37 - estatistica aplicada a administração

7/31/2019 37 - Estatistica aplicada a Administrao

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Prof. Marcelo Tavares

Estatstica Aplicada Administrao

Estatstica Aplicada Administrao


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Copyright 2007. Todos os direitos desta edio reservados ao Sistema Universidade Aberta do Brasil. Nenhuma parte deste material

poder ser reproduzida, transmitida e gravada, por qualquer meio eletrnico, por fotocpia e outros, sem a prvia autorizao, por escrito,

do autor.


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PRESIDENTE DA REPBLICA Luiz Incio Lula da Silva

MINISTRO DA EDUCAOFernando Haddad

SECRETRIO DE EDUCAO A DISTNCIACarlos Eduardo Bielschowsky

DIRETOR DO DEPARTAMENTO DE POLTICAS EM EDUCAO A DISTNCIA DPEAD Hlio Chaves Filho

SISTEMA UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASILCelso Costa

COMISSO EDITORIAL DO PROJETO PILOTO UAB/MEC Marina Isabel Mateus de Almeida (UFPR)

Teresa Cristina Janes Carneiro (UFES) Antonio Roberto Coelho Serra (UEMA)

Jonilto Costa Sousa (UnB)Vicente Chiaramonte Pires (UEM)

Ozrio Kunio Matsuda (UEM) Anderson de Barros Dantas (UFAL)

ORGANIZAO DO CONTEDOProf. Marcelo Tavares

PROJETO GRFICO Annye Cristiny Tessaro

Mariana Lorenzetti

DIAGRAMAO Annye Cristiny Tessaro

Victor Emmanuel Carlson

REVISO DE PORTUGUS Renato Tapado

Patrcia Regina da Costa


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SumrioIntroduo.....................................................................................07

UNIDADE 1 Estatstica descritiva

Estatstica descritiva....................................................................................11

UNIDADE 2 Introduo a probabilidades

Introduo a probabilidades........................................................................41

UNIDADE 3 Amostragem

Amostragem............................................................................73

UNIDADE 4 Testes de Hipteses

Testes de Hipteses..............................................................................103

Referncias.....................................................................................133

Anexos.....................................................................................135


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Uma sugesto dreferncia

NEUFELD, John LEstatstica Aplicada

Administrao usandoExcel. v.1. So Paulo

Prantice Hall, 200

Para saber mais v asite www.ibge.gov.b

Introduo

O cidado comum pensa que a estatstica se resume apenas aapresentar tabelas de nmeros em colunas esportivas e/ou econmicasde jornais e revistas, ilustradas com grficos, pilhas de moedas, etc.,ou quando muito associam a estatstica previso de resultados eleito-rais. A estatstica no se limita somente a compilar tabelas de dados eos ilustrar graficamente. Sir Ronald Fisher (1890-1962), em seus tra-balhos, iniciou a estatstica como mtodo cientfico. Desta forma, o

trabalho do estatstico passou a ser o de ajudar a planejar a obtenode dados, interpretar e analisar os dados obtidos e apresentar os resul-tados de maneira a facilitar a tomada de decises razoveis.

Didaticamente, podemos dividir a estatstica em duas partes: aestatstica descritivae ainferncia estatstica.

A estatstica descritiva preocupa-se com a forma pela qual pode-mos apresentar um conjunto de dados em tabelas e grficos, e tambmresumir as informaes contidas nestes dados mediante a utilizao de

medidas estatsticas.J a inferncia estatstica baseia-se na teoria das probabilidadespara estabelecer concluses sobre todo um grupo (chamado popula-o), quando se observou apenas uma parte (amostra) representativadesta populao.

Uma grande quantidade de informaes importantes que auxili-am na tomada de decises est no site do Instituto Brasileiro de Geo-grafia e Estatstica (IBGE). Todo o clculo das estatsticas pode serfeito por meio de calculadoras cientficas e tambm softwares estats-ticos. As planilhas eletrnicas permitem o clculo de diversas estatsti-cas e confeco de grficos de forma mais rpida e eficiente.

necessrio ter em mente que a estatstica uma ferramentapara o gestor ou executivo, nas respostas dos porqus de seus pro-blemas que podem ser explicados por uma anlise de dados. Para elaser bem usada, necessrio conhecer os seus fundamentos e princpi-os, e acima de tudo que o gestor ou executivo desenvolva um esprito


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crtico e jamais deixe de pensar. Pois fcil mentir usando a estatsti-ca, o difcil falar a verdade sem usar a estatstica.

Atualmente, as empresas tm procurado profissionais como exe-

cutivos que tenham um nvel de conhecimento de estatstica alto, poiseste conhecimento tem feito uma diferena grande nos processosdecisrios em empresas.

Este livro ser dividido em quatro Unidades:

Unidade 1 Estatstica Descritiva (Descrio de amostraspor meio de distribuies de freqncias, e medidas de posi-o e disperso);Unidade 2 Probabilidades (Conceitos bsicos de probabili-dades, variveis aleatrias uni e bidimensionais) e Distribui-es de Probabilidades (discretas e contnuas);Unidade 3 Amostragem (probabilstica e no probabilstica),Distribuies Amostrais (Distribuies t de Student, qui-qua-drado e F) e Intervalos de Confiana (mdia, proporo); eUnidade 4 Processos Decisrios (Testes de Hipteses).


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UNIDADE

1Estatstica descritivaEstatstica descritiva


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Curso de Graduao em Administrao a Distncia

Objetivo

Esta Unidade tem por objetivo fazer com que voc tenha condies

de descrever e apresentar os resultados de um conjunto de observaes

de forma clara, objetiva e passando o mximo de informaes possveis

Para tal objetivo, sero abordadas as distribuies de freqncias, anlis

grficas, medidas de posio e disperso.


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Mdulo 4

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Estatstica descritiva

Qualquer conjunto de dados, tais como o tempo de uma ligaotelefnica, a velocidade de processamento de um computador, a pro-poro de participao no mercado das empresas de um determinadosetor, suscetibilidade de empresas a uma determinada mudana nomercado, opinio dos alunos quanto didtica de um professor, etc.,contm informao sobre algum grupo de indivduos. As possveisdiferenas entre indivduos determinam a variao que est sempre

presente na anlise de dados.Uma caracterstica que pode assumir diferentes valores de indi-

vduo para indivduo denominadavarivel, pois de outra forma se-ria denominadaconstante.

A classificao das variveis em qualitativas e quantitativas foiapresentada na disciplina de Metodologia de Pesquisa.Caso no selembre, reveja o material de Metodologia de Pesquisa.

Desta forma, apenas para relembrar, como voc faria a classifi-

cao das seguintes variveis?a) Nmero de pginas desta unidade;

b) peso dos funcionrios do setor de marketing de umaempresa;

c) tipos de empresas em relao a adoo de determina-da tcnica; e

d) tamanho de empresas (pequena, mdia e grande).

Respostas: a) quantitativa discreta; b) quantitativa contnua;c) qualitativa nominal; d) qualitativa ordinal.

Os dados qualitativas so divididos em nominais e ordinais;enquanto os dados quantitativas so divididos em discretas econtnuas.


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Quando voc coleta os dados para uma pesquisa, estas observa-es so chamadas de dados brutos. Um exemplo de dados brutoscorresponde ao tempo em minutos que consumidores de uma determi-

nada operadora de telefonia celular utilizariam em um ms (dados simu-lados pelo autor a partir de um caso real). Os dados foram obtidos em umapesquisa de mercado e apresentados na forma em que foram coletados(Tabela 1), por este motivo so denominadosdados brutos*.

Geralmente, este tipo de dado traz pouca ou nenhuma informa-o ao leitor, sendo necessrio organizar os dados, com o intuito deaumentar sua capacidade de informao.

GLOSSRIO*Dados Brutos:dados na forma em

que foram coletados,sem nenhum trata-m e n t o . F o n t e :Lacombe (2004)

GLOSSRIO*Rol a mais sim-ples organizaonumrica. a orde-nao dos dados emordem crescente oudecrescente.*Amplitude Totalcorresponde dife-rena entre o maiore o menor valor ob-servado em um conjunto de dados. No-taremos porA.

Tabela 1: Tempo (T) em minutos de uso de telefone celular por consu-midores (C) de uma determinada operadora

Como voc pode observar na Tabela 1, a simples organizaodos dados em umrol* aumenta muito a capacidade de informaodestes. Na Tabela 2, voc pode verificar que o menor tempo observa-

do foi 82 minutos, e o maior, 210 minutos, o que nos fornece umaamplitude total*de variao da ordem de 128 minutos.Outra informao que podemos obter nos dados por meio da

Tabela 2 (organizada em rol crescente) que alguns tempos, como122 min, 132 min, 138 min e 142 min, foram os mais freqentes, ouseja, os mais citados na pesquisa.

C

1

2

3

4

5

6

7

8

T

104

108

138

101

163

141

90

154

C

9

10

11

12

13

14

15

16

T

122

142

106

201

169

120

210

98

C

17

18

19

20

21

22

23

24

T

129

138

122

161

167

189

132

127

C

25

26

27

28

29

30

31

32

T

144

151

146

82

137

132

172

87

C

33

34

35

36

37

38

39

40

T

183

138

115

179

142

111

140

136


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Mdulo 4

13

Ento surge uma pergunta:Como voc pode organizar os dados de uma forma mais efi-ciente, na qual se possa apresentar uma quantidade maior de informaes?

Uma maneira de organizar um conjunto de dados para vocmelhor represent-lo por meio de umatabela de distribuio defreqncias(tabela onde so apresentadas as freqncias de cada umadas classes).

Distribuindo-se os dados observados emclasses* e contando-seo nmero de observaes contidas em cada classe, obtm-se afre-qncia de classe. Veja que a disposio tabular dos dados agrupa-dos em classes, juntamente com as freqncias correspondentes, sedenomina distribuio de freqncias.

Por exemplo, para o caso do tempo em minutos do uso decelulares, pode-se desejar incluir em uma nica classe todosos indivduos que possuam tempo entre 128 e 138 minutosassim, a classe ir variar de 128 a 138 minutos.

GLOSSRIO*Classes: Interva-los nos quais os va-lores da varivelanalisada so agru-pados.

Tabela 2: Tempo em minutos de uso de telefone celular por consumido-res de uma determinada operadora (dados em rol crescente).

