Mtodo de distribucin de MomentosEn esta unidad, se considera otro planteamiento clsico del mtodo de los desplazamientos, el mtodo de distribucin de momentos. Como el mtodo de las pendientes-deflexiones, el mtodo de distribucin de momentos slo se puede usar para el anlisis de vigas continuas y armazones, tomando en cuenta slo sus deformaciones por flexin. Este mtodo, que fue desarrollado inicialmente por Hardy Cross en 1924, fue el mtodo de mayor uso para el anlisis de estructuras desde 1930, cuando se public por primera vez, hasta la dcada de 1960. Desde el principio de la dcada de los 70, con la disponibilidad cada vez mayor de las computadoras, el uso del mtodo de distribucin de momentos ha declinado a favor de los mtodos matriciales de anlisis estructural, orientado a las computadoras. No obstante, muchos ingenieros todava prefieren el mtodo de distribucin de momentos para el anlisis de las estructuras ms pequeas, ya que proporciona una mejor visin del comportamiento de las mismas. Adems, se puede utilizar este mtodo para los diseos preliminares, as como para comprobar los resultados de los anlisis computarizados. La razn principal de la popularidad del mtodo de distribucin de momentos en la era previa a las computadoras se debi al hecho de que no comprende la resolucin de tantas ecuaciones simultneas como lo requieren los otros mtodos clsicos. En el anlisis de las vigas continuas y los armazones sin ladeo, el mtodo de distribucin de momentos evita por completo la resolucin de ecuaciones simultneas, en tanto que en el caso de los armazones con ladeo, el nmero de ecuaciones simultneas que intervienen suele ser igual al nmero de traslaciones independientes de los nodos. El mtodo de distribucin de momentos se clasifica como de desplazamiento y, desde un punto de vista terico, es muy semejante al de las pendientes-deflexiones considerado en la unidad anterior. Sin embargo, a diferencia de este ltimo, en el cual se satisfacen de manera simultnea todas las ecuaciones de equilibrio de la estructura, en aqul se resuelven las ecuaciones de equilibrio de los momentos en un nodo a la vez, en tanto que se supone que los nodos restantes de la estructura tienen restringido el desplazamiento. En principio, se deducen las relaciones fundamentales necesarias para la aplicacin del mtodo de distribucin de momentos y, a continuacin, se desarrolla el concepto bsico del propio mtodo. Enseguida, se considera la aplicacin del mtodo al anlisis de vigas continuas y armazones sin ladeo, y , por ltimo, se realiza el anlisis de los armazones con ladeo. Definiciones y TerminologaAntes de poder desarrollar el mtodo de distribucin de momentos, es necesario adoptar una convencin respecto a los signos y definir varios trminos usados en el anlisis. Convencin de los signos En la aplicacin del mtodo de distribucin de momentos, se adoptar la convencin de los signos como se us para el de las pendientes-deflexiones:Los momentos en los extremos de los miembros en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj se consideran positivos.

Ya que un momento en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj en un extremo de un miembro debe actuar en el mismo sentido de ese movimiento sobre el nodo adyacente, la convencin antes dada de los signos implica que los momentos en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj sobre los nodos se consideran positivas.Rigidez del elemento Considere una viga prismtica AB, la cual se encuentra articulada en el extremo A y fija en el B, como se muestra en la figura 1 (a). Si se aplica un momento M en el extremo A, la viga gira en un ngulo en este extremo y desarrolla un momento MBA en el extremo fijo B, como se muestra en la figura. Se puede establecer la relacin entre el momento aplicado M y la rotacin mediante el uso de la ecuacin de las pendientes-deflexiones deducida anteriormente. Al hacer la sustitucin Mcl = M, c = y 1 = 0, = 0, EFcl = 0 en la ecuacin mencionada (unidad anterior ecuacin 9), se obtiene: ECUACION 1

