4. Волны в упругой среде 4.1. Примеры решения задач ·...

33

4. Волны в упругой среде

4.1. Примеры решения задач

Пример 1

Звуковые колебания, имеющие частоту ν = 500 Гц и амплитуду A = 0,25 мм,

распространяются в воздухе. Длина волны λ = 70 см. Найти скорость υ распро-

странения колебаний и максимальную скорость maxξ& частиц воздуха.

Дано:

ν = 500 Гц

A = 0,25 мм =

2,5·10-4 м

λ = 70 см = 0,7 м

Решение: 1). Скорость распространения колебаний (фазо-

вая скорость) связана с длиной λ волны и частотой колеба-

ний ν соотношением

υ=λν Следовательно, фазовая скорость

υ = 0,7·500 = 350 м/с.

υ – ?

maxξ& – ?

2). Уравнение плоской волны имеет вид

)ω⋅=ξ la k-tsin( ,

где ξ = ξ(l, t) – смещение точки, находящейся на расстоянии x от источника ко-

лебаний, в момент времени t;

A – амплитуда колеблющихся точек;

k = λπ2 – волновое число.

Скорость точек среды, в которой распространяется волна, можно найти,

продифференцировав волновое уравнение по времени:

)ωω=ξ

=ξ lAdt

dk-t(cos & .

Если )ω lk-t(cos =1, то скорость частиц в воздухе будет максимальной и

равной πν⋅=ω=ξ 2max AA&

maxξ& = 2,5·10-4·2·π·500 = 0,785 м/с.

Ответ: υ = 350 м/с; maxξ& = 0,785 м/с.

Пример 2*

Смещение от положения равновесия точки, отстоящей от источника колебаний

на расстояние l1 = 4 см, в момент времени t1 = 6

T равно половине амплитуды.

Найти длину λ бегущей волны.

Дано:

l1 = 4 см

t1 = 6/T

2/),( 11 Atx =ξ

Решение: По условию, смещение точки, находящейся на рас-

стоянии l1 от источника колебаний, в момент времени t1 равно

2/),( 11 Atx =ξ

С другой стороны, это же смещение можно выразить из урав-

нения бегущей волны

)sin(),( 1111 kltAtx −ω=ξ λ – ?

34

Приравнивая правые части обоих равенств, получаем, что

2

1)sin( 11 =−ω kltA ,

Следовательно 6

11

π=−ω klt , (1)

где T

π=ω2

– циклическая частота колебаний;

λπ

=2

k – волновое число.

Тогда с учетом того, что t1 = 6

T, выражение (1) приобретает следующий

вид:

6

2

6

21

π=

λπ

−⋅π

lT

T

Отсюда находим, что 6

12 1 =λ

l и, следовательно, длина волны

λ = 12l1 = 12·4 = 48 см.

Ответ: λ = 48 см.

Пример 3*

Найти разность фаз ϕ∆ колебаний двух точек, отстоящих от источника колеба-

ний на расстоянии 101 =l м и 162 =l м. Период колебаний 04,0=T с; скорость

распространения 300ф =υ м/с.

Решение: Смещение точки ),( tlξ , отстоящей от источника ко-

лебаний на расстояние l

в момент времени t , определяется из уравнения волны )sin(),( ltAtl −ω=ξ

где ( lt −ω ) – фаза колебаний данной точки в данный момент

времени.

Тогда фаза первой точки в момент времени t : 11 klt −ω=ϕ ,

а фаза второй точки в этот же момент времени 22 klt −ω=ϕ .

Следовательно, разность фаз этих двух точек ϕ∆ равна

)(2

)( 121221 llllk −λπ

=−=ϕ−ϕ=ϕ∆ .

)(2

12 llTф

−⋅υπ

=ϕ∆ .

π=−⋅π

=ϕ∆ )1016(04,0300

2рад, т.е. точки, колеблются в противофазе.

Ответ: π=ϕ∆ рад.

Дано:

101 =l м

162 =l м

04,0=T с

300ф =υ м/с

ϕ∆ -?

35

M

O

N lx

Стена

Пример 4

Один конец упругого стержня соединен с источником гармонических колеба-

ний, подчиняющихся закону tA ω=ξ cos , а другой его конец жестко закреплен.

Учитывая, что отражение в месте закрепления стержня происходит от менее

плотной среды, определите характер колебаний в любой точке стержня.

Решение:

)cos(1 υ−=ξx

tA ,

)cos(2 υ+=ξx

tA ,

=υ

++υ

−=ξ+ξ=ξ )cos()cos().( 21

xtA

xtAtx

=

υω

⋅ω−υω

⋅ω+υω

⋅ω+υω

⋅ω=x

tx

tx

tx

tA sinsincoscossinsincoscos

tx

A ω⋅υω

= coscos ,

,2

T

π=ω T⋅υ=λ , xx

T

T

x⋅

λπ

=⋅λ⋅

π=

υω 22

,

txAtx ωλπ

=ξ cos,2

cos),( .

При 2

λ±= mx ,...)2,1,0( =m - пучности стоячей волны ( A2±=ξ ).

При 2

)2

1(

λ+±= mx ,...)2,1,0( =m - узлы стоячей волны ( 0=ξ ).