82

87

90

98

101

104

106

108

111

115

120

122

122

127

129

132

132

136

137

138

138

138

140

141

142

142

144

146

151

154

161

163

167

169

172

179

183

189

201

210


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, paran 100; ,

para n > 100

Este tipo de intervalo o mais utilizado.

Para identificar uma classe, deve-se conhecer os valores doslimitesinferior e superior da classe, que delimitam ointervalo de classe.

Neste ponto, surge uma dvida.

Indivduos que apresentem tempo exatamente iguais a 128 oua 138 minutos pertencem ou no a esta classe? (128 a 138)

Deste modo, surge a necessidade de definir a natureza do inter-valo de classe, se aberto oufechado. Portanto, podemos ter exem-plo de notao dos diferentes tipos de intervalos:Intervalos abertos*

128 min 138 min;Intervalos fechados* 128 min ||138 min. Pode-se ter aindaintervalos mistos*, como por exemplo:128 min | 138 min.

Vamos, ento, a partir dos dados do exemplo relativo ao tempo de utilizao dos celulares, construir uma distribuio de freqncia e ao longo deste exerccio identificar conceitos presentes em uma distribuio de freqncias.

Ento, vamos exercitar.Para elaborar uma distribuio de freqncias necessrio que

primeiramente, se determine onmero de classes(k) em que os da-dos sero agrupados. Por questes de ordem prtica e esttica, sugere-se utilizar de 5 a 20 classes. O nmero de classes (k) a ser utilizado,pode ser calculado em funo do nmero de observaes (n).

Na pesquisa, como temos n = 40 consumidores, teremos, ento,

o nmero de classes definido por = = 6,32, e como onmero de classes inteiro, usaremos 6 classes. O arredondamentoutilizado neste material o padro de algarismos significativos (comofoi aprendido no Ensino Mdio). O nmero de classes pode tambmser definido de uma forma arbitrria sem o uso desta regra.

GLOSSRIO*Intervalos abertosos limites da classe(inferior e superior)no pertencem a ela.

*Intervalos fecha-dos os limites declasse (superior einferior) pertencem classe em questo.*Intervalos mistosum dos limites per-tence classe, e ooutro, no.


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Mdulo 4

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onde:

c = amplitude declasse; A = amplitudetotal; e k = nmero dclasses.

PM = onde:

LI: Limite inferior; eLS: Limite superior

Aps voc determinar o nmero de classes (k) em que os dadossero agrupados, deve-se, ento, determinar aamplitude do interva-lo de classe (c).

Para calcularmos a amplitude do intervalo de classe, vamos pri-meiramente calcular aamplitude total dos dados (A), quecorresponde diferena entre o maior valor observado e o menorvalor observado.No nosso caso, teremos A = 210 82 =128 mm.

Com base neste valor da amplitude total (A) calculado, vamosobter a amplitude do intervalo de classe (c), como mostrado a seguir:

Deve ficar claro para voc, que existem outros procedimentospara determinao da amplitude do intervalo de classe que podem serencontrados na literatura.

Conhecida a amplitude de classes, voc deve determinar os in-tervalos de classe. O limite inferior e o superior das classes devem serescolhidos de modo que o menor valor observado esteja localizado noponto mdio (PM)da primeira classe.

Partindo deste raciocnio, ento, o limite inferior da primeira

classe ser:Limite inf. 1 = menor valor .

No nosso caso, temos: Limite inf. 1 = 82 = 69,2 min

Definindo, ento, o limite inferior da primeira classe, para obter-mos as classes da nossa distribuio, basta que somemos a amplitudedo intervalo de classe a cada limite inferior.

Assim, teremos:

69,2 | 94,8 primeira classe94,8 | 120,4 segunda classe20,4 | 146,0 terceira classe146,0 | 171,6 quarta classe171,6 | 197,2 quinta classe197,2 | 222,8 sexta classe


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Ento, voc pode obter uma tabela como a apresentada a seguir.

A freqncia absoluta (fa) corresponde ao numero de ob-servaes que temos em uma determinada classe ou em umdeterminado atributo de uma varivel qualitativa e a freqn-

cia relativa (fr) corresponde proporo do nmero de ob-servaes em uma determinada classe em relao ao totalde observaes que temos.Esta freqncia pode ser expressa em termos porcentuais. Paraisto, basta multiplicar a freqncia relativa obtida por 100.

Tabela 3: Distribuio de freqncias do tempo em minutos de uso detelefone celular por consumidores de uma determinada operadora

Na tabela, aparece uma nova denominao chamada freqn-cia. Podem ter freqncias chamadasde freqncia absoluta( fa),freqncia relativa( fr ) e freqncia acumulada (discutida posterior-

mente).O clculo da freqncia relativa obtido por meio da seguinteexpresso:

, com fai = freqncia absoluta da classe i.

Apresentando os dados na forma de distribuio de freqncia,voc consegue sintetizar as informaes contidas neles, alm de facili-

Classes (mm)

69,2 | 94,8

94,8 | 120,4

120,4 | 146,0

146,0 | 171,6

171,6 | 197,2

197,2 | 222,8

Total

Freqncia

?

?

?

?

?

?


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Mdulo 4

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tar sua visualizao. Na Tabela apresentada a seguir, temos as freqn-cias ( fae fr ) relacionadas ao tempo de utilizao do aparelho celular.

Como ficaria, ento, a interpretao da distribuio de freqncias?Pode-se verificar claramente na Tabela 4 que os tempos de utili-

zao do celular das 40 pessoas avaliadas em questo esto concen-trados nas classes segunda, terceira e quarta, decrescendo em direo

s classes do incio e do fim da tabela. A apresentao dos dados emforma de distribuio de freqncia facilita ainda o clculo manual devrias medidas estatsticas de interesse e sua apresentao grfica.

Alm das freqncias absolutas e relativas, muitas vezes pode-se estar interessado na quantidade de observaes que existe acima ouabaixo de um determinado ponto na distribuio.

Desta forma, podemos trabalhar com afreqncia acumulada*.A ttulo de ilustrao, voc pode visualizar nas Tabelas 4 e 5,

respectivamente, as freqncias acumuladas para cima e para baixodos tempos de utilizao das 40 pessoas avaliadas na pesquisa. A fre-qncia acumulada apresentada na Tabela 4 pode ser obtida da se-guinte forma: abaixo do limite superior da primeira classe, temos trspessoas que esto presentes nesta classe, como pode ser visto na Ta-bela 3 da distribuio de freqncias absoluta. Quando consideramosa segunda classe, a freqncia acumulada corresponde ao nmero de

Tabela 4: Distribuio de freqncias do tempo em minutos de uso detelefone celular por consumidores de uma determinada operadora

GLOSSRIO*Freqncia Acu-mulada Freqn-cia Acumuladacorresponde somada freqncia da-

quela classe s fre-qncias de todas asclasses abaixo dela.

Classes (mm)

69,2 | 94,8

94,8 | 120,4

120,4 | 146,0

146,0 | 171,6

171,6 | 197,2

197,2 | 222,8

Total

fa (consumidores)

3

8

16

7

4

2

40

fr (proporo de consumidores)

0,075

0,200

0,400

0,175

0,100

0,050

1,000


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pessoas que temos abaixo do limite superior desta classe, ou seja, asoito pessoas da segunda classe mais as trs pessoas da primeira classe,totalizando 11 pessoas abaixo de 120,4 minutos. Para as outras clas-

ses, o raciocnio semelhante.

Um bom exemplo de aplicao das distribuies de freqnciasacumuladas corresponde identificao de uma determinada freqn-cia abaixo ou acima de um determinado valor que no corresponde aolimite superior ou inferior de uma classe qualquer.

Podemos, ento, querer verificar qual a porcentagem de pessoasque utilizam o celular por um tempo inferior a 146 minutos, e paraisto, basta consultar diretamente a Tabela 4 e verificar a freqnciaacumulada abaixo deste valor (6,75%), pois o valor 146 minutoscorresponde a um dos limites de classe apresentados nesta tabela.

E se voc quiser saber a proporo de pessoas que utilizamo celular por menos de 150 minutos?

Para podermos obter esta freqncia, necessrio que venha-mos a pressupor que os tempos de utilizao estejam uniformemente

Tabela 5: Distribuio de freqncia acumulada do tempo em minutosde uso de telefone celular por consumidores de uma determinada

operadora

Tempo (mim)

69,2 | 94,8

94,8 | 120,4

120,4 | 146,0

146,0 | 171,6

171,6 | 197,2

197,2 | 222,8

Total

Freq. acumulada

0

3

11

27

34

38

40

Freq. acumulada (relativa)

0,000

0,075

0,275

0,675

0,850

0,950

1,000


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Mdulo 4

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distribudos dentro das classes. O clculo baseado nos dados da Ta-bela 4 e so apresentados a seguir.

Freq. acumulada relativa abaixo da classe imediatamenteinferior a 150 (abaixo de 146) = 0,675; eFreq. acumulada relativa abaixo da classe imediatamentesuperior a 150 (abaixo de 171,6) = 0,850;

Proporo de consumidores com tempo de uso abaixo de146,0 min = 0,675

Proporo de consumidores com tempo de uso abaixo de171,6 min = 0,850Freq. entre 146,0 e 171,6 min = 0,175de 146,0 a 171,6 min so 25,6 minde 146,0 a 150,0 min so 4,0 minassim,(diferena) no tempo variao (diferena) na proporo

25,6 min -------------------------------------------- 0,1754,0 min ------------------------------------------------- x

Portanto, fazendo o clculo da regra de trs apresentada anteri-ormente, teremos o valor de x.

Portanto, como abaixo de 140,0 min existe uma proporode 0,675 e entre 140,0 e 150 min existe uma proporo de0,0273, conclui-se, ento, que abaixo de 150 min existe uma proporo de 0,7023 (0,675 + 0,0273). Em termos porcentuais, isto corresponde a 70,23% dos consumidores.


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importante ressaltar que este resultado aproximado, devido perda de informao pelo fato de a tabela ser intervalar, ou seja, asclasses esto em intervalos.

