34-66 aritmetica

34Innovador sistema educativo TRI

La sabiduría del águilaEl águila es el ave con mayorlongevidad de esas especies. Llegaa vivir 70 años, pero para llegar aesa edad, a los 40, debe tomar unaseria y difícil decisión.A los 40 años, sus uñas están apretadas y flexibles y no consiguetomara sus presas de las cuales se alimenta. Su pico largo y puntiagudo, securva, apuntando contra el pecho. Sus alas están envejecidas y pesadas y susplumas gruesas. Volar se hace ya tan difícil! Entonces, el águila tiene solamentedos alternativas: morir o enfrentar un dolorido proceso de renovación que durara150 días. Ese proceso consiste en volar hacia lo alto de una montaña y quedarseahí, en un nido cercano a un paredón, en donde no tenga la necesidad de volar.Después de encontrar ese lugar, el águila comienza a golpear su pico en la paredhasta conseguir arrancarlo. Luego debe esperar el crecimiento de uno nuevo conel que desprenderá una a una sus uñas. Cuando las nuevas uñas comienzan anacer, comenzará a desplumar sus plumas viejas. Después de cinco meses, salepara su vuelo de renovación y a vivir 30 años más. En nuestras vidas, muchasveces tenemos que resguardarnos por algún tiempo y comenzar un proceso derenovación para continuar un vuelo de victoria, debemos desprendernos decostumbres, tradiciones y recuerdos que nos causaron dolor. Solamente libres delpeso del pasado podremos aprovechar el resultado valioso que una renovaciónsiempre trae.

En tu vida ¿Habido un momento en el cual tenías que renovar?

INTRODUCCIÓN:En este capítulo estudiaremos los números primos que desde laantigüedad a interesado a grandes matemáticos como (Gauss, Fermat, Euler,…,etc.) siendo el matemático Griego Euclides el primero en descubrir los númerosprimos y el reto actual de los matemáticos es encontrar la fórmula que permitaencontrar todos los números primos lo cual no a sido posible hasta el momentopero hoy en día se ha encontrado números primos más grandes gracias a lamemoria de las grandes súper computadoras, siendo los últimos números primos

:- 1993372 1 que tiene 6002 cifras (en el año 1971).- 2170012 1 que tiene 6511 cifras (en el año 1979).- 8 5 9 4 3 32 1 que tiene 258716 cifras (en el año 1994).- 69725932 1 que tiene más de dos millones de cifras (en el año 1999).

Para esto es necesario recordar que Divisor de un número es cualquiervalor que lo divide en partes enteras como por ejemplo los div isores delnúmero 40 son: 1; 2; 4; 5; 8; 10; 20 y 40.Divisor Propio: Es todo aquel divisor del número menor que dichonúmero, tomando el ejemplo anterior diremos que los divisores de 40 son:

4 0

1 2 4 5 8 1 0 2 0 D iv iso res P ro p ios

Llamados también números primos absolutos; número primo es aquel númeroque tiene dos divisores únicamente: la unidad y el mismo.Por ejemplo:

2

1 2

3

1 3

5

1 5…………

TABLA DE NÚMEROS PRIMOS MENORES QUE 200

2 3 5 7 11 1 3 17 1 9 2 32 9 31 3 7 4 1 4 3 4 7 5 3 59 616 7 71 73 7 9 8 3 89 9 7 10 1 1 03

1 0 7 1 09 1 13 1 27 1 3 1 1 37 13 9 1 49 1 511 5 7 1 6 3 1 6 7 1 79 1 8 1 19 1 1 93 1 97 19 9

OBSERVACIÓN:- No existe fórmula para hallar los números primos.- La serie de los números primos es infinita.- El único número primo par es el 2 , entonces los demás sonimpares.- Si «P» es un número primo mayor que 2 cumple ser 4 1 .

- Si «P» es un número primo mayor que 3 cumple ser 6 1 .- Números simples son:

N ú m e r o s p r im o s1 ; 2 ; 3 ; 5 ; . . . .

Se llama número compuesto a todo número que tenga más de dos divisores.Esta serie es más abundante e infinita. Como por ejemplo: 4

1 2 4

6

1 2 3 6……….

Se dice que dos o más números son primos entre sí, solo si tienen unúnico divisor común que siempre es la unidad.

Ejemplo:Número Divisores

15 1 ;3; 5; 15 16 1 ; 2; 4; 8 ; 16

Como vemos en el ejemplo el único divisor común que tienen losnúmeros 15 y 16 es la unidad por consiguiente estos números son primos entresí o primos relativos.NOTA: El número uno NO es primo NI compuesto, por que sólo tiene unsolo divisor que es el mismo es un número SIMPLE.

REGLA PARA DETERMINAR LA PRIMALIDAD DE UNNÚMERO ENTERO POSITIVO Primero se extrae la raíz cuadrada aproximadamente del número N. Luego se toma todos los números primos menores a esta raízcuadrada de N. En seguida se comprueba si estos números primos lo dividennúmero N.

TEMA XIINÚMEROS PRIMOS

ARITMÉTICA

35No esperes el Éxito...Búscalo ahora!!!

Si ningún número primo lo divide en cantidad entera y exacta a lnúmero N se dice que éste número es Primo. Si algún número primo lo divide al número N, se dice que éstenúmero es Compuesto.Ejemplo: Determinar si 149 es un número primo.

149 12, 2Los números primos menores a esta raíz cuadrada son :

2; 3; 5; 7; 11 12, 2Dividimos 149 entre todos ellos:

149 2741

149 3492 149 5

294149 7

212149 11

136Como vemos que ninguno lo divide exactamente, entoncespodemos decir que 149 es un número primo!!

DESCOMPOSICIÓN CANÓNICA DE UN NÚMERO ODESCOMPOSICIÓN DEL NÚMERO EN SUS FACTORES PRIMOS(TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA OTEOREMA DE GAUSS)Todo número entero mayor que uno se puede descomponer como el productode sus factores primos elevados a exponentes enteros positivos y dichadescomposición es única.Ejemplo:

1800 2900 2450 2225 3

75 325 5

5 51

3 2 21800 2 3 5

TABLA DE DIVISORES DE EL NÚMERO 1800:- Primero hallamos todas la potencias consecutivas del 2 y luego estosresultados colocamos a la cabeza de la tabla:- En seguida hallamos las potencias del 3 y del 5 empezando con el exponente1 y colocamos estos resultados en columna.- Luego multiplicamos todos los factores del 3 con los factores del 5 y colocamosen seguida (también en columna ).

0 1 2 32 2 2 21 2 4 8

3 3 6 12 249 9 1 8 3 6 72

5 5 1 0 2 0 4025 2 5 5 0 1 0 0 2 00

1 5 15 3 0 60 1 2 07 5 7 5 1 50 3 0 0 60 045 4 5 9 0 1 8 0 3 60

2 2 5 22 5 4 5 0 9 0 0 18 0 0

Potenc ias del 2Potenc ias del 3

Potenc ias del 5

Factores que resu ltan de la comb inación del p roducto de los fac tores del 3 con los del 5.

D ivisores del número 1800

Entoncelos divisores del número 1800 son todos los valores que están a laderecha de la línea vertical.

Para hallar la cantidad de los divisores de un número ( (N)CD )primero se descompone a los números en sus factores primos.

N= a .b (N)CD = ( + 1)( + 1) Ejemplo: Hallando la cantidad de divisores del número 20.

220 2 .5

(2 0 )C D = (2 + 1 ) (1 + 1 )= 3 . 2= 6

CANTIDAD DE DIVISORES COMPUESTOS DE UN NÚMERO:Para hallar la cantidad de divisores compuestos de un número N, se resuelvecon la fórmula:Ejemplo:Hallar la cantidad de divisores compuestos del número 400.

Solución:Primero descomponemos el número 400:4 2400 2 .5

Para hallar la cantidad de divisores primos bastará fijarnos en las basesde la descomposición; entonces los divisores primos del 400 son 2 y 5; porlo tanto tiene dos divisores primos. Entonces aplicamos en la fórmula: (N) primos compuestosCD CD CD 1 com puestos

co mpuestoscompuestos

compuestos

(4 1)(2 1) 2 CD 15 . 3 3 CD

15 3 CD12 CD

Para hallar la cantidad de los divisores de un número ( (N)SD ) primero sedescompone a los números en sus factores primos.

N= a .b

1 1a 1 b 1S D(N ) a 1 b 1

Ejemplo: Hallando la suma de los divisores del número 20.

220 = 2 .5 2 1 1 1

(2 0 )2 1 5 1S D 2 1 5 17 . 6

4 2

Para hallar el producto de los divisores de un número ( (N)PD ); primero senecesita hallar la cantidad de los divisores del número (N)CD ; la fórmulaque nos permite encontrar el producto de divisores es:

CD(N)PD NEjemplo: Hallando el producto de los divisores del número 20.

(20)CD 6 , entonces reemplazamos en la fórmula. 6(2 0 )

3P D = 2 0

2 0

Para hallar la suma de las inversas de los divisores de un número( (N)SID ), primero se tiene que hallar la suma de los divisores del número

(N)SD ; la fórmula que nos permite a encontrar la suma de las inversas delos divisores del número es:

(N)SDSID NEjemplo: 'Hallando la suma de las inversas de los divisores de 20.Como (N)SD 42 , entonces este resultado reemplazamos en la fórmula:

(N )

4 2SID 2 02,1


Llamado también Función Euler « (N) », nos indica cuantos númerosmenores o iguales a un número N son primos entre sí con él.

Primero se descompone al número en sus factores primos:N=a . b

Luego se aplica la siguiente fórmula:1 1.( 1). .( 1) N a a b b

Ejemplo: Hallar cuantos número menores que 500 son primos entre sícon él.Solución:3 2N 500 5 .2= =

3 1 2 1(N) 5 (5 1).2 (2 1)- - = - - (N ) 25. 4.2. 1 = (N ) 20 0 =

Entonces el número 500 tiene 200 números menores que él que son primosentre sí con él.

cantidad de formas posibles en que un número N se puede expresar comoel producto de dos números enteros, se da por la fórmula:( )

( )º ;2N

NCDN de formas si CD es par

( )( )

1º ; .2N

NCDN de formas si CD es impar

Ejemplo: De cuantas formas diferentes 40 se puede expresar como elproducto de dos números enteros.Solución:Primero hallamos la cantidad de divisores de 40:

340 2 .5(40) (3 1)(1 1) 8CD

Luego reemplazamos en la fórmula: (4 0 )C D 8N º d e fo rm a s 42 2

NÚMERO PERFECTO:Es aquel número que es igual a la suma de sus divisores propios.Ejemplo:El número 6 es perfecto por que la suma de sus divisores propios es 6:

6

1 2 3 6Diviso re s pro p ios

NÚMERO DEFECTUOSO:Es aquel número cuya suma de divisores propios es menor que el número.Ejemplo:El número 4 es un número defectuoso por que sus divisores propios son: 1y 2; y la suma de estos divisores es: 1 2 3 ; y este resultado esmenor que 4.NÚMERO ABUNDANTE:Es aquel número cuya suma de divisores propios es mayor que el número.Ejemplo:El número 12 es un número abundante por que sus divisores propios son:1; 2; 3; 4; 6; y la suma de estos divisores es: 1 2 3 4 6 16 yeste resultado es mayor que 12.NÚMEROS AMIGOS:Dos números son amigos cuando la suma de los divisores propios de uno esigual al otro número y viceversa:

Ejemplo:Los números 284 y 220 son números amigos por que:

N ú m e r o s D i v i s o r e s p r o p i o s L a s u m a d e lo s d i v i s o r e s p r o p io s 2 8 4 1 ; 2 ; 4 ; 7 1 ; 1 4 2 2 2 0 2 2 0 1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 1 0 ; 1 1 ; 2 0 ; 2 2 ; 4 4 ; 5 5 ; 1 1 0 2 8 4

NÚMEROS SATURADOS:Son aquellos números con la mayor cantidad posible de divisores quecualquier otro número menor que él.Ejemplo:El número 24 es un número saturado por que la cantidad de divisores quetiene es 8 y ningún otro número menor que él tiene más divisores que dichovalor.

01. Si: x12 tiene 6 divisores compuestos. Calcule x.a) 4 b) 5 c) 6 d) 8 e) 7

02. Hallar «x» si: xN 6 162 tiene 40 divisoresa) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 1

03. Si: k 2 kN 13 13 tiene 75 divisores compuestos. Hallar «k»a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

04. ¿Cuántos ceros debe tener?N 2000...00

para que el resultado tenga 86 divisores?a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

05. Calcular la cantidad de divisores de n18 , si: n16 tiene 28 divisores menosque n2 0 .a) 27 b) 36 c) 45 d) 63 e) 54

06. Hallar el valor de «n» si el número de divisores de: nP 3 21 es 2/3 delnúmero de divisores de: nQ 98a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

07. Hallar «k» sabiendo que: kN 15 30 tiene 291 divisores que no sonprimos.a) 3 b) 4 c) 2 d) 5 e) 1

08. Hallar «n» para que el número n9 12 tenga 33 divisores más que: 2448a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 809. Sabiendo que n35 tiene a4 divisores. ¿Cuántos divisores tendrá?

n aE 33 33 a) 238 b) 272 c) 298 d) 294 e) 296

10. ¿Cuál es el menor número por el que se debe multiplicar a 648 para obtener40 divisores?a) 5 b) 7 c) 8 d) 16 e) 12

11. Si 12 .10 .35n n nP tiene 60 divisores positivos, hallar el número dedivisores positivos no múltiplos de 35a) 32 b) 28 c) 36 d) 24 e) 42

12. Halla la suma de los divisores positivos del número de tres cifras cuyadescomposición canónica es b aa .ba) 1642 b) 1946 c) 1765 d) 1862 e) 1953

13. El numero a 3 b cN 2 .3 .5 donde a,b,c Z tiene 26 divisores positivosmúltiplos de 8, pero no de 120, calcular el valor de (b+c-a).a) 7 b) 10 c) 15 d) 11 e) 9


14. Si el producto de los divisores positivos de un número es:(2231).(3385) , hallar la cantidad de divisores positvos cúbicos de este número.a) 12 b) 15 c) 14 d) 18 e) 10

15. El menor número positivo que tiene 15 divisores que son cuadrados perfectostiene la siguiente descomposición canónica x ya b . Hallar el valor dea+b+x+ya) 14 b) 13 c) 17 d) 15 e) 18

1. Hallar la cantidad de divisores y la suma de los divisores del número 200.responder la suma de dichos resultados.a) 477 b) 229 c) 154 d) 129 e) 612

2. Del número 480 se pide hallar:a) Cuantos divisores múltiplos de 5 tiene?b) Cuantos divisores múltiplos de 4 tiene?c) Cuantos divisores múltiplos de 8 tiene?Contestar la suma de dichos resultados.a) 20 b) 30 c) 50 d) 40 e) 80

3. Si: n12 tiene 63 divisores compuestos. Calcule «n».a) 4 b) 5 c) 6 d) 8 e) 7

4. Hallar la suma de las cifras del menor número positivo que es divisible por21, termina en cifra par y tiene 30 divisores positivosa) 10 b) 9 c) 14 d) 8 e) 6

5. Si N = 8x+2 – 8x , tiene 39 divisores divisores positivos que no son primos,hallar la cantidad de divisores múltiplos del mayor factor primo de N.a) 42 b) 21 c) 24 d) 18 e) 39

El alumno y el maestroUn alumno quería aprender esoterismo de un gran maestro. Insistíamucho para que lo reciba en su clase a lo que el maestro se negaba una y otravez-Maestro es deber enseñar al que lo desea de corazón!-No no lo haré, noinsistas! Un día, mientras el maestro caminaba a la orilla del río que tenía laciudad, apareció el alumno, y le dijo:-Creo que es el momento de que meenseñes Maestro...-Ven. Acércate. —Le dijo el maestro mientras el se aproximabaal agua del rio—El maestro tomándolo de la cabeza lo sumergió en el agua untiempo prudencial, cuando el alumno sentía que se ahogaba comenzó a rasguñarlos brazos del maestro, y cuando este lo hubo sacado le preguntó, ¿Qué pensastecuando te estabas ahogando?, acaso pensaste en tu familia? y el alumno despuésde haber tomado aliento respondió ¡NO!¿En tus amigos? -No- ¿Entonces qué eralo que pensabas o necesitabas?-Tenía hambre de Aire, Oxígeno. Ah!. Entoncescuando tengas esa misma hambre por aprender ese día te enseñare.

