4 metode simplex

8/18/2019 4 Metode Simplex

1/90

*METODE SIMPLEX


2/90

*LINEAR PROGRAMMINGSIMPLEX METHOD

*Simplex Method- An algebraic, iterative method to solve linear programming problems.

*The simplex method requires that the problem isexpressed as a standard LP problem. This implies that

all the constraints are expressed as equations byadding slac variables. (Variable yang mewakili tingkatpengangguran atau kapasitas yang merupakan batasan) S1 , S2, S3,……Sm

*The method uses !aussian elimination "s#eep outmethod$ to solve the linear simultaneous equations

generated in the process.


3/90

*Metode Simpleks

Metode simpleks merupakan

prosedur aljabar yang bersifatiteratif yang bergerak selangkah

demi selangkah, dimulai dari

suatu titik ekstrem pada daerahfisibel menuju ke titik ekstrem

yang optimum


4/90

*Berikut ini diberikan pengertian dari beberapa

terminologi dasar yang banyak digunakan dalam

membicarakan metode simpleks :Maks atau Min : Z = c1x1 c!x! """ cnxn

Berdasarkan : a11x1a1!x!"""a1nxn = b1

a!1x1a!!x!"""a!nxn = b!

"

"

"

am1x1am!x!"""amnxn = bm xi # $ % i = 1,!,""",n &


5/90

*Maka pembatas dari model tersebut

dapat dituliskan ke dalam bentuksystem persamaan '( = b

*)erhatikan suatu system '( = b dari

m persamaan linier dalam n *ariable%n+m&"


6/90

* Definisi

*Solusi Basis Solusi basis untuk '( = b adalah solusi dimana terdapatsebanyakbanyaknya m *ariabel berharga bukan nol"

-ntuk mendapatkan solusi basis dari '( = b maka sebanyak%nm& *ariabel harus dinolkan" .ariabel*ariabel yang

dinolkan ini disebut *ariabel nonbasis %/B.&" Selanjutnya,

dapatkan harga dari n%nm& = m *ariabel lainnya yangmemenuhi '( = b, yang disebut *ariabel basis %B.&"

* Solusi Basis 0isibel ika seluruh *ariabel pada suatu solusi basis berharga

nonnegatif, maka solusi itu disebut solusi basis fisibel %B0S&

* Solusi 0isibel 2itik 3kstrem

4ang dimaksud dengan solusi fisibel titik ekstrem atau titiksudut ialah solusi fisibel yang tidak terletak pada segmengaris yang menghubungkan dua solusi fisibel lainnya"


7/90

* Ada tiga sifat pokok titik ekstrem ini, ait! "

Sifat 1 : jika hanya ada satu solusi optimum,

maka pasti ada satu titik ekstrem, atau jika solusi

optimumnya banyak, maka paling sedikit ada dua

titik ekstrem yang berdekatan" Sifat 2 : hanya ada sejumlah terbatas titik

ekstrem pada setiap persoalan"

Sifat 3 : jika suatu titik ekstrem memberikan

harga 5 yang lebih baik dari yang lainnya, maka

pasti solusi itu merupakan solusi optimum

Sifat # ini men$adi dasar dari metode simp%eks&


8/90

*Prosed!r MetodeSimp%eks "

1" 6angkah inisialisasi : mulai dari suatu titikekstrem %$,$&

!" 6angkah iteratif : bergerak menuju titikekstrem berdekatan yang lebih baik"

6angkah ini diulangi sebanyak diperlukan"

7" 'turan penghentian : memberhentikan

langkah ke! apabila telah sampai pada titikekstrem yang terbaik %titik optimum&"


9/90

Sebagai ringkasan dari ide metode

simpleks ini ialah bah8a metode ini selaludimulai pada suatu titik sudut fisibel, dan

selalu bergerak melalui titik sudut fisibel

yang berdekatan, menguji masingmasing

titik mengenai optimalitasnya sebelum

bergerak pada titik lainnya"


10/90

* 'lgoritma Simpleks untuk )ersoalan Maksimasi

-ntuk menyelesaikan persoalan 6) dengan tujuan

maksimasi menggunakan metode simpleks dilakukandengan langkahlangkah berikut ini :

1" 9on*ersikan formulasi persoalan ke dalam bentuk standar"!" ari solusi basis fisibel"

7" ika seluruh /B. mempunyai koefisien nonnegatif%artinya berharga positif atau nol& pada baris fungsi

tujuan, maka B0S sudah optimal" ika pada baris fungsi

tujuan masih ada *ariabel dengan koefisien negatif,

pilihlah salah satu *ariabel yang mempunyai koefisien

paling negatif pada baris itu" .ariabel ini akan memasukistatus *ariabel basis, karena itu *ariabel ini disebut

sebagai *ariabel yang masuk basis %entering *ariabel;3.&"


11/90

" 9embali ke langkah 7"