Quando voc trabalha com variveis qualitativas, os atributosso as variaes nominativas da varivel. A construo da tabela con-siste em contar as ocorrncias de cada atributo. O resultado da conta-gem define a freqncia absoluta do atributo. Para podermos entenderisto, tomemos como exemplo uma pesquisa na qual se procurou avali-ar o nmero de pessoas de diferentes sexos em uma determinada em-presa. Estes resultados so apresentados na Tabela 6.

Tomando, por exemplo, o caso de umavarivel aleatria dis-creta (conceito visto em Metodologia de Pesquisa), realizou-se noSAC (Servio de Atendimento ao Consumidor) de uma empresa umestudo referente ao nmero de reclamaes (N.R.) atendidas diaria-mente, durante um certo ms, obtendo os seguintes resultados:

Tabela 6: Distribuio de freqncias do nmero defuncionrios em relao ao seu sexo em 2006

SexoMasculino

Feminino

Total

fa20

30

50

fr 0,40

0,60

1,00

N.R.

0

2

1

5

3

2

Dia

7

8

9

10

11

12

N.R.

1

2

2

3

0

3

Dia

13

14

15

16

17

18

N.R.

0

0

1

2

3

5

Dia

19

20

21

22

23

24

N.R.

1

0

0

2

0

4

Dia

25

26

27

28

29

30

N.R.

0

3

4

0

2

1


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Mdulo 4

21

Dispondo estes dados em um rol (crescente), tem-se:

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4 4 5 5

Podemos, ento, apresentar a seguir estes dados em uma distri-buio de freqncias. Neste caso, no necessrio definir intervalosde classes, porque a variao dos valores pequena.

Verificamos que os valores da varivel discreta correspondem acada uma das classes.

Surge, ento, uma pergunta:

As tabelas de distribuio de freqncias so a nica formaque voc tem de apresentar um conjunto de dados?

Para responder a esta pergunta, vamos falar um pouco sobre al-gumas formas de representao grfica de tabelas de freqncia.Logicamente, dependendo do tipo de varivel, temos um grfico maisadequado. Os diferentes tipos de grfico, (histogramas, polgonos defreqncia, ogivas, grficos de setores, pictogramas e outros) permi-tem uma melhor visualizao de resultados. Estes grficos podem serobtidos utilizando planilhas eletrnicas, como por exemplo, o Excel.

Tabela 7: Nmero de reclamaes atendidas diariamente,durante certo ms

Numero de reclamaes por dia

0

1

23

4

5

Total

Nmero de dias (fa)

9

5

75

2

2

30

Freq. Relativa

0.3

0.17

0.230.17

0.07

0.07

1


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2 2


Os histogramas* so grficos utilizados para representar tabe-

las intervalares.GLOSSRIO

* h i s t o g r a m a Histogramas: so

constitudos por umconjunto de retn-gulos, com as basesassentadas sobre umeixo horizontal, ten-do o centro da mes-ma no ponto mdioda classe que repre-senta, e cuja altura

proporcional fre-qncia da classe.

*Polgono de fre-qncias um gr-fico de anlise noqual as freqnciasdas classes so loca-lizadas sobre per-pendiculares levan-

tadas nos pontosmdios das classes.

J o polgono de freqncia* , voc pode obter pela simples

unio dos pontos mdios dos topos dos retngulos de um histograma.

Completa-se o polgono unindo as extremidades da linha que ligam os

pontos representativos das freqncias de classe aos pontos mdios

das classes, imediatamente, anterior e posterior s classes extremas,

que tm freqncia nula.

Figura 1: Histograma representativo da distribuio defreqncias do tempo em minutos de uso de telefone celular

por consumidores de uma determinada operadora

Figura 2: Polgono de Freqncias do tempo em minutos de uso de telefone celularpor consumidores de uma determinada operadora


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Mdulo 4

2 3

Quando temos uma tabela de varivel qualitativa, um tipo de

grfico adequado para apresentar os resultados corresponde ao grfi-

co de setores, tambm popularmente conhecido como grfico tipo

pizza. Sua construo simples: sabe-se que o ngulo de 360 equiva-le a 100% da rea da circunferncia; assim, para obter-se o ngulo do

setor cuja rea representa uma determinada freqncia, basta resolver

uma regra de trs simples, como a apresentada a seguir:

360 ---------------- 100%

x ------------------- Freq. Relativa (Porcentual)

Os grficos chamados de ogivas correspondem a um polgono

de freqncias acumuladas, nas quais estas freqncias so localiza-

das sobre perpendiculares levantadas nos limites inferiores ou superi-

ores das classes, dependendo se a ogiva representar as freqncias

acumuladas.

Figura 3: Grfico do sexo de pessoas que trabalham emuma determinada empresa


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2 4


Aps o estudo da construo de distribuies de freqncias e

grficos que as representam, voc deve ser capaz de organizar um

conjunto de dados, por meio de uma distribuio de freqncias (ab-

soluta, relativa, e acumuladas) e represent-lo graficamente.

Saiba mais...

Visite o site de como usar a planilha Cal, do pacoteOpenOffice, nas estatsticas descritivas, em: http://www2.ufpa.br/ dicas/open/oo-ind.htm

Vamos, ento, fazer um exerccio para fixar os conhecimentosadquiridos. (As respostas esto no final do livro.)

Figura 4: Ogiva "abaixo de" do tempo em minutos que consumidoresde uma determinada operadora de telefonia celular utilizariam em um

ms se houvesse uma reduo na tarifa de 20%


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Mdulo 4

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Exerccio 1: tem-se a seguir o tempo em minutos de reuniesem um setor de uma empresa.

GLOSSRIO*Amdia aritmti-ca, ou simplesmen-te mdia de um conjunto de n observa-es, x1, x2,...,xn definida como:

O somatrio ()corresponde somade todos os valoresobtidos.

a) Construa a distribuio de freqncias absoluta, relativa eacumulada; e

b) Determine o nmero de reunies em que o tempo foi me-nor do que 50, a partir da distribuio de freqncias.

Medidas de posio

As medidas de posio ou de tendncia central constituem umaforma mais sinttica de apresentar os resultados contidos nos dadosobservados, pois representam um valor central, em torno do qual osdados se concentram. As medidas de tendncia central mais emprega-das so a mdia, a mediana e a moda.

A mdia aritmtica* a mais usada das trs medidas de posi-o mencionadas, por ser a mais comum e compreensvel delas, bemcomo pela relativa simplicidade do seu clculo, alm de prestar-se bemao tratamento algbrico.

Considerando o caso do nmero de reclamaes em um SAC(ver em distribuies de freqncia), se voc somar todos os valoresdo nmero de reclamaes e dividir pelo nmero de dias, voc terento amdia aritmtica( ) do nmero de reclamaes.

Ento, o valor obtido ser: = 1,73reclamaes por dia.

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Existem outros tipos de mdia que podem ser utilizados, comopor exemplo, mdia ponderada (utilizada quando existe algum fatorde ponderao), mdia geomtrica (quando os dados apresentam uma

distribuio que no simtrica) e outras.s vezes, associam-se s observaes x1,x2,...,xn determinadas

ponderaes ou pesos w1,w2,...,wn, que dependem da importncia atri-buda a cada uma das observaes; neste caso, a mdia ponderada dada por:

Como exemplo, voc pode considerar um processo de avaliaode um funcionrio em trs etapas. Um funcionrio apresentou as se-guintes notas durante a avaliao: 1 etapa = 90; 2 etapa = 70; 3 etapa= 85, e os pesos de cada etapa so 1, 1 e 3, respectivamente. Qual oscore mdio final do funcionrio?

Outro tipo de mdia corresponde geomtrica (Mg). Ela cal-culada pela raiz n-sima do produto de um conjunto de n observaes,x1,x2,...,xn, associadas s freqncias absolutas f 1,f 2,..., f n, e, respecti-vamente, dada por:

Este tipo de mdia, voc vai trabalhar na disciplina de Ma-temtica Financeira.

Em algumas situaes, voc ver que necessria a informaodo nmero de observaes que mais ocorre em um conjunto de dados.


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No caso do nmero de reclamaes no SAC, verifica-se que o quemais ocorre zero, ou seja, em vrios dias no ocorre nenhuma recla-mao. Assim, podemos, ento, definir amoda (Mo) como sendo o

valor em um conjunto de dados que ocorre com maior freqn-cia.Um conjunto de dados pode ser unimodal (uma moda) ou amodal(no possuir moda, pois no existe nenhum valor que ocorre com mai-or freqncia) ou multimodal (possui mais de uma moda).

Quando os dados no esto em intervalos de classes, basta olharo valor que ocorre com maior freqncia.

Para dados agrupados em intervalos de classes, voc pode cal-cular a moda por meio do mtodo de Czuber, que se baseia na influn-

cia das classes adjacente na moda, deslocando-se no sentido da classede maior freqncia. A expresso que voc utilizar :

onde:Li: limite inferior da classe modal;d1: diferena entre a freqncia da classe modal e a imediata-mente anterior;d2: diferena entre a freqncia da classe modal e a imediata-mente posterior; ec: amplitude da classe modal.

No caso do tempo de uso de aparelhos celulares (ver a tabela noitem distribuio de freqncias), teremos que a classe modal a ter-ceira, pois apresenta maior freqncia. Utilizando a expresso mostra-da anteriormente, teremos:

Uma caracterstica importante da moda que ela no afetadapelos valores extremos da distribuio, desde que estes valores noconstituam a classe modal.


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Desta forma, a moda deve ser utilizada quando desejamos obteruma medida rpida e aproximada de posio ou quando a medida devaser o valor mais freqente da distribuio.

Outra medida de posio que voc pode utilizar amediana (Md).

Em um conjunto de valores dispostos segundo uma ordem(crescente ou decrescente), o valor situado de tal forma noconjunto que o separa em dois subconjuntos de mesmo n-mero de elementos, ou seja, 50% dos dados so superiores mediana, e 50% so inferiores.

O smbolo da mediana dado por Md ou . A posio da medi-ana dada por meio da expresso: E (elemento central) = (n+1) / 2.

Considerando um conjunto de dados com nmero mpar de ele-mentos como (1, 2, 5, 9, 10, 12, 13), a posio da mediana ser dadapor (7 + 1)/2 = 4 posio. Portanto, a partir dos dados ordenados, onmero que se encontra na 4 posio o 9, e assim a mediana serigual a 9. (Temos trs valores abaixo e trs valores acima ou 50%acima da mediana, e 50% abaixo)

Caso o nmero de elementos do conjunto de dados for par, comopor exemplo, (1, 2, 6, 8, 9, 12, 11, 13), encontra-se a posio da medi-ana (( 8 + 1)/2 = 4,5 posio). Como a posio 4,5 est entre a 4 e a5 posio, calcula-se a mdia entre os valores que ocupam estas posi-es. O valor encontrado de 8,5 corresponde mediana.