Se llama máximo común divisor de dos o más números al mayor de losdivisores comunes a esos números.Se designa por las iniciales M.C.D. ó D. Así el máximo común divisor de losnúmeros a, b y c, se escribirá:

M.C.D.(a,b,c) ó D(a,b,c)=DEjemplo: Hallar el M.C.D. de los números 24 y 78:Se escriben los divisores de cada número.

Divisores de 24: 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12 y 24.Divisores de 78: 1; 2; 3; 6; 13; 26; 39 y 78.Los divisores comunes de ambos grupos de divisores son:1; 2; 3 y 6.Luego el M.C.D. es el divisor mayor común encontrado, es decir M.C.D.(24; 78) = 6 ó D = 6MÉTODOS PARA HALLAR EL M.C.D.1.- Descomposición de los números en sus factores primos.2.- Descomposición de los números en forma simultanea.3.- Por divisiones sucesivas o Algoritmo de Euclides.

1.- DESCOMPOSICIÓN DE LOS NÚMEROS EN SUS FACTORESPRIMOS.Cuando los números son muy grandes y mentalmente no se puededeterminar por que números será divisible y nos resulta sumamente laboriosose recurre a descomponer pacientemente cada uno de los números enforma canónica (Teorema fundamental de la aritmética).Regla. Para hallar el M.C.D. de dos o más números, se les descomponeen sus factores primos y se multiplican los factores comunes afectados desus menores exponentes.Ejemplo.Hallar el M.C.D. de los números 2520; 720 y 540.

2 5 2 0 1 2 6 0 6 3 0 3 1 5 1 0 5 3 5 7 1

2 2 2 3 3 5 7

… … .. 7 2 0 3 6 0 1 8 0 9 0 4 5 1 5 5 1

2 2 2 2 3 3 5

… … . 5 4 0 2 7 0 1 3 5 4 5 1 5 5 1

2 2 3 3 3 5

3 24 22 3

2 2

2 5 2 0 2 3 5 77 2 0 2 3 55 4 0 2 3 5

M.C .D. 2 3 5 1 8 0Lu e g o M.C .D.(2 5 2 0 ; 7 2 0 ; 5 4 0 ) 1 8 0

2.- DESCOMPOSICIÓN SIMULTÁNEA DE LOS NÚMEROS.El método consiste en dividir todos los números al mismo tiempo por unfactor común, los cocientes nuevamente se dividen por un factor común yasí sucesivamente hasta que nos queden cocientes o números primos entresí. Luego el M.C.D. de los números será el producto de los factores comunes.Ejemplo.Hallar el M.C.D. de los números 1140; 780 y 960.

1 1 4 0 5 7 0 2 8 5 9 5 1 9

– – – – –

7 8 0 3 9 0 1 9 5 6 5 1 3

– – – – –

9 6 0 4 8 0 2 4 0 8 0 1 6

2 2 3 5

2Lu e g o : M.C .D .(1 1 4 0 ; 7 8 0 ; 9 6 0 ) 2 2 3 5

M .C .D . (1 1 4 0 ; 7 8 0 ; 9 6 0 ) 2 3 5M .C .D . (1 1 4 0 ; 7 8 0 ; 9 6 0 ) 6 0

3.- M.C.D. DE DOS NÚMEROS POR DIVISIONES SUCESIVAS.El siguiente teorema es la base para determinar el M.C.D. de dos números,cuya forma esquemática lleva el nombre de «Algoritmo de Euclides».Teorema.- (Teorema Fundamental). Si A no es múltiplo de B (A>b) , losdivisores comunes del par de números A y B son los mismos que los del parde números B y R y los del par de números B y R’, siendo R v R’ los restospor defecto y por exceso de la división entera A : B.

Demostración.- En efecto: se tienen los tres pares de números A, B; B,R; B y R’. Según (Si un número divide a otros dos, divide a su suma, a sudiferencia y a su producto), todo divisor común del primer par, lo es de losotros dos, y recíprocamente todo divisor común del segundo o del tercerpar lo es del primero, luego los tres pares de números tienen los mismosdivisores comunes.

TEMA XIII MCM Y MCD


Corolario 1º.- El M.C.D. de dos números no divisibles el uno por el otro,es el mismo que el del menor y el resto por defecto o por exceso de sudivisión.Si los tres pares de números A, B; B, R; B y R’ tienen los mismos divisorescomunes, el mayor divisor común de cada par será el mismo en los trespares.M.C.D. ( A, B ) = M.C.D. ( B, R ) = M.C.D.(B, R' )Corolario 2º.- La condición necesaria y suficiente para que dos númerosno divisibles el uno por el otro, sean primos entre si, es que lo sea el menorcon cualquiera de los restos por defecto o por exceso.La condición es necesaria, pues si A y B son primos entre sí, M.C.D.( A, B)= 1, y como.M.C.D. ( B, R ) = M.C.D. ( B, R' ) = M.C.D.(A, B ) , severificará.M.C.D. ( B, R ) 1 B y R prim o s entre sí.M.C.D. ( B, R ') 1 B y R ' p rim o s entre sí.

La condición es suficiente, pues si cualquiera de los pares B, R; B, R’ sonprimos entre sí como:. . . ( , ) 1. . . ( , ) . . . ( , ' ) 1

.M C D B RM C D A B M C D B R

A y B s o n p r i m o s e n t r e s í

TEOREMA DE EUCLIDES.El corolario 1º de teorema mencionado anteriormente, nos indica claramente elprocedimiento a seguir para hallar el M.C.D. de dos números naturales A y B,A>B.En primer lugar se divide A entre B; si el resto es cero:

A = B M.C.D.(A, b) B .Si el resto no es cero, como M.C.D.(A,b) =M.C.D.(B,R1). Se dividirá B entre R1.si el resto de esta división es cero M.C.D.(A,b) =M.C.D.(B,R1)=R1. si la divisiónde B entre R1 no da resto cero y da resto R2, como M.C.D.(B,R1)=M.C.D.(R1,R2).M.C.D.(A,B) =M.C.D.(B,R1)= M.C.D.(R1,R2).

Se divide R1 entre R2 y así sucesivamente, hasta llegar a un resto Rn= 0, cosa que seguramente ocurrirá, pues como cada reto es menor que eldivisor, la sucesión de restos R1, R2, R3, Rn–1 y Rn va disminuyendo. Si: n n 2 n 1 n 1R 0, M.C.D.(A,B) M.C.D.(B,R) . . . M.C.D.(R ,R ) R

Y la forma de proceder es la que indica a continuación, y se denominaAlgoritmo de Euclides.C o cien tes 1q 2q 3q . . . nq

A B 1R 2R . . . n 1R R esto s 1R 2R 3R . . . nR 0

n 1M.C .D. (A, B ) R

En los cocientes sucesivos se colocan los cocientes enteros:1 2 3 nq , q , q , . . . ,q

Es la parte superior para evitar la perdida de espacio que se produciríacolocando cada cociente debajo del divisor.Ejemplo.Hallar el M.C.D. de los números 1112 y 251 por el Algoritmo de Euclides.

C o c ie n t e s 4 2 3 1 1 1 2 A = 1 1 12 B = 2 51 10 8 3 5 3 2 1 R e s t o s 1 0 8 35 3 2 1 0 M .C .D . ( A ,B ) = 1

PROPIEDADES DEL M.C.D. DE DOS NÚMEROS.1. El M.C.D. de dos números divisibles entre si es el menor de ellos.Ejemplo:

a) M.C.D.(40, 1200) 40b) M.C.D.( 2 A, 6 A) 2 Ac) N NM.C .D . ( N , )5 5

d) Si: A B, M.C.D.(A, B) B e) M.C .D . ( 3 7 !, 5 1 !) 3 7 !

2. Todo divisor común de dos números, es divisor del M.C.D. de estos.Ejemplo. M.C.D.(120, 80 ) 40 . Los divisores comunes 2; 4; 5; 8;10 y 20. dividen a 40.

3. Si se multiplican o dividen dos números por un mismo número, su M.C.D.queda multiplicado o dividido por dicho número.Ejemplo. Si A = 120, B = 80. : M.C.D. (120, 80 ) 40

a) M.C.D.(3 A, 3B ) 120b) A BM.C.D.( , ) 85 5

4. Los cocientes de dividir dos números por su M.C.D. son primos entre sí.Ejemplo. M.C.D.(48, 66 ) 6Entonces 48 : 6 = 8 y 66 : 6 = 11Luego: 8 y 11 son primos entre sí.

5. El M.C.D. de dos números de los cuales uno de ellos esta contenido en elotro, es el menor.Ejemplo.M.C.D.(15, 150 ) 15 M.C.D.(12!, 15 !) 12!

6. El M.C.D. de dos números de la forma: n m(x 1) y (x 1) es igual aM.C.D.(n, m)x 1

Se llama mínimo común múltiplo de dos o as números al menor múltiplocomún de esos números.De designa por las iniciales M.C.M. ó M. Así el mínimo común múltiplo delos números a, b y c, se escribirá:M.C.M.(a, b, c) ó M.C.M.(a, b, c) MEjemplo. Hallar el M.C.M. de 6 y 8.

Múltiplos de 6 : 12; 18; 24; 30; 36; 42; 48; 54; . . .Múltiplos de 8 : 16; 24; 32; 40; 48; 56; 64; 72; . . .Múltiplos comúnes : 24; 48; . . .El menor de los múltiplos comunes es 24, luego:

M.C.M.(6, 8) 24 ó M 24 MÉTODOS PARA HALLAR EL M.C.M.1. Por descomposición independiente de los números en sus factoresprimos.2. Por descomposición simultanea o al mismo tiempo de los números.3. por el método del M.C.D.

1. POR DESCOMPOSICIÓN DE LOS NÚMEROS EN SUS FACTORESPRIMOS.La descomposición de los números en sus factores primos, combinada con lacondición de divisibilidad, nos permite obtener por un procedimiento rápidoel M.C.M. de dos o varios números, aplicando la siguiente regla.Regla. El M.C.M. de varios números, será el producto de todos losfactores primos comunes y no comunes afectados a sus mayores exponentes.Ejemplo: Hallar el M.C.M. de 540, 600 y 720.

2 33 24 22 24 3 2

5 4 0 2 3 56 0 0 2 3 57 2 0 2 3 5

1 2 6 0 2 3 5 7M.C .M. 2 3 5 7 7 5 6 0 0

2 . POR DESCOMPOSICIÓN SIMULTANEA O AL MISMO TIEMPODE LOS NÚMEROS.Este método es aun más rápido que el anterior, y consiste en dividir cadauno de los números dados por su menor divisor; lo propio se hace con loscocientes hasta obtener que todos los cocientes sean 1. El M.C.M. es elproducto de todos los divisores primos.Como ejemplo hallemos y comprobemos el M.C.M. con los númerosanteriores.


5 4 0 2 7 0 1 3 5 1 3 5 1 3 5 4 5 1 5 5 1 1 1

– – – – – – – – – – –

6 0 0 3 0 0 1 5 0 7 5 7 5 2 5 2 5 2 5 5 1 1

– – – – – – – – – – –

7 2 0 3 6 0 1 8 0 9 0 4 5 1 5 5 5 1 1 1

– – – – – – – – – – –

1 2 6 0 6 3 0 3 1 5 3 1 5 3 1 5 1 0 5 3 5 3 5 7 7 1

2 2 2 2 3 3 3 5 5 7

4 3 2M .C .M . (5 4 0 , 6 0 0 , 7 2 0 , 1 2 6 0 ) 2 3 5 7M .C .M . (5 4 0 , 6 0 0 , 7 2 0 , 1 2 6 0 ) 7 5 6 0 0

3 . POR EL MÉTODO DEL M.C.D.Teorema. (teorema fundamental). El M.C.M. de dos números, es elcociente de dividir su producto por su M.C.D.A BM .C .M . ( A , B ) M M .C .D .

Regla. Para hallar el M.C.M. de dos números se divide uno de ellos(con preferencia el menor), por el M.C.D. de dichos números y elcociente de multiplicar por el otro.

Si M.C.M.(A, B) M , este número afecta las siguientes formas:1ra. ( A , B ) : M.C.D. ;2da. ( A : M.C.D. ) . B ;3ra. ( B : M.C.D. ) . A.Es conveniente saber elegir de ellas la mas apropiada para demostrar laspropiedades.

PROPIEDADES DEL M.C.M. DE DOS NÚMEROS.1. Todo múltiplo de dos números lo es de su M.C.M. y recíprocamente, todomúltiplo del M.C.M. lo es de los números.2. Si los dos números dados son primos entre sí, el M.C.M. es su producto.Pues si A y B son primos entre sí, M.C.D. = 1, y eligiendo la primeraforma:

M.C.M.(A, B) (A B) : 1 A B Ejemplo. M.C.M. ( 8, 21 ) = 8 21 = 168

3. El M.C.M. de dos números de los cuales uno contiene al otro, es elmayor de ellos..Ejemplo. M.C.M. (30, 120) = 120 M.C.M. (8!, 13!) = 13!