ECUACION 2

FIGURA 1

ECUACION 3Ahora, suponga que el extremo lejano B de la viga de la figura 1 (a) est articulado, como se muestra en la figura 1 (b). Ahora se puede determinar la relacin entre el momento aplicado M y la rotacin del extremo A de la viga mediante el uso de la ecuacin modificada de las pendientes-deflexiones (ecuacin unidad anterior nmero 15). Al sustituir Mra = M, r = y = 0 , EFra = EFar = 0 en la ecuacin 9 de la unidad anterior, se obtiene: ECUACION 4

ECUACION 5

ECUACION 6A partir de las ecuaciones 1 y 4, se puede ver que la relacin entre el momento aplicado M en un extremo y la rotacin del extremo correspondiente de un miembro se puede resumir como sigue: ECUACION 7De manera anloga, con base en las ecuaciones 2 y 5, la rigidez a la flexin de un miembro se expresa como ECUACION 8 y la rigidez relativa a la flexin de un miembro se puede expresar como (ver ecuaciones 3 y 6)

ECUACION 9

Momento trasladadoConsideremos una vez ms la viga articulada y fija de la figura 1. Cuando se aplica un momento M al extremo articulado A de la viga, se desarrolla un momento MBA en el extremo fijo B, como se muestra en la figura. El momento MBA se denomina momento trasladado. Para establecer la relacin entre el momento aplicado M y el momento trasladado MBA, se escribe la ecuacin de las pendientes-deflexiones para MBA, al sustituir Mcl = MBA, l = y c = 0, = 0, EFcl = 0 en la ecuacin de la unidad anterior nmero 9: ECUACION 10Sustituyendo = ML/(4EI) de la ecuacin 1 a la 10, se obtiene

ECUACION 11Como la ecuacin 11 indica, cuando se aplica un momento de magnitud M en el extremo articulado de una viga, la mitad del momento aplicado se traslada hasta el extremo lejano, siempre que este ltimo est fijo. Note que la direccin del momento trasladado, MBA, es la misma que la del momento aplicado M. Cuando el extremo lejano de la viga est articulado, como se muestra en la figura 1 (b), el momento trasladado MBA es cero. Por tanto, se puede expresar el momento trasladado como

ECUACION 12La razn del momento trasladado al aplicado (MBA/M) se llama factor de traslacin del miembro. Representa la fraccin del momento aplicado M que se traslada hasta el extremo lejano del miembro. Si se divide la ecuacin 12 entre M, se puede expresar el factor de traslacin (FT) como ECUACION 13

Deduccin de la rigidez del miembro y del momento trasladado por el mtodo del momento-reaLas expresiones antes dadas, de la rigidez a la flexin del miembro y del momento trasladado se pueden deducir, de modo alterno, por la aplicacin del mtodo del momento-rea analizado anteriormente.

Factores de distribucin Cuando se analiza una estructura por el mtodo de distribucin de momentos, una importante pregunta que surge es cmo distribuir un momento aplicado a un nodo entre los diversos miembros conectados a ese nodo. Considere el armazn de tres miembros que se muestra en la figura 3 (a) y suponga que se aplica un momento M al nodo B, hacindolo girar en un ngulo , como se muestra en la figura. A fin de determinar qu fraccin del momento aplicado M es resistida por cada uno de los tres miembros conectados al nodo B, se dibujan los diagramas de cuerpo libre del nodo B y de los tres miembros AB, BC Y BD, como se muestra en la figura 3 (b).

FIGURA 3Al considerar el equilibrio de los momentos del cuerpo libre del nodo B (es decir, SMB = 0), se escribe ECUACION 14Ya que suponemos que los miembros AB, BC Y BD estn rgidamente conectados al nodo B, las rotaciones en los extremos B de estos miembros son iguales a la del nodo. Los momentos en los extremos B de los miembros se pueden expresar en trminos de la rotacin del nodo, mediante la aplicacin de la ecuacin 7. Al notar que los extremos lejanos A y C, respectivamente, de los miembros AB y BC estn fijos, en tanto que el lejano D del miembro BD est articulado, se aplican las ecuaciones 7 a 9 a cada uno de los miembros para obtener ECUACION 15, 16 y 17La sustitucin de las ecuaciones 15 a 17 en la de equilibrio (ecuacin 14) da ECUACION 18