Пример 5.

На расстоянии l=4м от источника плоской волны частотой 440=ν Гц перпен-

дикулярно ее лучу расположена стена. Определить расстояния от источника

волн до точек, в которых будут первые три узла и три пучности стоячей волны,

возникшей в результате сложения бегущей и отраженной от стены волн. Ско-

рость волны считать равной 440 м/c.

Решение: Ось x направим вдоль лу-

ча бегущей волны, а начало О коор-

динат совместим с точкой, находя-

щейся на источнике MN плоской

волны (см. рис).

С учетом этого уравнение бегущей волны запишется в ви-

де

)cos(1 kxtA −ω=ξ . (1)

Поскольку в точку с координатой x волна возвратится, пройдя дважды рас-

стояние xl − , и при отражении от стены, как среды более плотной, изменит фа-

зу на π , то уравнение отраженной волны можно записать в виде )))(2(cos(2 π+−+−ω=ξ xlxktA .

Дано: tA ω=ξ cos

Среда менее

плотная

?),( −ξ tx

Дано:

l=4м

440=ν Гц

440 =υ м/с

?узлов −x

?пучностей −x

36

После тригонометрических преобразований получим

))2(cos(2 xlktA −−ω−=ξ . (2)

Уравнение стоячей волны найдем, складывая уравнения (1) и (2):

))2(cos()cos( xlktAkxtA −−ω−−ω=ξ .

Воспользовавшись формулой разности косинусов, получим

)sin()(sin2 kltxlkA −ω−−=ξ .

Так как выражение )(sin xlkA − не зависит от времени, то, взятое по моду-

лю, оно может рассматриваться как амплитуда стоячей волны:

)(sin2ст xlkAA −= . (3)

Зная выражение амплитуды (3) стоячей волны можно найти координаты

узлов и пучностей.

Узлы возникают в тех точках, где 0ст =A . Это равенство выполняется для

точек, координаты nx которых удовлетворяют условию

nxlk n π=− )( ,...)2,1,0( =n . (4)

Учитывая, что υπν

=λπ

=22

k (5)

выражение (4) перепишется в виде:

nxl n πυ=−πν )(2 ,

Откуда находим координаты узлов:

v

nlxn

2

υ−= , n = 0,1,2,3…

Подставив сюда значения νυ,,l и ,2,1,0=n найдем координаты первых

трех узлов:

м40 =x ; м61,31 =x ; м23,32 =x .

Пучности возникают в тех точках, где амплитуда (3) стоячей волны макси-

мальна: AxlkA 2)'(sin2 =−

Отсюда следует, что

,2)12()( ' π

+=− nxlk n ,...)2,01( =n (6)

С учетом (5) выражение (6) перепишется в виде

υ+−υ=υ )12(44 ' nlxn

откуда находим координаты пучностей

νυ+−= 4/)12(' nlxn , n = 0,1,2,3,…

Подставив сюда значения νυ,,l и ,2,1,0=n получаем координаты первых

трех пучностей:

м81,3'

0 =x ; м42,3'

1 =x ; м04,3'

2 =x .

Изобразим на рисунке границы максимальных смещений точек среды в за-

висимости от их координат.

37

M

O

Nx•

2x 1x0x'

2x'

0x'

1x

...,, 210 xxx - координаты узлов стоячей волны;

...,, '

2

'

1

'

0 xxx - координаты пучностей стоячей волны.

Ответ: координаты узлов: м40 =x ; м61,31 =x ; м23,32 =x ;

координаты пучностей: м81,3'

0 =x ; м42,3'

1 =x ; м04,3'

2 =x .

38

4.2. Задачи для самостоятельного решения

1. От источника колебаний распространяется волна вдоль прямой линии. Ам-

плитуда A колебаний равна 10 см. Найти смещение от положения равнове-

сия точки, удавленной от источника на расстояние λ=4

3l , в момент, когда

от начала колебаний прошло время Tt 9,0= .

( 88,5=ξ см)

2. Волна распространяется в упругой среде со скоростью 100=υ ì/c . Наи-

меньшее расстояние l∆ между точками среды, фазы колебаний которых

противоположны, равно 1м. Определить частоту колебаний.

( 50=ν Гц )

3. Определить разность фаз ϕ∆ колебаний источника волн, находящегося в уп-

ругой среде, и точки этой среды, отстоящей на расстоянии 2=l м от источ-

ника. Частота колебаний 5=ν Гц, волны распространяются со скоростью

40=υ м/с.

)рад2

(π

=ϕ∆

4. Плоская звуковая волна имеет период T=3 с, амплитуду А=0,2 мм, и длину

волны 2,1=λ м. Для точек среды, удаленных от источника колебаний на рас-

стояние 2=l м, найти: 1) смещение от положения равновесия ),( tlξ в момент

7=t мс; 2) скорость ⋅

ξ и ускорение ⋅⋅

ξ для того же момента времени. Началь-ную фазу колебаний принять равной нулю.