4. El producto del M.C.D. de dos números por el M.C.M. es siempre igualal producto de los números.Ejemplo.22 2

M.C.D. ( 2 0, 3 6 ) 42 0 2 5M.C.M.( 2 0, 3 6 ) 1 8 03 6 2 3

Luego: M.C.M. M.C.D. 4 180 20 36

5. El M.C.M. de dos números es igual al producto de su M.C.D. por loscocientes obtenidos al dividir los números por su M.C.D., es decirM.C.M. M.C.D. q q ' siendo q y q’ los cocientes primos entresí, A : M.C.D. y B : M.C.D.Ejemplo.

2 0q 54 M .C .M . ( 2 0 , 3 6 ) 4 5 9 1 8 03 6q ' 94

6. Si dos números se multiplican por otro, su M.C.M. queda multiplicado poreste otro.

Ejemplo.M.C .M. ( A, B ) M M ( A : D ) . BM.C .D. ( A, B ) D

M.C.D.(An, Bn) M.C.D. n

M.C.M.(An, Bn) (An : Dn) . Bn [(A : D) . B] . n M . n Consecuencia. Si dos números se dividen por un factor común su M.C.M.queda dividido por dicho factor.

7. los cocientes de dividir el M.C.M. de dos números por cada uno de ellos,son primos entre sí.

01. ¿Cuántos divisores comunes tienen los números: 5040; 6720 y 12600?a) 16 b) 20 c) 32 d) 40 e) 24

02. ¿Cuál es el menor número que tiene como divisores a: 48; 90 y 96? Darcomo respuesta la cifra de mayor orden del número calculado.a) 1 b) 2 c) 4 d) 3 e) 5

03. Siendo: nA 12 15 nB 15 12

Además: M.C.D. A,B 1620Hallar el valor de «n» n 1a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

04. Hallar dos números cuyo M.C.D. es 12, sabiendo además que los cocientessucesivos para hallar el M.C.D. por divisiones sucesivas fueron: 1; 2; 2; 3;3.a) 672 y 1144 b) 144 y 948 c) 873 y 948d) 672 y 948 e) 565 y 346

05. La suma de dos números es 972 y al determinar el M.C.D. por el Algoritmode Euclides se obtienen los restos 30; 7; a; b; 0 donde la diferencia entre ay b es 1. Hallar el mayor de los números si los dos primeros cocientes soniguales.a) 815 b) 637 c) 429 d) 324 e) 157

06. Hallar dos números primos entre sí, que se diferencian en 7 unidades y queademás su M.C.M. es 330. Dar como respuesta la suma de cifras del menorde dichos números.a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

07. El cociente de dos números es 13, si el M.C.M. de A y B es 312. Calcularla suma de dichos números.a) 346 b) 354 c) 336 d) 356 e) 332

08. La suma de dos números es 224 y su M.C.D. es 28. Hallar la diferencia dedichos números (una de las soluciones).a) 124 b) 84 c) 112 d) 56 e) 28

09. El producto de dos números es 2100 y su M.C.D. es 10. Hallar la diferenciade dichos números.a) 80 b) 70 c) 60 d) 50 e) 40

10. La razón de dos números A y B es 45/20, si el:M.C.M. (A,B) = 900. Hallar «A».a) 275 b) 225 c) 200 d) 325 e) 175

11. Si d es el máximo común divisor de M y L y está expresado en elsistema binario, donde: 4 8

4 0 8 c i fra s1 0 4 4 c ifra sM 3 3 3 ...3 3 3 y L 7 7 7 .. .7 7 7

halle la suma de las cifras de M + L.a) 90 b) 58 c) 60 d) 80 e) 72

12. Si: MCD 1a7a , b3 b 2 xx , determinar el valor de: a + b + x.a) 10 b) 13 c) 15 d) 11 e) 12


13. ¿Cuántos pares de números existen tal que su MCM sea 3927 y suMCD sea 3?a) 4 b) 8 c) 16 d) 2 e) 32

14. Se desea repartir N caramelos a un grupo de niños. Si se da 3; 4; 5; 6 o9 caramelos a cada niño sobra un caramelo en cada caso, pero si se da 7a cada niño no sobra caramelos. Halle la suma de las cifras del menorvalor de N.a) 8 b) 14 c) 10 d) 12 e) 16

15. Las ruedas delanteras y posteriores de una locomotora miden 250 y 420cm de circunferencia. ¿Qué distancia deberá recorrer la locomotora paraque una de las ruedas de 85 000 vueltas más que la otra?A) 520 km B) 525 km C) 530 kmD) 535 km E) 540 km

1. Hallar la suma de las cifras de sumar el MCM y MCD de los números: 120;360 y 480.a) 1560 b) 120 c) 1440 d) 12 e) 8

2. Hallar la cifra mayor de él producto de multiplicar el MCM y MCD de A; By C, si.2 3A 36 20 3 2B 14 16

2C 35 42 22 a) 0 b) 4 c) 6 d) 8 e) 9

3. Hallar el mayor de dos números cuyo MCD es 5 y los cocientes obtenidosde hallarlo por el Algoritmo de Euclides son: 1; 2; 3; 2; 1; 2 y 2.a) 455 b) 895 c) 735 d) 1055 e) 1790

4. ¿Cuántos números abc cumplen con la condición de que elMCD(abc,360) 30?a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12

5. Si: MCM abc, a 1 b 2 c 3 1148 ,halle el valor de a +b + c.a) 11 b) 13 c) 8 d) 9 e) 7

El escondite perfectoEn el principio de los tiempos, sereunieron varios demonios parahacer una travesura. Uno de ellosdijo: «Debemos quitarles algo a loshumanos, pero?, que les quitamos?». Después de mucho pensar uno dijo: «Yase!, vamos a quitarles la felicidad, pero el problema va a serdonde esconderla para que no la puedan encontrar». Propuso el primero: «Vamosa esconderla en la cima del monte mas alto del mundo», a lo que inmediatamenterepuso otro: «no, recuerda que tienen fuerza, alguna vez alguien puede subir yencontrarla, y si la encuentra uno, ya todos sabrán donde esta». Luego propusootro: «Entonces vamos a esconderla en el fondo del mar», y otro contesto: «No,recuerda que tienen curiosidad, alguna vez alguien construirá algún aparato parapoder bajar y entonces la encontrara». Uno mas dijo: «Escondámosla en unplaneta lejano a la Tierra». Y le dijeron: «No, recuerda que tienen inteligencia,y un día alguien va a construir una nave en la que pueda viajar a otros planetasy la va a descubrir, y entonces todos tendrán felicidad». El último de ellos habíapermanecido en silencio escuchando atentamente cada una de las propuestas delos demás. Analizo cada una de ellas y entonces dijo: «Creo saber donde ponerlapara que realmente nunca la encuentren». Todos voltearon asombrados ypreguntaron al mismo tiempo:»¿Donde?». «La esconderemos dentro de ellosmismos, estarán tan ocupados buscándola fuera, que nunca la encontraran».Todos estuvieron de acuerdo y desde entonces ha sido así: el hombre se pasa lavida buscando la felicidad sin saber que la trae consigo.

Un número aval es la expresión lineal de una fracción expresada en ciertabase, se obtiene al dividir los términos de la fracción.Ejemplo 1

BASE10

38 (decimal exacto) 611 (decimal

periódico puro) 712 (decimal

periódico mixto)

OTRASBASES

34 (exaval exacto) 34 (heptaval periódico

puro) 56 (octaval periódico

mixto)

En general, en toda fracción, al realizar la división de su numerador con sudenominador, genera un número llamado Aval, dependiendo la base en queestá expresado. Un número aval consta de 2 partes:

,parte parteentera aval

na bcdIDEAS FUERZA:Trabajaremos inicialmente con fracciones irreductibles para facilitar las operaciones,los números del ejemplo se llaman decimales debido a que están expresados enbase 10, además el decimal que se genere puede ser exacto o periódico dependiendode los factores que posea el denominador.

E jem p lo :

2 4 : p a rte e n te ra2 4 , 5 26 5 2 : pa rte n o p e rió d ica

6 : p a rte p e r ió d ic a

Y se puede desdoblar, ambas partes con su respectiva base:• 24,427 = 24 + 0,427• 361,45 361 0,45 • 254,368 = 2548 + 0,368• 9 9948,526 48 0,526

DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA DE UN NÚMERO AVALA. En base 10 1

1 2 33 4 572, 345 7x10 2x10 10 10 10

2 3 46 3 6 30,63 0, 6363... ...10 10 10 10

Se observa que a partir de la coma decimal y hacia la derecha todos los dígitosserán divididos entre las potencias consecutivas de 10.B. En otras bases

28 1 2 3 44 5 2 3261,4523 2 8 6 8 1 8 8 8 8

17 1 2 3 45 1 1 142,51 4 7 2 ...7 7 7 7

Decimal exactoUna fracción irreductible va a generar un decimal exacto si el denominador poseeen su descomposición únicamente los factores primos 2 y/o 5. La cantidad decifras que se van a generar en la parte decimal exacta va a estar determinada porel mayor de los exponentes del factor 2 y/o 5 en la descomposición del denominador.

TEMA XIV NÚMEROS AVALES


33 3 0.3758 2

354 54 0.432125 5

2 491 91 0.03642500 2 ·5

3 cifras 4 cifras Periódico puroUna fracción irreductible va a generar un decimal periódico puro si el denominadorno posee factor 2 ni 5, es decir posee otros factores primos. La cantidad de cifrasen la parte periódica va a estar determinada por el número de cifras del menornumeral formado solamente por cifras nueves que contenga al denominador.

Ejemplos:

•

•

•

2 0.666... 0.63

4 4 0.1233 3 1112 0.32437

Periódico mixtoUna fracción irreductible va a generar un decimal periódico mixto si el denominadorposee factores primos 2 y/o 5 y además otros factores primos. La cantidad decifras en la parte no periódica está determinada por el criterio del decimal exactoy el número de cifras de la parte periódica está determinada por el criterio deldecimal periódico puro.Ejemplos:

C. Cambio de base Expresar en los sistemas: decimal, exaval y heptaval.Resolución:

II. FRACCIÓN GENERATRIZ

1. Operar y dar el valor de «M»M = 0 ,0 50 ,0 40 ,0 30 ,0 20 ,0 1

0 ,50 ,40 ,30 ,20 ,1

a) 10 b) 1 c) 0,1 d) 100 e) 10-1

2. Hallar «a + b»si: .a) 1 b) 10 c) 11 d) 9 e) 15

3. Hallar el valor de «b» si se cumple que: 0, ( 1)( )11 9a b a a b

a) 3 b) 2 c) 5 d) 7 e) 44. Hallar la última cifra del desarrollo decimal de:

a) 2 b) 4 c) 5 d) 8 e) 65. Convertir: (5)0,23 a base 6.

a) b) c) d) e)

6. Calcular el valor de ( a + b ) en : 0, 0,ba - 0,1 =1,3ab

a) 4 b) 9 c) 11 d) 15 e) 177. Sabiendo que:

37N = 0, x(x + 1) (2x + 1)

a) 17 b) 27 c) 18 d) 37 e) 118. Si : 0, ....a abbbb , calcule el valor de: 2 2ba a b

a) 21 b) 24 c) 31 d) 23 e) 329. Halle la diferencia positiva de las dos últimas cifras del periodo del número

decimal generado por la fracción 367

a) 8 b) 6 c) 4 d) 5 e) 210. Determine la suma de las dos últimas cifras del periodo del número decimal

generado por la fracción 5914! 7

a) 7 b) 5 c) 9 d) 10 e) 12

11. Si: (16)(8)0,56 0,mn , calcule el valor de: ( m – n ).

a) –3 b) 2 c) –2 d) 1 e) 3

TABLA DE NUEVES

27 7 0.58312 2 3

315 15 0.1704588 2 11

263 63 0.08513740 2 5 37

29 3 299 3 .11 3999 3 .37

29999 3 .11.101 299999 3 .41.271

3999999 3 .7.11.13.37

Aval Exacto

Aval Periódico Puro Aval Periódico Mixto

n nn xx cifras nx ceros

ab...c ab...c0, ab...c 1 00...0 n

n nn yy cifras ny cifras

de...f de...f0, de...f n 1 n 1 ... n 1 n 1

n nnx cifras y cifras nx cifrasy cifras

ab...cde...f ab...c0, ab...c de...f n 1 n 1 ... n 1 00...0

B A S E 1 0 B A S E 7

5240 .524 1000 52 40 .524 999 52 4 52 47 20 .52 4 90 0 9 00

7 77 3752 4 52 40 .5 24 10 0 0 7

7 77 375 2 4 5 2 40 .5 2 4 6 6 6 7 1

7 777

52 4 520 .5 2 4 60 0


12. Si 0, pqrqrqr…(7) = 2 3 4 55 3 3 3 38 8 8 8 8 … , calcule el valor de

( p + r – q ).a) 0 b) 1 c) –1 d) 2 e) –2

13. Dada las fracciones propias e irreducibles

11a y 9

b , si 11a + 9

b = 0,(a+1)(a+b) , determine la suma de la cantidad de cifras periódicas y no periódicas delnúmero decimal generado por la fracción .

