343o [modo de compatibilidade]) · sãochamadosde geradoresca ou alternadores. geração do sinal...
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27/5/2010
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Escola de Educação Profissional SENAI Plínio Gilberto Kroeff - CETEMP
Análise de Circuitos Analógicos
Eng. Prof. Cristiano Luiz Henz
Análise de Circuitos Elétricos
Eng. Prof. Cristiano Luiz Henz
Geração do Sinal Alternado
Considere um enrolamento, de área S em [m2], formado por N espiras e
imerso em um campo magnético B em [Wb/m2], perpendicular ao eixo de
rotação do enrolamento:
Geração do Sinal Alternado
A tensão produzida nos terminais do sistema analisado é denominada de
tensão alternada. A denominação alternada é decorrente do fato de a
polaridade da tensão induzida sofrer inversão a cada semiciclo.
Conectando uma carga nos terminais desse sistema, surge uma corrente
alternada com as mesmas características da tensão.
Um sinal alternado (tensão ou corrente) recebe a denominação genérica de CA
(corrente alternada) ou AC(alternate current).
Os sistemas elétricos que produzem um sinal CA por meios eletromecânicos
são chamados de geradores CA ou alternadores.
Geração do Sinal Alternado
Geração do Sinal Alternado Geração do Sinal Alternado
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Geração do Sinal Alternado Geração do Sinal Alternado
Geração do Sinal Alternado Geração do Sinal Alternado
Geração do Sinal Alternado Parâmetros do Sinal Alternado
As figuras abaixo mostram os símbolos de um gerador de tensão CA e de um
gerador de corrente CA.
Embora a tensão alterne a sua polaridade e a corrente alterne o seu sentido
periodicamente(a cada meio ciclo), é comum representá-las por setas
unidirecionais, já que todo circuito possui um ponto de referência para as
tensões.
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Parâmetros do Sinal Alternado
O número de ciclos gerados por segundo é a frequencia f, cuja unidade de
medida é ciclos/segundo ou hertz[Hz].
Na figura abaixo temos a representação da frequencia e do período da tensão
senoidal alternada:
].[
];[
:
1
speríodoT
Hzfrequênciaf
onde
Tf
→
→
=
Parâmetros do Sinal Alternado
Amplitudes Características do Sinal Alternado
Um sinal CA(tensão ou corrente) pode ser especificado, em termos de
amplitude, de várias formas diferentes.
Tomemos como referência uma tensão alternada cossenoidal.
• Valor Instantâneo - v(t): o valor instantâneo v(ti) é a amplitude do sinal em
um determinado instante ti.
Matematicamente, ele deve ser calculado pela expressão:
Parâmetros de um Sinal Alternado
Valor de Pico – VP: o valor de pico corresponde à amplitude máxima(positiva
ou negativa) que o sinal possui.
Valor de Pico à Pico – VPP: o valor de pico a pico corresponde à amplitude total
entre os dois pontos máximos(positivo e negativo) e, portanto, ele é o dobro
do valor de pico.
Os valores VP e VPP são mais significativos que o instantâneo , pois por meio
deles é possível comparar a amplitude de sinais diferentes. Além disso, ao
analisarmos um sinal com um osciloscópio, esses valores podem ser
facilmente medidos.
Valor Eficaz ou RMS - Vef, VRMS ou V: o valor eficaz ou RMS(Root Mean
Square ou Raiz Média Quadrática) corresponde ao valor de uma tensão
alternada que, se fosse aplicada a uma resistência, dissiparia uma potência
média, em watt, de mesmo valor numérico de uma tensão continua
aplicada a mesma resistência.
Parâmetros de um Sinal Alternado
O valor eficaz de um sinal alternado é, em termos de amplitude, o mais
importante do ponto de vista prático, pois a tensão e a corrente eficazes
podem ser medidas diretamente, respectivamente, pelos voltímetros e
amperímetros CA.
Parâmetros do Sinal Alternado
Se o sinal está adiantado, a fase inicial θ é positiva na expressão do valor
instantâneo e no respectivo diagrama fasorial, conforme mostram as figuras
ao abaixo.
Observe que o sinal cossenoidal adianta-se quando o seu valor máximo ocorre
antes do instante inicial.
Parâmetros do Sinal Alternado
Se o sinal está atrasado, a fase inicial θ é negativa na expressão do valor
instantâneo e no respectivo diagrama fasorial, conforme mostram as figuras
abaixo.
Observe que o sinal cossenoidal atrasa-se quando o seu valor máximo ocorre
após o instante inicial.
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Parâmetros do Sinal Alternado
Defasagem entre Sinais Alternados
A diferença de fase entre dois sinais de mesma freqüência é chamada de
defasagem. Para que a defasagem possa ser utilizada matematicamente
de um modo mais fácil, é importante estabelecer um dos sinais como
referência.
Defasagem entre Tensão e Corrente
A defasagem entre tensão e corrente é simbolizada por ϕ, tendo a corrente
como referência. Consideremos uma tensão v(t)=Vp.cos(ωt+θv) e uma
corrente i(t)=Ip.cos(ωt+θi), sendo i(t) a referência. Nesse caso, a
defasagem é dada por ϕ=θv-θi.