( 1,0−=ξ мм ; 363,0=ξ⋅

м/c ; 439,0=ξ⋅⋅

2км/с )

5. Плоская звуковая волна возбуждается источником колебаний частоты

200=ν Гц. Амплитуда A колебаний источника равна 4 мм. Написать урав-

нение колебаний источника ),0( tξ , если в начальный момент времени сме-

щение точек источника максимально. Найти смещение ),( tlξ точек среды,

находящихся на расстоянии 100=l см от источника, в момент 1,0=t с. Ско-

рость звуковой волны принять равной 300 м/c. Затуханием пренебречь.

( ( ) ( )tAt πν=ξ 2cos,0 , 2−=ξ мкм)

6. Задано уравнение плоской волны )2200cos(6,0),( lttl −π=ξ см. Определить 1)

частоту ν колебаний; 2) фазовую скорость υ и длину волны λ ; 3) макси-

мальные значения скорости max

⋅

ξ и ускорения max

⋅⋅

ξ колебаний частиц среды.

( 100=ν Гц; 14,3=λ м; 314=υ м/c; 14,3max =ξ⋅

м/c; 3

max 1097,1 ⋅=ξ⋅⋅

2м/с )

39

7. Стоячая волна образуется при наложении бегущей звуковой волны и волны,

отраженной от границы раздела сред, перпендикулярной направлению рас-

пространения волны. Найти положения (расстояния от границы раздела

сред) узлов и пучностей стоячей волны, если отражение происходит от сре-

ды менее плотной. Скорость распространения звуковых колебаний равна

340м/с и частота 4,3=ν кГц.

;5,2( узлов =x 7,5; 12,5 см;… ;0пучностей =x 5; 10 см,..)

8. Стоячая волна образуется при наложении бегущей звуковой волны и волны,

отраженной от границы раздела сред, перпендикулярной направлению рас-

пространения волны. Найти положения узлов и пучностей стоячей волны,

если отражение происходит от среды более плотной. Скорость распростра-

нения звуковых колебаний равна 340м/с и частота 4,3=ν кГц.

;5,2( пучностей =x 7,5; 12,5 см,.. ;0узлов =x 5; 10 см,..)

9. Определить длину λ бегущей волны, если в стоячей волне расстояние l меж-ду первой и седьмой пучностями равно 15см.

( 5=λ см)

10. Определить длину λ бегущей волны, если в стоячей волне расстояние меж-ду первым и четвертым узлом равно 15см.

( 10=λ см)

11. Найти положение узлов и пучностей и начертить график стоячей волны, ес-

ли отражение происходит от менее плотной среды. Длина бегущей волны

16=λ см.

;4( узлов =x 12; 20 см,.. ;0пучностей =x 8; 16 см,..)

12. Найти положение узлов и пучностей и начертить график стоячей волны, ес-

ли отражение происходит от более плотной среды. Длина бегущей волны

16=λ см.

( ,...)20;12;4см,..16;8;0 узловпучностей смxx ==

40

.1 .2 .4 .8W

0x

nW

0 0 0x

nW

x x

maxKW

5. Контрольные задания

5.1. Незатухающие механические и электромагнитные колебания.

Сложение колебаний

1.1. Ниже под номерами 1, 2, 4 приведены графики зависимости волной W и

потенциальной Wn энергии материальной точки от смещения x, а под номе-

ром 8 – график зависимости максимальной кинетической энергии Wк max от

времени t для материальной точки.

Какие графики могут соответствовать незатухающим гармоническим колебани-

ям материальной точки? Укажите сумму их номеров.

1.2 Материальная точка совершает незатухающие гармонические колебания

вдоль оси Ox. Для нее в произвольный момент времени t считаются, извест-

ными следующие величины:

1. x - смещение (координата), ( 0≠x )

2. Vx - проекция скорости на ось,

4. F - модуль результирующей силы, действующей на точку,

8. Wк - кинетическая энергия.

Выразите угловую частоту 0ω колебаний точки через приведенные выше

величины. Какие из них вошли в расчетную формулу? Укажите сумму их

номеров.

1.3 Уравнение колебаний материальной точки массой 10=m г имеет вид

)45

sin(5π

+π

= tx см.

Найти максимальную силу, действующую на точку Fmax, и полную энергию

W колеблющейся точки.

1.4 На рис. под номерами 1, 2 изображены траектории результирующего дви-

жения при сложении двух взаимно перпендикулярных гармонических коле-

баний, а под номерами 4, 8 - векторные диаграммы сложения гармонических

колебаний одного направления и одинаковой частоты ( 21,→→

AA - векторы ам-

парабола

41

y

0 x

.1y

0 x

.2

0=pAr

.4

•2Ar

1Ar

.8

1Ar

045 090

pAr

плитуд складываемых колебаний; ,p→

A - вектор амплитуды результирующего

колебания).

а) для каких случаев разность ϕ∆ фаз складываемых колебаний равна 2/π ?

Укажите сумму их номеров.

б) для каких случаев амплитуды 1A и 2A складываемых колебаний одинако-

вы? Укажите сумму их номеров.

1.5 Напряжение на конденсаторе в колебательном контуре (R=0) меняется по

закону )cos( 00 ϕ+ω= tC

qU m , где

1. mq – амплитуда заряда на обкладках конденсатора;

2. C – емкость конденсатора;

4. 0ω – собственная частота колебаний;

8. −ϕ0 начальная фаза колебаний.