Quando os dados esto agrupados na mediana devemos encon-trar a classe mediana.

Se os dados esto agrupados em intervalos de classe, como no

caso do tempo de utilizao do telefone, utilizaremos a seguinte ex-presso:


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onde: li: limite inferior da classe mediana; n: nmero total de elemen-tos; f antac: freqncia acumulada anterior classe mediana; f med : fre-qncia absoluta da classe mediana e a amplitude da classe mediana.

Portanto, resolvendo o caso do tempo de utilizao dos celula-res, teremos que a posio da mediana ser dada por E = 40/2 = 20elemento, o qual est na terceira classe (120,4 | 146), que corresponde classe mediana.

Em um conjunto de dados, a mediana, a moda e a mdia nonecessariamente devem apresentar o mesmo valor. Uma informaoimportante de que a mediana no influenciada pelos valores extre-mos. Comparando os resultados encontrados para uma amostra emrelao s medidas de posio estudadas e verificando a inter-relaoentre elas, voc pode concluir que seus valores podem nos dar umindicativo da natureza da distribuio dos dados, em funo das re-gras definidas a seguir:

Outras medidas de posio denominadas separatrizes sero de-finidas a seguir.

A principal caracterstica das medidas separatrizes consiste naseparao da srie em partes iguais que apresentam o mesmo nmerode valores.

As principais so os quartis, decis e percentis.Os quartis so valores de um conjunto de dados ordenados, que

os dividem em quatro partes iguais. necessrio, portanto, trs quartis


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(Q1, Q2 e Q3) para dividir um conjunto de dados ordenados em quatropartes iguais.

Q1 : deixa 25% dos elementos abaixo dele.

Q2 : deixa 50% dos elementos abaixo dele e coincide com amediana.Q3 : deixa 75% dos elementos abaixo dele.

A figura abaixo mostra bem o quartis:

Se considerarmos o exemplo do nmero de reclamaes por diaem um SAC, teremos de forma semelhante a figura anterior:

Para valores no tabelados, pode ser dito que o primeiro quartilpode ser obtido como a mediana da primeira metade dos dados, e para oterceiro quartil, como a mediana da segunda metade. Para dados tabela-dos, a frmula da mediana pode ser adaptada para os demais quartis.

Medidas de disperso

Como foi visto anteriormente, podemos sintetizar um conjuntode observaes em alguns valores representativos como mdia, medi-ana, moda e quartis. Em vrias situaes, torna-se necessrio visualizarcomo os dados esto dispersos. Tomando como exemplo vrias em-presas que apresentem salrios mdios iguais, podemos concluir, en-to, que a contribuio social (% do salrio) ser a mesma? Somente


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calcular o desvio de cada valor em relao mdia ( ), e sefizermos o somatrio destes desvios, o resultado ser igual a zero. Sevoc elevar este desvio ao quadrado e somar, teremos o que chama-

mos de soma de quadrado dos desvios. Dividindo este somatrio pelototal de observaes, teremos uma idia da disperso das observaesem relao mdia. Esta medida que acabamos de visualizar de formaintuitiva corresponde varincia. Portanto, voc pode concluir que avarincia sempre assumir valores positivos.

Quando o nosso interesse o de tirar inferncias vlidas paratoda a populao a partir de uma amostra (poro repre-

sentativa da populao), deve-se trocar na frmula davarincia N por n 1, onde: N corresponde ao tamanho da populao; e n corresponde ao tamanho da amostra utilizada.

As expresses para clculo das varincias populacional e amostralso apresentadas a seguir.

Quando temos os dados agrupados em intervalos de classes, o xicorresponde ao ponto mdio da classe, e f

i freqncia da classe.

Como a varincia calculada a partir dos quadrados dos desvi-os, ela um nmero que apresenta a unidade elevada ao quadrado emrelao varivel que no est elevada ao quadrado; isto se torna uminconveniente em termos de interpretao do resultado. Por isso, defi-niu-se uma nova medida, odesvio-padro, que a raiz quadrada davarincia, com mais utilidade e interpretao prticas, representada por


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s ou . A varincia uma medida que tem pouca utilidade na Estats-tica Descritiva, mas ser extremamente importante na Inferncia Esta-tstica e em combinaes de amostras. Tambm importante frisar

que, na grande maioria das situaes, trabalhamos com amostras, en-to devemos utilizar o desvio-padro amostral.

No caso dos ganhos dirios, calculando a varincia de cada umdos grupos que correspondem a uma amostra, encontramos os seguin-tes resultados:

sA = 0 reais; sB = 15,81 reais; sC=67,54 reais.

O desvio-padro, quando analisado isoladamente, no d mar-gem a muitas concluses. Por exemplo, para uma distribuio cujamdia 300, um desvio-padro de 2 unidades pequeno, mas parauma distribuio cuja mdia 20, ele j no to pequeno.

Importante!Condies para se usar o desvio-padro ou varincia para com-

parar a variabilidade entre grupos:

mesmo nmero de observaes;mesma unidade; emesma mdia.

Alm disso, se quisermos comparar duas ou mais amostras devalores expressas em unidades diferentes, no poder ser possvel fa-zer a comparao por meio do desvio-padro, pois ele expresso namesma unidade dos dados. Tambm necessrio que os conjuntos deobservaes tenham o mesmo tamanho. Podemos, ento, considerar asituao na qual se avaliou o custo indireto de fabricao (CIF) de umproduto em reais e o tempo gasto em uma mquina para fabricaodeste produto em segundos.

CIF

Tempo

x

175 reais

68 segundos

S

5 reais

2 segundos


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A princpio, voc poderia concluir que o CIF apresenta maiorvariabilidade. Entretanto, as condies citadas anteriormente deveriamser satisfeitas para que se pudesse utilizar o desvio-padro para compa-

rar a variabilidade. Como as condies no so satisfeitas, devemos ten-tar expressar a disperso dos dados em torno da mdia, em termosporcentuais. Ento, utilizaremos uma medida estatstica chamada decoeficiente de variao (CV). O coeficiente ser dado por meio da ex-presso:

, onde s e foram definidos anteriormente

Para a situao do CIF e tempo, teremos:

Portanto, nesse grupo de indivduos, o tempo de horas, mquinaapresenta maior disperso do que o custo indireto de fabricao (CIF),mudando, assim, a concluso anterior.

Ao final desta parte de medidas de posio e disperso, voc

deve ser capaz de calcular as medidas de posio e disperso, einterpret-las.

Caso no consiga, voc deve voltar ao texto e fixar melhor osconceitos.

Seguem abaixo exerccios para fixao dos conhecimentos ad-quiridos nos assuntos de medida de posio e de disperso. Voc deveresolver todos eles.

Exerccio 2:a tabela abaixo apresenta uma distribuio de fre-qncias das reas de 400 lotes:

A partir da tabela acima, calcule:


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a) mdia, mediana e moda;b) desvio padro e coeficiente de variao;c) o ponto mdio da stima classe;d) a amplitude do intervalo da segunda classe;e) a freqncia relativa da sexta classe;f) a freqncia acumulada da quinta classe;

g) o n de lotes cuja rea no atinge 700 m2

;h) o n de lotes cuja rea atinge e ultrapassa 800 m2; ei) a classe do 72 lote.

Exerccio 3: os dez funcionrios de uma pequena empresa rece-beram os seguintes salrios, em reais:

230, 210, 100, 140, 160, 120, 390, 450, 100 e 200

Calcule as medidas de posio e disperso em relao aos salrios

reas (m2)

300 | 400

400 | 500

500 | 600

600 | 700

700 | 800

800 | 900

900 | 1000

1000 | 1100

1100 | 1200

N de lotes

14

46

58

76

68

62

48

22

6


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Exerccio 4: uma loja vende cinco produtos bsicos A, B, C, De E. O lucro por unidade comercializada destes produtos vale, res-pectivamente $ 200,00; $ 300,00; $ 500,00; $ 1.000,00; $ 5.000,00. A

loja vendeu em determinado ms 20; 30; 20; 10; 5 unidades, respectiva-mente. Qual foi o lucro mdio por unidade comercializada por esta loja?

Exerccio 5: uma empresa tem duas filiais praticamente idnticasquanto s suas caractersticas funcionais. Um levantamento sobre ossalrios dos empregados dessas filiais resultou nos seguintes valores:

Filial A: x A = 400 eS A = 20

Filial B: x B

= 500 eS B

= 25

Podemos afirmar que as duas filiais apresentam a mesma disperso?

Saiba mais...Sobre clculo de mdias e funes em planilhas, visite o site:

http://www.juliobattisti.com.br/tutoriais/celsonunes/ openoffice007.asp

Mais exerccios referentes ao assunto esto no site:http://www.famat.ufu.br/prof/marcelo/exercicios.htm


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UNIDADE

2Introduo a probabilidadesIntroduo a probabilidades


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Introduo a probabilidades

Quando estamos falando de probabilidade, queremos identificara chance de ocorrncia de um determinado resultado de interesse, emsituaes nas quais no possvel calcular com exatido o valor realdo evento. Desta forma, trabalhamos com chances ou probabilidades.

Uma situao, para exemplificarmos este fato, est associada seguinte pergunta: meu vendedor poder cumprir sua meta de vendana semana que vem? Oespao amostral*simbolizado por S ounesta situao seratinge a metae no atinge a meta. Para calcular aprobabilidade de cumprir a meta, voc pode usar a intuio (subjeti-vo) ou usar a freqncia relativa das ltimas dez semanas em que ovendedor esteve trabalhando (objetivo).

Portanto, para calcularmos uma probabilidade, necessrio quetenhamos umexperimento aleatrio*, que apresenta as seguintes ca-ractersticas: a) cada experimento pode ser repetido indefinidamentesob as mesmas condies (n); b) no se conhece a priori o resultadodo experimento, mas podem-se descrever todos os possveis resulta-dos; e c) quando o experimento for repetido um grande nmero devezes, surgir uma regularidade do resultado, isto , haver uma esta-

bilidade da frao (freqncia relativa) da ocorrncia de um par-

ticular resultado, onde r corresponde ao nmero de vezes que um de-terminado resultado aconteceu.

