%�#�
��
�������
���
����������F��"����
���"!�� ���!����������# !���0��������7E"���
� ������������# !���0��������'�0�#�$��
�
�
22
2
22
2
22
22
2
.).
). @
@A�
.).
).
.).
).����. �.���B
..
.).).1.)�
)�
.
−
−=�
≥=
−
−>
−
−==>=
=
−≈→
≡
≡
−
−
α
α
α
%
1�%&�
α
@& α
53Modelos Multivariantes
Ecuación del comprador
����%�#�
��
�������
����
::
:
::
:
::
::
:
.).
). @
@A�
.).
).
.).
).����. �.���
..
−
−=�
≤=
−
−≤
−
−==≤=
=
β
β
β
β
1�����β
@β �
54Modelos Multivariantes
Valores de n y c
��� ::
:
.).
). @
−
−=β
����
22
2
.).
). @
−
−=−α
���
������
�
1
�
222
2:
::22
.).@).
..
..@..@)
−+=
��
��
�
−
−−−=
−
−
α
βα
55Modelos Multivariantes
).2
).:
α
β
2 -.*��6�*- :- C�@��6�*-
6�*-;�-)�
.�.2
'�����������
�#�0 ���!��� ��
�!��
6�*-4�/�
.�.:
'�����������
��#B�����!��� ��
"��
56Modelos Multivariantes
Ejemplo: plan de muestreo
����L��� !�� 0���� �� "!�� ��� 0���� � ��� �� ������
!������ #�� !�� �M�� �+!��� ��� ���1�� �M�� �+!��� ��
���-�� ����+� �� #"0���� �� ����� �� ��� � ������
�+!���������4�
8K-���1��K324���1��K3
K3�1���-��
K1���-��1-��K-���1��24��
1-����������28����4���'���
1
5�
≈××+×=
≈��
���
−
×+×=
−=�==�=
)
βα βα
57Modelos Multivariantes
Distribución normal multivariante
�0�� �������"��������*� ���
��������
��������
����1
��)0
�1�
���������
<:@<:@
1�
1�
�
1/�1/1�
1
1�
1
1
1�1
��1
1
�
1
�
1
�
))
���
4����
�!����
�
�
�
�
)+
)
)+
)
+
))
)))
)
)
))
×∈
ℜ∈=
ℜ∈=
���
���
−−−=
�����
�����
�
==
�����
�����
�
==
�����
�����
�
=
−
�
�
�
µµµµ
µµπ
σσσ
σσσ
σσσ
µ
µ
µ
µ
�
����
�
�
��
58Modelos Multivariantes
Distribución normal bivariante
��
�����
���
���
−��
���
−−
��
��
�
��
�
�
��
���
−+��
���
−
−−
−=
�����
�����
�
−
−
−=−=
��
��
�
=�
�
��
�
=
ℜ∈=
ℜ∈=
���
���
��
���
−
−−−−=
−
−
1
11
�
��
1
1
11
1
�
��11
1�
1�
111�
1�1�
1
111
1�
111�
1�1�
11�1
�11�
11�
11�
11
���11��1/�1�
1
���1
��)0
�1
����
�
�
���
�����
@���
���
��1
��)0
1
����
σ
µ
σ
µρ
σ
µ
σ
µ
ρρσπσ
σσσ
ρσσ
ρ
σ
ρρσσ
σσρσ
σρσσ
σσ
σσ
µµµ
µ
µµµ
π
��
�����
��
�
���
4���
+
+
!��
�
�
59Modelos Multivariantes
60Modelos Multivariantes
-2 0 2
-2
0
2
rho= 0
-2 0 2
-2
0
2
rho= 0.5
-2 0 2
-2
0
2
rho= 0.9
-2 0 2
-2
0
2
rho= -0.2
-2 0 2
-2
0
2
rho= -0.5
-2 0 2
-2
0
2
rho= -0.9
61Modelos Multivariantes
Propiedades
� Las dist. marginales son normales N(µi,
σi).
� Las dist. condicionadas son normales.
� ρ=0 ⇔ Las variables son independientes
� Transformaciones lineales:
Y = AX
X es N(µµµµ, M) � Y es N(A µµµµ, AMAT)
62Modelos Multivariantes
Ejemplo
( )2��
�2
�2
��
���
��
2������<:
�3�1���<:
I��H
��
8��
���
���
������������"� ������3���1��������"����������� ���"�����"����=�=��=�������
31�31�
31�
31�
31�
31�
Φ−=
≥−
=
≥=
≥−+=+≥+
��
��
�
=++=
=−+=
→−+=
+≥+
���
���
�
=
��
��
������������
�!���!���!���!��
��
1��,�/����
������
