61

4 Mechanika sústavy hmotného bodu a tuhého telesa

Z matematiky vieme, že ťažisko štvorca sa

nachádza na priesečníku jeho uhlopriečok.

Ale ako to bude s ťažiskom telesa, ktoré nie

je symetrické? Napríklad, kde sa bude

nachádzať ťažisko písmenka L?

Základné pojmy:

podmienky rovnováhy, ťažisko sústavy hmotných bodov a tuhého telesa, moment sily,

moment hybnosti, 1. a 2. veta impulzová, zákon zachovania hybnosti, zákon zachovania

momentu hybnosti, moment zotrvačnosti, kinetická energia, práca a výkon telesa

rotujúceho okolo pevnej osi

L

62

1F

2F

Obr. 4.1

Doteraz sme riešili príklady, zaoberajúce sa pohybmi telies, ktoré sme mohli nahradiť

jedným hmotným bodom (HB). Niekedy pri počítaní nie je možné teleso nahradiť

jedným hmotným bodom. V takomto prípade teleso nahradíme sústavou hmotných

bodov alebo ho berieme do úvahy ako celok. V tejto kapitole zavedieme dva nové

pojmy. Dokonale tuhé teleso – je to teleso, ktoré za žiadnych okolností nemení svoj

tvar. Pod sústavou hmotných bodov budeme rozumieť model, v ktorom pri skúmaní

pohybu sústavy telies je každé teleso nahradené HB alebo stavebné častice telesa

považujeme za HB.

Ťažisko sústavy hmotných bodov (SHB) a tuhého telesa (TT)

Najjednoduchšiu SHB predstavuje sústava 2 HB s hmotnosťami m1 a m2. Túto sústavu

umiestnime v gravitačnom poli Zeme. Predpokladajme, že tieto HB sú pevne spojené

väzbou. Potom výsledná vnútorná interakčná sila, ktorá je daná vektorovým súčtom

všetkých vnútorných interakčných síl intF

(sú to sily, ktorými na seba navzájom pôsobia

HB danej sústavy), je nulová 0 inti FF

.

Na sústavu pôsobia len gravitačné sily 21, FF

(obr. 4.1) a teda sústava bude v pokoji, ak

na HB budú pôsobiť rovnako veľké sily opačného smeru.

Danú sústavu upevníme v bode A (obr. 4.2).

Obr. 4.2

1F

2F

A

2r

1r

63

Moment sily – M

– charakterizuje mieru otáčavého účinku síl pôsobiacich na SHB.

Bude tým väčšia, čím je vzdialenosť miesta upevnenia väčšia a čím je závažie ťažšie.

Jednotkou momentu síl je Newton krát meter, (M) = Nm.

FrM

,

sinrFM , (4.1)

kde r – je rameno sily, F je pôsobiaca sila a je uhol ktorý zviera vektor ramena sily

r

a vektor sily F

.

Pre našu sústavu platí: 21 MMM

. Ak budeme predpokladať, že 21 mm , 21 rr

a 090 , potom pre výsledný moment platí 1122 FrFrM .

Podmienky rovnováhy:

Sústava, ktorú tvorí n hmotných bodov je v pokoji, ak výslednica všetkých

vonkajších síl, ktoré na sústavu pôsobia, je nulová 01

i

n

i

F

.

Sústava, ktorú tvorí n hmotných bodov je v pokoji, ak výslednica momentov

všetkých síl, ktoré na sústavu pôsobia, je nulová 01

i

n

i

M

.

Bod v ktorom treba sústavu n hmotných bodov upevniť, aby boli splnené tieto

podmienky, sa nazýva ťažiskom sústavy. Tento bod sa chová tak, ako keby v ňom bola

sústredená celá hmotnosť sústavy hmotných bodov, resp. celá hmotnosť tuhého telesa.

Pre sústavu n hmotných bodov platí:

n

in

i

n

i rmm

m

rm

r1

ii

1

i

1

ii

T

1

, (4.2)

64

kde Tr

je polohový vektor ťažiska, ir

je polohový vektor i - teho hmotného bodu im je

jeho hmotnosť a m je celková hmotnosť sústavy.

1. veta impulzová (veta o hybnosti sústavy): vektorový súčet všetkých vonkajších síl if

pôsobiacich na sústavu hmotných bodov (tuhé teleso) sa rovná časovej zmene celkovej

hybnosti sústavy p

.

t

pfF

i

i . (4.3)

Veta o pohybe ťažiska: vektorový súčet všetkých síl pôsobiacich na sústavu sa rovná

súčinu celkovej hmotnosti sústavy a zrýchlenia jej ťažiska. To znamená, že ťažisko

sústavy sa pohybuje ako častica hmotnosti m, na ktorú pôsobí výsledná sila F.