La rigidez a la rotacin de un nodo se define como el momento requerido para causar una rotacin unitaria en el nodo. De la ecuacin 18, se puede ver que la rigidez a la rotacin de un nodo es igual a la suma de las rigideces a la flexin de todos los miembros que estn rgidamente conectados a ese nodo. El signo negativo que aparece en la ecuacin 18 debido a la convencin de los signos que se ha adoptado, segn la cual los momentos que actan sobre los nodos se consideran positivos cuando el movimiento es en el sentido de las manecillas del reloj. Para expresar los momentos en los extremos de los miembros, en trminos del momento aplicado M, en principio se vuelve a escribir la ecuacin 18 en trminos de las rigideces relativas a la flexin de esos miembros como

ECUACION 19

ECUACION 20, 21 y 22A partir de las ecuaciones 20 a 22, se puede ver que el momento aplicado M se distribuye hacia los tres miembros en proporcin a sus rigideces relativas a la flexin. Para un miembro, la razn K/SKB se denomina factor de distribucin (FD) de ese miembro para el extremo B y representa la fraccin del momento aplicado M que se distribuye hacia ese extremo B del miembro. Por tanto, las ecuaciones 20 a 22 se pueden expresar comoECUACION 23, 24 y 25 en las cuales FDBA = KBA/SKB, FDBC = KBC/SKB y FDBD = KBD/SKB son los factores de distribucin para los extremos B de los miembros AB, BC y BD, respectivamente.Por ejemplo, si el nodo B del armazn de la figura 3 (a) se somete a un momento en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj de 150 k-ft (es decir, M = 150 k-ft) y si L1 = L2 = 20 ft, L3 = 30 ft e I1 = I2 = I3 = I, de modo que

entonces los factores de distribucin de los extremos B de los miembros AB, BC y BD quedan dados por

Estos factores de distribucin indican que 40% del momento de 150 k-ft aplicado al nodo B se ejerce en el extremo B del miembro AB, 40% en el extremo B del BC y el 20% restante sobre el extremo B del miembro BD, por tanto, los momentos en los extremos B de los tres miembros son

Con base en la discusin planteada, se puede decir que, en general, el factor de distribucin (FD) para un extremo de un miembro que est rgidamente conectado al nodo adyacente es igual a la razn de la rigidez relativa a la flexin del miembro con la suma de las rigideces relativas a la flexin de todos los miembros sujetos a ese nodo; es decirECUACION 26Adems, el momento distribuido (o al que se pone resistencia) de un extremo rgidamente conectado de un miembro es igual al factor de distribucin para ese extremo multiplicado por el negativo del momento aplicado al nodo adyacente. Momentos en extremos fijosEn tablas se dan las expresiones para los momentos en extremos fijos, para algunos tipos comunes de condiciones de carga, as como para desplazamientos relativos de extremos de miembros, para contar con una referencia conveniente. En el mtodo de distribucin de momentos tambin se toman en cuenta los efectos de las traslaciones de los nodos debidas a asentamientos de los apoyos y al ladeo, por medio de los momentos en extremos fijos. Considere la viga fija de la 4 (a) como se muestra en esta figura. Un pequeo asentamiento D del extremo izquierdo A de la viga con respecto al extremo derecho B hace que la cuerda de la misma gire en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj en un ngulo = D/L. Si se escribe la ecuacin de las pendientes-deflexiones para los dos momentos en los extremos, con = D/L e igualando a cero A, B y los momentos en extremos fijos EFAB y EFBA debidos a la carga extrema, se obtiene

en la cual, EFAB y EFBA ahora denotan los momentos en extremos fijos debidos a la traslacin relativa D entre los dos extremos de la viga. Note que las magnitudes, as como las direcciones de estos dos momentos son los mismos. Se puede ver, a partir de la figura 4 (a), que cuando un desplazamiento relativo causa una rotacin de la cuerda en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj, entonces los dos momentos en los dos extremos fijos actan en sentido del movimiento de las manecillas del reloj (negativo), para hacer que se mantengan pendientes cero en los dos extremos de la viga. Inversamente, si la rotacin de la cuerda debida al desplazamiento relativo es en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj, como se muestra en la figura 4 (b), entonces los dos momentos en extremos fijos actan en el sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj (positivo), para impedir que los extremos de la viga lleguen a girar.