Nos experimentos ou situaes mencionadas, voc pode notar

que a incerteza sempre est presente, o que quer dizer que, se estesexperimentos forem repetidos em idnticas condies, no se podedeterminar qual o resultado ocorrer.

A incerteza est associada chance de ocorrncia que atribu-mos ao resultado de interesse.

Consideremos, como exemplo, os funcionrios que trabalhamno setor de marketing de uma determinada empresa. Sabe-se que nes-

GLOSSRIO*Espao amostralconjunto de possibi-lidades, ou seja, ospossveis resultadosassociados a um ex-perimento aleatrio.*Experimento alea-trio qualquer pro-cesso que venha agerar um resultadoincerto ou casual.


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2. 0 P(A) 13. Regra da soma: dados doiseventos mutuamente exclusi-vosA e C de,

P(A C) = P(A) + P(C)

O smbolo corresponde ocorrncia de um evento impos-svel, ou seja, que no pode ocorrer no espao amostral con-siderado.

OBS: Caso os eventos no sejam mutuamente exclusivos, na

regra da soma, devemos considerar que a interseco ser contada duasvezes. Ento, devemos retirar na regra da soma a interseco.P(A B) = P(A) + P(B) P(AB)

Considerando os eventos A, B e C definidos anteriormente, cal-cule as probabilidades mencionadas na pgina anterior para fixaodos conceitos.

Para inserirmos outros conceitos de probabilidade, voc deveconsiderar os dados a seguir referentes ao acesso e cadastro em doissites, por pessoas em uma determinada regio. O site 1 segue o padronormal, enquanto o site 2 corresponde a uma nova proposta de apre-sentao de informaes.

Site 1

Site 2

Total

Acessa e cadastrano site

39.577

46.304

85.881

Total

48.249

53.601

101.850

Acessa e nocadastra no site

8.672

7.297

15.969

Um acesso a um dos sites escolhido ao acaso. Podemos consi-derar, ento, que o nosso espao amostral () corresponder ao conjunto de 101.850 acessos.

H os seguintes eventos de interesse:

S1 = nmero de acessos feitos no site 1.


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S2 = nmero de acessos feitos no site 2.AC = o site acessado, e o cadastro feito pelo internauta.S1 AC = o internauta acessa o site 1 e faz o cadastro no site.S1 AC = o internauta acessa o site 1 ou faz o cadastro no site.

Voc pode obter, ento, algumas probabilidades como:

S2 = 1S P(S2) = 527,0473,01)1P(1)1P( === S S P(S1 AC) = P(S1) + P(AC) P(S1 AC)= 0,473 + 0,843 0,388= 0,928

Se voc relembrar a interpretao da probabilidade, consideran-do A um evento de um espao amostral associado a um experimentoaleatrio, voc pode ter duas formas de atribuir probabilidades aoseventos de um espao amostral:

P{A} uma intuio (subjetiva) que se deposita na ocorrn-cia de A.Interpretao freqntista (objetiva).

Quando n cresce: f n( A) se aproxima da P(A), por isso foram rea-lizadas n repeties independentes do experimento.No exemplo anterior, se voc souber que um acesso sorteado do

site 1, qual a probabilidade de que ocorra a efetuao do cadastro?


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Temos uma informao parcial: o acesso do site 1.

Vamos designar a probabilidade de AC, quando se sabe que oacesso ocorreu no site 1, que chamaremos de P(AC /S1) e denomin-la probabilidade (condicional) de AC dado S1 (lembre-se que osmbolo / no corresponde a uma diviso).

natural atribuirmos:

Note que:

Portanto, voc pode generalizar para dois eventos A e B quais-quer de um experimento aleatrio. Desta forma, podemos dizer que aprobabilidade condicional de A dado B (nota-se por P (A / B)) defi-nida como:

Podemos, ento, definir aregra do produto, ou seja, a partir da

probabilidade condicionada definida anteriormente, obteremos a cha-mada regra do produto para a probabilidade da interseo de dois even-tos A e B de um espao amostral:

Passe a probabilidade de ocorrncia de B na probabilidadecondicionada e multiplique pela probabilidade de ocorrn-cia de A sabendo que B j aconteceu.


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P (A ) = P (A / ) . P (B)

Se dois eventos A e B so independentes, ento P{A / B} = P{A}

ou P{B / A} = P(B).Deste modo, se A e B forem independentes, voc pode verificar que:

Veja esta outra situao, utilizando os conceitos de probabilida-de condicionada e independncia de eventos. Considere a tabela a se-guir, representativa da distribuio da renda anual de produtores ru-rais e duas cooperativas em uma determinada regio.

Observando-se os dados acima, se verifica que a probabilidadede um cooperado aleatoriamente escolhido ser:

a) da cooperativa A: P(A) = 115/200 = 0,575b) da cooperativa B: P(B) = 85/200 = 0,425c) de ter renda entre R$ 15.000,00 e R$ 20.000,00:P(R1) = 110/200 = 0,550d) da cooperativa B e ter renda entre R$ 15.000,00 eR$ 20.000,00: P(B R1) = 40/200 = 0,20e) ter renda entre R$ 15.000,00 e R$ 20.000,00 dado que da cooperativa B: P(R1/B) = 40/85 = 0,4706 ou

Faixa de renda anual (em R$1.000)

15 a 20 (R1)

20 a 25 (R2)

25 a 30 (R3)

30 a 35 (R4)

Total

A

70

15

10

20

115

B

40

15

20

10

85

Total

110

30

30

30

200

Cooperativas


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Para que sejam consderados independen

tes, a relao dindependncia devser vlida para toda

as interseces presentes na Tabela 11

Como P(R1) P(R1/B), conclui-se que os eventos cooperativae renda so dependentes.

Um exemplo de aplicao dos conceitos de independncia de

eventos pode ser visualizado por meio do lanamento de uma moedano viciada (no existe preferncia para cara ou coroa) trs vezes.Considere os seguintes eventos:

A = no primeiro lanamento da moeda, sai cara, eB = no segundo lanamento da moeda, sai cara.

Obs: considere C = cara e R = coroaVerifique se verdadeira a hiptese de que os eventos A e B so

independentes. O espao amostral e os eventos so apresentados aseguir:

= {CCC, CCR, CRC, CRR, RCC, RCR, RRC, RRR}(A) = {CCC, CCR, CRC, CRR}(B) = {CCC, CCR, RCC, RCR}

Os resultados que esto em negrito ocorrem no espaoamostral (8) somente duas vezes.

P(A B) = 2/8 = 1/4P (A) = 4/8 = 1/2P (B) = 4/8 = 1/2

Portanto,

P(A B) = P (A) . P(B) => 1/4 = 1/2 . 1/2 ou

P (A / B) = P (A) => 1/2 = 1/2


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Ento, provamos que os eventos so independentes.

Vamos resolver alguns exerccios relacionados aos conceitos de probabilidade vistos anteriormente. (Os resultadosesto no final do livro.)

Exerccio 1: as probabilidades de trs vendedores, A, B e C,que trabalham independentemente, efetivarem uma venda quando abor-dam um cliente so 2/3, 4/5 e 7/10, respectivamente. Se cada um abor-dar um cliente, qual a probabilidade de que pelo menos um efetive avenda?

Exerccio 2: A e B so dois mestres que j esto suficientemen-te treinados em partidas de xadrez e jogam 120 partidas, das quais Aganha 60, B ganha 40, e 20 terminam empatadas. A e B concordamem jogar trs partidas. Determinar a probabilidade de:

a) A ganhar todas as trs partidas;b) duas partidas terminarem empatadas; ec) A e B ganharem alternadamente.

Exerccio 3: num perodo de um ms, cem funcionrios de umaempresa que trabalha com resduos nucleares, sofrendo de determina-da doena, foram tratados. Informaes sobre o mtodo de tratamentoaplicado a cada funcionrio e o resultado final obtido esto na tabelaabaixo:

A

24

24

12

B

16

16

8

Resultado

Tratamento

Cura total

Cura parcial

Morte

a) Sorteando-se aleatoriamente um desses funcionrios, de-termine a probabilidade de que o funcionrio escolhido:


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a1) tenha sido submetido ao tratamento A;a2) tenha sido totalmente curado;a3) tenha sido submetido ao tratamento A e tenha sidoparcialmente curado; ea4) tenha sido submetido ao tratamento A ou tenha sidoparcialmente curado.

Exerccio 4: para selecionar seus funcionrios, uma empresa ofe-rece aos candidatos um curso de treinamento durante uma semana.Ao final, eles so submetidos a uma prova, e 25% so classificadoscomo bons (B), 50%, como mdios (M), e os demais 25%, como fra-cos (F). Como medida de economia, o departamento de seleo pre-tende substituir o treinamento por um teste contendo perguntas de co-nhecimentos gerais e especficos. Mas, para isso, gostaria de conhecerqual a probabilidade de um indivduo aprovado no teste ser considera-do fraco caso fizesse o teste. De acordo com os resultados, receberamos conceitos: aprovado (A) ou reprovado (R). Sabendo queP(A B) = 0,20; P(A M) = 0,25 e P(A F) = 0,05; encontrar P(A/F).

Variveis aleatrias

Voc pode definir uma varivel aleatria como sendo uma fun-o que associa valores reais aos eventos de um espao amostral, eque pode ser discreta ou contnua.

Um exemplo de uma varivel aleatria discreta (v.a) consisteem verificar o nmero de aes que tiveram queda em um determina-do dia, em uma carteira composta por cinco aes diferentes. A fun-o ser dada por:

X= nmero de aes que tiveram queda em um determinadodia. Define uma varivel aleatria discreta, que pode assumir os va-lores 0, 1, 2, 3, 4, 5.


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Vamos considerar agora uma situao na qual se verificou o tem-po gasto por um vendedor para convencer um cliente a adquirir umdeterminado produto. A funo ser:

Y= tempo gasto por um vendedor para convencer um cliente aadquirir um determinado produto. Define uma varivel aleatria con-tnua, que pode assumir infinitos valores.