Parâmetros do Sinal Alternado
Se v(t) estiver adiantado em relação a i(t), a defasagern ϕ será positiva.
No diagrama fasorial, a seta entre os fasores V e I tem a mesma orientação
que a freqüência angular ω, indicando que a defasagem é positiva, isto é,
que a tensão está adiantada em relação a corrente.
Parâmetros do Sinal Alternado
Se v(t) estiver atrasado em relação a i(t), a defasagem ϕ será negativa.
No diagrama fasorial, a seta entre os fasores V e I tem a orientação oposta à
da freqüência angular ω, indicando que a defasagem é negativa, isto é, que
a tensão está atrasada em relação à corrente.
Parâmetros do Sinal Alternado
Defasagem entre Sinais de Mesma Grandeza
A defasagem entre sinais de mesma grandeza (entre tensões ou entre
correntes) será simbolizada por ∆θ ou por uma letra grega qualquer,
diferente de ϕ.
Neste caso, deve-se adotar um dos sinais como referência, como nas figuras
abaixo, em que v1(t) foi adotado como referência e, portanto, v2(t) está
adiantado, resultando em uma defasagem positiva.
Conceito de Impedância
A impedância Z, em ohm[Ω], é um número complexo que caracteriza um
dispositivo ou circuito e reflete tanto a oposição total que ela impõe à
passagem da corrente alternada quanto a defasagem total entre a tensão e
a corrente.
Símbolo genérico de impedância:
Conceito de Impedância
A impedância Z é composta por uma componente real denominada resistência
R e por uma componente imaginária denominada reatância X, isto é:
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Conceito de Impedância Conceito de Impedância
Como sabemos, o nome resistência tem origem no verbo resistir, isto é, opõe-
se a passagem da corrente, sendo uma característica natural dos materiais.
Para nós, a resistência se refere, em princípio, aos dispositivos
denominados resistores. Analogamente, o nome reatância possui origem
no verbo reagir, isto é, opor-se a variação da corrente, sendo uma
característica particular das indutâncias e capacitâncias. Para nós, a
reatância se refere, em princípio, aos dispositivos denominados indutores e
capacitores. Por fim, o nome impedância possui origem no verbo impedir,
isto é, opor-se tanto a passagem quanto a variação da corrente, sendo uma
característica geral de qualquer circuito elétrico formado, em princípio, por
resistores, indutores e capacitores.
Conceito de Impedância
Em relação a componente resistiva R da impedância, podemos afirmar que ela
só pode assumir valores positivos.
Já, em relação a componente reativa X, a situação é outra. Como a
impedância pode adiantar (ϕ+) ou atrasar (ϕ-) a tensão em relação a
corrente , é imediato que isso só é possível matematicamente se a
reatância puder assumir valor positivo (+ jX) ou negativo (-jX).
Conceito de Impedância
De fato, e como veremos, uma indutância comporta-se como uma reatância
positiva (+ jXL) e uma capacitância como uma reatância negativa (-jXC).
Portanto, concluímos que, no campo dos números complexos, uma
impedância pode ocupar apenas o primeiro e o quarto quadrantes do
sistema cartesiano:
Lei de Ohm para Circuito CA
A Lei de Ohm pode ser aplicada aos circuitos que operam em corrente
alternada. Porém, como há a possibilidade de existir defasagem entre
tensão e corrente, conclui-se que:
• a relação entre tensão e corrente não resulta necessariamente em uma
resistência pura, mas em uma impedância Z , em ohm[Ω];
• a Lei de Ohm pode ser tratada matematicamente no campo dos números
complexos.
Para operação em CA, a Lei de Ohm é dada por:
Lei de Ohm para Circuito CA
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Leis de Kirchhoff para Circuito CA
Embora a polaridade da tensão fornecida por um gerador CA se alterne a cada
meio ciclo, do ponto de vista elétrico, um de seus pólos é sempre tomado
como referência, o que nos leva a representar a tensão por uma seta
unidirecional apontada para o pólo "positivo" do gerador.
O exemplo a seguir ilustra esta afirmação:
Leis de Kirchhoff para Circuito CA
Definida essa "polaridade", todas as demais tensões e as correntes passam a
ter, respectivamente, "polaridades" e "sentidos" também definidos.
Considerando ainda que as impedâncias sejam, em princípio, formadas por um
ou mais dispositivos passivos (resistores, indutores e capacitores), do
ponto de vista elétrico, elas serão vistas como receptores, de modo que a
corrente elétrica deve atravessá-las no sentido do pólo "positivo" para o
"negativo" das suas tensões.
Portanto, a representação da tensão e da corrente por setas unidirecionais dá
a essas grandezas, do ponto de vista matemático, uma dimensão algébrica
que deve, necessariamente, ser respeitada nas análises.