FIGURA 4Concepto bsico del mtodo de distribucin de momentosEl mtodo de distribucin de momentos es un procedimiento iterativo en el cual, en principio, se supone que todos los nodos de la estructura que tienen la libertad de girar estn restringidos en forma temporal contra esa rotacin por medio de sujeciones imaginarias aplicadas en ellos. Las cargas externas y las traslaciones de los nodos (si las hay) se aplican a esta estructura hipottica fija y se calculan los momentos en extremos fijos, en los extremos de sus miembros. En general, estos momentos en extremos fijos no estn en equilibrio en esos nodos de la estructura que, en realidad, tienen libertad para girar. Entonces se satisfacen de modo iterativo las condiciones de equilibrio de esos nodos mediante la liberacin de un nodo a la vez, suponiendo que los nodos restantes permanecen sujetos. Se selecciona un nodo en el que los momentos no estn equilibrados y se evala su momento no equilibrado. Enseguida, se libera el nodo por la eliminacin de la sujecin, permitiendo de este modo su giro bajo la accin del momento no equilibrado, hasta que se alcanza el equilibrio. La rotacin del nodo induce momentos en los miembros conectados con l. Esos momentos en los extremos de los miembros se conocen como momentos distribuidos y sus valores se determinan al multiplicar el negativo del momento no equilibrado en el nodo por los factores de distribucin de los extremos de los miembros conectados a ese nodo. Las flexiones de estos miembros debidas a los momentos distribuidos hacen que se desarrollen momentos trasladados en los extremos lejanos de los mismos, los cuales se pueden evaluar con facilidad mediante el uso de los factores de traslacin de esos miembros. El nodo, el cual ahora se encuentra en equilibrio, se vuelve a sujetar en su posicin girada. A continuacin, se selecciona otro miembro con un momento no equilibrado y se libera, se equilibra y se vuelve a sujetar de la misma manera. El procedimiento se repite hasta que los momentos no equilibrados en todos los nodos de la estructura son tan pequeos que se pueden despreciar. Los momentos finales en los extremos de los miembros se obtienen mediante la suma algebraica de los momentos en extremos fijos y de todos los momentos distribuidos y trasladados, en cada extremo de esos miembros. Este proceso iterativo de determinacin de los momentos en los extremos de los miembros mediante la distribucin sucesiva del momento no equilibrado en cada nodo se llama proceso de distribucin de momentos. Si se conocen los momentos en los extremos de los miembros, se pueden determinar las cortantes en esos extremos, las fuerzas axiales en los miembros y las reacciones en los apoyos a travs de consideraciones de equilibrio, como se discuti anteriormente.Para ilustrar el mtodo de distribucin de momentos, considere la viga continua con tres claros que se muestran en la figura 5 (a). Esta estructura se analiz con anterioridad, por el mtodo de las pendientes-deflexiones. Suele ser conveniente llevar a cabo el anlisis de la distribucin de momentos en forma de tabla, como se muestra en la figura 5 (a). Note que la tabla, la cual a veces se menciona como tabla de distribucin de momentos, consta de seis columnas, una para cada extremo de los miembros de la estructura. Todos los clculos para un momento en uno de los extremos de un miembro en particular se registran en la columna que corresponde a ese extremo.