'atatan " $ika ditem!kan %e(i) dari sat! (aris ang

memp!nai rasio positif terke*i%, pi%i)%a) sa%a) sat!&'ara ini tidak akan mempngar!)i )asi% per)it!nganak)ir&


12/90

* -ntuk menyelesaikan persoalan 6)dengan fungsi tujuan meminimumkan Z,

ada dua cara yang dapat dilakukan,yaitu :1" Mengubah fungsi tujuan dan

persamaannya, kemudianmenyelesaikannya sebagai persoalan

maksimasi"!" Memodifikasi langkah 7 sehinggamenjadi :

* ika seluruh /B. pada baris fungsi tujuanmempunyai koefisien yang berharga

nonpositif, maka B0S sudah optimal" ikapada baris fungsi tujuan masih ada*ariabel dengan koefisien positif, pilihlahsalah satu *ariabel yang berharga palingpositif pada baris fungsi tujuan itu untukmenjadi 3."


13/90

*9asus 9husus dalam

)enggunaan 'lgoritma Simpleks

* ?egenerasi 9asus ini terjadi apabila satu atau lebih *ariabel basis berharga

nol %b=$& sehingga iterasi yang dilakukan selanjutnya bisamenjadi suatu loop yang akan kembali pada bentuk sebelumnya"9ejadian ini disebut cycling atau circling.

* Solusi @ptimum Banyak Suatu persoalan dapat memiliki lebih dari satu solusi optimum"

9asus ini terjadi apabila fungsi tujuan paralel dengan fungsipembatas, dimana paling sedikit salah satu dari *ariabelnonbasis %pada persamaan 5 pada iterasi terakhir& mempunyaikoefisien berharga nol" 'kibatnya 8alaupun *ariabel tersebutdinaikkan harganya %dijadikan *ariabel basis&, harga Z tetaptidak berubah" 9arena itu solusisolusi optimumyang lain inibiasanya dapat diidentifikasi dengan cara menunjukkan iterasiiterasi tambahan pada metode simpleksnya, dimana *ariabel*ariabel nonbasis yang berkoefisien nol itu selalu dipilih untukmenjadi entering *ariabel"


14/90

* Solusi 2ak 2erbatas 9asus ini terjadi apabila ruang solusi tidak

terbatas sehingga nilai fungsi tujuan dapatmeningkat %untuk maksimasi& atau menurun%untuk minimasi& secara tidak terbatas" 'pabilapersoalannya berdimensi dua dapat diselesaikansecara grafis" 'kan tetapi, jika persoalan yangdihadapi berdimensi tiga atau lebih, maka untukmendeteksi apakah solusinya terbatas atau tidak,

dilakukan dengan cara :

)erhatikan koefisienkoefisien pembatas dari

*ariabel nonbasis pada suatu iterasi" ika

koefisienkoefisien tersebut berharga negatif atau

nol berarti solusinya tak terbatas"

ika koefisien fungsi tujuan *ariabel tersebut

berharga negatif %untuk maksimasi& atau positif

%untuk minimasi&, maka nilai fungsi tujuannya

tidak terbatas"


15/90

Slack Variables

• Inequality constrains can be converte toequalities by introucing !slack variables"

• #isal$

%1&2%2&3%3&'%' ≤ 2, bisa itulis sebagai

%1&2%2&3%3&'%'&S 2

engan s ≥ * (slack variable)

• +tau$

%1&2%2&3%3&'%' ≥ 2, bisa itulis sebagai

%1&2%2&3%3&'%' S 2

engan s ≥ * (slack variable)


16/90

Objective function- .1 %1 & .2 %2 & .3 %3 & .' %' & /////////////& .n %n

Constraints 1)/ a11 %1 & a12 %2 & a13 %3 & /////////& a1n %n 0 b1 2)/ a

21

%1

& a22

%2

& a23

%3

& /////////& a1n

%n

0 b2

3)/ a31 %1 & a32 %2 & a33 %3 & /////////& a3n %n 0 b3 ')/ a'1 %1 & a'2 %2 & a'3 %3 & /////////& a'n %n 0 b'

/ / / / / / / m)/ am1 %1 & am2 %2 & am3 %3 &/////////& amn %n 0 bm

%i * , i 1,2,3…//n b ≥* , 1,2,…,m

% ≡ variables c ≡ obective parameters

a ≡ constraints parametersb ≡ rig4t 4an sie value o5 constraints

Langkah penyelesaian (1)

1. %epresent the LP problem in standard &orm


17/90


dengan z adalah nilai dari fungsi tujuan

'. (yataan persamaan &ungsi tu)uan dalam bentu

*. %ubah semua pertidasamaan batasan "all inequality constrains$ e dalam bentu persamaan batasan "equality constrains$ dengan memasuan variable Slac

+. Susun persamaan &ungsi tu)uan dan persamaan batasan e dalam tabel simplex.

;0=−∑ j

j jc z χ


18/90

Lanah .