Leis de Kirchhoff para Circuito CA
Lei de Kirchhoff para Correntes CA - Lei dos Nós
Considere o nó de um circuito genérico e o sentido das correntes a ele
relacionadas.
Definindo arbitrariamente as correntes que chegam ao nó como positivas e as
que saem do nó como negativas, a Lei de Kirchhoff para correntes CA pode
ser enunciada como segue:
"A soma algébrica das correntes complexas em um nó é igual a zero".
Ou
"A soma dos correntes complexas que chegam a um nó é igual a soma das
correntes complexas que saem desse nó".
Leis de Kirchhoff para Circuito CA
Lei de Kirchhoff para Tensões CA - Lei das Malhas
Considere a malha de um circuito genérico composta por vários bipolos e a
polaridade das tensões sobre eles. Definindo arbitrariamente as tensões no
sentido horário como positivas e as tensões no sentido anti-horário como
negativas, a Lei de Kirchhoff para Tensões CA pode ser enunciada como
segue:
"A soma algébrica das tensões complexas em uma malha é zero".
Ou
"A soma das tensões complexas com polaridade no sentido horário é igual à
soma das tensões complexas com polaridade no sentido anti-horário ".
Associação de Impedâncias
Com base nas Leis de Ohm e de Kirchhoff, podemos facilmente chegar as
fórmulas gerais para o cálculo da impedância equivalente das associações
série e paralela.
Associação Série de Impedâncias
Na associação série, a corrente é a mesma em todas as impedâncias, mas a
tensão V se subdivide entre elas, de modo que, pela Lei de Kirchhoff para
tensões CA:
Associação de Impedâncias
Associação Paralela de Impedâncias
Na associação paralela, a tensão V é a mesma em todas as impedâncias, mas
a corrente I se subdivide entre elas, de modo que, pela Lei de Kirchhoff
para Correntes CA:
Assim, a impedância equivalente Zeq vale:
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Associação de Impedâncias
Se o circuito for formado por duas impedâncias:
Divisores de Tensão Alternadas
Divisor de Tensão
Uma associação série de impedâncias possui como característica a subdivisão
da tensão total aplicada entre as impedâncias que a constituem.
Para um circuito formado apenas por duas impedâncias Z1 e Z2 em série, são
facilmente dedutíveis as fórmulas para o cálculo das respectivas tensões
V1 e V2 em função da tensão total V:
Divisores de Corrente Alternadas
Divisor de Corrente
Uma associação paralela de impedâncias tem como característica a
subdivisão da corrente total aplicada entre as impedâncias que a
constituem.
Para um circuito formado apenas por duas impedâncias Z1 e Z2 em paralelo,
as fórmulas para o cálculo das respectivas correntes I1 e I2 em função da
corrente total I podem também ser facilmente dedutíveis, a saber:
Divisores de Corrente Alternadas
A vantagem de utilizar as fórmulas dos divisores de tensão e de corrente é
poder determinar diretamente algumas tensões e correntes em um circuito,
sem a necessidade de calcular a sua impedância equivalente.
Reatância Indutiva e Capacitiva
A oposição (reação) as variações de corrente no indutor e no capacitor é
denominada reatância X, cuja unidade de medida é ohm [Ω].
No indutor, a reatância XL surge devido a auto-indução, que se opõe as
variações da corrente.
Como conseqüência, a reatância indutiva atrasa a corrente em relação a
tensão. Quanto mais “brusca” for a variação da corrente , maior e a
reatância XL.
Reatância Indutiva e Capacitiva
No capacitor, a reatância Xc surge devido a capacidade de armazenamento de
cargas, de modo que a tensão entre as suas placas não atinge o valor
máximo instantaneamente.
Como conseqüência, a reatância capacitiva atrasa a tensão em relação a
corrente. Quanto mais “brusca” for a variação da corrente, menor a
reatância Xc.
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Resistor em Corrente Alternada
O resistor possui um comportamento ôhmico resistivo e não reativo, pois a sua
resistência é uma constante R, em ohm [Ω], que independe da velocidade
com que a tensão aplicada varia, ou seja, independe da sua freqüência.
Por causa disso, a tensão e a corrente estão sempre em fase, isto é, θv = θi.
Graficamente, a corrente iR(t) que o gerador fornece ao resistor acompanha
temporalmente a tensão v(t) ou vR (t), conforme mostra a figura:
Resistor em Corrente Alternada
Portanto, num circuito puramente resistivo, a defasagem ϕ entre a tensão do gerador e a
corrente que ele fornece é sempre nula, isto é, ϕ= θv-θi=0 .
Resistor em Corrente Alternada
A representação fasorial da tensão e da corrente no resistor consiste nos dois
fasores VR e IR girando em fase (ϕ = 0°) a uma freqüência angular ω.
A figura abaixo mostra o comportamento fasorial da tensão e da corrente no
resistor:
Aplicando a Lei de Ohm por meio dos valores complexos da tensão VR e da
corrente IR no resistor, obtermos a sua impedância Z, cuja fase é sempre
nula e independente de θv e de θi.