Укажите сумму номеров величин, с помощью которых можно определить

амплитуду илы тока mI в контуре.

1.6. В колебательном контуре заряд конденсатора изменяется по закону

tqq m ω= cos , где 4=mq мКл, 410=ω рад/с. Чему равна энергия эW электри-

ческого поля конденсатора в момент времени ?8/Tt = T – период колеба-

ний. Индуктивность контура 2=L мГн. Сопротивлением контура пренеб-

речь.

42

0 t

.1

0 t

.2

0 t

.4

0 t

.8

Незатухающие механические и электромагнитные колебания.


2.1 Ниже приведены графики зависимости смещения, скорости, потенциальной

и кинетической энергии материальной точки, начинающей совершать гармони-

ческие колебания в момент времени t = 0. Обозначение вертикальных осей не

указано.

Какой график соответствует смещению материальной точки? Какой график

соответствует кинетической энергии материальной точки? Укажите сумму

их номеров.

2.2. Для незатухающих гармонических колебаний пружинного маятника из-

вестны следующие величины:

1. Wк – кинетическая энергия маятника в момент времени t (Wк ≠ 0),

2. Wп – его потенциальная энергия в этот же момент времени,

4. k – жесткость пружины,

8. ω0 – угловая частота колебаний маятника.

Выразите модуль F упругой силы, действующей на маятник в момент вре-

мени t, через приведенные выше величины. Какие из них вошли в расчетную

формулу? Укажите сумму их номеров.

2.3. Максимальная скорость точки, совершающей гармонические колебания,

равна maxx& = 10 см/с, максимальное ускорение maxx&& = 100 см/с2. Найти цик-

лическую частоту ω колебаний, их период T и амплитуду A. Написать урав-

нение колебаний, приняв начальную фазу равной нулю.

2.4. Материальная точка участвует в двух взаимно перпендикулярных колеба-

ниях. Траектория ее результирующего движения – окружность радиуса

R=0,08 м. Определите амплитуды A1 и A2 и разность фаз ∆φ складываемых

колебаний. Предположим, что эти же два колебания будут происходить

вдоль одного направления с теми же амплитудами A1, A2 и той же разностью

43

фаз ∆φ. Определить амплитуду Ap получаемого при этом результирующего

колебания.

2.5. Известны уравнения незатухающих колебаний в двух контурах с разными

индуктивностями и одинаковыми емкостями. В каком случае индуктивность

контура меньше и во сколько раз?

1. q = 4cos(200πt + π), мкКл. q = 6cos400πt, мкКл.

2.6. В колебательном контуре с индуктивностью L = 10-3 Гн происходят сво-

бодные гармонические колебания. При этом максимальное значение силы

тока и заряда на обкладках конденсатора соответственно равны Im = 1 А,

qm = 10-6 Кл. Какова емкость C этого контура?

44

0 x

F .1

0 x

W .2

0 x

nW .4

0 x

nW .8

парабола



3.1. Ниже под номерами 2, 4, 8 приведены графики зависимости от смещения x

полной W и потенциальной Wп энергии материальной точки, а под номером 1 –

модуля F результирующей силы F , действующей на материальную точку.

Какие графики соответствуют гармоническим колебаниям материальной

точки? Укажите сумму их номеров.

3.2. Материальная точка совершает незатухающие гармонические колебания

вдоль оси Ox. Для нее считаются известными следующие величины:

1. x – смещение точки в произвольный момент времени t (x ≠ 0);

2. ax – проекция на ось Ox ускорения точки в этот же момент времени;

4. W – полная механическая энергия точки;

8. k – жесткость системы.

Выразите массу m материальной точки через эти величины. Какие из них

вошли в расчетную формулу? Укажите сумму их номеров.

3.3. Начальная фаза гармонического колебания равна нулю. При смещении точ-

ки от положения равновесия x1 = 2,4 см скорость точки равна 1x& = 3 см/с, а

при смещении x2 = 2,8 см скорость равна 2x& = 2 см/с. Найти амплитуду A и

период T этого колебания.

3.4. Ниже под номерами 4, 8, 16 изображены траектории результирующего

движения при сложении двух взаимно перпендикулярных колебаний, а под но-

мерами 1, 2 – векторные диаграммы сложения гармонических колебаний одно-

го направления и одинаковой частоты ( 1A , 2A – векторы амплитуд складывае-

мых колебаний; pA – вектор амплитуды результирующего колебания).

45

.1

1Ar

030 090

pAr

.2

•2Ar

1Ar

y

0 x

.4y

0 x

.8

045

y

0 x

.16

а) для каких случаев разность фаз ∆φ складываемых колебаний равна 2

π?

Укажите сумму их номеров;

б) для каких случаев амплитуды A1 и A2 складываемых колебаний не равны

друг другу? Укажите сумму их номеров.

3.5. Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью L = 10 мкГн и

конденсатора емкостью C = 1 нФ. Максимальное напряжение Um на обклад-

ках конденсатора равно 100 В. Пользуясь приведенными данными, запишите

уравнение изменения заряда на обкладках конденсатора в зависимости от

времени. Сопротивлением контура пренебречь.