FIGURA 5 (a), (b), (c), (d), (e), (f), (g), (h), (i)

Factores de distribucin

El primer paso en el anlisis es calcular los factores de distribucin en aquellos nodos de la estructura que tienen libertar para girar. Como se discuti en la parte anterior, (ecuacin 26), el factor de distribucin para un extremo de un miembro es igual a la rigidez relativa a la flexin del miembro, dividida entre la suma de las rigideces relativas a la flexin de todos los miembros conectados al nodo. A partir de la figura 5 (a), se puede ver que slo los nodos B y C de la viga continua tienen libertad para girar. Los factores de distribucin en el nodo B son

Note que la suma de los factores de distribucin en cada nodo siempre debe ser igual a l. Los factores de distribucin se registran en las casillas que estn directamente debajo de los extremos correspondientes de los miembros, en la parte superior de la tabla de distribucin de momentos, como se muestra en la figura 5 (a). Momentos en extremos fijosEnseguida, suponiendo que los nodos B y C se restringen contra la rotacin por medio de sujeciones imaginarias aplicadas en ellos (Figura 5 (b)), se calculan los momentos en extremos fijos que se desarrollan en los extremos de cada uno de los miembros. Utilizando las expresiones para los momentos en extremos fijos dadas al inicio, se obtiene

Note que, de acuerdo con la convencin de signos en la distribucin de momentos, los momentos en extremos fijos con sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj se consideran positivos. Los momentos en extremos fijos estn registrados en la primera fila de la tabla de distribucin de momentos, como se muestra en la figura 5 (a).

Equilibrio del nodo C

Ya que suponemos que, en realidad los nodos B y C no estn sujetos, se liberan, uno a la vez. Se puede liberar el nodo B o el C; empecemos con el nodo C. A partir de la figura 5 (b), se puede ver que se tiene un momento en extremo fijo de -75 k-ft (en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj), en el extremo C del miembro BC, mientras que no existe momento en el extremo C del miembro CD. En tanto que el nodo C est restringido contra la rotacin por la sujecin, el momento no equilibrado de -75 k-ft es absorbido por esta ltima. Sin embargo, cuando se elimina la sujecin imaginaria para liberar el nodo, el momento no equilibrado de -75 k-ft acta en el nodo, como se muestra en la figura 5 (c), hacindolo girar en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj, hasta que queda en equilibrio (Figura 5 (d)). La rotacin del nodo C hace que se desarrollen los momentos distribuidos, FDCB y FDCD, en los extremos C de los miembros BC y CD, los cuales se pueden evaluar al multiplicar el negativo del momento no equilibrado (es decir, de +75 k-ft) por los factores de distribucin FDCB y FDCD, respectivamente. Por tanto,

Estos momentos distribuidos estn registrados en la fila 2 de la tabla de distribucin de momentos (Figura 5 (a)) y se ha trazado una lnea debajo de ellos con el fin de indicar que el nodo C est ahora equilibrado. Note que la suma de los tres momentos que estn arriba de la lnea en el nodo C es igual a cero (es decir, -75 + 32.2 + 42.8 = 0).El momento distribuido en el extremo C del miembro BC induce un momento trasladado en el extremos lejano B (Figura 5 (d)), el cual se puede determinar multiplicando ese momento distribuido por el factor de traslacin del miembro. Dado que el nodo B permanece sujeto, el factor de traslacin del miembro BC es (ecuacin 13). De donde, el momento trasladado en el extremo B del miembro BC es

De manera anloga, el momento trasladado en el extremos D del miembro CD se calcula como