Resistor em Corrente Alternada
Isso significa que, no plano dos números complexos, a resistência é
puramente real, isto é, não possui parte imaginária. Portanto, o resistor
possui uma impedância resistiva pura.
Reatâncias Indutiva e Capacitiva
Reatâncias Indutiva e Capacitiva
O indutor L, em henry[H], e o capacitor C, em farad[F], possuem
comportamentos reativos, sendo que as suas reatâncias XL e XC, em ohm
[Ω], dependem da velocidade com que a tensão aplicada varia, ou seja,
dependem da freqüência.
Reatâncias Indutiva e Capacitiva
No indutor, a reatância XL é diretamente proporcional à freqüência e à
indutância:
em que:
XL = reatância indutiva, em [Ω]
L = indutância, em [H]
f = freqüência, em [Hz]
ω = freqüência angular, em [rad/s]
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Reatâncias Indutiva e Capacitiva
Para o capacitor temos o seguinte circuito:
Reatâncias Indutiva e Capacitiva
No capacitor, a reatância XC é inversamente proporcional à freqüência e à
capacitância:
em que:
Xc = reatância capacitiva, em [Ω]
C = capacitância, em [F]
f = freqüência, em [Hz]
ω = freqüência angular, em [rad/s]
Reatâncias Indutiva e Capacitiva
Aplicando uma tensão cossenoidal no indutor e no capacitor, ocorre uma
defasagem ϕ entre a tensão e a corrente que pode ser de 90 (ou
π/2rad), dependendo da natureza da reatância.
Por facilidade, consideraremos que o indutor e o capacitor sejam ideais e as
correntesiL(t) e iC(t) possuam fases iniciais nulas (θi=0 ).
Reatâncias Indutiva e Capacitiva
No indutor ideal a tensão adianta 90 em relação à corrente, ou seja, ϕ=+90 :
Reatâncias Indutiva e Capacitiva
No capacitor ideal a tensão atrasa 90 em relação à corrente, ou seja, ϕ=-90 :
Reatâncias Indutiva e Capacitiva
A representação fasorial da tensão e da corrente no indutor e no capacitor
ideais consiste nos fasores de tensão e corrente em quadratura, girando
com freqüência angular ω:
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Reatâncias Indutiva e Capacitiva
Impedâncias Reativas Puras
Aplicando a Lei de Ohm por meio da tensão e da corrente complexas no
indutor e no capacitor, obtemos as respectivas impedâncias complexas,
cujas fases ϕ são constantes, já que independem de θv e de θi, pois ϕ=θv-
θi= 90 (em função da natureza da impedância).
No indutor, obtemos Z por VL e IL:
Reatâncias Indutiva e Capacitiva
No capacitor, obtemos Z por VC e IC :
Isso significa que, no plano dos números complexos, a reatância é uma
grandeza puramente imaginária, isto é, não possui parte real. Portanto, o
indutor e o capacitor são impedâncias reativas puras.
Reatâncias Indutiva e Capacitiva
No indutor, a parte imaginária é sempre positiva.
No capacitor, a parte imaginária é sempre negativa.
Circuito Resistivo
IRV *=
R
VI =
Circuito Indutivo
X
VI
IXV L
=
= *
LfX L ***2 π=
Circuito Capacitivo
CfXC
***2
1
π=
C
C
X
VI
IXV
=
= *
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Circuito Resistivo-Indutivo em Série Circuito Resistivo-Indutivo em Série
( ) ( )22** IXIRV +=
IRVR *=
ILfVL ****2 π=
Z
R
Z
X
R
X
L
L
=
=
=
O cos
;Osen
;Otan
22XRZ +=
Circuito Resistivo-Indutivo em Série Circuito Resistivo-Indutivo em Série
Exemplo 1: Uma bobina possui uma resistência R=3 Ohms e uma reatância
X=9,42 Ohms. Calcular a corrente que passa na bobina se for aplicada
entre seus extremos uma tensão eficaz de 40Vca e o ângulo de defasagem
entre tensão e corrente.
Solução:
°∴===
=+
=+
==
20,7214,33
42,9
04,442,93
40
2222
R
Xtg
AXR
V
Z
VI
ϕ
Circuito Resistivo-Indutivo em Série
Exemplo 2: Um circuito possui uma resistência R=20 ohms e uma indutância
L=0,06 Henry e é percorrido por uma corrente de 0,6A com 50Hz.
Determinar a impedância, a tensão aplicada, o cosseno do ângulo de
defasagem entre tensão e corrente:
Solução:
°∴===
=Ω==
Ω=+=+=
Ω===
19,43729,042,27
20cos
45,166,0*42,27*
42,2784,1820
84,1806,0*50**2***2
2222
Z
R
VacAIZV
XRZ
LfX
L
L
ϕ
ππ
Circuito Resistivo-Indutivo em Série
Exemplo 3: Através de uma bobina cuja resistência é R=2,3 ohms e indutância
L=0,03 henry, passa uma corrente de 5A, quando nos seus extremos é
aplicada uma tensão alternada de 55 Vac. Calcular a freqüência da
corrente alternada que a atravessa:
Solução:
HzL
Xf
RZX
I
VZ
L
L
8,5603,0**2
7,10
**2
7,103,211
115
55
2222
===
Ω=−=−=
Ω===
ππ
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Circuito Resistivo-Indutivo em Série
Exemplo 4: para medir a indutância de uma bobina, foi aplicada em seus
bornes a tensão de 110Vac com 50Hz e a corrente absorvida foi de 5A. A
resistência elétrica medida resultou de 3 ohms.