3.6. Максимальное напряжение на конденсаторе колебательного контура Um =

80 В. Определить максимальную энергию Wэл max электрического поля кон-

денсатора, если индуктивность контура L= 10-2 Гн, период колебаний

T=2π·10-3 с. Сопротивлением контура пренебречь.

46

0 t

.2

0 t

.4

0 t

.8

0 t

.1



4.1. Ниже приведены графики зависимости смещения, скорости, потенциальной

и кинетической энергии материальной точки, начинающей совершать гар-

монические колебания в момент времени t = 0. Обозначение вертикальных

осей не указано.

Какой график соответствует скорости материальной точки? Какой график

соответствует потенциальной энергии материальной точки? Укажите сумму

их номеров.

4.2. Материальная точка совершает незатухающие гармонические колебания

вдоль оси Ox. Для нее в произвольный момент времени t считаются известными

следующие величины:

1. Vx – проекция скорости на ось Ox (в момент t: Vx ≠ 0),

2. x– смещение (координата),

4. F – модуль результирующей силы, действующей на точку,

8. Wк – кинетическая энергия точки.

Через какие из этих величин можно выразить потенциальную энергию Wп точки

в момент времени t? Укажите сумму их номеров.

4.3. Точка совершает гармоническое колебание. Период колебаний T= 2 с, ам-

плитуда A= 50 мм, начальная фаза φ0 = 0. Найти скорость x& точки в момент

времени t, когда смещение x точки от положения равновесия равно 25 мм.

4.4. Два одинаково направленных гармонических колебания одного периода с

амплитудами A1 = 4 см и A2 = 3 см складываются в одно колебание с амплиту-

дой Ap = 5 см. Какова будет траектория результирующего движения, если эти

же колебания будут происходить во взаимно перпендикулярных направлениях

с теми же амплитудами и той же разностью фаз?

1. Эллипс. 2. Прямая линия. 4. Окружность. 8. Сложная фигура.

Для определения разности фаз складываемых колебаний используйте фор-

мулу для амплитуды результирующего колебания, полученного при сложе-

нии двух колебаний одинакового направления и частоты.

47

4.5. Известны уравнения изменения разности потенциалов на обкладках кон-

денсатора в идеальном колебательном контуре (R = 0) с разными емкостями,

но одинаковыми индуктивностями. В каком случае емкость контура больше?

1. U = 30cos(10πt + 2

π), В. 2. U = 40cos8πt, В.

4.6. В идеальном колебательном контуре заряд конденсатора изменяется по за-

кону q = qmcosωt, где qm = 8 мКл, ω = 105 рад/с. Чему равна энергия Wm маг-

нитного поля этого контура в момент времени t = 8

T? T – период колебаний

в контуре. Индуктивность контура L = 1 мГн.

48

0t

.1

te β2−

0 t

.2

te β−

0t

.4

экспонента

0

.8

t

t

5.2. Затухающие и вынужденные колебания

1.1. Ниже приведены графики зависимости амплитуды, и энергии от времени t

при различных видах механических колебаний, происходящих в замкнутых

системах. Обозначение вертикальных осей не указано (β – коэффициент зату-

хания колебаний).

.

Какой график может соответствовать зависимости амплитуды колебаний от

времени, если колебания происходят в неконсервативной системе?

1.2. Уравнение затухающих колебаний материальной точки имеет вид

x = A0e-βtcos(ωt + φ0),

где A0 = 0,01 м, β = 6 с-1, φ0 =

4

π.

Чему равна частота ω затухающих колебаний, если логарифмический декре-

мент затухания колебаний λ = 0,001?

1.3. Период затухающих колебаний в колебательном контуре равен T = 4·10-5 с.

При каком логарифмическом декременте затухания λ амплитуда Um напря-

жения на конденсаторе за время t = 10-3 с уменьшится в e раз (e – основание

натурального логарифма)?

1.4. Ниже приведены уравнения затухающих электромагнитных колебаний. В

каком случае период собственных колебаний колебательного контура наи-

меньший?

1. q = q0e-βtcosωt, q0 = 10

-8 Кл, β = 2 с

-1, ω = 2π рад/с.

2. q = q0e-βtcos(ωt + φ0), q0=10

-4 Кл, β = 4 с

-1, ω=2π рад/с, φ0 =

2

π.

4. U = U0e-βtcosωt, U0 = 10

-6 В, β = 1 с

-1, ω = 4π рад/с.

8. U = U0e-βtcos(ωt + φ0), U0 = 10

-2 В, β = 3 с

-1, ω=4π рад/с, φ0=

2

π.

49

A

0Ω

.4

.1

.2

0ω

1.5. Логарифмический декремент затухания колебаний маятника λ = 0,003. Оп-

ределить число N полных колебаний, которые должен сделать маятник, что-

бы амплитуда колебаний уменьшилась в два раза?

1.6. На рисунке приведены графики зависимости ам-

плитуды A вынужденных колебаний от частоты Ω

вынуждающей силы для трех систем с различными

значениями коэффициента затухания колебаний β и

одинаковой частотой ω0 собственных незатухающих

колебаний.