• #a6imi7e -'%1&%2 (*)

• 8atasan$

%1

&2%2

≤ '* (1)

'%1 &3%2 ≤ 12* (2)

.9:;9< $ Perusahaan barang tembikar

Langah ' dan *

=ungsi tuuan - '%1

%2

* (*)

%1 &2%2 & S1 '* (1)

'%1 &3%2 & S2 12* (2)


8atasan


19/90


Langah + Menyusun table Simplex a#al"terasi/$

asic!ariable

"#t.

.oe55icient o5 $ >


20/90

Langkah penyelesaian (&)

Langah 0 Setelah data tersusun dalam tabel simplex a#al,lauan iterasi sehingga dihasilan titi optimal

/1/ #enentukan entering variable $

?icari variabel yang paling sensiti5 ter4aap 5ungsi tuuan (ma6 -)/

– ?ari tabel (baris -) terli4at ba4wa nilai absolut koe5isien %2terbesar yaitu ll, ai ipili4 %2 sebagai entering variable/

@olom %2 isebut pivot column (A.)/ 8ila paa tabel sua4 tiak

mempunyai lagi koeffisien yang bernilai negatif paa baris5ungsi tuuan, maka tabel ini tiak bisa lagi i optimalkan(sua4 optimal)/

– Selanutnya 4itung nilai ratio, :ilai kolom >aw (A>)


21/90

'teration

asic!ariable

"#t.

.oe55icient o5 $ >atio- %1 %2 S1 S2

*$ "/$ -+ -0 / / /

%1 "$ / ' / +/ '/

%2 "'$ / + * / '/ +/

Langkah penyelesaian

Aivotcolumn

atio 4*+2 , 2*-ini-u-

Aivotelement

Aivot>aw


22/90


&.3. e-buat table si-ple/ ke0ua

• 8agi semua element paa Aivot >aw (A>) engan AivotBlement/ ?i4asilkan element pivot raw baru/

• Cantila4 basic variable paa baris itu engan Variable yangterapat iatas pivot column

'teration

asic!ariable

"#t..oe55icient o5 $ >


23/90


• aw) engan cara $

$ -+ -0 / / /

2 / -',0 -0 -',0 / -//

$ -,0 / ',0 / //

Blement baris baru (Blement baris lama) D (koe55isien paa

pivot column) 6 (nilai element baru pivot raw)

&enghitung nilai baru element baris dari '

Blement baris lama

6 element baru pivot raw

Blement baris baru

oeffisienpa0a C


24/90

%2 / + * / '/

2 / ,0 * ,0 / 3/

%2 / ',0 / -,0 3/

&enghitung nilai baru element baris dari S2

Blement baris lama

3 6 element baru pivot raw

Blement baris baru

oeffisienpa0a C


?i4asilkan tabel simple6 2


25/90

'teration

asic!ariable

"#t.

.oe55icient o5 $ >


26/90

'teration

asic!ariable

"#t.

.oe55icient o5 $ >atio

- %1 %2S1 S2

1$ "/$ -,0 / ',0 / //

2 "$ / /,0 /,0 / '/ +/

%2 "'$ / ',0 / -,0 3/ '+


Aivotcolumn

atio *+25& ,

24-ini-u-

Aivotelement

Aivot>aw

Eangka4 /1 an /2


27/90

Langkah &.3. e-buat table si-ple/ ketiga

• 8agi semua element paa Aivot >aw (A>) engan AivotBlement/ ?i4asilkan element pivot raw baru/

• Cantila4 basic variable paa baris itu engan Variable yangterapat iatas pivot column

'teration

asic!ariable

"#t..oe55icient o5 $ >


28/90


• aw) engan cara $

$ -,0 / ',0 / //

1 / -,0 / /,4 -/,3 -*3

$ / / ,3 /,3 *3

Blement baris baru (Blement baris lama) D (koe55isien paa

pivot column) 6 (nilai element baru pivot raw)

&enghitung nilai baru element baris dari '

Blement baris lama

1, 6 element baru pivot raw

Blement baris baru

oeffisienpa0a C


29/90


2 / /,0 /,0 / '/

1 / /,0 / -/,* /,' '

2 / / /,5 -/,' 5

&enghitung nilai baru element baris dari X 2

Blement baris lama

*, 6 element baru pivot raw

Blement baris baru

oeffisienpa0a C

?i4asilkan tabel simple6 3


30/90

'teration

asic!ariable

"#t.

.oe55icient o5 $ >


31/90

'teration

asic!ariable

"#t/.oe55icient o5 $ >


32/90

* SIMPLEX METHOD

1. ila a0a 0ua atau lebih variabel non basis -e-punyaikoefisien negatif terbesar yang sa-a5 -aka pe-ilihanentering variable 0apat 0ijalankan secara bebas.

ana yang lebih cepat -encapai opti-al ti0ak 0apat0ipre0iksi.

6ontoh =ungsi tuuan paa conto4 pabrik tembikar iruba4 menai

• #a6imi7e -'%1&'%2 (*)

• 8atasan$

%1 &2%2 ≤ '* (1)'%1 &3%2 ≤ 12* (2)

Selanutnya isusun tabel simple6 awal


33/90

asic!ariab

le"#t.