Solução:
Hf
XL
RZX
I
VZ
L
L
0694,050**2
8,21
**2
8,21322
225
110
2222
===
Ω=−=−=
Ω===
ππ
Circuito Resistivo-Indutivo em Série
Circuito Resistivo-Indutivo em Série
22
22
22
11
2
1
L
L
XRZ
XRZ
+=
+=
Z
RR
Z
R
Z
R
21
2
22
1
11
O cos
O cos
O cos
+=
=
=
Circuito Resistivo-Indutivo em Série
( )( ) ( )( ) ZIIXXIRRV ***2
21
2
21 =+++=
21
21Otan RR
XX
+
+=
IZV
IZV
*
*
22
11
=
=
Circuito Resistivo-Indutivo em Série
Exemplo 1: através de duas bobinas agrupadas em série, passa uma corrente
alternada com valor eficaz de 100A, e uma freqüência de 50Hz. A
resistência da primeira bobina é R1=5 ohms e a sua indutância é
L1=0,0107H. A resistência da segunda bobina é R2=20 ohms e a sua
indutância é L2=0,5H. Calcular a impedância da primeira, da segunda e a
resultante entre ambas. Calcular a tensão nos extremos da primeira, da
segunda e a resultante entre ambas. Calcular o coseno do ângulo de
defasagem entre a corrente e tensão nos extremos da primeira bobina, da
segunda bobina e de ambas:
Solução:
( ) ( )
( ) ( ) Ω=+=+=
Ω=+=+=
1505,0*50**220***2
60107,0*50**25***2
222
2
2
22
222
1
2
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ππ
ππ
LfRZ
LfRZ
Circuito Resistivo-Indutivo em Série
( ) ( )
°∴=+
=+
=
°∴===
°∴===
===
===
===
Ω=+++=
19,811533,0163
205cos
76,82126,0159
20cos
59,33833,06
5cos
16300100*163*
15000100*150*
600100*6*
163
21
2
22
1
11
22
11
2
21
2
21
Z
RR
Z
R
Z
R
VcaIZV
VcaIZV
VcaIZV
XXRRZ LLT
ϕ
ϕ
ϕ
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Condutância e Admitância de um Circuito
Indutivo
Nos circuitos agrupados em paralelo se apresenta o problema de compor as
correntes defasadas entre si. O problema será facilmente resolvido se for
possível obter dois fatores, que multiplicados pela tensão existente nos
bornes do circuito forneçam as duas componentes ortogonais da corrente:
VbI
VgI
b
g
*
*
=
=
Condutância e Admitância de um Circuito
Indutivo
Aos dois fatores assim definidos dá-se o nome respectivamente de
condutância(g) e suscetância(b) do circuito. A corrente total absorvida pelo
circuito, obtida pela resultante:
Pondo:
Resulta:
De onde:
( ) ( ) ( ) ( ) 222222*** bgVVbVgIII bg +=+=+=
22bgY +=
VYI *=
V
IY =
Condutância e Admitância de um Circuito
Indutivo
O fator Y chama-se admitância do circuito e pode ser considerado como fator
que multiplicado pela tensão aplicada ao circuito, fornece o valor da
corrente absorvida. A expressão abaixo:
Pode ser obtida também pelo triângulo da admitância, que é obtido do
triângulo das correntes construído por uma tensão unitária. Da expressão :
Resulta que:
22 bgY +=
V
IY =
I
VZ
V
IY == pois;
Condutância e Admitância de um Circuito
Indutivo
Pode-se então escrever que:
Examinado agora o triângulo da impedância e o da admitância relativos ao
mesmo circuito, chega-se a conclusão de eles são semelhantes, pois são
dois triângulos retângulos que possuem em comum o ângulo ϕ. A
hipotenusa de um deles é Z e a outra é Y. Comparando estes dois
triângulos conforme as figuras abaixo, sendo o ângulo ϕ comum aos dois
triângulos, pode-se escrever:
YZ
ZY
1 pois;
1==
Condutância e Admitância de um Circuito
Indutivo
Osen ** onde,Osen
O cos** onde,O cos
2
2
YZ
XY
Z
Xb
Z
X
Y
b
YZ
RY
Z
Rg
Z
R
Y
g
=====
=====
Condutância e Admitância de um Circuito
Indutivo
Se as grandezas conhecidas são g, b, Y resulta:
2
2
*
*
Y
bZ
Y
bX
Y
gZ
Y
gR
==
==
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Circuito Resistivo-Indutivo em Paralelo Circuito Resistivo-Indutivo em Paralelo
;tan
;tan
;
;
;***2
;***2
2
22
1
11
22
22
22
11
2
1
2
1
2
1
R
XO
R
XO
XRZ
XRZ
LfX
LfX
L
L
L
L
=
=
+=
+=
=
=
π
π