( )( )( . )

a bab a b

a) 7 b) 6 c) 11 d) 9 e) 1314. Dadas la fracciones propias e irreducibles

9a y 5

b , si 9a + 5

b – 14a = 0, 9 984126 ,

calcule el valor de . a bb a

a) 2,05 b) 2,7 c) 2,3d) 2,1 e) 2,25

15. Determine la cantidad de cifras no periódicas del número decimal generadopor la fracción 900

28! 18!a) 13 b) 16 c) 19d) 15 e) 14

1. Convertir: (5)0,24 a base 10a) 0,54 b) 0,56 c) 0,57 d) 0,52 e) 0,68

2. Si: 0,127ab , Hallar a + b sabiendo que: MCM(a; b) = 2310

a) 360 b) 372 c) 432 d) 480 e) 5123. Hallar: a +b

Si: 0, 75411 10a b

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 104. Hallar: a +b

Si: 0,75411 10a b

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

El Árbol de los ProblemasEl carpintero que había contratadopara ayudarme a reparar una viejagranja, acababa de finalizar un duroprimer día de trabajo. Su cortadoraeléctrica se daño y lo hizo perder unahora de trabajo y ahora su antiguo camión se niega a arrancar. Mientras lollevaba a casa, se sentó en silencio. Una vez que llegamos, me invito aconocer a su familia. Mientras nos dirigíamos a la puerta, se detuvobrevemente frente a un pequeño árbol, tocando las puntas delas ramas conambas manos. Cuando se abrió la puerta, ocurrió una sorprendentetransformación. Su bronceada cara estaba plena de sonrisas. Abrazo a susdos pequeños hijos y le dio un beso a su esposa. Posteriormente meacompañó hasta el carro. Cuando pasamos cerca del árbol, sentí curiosidady le pregunte acerca de lo que lo había visto hacer un rato antes. «OH, ese

es mi árbol de problemas», contesto.»Se que yo no puedo evitar tenerproblemas en el trabajo, pero una cosa es segura: los problemas nopertenecen a la casa, ni a mi esposa, ni a mis hijos. Así que simplemente loscuelgo en el árbol cada noche cuando llego a casa. Luego en la mañana losrecojo otra vez». «Lo divertido es», dijo sonriendo, «que cuando salgo en lamañana a recogerlos, no hay tantos como los que recuerdo haber colgadola noche anterior».

Concepto.Es una metodología que nos provee de un conjunto de métodos yprocedimientos, para la recolección, organización, análisis e interpretaciónde datos, para la toma decisiones en situaciones de incertidumbre. Porejemplo estudiar la venta de juguetes, para averiguar que meses del añoserá más favorable la producción de ellos.Clases de estadística:- Estadística Descriptiva.Es la que se ocupa de al recolección, organización, presentación, descripcióny simplificación de datos.- Estadística Inferencial.Es la parte de la Estadística que en base a los resultados del análisis de losdatos y a teorías necesarias, pretende inferir las peculiaridades y las leyesque gobiernan la población de la cuál provienen los datos.Población y Muestra.- Población.Es el conjunto de todos los individuos (características comunes), que sepretenden estudiar. Ejemplo.Se desea averiguar la edad promedio de los alumnos de las Academias«PRE - U». del Cusco.- Muestra.Es un sub conjunto de la población Ejemplo:En el mismo ejemplo anterior, solo se considera esta Academia para dichoestudio.Variables Estadísticas:- Variable Cualitativa.Cuando presenta una cualidad, característica o atributo de la poblaciónEjemplo.La variable «contextura» con posibles valores «gruesa», «delgada».- Variable Cuantitativa.Cuando los valores que toma son números.Variable Cuantitativa Discreta.Cuando toma valores enteros, como: La cantidad de Enfermos del SIDA.Variable Cuantitativa Continua.Cuando toma valores fraccionarios como: Tiempo de vida de un foco.Etapas del Estudio Estadísticos.-P lanificaciónR ecolección de la informaciónO rganización, Clasificación y presentación de los datos recolectadosA nálisis e Interpretación de los datos.Presentación de los datos mediante tablas o cuadros.Supongamos que de 10 familias se saca los siguientes datos sobre lacantidad de hijos que tienen:

4 ; 2 ; 3 ; 3 ; 4 ; 1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 3.Tamaño de la muestra( n ).Cantidad total de datos ; n = 10Alcance ( A ).Es el intervalo cerrado del menor y mayor datos: A=[ 1,5]

TEMA XV ESTADÍSTICA I


Rango (R).Ó "recorrido de los datos" es la diferencia del mayor dato con el menordato. R= 5 - 1 = 4Frecuencia Absoluta ( f i).La frecuencia absoluta de un valor, es la cantidad de veces que éste serepite.f 2 = 2 ( el 2 se repite 2 veces)f 3 = 3 ( el 3 se repite 3 veces)f 4 = 3 ( el 4 se repite 3 veces)f 5 = 1 ( el 5 se repite 1 vez)Mediana.- (Med).- Es el término central de varios valores ordenados.Casos:Si la cantidad de datos es impar: los siguientes 7 valores ordenados.

2 ; 4 ; 5 ; 8 ; 9 ; 11 ; 15. Med = 8Si la cantidad de datos es par: Es la Ma de los dos datos centrales; Ej. de6 valores siguientes: 3 ; 5 ; 6 ; 8 ; 9 ; 12. Med = Ma ( 6 y 8 ) = ( 6+8 ) / 2 = 7Mediana para datos agrupados por intervalos de clase:

mm m 1mnM e d L Ff 2

mm

m 1

m

L : L i m ite i n f e r i o r d e l a c la s e m e d ia n a .: A n c h o d e la c la s e d e la m e d ia n a .

n : T o ta l d e d a to s .F : f re c u e n c i a a b s o l u ta a c u m u la d a d e lac la s e q u e p r e c e d e a la c la s e m e d ia n a .f : f r e c u e n c ia a b s o lu ta d e la c la s e m e d ia n a .

-

EjemploI ix if iF

[60, 63 > 61,5 2 2 [63, 66 > 64,5 6 8 [66, 69 > 67,5 4 12[69, 72 > 70,5 6 18[72, 75 > 73,5 2 20

Según se observa existen 20 datos, la mitad de ellos serían 10 datos ydeben corresponder al intervalo [ 66, 69 > que sería la clase mediana3 20Med 66 8 67, 54 2

Moda (Z ó mod).- Es aquel dato que tiene mayor frecuencia, es decir esél que más veces se repite.Ej. 2 ; 3 ; 4 ; 3 ; 2 ; 3 ; 4 ; 3 ; 2Mod = 3 ( por que es el que más se repite)Moda para datos agrupados por intervalos de clase:

o od1Mo L d1 d 2

: L im it e I n f e r io r a la c la s e m o d a l.: a n c h o d e la c la s e m o d a l.

1 : D if e r e n c ia e n t r e la f r e c u e n c ia d e la c la s e m o d a l c o n la c la s e a n t e r io r.

2 : D if e r e n c ia e n t r e la f r e c u e n c ia d e la c la s e m o d a l y la f r e c u e n c ia d e l

oo

L

dd

a c la s e s ig u ie n t e .

Ejemplox if

[ 12, 15 > 10 [ 15, 18 > 15 [ 18, 21 > 25 [ 21, 24 > 20 [ 24, 27 > 10

La clase modal es aquella que tiene la mayor frecuencia absoluta, en estea caso es [ 18, 21>

3 23 4

d1 f f 25 15 10d1 f f 25 20 5

10Mo 18 3 2010 5

01. En una empresa, se hizo el estudio sobre las edades de los empleados y seobtuvo la siguiente tabla.

2 0 2 5 1 22 5 3 0 1 53 0 3 5 2 33 5 4 0 1 14 0 4 5 9

N ú m e ro d eE d a d e s E m p l e a d o s

Total: 70Donde A es el porcentaje de empleados con 30 años o más, B es elporcentaje de empleados con menos de 40 años.Señale A Ba) 148,6% b) 160,8% c) 180,6%d) 186,4% e) 164,8%

02. La siguiente tabla muestra el número de jóvenes que obtuvieron los puntajesseñalados en una prueba de ingreso.

10 15 1015 20 1520 25 2825 30 2030 3 5 17

N úm e ro d ePu ntaje Jó ve n e s

Donde A es el porcentaje de jóvenes con puntaje mayor a 20.B es el porcentaje de jóvenes con puntaje menor a 15. Halle A B .a) 16,6% b) 61,1% c) 46,4%d) 64,6% e) 71,7%

03. Dado el tablero incompleto de la distribución de frecuencias de las notas de50 alumnos. Completar el tablero, con un ancho de clase constante e iguala 2. Señale: ¿cuántos alumnos sacaron un puntaje menor de 10? y ¿quéporcentaje de alumnos obtuvieron 12 ó más de 12 pero menos de 16?

[ , 9[ , 2 2 %[ , 1 1 1 2[ , [ , 7[ , 6 %

i i i i iI x f F h %

a) 20 , 30% b) 30 , 20% c) 25% , 25%d) 20 , 25% e) 30 , 25%04. Dada la siguiente tabla incompleta, de las frecuencias de las edades de 80empleados:

[2 6 , 8 , 7 5 %[ , 2 0[ , 2 0[ , [ , 4 4 1 8 , 7 5 %

i i i i iI x f F h %

Siendo el ancho de clase constante, encontrar:


a) ¿Cuántos empleados tienen más de 30 años?b) ¿Qué porcentaje del total de empleados poseen menos de42 años?a) 37 ; 81, 25% b) 37 ; 18,75%c) 37 ; 31, 25% d) 73 ; 81, 25%e) 73 ; 18,75%

05. La tabla muestra la distribución de pesos correspondientes a 40 estudiantes,con un ancho de clase constante.

[ , > 5 6 ,5 0 ,1 0[ , > 5[ , >[ , > 6 5 ,5[ , > 7[ , > 0 ,1 5

i i iP e s o s Kg x f h

Señale la cantidad de estudiantes que pesan menos de 67 kg y el porcentajede estudiantes que pesan 61 kg o más pero menos de 70 kg.a) 27 y 60% b) 13 y 60,5% c) 27 y 61%d) 13 y 62% e) 27 y 62,5%

06. Dada la siguiente distribución de frecuencias en base al ingreso familiar de200 familias:

[ , > 3 5[ , 2 4 0 >[ , > 4 5 1 2 0[ , > 1 5 7[2 8 0 , >[ , > 2 0

i iIn g re s o f F

¿Cuántas familias tienen un ingreso comprendido entre 230 y 300 soles?a) 100 b) 120 c) 125d) 130 e) 152

07. Dada la siguiente distribución de frecuencias, en base a las edades de 120personas. Se conoce que los que tienen 42 o más años, son menos de 20,de los cuales 3 son casados.

[ , > 2 8 4 n[ , > 8 n[ , > 5 n[3 8 , > 2 m[ , > m

i i i iI x f F

¿Cuántos tienen entre 28 y 32 años?a) 20 b) 22 c) 24 d) 18 e) 16

08. Se conoce la siguiente distribución en base a los pesos de 80 niños.

[1 7 , 2 0 7[2 0 , 2 3 1 8[2 3 , 2 6 5 a[2 6 , 2 9 1 2[2 9 , 3 2 2 a[3 2 , 3 5 8

iP e s o s f

¿Cuántos niños tienen pesos comprendidos entre 21 y 28kg?a) 55 b) 52 c) 50 d) 45 e) 25

09. Dada la siguiente distribución de frecuencias, de ancho constante. Señalecuantos valores se encuentran comprendidos en el intervalo 20 , 30

i i iI f H , 1 5 , 1 0 , , 1 1 m , 93 5 , 1 5 m

Total 60a) 20 b) 30 c) 40 d) 25 e) 35

10. Se tiene la siguiente tabla de frecuencias relativas de 200 personas, segúnel tiempo de años de servicio en una fábrica:

iTie m po h[2 5 0,1 50[5 8 0,1 85[8 11 0, 255

[11 1 4 0, 21 5[1 4 17

¿Cuántos empleados han trabajado entre 10 y 15 años?¿Qué porcentaje tiene 8 ó más años de servicio, pero menos de 14?a) 73 empleados, 74% b) 37 empleados, 47%c) 37 empleados, 74% d) 73 empleados, 47%e) 43 empleados, 77%11. De la siguiente distribución de datos. Hallar la MODA.

1 1 15 15 10 15 10 10 10 1 5 1 1 1 1 15 1 5 1 3 12 10 10 10 5 10 10 3 3 15 5 1 1 1 6 15 10 5 3 3 6 6 15 6 1 1 10 3 3 15 5 6 6 7 5 15 10 5 3 3 7 5 6 6 10 7 5 8 15 3 7 7 5 6 7 5 8 3 8 3 7 7 6 5 5 7 8 15 15 8 15 15 6 7 7 15 8 8 8 5 a) Bimodal b) 5 c) 15d) Trimodal e) 1

12. Hallar la mediana de la siguiente distribución de datos: 10; 15; 13; 5; 7; 17;25; 43; 57; 16; 1; 4; 5; 9 y 10a) 43 b) 13 c) 11,5d) 15 e) 10

13. Hallar el promedio de la siguiente tabla.NOTAS 04 08 10 13 15 18 20 ALUMNOS 30 28 25 20 15 12 10

a) 9 b) 10 c) 11d) 12 e) 1314. Hallar la MODA en la siguiente tabla de datos agrupados de ancho de claseconstante.

10 12 14 13 55 24 17 91

iI ix if iF[ , [ , [ , [ , [ , [ ,


a) 26,38 b) 25,43 c) 31,56d) 26 e) 29,9915. Hallar la MEDIANA en la siguiente tabla de datos agrupados de ancho declase constante.

10 10 % 2 5 13 % 5 6 14% 90 10 0

iI ix if iF ih %[ , [ , [ , [ , [ 3 8 , [ , [ , 6 2

a) 35, 2 b) 36,7 c) 32,6d) 30,5 e) 35,3

1. Según la tabla de distribución de datos. Hallar la MODA.1 5 2 1 2 7 1 9 9 1 1 1 11 1 11 5 2 5 9 1 7 11 5 9 2 2 2 11 3 5 13 5 11 9 2 9 7 13 9 11 11 5 5 9 5 13 13 7 3 3 3 3 7 9 13 2 3 11 11 9 8 8 13 8 7 7 7 9 7 13 13 13

a) 5 b) 7 c) 9 d) 11 e) 132. Hallar el promedio de notas de los 77 alumnos de un aula según la siguientetabla.

NOTAS 02 06 09 X 12 13 17 20 ALUMNOS X 15 30 5 2 3 5 7

a) 9,56 b) 8,47 c) 9,32d) 10,71 e) 9,333. Hallar la MODA en la siguiente tabla de datos agrupados de ancho de claseconstante.

12,5 4 10 20 2 8 36 37,5 40

iI ix if iF[ 1 0 , [ , [ , 2 5 [ , [ , [ ,

a) 20 b) 21,4 c) d) e) 234. Hallar la mediana de los pesos de 400 estudiantes registrados en la siguientetabla.