Для какой системы логарифмический декремент за-

тухания наибольший?

50

0t

.1


0

.2

0t

.4


0t

.8

Затухающие и вынужденные колебания

2.1. Ниже приведены графики зависимости потенциальной Wп и максималь-

ной кинетической Wк max энергий от времени t при различных видах механи-

ческих колебаний. Обозначения вертикальных осей не указаны.

Какой график может соответствовать зависимости потенциальной Wп энер-

гии системы от времени в случае колебаний, происходящих в неконсерва-

тивной системе?

2.2. Уравнение затухающих колебаний материальной точки имеет вид

x = A0e-βtcos(ωt + φ0).

Во сколько раз уменьшится полная механическая энергия точки через время

t = 10 с , если коэффициент затухания β = 0,1 с-1?

2.3. Колебательный контур состоит из катушки с индуктивностью L = 2,5 мГн и

конденсатора емкости C = 25 мкФ. При каком наименьшем значении сопро-

тивления Rкр контура в нем будет наблюдаться апериодический разряд, т.е.

ω= 0.


каком случае логарифмический декремент затухания наибольший?


-8 Кл, β = 1 с

-1, ω = 4π рад/с.


-6 Кл, β = 1 с

-1, ω = 2π рад/с.

4. U = U0e-βtcosωt, U0 = 2 В, β = 4 с

-1, ω = π рад/с.

8. U = U0e-βtcos(ωt + φ0), U0 = 5 В, β = 2 с

-1, ω=2π рад/с, φ0=

2

π.

2.5. Чему равна длина математического маятника, если логарифмический

коэффициент затухания λ равен 0,01, а коэффициент затухания β=2 с-1?

2.6. На рисунке приведены графики зависимости амплитуды A вынужденных

колебаний от частоты Ω вынуждающей силы для четырех систем с различными

значениями коэффициента затухания колебаний β и одинаковой частотой ω0

собственных незатухающих колебаний.

В каком случае амплитуда Fm вынуждающей силы максимальна?

51

A

0Ω

.4

.2

0ω

.1

.8

Для какой системы коэффициент затухания β наи-

меньший?

Укажите сумму номеров соответствующих графиков.

52

0 t

.1


0t

.2


0

.4

t 0 t

.8


3.1. Ниже приведены графики зависимости кинетической Wк и максимальной

потенциальной Wп max энергий от времени t при различных видах механических

колебаний. Обозначения вертикальных осей не указаны.

Какой график может соответствовать зависимости максимальной потенци-

альной Wп max энергии системы от времени в случае затухающих колебаний?

3.2 Уравнение затухающих колебаний материальной точки имеет вид

x = A0e-βtcos( 22

0 β−ω t + φ0),

где A0 = 10 см, ω0 = 10 рад/с.

Чему равен период T колебаний этой точки, если коэффициент затухания

колебаний β = 8 с-1?

3.3. Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью L = 10 мГн,

конденсатора емкостью C = 0,1 мкФ и резистора сопротивлением R = 20 Ом.

Определите период колебаний T контура и логарифмический декремент за-

тухания λ.

3.4. В каком случае время релаксации затухающих электромагнитных колеба-

ний наибольшее?


-8 Кл, β = 2 с

-1, ω = 4π рад/с.


-6 Кл, β = 2 с

-1, ω = 6π рад/с.


-6 В, β = 1 с

-1, ω = 2π рад/с.


-8 В, β = 3 с

-1, ω = 2π рад/с.

3.5. Через какое время амплитуда колебаний, совершаемых пружинным маят-

ником, уменьшится в 3 раза, если период T незатухающих колебаний равен

4с, а логарифмический декремент затухания λ равен 0,5?

53

3.6. Два электрических колебательных контура

имеют одинаковые частоты собственных незату-

хающих колебаний (ω01 = ω02 = ω0). На рисунке

приведены графики зависимости амплитуды на-

пряжения Um на конденсаторе от частоты Ω

внешнего напряжения.

Какой контур обладает большей индуктивно-

стью, если R1 = R2?

54

0 t

.1

te β2−

0 t

.2

te β−

0t

.4экспонента

0

.8


4.1. Ниже приведены графики зависимости амплитуды и энергии от времени t

при различных видах механических колебаний, происходящих в замкнутых

системах. Обозначение вертикальных осей не указано (β – коэффициент зату-

хания колебаний).

Какой график может соответствовать полной энергии затухающих колеба-

ний?

4.2. Уравнение затухающих колебаний имеет вид

x = A0e-βtcos( 22

0 β−ω t+ φ0),

где A0 = 1 см, ω0 = 10 рад/с.

Чему равен логарифмический декремент затухания колебаний λ, если β=8с-1?

4.3. Колебательный контур имеет емкость C = 10-9 Ф и индуктивность L=4·мГн.

Логарифмический декремент затухания λ = 0,005. За какое время t вследст-

вие затухания потеряется 75% энергии контура? Считать, что частота коле-

баний ω в контуре равна частоте ω0 незатухающих колебаний.


каком случае время релаксации наибольшее?