Circuito Resistivo-Indutivo em Paralelo
;**;**
;cos**;cos**
;*;*
;*;*
;cos*;cos*
;1
;1
222111
222111
2211
222
2
22112
1
11
222
2
22112
1
11
2
2
1
1
21
21
senOIVbIsenOIVbI
OIVgIOIVgI
VYIVYI
senOYZ
XbsenOY
Z
Xb
OYZ
RgOY
Z
Rg
ZY
ZY
bb
gg
====
====
==
====
====
==
Circuito Resistivo-Indutivo em Paralelo
;**;**
*;*
;
222111
2121
21senOIVbIsenOIVbI
VbIVgI
bbbggg
bb
bg
====
==
+=+=
g
bObgY
g
bObgY
g
bObgY
=+=
=+=
=+=
tan;
tan;
tan;
22
2
22
2
2
2
22
1
11
2
1
2
11
;O cos
;Osen
;Otan
I
I
Y
g
I
I
Y
b
I
I
g
b
g
b
g
b
==
==
==
Circuito Resistivo-Indutivo em Paralelo
Exemplo: Em um circuito onde em um ramo possui uma resistência R1=5 ohm
em série com uma indutância L1=0,02H e um outro ramo que possui uma
resistência R2=2 ohms em série com uma indutância L2=0,05H, onde
esses dois ramos estão ligados em paralelo é aplicada uma tensão
alternada de 55Vac de 50Hz. Determinar: as correntes I1 e I2; os
respectivos ângulos de defasagem com a tensão; a corrente total I, o
ângulo de defasagem entre a corrente total com a tensão, a resistência, a
reatância e a impedância equivalentes do arco duplo.
Solução:
Ω=+=+=
Ω=+=+=
85,157,152
828,65
222
2
2
22
222
1
2
11
XRZ
XRZ
Circuito Resistivo-Indutivo em Paralelo
Solução:
°∴===
°∴===
===
===
8385,72
7,15
51256,15
28,6
47,385,15
55
87,68
55
2
22
1
11
2
2
1
1
R
Xtg
R
Xtg
AZ
VI
AZ
VI
ϕ
ϕ
27/5/2010
15
Circuito Resistivo-Indutivo em Paralelo
Solução:
°∴===
=+=+=
=+=+=
=+=+=
===
===
===
===
62869,172,4
82,8
1082,872,4
82,844,338,5
72,444,028,4
44,39919,0*47,3*
44,01263,0*47,3cos*
38,57823,0*87,6*
28,46228,0*87,6cos*
2222
21
21
222
222
111
111
Ig
Ibtg
AIbIgI
AIbIbbI
AIgIgIg
AsenIIb
AIIg
AsenIIb
AIIg
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
Circuito Resistivo-Indutivo em Paralelo
Solução:
ohmsZbY
bX
ohmsZgY
gR
ohmsI
VZ
mhoV
Ibb
mhoV
Igg
ee
ee
e
84,45,5*16,0*
6,25,5*0858,0*
5,510
55
16,055
82,8
0858,055
72,4
22
2
22
2
====
====
===
===
===
Circuito Resistivo-Capacitivo em Série Circuito Resistivo-Capacitivo em Série
22
CXRZ +=
;O cos
;Osen
;Otan
Z
R
Z
X
R
X
C
C
=
=
=
Circuito Resistivo-Capacitivo em Série
Exemplo: uma lâmpada de incandescência de 50Vac absorve uma corrente de
0,065A. Para poder ligá-la a uma tensão de 220Vac, com 50Hz, liga-se um
capacitor em série. Calcular a capacitância do capacitor, o ângulo de
defasagem entre corrente e tensão aplicada e a queda de tensão entre os
bornes do capacitor.
Solução:
Ω=−=−=
Ω===
Ω===
33107703400
3400065,0
220
770065,0
50
2222 RZX
AI
VZ
AI
VR
C
Circuito Resistivo-Capacitivo em Série
VacIXV
R
Xtg
nFXf
C
CC
C
C
215065,0*3310*
762987,4770
3310
9703310*50**2
1
***2
1
===
°∴===
===
ϕ
ππ
27/5/2010
16
Circuito Resistivo-Capacitivo em Série Circuito Resistivo-Capacitivo em Série
21
21Otan RR
XX CC
+
+=
2
1
***2
1
***2
1
2
1
CfX
CfX
C
C
π
π
=
=
Admitância, Condutância e Suscetância de
um Circuito Capacitivo
Se a um circuito, composto por um capacitor e uma resistência, agrupados em
série é aplicada uma tensão alternada, o circuito será percorrido por uma
corrente defasada em adiantamento sobre a tensão do ângulo ϕ. Tal
corrente, por comodidade, é conveniente considerá-la composta por duas
componentes, isto é, a componente Ig=g*V em fase com a tensão, e a
componente Ib=b*V defasada de 90° em adiantamento sobre a tensão, de
maneira que se pode escrever:
Os dois fatores g e b, que multiplicados pela tensão fornecem diretamente as
duas componentes da corrente Ig e Ib, representam respectivamente a
condutância e a suscetância do circuito e representam os catetos do
triângulo das correntes, obtidos aplicando-se ao circuito uma tensão
unitária.