Peso en (Kg) 30 50 90 120 50 40 20

if54 5758 6162 6566 6970 7374 7778 81

a) 66,5 b) 67 c) 67,5d) 68 e) 68,55. Hallar la mediana de los siguientes datos:

7, 7, 5, 4, 6, 2, 9, 10, 15.a) 6 b) 7 c) 5d) 9 e) 2

Aprender a volarUn rey recibió como obsequio, dospequeños halcones, y los entrego almaestro de cetrería para que losentrenara. Pasando unos meses, elmaestro le informo al rey que uno de los halcones estaba perfectamente peroque al otro no sabía que le sucedía, no se había movido de la rama donde lo dejodesde el día que llego. El rey mandó llamar a curanderos y sanadores para quevieran al halcón, pero nadie pudo hacer volar el ave. Encargó entonces la misióna miembros de la corte, pero nada sucedió. Al día siguiente por la ventana, elmonarca pudo observar, que el ave aun continuaba inmóvil. Entonces decidiócomunicar a su pueblo que ofrecería una recompensa, a la persona que hicieravolar al halcón, a la mañana siguiente, vio al halcón volando ágilmente por losjardines. El rey le dijo a su corte, traedme al autor de ese milagro. Su corterápidamente le presento a un campesino. El rey le pregunto;- ¿Tu hiciste volar alhalcón? ¿Cómo lo hiciste? ¿Eres mago? Intimidado el campesino le dijo al rey:-Fue fácil mi rey, sólo corté la rama, y el halcón voló, se dio cuenta que tenía alasy se lanzó a volar. Conclusión: Usted ¿A qué se esta aferrando que no puede sertodo lo que puede llegar a ser? ¿Qué esta esperando para soltarse?

Diagrama o gráficasHistogramasSon diagramas de barra o rectángulos cuyas bases representan los intervalos declase y las alturas las respectivas absolutas y relativas.Diagrama escalonadoSon diagramas similares a los histogramas con la diferencia de que las alturas sonlas frecuencias absolutas o relativas acumuladas.

Gráficos de sectoresConsiste en dividir a un círculo en cierto número de sectoresproporcionales al número de datos que le corresponde; cada uno de estos sectoresquedará expresado en grados o porcentajes. A estos círculos se le conocecomúnmente como el diagrama del pastel.Ejemplo:

P re fe renc ia por N º de personas

E xp resado en g rad os E xp re sad o en porcen ta je s

A ritm é tica 30 72 20 Á lgeb ra 20 48 13 ,3 G eom etría 40 96 26 ,6 T rig onometría 60 144 40 To ta l 1 5 0

Expresando el número de personas en grados150 360º 30 x

30 360x 72º150

Expresando los grados en porcentajes:360º 100% 72º y

72 100y 20%360

13,3%

26,6%72º

144º ÁLGEBRAGEOMETRÍA

TRIGONOMETRÍAARITMÉTICA

TEMA XVI ESTADÍSTICA II


ESTADÍGRAFOS DE POSICIÓNSon aquellos que describen la posición que ocupa la distribución de frecuenciarespecto a un valor de la variable y son de dos tipos:I. ESTADÍGRAFOS DE TENDENCIA CENTRALa) Media Aritmética ( ,x Ma )

Es el estadígrafo de posición más importante; a la media aritmética se leconoce como simplemente «media» o comúnmente promedio y se definecomo la suma de los valores observados en la muestra dividida por elnúmero total de observaciones.Para datos no tabulados

ni 1 2 3 ni 1

x x x x ... xx n n

ix : Son los respectivos datosn : Número total de datosPara datos tabulados

ni iK i 1i ii 1

y fx y h n

K : Número de intervalosiy : Son las respectivas marcas de claseih : Son las respectivas frecuencias relativasif : Son las respectivas frecuencias absolutas

n : Número total de datosb) Media Geométrica ( g Gx , M )

Se define como la raíz n–ésima del producto de los «n» valores observadosen la muestra; llamada también promedio geométrico.Para datos no tabulados

nn nG 1 2 3 n ii 1x x x x ... x x

n : Número total de observacionesix : Son los respectivos datos

Para datos tabuladosK

i ii 1Gf log y

x an ti log n

K : Número de intervalosif : Son las respectivas frecuenciasiy : Son las respectivas marcas de clase

n : Número total de datosc) Media Armónica ( Hx ; HM )

Se define con el inverso de la media aritmética de los inversos de losvalores observados.Para datos no tabulados

n : Número de observaciones ix : Son los respectivos datos

II. ESTADÍGRAFOS DE LOCALIZACIÓNa) Moda ( 0x , 0M )

De un conjunto de datos, la moda es aquel dato que se presenta conmayor frecuencia. Una distribución puede ser unimodal (Una sola moda)bimodal (2 modas) trimodal (3 modas) etc. Si no existiese moda el sistemasería amodal.

Para datos tabulados10 0 0 1 2

dM L W d d

0L : Límite inferior de la clase modal0W : Ancho de la clase modal

1d : Diferencia entre la frecuencia de la clase modal y lafrecuencia de la clase anterior a ella

2d : Diferencia entre la frecuencia de la clase modal y lafrecuencia de la clase siguiente

b) Mediana ( mx , eM )De un conjunto de datos, la mediana es aquel dato que tiene la propiedadde dividir al conjunto en dos partes igualmente numerosas. Si el número dedatos fuese impar se tomará como mediana el valor central pero si elnúmero de datos fuese par se tomará como mediana la semisuma de losdatos centrales siempre y cuando los datos estén ordenados de menor amayor o viceversa.Para datos tabulados

m 1e m m m

n F2M L W f

mL : Límite inferior de la clase medianamW : Ancho de la clase mediana

n : Número total de datosm 1F : Frecuencia absoluta acumulada de la clase anteriora la clase mediana

mf : Frecuencia absoluta de la clase medianaCUANTILASSon medidas descriptivas que pueden dividir al total de datos en ciertonúmero de partes igualmente numerosas y nace como consecuencia delestudio de la mediana; las principales son:

a) Cuartiles ( iQ )Son aquellos valores que dividen al total de datos ordenados de menor amayor en 4 partes igualmente numerosas.Para datos tabulados

Q 1i Q Q Q

in F4Q L W f

QL : Límite inferior de la clase donde se encuentra elcuartilQW : Ancho de la clase donde se encuentra el cuartil

i : Número que indica el cuartil deseadon : Número total de datos

Q 1F : Frecuencia absoluta acumulada anterior a la clasedonde se encuentra el cuartil

Qf : Frecuencia absoluta de la clase donde se encuentrael cuartil

b) Deciles ( iD )Son aquellos valores que dividen al total de datos ordenados de menos amayor en 10 partes igualmente numerosas.Para datos no tabuladosSe calcula en forma similar a los cuarteles ordenando los datos de menor amayor y hallando el punto de posición correspondiente.

i n 1Punto de posición 10

H n1 2 3 n i 1 i

n nx 1 1 1 1 1...x x x x x


Para datos tabulados

D 1

i D D D

in F10D L W f

DL : Límite inferior de la clase donde se encuentra el decilDW : Ancho de la clase donde se encuentra el decil

i : Número que indica el decil deseadon : Número total de datos

D 1F : Frecuencia absoluta acumulada de la clase anteriora la clase donde se encuentra el decil

Df : Frecuencia absoluta de la clase donde se encuentrael decil

c) Percentiles ( iP )Son aquellos valores que dividen al total de datos ordenados de menor amayor en 100 partes igualmente numerosas.Para datos no tabulados

P 1i P P p

in F1 0 0P L W f

Donde:PL : Límite inferior de la clase donde se encuentra elpercentilPW : Ancho de la clase donde se encuentra el percentil

i : Número que indica el percentil deseadon : Número total de datos

P 1F : Frecuencia absoluta acumulada de la clase anteriora la clase donde se encuentra el percentil

Pf : Frecuencia absoluta de la clase donde se encuentrael percentil

ESTADÍGRAFOS DE DISPERSIÓNSon aquellos que miden la dispersión que existe entre los datos

de una muestra. La descripción más clara de la dispersión son aquellosque tienen que ver la desviación promedio a partir de alguna medida detendencia central, las más importantes son:

I . Desviación media absoluta ( MD )Es el promedio aritmético que existe entre los valores absolutos de las

desviaciones de los datos observados respecto a la media aritmética.Para datos no tabulados

ix : Son los respectivos datosx : Media o promedion : Número total de datos

Para datos no tabulados

K i ii 1M

f y xD n

K : Número de intervalosiy : Son las respectivas marcas de clase

n : Número total de datosif : Son las respectivas frecuenciasx : Media o promedio

Para datos tabulados

K i i ei 1e

f y MDM n

K : Número de intervalosiy : Son las respectivas marcas de clase

if : Son las respectivas frecuencias

eM : Medianan : Número total de datos

II. La Varianza ( XV , 2S )Es el promedio aritmético del cuadrado de las desviaciones de losdatos con respecto a la media aritmética.Para datos no tabulados

2ni2 i 1( x )

x xV S n

n 60

2ni2 i 1( x )

x xV S n 1

n 60

ix : Son los respectivos datos

x : Media o promedion : Número total de datosPara datos tabulados

2Ki i2 i 1(x )

f y xV S n

n 60

2ni i2 i 1(x )

f y xV S n 1

n 60

K : Número de intervalosif : Son las respectivas frecuencias

iy : Son las respectivas marcas de clase

x : Media o promedion : Número total de datos

1. Las ventas de tres empresas A, B y C son mostradas en los gráficosadjuntos (periodo 2008–2010).

40%

10%B

C 50%35%

20%B

C45%

A

20102008Si en el año 2008 las ventas fueron de S/. 1 000 000 y en el año 2010 lasventas aumentaron en un 20%.Respecto a la variación de A:a) Aumenta en un 10% b)Disminuye en un 5%c)Aumenta en un 8% d)No varíae) Aumenta en un 6%

2. Los gráficos siguientes muestran las cantidades de agua que puedenalmacenar dos caños (litros/min).

nii 1M

x xD n


54

4 6 (min)

(litros / min)

(min)

(litros / min)

2 6

54

CAÑO X CAÑO Y

Respecto al gráfico son ciertas:I. Al sexto minuto, ambos almacenan la misma cantidad de aguaII. Luego de 5 minutos las cantidades de agua almacenada son igualesIII. Al cabo de cinco minutos «Y» almacena 23 de litros de aguaa) Sólo I b) Sólo II c) Sólo IIId) Sólo I y III e) Todas

3. En enero del 2008, un inversionista compró acciones de la empresa A, B y C.Por un monto de 36 000 dólares, en las proporciones indicadas en el gráfico I;en el gráfico II se muestra la variación de los precios de cada acción de eneroa diciembre. Determine el monto de las acciones en total, en el mes dediciembre.

A

BC9 0 º

15 0º

12 0 º

51 01 52 02 53 0

51015202530

Ene ro Ju n io DiciembreA

C

B$ /Acción

Gráfico: 1 Gráfico: 2

a) 31500 b) 37500 c) 41500d) 57500 e) 660004. La tabla muestra las notas de ventas de 3 productos A, B y C, en 7distritos. Indique la alternativa correcta.

A B C 12 1 7 1 6 23 3 1 3 0 29 3 9 3 0 50 4 3 4 3 71 6 1 7 0 77 6 9 7 0 88 8 3 7 0

a) La moda en C es 30b) La mediana en B es mayor a la mediana en Ac) La mediana en C es mayor a la mediana en Bd) La media en A es mayor a la media en Ce) La media en C es mayor a la media en B5. El gráfico muestra lo que gana por hora un operario y el gráfico II la cantidadde horas que labora por día.

Gráfico: 1 Gráfico: 2 S/.

403020

DíasL M M J V S D

10

S/.

1086

DíasL M M J V S D

4

Indique la alternativa correcta:a) El día jueves gana el 42% de lo que percibeb) El día viernes gana el 50% de lo que percibe el día domingoc) Lo que gana los días sábado y domingo supera a lo que percibe losdías martes y viernesd) Los días lunes, miércoles y viernes gana más que los días martes,jueves y sábadoe) El ingreso que percibe trabajando los días miércoles, jueves y domingoes menor al que percibe trabajando los días martes, sábado y lunes

6. Un alumno universitario reparte (porcentualmente) su tiempo diario, tantoen invierno como en el verano, en las siguientes actividades: asistir a clase(A); estudiar (B); tomar sus alimentos (C); dormir (D) y recrearse (E) segúnel gráfico que sigue:

A B C D E5

10152025303540

% del día

actividad

verano

invierno

De las afirmaciones:I. En invierno estudia 3,6 horas menos que en veranoII. En verano duerme 2,4 horas más que en inviernoIII. En verano emplea más horas en alimentarse y dormir que enestudiar7. Indique cuál de las siguientes afirmaciones es correcta, considerando lainformación del cuadro de barras adjunto.

431 132210 318

633 142364 521

0 200 400 600 800 1000

Divorciado/aViudo/a

Casado/aSoltero/a

Mujeres Varones

Cantidad de personas que prefieren usar café instantáneo en el desayuno,según estado civil y sexo Septiembre de 2007I. Hay más hombres que mujeres que prefieren usar café instantáneoII. El 28,06% de las personas que prefieren usar café son casadasIII. Hay más viudas que mujeres divorciadasIV. El porcentaje de mujeres solteras que prefiere usar café instantáneoes mayor al porcentaje de viudosa) I, II b) II, III c) I, IIId) II, IV e) III, IV

8. El gráfico muestra el movimiento de entrada de extranjeros (ME) y elnúmero de actos delictivos (ND), en el año 2006.

90120150180

Miles

MesesE F M A M J J A NS O D

Mov. de entrada de extranjeros-----------Número de actos delictivosDel análisis de la información brindada, se puede afirmar:I. Con el aumento de actos delictivos, disminuye el flujo de entrada deextranjeros.II. Hay temporadas altas de entrada de extranjeros, al margen del númerode actos delictivos.III. Los actos delictivos aumentan más rápidamente con la entrada deextranjeros.a) Sólo I b) I y II c) II y IIId) Sólo II e) Sólo III

9. El gráfico muestra los ingresos de una cadena de tiendas:

120º60º 40º60º

E A

BC

D

Ingreso total: $ 18 000 000 ¿Cuánto vendió la tienda B?


a) $ 1 000 000 b) $ 2 000 000 c)$ 4 000 000d) $ 3 000 000 e) $ 2 500 00010. De acuerdo al siguiente gráfico:

Arquitectura

10% 40%

30%Ciencias

50%Letras

25% 25%20%

OtrosAdministración

Derecho Economía

¿Entre qué horas las ciudades A y B se mantienen con la mismatemperatura?a) Entre las 2 y las 3 p.m.b) Entre las 3 y las 4 p.m.c) Entre las 6 y las 7 p.m.d)Entre las 10 y las 11 a.m.e)Entre las 9 y las 10 a.m.