Se uma varivel aleatria X pode assumir os valores x1, x2,..., xncom probabilidades respectivamente iguais a p1, p2,..., pn, e ,

tem-se definida umadistribuio de probabilidade.

importante ressaltar que a varivel aleatria tem notaode letra maiscula, e seus possveis valores, minsculos, comoapresentado no pargrafo anterior.

Se a varivel X em questo for discreta, sua distribuio carac-terizada por umafuno de probabilidade (P(X=x)), que associa pro-babilidades no nulas aos possveis valores da varivel aleatria.

Para o exemplo do nmero aes da carteira, as probabilidades

obtidas so mostradas na funo de probabilidade que corresponde tabela abaixo.

X

P(X=x)

0

1/10

1

1/10

2

2/10

3

3/10

4

4/10

5

5/10 =1,00

Se a varivel X for contnua, somente haver interesse na proba-bilidade de que a varivel assuma valores dentro de determinados in-

tervalos, sendo sua distribuio de probabilidades caracterizada poruma funo densidade de probabilidade (f.d.p.), f(x), a qual deverpossuir as seguintes propriedades:

f(x) 0;


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A rea compreendida entre os pontos a e b, da funo f(x) eo eixo das abscissas, corresponde probabilidade da vari-vel X assumir valores entre a e b.

Para o caso do tempo gasto para convencer um cliente a adquirirum produto, podemos, por exemplo, ter a funo abaixo, que correspondea uma distribuio normalque ser vista posteriormente:

, que a distribuio normal.

A funo repartio ou distribuio acumulada, representada porF(x), corresponde probabilidade de a varivel aleatria ser menor ouigual a um determinado valor de x.

Se a varivel for discreta, a distribuio acumulada ser dada

por F(x) = P(X x), ou seja, voc deve somar todas as probabilidadesque se tem abaixo de um determinado valor, inclusive este.J no caso de uma varivel contnua, o F(x) ser dado pela rea

que vai de at o ponto x a ser considerado. Portanto, teremos:Integral de at o ponto x (visto no mdulo de Matemtica).

Agora, voc vai ver um exemplo de utilizao destes conceitos.Seja a seguinte varivel aleatria contnua, definida pela funo

densidade de probabilidade (f.d.p):


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a) Obtenha o valor de k.Como f(x) uma fdp:

O resultado encontrado corresponde inclinao da reta,ou seja, o quanto que a funo aumenta, quando a varivel x acrescida de uma unidade.

b) calcular F(1).

F(1) = P(X 1) =

Para o estudo de variveis aleatrias, at este ponto, considerou-se que o resultado do experimento em questo seria registrado comoum nico valor x. Todavia, existem casos em que h interesse por doisresultados simultneos, como por exemplo, observar o peso e altura

graficamente, tem-se:


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de uma pessoa, o sexo e desempenho no trabalho, etc. Para tanto, faz-se necessria a seguinte definio:

Sejam E um experimento aleatrio, e S o espao amostralassociado a E.Sejam X e Y duas variveis aleatrias. Ento, (X,Y) defineuma varivel aleatria bidimensional , que pode ser discre-ta, contnua ou mista.

O principal objetivo da anlise de variveis aleatriasbidimensionais avaliar simultaneamente dois resultados de uma situ-ao associando as probabilidades individuais e conjuntas.

Vamos, ento, definir probabilidades ou distribuies conjuntase marginais.

A distribuio conjunta a distribuio simultnea das duas va-riveis, ou seja, a interseco das variveis e as distribuies margi-nais so as distribuies isoladas de cada varivel. Estas distribuiesso assim chamadas por ocuparem, em uma tabela, a parte central e asmargens das tabelas, respectivamente. Voc pode visualizar este fatona tabela apresentada na pgina seguinte.

Se (X,Y) uma varivel aleatria bidimensional discreta, suafuno de probabilidade, representada por P(X = xi ;Y = yi) que asso-cia um valor p(xi, yi) a cada valor do par (X,Y), deve satisfazer asseguintes condies:

P(xi, yi) = 0

Veja a seguinte situao: uma pesquisa foi realizada para verifi-car a existncia de relao entre a utilizao de um produto (baixa,mdia ou alta) e o grau de instruo das pessoas (Fundamental, Mdioe Superior). Como os resultados associam duas variveis, ento temosuma distribuio de probabilidade de variveis aleatriasbidimensionais. No resultado encontrado (mostrado a seguir), temosum quadro chamada de contingncia.


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Vamos, ento, calcular o quadro das probabilidades (dividindocada valor por 1.000 que o tamanho da amostra utilizada.

Resolva agora estes dois exerccios e, caso tenha dvida, releia otexto relativo a variveis aleatrias (os resultados esto no final do livro).

Exerccio 5: uma empresa tem quatro caminhes de aluguel.Sabendo-se que o aluguel feito por dia e que a distribuio diria donmero de caminhes alugado a seguinte, determine:

Alta

Mdia

Baixa

Total

Superior

65

20

15

100

Total

285

470

245

1000

Mdio

120

100

80

300

Fundamental

100

350

150

600

InstruoUtilizao

Alta

Mdia

Baixa

Total

Superior0.065

0.020

0.015

0.100

Total0.285

0.470

0.245

1.000

Mdio0.120

0.100

0.080

0.300

Fundamental0.100

0.350

0.150

0.600

InstruoUtilizao

Distribuio Marginaldo Grau de Instruo.

Distribuio Conjun-ta do Grau de Ins-truo e Utilizao.

DistribuioMarginal daUtilizao.

a) Qual a probabilidade de alugar num dia mais de doiscaminhes?b) Qual a probabilidade de alugar no mnimo um cami-nho?

N de caminhes alugados / dia

Probabilidade de alugar

0

0,1

1

0,2

2

0,3

3

0,3

4

0,1


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c) Qual a probabilidade de alugar no mximo dois caminhes?d) Determine a funo de distribuio acumulada.e) Qual o valor de F(3)? O que significa este resultado?

Exerccio 6: a proporo de lcool em um certo composto podeser considerada uma varivel aleatria com a seguinte funo de den-sidade:

Calcule a probabilidade da proporo de lcool neste composto

entre 0,20 e 0,25.

Distribuies de variveis aleatrias discretas

Distribuio Uniforme Discreta

Enquadram-se aqui as distribuies em que os possveis valoresda varivel aleatria tenham todos a mesma probabilidade de ocorrn-cia. Logo, se existem n valores possveis, cada um ter probabilidadeigual a 1/n.

Ex. Seja o lanamento de um dado e a varivel aleatria X =face superior do dado,

tem-se que:

ou P(X=x) = 1/6Desta forma, voc pode verificar que esta varivel segue uma

distribuio uniforme discreta, pois a varivel discreta, e todos os pos-sveis resultados da varivel aleatria tm a mesma probabilidade (1/6).

X

P(X=x)

1

1/6

2

1/6

3

1/6

4

1/6

5

1/6

6

1/6 = 1


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Est relacionado como objetivo do trabalho

a ser realizado.

Distribuio de Bernoulli

Imagine uma situao na qual s podem ocorrer dois possveisresultados, sucesso e fracasso. Veja alguns exemplos:

uma venda efetuada ou no em uma ligao de call center;um cliente pode ser adimplente ou inadimplente;uma pea produzida por uma cia. pode ser perfeita ou defei-tuosa; eum consumidor que entra numa loja pode comprar ou nocomprar um produto.

Associando-se uma varivel aleatria X aos possveis resulta-dos do experimento, de forma que:

X= 1 se o resultado for sucesso,X= 0 se o resultado for fracasso.

Ento, a varivel aleatria X, assim definida, tem distribuioBernoulli, com p sendo a probabilidade de ocorrersucesso, eq = (1-p) a probabilidade de ocorrerfracasso.

A funo de probabilidade da Distribuio de Bernoulli dadapor:

A mdia e a varincia sero obtidas por:

Mdia = pVarincia = pq

Contextualizando a distribuio de Bernoulli, temos a seguintesituao: a experincia tem mostrado que, durante as vendas de Natal,um cliente que entra em uma determinada loja tem 60% de chance decomprar um produto qualquer. Temos, portanto, uma probabilidadede sucesso(o cliente adquirir um produto qualquer)de 0,6 e uma


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Pense, como exempde forma didtica nlanamento de ummoeda 50 vezes,

veja se esta situao enquadra nas cond

es da distribuibinomial.

probabilidade de no adquirir um produto de 0,4(vem da diferenaq = 1-0,6).

Distribuio binomialPara que uma situao possa se enquadrar em uma distribuio

binomial, deve atender s seguintes condies:

so realizadas n repeties (tentativas) independentes;cada tentativa uma prova de Bernoulli (s podem ocorrerdois possveis resultados); ea probabilidade p de sucesso em cada prova constante.

Se uma situao atende a todas as condies acima, ento a va-rivel aleatria X = nmero de sucessos obtidos nas n tentativas teruma distribuio binomial, com n tentativas e p (probabilidade de su-cesso).

Simbolicamente, temos: X ~ B(n,p) com a interpretao dada aseguir:

A varivel aleatria x tem distribuio binomial com n en-saios e uma probabilidade p de sucesso. (em cada ensaio).

A funo de probabilidade utilizada para clculo de probabili-dades, quando a situao se enquadra na distribuio binomial, serdada por meio da seguinte expresso:

, onde n! corresponde ao fatorial de n.

p = probabilidade de sucesso em cada ensaioq = 1-p = probabilidade de fracasso em cada ensaio


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Como na binomial son ensaios de Bernoulli

e a distribuio temmdia p, a mdia da

binomial ser np.Raciocnio semelhante

feito para avarincia.

Para exemplificar a utilizao da distribuio binomial, voc deveconsiderar que pessoas entram em uma loja no perodo prximo aoDia das Mes. Sabe-se que a probabilidade de uma pessoa do sexo

masculino comprar um presente de 1/3. Se entrarem quatro pessoasdo sexo masculino nesta loja, qual a probabilidade de que duas ve-nham a comprar presentes?

Se as quatro pessoas entram na loja e duas delas compram, po-demos colocar as possibilidades da seguinte forma (Ccompra e no-C no compra). O espao amostral associado ao experimento :

C, C, no-C, no-C ou C, no-C, no-C, C ou C, no-C, C,no-C ouno-C, no-C, C, C ou no-C, C, no-C, C ou no-C, C, C,no-C

Logo, calculando as probabilidades usando as regras do e(multiplicao, pois so independentes) e do ou (soma), a probabi-lidade de dois clientes do sexo masculino comprarem presentes :

z

Agora, voc deve calcular utilizando a funo de probabilidadeapresentada anteriormente e verificar que o resultado ser o mesmo.