2222* bgVIII bg +=+=
Admitância, Condutância e Suscetância de
um Circuito Capacitivo
A admitância Y é definida por:
A condutância g e a suscetância b do circuito ficam determinadas pelas
relações:
O ângulo ϕ é definido pelas relações:
22ou
1bgY
ZY +==
ϕϕ senYZ
XbY
Z
Rg C *;cos*
22====
Z
X
Y
bsen
Z
R
Y
g
R
X
g
btg CC ====== ϕϕϕ ;cos;
Circuito Resistivo-Capacitivo em Paralelo Circuito Resistivo-Capacitivo em Paralelo
Exemplo: para um circuito que possui em um ramo um resistor R1 de 30 ohms
ligado em série com um capacitor C1 de 120uF, onde este ramo está ligado
em paralelo com um outro ramo que possui um resistor R2=60 ohms ligado
em série com um capacitor de 180uF. A tensão aplicada nos extremos do
arco possui um valor eficaz de 120Vac e freqüência de 50Hz. Calcular:I1; I2;
I; ϕ1; ϕ2; ϕ; g1; g2; Y; Ze; Re; Xe; Ce:
Solução:
Ω=+=+=
Ω=+=+=
Ω===
Ω===
54,6269,1760
04,4033,2630
69,17180*50**2
1
***2
1
53,26120*50**2
1
***2
1
222
2
2
22
222
1
2
11
2
2
1
1
C
C
C
C
XRZ
XRZ
uFCfX
uFCfX
ππ
ππ
27/5/2010
17
Circuito Resistivo-Capacitivo em Paralelo
mhoZ
Rg
mhoZ
Rg
R
Xtg
R
Xtg
AZ
VIA
Z
VI
C
C
01534,054,62
60
00187,004,40
30
162948,060
69,17
418843,030
53,26
92,154,62
120;3
04,40
120
22
2
22
22
1
11
2
22
1
11
2
2
1
1
===
===
°∴===
°∴===
======
ϕ
ϕ
Circuito Resistivo-Capacitivo em Paralelo
°===
===
=+=+=
=+=+=
=+=+=
===
===
74,3103404,0
02106,0
8,4120*04,0*
04,002106,003403,0
02106,000452,001654,0
03440,001534,001870,0
00452,054,62
69,17
65401,004,40
53,26
2222
21
21
22
2
22
22
1
11
g
btg
AVYI
mhobgY
mhobbb
mhoggg
mhoZ
Xb
mhoZ
Xb
ϕ
Circuito Resistivo-Capacitivo em Paralelo
uFXf
C
ohmsZbY
bX
ohmsZgY
gR
ohmsI
V
YZ
C
24216,13*50**2
1
***2
1
16,13*
27,21*
251
2
2
2
2
===
===
===
===
ππ
Circuito RLC Série
22)(
*)()(
CL
CLCLX
XXRZ
IXXVVV
−+=
−=−=
Circuito RLC Série
Exemplo: um circuito RLC série é alimentado por uma tensão de 100Vac,
50Hz. Sabendo que R=10 ohms, L=0,5H e C=20uF. Calcular a reatância
indutiva XL e a capacitiva XC, a impedância total do circuito, a intensidade
da corrente, as tensões V1,V2 eV3, o ângulo de defasagem entre a corrente
e a tensão aplicada nos extremos da série:
Solução:
( ) ( )
AZ
VI
XXRZ
uFCfX
LfX
LC
C
L
6,94,10
100
4,1015716010
16020*50**2
1
***2
1
1575,0*50**2***2
2222
===
Ω=−+=−+=
Ω===
Ω===
ππ
ππ
Circuito RLC Série
°∴===
===
===
===
159615,04,10
10cos
15366,9*160*
15076,9*157*
966,9*10*
3
2
1
Z
R
VacIXV
VacIXV
VacIRV
C
L
ϕ
27/5/2010
18
Circuito RLC Série Circuito RLC Paralelo
Exemplo: um circuito possui os seguintes componentes eletrônicos ligados em
série: um resistor R1=10 ohms, uma indutância L=0,0125H, um resistor
R2=5 ohms e um capacitor C=100µF. Ligados a uma tensão de 125Vac de
50Hz. Calcular:V1,V2, I, ϕ1, ϕ2, ϕ:
Solução:
( ) ( )
( ) ( ) ohms
XXRRZ
ohmsXRZ
ohmsXRZ
LCT
69,31925,384,31510
23,3284,315