-8 Кл, β = 2 с

-1, ω = 4π рад/с.


-6 Кл, β = 1 с

-1, ω = 2π рад/с.

4. U = U0e-βtcosωt, U0 = 2 В, β = 4 с

-1, ω = π рад/с.

8. U = U0e-βtcos(ωt + φ0), U0 = 5 В, β = 2 с

-1, ω=2π рад/с, φ0=

2

π.

4.5. Гиря массой m = 500 г подвешена к спиральной пружине и совершает упру-

гие колебания в некоторой среде. Амплитуда колебаний уменьшилась в n = 2

раза за N = 99 полных колебаний маятника. Определить жесткость k пружи-

ны маятника.

55

4.6. Частица совершает вынужденные колебания

под действием внешней вынуждающей силы. Коэф-

фициент затухания колебаний частицы β.

На рисунке под номером 1 приведен график зависи-

мости амплитуды A колебаний от частоты Ω выну-

ждающей силы.

Какой из трех других графиков будет соответство-

вать зависимости A(Ω), если коэффициент затуха-

ния колебаний β уменьшится?

56

01x

2x

x

ξ(x)

5.3. Волны

1.1. В упругой среде распространяется плоская монохроматическая продольная

волна. Ниже стрелками указаны направления колебаний частиц среды.

В каких случаях вектор скорости υ волны может лежать в плоскости xOy? Укажите сумму номеров этих диаграмм.

1.2. В упругой среде распространяется механическая волна от источника, начи-

нающего совершать незатухающие гармонические колебания в момент вре-

мени t = 0.

Известны следующие величины:

1. ∆x – расстояние между выделенной частицей среды и источником коле-

баний,

2. t0 – момент начала колебаний этой частицы,

4. A – амплитуда волны,

8. λ – длина волны.

С помощью приведенных выше величин получите формулу для разности фаз

∆φ колебаний выделенной частицы среды и источника колебаний. Какие из

них вошли в расчетную формулу? Укажите сумму их номеров.

1.3. Найти смещение ξ от положения равновесия точки, отстоящей от источника

колебаний на l = 6

λ, для момента t =

3

T , если амплитуда колебаний A = 10 см.

1.4. На рисунке приведены графики смещения

частиц среды в стоячей волне для двух раз-

личных моментов времени.

Чему равна (в СИ) разность фаз ∆φ колебаний

частиц с координатами x1 и x2?

.1 .2 .4 .8z z z z

y y y y

x x x x

57

1.5. В среде с магнитной проницаемостью µ = 1 и

диэлектрической проницаемостью ε = 9 в по-

ложительном направлении оси Oy распростра-

няется плоская электромагнитная волна.

На рисунке приведен график зависимости от

времени проекции Ez на ось Oz напряженности

электрического поля волны в произвольной

точке оси Oy. Определите длину волны λ в

среде.

1.6. Определите амплитуду вектора Пойнтинга S этой волны.

58

Волны

2.1. В упругой среде распространяется плоская мо-

нохроматическая волна. В начальный момент

времени t = 0 все частицы среды находились в

покое. На рис. приведен график зависимости от

времени смещения ξ частицы, отстоящей от ис-

точника колебаний на расстоянии x = 2 м. Чему

равна длина волны λ?

2.2. Чему равна (в СИ) разность фаз ∆φ колебаний частиц среды, отстоящих от

источника колебаний на расстояниях x1 = 2 м и x2 = 4 м?

2.3. Уравнение незатухающих колебаний дано в виде ξ = 10sin0,5ωt , см. 1). Написать уравнение волны, если скорость распространения колебаний

υ= 300 м/с. 2). Написать уравнение колебаний для точки, отстоящей на рас-стоянии l = 600 м от источника колебаний.

2.4. В упругой среде возникла стоячая волна. Верно ли, что…

1. … амплитуда колебаний всех частиц одинакова?

2. … расстояние между соседними пучностями равно 2

λ?

4. … все частицы среды одновременно проходят положение равновесия?

8. … все частицы среды колеблются в одинаковой фазе?

На какие вопросы Вы ответили «да»? Укажите сумму их номеров?

2.5. Ниже стрелками указаны векторы скорости υr и векторы Умова-Пойнтинга

S плоской электромагнитной волны

.

В каких случаях плоскость векторов E и B совпадает с плоскостью xOy?

Укажите сумму номеров этих диаграмм.

z z z z

y

z

y y y x x x x

S

S

υr

υr

59

2.6. В среде распространяется плоская электромагнитная волна. Известны сле-

дующие параметры волны и характеристики среды:

1. ε – диэлектрическая проницаемость среды,

2. ωм – плотность энергии магнитного поля волны,

4. υ– скорость волны, 8. ω – угловая частота волны.

Получите выражение для модуля вектора магнитной индукции B волны

только через приведенные выше величины и константы ε0, µ0, c. Укажите

сумму номеров величин, вошедших в расчетную формулу.

60

Волны

3.1. На рисунке приведена моментальная «фото-

графия» модели плоской поперечной гармони-

ческой волны в момент времени t =4 с. Источ-

ник колебаний находится в точке с координатой

x = 0. В начальный момент времени (t =0) все

частицы среды находились в покое. Чему равна

скорость υраспространения волны?