.oe55icient o5 $ >


34/90

%'L" "67O8

2. ila a0a 0ua atau lebih variabel basis -e-punyai nilai96'O -ini-u- yang sa-a5 -aka pe-ilihan leavingvariable 0apat 0ijalankan secara bebas.

ana yang lebih cepat -encapai opti-al ti0ak 0apat0ipre0iksi.

6ontoh batasan (1) paa conto4 pabrik tembikar iruba4 menai

• #a6imi7e -'%1&%2 (*)

• 8atasan$

%1 &2%2 ≤ '* (1)4X 1 4X 2 ≤ 0 (2)

Selanutnya isusun tabel simple6 awal


35/90

%'L" "67O8

'teration

asic!ariable

"#t.


*$ "/$ -+ -0 / / /%1 "$ / ' / +/ 2*

%2 "'$ / + + / 5/ '/

;abel simple6 awal

Aivot

column

atio-ini-u-

?ari tabel simple6 awal, tampak variable

basis S1 an S2 mempunyai nilai ratiominimum yang sama yaitu 2*/ 9le4 karenaitu paa penyelesaian awal leaving variableapat ipili4 S1 atau S2 /


36/90

%'L" "67O8

Aenyelesaian simple6 met4o bagi kasus yang menyimpangari bentuk stanar

?iselesaikan enganmengintrouksi slack

variable sebagai variablebasis yang 4arganyasama engan ruas kanan(positi5)

#a6imi7e $

Subect to $ ai % 0 bi (bi H * )

% *

8ila aa penyimpangan ari bentuk stanar ilakukanpenyesuaianpenyesuaian i langka4 awal/ Setela4 itu metoesimple6 iselesaikan seperti sebelumnya/

∑ χ= j

j jcz


37/90

%'L" "67O8

Aenekatan stanar $ ;eknik menggunakan Variablebuatan (arti5icial Variable)

#emasukkan dumm* $ariable (isebut arti5icial variable)ke alam setiap batasan (constaints) yang memerlukan/

Variable yang baru akan menai variable basis paa paapenyelesaian awal bagi batasan (constaints) yangbersangkutan

Iterasi metoe simple6 akan membuat arti5icial variable

menai nol, se4ingga ak4irnya satu persatu 4ilang/


38/90


39/90


40/90

%'L" "67O8

Eangka4 selanutnya memaksa nilai arti5icial variable + menainol/ ?apat ilakukan engan metoe 6eknik metoepenalty/Aaa penekatan ini 5ungsi tuuan iruba4 ulu menai $

Aaa 4asil revisi aa 3 persamaan engan variable/

+a ua variable non basis %1 an %2 yang paa penyelesaianlayak awal 4arganya */

?ari persamaan (1), (2) an (3) iapatkan nilai variable basis

%1 , 4 5 %2 , 12 0an 9 , 1:

- 3 %1 & %2 D #+

?engan # aala4 bilangan positi5 yang sangat besar ber4ingga/

Aersamaan (*) ari 5ungsi tuuan akan menai

- 3 %1 %2 & #+ *


41/90

%'L" "67O8

Aaa persamaan (*) yang irevisi terapat variable basis engankoe5isien #/ Variable basis 4arus i4ilangkan ari persamaan (*)/ 8aris - yang i4asilkan (revisi) ikurangi engan # kali setiapbaris batasan yang sesuai/

3 * * # *

3#3 2# * * * 1F#

8aris - pers (*)

revisi 3 2 * * 1 1F;

8aris - pers (*)baru

?isusun tabel simple6 awal/ iterasi untuk menapatkannilai optimal/ ?i4asilkan %1 2, %2 G an - 3G


42/90


43/90

%'L" "67O8

e-ilihan entering variable $ @oe5isien variable non basis

paa persamaan tuuan mempunyai bentuk 5ungsi linear (a# & b)

a 5aktor penggana

b 5aktor penamba4

@arena # sangat besar, maka b selalu kecil ibaningkan

ter4aap a#/Aaa umumnya pemili4an entering variable iasarkan paa nilaifaktor penggan0a a.

.onto4 Aaa tabel awal $koe5isien %1 aala4 (3#3), untuk %2

aala4 (2#)/ =aktor penggana 3 < 2, se4ingga ipili4 1

sebagai entering variable/8ila paa koe5isien tersebut nilai 5aktor penggana sama, makapemili4an entering variable iasarkan paa faktor pena-bah b


44/90

Iteration

8asic

variable

Bqt/

.oe55icient o5 >


45/90

%'L" "67O8

2. erti0aksa-aan jenis

?iruba4 menai ≤ engan cara mengalikan keua ruaspertiaksamaan engan (1)/

.onto4 $ *,G %1 & *,' %2 ≥ G menai

*,G %1 *,' %2 ≤ G

>uas kiri itamba4 slack variable

*,G %1 *,' %2 & S G

:ilai slack variable S G negati5, tiak memenu4isyarat/


46/90

%'L" "67O8

*,G %1 & *,' %2 D S & + G

+rti5icial variable 9 ipakai sebagai variable basis awal(+G)/ ?engan emikian S memulai sebagai variable non

basis/

?engan mengintrouksi +rti5icial variable 9 5 berartimetoe teknik uga iperlakukan isini/