11. El gráfico muestra las carreras preferidas por los alumnos de uncentro preuniversitario:

9 a.m. 10 11 12 1 p.m. 2 3 4 5 6 7 8 Hora

Temperatura(ºC)40353025201510

AB

C

¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas?I. Los alumnos que prefieren estudiar Economía son más que los queprefieren Arquitectura.II. Los alumnos que prefieren estudiar Arquitectura son los 2/3 de los queprefieren estudiar Derecho.III. La relación entre los que prefieren Administración y los que prefierenCiencias es 5/8.a) Sólo I b) Sólo II c)Sólo IIId) Sólo I y II e)Sólo I y III

12. En el curso de Electromagnetismo se tiene las notas de los alumnossegún el siguiente histograma de frecuencias: Hallar la suma denota promedio más la MODA.

a) 11,52 b) 23, 4 2 c) 18,93d) 10, 3 e) 21,85

13. Según el diagrama escalonado. Hallar la sumas de Moda, Mediana ypromedio.

19 24 29 34 39 44

2

9

16

2428

if

iI49

30 Ojiva

a) 33, 3 b) 100,4 c) 101,62d) 146,31 e) 98,56

1. La gráfica muestra la distribución de los gastos de un hogar (la canastafamiliar). Si una familia gana S/. 3000.

Otros Alimento42%

Vestido28%

¿Cuánto más se gasta en alimentos que en salud?a) 300 b) 420 c) 500 d) 600 e) 660

2. En la tabla se muestra las notas obtenidas por un salón de clases en el cursode matemáticas:Nº de alumnos Nota

4 08 8 10

12 12 6 16

¿Cuántos alumnos tienen menos de 18?a) 4 b) 6 c) 12 d) 24 e) 303. La siguiente gráfica presenta la distribución de estudiantes que participaronen el programa atlético de laUniversidad de América del S u rpor un período de tres años:

En qué año se obtuvo el mayor número de estudiantes participando en elprograma atlético?a) 1998 b) 1999 c) 2000d) en todos los años fue igual e) 20054. En el gráfico se muestra la producción de los cinco principales productoresde acero a nivel mundial (en millones de toneladas métricas):

China 127,2Japón 106,4EE.UU. 101,5Rusia 59,1

Alemania 46,4¿Cuál es la producción total de acero de los cinco principales productoresen millones de toneladas métricas?a) 438,1 b) 432,5 c) 448,2d) 440,6 e) 433,5

8 10 12 14 16 18

2 4 6 8

10 12 14

if

iI

020406080

100120140160180200220 200

140

185155 170 170

Año

Nº de alumnos

HombresMujeres

1998 1999 2000


5. De acuerdo al gráfico, responda a las siguientes preguntas:

02468

101214161820

E F M A M J J A S

Sector ASector BSector C

¿En promedio, qué sector posee la menor productividad?a) A b) B c) Cd) Iguales e) A Y B

El Árbol de los Deseos Un viajero muy cansado se sientabajo la sombra de un árbol sin imaginarseque iba a encontrar un árbol mágico, «ElÁrbol que convierte en realidad los deseos». Sentado sobre la tierra dura, elpensaba que sería muy agradable encontrarse una cama mullida. Al momento,esta cama apareció al lado suyo. Asombrado el hombre se instaló y dijo que elcolmo de la dicha sería alcanzado, si una joven viniera y masajeara sus piernastullidas. La joven apareció y lo masajeó de una manera muy agradable-Tengohambre, -dice el hombre,- y comer en este momento sería con seguridad, unadelicia. Una mesa surgió, cargada con alimentos suculentos. El hombre se alegra.Come y bebe. Su cabeza se inclina un poco. Sus párpados, por la acción del vinoy la fatiga, se cierran. Se dejó caer a lolargo de la cama y pensaba ahora en losmaravillosos eventos de este extraordinario día.- Voy a dormir una hora o dos -se dice él-. Lo peor sería que un tigre pasara por aquí mientras duermo. Un tigreaparece enseguida y lo devora. Conclusión

• Usted tiene en si mismo un Árbol de deseos que espera susórdenes.• También puede realizar sus pensamientos negativos y sus temores.• Puede contaminarse de ellos y bloquearse.• Este es el mecanismo de las preocupaciones• En usted esta una vida libre de preocupaciones y de temores, alasombra de su propio Árbol de los Deseos.

1. PROPOSICIÓN1.1. Definición. Es una oración aseverativa con sentido y contenidosignificativo, que puede ser verdadero o falso.Ejemplo: «El triángulo es un polígono de tres lados»- Es una oración aseverativa por que contribuye una propiedad del sujeto.- Tiene sentido por que es aceptada su verdad universalmente.- Tiene contenido por que tiene un referente de carácter abstracto.- Es oración verdadera, es su carácter bivalente de toda proposición (principalcaracterística de la proposición).

1.2. Propiedades intrínsecas de las proposiciones1.2.1. Por su cantidad; las proposiciones pueden ser:- Universales: Cuando abarca una totalidad de elementos.Ejemplo:«Todos los mamíferos son vertebrados»«Ningún pobre es millonario»- Particulares: Cuando abarca una cantidad parcial.Ejemplos:«Algunos políticos son demagogos»«Algunos comerciantes no son honrados»- Singulares: Cuando se refiere a un solo sujeto.Ejemplo:Trujillo es la capital de la libertad.

1.2.2. Por su cualidad: Pueden ser:- Afirmativas: Cuando atribuyen una cualidad.Ejemplos:«El azufre tiene valencia –2»

- Negativas: Cuando rechazan una cualidad.Ejemplos:«El agua no es incolora»

1.2.3. Por su modalidad: Las proposiciones pueden ser:- Asertóricas: Cuando se refiere a una situación de hecho.

Ejemplo:«El cobre es un mineral»Son llamadas también lácticas, plásticas etc.- Apodícticas: Cuando se refiere a una situación necesaria, son tambiénllamadas forzosas.

Ejemplo:«3+5 es necesariamente 8»- Problemáticas: Cuando se refiere a una situación posible, también sonllamadas plausibles.

Ejemplo:«Posiblemente en este verano haya sequía»Ejemplo practico:La proposición: «Einstein es posiblemente el mejor genio del siglo XX»:es:= Singular por su cantidad= afirmativa por su cualidad= problemática por su modalidad

1.3. Clasificación de las proposicionesPor la presencia o no del operador, las proposiciones se clasifican en:1.3.1. Simples o atómicas: Cuando carecen de operadores lógicos:Clases:a) Simples predicativas: Cuando atribuyen una cualidad o circunstanciadel sujeto.Ejemplo:- Ana es muy responsable (cualidad)- Pedro es Chiclayano (circunstancia)b) Simples relacionales: Cuando relacionan dos o más sujetos.Ejemplo: «Manuel escribe a Maria» «Pedro y Juan estudian juntos» «Rosa es vecina de Elena»

Términos relacionalesContemporáneos vecinoMezclan gemelosJuntos amanEscriben fronterizos1.3.2. Compuestas o moleculares: (También llamadas coligativas) sonaquellas que poseen dos o mas proposiciones simples, unidas por un operadorlógico.Clases:- Conjuntivas - Disyuntivas incluyentes- Implicativas - Replicativas- Biimplicativas - Disyuntivas excluyentes- Binegacion conjuntivas - Binegación disyuntivas- Negativas

TEMA XVII LÓGICA PROPOSICIONAL I


FORMALIZACIÓN DE LAS PROPOSICIONES2. Formalización de expresiones del Lenguaje usual y de otras ramasde conocimiento.

2.1. Formalización de proposiciones: Es el proceso de traducción de unconjunto de afirmaciones escritas en lenguaje natural a fórmulas o símboloslógicos.Ejemplo:Formalizar la siguiente proposición: p q

Es falso que el mercurio no es un mineral y que es el menor pesado. Solución:La proposición se formaliza como ( p q)

2.1. Elementos de la proposición:a) Operadores Lógicos: Son símbolos cuyo significado está determinado.

Ejemplo: , , , , , , /, , etc.b) Modos Lingüísticos: Son las diversas formas de expresión lingüística decada operador.Ejemplo: Los modos lingüísticos de la conjunción; además de «y» son «sinembargo», «además», «empero», «no solo … también», «no obstante»,etc.c) Variables proposicionales: Son símbolos de significado indeterminado,ya que representan a cualquier proposición.Ejemplo: A, B, C, D, … etc.d) Signos auxiliares: De jerarquía son los signos de agrupación quesirven para jerarquizar a los operadores y son los siguientes:

, , de menor a mayor jerarquía.Ejemplo: A B B C A C

Componentemenor

SubcomponenteComponente mayor o principal

e ) Jerarquía de las operaciones: Se usa cuando no hay símbolosauxiliares.Criterio de jerarquía:de menor a mayor1º 4º

2º , 5º 3º , 6º (negador complejo)

2.3. Criterios de formalización1 º Identificar operadores.- Para convertir en su explicitación verbal asu símbolo respectivo.

Ejemplo:«Si hay nubes y viento entonces lloverá»Los operadores proposicionales son «si … entonces», «y» cuyos símbolosson: « », « » respectivamente.Además hay que considerar los signos lingüísticos que reemplazan a losoperadores:Ejemplo:«Carlos es estudiante, comerciante y además responsable».El signo lingüístico es (,) que reemplaza a la conjunción ( )Uso de la coma (,): Se usa para reemplazar a la conjunción, disyunciónincluyente, excluyente o al «entonces» en una implicación. Además paraseparar proposiciones.Ejemplo:El sol es un astro estrella. Así mismo una gran fuente de energía. A B C

Pedro es estudiante, profesor o abogado A B CLa sede del próximo mundial será Japón, China o solo Brasil.A B C Si estudias triunfas A B

2 º Elegir variables.= Preposicionales, cada variable representa a unaproposición simple que debe estar en sentido afirmativo.Ejemplo: CA B

Si hay nubes y viento entonces llovera3 º Agruparlos mediante signos auxiliares de jerarquía

Del ejemplo anterior: (A B) CAl agruparlos se vería así: A B C

1. «No solo el mercurio es un metal si no que también se dilata con el calor.Además es un metal liquido». Se formaliza:a) ( A B) C b) ( A B) B c) A B C d) (A B) C e) (A B) C

C la s e s O p e r a d o r S e le e E je m p lo s F ó r m u la F u n c ió n C o n ju n t iv a s , & , , x “Y ” P e d r o e s tu d ia y t r a b a ja

p q C o m p a t ib i l iz a d o r D is y u n t iv a s , “O ” P e d r o e s tu d ia o t r a b a ja

p q A lte r n a d o r Im p l ic a t iv a s , “S i… e n to n c e s ” S i P e d r o e s tu d ia e n to n c e s t r a b a ja

p q C a u s a l id a d

R e p l ic a t iv a s “… S i … ” P e d r o e s tu d ia s i t r a b a ja p q R e c íp r o c o d e l im p l ic a d o r

B im p l ic a d o r , , “S i y s ó lo s i ” P e d r o e s tu d ia s i y s ó lo s i t r a b a ja p q E q u iv a lo r a d o r

D is y u n t o r e x c lu y e n te , , ,_, , > < “o … o ” O P e d ro e s tu d ia o t r a b a ja p q E x c lu s a d o r

B in e g a c ió n e x c lu s iv a D a g a S h e f fe r “N i … n i ” P e d r o n i t r a b a ja n i e s tu d ia p q In a l te rn a d o r B in e g a c ió n d is y u n t iv a / B a r r a N ic o d “N o o n o ” P e d r o t ra b a ja o n o e s tu d ia p / q In c o m p a t i b i l iz a d o r N e g a t iv a s _ , , “N o ” P e d r o n o t r a b a ja

p In v e r s o r

CLASIFICACIÓN DE LAS PROPOSICIONES COMPUESTAS


2. «El triangulo es un polígono o también es una figura geométrica. Al igual quelas figuras planas están formadas por líneas rectas o así como por líneascurvas». Se formaliza:a) (A B) (C D) b) (A B) (C D) c) (A B) (C D) d) (A B) (C D) e) (A B) (C D)

3. «Si los arácnidos son invertebrados, no tienen cráneo ni vértebras». Se formaliza:a) A ( B C) b) A B C c) A ( B C) d) A B C e) A B C

4. «No es inobjetablemente cierto que el elefante no demora 20 meses paranacer o tampoco el ornitorrinco ponga dos huevos de 2 cm»; se formaliza:a) ( A B) b) (A B) c) ( A B) d) ( A B) e) A B

5. La proposición «los logaritmos son positivos si se encuentran entre los valoresmayores que 1 salvo que solo aquellos que son negativos y son menores que1 y mayores que 0».se formaliza:a) (A B) (C D) b) (A B) (C D) c) (A B) (C D E) d) (A B) (C D) e) ( A B ) (C D E )

6. La proposición es absurdo que 6 2 1 , no obstante es inobjetable que2 es igual a 1.41 e incluso es innegable que 5 8 3 «, se formaliza:

a) A ( B C) b) A ( B C) c) A ( B C) d) A (B C) D e) A ( B C)

7. «El calor que desarrolla una corriente al pasar por un conducto es directamenteproporcional a la resistencia, al cuadrado de la de la intensidad de la corriente yal tiempo que dura la corriente. No interesa ni el sentido técnico ni físico de lacorriente». Se formaliza:a) A ( C D) b) A ( B C) c) A B (C D) d) A B C ( D E) e) A B (C D)

8. «Las hondas se propalan en vacío o solo en el aire o únicamente es producidopor el golpe en una masa metálica o solamente por las cuerdas de un violín».Se formaliza:a) (A B) (C B) E b) (A B) (C B) c) (A B ) (C B ) d) (A B) (C B) e) (A B) (C D)

9. Si:A = El número dos es un número primo yB = El triángulo es un polígonoLuego: Son esquemas verdaderos1) (A B) 2) A B 3) (A B) 4) (A B) 5) (A B) Son ciertasa) 1, 2, 3 b) 2, 3, 4 c) 1, 2, 5d) 2, 4 e) todas

10. Si A B F , luego son esquemas verdaderos:1) A B 2) (A B) 3) A B4) A/B 5) A BSon ciertas:a) 1, 2, 3 b) 2, 3, 4 c) 1 y 2d) sólo 2 e) todas menos 3

11. Si: (A B) (C D) F Luego son esquemas verdaderos:1) (A B) C 2) (C D) (A B) 3) (A / B ) (A B) 4) (A B) C

5) A DSon ciertas:a) 1, 2, 3 b) 2, 3, 4 c) 1, 2, 4d) 3, 4, 5 e) todas

12. Si: A B F y C y D tienen valores opuestos, luego son esquemasverdaderos:1) (A B) (C D) 2) (A /B) (C D) 3) (A B) (C D) 4) A (C D) 5) (A B) (C D) Son ciertas:a) 1, 2, 3 b) 2, 3, 4 c) 3, 4, 5d) 1 y 2 e) 2

13. Si la negación de (A B) es falso luego son esquemas verdaderos::1) A B 2) A B 3) A B4) A B 5) A B Son ciertas:a) 1, 2, 3 b) 2, 3, 4 c) 3, 4d) 1, 5 e) 5

14. Sean las proposiciones:A = Wilhelm Roentgen descubrió los rayos xB = J.J Thompson no descubrió el electrónLa conjunción verdadera es solamente.a) A B b) A B c) A B d) A B e) A B

15. Si:A = p v q es verdadero yB (p q) (p q) también es verdadero¿Cuáles son los valores de verdad de «p» y «q» respectivamente?a) VF b) VV c) FFd) FV e) N.A.