Os valores da mdia e da varincia da distribuio binomial so:

Mdia = npVarincia = npq

Um outro exemplo de utilizao da distribuio binomial oseguinte. Em um determinado processo de fabricao, 10% das peas


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produzidas so consideradas defeituosas. As peas so acondiciona-das em caixas com cinco unidades cada uma. Considere que cada peatem a mesma probabilidade de ser defeituosa (como se houvesse repe-

tio no experimento de retirar uma pea).

a) Qual a probabilidade de haver exatamente trs peas de-feituosas numa caixa?P = 0,1 n = 5b) Qual a probabilidade de haver duas ou mais peas defei-tuosas em uma caixa?c) Qual a probabilidade de uma caixa no apresentar nenhu-

ma pea defeituosa?d) Supondo que a empresa pague uma multa de R$ 10,00por caixa que apresente peas defeituosas, qual o valor espe-rado desta multa em um lote de 1.000 caixas?P(uma caixa ter pea defeituosa) = 1- P(X=0) = 0,4095

Temos, ento, uma nova varivel aleatria (nmero de caixascom peas defeituosas), a qual chamaremos de Y em um lote de 1.000caixas, que segue uma distribuio binomial com n=1.000 e p=0,4095.

E(Y) = np = 1000.0,4095 = 409,5 caixas.Multa Esperada = 409,5 . R$ 10,00 = R$ 4.095,00

Distribuio de Poisson

Voc pode empregar a distribuio de Poisson em situaes nasquais no est interessado no nmero de sucessos obtidos em n tenta-

tivas, como ocorre no caso da distribuio binomial, entretanto estenmero de sucessos deve estar dentro de um intervalo contnuo, ouseja,o nmero de sucessos ocorridos durante um intervalo cont-nuo, que pode ser um intervalo de tempo, espao, etc. Imagine quevoc queira estudar o nmero de suicdios ocorridos em uma cidadedurante um ano ou o nmero de acidentes automobilsticos ocorridosnuma rodovia em um ms, ou o nmero de defeitos encontrados em


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Como o intervalo emque se deseja calculara probabilidade um

dia, ento, o serigual a 3.

um rolo de arame ovalado de 500 m. Estas situaes so exemplosque se enquadram na distribuio de Poisson.

Note que, nos exemplos acima, no h como voc determinar a

probabilidade de ocorrncia de um sucesso, mas sim a freqncia mdiade sua ocorrncia, como por exemplo, dois suicdios por ano, que de-nominaremos .

Em uma situao com estas caractersticas, a varivel aleatriaX = nmero de sucessos em um intervalo contnuo ter uma distribui-o Poisson, com (freqncia mdia de sucesso). Simbolicamente,podemos utilizar a notao X ~ P().

A varivel aleatria x tem uma distribuio de Poisson comuma freqncia mdia de sucesso .

A funo de probabilidade da distribuio de Poisson ser dadapor meio da seguinte expresso:

Onde e =2,7182 (base dos logaritmos neperianos) e corresponde freqncia mdia de sucesso no intervalo contnuo em que se desejacalcular a probabilidade.

Vamos considerar que o Corpo de Bombeiros de uma determi-nada cidade recebe, em mdia, trs chamadas por dia. Queremos sa-ber, ento, qual a probabilidade de do Corpo de Bombeiros receber:

a) quatro chamadas num dia:X~P(3)

b) nenhuma chamada em um dia:


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Como o intervaldesejado uma sem

na, ou seja, sete diaento, em uma semana freqncia mdia dchamadas ser de se

dias vezes 3 chamadas/dia.

c) 20 chamadas em uma semana: = 21 chamadas por semana

Uma caracterstica da distribuio de Poisson que as estatsti-cas da distribuio (mdia e varincia) apresentam o mesmo valor, ouseja, so iguais a . Ento, teremos:

Mdia = Varincia =

Vamos fazer alguns exerccios relativos distribuio

binomial e de Poisson.

Exerccio 7: no Brasil, a proporo de microempresas que fe-cham em at um ano de 10%. Em uma amostra aleatria de 20microempresas, qual a probabilidade de cinco terem fechado em atum ano de criao?

R: P(X = 5) = = 0,03192

Exerccio 8: entre 2.000 famlias de baixa renda, com quatrocrianas e considerando que a chance de nascer uma criana do sexomasculino igual do sexo feminino, em quantas famlias se espera-ria que tivessem:

n = 4 e p = a) dois meninos? R: P(x=2) . 2.000 = 0,3750 . 2.000 = 750famlias.b) Um ou dois meninos? R: [P(1) + P(2)] . 2.000 = (0,25 +

0,375) . 2.000 = 1.250 famlias.c) Nenhum menino? R: P(0) . 2.000 = 0,0625 . 2.000 = 125famlias.


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Exerccio 9: a probabilidade de compra de um aparelho de celu-lar igual a 30%. Observando oito compradores, qual a probabilidadede quatro deles comprarem este aparelho?

R: P(X = 4) = = 0,13614

Exerccio 10: chegam caminhes a um depsito razo de 2,8caminhes/hora, segundo uma distribuio de Poisson. Determine aprobabilidade de chegarem dois ou mais caminhes:

a) num perodo de 30 minutos;b) num perodo de 1 hora; e

c) num perodo de 2 horas.R: 1- [P(0) + P(1)]a) = 1,4 R= 0,40817b) = 2,8 R=0,76892c) = 5,6 R=0,97559

Distribuies de Probabilidade Contnuas

Dentre as vrias distribuies de probabilidade contnuas, serabordada aqui apenas a distribuio normal, pois apresenta grandeaplicao em pesquisas cientficas e tecnolgicas. Grande parte dasvariveis contnuas de interesse prtico segue esta distribuio, aliadaao Teorema do Limite Central (TLC), que a base das estimativas e

dos testes de hipteses, realizados sobre a mdia de uma populaoqualquer, e garante que a distribuio amostral das mdias segue umadistribuio normal, independentemente da distribuio da varivel emestudo, como ser visto mais adiante.


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A funo densidade de probabilidade da distribuio normal dada por:

onde e so a mdia e desvio-padro, respectivamente, da distri-buio de probabilidade e corresponde a 3,1415 e exp a uma funoexponencial.

O grfico da distribuio normal, utilizando a funo mostradaanteriormente, e os conceitos vistos no mdulo de Matemtica, sodados por:

Voc encontrar a seguir as principais propriedades da distribui-o normal.

1) simtrica em relao ao ponto x = (50% abaixo e 50%acima da mdia).2) Tem forma campanular (sino).3) As trs medidas de posio, mdia, mediana e moda seconfundem no ponto de mximo da curva (x =).4) Fica perfeitamente definida conhecendo-se a mdia e odesvio-padro, pois outros termos da funo so constantes.5) Tem dois pontos de inflexo em x = .


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A varivel X temdistribuio normal com

mdia m e desvio s.

6) assinttica em relao ao eixo das abscissas .

7) A rea compreendida entre a curva e eixo x igual a

1 .

Condio para ser uma funo densidade de probabilidade.

Portanto, a rea sob a curva entre os pontos a e b, em que a < b,representa a probabilidade da varivel X assumir um valor entre a e b.

Conceitos vistos em Matemtica e em variveis aleatrias.

Deste modo, a probabilidade de um ponto qualquer nula:

A notao utilizada para a distribuio normal ser a apresenta-da a seguir:

X~N(,)

Verifica-se que a probabilidade em um ponto zero, pois deum ponto a ele mesmo no existe rea, e como nas distribui-es contnuas a rea entre a funo e o eixo das abscissascorresponde probabilidade.

Como voc pode notar, o clculo de probabilidades via distri-buio normal envolve a soluo de integrais que no so nada trivi-ais. Em virtude da grande aplicao da distribuio normal, procurou-se tabelar os valores de probabilidade, que seriam obtidos por meio da


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integrao da funo densidade de probabilidade normal num deter-minado intervalo.

A dificuldade para processar esse tabelamento se prendeu na

infinidade de valores que (mdia) e (desvio padro) poderiam as-sumir. Nestas condies, teria que se dispor de uma tabela para cadauma das infinitas combinaes de e , ou seja, em cada situao quese quisesse calcular uma probabilidade.

Para resolver este problema, podemos obter uma nova forma paraa distribuio normal, que no seja influenciada por e . O problemafoi solucionado mediante o emprego de uma nova varivel, definida

por , que transforma todas as distribuies normais em uma

distribuio normal reduzida, ou padronizada, de mdia zero e des-vio-padro um, z ~ N(0,1).

Assim, utilizamos apenas uma tabela para o clculo de probabi-lidades, para qualquer que seja a curva correspondente a uma distri-buio normal.

Portanto, para um valor de x = numa distribuio normal qual-quer, corresponde o valor:

, na distribuio normal reduzida.Para x = + , tem-se

, e assim por diante.

Ento, podemos definir a distribuio normal reduzida ou pa-dronizada como sendo uma distribuio da varivel Z que apresentadistribuio normal com mdia zero e varincia um (Z ~ N (0;1)).

A Figura da distribuio normal padronizada apresentada aseguir:


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Figura 5: rea sob a curva normal padronizadacompreendida entre os valores 0 e Z

Fonte: elaborado pelos autores

Veja que na tabela da distribuio normal, os valores apresentadosna primeira coluna correspondem parte inteira e decimal do valor de Z,enquanto os valores da primeira linha correspondem parte centesimal.J os valores encontrados no meio da tabela correspondem s probabili-dades dos respectivos valores compreendidos entre zero e Z.


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Como sugesto, faadesenho da curva co

os valores de x depois transforme pa

os valores de z

Retirou-se a probabildade encontrada d0,5, pois este valo

corresponde probabilidade de zero at

infinito.