3. e-ini-u-kan 0irubah -enja0i -e-aksi-u-kan yang e#uivalent

#inimi7e

Bquivalent engan

#a6imi7e

#enyelesaikanoptimal yangsama

∑

=

=n

j

j j X C Z

1

∑=

−=−n

j j j X C Z

1

)()(


47/90

%'L" "67O8

#inimi7e $ - *,' %1 & *, %2 (*)

Subect to $ *,3 %1 & *,1 %2 ≤ 2,K (1)

*, %1 & *, %2 G (2)

*,G %1 & *,' %2 ≥ G (3)

%1 ≥ * , %2 ≥ *

Contoh

#inimi7e $ - *,' %1 & *, %

#a6imi7e $ (-) *,' %1 *, %2 enyelesaian

#asukkan arti5icial variable +1 an +2 paa pers (2) an (3),

an terapkan metoe ;eknik #, maka

#inimi7e $ - *,' %1 & *, %2 & #+1 & #+2

#a6imi7e $ (-) *,' %1 *, %2 #+1 #+2


48/90

%'L" "67O8

- & *,' %1 & *, %2 & #+1 & #+2 * (*)

*,3 %1 & *,1 %2 & S1 2,K (1)

*, %1 & *, %2 & +1 G(2)

*,G %1 & *,' %2 S2 & +2 G (3)

S1, +1 an +2 aala4 variable basis untuk penyelesaian asar

awal/

%iste- persa-aan a/i-i=e (;$)

*,' *, * # * # *8aris -, pers (*) revisi

*, *, * 1 * * G

8aris -, pers (*)baru

1,1#&*,' *,J#&*, * * # * 12#

#

*,G *,' * * 1 1 G#


49/90

%'L" "67O8

Iteration

8asicvariable

Bquation

.oe55icient o5 >al

Aivotcolumn

Aivot>aw Bntering variable $ %1

Eeaving variable $ S1


50/90

Iteration

8asicvariable

Bquation

.oe55icient o5 >


51/90

* Teori D!a%itas dan ana%isa sensiti+itas

Contoh asalah 8iet.;abel berikut memberikan gambaran umla4 mineral an vitamin yang4arus ikonsumsi ole4 pasien/ #ineral an vitamin berasal ari ua

enis makanan aging an sayuran/

@anungan #akanan @ebutu4an

minimum per 4ari?aging sayuran

#ineral 2 ' '*

Vitamin 3 2 *


52/90

=ormulasi moel EA $ #isal %1

umla4 aging

an %2 umla4 sayuran

• =ungsi tuuan $ #inimi7e -3%1&2,%2 (*)

• 8atasan$

2%1 &'%2 ≥ '* (1)

3%1 &2%2 ≥ * (2)%1 ≥ * , %2 ≥ *

• Sekarang pikirkan masala4 yang berbea yang masi4ber4ubungan engan masala4 yang asli (isebut primal )/

• Sebua4 ?ealer menual #ineral an Vitamin

• >estoran setempat membeli mineral an vitamin ari ealeran membuat aging an sayuran tiruan yang menganungmineral an vitamin seperti yang tertulis paa tabel

*Teori D!a%itas dan &


53/90

• ersoalan bagi 0ealer $ #enetapkan 4arga ual mineral anvitamin per unitnya yang ma6imum seemikian se4inggameng4asilkan 4arga aging an sayuran tiruan tiak melebi4i4arga pasar yang aa/

• ?ealer memutuskan 4arga per unit #ineral L1 an Vitamin L2

•

@ebutu4an mineral '*

4arga total '* L1

• @ebutu4an vitamin * 4arga total * L2

•


54/90

=ungsi tuuan $

#a6imi7e M '* L1 & * L2 (*)

8atasan

2 L1 & 3 L2 ≤ 3 (1)

' L1 & 2 L2 ≤ 2, (2)

L1 ≥ * , L2 ≥ *

Aerumusan masala4 alam bentuk moel EA

?isebut bentuk ?ual/

L1 an L2 inamakan variable ual


6eori 8ualitas


55/90

6eori 8ualitas ??..