1. Sean las proposicionesA = La radiactividad se descubrió por casualidadB = Algunos insectos poseen cráneoSon esquemas verdaderos1) A B 2) A B 3) (A B) 4) (A B) 5) ( AI B) Son ciertas:a) 1, 2, 3 b) 2, 3, 4 c) 3, 4, 5d) 1 y 3 e) Sólo y 3

2. Sean las proposiciones:2 2A H O es la formula del agua oxigenada

B = El azufre tiene valencia .2.Luego, son esquemas falsos:1) (A B) 2) (A / B) 3) ( A B) 4) (A B) 5) A BSon ciertas:a) 1, 2, 3 b) 2, 3, 4 c) 1, 2, 5d) 3, 4 e) todas

3. Si: (A B) (A B) F . Luego son esquemas falsos:1) (A B) 2) (A B) 3) (A B) 4) A B 5) (B A ) Son ciertas:a) 1, 2, 3 b) 2, 3, 4 c) 1, 4, 5d) 1, 2, 5 e) todas

4. La proposición Lógica: Abel, Beto, Carlos y Darío estudian juntos, sin embargoMaria estudia separado de Rosa; se formaliza:a) (A B C D) (E F) b) (A B C D) E


c) (A B C) D d) (A B) D e) A B

5. «Subirá el precio de la gasolina por que subió el precio del dólar. En vista de quesubió el precio del dólar, el gobierno no podrá controlar la inflación». Se formaliza:a) (A B) (B C) b) (A B) (B C) c) (A B) (B C) d) (A B) (B C) e) (A B) (B C)

Buen consejoRecuerdo que un invierno mi padrenecesitaba leña, axial que busqueun árbolmuerto y lo corte. Pero luego, en laprimavera, vio desoladoque al troncomarchito de ese árbol le brotaron renuevos.Mi padre dijo: «Estaba yo seguro deque ese árbol estaba muerto. Habíaperdido todas las hojas en el invierno. Hacíatanto frío, que las ramas sequebraban y caían como si no le quedara al viejotronco ni una pizca devida. Pero ahora advierto que aún alentaba la vida en aqueltronco».Y volviéndose hacia mi, me aconsejo: «Nunca o lvides estaimportantelección.Jamás cortes un árbol en invierno.Jamás tomes una decisiónnegativa en tiempo adverso. Nunca tomeslas más importantes decisiones cuandoestás en tu peor estado deánimo. Espera. Se paciente. La tormenta pasara.Recuerda que laprimavera volverá».

1 . PROPOSICIONES TAUTOLÓGI-CAS, CONTRADICTORIAS YCONTINGENTES1.1. Proposiciones tautológicas: Son aquellas proposiciones que tienen valoressolo verdaderos en su matrizprincipal. Toda regla lógica es unatautología.Ejemplo:

(p q) (p q) T

1.2. Proposiciones contradictorias: Aquellas cuya matriz principal son todasfalsas, es lo contrario a unatautología.Símbolo: . T,f,OEjemplo:(p q) (p q)

1.3. Proposiciones contingentes: Aquellas cuya matriz principal poseen valoresdistintotes decir: V y F.Ejemplo:

(p q) (q p)

2. TABLA DE VALORES DE VERDAD DE UNA FORMULA LÓGICAPara hallar los valores de verdad de una proposición compuesta, se debeprimero conocer las siguientes reglas.

2.1. Función de verdad de operadores (por definición)· l l l

Solo es verdadero cuando ambos son verdaderos· 0 0 0

Solo es falso cuando ambos son falsos· l 0 0

Solo es falso cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso.· 0 1 0

Solo es verdadero cuando tienen valores iguales

·1 1 10 0

Solo es verdadero cuando tienen valores iguales

·1 1 00 0

Contrario al biimplicador· 0 0 1

Solo es verdadero cunado tienen valores falsos· / 1 1 0

Solo es verdadero cuando tienen valores verdaderos.Reglas de los operadores lógicos: Se utilizan en el cálculo matricialpara determinar el valor de verdad de un esquema molecular compuesto.

2.1. 2.2.1 Con una variablep –p

pp P–p P–p s – s t –t – (p–p) –(p– p)

10

01

10

0 0

11

0 0 1

11 1

00

2.2.2 Con dos variablesp q – p – q p p p p p q p q p q p q p q p / q

1100

1 0 10

0 0 11

0 1 01

1 0 00

1 1 10

1 0 11

1 1 01

1 0 01

0 1 10

0 0 01

0 1 11

2.2.3 Con tres variables

Ejemplos:1. Hallar los valores de los siguientes operadores:

1) 1 2) 1 3) 0 4) 1 5) 1 6) 0 / 7) (1 0) 0 8) (0 ) 1 9) (1 0) 1 10) (0 1) 1 Resolución:1) 1 2) 1 3) 0 4) 15) 0 6) 1 7) 0 8) 19) 0 10) 1

3. LEYES DE LA LÓGICA PROPOSICIONAL3.1. EQUIVALENCIAS LÓGICASDos esquemas son equivalentes (=) cuando poseen idénticas matrices.Ejemplo:

p q p q1 10 01 11 1

3.2. LEYES LÓGICAS FUNDAMENTALESSon axiomas cuyas formulas proposicionales tienen como operador principal albiimplificador y cuya esquema es una tautología.

Ejemplo 1: (p q ) ( p q ) T

1 1 10 1 0 1 1 11 1 1

TEMA XVIII LÓGICA PROPOSICIONAL II

1 1 00 1 10 1 11 1 0

Matriz tautológica

0 0 11 0 01 0 00 0 1

Matriz contradictoria

1 1 10 0 11 1 11 1 0

Matriz contingente


3.3. USOS DE LAS LEYES LÓGICASPueden ser usadas como equivalencias o como una diferencia; ya que sontautológicas.Ejemplo: 1LA PROPOSICIÓN:«Si Carlos tiene dinero entonces podría comprar un carro».Equivale a decir:«Carlos no tiene dinero o podrá comprar un carro»Ejemplo 2:LA PROPOSICIÓN:«Pedro trabaja o estudia»Se define por conmutación«Pedro estudia o trabaja»Principales leyes lógicas: Llamadas también algebra de proposicionescuyo autor fue George Boole.

1 . Doble negación.- (D.N.)La doble negación equivale a una afirmación.Ejemplo: ( p) p Se traduce como:´«es falso que Luís no trabaja» equivale a decir que:«Luís trabaja».Casos:1) p ( p) 2) ( p q) p q Explicitaciones de la doble negaciónInnegablemente cierto que p

(p) p Innegablemente falso que p

(p) p No es inconcebiblemente falso que p (p) p

2 . La conmutación.- (Conm)Los esquemas lógicos pueden permutarse sin alterar su valor operadoresconmutables: , , , /, , Ejemplo 1:

p q q p p q q p(p q) r r (p q) p q q p

Ejemplo 2:Si llueve hay cosecha; o hay sequíaEquivale por conmutaciónHay sequía; a menos que si llueve, hay cosechaFormalización:(p q) r r (p q)

3 . La asociación.- (Asoc)Operadores asociativos: , , , menos ,/Ejemplo: ( ) ( )p q r p q r Esquemas asociablesp ( q r) (p q) r p (q r) (p q) r p (p r) s (p (p r)) s

4 . Ley de Morgan.- (D.M.)La negación de la disyunción o de la conjunción de dos o más variablesequivale a la conjunción o disyunción de dichas variables negadasrespectivamente.

Ejemplo: (p q) p q

Operadores aplicables; Solo y

(p q) p q (p q) p q (p q) p q (p q r s) p q r s

D.N. y D.M.D.N .( p q) q ( p q) q

( p q) Ejemplo:«Es falso que llueve y este nublado»Equivale a:No llueve o no esta nublado

5 . Distribución.- (dist.)Operadores distribuibles , la combinación de:( , ),( , ),( , ),( , ),(/, ) Operadores no distribuibles: , Ejemplos:1) p (q r ) (p q) (p r ) 2) p (q r ) (p q) (p r ) 3) p (q r ) (p q) (p r ) 4) p (q r ) (p q) (p r ) El inverso de la distribución se le llama factor común. Ejemplo:

(p q) (p r ) p (q r)

6 . Contraposición.- (Cp)Operadores contrapuestos: , , , Las variables pueden permutarse pero cambiándole su valor.Ejemplo:

E jem plo: p q q p A firm a t iv a a n e g a tiv a

p q q p (p q) ( q p)

p q q p p q q p

p q q p p q) q p p q q p Ejemplo:Si llueve, hay cosechaEquivale a:Si no hay cosecha, no llueveLL C C LL

7 . Absorción: (abs)Operadores de absorción; combinación y simultáneosEjemplo:

p (p q) p Absorbente Absorbida


Ejemplo:p (q p) p

p (q p) p p ( q p) p q Esquemas aplicados a la absorción(p q) (p q) p q (p q) (p q) p q

(p q) (p q) (r s) p q (p q) ( p q) (r s) p q

Ejemplo:Carlos trabaja, y estudia o trabajaEquivale a «Carlos trabaja», (por absorción)8 . Exportación (exp.)

Operadores aplicables: ( , ) simultáneos(p q) r p (q p)

(p q) r p ( q r) 9 . Importación (import) ( , )

Operadores aplicables simultáneosp (q r) (p q) r

10. La mutación (mut)Operador aplicables ( , ) simultáneos

p (q r) q (p r) 11. Definición del implicador (Def )

Esquema:p q p q. (p q) Ejemplo:Si llueve, hay cosechaEquivale decir:No llueve o hay cosechaÓ es falso que, llueve pero no hay cosecha

12. Definición del replicador (Def )Esquema:p q p q; ( p q) Ejemplo:Ingresas si estudiasEquivale decirIngresas o no estudiasÓ Es falso que, no ingresas pero estudias

13. Definición del biimoplicador (Def. )Esquema:p q (p q) (q p) Def. 1 ( p q) (p q) Def. 2(p q) ( p q) Def. 3Ejemplo:Tienes dinero si y solo si trabajasEquivale decir:Si tienes dinero, trabajas y si trabajas, tienes dinero

14. Definición del disyuntor fuerte (Def. )Esquema: p q

(p q) (q p) (p q) ( p q) (p q) ( p q) Ejemplo:Vas al cusco o únicamente a LimaEquivale decir:Es falso que, si vas al cusco, vas a Lima, o es falso que siVas a Lima vas al Cusco.Equivalencias entre ( )y( )

p q p q(p q) (p q) ( p q) ( p q) (p q) (p q)

( p q) ( p q) p q p q( p q) ( p q)(p q) (p q)

15. Ley del complementoEsquemas:p p f p p 0 p p p p 1 Ejemplos: (p q) ( p q) 0 (p q) (p q) 1

16. Ley de identidadEsquemas:p p p 1 p p f p p 0 p p f f p 0 0 p v v p 1 1 Ejemplos:

1(p q) (r r ) 1

0

(p q) (s s) 0

17. Expansión (Exp):Se aplica con esquemas:

0 1

(p p),p p


p p (q p) p p (r r)

18. Idempotencia (idemp)p p p p p p

Instrucciones: A continuación te presentamos un enunciado con 5 posiblesrespuestas. De estas selecciona aquella que consideres correcta:1. La proposición «Siempre y solo cuando el animal marino sea un cetáceo es quese trate de un mamifero». Es la contradicción de su esquema.

a) B A b) A B c) (A B) d) A B e) N.A

2. «Los moluscos tienen el cuerpo segmentado o unicamente el cuerpo blando».Es un esquema equivalente:a) ( A B) (A B) b) (A B) (A B) c) ( A B) (A B) d) todase) Ninguna

3. «Los peces; los pulmones,, extremidades y pelos no tiene «, es su esquemaequivalente:1) ( A B C D) 2) (A B C D) 3) (A B C) 4) (A B C) 5) ( A B C) Son ciertas solamente:a) 1, 2, 3 b) 2, 3, 4 c) 3, 4, 5 d) sólo 4 e) N.A

4. La proposición: «Es imposible que los conceptos tengan la misma extensión eintensión». Es equivalente al esquema:1) (A B) 2) ( A B) 3) (A / B) 4) ( A B) ( A B) Son ciertas solamente:a) 1, 2, 3 b) 2, 3, 4 c) 1, 2, 5 d) 2, 3, 5 e) N.A

5. La proposición «Si son ballenas así como delfines es obvio que sean cetáceos»,es equivalente el esquema por contraposición:a) (A B) C b) C (A B) c) C (A B) d) C (A B) e) A B

6. La proposición: «El átomo normal es eléctricamente positivo o es únicamenteneutro», es su esquema equivalente:a) (A B) b) (A B) c) A Bd) A B e) ( A / B)

7. La proposición. «El neutrón ni es positivo ni es negativo o únicamente esneutro». Es su esquema equivalente:1) (A.B) B 2) (A B) B 3) (A B) B 4) ( A B) B 5) ( A B ) B Son ciertas:a) 1, 2, 3 b) 2, 3, 4 c) 3, 4, 5 d) todas e) N.A

8. «O el delfín es pez o es un cetáceo» Equivale a:1) «O únicamente el delfín es un cetáceo, pez»2) «Es falso que el delfín es pez y solo si es un cetáceo»3) «O el delfín es un pez a menos que sea un cetáceo»4) «El delfín es cetáceo por que no es un pez»5) «El delfín es un mamifero se define que es un mamifero»Son ciertas únicamentea) 1, 2, 3 b) 2, 3, 4 c) 3, 4, 5 d) 1, 2, 5 e) todas:9. Si se define: P Q P Q

entonces P QEs equivalente a:

1) (P Q) 2) P P 3) P Q 4) Q Q 5) ( P Q) Son ciertas solamente:a) 1, 2, 3 b) 2, 3, 4 c) 3, 4, 5d) sólo 1 e) N.A.10. Determine cuál o cuáles de las siguientes proposiciones son contradicciones.I) (p ~ q) q p II) (~ p q) (r ~ r) q III) p ~q ~p q( ) ( ) IV) qpp ~~qp~~ a) III y IV b) I y III c) Solo IIId) Solo IV e) II y IV