Ti amfFi

.

(4.4)

Zákon zachovania hybnosti pre sústavu hmotných bodov a tuhého telesa: Ak je

výslednica vonkajších síl F

pôsobiacich na sústavu nulová, potom celková hybnosť

sústavy ostáva v čase konštantnou.

Matematicky to môžeme vyjadriť v tvare: .0 konštpt

pF

Moment hybnosti L

charakterizuje pohybový stav pri otáčavom pohybe. Je

definovaný ako:

prvmrL

,

sin.sin. rprmvL , (4.5)

kde r

je polohový vektor HB hmotnosti m, je uhol medzi polohovým vektorom

a vektorom hybnosti.

65

Jednotkou momentu hybnosti je kilogram krát meter lomeno sekunda (L) = kgm/s.

Medzi momentom sily a momentom hybnosti existuje súvis:

t

LfrM

, (4.6)

Ak na sústavu HB pôsobí viacero momentov hybností, potom výsledný moment

hybnosti vypočítame vektorovým súčtom:

ii

LvmrL iiii

,

(4.7)

2. veta impulzová (veta o momente hybnosti): vektorový súčet všetkých momentov síl

M

pôsobiacich na sústavu sa rovná časovej zmene celkového momentu hybnosti

sústavy.

t

LMM

i

i , (4.8)

Zákon zachovania momentu hybnosti: celkový moment hybnosti SHB, pre ktorú sa

výsledný moment síl rovná nule, ostáva konštantný - nemení sa.

Matematicky to môžeme vyjadriť v tvare: .00 konštLt

LM

Moment zotrvačnosti - I - je mierou zotrvačných vlastností otáčajúceho sa telesa,

závisí od rozloženia hmotnosti telesa vzhľadom na os otáčania.

Jednotkou momentu zotrvačnosti je kilogram krát meter štvorcový (I) = kg.m2.

Ak I je moment zotrvačnosti telesa hmotnosti m vzhľadom na os o (prechádzajúcu

bodom A) a I0 je moment zotrvačnosti toho istého telesa vzhľadom na os o0

prechádzajúcu ťažiskom, pričom obe osi sú rovnobežné a vzdialenosť medzi nimi je a

(obr. 4.3), potom platí vzťah medzi I a I0, ktorý nazývame Steinerova veta.

66

T

o0

o

a

A

Obr. 4.3

Matematicky túto vetu vyjadríme v tvare

2

0 maII . (4.9)

Tabuľka momentov zotrvačnosti

hmotný bod, hmotnosti m nachádzajúci sa vo vzdialenosti r od osi

otáčania

2.rmI

kruhová doska hmotnosti m, polomeru r, otáčajúca sa vzhľadom

na os prechádzajúcu ťažiskom, kolmo na rovinu dosky

2.2

1rmI

valec hmotnosti m, polomeru r, otáčajúci sa okolo svojej

geometrickej osi

2.2

1rmI

tenká obruč hmotnosti m, polomeru r, vzhľadom na geometrickú os 2.rmI

dutý valec hmotnosti m, s polomermi r1 a r2, vzhľadom

na geometrickú os 2

2

2

12

1rrmI

guľa hmotnosti m, polomeru r, vzhľadom na os otáčania

prechádzajúcu jej stredom

2.5

2rmI

tyč hmotnosti m, dĺžky l, vzhľadom na os otáčania prechádzajúcu jej

ťažiskom, kolmo na tyč

2.12

1lmI

67

Vzťah medzi momentom hybnosti a momentom zotrvačnosti:

.IL (4.10)

Kinetická energia rotujúceho tuhého telesa okolo pevnej osi

2

K2

1IE (4.11)

Jednotkou kinetickej energie je joule (Ek) = J.

Ak teleso koná súčasne postupný pohyb aj otáčavý pohyb okolo osi, potom celková

kinetická energia pohybujúceho sa telesa sa rovná súčtu kinetickej energie rotačného

pohybu a kinetickej energie postupného pohybu.

22

K2

1

2

1mvIE . (4.12)

Pohybová rovnica pre rotujúce teleso:

It

LM

. (4.13)

V prípade symetrického rotujúceho telesa platí skalárny tvar pohybovej

rovnice: IM .