8ualitas @

?alam kenyataan ternyata isetiap bentuk EA terapat 2 bentuk

1/ 8entuk I atau bentuk asli an inamakan A>I#+E

2/ 8entuk II yang ber4ubungan an inamkan ?N+Eemikian se4ingga suatu solusi ter4aap EA yang asli ugamemberikan solusi paa bentuk ual nya/

+sumsi alam teori ualitas aala4 ba4wa masala4 primalalam bentuk stanar/

#a6imi7e $

.onstraints $

∑=

=n

j j j X C Z

1

mib X a in

j jij .....,3,2,1

1

=≤∑=

0≥ j X

*Teori D!a%itas dan


56/90

=ungsi tuuan $

#a6imi7e M '* L1 & * L2 (*)

8atasan

2L1 & 3 L2 ≤ 3 (1)

' L1 & 2 L2 ≤ 2, (2)

L1 ≥ * , L2 ≥ *

Aerbaningan masala4 Arimal an ?ual

=ungsi tuuan $#inimi7e -3%1&2,%2 (*)

8atasan$

2%1 &'%2 ≥ '* (1)

3%1 &2%2 ≥ * (2)

%1 ≥ * , %2 ≥ *

3 ( ' . 9 L

8 A

9 L



57/90

1/ @oe5isien 5ungsi tuuan masala4 primal menai

konstanta sisi kanan masala4 ?ual2/ @onstanta sisi kanan primal menai koe5isien 5ungsi

tuuan masala4 ?ual

3/ ;ana pertiaksamaan ibalik

'/ ;uuan iuba4 ari minim7e (ma6imi7e) alam primal

menai ma6imi7e (minim7e) alam ual

/ Setiap kolom paa primal ber4ubungan engan suatubaris (kenala) alam ual/ banyaknya kenala alamualsama engan banyaknya variable primal

G/ Setiap baris kenala paa primal ber4ubungan engan

suatu kolom alam ual/ aa satu variable ual untuksetiap kenala primal


6eori 8ualitas


58/90

6eori 8ualitas ??..;abel Arimal ual untuk EA

a/i-i=e - .1 %1 & .2 %2 & .3 %3 &/////& .n %n Constraints

1)/ a11 %1 & a12 %2 & a13 %3 & /////////& a1n %n 0 b1 2)/ a21 %1 & a22 %2 & a23 %3 & /////////& a1n %n 0 b2

/ / / / ///////// /// / m)/ am1 %1 & am2 %2 & am3 %3 &/////////& amn %n 0 bm

% * , 1,2,3…//nini-i=e M b1 L1 & b2 L2 & b3 L3 &/////& bm LmConstraints

1)/ a11 L1 & a21 L2 & a31 L3 & ////////& am1 Lm ≥ .1 2)/ a12 L1 & a22 L2 & a32 L3 & ////////& am2 Lm ≥ .2

/ / / / ///////// //// n)/ a1n L1 & a2n L2 & a3n L3 & ////////& amn Lm ≥ .n

L * , i 1,2,3…//m

3 r

i - a

l

n ! a r 5 -

C o n s t r

8 A

9 L

-

v a r 5 n

c o n s t r

6eori 8ualitas


59/90

6eori 8ualitas ??..'9L 8A9L

#a6/ $

.onstraints

#in/ $

.onstraints

#in $ M B b

.onstraint B a C

B *

#a6 $ - C

.onstraint

a b

*

∑==

n

j j jC Z 1 χ

i

n

j jij b X a ≤∑

=1

miuntuk

o X j

....3,2,1=

≥

∑==

m

iiiY bW 1

j

m

iiij C Y a ≥∑

=1

nuntuk

oY i

....3,2,1 j =

≥

6 i 8 lit


60/90

6eori 8ualitas ??..

contoh

#a6/ $

.onstraints

#in/ $

.onstraints

A>I#+E ?N+E

[ ]

=

2

1 53 X

X Z

≤

18

12

4

23

20

01

2

1 X X

≥

0

0

2

1

X

X

[ ]

=

18

12

4

321 Y Y Y W

[ ] [ ]53 2320

01

321 ≥

Y Y Y

[ ] [ ]000321 ≥Y Y Y


61/90

6eori 8ualitas ??..

#a6/ $

.onstraints

#in/ $

.onstraints

asalah ri-al 0ual si-etris $ Semua variable ibatasi

non negati5 an semua batasan berupa pertiaksamaan

∑=

=n

j j jC Z

1

χ

i

n

j jij b X a ≤∑

=1

miuntuk

o X j

....3,2,1=

≥

∑=

= m

iiiY bW

1

j

m

iiij C Y a ≥∑

=1

nuntuk

oY i

....3,2,1 j =

≥

6eori 8ualitas


62/90

6eori 8ualitas ??..

contoh

#a6/ $

.onstraints

#in/ $

.onstraints

A>I#+E ?N+E

[ ]

=

2

1 53 X

X Z

≤

18

12

4

23

20

01

2

1 X X

≥

0

0

2

1

X

X

[ ]

=

18

124 321 Y Y Y W

[ ] [ ]53 2320

01

321 ≥

Y Y Y

[ ] [ ]000321 ≥Y Y Y

i li


63/90

6eori 8ualitas ??..