Olhando este valor ntabela de z, encontr

remos no meio dtabela o valor d

0,4332, quecorresponde proba

bilidade de z estaentre zero e 1,5

Para que voc possa entender a utilizao da distribuio normal,vamos considerar a situao em que se estudou a durabilidade de umcerto tipo de pneu. Verificou-se que esta durabilidade seguia uma distri-

buio normal com durao mdia 60.000 km e desvio-padro 10.000km. Procurou-se, ento, responder os seguintes questionamentos:

a) Qual a probabilidade de um pneu aleatoriamente escolhi-do durar mais de 75.000 km?X~ N(60000;100002) e procura-se calcular a P(X > 75000) = ?

P(X > 75000) = P(z >1,50)= 0,5 - P(0 < z < 1,50) = 0,4332 == 0,5 -0,4332= 0,0668

b) Qual a probabilidade de um pneu aleatoriamente escolhi-do durar entre 50.000 e 70.000 km?

P(50000< X


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P(63000 < X < 70000) = P( 0,30 < z < 1,00) = 0,3413 +0,1179 = 0,2234

d) Qual a probabilidade de um pneu aleatoriamente escolhi-do durar exatamente 70.000 km?P (X = 70000) = 0

e) O fabricante deseja fixar prazo de garantia, em quilme-tros, de tal modo que, se a durao do pneu for inferior ga-rantia, o pneu seja trocado. De quantos quilmetros deve ser

este prazo, para que somente 1% dos pneus sejam trocados?

x // P(X < x ) = 0,01 ==> z // P(Z < z) = 0,01z = -2,33

Resolva a seguir os exerccios relativos distribuio normal econfira os resultados no final do livro.

Exerccio 11: as rendas mensais dos graduados em um curso deespecializao em uma grande empresa so normalmente distribudascom uma mdia de R$ 2.000 e um desvio-padro de R$ 200. Qual o

valor de Z para uma renda X de R$ 2.200? R$ 1.700?


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UNIDADE

3 Amostragem Amostragem


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A amostragem o estudo das relaes existentes entre a amos-tra, a populao de onde ela foi extrada e a forma como ocorre estaextrao. til na avaliao de grandezas desconhecidas da popula-

o, freqentemente denominadasparmetros, com base no conhe-cimento de grandezas correspondentes das amostras, geralmente cha-madasestimativasou estatsticas(Teoria da Estimao). Tambmauxilia na verificao de diferenas observadas entre duas ou maisamostras (tratamentos), para voc saber se estas diferenas so devi-das a uma variao casual ou se so verdadeiramente relacionadas aosefeitos de tratamentos (Teoria da Deciso).

Portanto, a amostragem tem por objetivo principal determinar

meios e mtodos para estudar as populaes atravs de amostras. Ob-serve que, quando obtemos informaes a partir das amostras e tenta-mos atingir as populaes, estamos realizando uma inferncia.

Em resumo, podemos dizer queamostra um subconjunto dapopulao, necessariamente finito, pois todos os seus elementos seroexaminados para efeito da realizao do estudo estatstico desejado.Se considerarmos, nesta populao de clientes, o tempo de utilizaodiria do telefone fixo, teremos uma varivel aleatria, cuja mdiapopulacional corresponde ao parmetro mdia do tempo de utiliza-o diria do telefone fixo de todos os clientes atuais da empresa tele-fnica. Em geral, a populao muito grande, e a mdia populacional estimada por meio de uma amostra retirada desta populao, peloclculo da mdia amostral x , que corresponde aoestimador, e o resul-tado obtido (valor numrico) corresponder estimativa. O problemade estimao de parmetros um dos importantes tpicos da estatsti-ca inferencial e ser estudado posteriormente.

A utilizao da amostragem ocorre, geralmente, quando quere-

mos avaliar populaes muito grandes ou infinitas.As principais vantagens da utilizao do estudopor amostras

representativas(aquelas que mantm as caractersticas da populaode onde a amostra foi retirada) em relao aocenso (avaliao detoda a populao)so:


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ocorre uma reduo no custo, pois sendo os dados obtidosapenas de uma frao da populao, as despesas so meno-res do que as oriundas de um censo. Tratando-se de grandespopulaes, podem-se obter resultados suficientemente pre-cisos, para serem teis, de amostras que representam apenasuma pequena frao da populao;na prtica ou no dia-a-dia das organizaes, necessrio queos resultados sejam obtidos com a maior rapidez possvel.Portanto, com a amostragem, voc pode apurar os dados esintetiz-los mais rapidamente do que em uma contagem com-pleta. Este um fator primordial, quando se necessita urgen-temente das informaes. Se o resultado de uma pesquisa forconhecido muito tempo depois, bem possvel que a situa-o que voc pretendia resolver, seja, nesse momento, com-pletamente diferente da que existia no momento da coletados dados;outra vantagem corresponde a uma maior amplitude e flexi-bilidade. Em certos tipos de investigao, como pesquisas demercado, tem-se que utilizar pessoal bem treinado e equipa-mento altamente especializado, cuja disponibilidade limita-da para a obteno de dados. O censo completo torna-se im-

praticvel, e resta a escolha em obter as informaes por meiode uma amostra. Portanto, com um nmero reduzido deentrevistadores, por exemplo, o treinamento a ser aplicadoneles de qualidade muito maior do que em um grupo maiorde entrevistadores; ea ltima vantagem a ser citada aqui a maior exatido dosresultados. Em virtude de se poder empregar pessoal de melhorqualidade e intensivamente treinado, e por se tornar exeqvel asuperviso mais cuidadosa do campo de trabalho e do

processamento de dados, favorecendo a uma reduo no volu-me de trabalho, portanto, uma amostragem pode, na realida-de, proporcionar resultados mais exatos do que o censo.

Desta forma, podemos dizer que as amostras a serem trabalha-das devem apresentar uma caracterstica importante, que corresponde representatividade*. Para que as concluses da teoria deamostragem sejam vlidas, as amostras devem ser escolhidas de modo

GLOSSRIO

*Representatividade corresponde possibilidade demanter as mesmascaractersticas pre-sentes na populao.


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a serem representativas da populao. Isso significa que a amostra devepossuir as mesmas caractersticas bsicas da populao, no que dizrespeito (s) varivel(eis) que desejamos estudar. Desta forma, o pla-

no de amostragem deve ser formulado para garantir estarepresentatividade.

Com um plano amostral apropriado, voc considera que seja possvel garantir a representatividade da amostra devido aum erro amostral? Reflita em uma situao.

Uma vez tendo decidido realizar a pesquisa selecionando umaamostra da populao, preciso elaborar o plano de amostragem.O plano de amostragem consiste em definir asunidades amostrais*,maneira pela qual a amostra ser retirada (o tipo de amostragem), e oprprio tamanho da amostra.

Estas unidades amostrais podem corresponder aos prprios ele-mentos da populao, quando h acesso direto a eles, ou qualqueroutra unidade que possibilite chegar at eles. Voc pode considerarcomo populao os domiclios de uma cidade e que se deseje avaliar operfil socioeconmico. A unidade amostral ser cada um dos domic-lios, que corresponder aos elementos da populao. Caso a unidadeamostral for definida como os quarteires, a unidade amostral nocorresponder aos elementos populacionais.

Podemos ter dois tipos de amostragem, as probabilsticas e asno probabilsticas, as quais sero definidas a seguir.

Amostragem probabilstica: quando todos os elementos dapopulao tiveram uma probabilidade conhecida e diferentede zero de pertencer amostra (ex: 50 funcionrios em umaatividade de treinamento, e voc deve selecionar dez funcio-nrios). A realizao deste tipo de amostragem s possvelse a populao for finita e totalmente acessvel.Amostragem no probabilstica: quando no se conhece aprobabilidade de um elemento da populao pertencer amos-

GLOSSRIO*Unidades amostrais correspondem sunidades selecionadasna amostragem paracalcular as estatsticas.


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Pode ser feito pomeio da gerao d

um nmero aleatri

tra. Por exemplo, quando somos obrigados a colher a amos-tra na parte da populao a que temos acesso.

Voc pode notar que a utilizao de uma amostra probabilstica melhor para garantir a representatividade da amostra, pois o acasoser o nico responsvel por eventuais discrepncias entre populaoe amostra. Estas discrepncias so levadas em considerao nasinferncias estatsticas.

Os principais esquemas amostrais so apresentados a seguir.

Amostragem aleatria (casual) simples

Voc deve utilizar a amostragem aleatria simples somente quan-do a populao for homognea em relao varivel que se desejaestudar. Geralmente, atribumos uma numerao a cada indivduo dapopulao, e atravs de umsorteio aleatrioos elementos que vocompor a amostra so selecionados. Todos os elementos da popula-o tm a mesma probabilidade de pertencer amostra.

Imagine que voc queira amostrar um nmero de pessoas queesto fazendo um determinado concurso com n inscritos. Como a po-pulao finita, devemos enumerar cada um dos n candidatos e sorte-ar n deles.


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Amostragem sistemtica

Em algumas situaes, conveniente retirar da populao oselementos que vo compor a amostra de forma cclica (em perodos),por exemplo, quando os elementos da populao se apresentam orde-nados. Porm, de fundamental importncia que a varivel de interes-se no apresente ciclos de variao coincidente com os ciclos de reti-rada, pois este fato tornar a amostragem no aleatria. Esta tcnicade amostragem se chama amostragem sistemtica. Para podermos en-tender melhor, vamos imaginar que voc queira retirar uma amostrade currculos apresentados para um processo seletivo, e a varivel deinteresse corresponde idade dos candidatos. Pode ocorrer que pes-

soas de uma determinada faixa etria deixem para entregar o currculono ltimo dia. Ento, se pegssemos os currculos de forma aleatria,poderamos estar subestimando ou superestimando a idade mdia.Nesta situao foram recebidos 500 currculos ordenados por ordemalfabtica. Deseja-se amostrar 50 currculos para estimar a idade m-dia dos candidatos. Ser utilizada a tcnica de amostragem sistemti-ca, supondo que as idades estejam aleatoriamente distribudas na po-pulao, ou seja, sem qualquer ciclo de repetio.

Primeiramente, deve-se enumerar a populao de 1 a 500 e cal-cular uma constante (K) que servir como fator de ciclo para retirada doscurrculos amostrados. Ento, podemos dividir os 500 currculos pelo ta-manho da amostra (50) que se deseja trabalhar. Teremos uma constanteigual a 10, e os elementos sero amostrados a cada dez elementos. Gene-

37 - estatistica aplicada a administração

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