3.2. В упругой среде распространяется механическая волна от источника, начи-

нающего совершать незатухающие гармонические колебания в момент вре-

мени t = 0. Считаются известными следующие величины:

1. ∆x – расстояние между точкой среды и источником колебаний,

2. t0 – момент начала колебаний этой частицы,

4. T – период волны,

8. A – амплитуда волны.

Через эти величины выразите длину волны λ. Укажите сумму номеров вели-

чин, вошедших в расчетную формулу.

3.3. Определить скорость υраспространения волны в упругой среде, если раз-ность фаз ∆φ двух точек среды, отстоящих друг от друга на расстоянии

∆x=10 см, равна 3

π. Частота колебаний равна ν = 25 Гц.

3.4. На рисунке приведен график модуля амплиту-

ды стоячей волны от координаты x.

Чему равны амплитуды A бегущей и отражен-

ной волн, при наложении которых была получе-

на эта стоячая волна? Определить длину бегу-

щей волны.

3.5. Ниже под номерами 1, 8 указаны векторы напряженности E электрическо-

го и индукции B магнитного полей, а под номерами 2, 4 – векторы Умова-

Пойнтинга S плоской электромагнитной волны.

ξ,м

0,02

-0,02

0 6 12 x,м

|Aст|, м

x, м

0 3 6 9

10

z z z z

x x x x

y y y y E

EE

B

B S S

61

В каких случаях электромагнитная волна распространяется в положитель-

ном направлении оси Oy? Укажите сумму номеров соответствующих диа-

грамм.

3.6. В среде с магнитной проницаемостью µ = 1 и

диэлектрической проницаемостью ε = 9 в по-

ложительном направлении оси Oy распростра-

няется плоская электромагнитная волна.

На рис. приведен график зависимости проек-

ции Bx на ось Ox индукции магнитного поля

волны от координаты y в произвольный момент

времени t.

Определите период T волны.

Bx, нТл

0

4

1 2 y, м

62

Волны

4.1. В упругой среде распространяется плоская монохроматическая волна. Ни-

же под номерами 1, 2 изображены направления вектора скорости υr поперечной

волны, а под номерами 4, 8 – направления вектора скорости υr продольной вол-

ны.

В каких случаях колебания частиц среды могут происходить вдоль оси Oy?

Укажите сумму номеров этих диаграмм.

4.2. В упругой среде распространяется плоская

монохроматическая волна. На рисунке приве-

дены моментальные «фотографии» волны в

моменты времени t1 и t2, причем t2 - t1= 1 с.

Чему равна максимальная скорость колебания

частицы среды?

Чему равна скорость распространения волны?

4.3. Найти смещение от положения равновесия точки ξ, отстоящей от источника

колебаний на l = 12

λ, для момента t =

6

T. Амплитуда колебаний A = 0,05 м.

4.4. Стоячая волна образовалась наложением бегу-

щей и отраженной волн с длиной волны λ =14 м.

На рисунке приведены графики смещения двух

частиц среды в зависимости от времени. Чему

равно минимальное расстояние ∆x между этими

частицами?

4.5. В среде распространяется плоская электромагнитная волна. Известны сле-

дующие параметры волны и характеристики среды:

1. ε – диэлектрическая проницаемость среды,

2. µ – магнитная проницаемость среды,

4. ω – угловая частота волны,

8. Eм – амплитуда напряженности электрического поля волны.

z z z z

y y y y

x x x x

υr

υr

υr

υr

ξ

2A

0

-2A t

1 2

ξ, м

t1 t2

x, м 1 3 5

0

0,01

63

Получите выражение для длины волны λ в среде через приведенные выше

величины и константы ε0, µ0, c. Укажите сумму номеров величин, входящих

в расчетную формулу.

4.6. Получите выражение для амплитудного значения Sm вектора Умова-

Пойнтинга через приведенные выше величины и константы ε0, µ0, c. Какие

из величин вошли в расчетную формулу? Укажите сумму номеров.

64

Оглавление

1. Список основных формул 3

2. Незатухающие механические и электромагнитные колебания. Сложение

колебаний. 8

2.1. Примеры решения задач 8

2.2. Задачи для самостоятельного решения 17

3. Затухающие механические и электромагнитные колебания 21



4. Волны в упругой среде 33



5. Контрольные задания 40

5.1. Незатухающие механические и электромагнитные колебания.

Сложение колебаний. 40

5.2. Затухающие механические и электромагнитные колебания 48

5.3. Волны 56

65

Физика:

Колебания и волны

Модуль5

Рабочая тетрадь

Составители Ромашева Людмила Федоровна

Андреева Анна Григорьевна

Редактор Н.П. Кубыщенко

Подписано в печать 22.10.2006 Формат 60×84 1/16 Бумага типографская Офсетная печать Усл. печ. л. 2,91

Уч.-изд. л. 3,40 Тираж Заказ Цена ″С″

ООО ″Издательство УМЦ УПИ″ 620002, Екатеринбург, Мира, 17

4. Волны в упругой среде 4.1. Примеры решения задач ·...

Documents