Estos momentos trasladados estn registrados en la misma fila de la tabla de distribucin de momentos en la que se encuentran los momentos distribuidos, habindose colocado una flecha horizontal desde cada momento distribuido hasta su momento trasladado, como se muestra en la figura 5 (a).En la figura 5 (e) se encuentran representados los momentos totales en los extremos de los miembros, en este punto del anlisis. A partir de esta figura, se puede ver que el nodo C est ahora en equilibrio, porque se encuentra sujeto a dos momentos iguales, pero opuestos. Sin embargo, el nodo B no est en equilibrio y es necesario equilibrarlo. Antes de liberar el nodo B, se aplica una sujecin imaginaria a C, en su posicin girada, como se muestra en la figura 5 (e).Equilibrio del nodo BAhora se libera el nodo B. el momento no equilibrado en este nodo se obtiene al sumar todos los momentos que actan en los extremos B de los miembros AB y BC, los cuales se encuentran rgidamente conectados al nodo B. A partir de la tabla de distribucin de momentos (filas 1 y 2), se puede ver que existe un momento en extremo fijo de -50 k-ft e el extremo B del miembro AB, en tanto que el extremo B del miembro BC est sujeto a un momento en extremo fijo de +75 k-ft y uno trasladado de +16.1 k-ft. De donde, el momento no equilibrado en el nodo B esNEB = -50 + 16.1 = +41.1 k-ftEste momento no equilibrado hace que el nodo B gire, como se muestra en la figura 5 (f) e induce momentos distribuidos en los extremos B de los miembros AB y BC. Como se discuti con anterioridad, los momentos distribuidos se evalan al multiplicar el negativo del momento no equilibrado por los factores de distribucin: DBA = 0.5(-41.1) = -20.6 k-ftDBC = 0.5(-41.1) = -20.6 k-ftEstos momentos distribuidos estn registrados en la fila 3 de la tabla de distribucin de momentos y se ha trazado una lnea debajo de ellos, con el fin de indicar que el nodo B ahora queda equilibrado. Entonces, la mitad de los momentos distribuidos se trasladan hacia los extremos lejanos A y C de los miembros AB y BC, respectivamente, como se indica por las flechas horizontales en la fila 3 de la tabla. Enseguida, se vuelve a sujetar el nodo B, en su posicin girada. Equilibrado del nodo CComo ahora el nodo B est equilibrado, se puede ver en la tabla de distribucin de momentos (fila 3) que, debido al efecto de traslacin, se tiene un momento no equilibrado de -10.3 k-ft en el nodo C. Recuerde que, con anterioridad, los momentos arriba de la lnea horizontal en el nodo C estaban equilibrados. Por tanto, se libera el nodo C una vez ms y se distribuye el momento no equilibrado hacia los extremos de los miembros BC y CD como (Figura 5 (g))DCB = 0.429(+10.3) = +4.4 k-ftDCD = 0.571(+10.3) = +5.9 k-ftEstos momentos distribuidos estn registrados en la fila 4 de la tabla de distribucin de momentos y la mitad de estos momentos se han trasladado hacia los extremos B y D de los miembros BC y CD, respectivamente, como se indica en la propia tabla. Enseguida, se vuelve a sujetar el nodo C.Equilibrado del nodo BEl momento no equilibrado de +2.2 k-ft en el nodo B (fila 4 de la tabla de distribucin de momentos) se equilibra de manera semejante. Los momentos distribuidos y trasladados de este modo se muestran en la fila 5 de la tabla. A continuacin, se vuelve a sujetar el nodo B. Se puede ver en la fila 5 de la tabla de distribucin de momentos que el momento no equilibrado en el nodo C ahora se ha reducido a slo -0.6 k-ft. Otro equilibrado del nodo C produce un momento no equilibrado incluso ms pequeo de +0.2 k-ft en el nodo B, como se muestra en la fila 6 de la tabla mencionada. Ya que los momentos distribuidos inducidos por este momento no equilibrado son tan pequeos que pueden considerarse despreciables, se finaliza el proceso de distribucin de momentos. Los momentos finales en los extremos de los miembros se obtienen sumamente algebraicamente los valores que aparecen en cada columna de la tabla de distribucin de momentos. Los momentos finales obtenidos de este modo estn registrados en la fila 8 de la tabla y se muestran en los diagramas de cuerpo libre de los miembros, en la figura 5 (h). Note que los momentos finales satisfacen las ecuaciones de equilibrio de momentos en los nodos B y C. Como ya se conocen los momentos en los extremos de los miembros, ahora se pueden determinar las cortantes en los extremos de los miembros y las reacciones en los apoyos al considerar el equilibrio de los cuerpos libres de los miembros y nodos de la viga continua, como se analiz anteriormente. Enseguida, se pueden construir los diagramas de la cortante y del momento flexionante de la manera usual, aplicando la convencin de los signos de la viga. Aplicacin prctica del proceso de distribucin de momentos. En la discusin anterior se determinaron los momentos en los extremos de los miembros al equilibrar de manera sucesiva un nodo de la estructura a la vez. Aun cuando este procedimiento proporciona una visin ms clara del concepto bsico del proceso de distribucin de momentos, desde un punto de vista prctico suele ser ms conveniente utilizar un enfoque alterno en el que todos los nodos de la estructura que tengan libertad para girar se equilibren de manera simultnea en el mismo paso. Entonces en el paso siguiente, se calculan en forma simultnea todos los momentos, hasta trasladados que se inducen en los extremos lejanos de los miembros y se repite el proceso de equilibrio de los nodos sean tan pequeos que pueden despreciarse.Con el fin de ilustrar este procedimiento alterno, considere una vez ms la viga continua con tres claros de figura 5 (a). La tabla de distribucin de momentos usada para llevar a cabo los clculos se muestra en la figura 5 (i). Los factores de distribucin y los momentos en extremos fijos, calculados con anterioridad, estn registrados en la parte superior y en la primera fila, respectivamente, de la tabla, como se muestra en la figura. El proceso de distribucin de momentos se inicia equilibrando los nodos B y C. En la fila 1 de la tabla de distribucin de momentos (Figura 5 (i)), se puede ver que el momento no equilibrado en el nodo B esNEB = -50 + 75 = +25 k-ftComo se discuti con anterioridad, el equilibrio del nodo B induce momentos distribuidos en los extremos B de los miembros AB y BC, los cuales se pueden evaluar multiplicando el negativo del momento no equilibrado por los factores de distribucin. Por tanto, DBA = 0.5(-25) = -12.5 k-ftDBC = 0.5(-25) = -12.5 k-ftEntonces, se equilibra el nodo C de manera semejante. En la fila 1 de la tabla de distribucin de momentos se puede ver que el momento no equilibrado en el nodo C es NEC = -75 k-ftPor tanto, el equilibrado del nodo C induce los momentos distribuidos siguientes en los extremos C de los miembros BC y CD, respectivamente;DCB = 0.429(+75) = +32.2 k-ftDCD = 0.571(+75) = +42.8 k-ftLos cuatro momentos distribuidos se encuentran registrados en la fila 2 de la tabla de distribucin de momentos y est trazada una lnea debajo de ellos, a travs de todo el ancho de la tabla, para indicar que ahora todos los nodos estn equilibrados.En el paso siguiente del anlisis, se calculan los momentos trasladados que se desarrollan en los extremos lejanos de los miembros, multiplicando los momentos distribuidos por los factores de traslacin;