74,10925,310
22
22
21
222
2
2
22
222
1
2
11
=−++
=−++=
=+=+=
=+=+=
Circuito RLC Paralelo
°∴=+
−=
+
−=
°∴===
°∴===
===
===
===
50,61861,1510
925,384,31
5,81368,65
84,31
28,213925,010
925,3
98,12694,3*23,32*
31,4294,3*74,10*
94,369,31
125
21
12
2
22
1
11
22
11
RR
XXtg
R
Xtg
R
Xtg
VacIZV
VacIZV
AZ
VI
T
ϕ
ϕ
ϕ
Circuito RLC Paralelo
Circuito RLC Paralelo
Exemplo: um circuito possui dois ramos em paralelo: o primeiro ramo possui
uma resistência R1=5 ohms ligado em série com uma indutância
L=0,0125H e um outro ramo que possui uma resistência R2=10 ohms
ligado em série com um capacitor C=100uF. Os dois ramos em paralelo
estão ligados a uma tensão de 125Vac de 50Hz. Calcular:I1, I2, I, ϕ1, ϕ2, ϕ,
Re, Xe, Ze:
Solução:
AZ
VI
AZ
VI
ohmsXRZ
ohmsXRZ
C
L
74,337,33
125
65,1936,6
125
37,3384,3110
36,6925,35
2
2
1
1
2222
22
2222
11
===
===
=+=+=
=+=+=
Circuito RLC Paralelo
A
II
sen
R
Xtg
R
Xtg
C
L
66,183534,0*74,3*65,19*274,365,91
cos***2III
:seguinte a é totalcorrente a fornece que fórmula a ,90 sendo
3534,020110cos
1107238
72184,310
84,31
38785,05
925,3
22
2121
2
2
2
1
21
2
2
1
1
=−+
=−+=
°>
−=°−=°
°=°+°=
°∴===
°∴===
+
+
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
27/5/2010
19
Circuito RLC Paralelo
ohmsZbX
ohmsZgR
mhosenYb
mhoYg
ohmsI
V
YZ
mhoV
IY
sen
I
II
eee
eee
ee
ee
e
e
e
07,37,6*06836,0*
95,57,6*1326,0*
0683,04581,0*1492,0*
1326,08888,0*1492,0cos*
7,61492,0
11
1492,0125
66,18
4581,0278888,0
65,18
2996,0*74,37865,0*65,19cos*cos*cos
22
22
2211
===
===
===
===
====
===
=∴°=∴
=+
=+
=
ϕ
ϕ
ϕϕ
ϕϕϕ
Circuito RLC Paralelo
Exemplo: para o circuito abaixo, calcule: I1,I2, I3, I, ϕ1, ϕ2, ϕ3, ϕa, ϕb, ϕ, Va e
Vb.
mhoZ
Rg
mhoZ
Rg
ohmsXRZ
ohmsXRZ
ohmsXRZ
ohmsXRZ
0048,023,32
5
0866,074,10
5
32,6925,35
47,167,155
23,3284,315
74,10925,310
22
2
22
22
1
11
222
4
2
44
222
3
2
33
222
2
2
22
222
1
2
11
===
===
=+=+=
=+=+=
=+=+=
=+=+=
Circuito RLC Paralelo
( ) )(0612,0
0578,047,16
7,15
0306,023,32
84,31
034,074,10
925,3
1098,0
0184,047,16
5
231
22
3
33
22
2
22
22
1
11
321
22
3
33
indutivomhobbbb
mhoZ
Xb
mhoZ
Xb
mhoZ
Xb
mhogggg
mhoZ
Rg
a
a
=−+=
===
===
===
=++=
===
Circuito RLC Paralelo
ohmsXXX
ohmsRRR
indutivoohmsY
gZbX
ohmsY
gZgR
ohmsY
Z
mhobgY
at
at
a
aaaa
a
aaaa
a
a
aaa
825,7925,39,3
1257
)(91,38*0612,0*
02,78*1098,0*
8125,0
11
125,00612,01098,0
4
4
2
2
2
2
2
2
2222
=+=+=
=+=+=
====
====
===
=+=+=
Circuito RLC Paralelo
°∴===
°∴===
===
===
°∴===
===
=+=+=
38785,05
925,3
295595,07
917,3
11,5572,8*32,6*
76,6972,8*8*
33652,012
825,7
72,832,14
125
32,14825,712
4
4
4
2222
R
Xtg
R
Xtg
VacIZV
VacIZV
R
Xtg
AZ
VI
ohmsXRZ
b
a
aa
b
aa
t
t
t
ttt
ϕ
ϕ
ϕ
Circuito RLC Paralelo
°∴===
°∴===
°∴===
===
===
===
7214,35
7,15
8437,65
84,31
213925,010
92,3
23,447,16
76,69
16,226,32
76,69
49,674,10
76,69
3
33
2
22
1
11
3
3
2
2
1
1
R
Xtg
R
Xtg
R
Xtg
AZ
VI
AZ
VI
AZ
VI
a
a
a
ϕ
ϕ
ϕ