#+S+E+< A>I#+E>N+S@+:+:

@oe5isien ari

%1 %2 / / %n

L1 a11 a12 a13 / a1n 0 b1

L2 a21 a22 a23 / a2n 0 b2

L3 a31 a32 a33 / a3n 0 b3

/ / / / / / /

/ / / / / / /

Lm am1 am2 am3 / amn 0 bm

/

.1 .2 .3 / .n

@oe5isien 5ungsi tuuan (ma6/)

;+8BE A>I#+E ?N+E

@ o e 5 5 i s i e n

5 u n g s i

t u 2 u a n

( # i n

/ )

# + S + E + <

? N + E

@ o e 5 i s i e n a

r i

> N + S

@ + : + :

i li


64/90

6eori 8ualitas ??..

%1 %2

L1 2 ' ≥ '*

L2 3 2 ≥ *0 0

3 2,

.onto4 ;+8BE A>I#+E ?N+E

=ungsi tuuan $ #inimi7e -3%1&2,%2 (*)

8atasan$

2%1 &'%2 ≥ '* (1)

3%1 &2%2 ≥ * (2)

%1 ≥ * , %2 ≥ *


65/90

6 i 8 lit


66/90

6eori 8ualitas ??..

I#+E ?N+E

a/i-i=e ini-i=e

it4 constraint type ?ual var/ Li 0*

it4 constraint 0 type ?ual var/ Li *

it4 constraint type Li unrestricte

% * t4 constraint type

% 0 * t4 constraint 0type

% unrestricte t4 constraint type

6 i 8 lit


67/90

6eori 8ualitas ??..

I#+E ?N+E

ini-i=e a/i-i=e

it4 constraint ≥ type ?ual var/ Li ≥ *

it4 constraint 0 type ?ual var/ Li 0 *

it4 constraint type Li unrestricte

% * t4 constraint 0 type

% 0 * t4 constraint type

% unrestricte t4 constraint type

6 i 8 lit


68/90

6eori 8ualitas ??..

ri-al roble-&a+ 7 K + 1& 1* + 2 + 3

subect to

+ 1& ' + 2 0 2'

2 + 1 & + 2 & 3 + 3 13

+ 1 2 + 2 & + 3

+ 2 & 2 + 3 0 1*

+ 1 *, + 2 0 * , + 3 unrestricte

8ual roble-

Min 2' 1& 13 2 & - & 1* 4

1 & 2 2 & - K

' 1 & 2 D 2 - & 4 1*

subect to

3 2 D - & 2 4 1

1 *, 2 unrestricte, 3 0 * ,L' *


69/90

Aroperties o5 Arimal P ?ual Aroblems

1/ ?ual ari ual aala4 primal

2/ ;abel simple6 optimal yang berkaitan engan satu masala4(primal atau ual) secara langsung memberikan in5ormasilengkap tentang pemeca4an optimal untuk masala4 lainnya/

3/ Setiap pasangan pemeca4an primal an ual yang layak

:ilai tuuan alammasala4 ma6,

Q:ilai tuuan alam

masala4 min,

'/ ?alam pemeca4an optimal untuk keua masala4

:ilai tuuan alammasala4 ma6, -

:ilai tuuan alammasala4 min, M


70/90

Aroperties o5 Arimal P ?ual ……//

.onto4 $

=ungsi tuuan $ #inimi7e - %1&2 %2 (*)

8atasan$

%1 %2 ≥ 3 (1)

2%1 &3%2 ≥ (2)%1 ≥ * , %2 ≥ *

A>I#+E

Aemeca4an A>I#+E layak $ %1 3 an %2 *

:ilai tuuan A>I#+E #inimi7e - 6 3 & 2 6 * 1


71/90

=ungsi tuuan $ #a6imi7e M 3L1&L2 (*)

8atasan$

L1 &2L2 0 (1)

L1 &3L2 02 (2)

L1 ≥ * , L2 ≥ *


?N+E

Aemeca4an ?N+E layak $ L1 3 an L2 1

:ilai tuuan ?N+E ma6imi7e M 3 6 3 & 6 1 1'

1' (:IE+I #+%) 0 1 (:IE+I #I:)


72/90


Aemeca4an ?ual optimal

?ari tabel simple6 ak4ir pri-al opti-al apat i4asilkansolusi 0ual opti-al/

Dilai koefisien 0ari slack atau artificial variable paabaris 5ungsi tuuan ari tabel simple6 ak4ir primal optimal-erupakan nilai 0ual opti-al yang berkesesuaian/

.onto4 $ masala4 Arimal

#a6imi7e - 2%1&%2 (*)

8atasan %1&%2 0 1* (1)

%1&3%2 0 G (2)2%1&2%2 0 F (3)

%1 ≥ * , %2 ≥ *

Aroperties o5 Arimal P ?ual


73/90


#asala4 ?ual $

#inimi7e M 1* L1 & G L2 & F L3 (*)

8atasan L1 & L2 & 2 L3 2 (1)

L1 & 3 L2 & 2 L3 1 (2)

L1 ≥ * , L2 ≥ * , L3 ≥ *

'teration

asic!ariable

"#t.

.oe55icient o5 $>


74/90

'teration

asic!ariable

"#t.