Práca W vykonaná vonkajšími silami pri otočení telesa o uhol

.MW , (4.14)

kde M je výsledný moment pôsobiacich síl. Jednotkou práce je joule (W) = J.

Veta o kinetickej energii v prípade otáčavého pohybu tuhého telesa okolo pevnej

osi

68

2

1

2

22

1

2

1 IIW , (4.15)

kde 21, sú uhlové rýchlosti otáčania tuhého telesa na začiatku a na konci pôsobenia

momentu vonkajších síl M.

Výkon predstavuje prácu vykonanú za jednotku času. V prípade otáčavého pohybu

tuhého telesa je daný vzťahom:

Mt

WP

, (4.16)

kde je uhlová rýchlosť rotujúceho telesa.

69

o Riešené príklady

Príklad 4.1 Sedem štvorcov o strane a = 1 cm zanedbateľnej hrúbky tvorí písmeno L.

Vypočítajte súradnice jeho ťažiska.

a = 1 cm

xT = ?, yT = ?

Riešenie:

Ťažisko každého štvorca leží v priesečníku jeho uhlopriečok. To znamená, že ťažiská

daných siedmych štvorcov, ktoré sú usporiadané podľa obr. 4.4 majú súradnice:

cm 4 ,04 ,01 aT ,

cm 3 ,03 ,02 aT ,

cm 2 ,02 ,03 aT ,

cm 1 ,0 ,04 aT ,

cm 0 ,00 ,05 T ,

cm 0 ,10 ,16 T ,

cm 0 ,20 ,27 T .

Daný model siedmych štvorcov si potom môžeme zjednodušiť na sústavu siedmych

hmotných bodov, ktoré ležia v miestach príslušných ťažísk. Každý hmotný bod má

rovnakú hmotnosť, označme ju m. Je to hmotnosť jedného štvorca. Vychádzajúc

zo vzorca pre polohový vektor ťažiska

N

i

N

i

m

mr

r

1

i

1

ii

, môžeme jednotlivé súradnice xT

y

x a

a

Obr. 4.4

1.

2.

3.

4.

5. 6. 7.

70

a yT vypočítať.

cm 429,07

3

7

.2.1.0.57

1

i

7

1

ii

T

m

m

m

mmm

m

mx

x

i

i ,

cm 429,17

10

7

.0.3.1.2.3.47

1

i

7

1

ii

T

m

m

m

mmmmm

m

my

y

i

i .

Súradnice ťažiska sú cm 429,1 ;429,0 .

Príklad 4.2 Vypočítajte súradnice ťažiska útvaru, ktorý vznikne, keď z homogénnej

tenkej kruhovej dosky s polomerom m 5,0R vyrežeme štvorec so stranou a = R/2,

ktorého stred je vo vzdialenosti d = R/2 od stredu kruhovej dosky. (obr. 4.5).

R = 0,5 m

d = R/2

a = R/2

T = ?

Riešenie:

Na riešenie využijeme podmienku rovnováhy i

M 0i

(1)

Tiaž celej kruhovej dosky môžeme vyjadriť ako súčet 2 rovnobežných síl a to tiažovej

sily vyrezaného štvorca 1GF a tiažovej sily zvyšnej časti kruhovej dosky 2GF

21 GGG FFF . (2)

z d

0

GF

G2F

G1F

Obr. 4.5

x

y

71

Pre momenty síl vzhľadom na bod 0 podľa (1) platí, že 21 MM , teda

zFdF GG .. 21 (3)

Po vyjadrení sily 2GF z rovnice (2) a následnom dosadení do rovnice (3) dostaneme

zFFdF GGG ).(. 11

)(

.

1

1

GG

G

FF

dFz

(4)

Tiažové sily GF a 1GF môžeme upraviť

gRgSgmFG ...... 2 , gR

gSFG ..2

..

2

11

, kde je plošná hustota

materiálu dosky, g je tiažové zrýchlenie, S je plocha kruhu a 1S je plocha vyrezaného

štvorca. Po dosadení do rovnice (4) a vykrátení g. dostaneme

m 02,028

5,0

28

4.

.4

22

2

R

RR

dR

z

Keďže z je vzdialenosť ťažiska od počiatku súradnej sústavy, potom súradnice ťažiska

môžeme vyjadriť v tvare 0 ;02,0T m.

Súradnice ťažiska sú 0 ;02,0 m.