Estos momentos trasladados estn registrados en la fila siguiente (fila 3) de la tabla de distribucin de momentos, tenindose una flecha inclinada que apunta en cada momento distribuido hacia su momento trasladado, como se muestra en la figura 5 (i). En la fila 3 de esa tabla se puede ver que, debido al efecto de traslacin, ahora se tienen los momentos no equilibrados de +16.1 k-ft y -6.3 k-ft en los nodos B y C respectivamente. Por consiguiente, estos nodos se equilibran una vez ms y los momentos distribuidos que se obtienen de este modo se registran en la fila 4 de la tabla en cuestin. Entonces se trasladan la mitad de los momentos distribuidos sobre los extremos lejanos de los miembros (fila 5), y el proceso se contina hasta que los momentos no equilibrados son tan pequeos que se pueden despreciar. Los momentos finales en los extremos de los miembros, obtenidos al sumar algebraicamente s valores que se encuentran en cada columna de la tabla, estn registrados en la fila 11 de la tabla (figura 5 (i)). Note que estos momentos finales concuerdan con los determinados con anterioridad en la figura 5 (a) y en la seccin anterior, por el mtodo de las pendientes-deflexiones. Las pequeas diferencias entre los resultados obtenidos por los diferentes procedimientos se deben a los errores por redondeo.