.oe55icient o5 $>


75/90


Interpretasi ekonomi alam masala4 ?ual

C+ ?N+E (?N+E A>I.B)

#a6/ $

.onstraints

#in/ $

.onstraints

A>I#+E ?N+E

∑=

=n

j j jC Z

1

χ

i

n

1 j jij bXa =∑

=

m321i untuk oX j

....,,=≥

∑=

=m

i

iiY bW

1

j

m

iiij C Y a ≥∑

=1

n321 juntuk edunrestrict Yi....,,=



76/90


. j mewakili laba marginal ari kegiatan yang tingkat

kegiatannya 6 unit/

mewakili laba ari semua kegiatan

mewakili penggunaan sumber aya

Nntuk pemeca4an 9ptimal $ - M

e>akili nilai uangpenge-balian

Eu-lah (unit) su-ber i

Dilai uang per unitsu-ber i

∑=

n

1 j j jX

∑=

m

1i jijXa

∑∑==

=m

1iii

n

1 j j j Y bX



77/90


Variable ual Li mewakili nilai per unit sumber i/

?isebut 4arga ual atau 4arga bayangan (shad%! pri#e)

i)sumberunit!i)("sumberunit(ian)(#en$emba%m

1i∑=

=$


78/90

Signi5icance o5 ?ual Aroblem

1/ #at4ematically very important2/ .omputationally 9ne moel (wit4 5ewer constraints) is easier to solve

3/ Bconomic interpretation o5 t4e ual variable (s4aow price)

S4aow price o5 constraint i gives t4e rate o5 c4ange int4e obective 5unction per unit c4ange in t4e >


79/90

-) sensiti+it ana%sis is important.

• Many coefficients are estimated• Aant to kno8 the sensiti*ity of the optimal solution 8ith

respect to these coefficients"

Sensiti+it Ana%sis

2here are three kinds of such analysis:1" @bjecti*e function ranging %coefficient ranging& %tujuan;cost,

harga jual&

!" S *alue ranging %produk&

7" onstraint coefficient ranging %batasan&

Sensiti+it Ana%sis

Sensiti+it ana%sis is to ans/er t)e fo%%o/ing 0!estion"

Ho/ does t)e optima% so%!tion *)ange as a *oeffi*ientis +aried from its gi+en +a%!e.


80/90

* Range O($e*ti+e 1!n*tion 'oeffi*ients4'ontin!ed5


81/90

Range O($e*ti+e 1!n*tion 'oeffi*ients4'ontin!ed5

Fnitial Simplex tableau:

asic!ariab

le"#t.


$ "/$ -'/ -/ / / /

%1 "$ / 0 + / '+ 2'

%2 "'$ / ' 0 / * 132

* Range O($e*ti+e 1!n*tion 'oeffi*ients4'ontin!ed5


82/90

0inal Simplex tableau:

asic!ariab

le"#t.

.oe55icient o5 $ >


83/90

g $'oeffi*ients 4'ontin!ed5

asic

!ariable

"#t.


- %1 %2 S1 S2

$ "/$ -'/ -/-9 / / /

%1 "$ / 0 + / '+ 2'

%2 "'$ / ' 0 / * 132

I5 # 2= 1* R, w4at woul 4appen to t4e coe55icients

in t4e obective 5unction row

>ow(*) are upate 5rom t4e initial tableau to $

* Range O($e*ti+e 1!n*tion 'oeffi*ients 4'ontin!ed5


84/90

asic!ariab

le"#t.

.oe55icient o5 $ >


85/90

g $'oeffi*ients 4'ontin!ed5

asic!ariab

le"#t.


- %1 %2 S1 S2

$ "/$ -'/- 9 -/ / / /

%1 "$ / 0 + / '+ 2'

%2 "'$ / ' 0 / * 132

.ase 2$ 8asic variableM4at 4appens i5 t4e coe55icient o5 a basic obective 5unction,#j , is c4ange by an amount o5 R

I5 # 1 2*&R, w4at woul 4appen to t4e coe55icients in t4e

obective 5unction row


* Range O($e*ti+e 1!n*tion


86/90

Range O($e*ti+e 1!n*tion'oeffi*ients 4'ontin!ed5

asic

!ariable

"#t.

.oe55icient o5 $ >


87/90

'oeffi*ients 4'ontin!ed5

asic!ariab

le"#t.

.oe55icient o5 $>


88/90

*Range RHS 6a%!e

asic!ariab

le"#t.


- %1 %2 S1 S2

$ "/$ -'/ -/ / / /

%1 "$ / 0 + / '+ :9 (2'& 9 )

%2 "'$ / ' 0 / * 132

M4at 4appens i5 bi , is c4ange by an amount o5 RI5 b1 2'&R,


*Range RHS 6a%!e


89/90

g

asic!ariab

le"#t.

.oe55icient o5 $>


90/90

g

asic!ariab

le"#t.

.oe55icient o5 $ >

4 metode simplex

Documents