Príklad 4.3 Valec s hmotnosťou 15 kg sa kotúľa po vodorovnej podložke stálou

rýchlosťou veľkosti 5 m/s. Vypočítajte kinetickú energiu valca.

m = 15 kg

v = 5 m/s

EK = ?

72

Riešenie:

Kotúľajúci sa valec koná otáčavý pohyb okolo svojej geometrickej osi a súčasne koná

posuvný pohyb po vodorovnej podložke. Preto kinetická energia kotúľajúceho sa valca

pozostáva z dvoch častí

K2K1K EEE , (1)

kde K1E je kinetická energia posuvného pohybu (3.7) a K2E je kinetická energia

otáčavého pohybu (4.11).

2

K12

1mvE , (2)

2

K22

1IE , (3)

kde I je moment zotrvačnosti a je uhlová rýchlosť otáčania.

Moment zotrvačnosti valca, ktorý sa otáča okolo svojej geometrickej osi je

2.2

1RmI , (4)

kde R je polomer valca, m je jeho hmotnosť.

Uhlovú rýchlosť môžeme vyjadriť podľa vzťahu (1.20)

R

v . (5)

Po dosadení (4) a (5) do (3) dostaneme

22

2

K2 .4

1..

2

1.

2

12

vmR

vRmE

Potom pre celkovú kinetickú energiu platí:

J 25,2815.154

15.15

2

1.

4

1

2

1 2222

K vmmvE

Kinetická energia pohybujúceho sa valca je 281,25 J.

73

Príklad 4.4 Krasokorčuliar sa otáča okolo zvislej osi so stálou frekvenciou 5 s-1

,

pričom jeho moment zotrvačnosti vzhľadom na os otáčania je I0 = 3 kgm2. Ako sa

zmení jeho uhlová rýchlosť otáčania, ak roztiahnutím rúk zväčší svoj moment

zotrvačnosti na I1 = 5,5 kgm2?

f0 = 5 s-1

I0 = 3 kgm2

I1 = 5,5 kgm2

?

Riešenie:

Zmenu uhlovej rýchlosti krasokorčuliara môžeme vyjadriť v tvare

01 , (1)

kde 00 2 f . (2)

Pre otáčavý pohyb krasokorčuliara platí zákon zachovania momentu hybnosti IL

konšt., podľa ktorého sa moment hybnosti krasokorčuliara pred roztiahnutím rúk 0L

musí rovnať momentu hybnosti po roztiahnutí rúk 1L .

10 LL ,

1100 II .

Odtiaľ pre uhlovú rýchlosť otáčania krasokorčuliara po roztiahnutí rúk platí

1

00

1

001

2.

I

fI

I

I (3)

Potom po dosadení (2) a (3) do (1) dostaneme zmenu uhlovej rýchlosti

1-

0

1

00 s 27,145..25,5

5..2.32

2

f

I

fI.

Zmena uhlovej rýchlosti krasokorčuliara je -14,27 s-1

, krasokorčuliar

roztiahnutím rúk svoj otáčavý pohyb spomalil.

74

Príklad 4.5 Kotúč hmotnosti 5 kg a priemeru 0,4 m koná 1500 otáčok za minútu.

Pôsobením konštantného momentu brzdných síl sa zastaví za 20 sekúnd. Vypočítajte

veľkosť momentu brzdných síl!

m = 5 kg

d = 0,4 m ... r = d/2 = 0,2 m

f0 = 1500 min-1

= 25 s-1

t = 20 s

M = ?

Riešenie:

Pohybovú rovnicu rotujúceho kotúča môžeme vyjadriť v tvare (4.13)

.IM , (1)

kde I je jeho moment zotrvačnosti a je uhlové spomalenie.

Moment zotrvačnosti kotúča je

2.2

1rmI . (2)

Kotúč vykonáva rovnomerne spomalený otáčavý pohyb, pre ktorý platí

t.0 , (3)

kde je uhlová rýchlosť v čase t a 00 2 f je počiatočná uhlová rýchlosť.

V čase s 20t kotúč zastaví a preto 0 . Po dosadení do rovnice (3) za a 0

dostaneme

tf .20 0 .

Odtiaľ si uhlové spomalenie kotúča vyjadríme v tvare

t

f02 (4)

Potom po dosadení (2) a (4) do rovnice (1) dostaneme veľkosť momentu brzdných síl

75

Nm 785,020

25.14,3.22,0.5

2

12

2

1 202 t

fmrM

Veľkosť momentu brzdných síl je 0,785 Nm.