11. De las siguientes proposiciones:I) ~ p ~ q II) ~ (p q) pIII) ~ p (~ p ~ q) IV) ~ p ~ (p q)¿Cuántas son equivalentes a la proposición (p q) ~ p?a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

12. Al simplificar la proposición ~q ~p ~ ~p ~q p ~ q p q ~r p q r( )

se obtienea) qp b) qp c) )( qp d) )( qp e) p v q

13. Se define los conectivos lógicos y mediante:p q ~ p ~q ; p q ~ p qAl simplificar (~p ~ q) (~q p) se obtienea) p ~ q b) q c) p qd) p e) p ~ p

14. Si: *p q p q , simplifique la proposición p q p q q a) q b) ~ q c) qp d) ~ p e) p p

15. Sea la tabla de verdad de la proposición p qp q pq V V V V F V F V F F F V

Halle la proposición equivalente a (p q) p.a) rp b) qp c) rq d) qq e) pp

1. ¿Cuál o cuáles de las siguientes proposiciones son siempre verdaderas?I) pq~qp II) qqqp )(III) qqqp )(a) Solo I b) Solo II c) Solo IIId) I, II y III e) I y II

2. De las siguientes proposiciones:I) p (p q) II) (p q) q III) (p q) (p t)¿Cuál o cuáles son implicaciones lógicas?a) Solo I b) Solo II c) Solo IIId) I y III e) II y III


3. Al simplificar la proposición [ p ( p q ) ] [ p ( q p ) ],se obtiene:a) p b) q c) ~p d) ~p v p e) q ^~q

4. De las siguientes proposiciones:I) t (p q) II) ~ t (p q) III) ~ q (~ t p)¿Cuál o cuáles son equivalentes a la proposición: ~ p (q ~ t)?a) Solo I b) Solo II c) Solo IIId) I y III e) II y III

5. Si: pqqp , entonces el equivalente de la proposición ppppqp es:a) p p b) ~ p v q c) qd) p p e) p

La atenciónUn camino sencillo y seguro para latransformación personal es la atención encada instante, sobre sí mismo. Cada horay cada minuto debemos centrarnos ennuestra propia atención. Hazlo ahora, eneste mismo instante en que lees estaslíneas. Si no estás atento a ti mismo, serás atrapado por la inconsciencia ciega ydestructora. No sólo es tu paz y libertad lo que vas a conseguir. También laeficacia de tus actividades externas y tu trabajo cotidiano se beneficiaránnotablemente. Ningún momento de tu existencia es comparable con este instantepresente porque éste es el único que tienes. Está todo tú atento a él. Y estáatento, sobre todo, a quien atiende que eres tú.

C IR C U IT O S L Ó G IC O SA p l i c a c ió n ló g i c a

a la te c n o lo g ía

C la s e s

A c o n m u ta d o re sa c o r r ie n te

A c o m p u e r ta sd ig i ta l e s

P u e d e n s e rA S Aa m e r ic a n o IS O i n g lé s

P u e d e n s e rE n s e r ie E n P a ra l e l o

A B A B

1. Circuitos LógicosEs la representación gráfica del (campo eléctrico y digital) mediante unesquema lógico formal.La finalidad de este módulo es de conocer, comprender, aplicar y relacionar las leyeslógicas con los circuitos lógicos en problemas de aplicación.2 . Circuitos conmutadores: Es un circuito que tiene interruptores quepermiten el paso o interrupción de la corriente.

Elementos:1 . Interruptor o Conmutador.- Es la llave o palanquita que permiteel paso o interrupción de la corriente eléctrica.Se representa por variables: p, q, r, s, t, etc.2 . Clases de circuitos· Cerrado:

p· Abierto:

p

Circuito en serie (con dos conmutadores)Se representa con ( )

p q p qCircuito en paraleloSe representa con ( )

pq p q

3 . DISEÑO DE UN CIRCUITOPara diseñar un circuito a conmutadores con fórmulas que no sean y seprocede de la siguiente forma:Ejemplo 1:Diseñar: p qSolución:p q p q Luego: p q p

qDiseñar: p qSolución: p q (p q) ( p q) Luego: p q p

qp

q4 . OPERACIONES CON CIRCUITOS

4.1. Representación o formaliza-ción de un circuitoEs la operación formal partiendo de un circuito.Ejemplo 1:El circuito mostrado en la siguiente figura:

p q

pq

Se representa:Solución:Por bloques:1º: A (p q) 2º: B ( p q) 3º: C p4º: A y B (p q) ( p q) 5º: A, B y C p (p q) ( p q)

Ejemplo 2:El circuito:

pq

p q

qp

q p

pq

1º: A (p q) (q p) 2º: B (p q) (q p) 3º: C (p q) 4º: A y B (p q) (q p) (p q) (q p) 5º: A, B y C (p q)(p q) (q p) (p q) (q p)

TEMA XIXLÓGICA PROPOSICIONAL III


4.2. Diseño de circuito.- Es la construcción de un circuito partiendo de unafórmula proposicional.Ejemplo 1:Diseñar: (p q) r Solución:(p q) r ( p q) r Luego: ( p q) r p q

rEjemplo 2:Diseñar: (p q) p q Solución: (p q) p q ( p q) p (p q) p q Luego:

(p q) p q p q

pq

4.3. Simplificación de circuitos.- Es la reducción de un circuito a sumínima expresión, por medio de las leyes de equivalencia.Ejemplo 1: Simplificar el circuito:

ppq

q

Solución:El circuito se representa como: (p q) (p q) (p q) (p q) p q (por abs.) Luego: p

pq

q p

q

Por la ley de absorciónCIRCUITO A COMPUERTASEs un circuito que tiene sistemas digitales:1.1. Elementos A

B

Compuerta ANDde salida2da compuertaPuente

Entradas(2)

Compuertade entrada

El circuito presenta:· Dos entradas: A y B· Tres compuertas: ( A B) (A B) y (A B) que se representan

respectivamente: , ,

· Un puente que va a permitir la formación de la segunda compuerta.· La función AND representada por la compuerta de salida.· Se formaliza: ( A B) (A B) · Su equivalencia o simplificación: (A B)

AB

1.2 Representación de los circuitosEjemplo 1:Representar el circuito: AB

( A B )

( A B )

( A B ) ( A B )

1º 2º 3º

AB

(A B)

AB

A B

( A B) (A B) ( A B) (A B)

1.3 Diseño de circuitos o compuertasDiseñar en sistema ASA e ISO la fórmula lógica(A B) (A B) Sistema A S A Sistema ISO AB

AB

1

1.4 Simplificación de circuitosEjemplo 1:Simplificar el circuito:

AB

Solución:Formalizando el circuito:(A B) (A B) A B (abs) Luego:

AB A

B


Otras formas:( A A ) A

AB

(A B ) A (A A ) A

A (A A ) A &&

AB

(A B )

SIMPLIFICACIÓN1. Noción: Es la operación que consiste en reducir a su mínima expresión unafórmula lógica mediante la aplicación de las leyes lógicas.

Ejemplo 1:Simplificar la expresión:

(p q) (r s) ( p q) p q Luego; la simplificación mínima del esquema anterior es: p q aplicandoley de absorción.Ejemplo 1:Simplificar el circuito: pq 1 &

1Solución:Formalizando: (p q) q ( p q) q p q Aplicando la Ley de Morgan e idempotencia.Luego el circuito equivalente es: pq & O también: pq

1. El circuito A

BA

AB

Se formaliza:a) (A A B) (B A) b) (A B) B (B A) c) A ( B A) (B A) d) A ( A B) (B A ) e) (A A ) B (B A )

2. El circuito adjunto: AB 1

1

a) Universalmente verdaderob) Universalmente falsoc) Idéntico – verdaderod) Contingentee) Contradictorio3. Dado el siguiente diseño:

AB & &

1Tiene como matriz principal:a) 1101 b) 1011 c) 0010d) 1111 e) 000

F ó r m u l a A c o n m u t a d o r e s A c o m p u e r t a s F u n c i ó n

A B A N D

A B

O R

( A B )A B

N A N D

( A B )A B

N O R

A / B

N o t O R n o t

A

N o t

A B( A B ) ( A B )

X O R

A B( A B ) ( A B )

N X O R

A B AB

AB &

AB

AB 1A

B

A B

AB

ABAB

AB &

AB 1

AB

AB

AB 1

A AA AA 1

AB

BA

AB

AB 1

AB

AB

ABAB

AB

CUADRO RESUMEN DE CIRCUITOS


4. El circuito: ABRepresenta a la fórmula:a) A B B b) A B B B c) A B B B d) A B B B e) A B B B

5. El circuito: AB 1

&

Representa a la fórmula:a) (A B) (A B) b) ( A B) (A B) c) (A B) ( B A) d) (A B) ( B A) e) (A B) ( B A)

6. El circuito lógico: AB

Representa a:a) (A B) ( A B) b) ( A B) ( A B) c) (A B) ( A B) d) (A B) (A B) e) ( A B) ( A B)

7. El circuito: AB

Se formaliza:a) A B (A B)(A B) A B b) A B (A B)(A B) A B c) ( A B C ) ( A B )

d) A B (A B)(A (A B) B e) (A B)(A B C) A B

8. El circuito: AB 1 1

Tiene como matriz:a) 0110 b) 1001 c) 1111d) 0001 e) 11109. El circuito:

pqr

Se representa por la fórmula:a) ( p q) p r ( p q) b) ( p q) p r ( p q) c) ( p q) p r ( p q) d) ( p q) p r ( p q)

e) ( p q) p r ( p q) 10. El circuito:

BA BA

BEquivale al circuito:

a ) b )

c) d ) e )

BA

AA B B AB B B

11. El circuito:

BABA

BA

Equivale al circuito:

a ) b ) c )

d )

e )

A

A B B A

BA

BA

12. El circuito adjunto: A

Equivale a:1 A A 2. A A 3. (A A) 4. A A 5. (A A) Son ciertas:a) sólo 1, 2 y 3 b) 2, 3 y 5 c) 1, 2 y 3d) 2, 4 y 5 e) todas

13. Las funciones lógicas: (NAND) OR (XOR)Equivale a:a) NXOR b) NOR c) NAND d) XOR e) NOT

14. Si cada conmutador del circuito cuesta S/. 15. ¿Cuánto costará el circuitosimplificado y cuánto se ahorrará respectivamente? p

qrs

pq

a) 60 – 30 b) 45 – 45 c) 30 – 60d) 120 – 20 e) 120 – 2015. El circuito:

1

1 1

Equivale a:a) (A A) b) ( B B) c) A A d) A e) A


1. El circuito:

BC

AA B

Equivale a la proposición:1. Es falso que, si tengo dinero, no me enfermo2. Hay empresas pero muchas no son peruanas3. Es falso que, si no tengo computadora, soy ignorante4. Llueve, pero si llueve, no voy al concierto5. Es falso que, ni trabajo ni estudio

Son ciertas:a) 1, 3 y 5 b) 2, 3 y 4 c) sólo 2 y 4d) 3, 4 y 5 e) sólo 1 y 22. El circuito equivalente a:

BA

AB

AB A

BBA

E s : a ) b )

c )

d )

e )

AB 1

AB

AB 1

AB 1

AB 1

3. Dado el siguiente circuito:

AC

CB

B

BC

Donde: A = alegre; B = carismático y C = bondadoso. En suequivalencia mínima diría:a) eres alegre y bondadosob) no es alegre pero sí carismáticoc) eres carismático o bondadosod) eres alegre, carismático y bondadosoe) no eres carismático pero sí bondadoso4. El circuito:

AB

Equivale a la proposición:a) no hay trabajo pero sí divisiónb) trabajas pero no te diviertesc) ni trabajas ni te diviertesd) trabajas así como te diviertese) es falso que, trabajas no obstante te diviertes5. El circuito:

p &1q

r

a) (p q) r p (p q) b) (p q) r p (p q) c) (p q) r p (p q) d) (p q) r p (p q) e) (p q) r p (p q)

Cada personaes única,diferente y especialLa historia me la contó un padre.«Recientemente mis mellizos de6años recibieron una bicicleta por elcumpleaños. Ambos estánmuyexcitados por aprender a usarlas. Antes de que les permitieraestrenarlas, lossubí a la bicicleta y les explique las reglas básicas decomo andar.Les fui explicandopaso a paso las reglas de acuerdo a lo que yo sabía,trasmitiéndoles la formasmás segura y rápida para andar. Después demis breves instrucciones, les dipermito a que subieran a las bicicletas yempezaran a pedalear por elvecindario.Observando a mis hijos aprendí que a pesar de yo creí que leshabíadedicado el tiempo suficiente para explicarles como andar en bicicleta,unode ellos aprendió las técnicas mucho más rápido que el otro. Fuenecesario que lededicara un poquito mas de tiempo al que no aprendiótan rápido. Finalmente,después de varios días lo logro y ahora es igualde hábil que su hermanomellizo.»Esta historia, que es una verdadera enseñanza de vida, ayuda aentenderque muchas veces queremos ayudar a otros a que aprendan aobtener nuevashabilidades.Cuando hablamos a mucha gente al mismo tiempo, podemos creerquetodos lo están aprendiendo al mismo ritmo.La realidad nos dice que, a veces,una persona pude necesitar masatención para comprender bien todo lo queestamos haciendo.De ahí esta la importancia de tener instructores con experienciaquenos dediquen tiempo.

No existe una definición; solo se puede dar una idea conceptual como colección,agrupación, clase o agregado de objetos, llamados elementos.Notación:Los conjuntos se nombran con letras mayúsculas (A,B,C,D,….) y los elementoscon letras minúsculas (a,b,c,…..). Así el conjunto de los diez primeros númerosnaturales positivos:

N 1; 2; 3;4 ;5;6;7;8;9;10Se observa que los elementos que van separados por punto y coma y encerradosentre llaves, determinan el conjunto N.Determinación de un conjunto:I. POR EXTENSIÓN:Un conjunto queda determinado por extensión, cuando se nombra a todosy cada uno de los elementos.

A 2; 4 ; 6;8M a ;e; i; o; uB 1;8 ; 27;64 ;.. . . . . ;1 00 0

II. POR COMPRENSIÓN:Un conjunto queda determinado por compresión, cuando se nombra unapropiedad común que caracteriza a todos los elementos del conjunto,generalmente se emplea x/x: «x tal x» A x / x es par;2 x 8

B x / x es una vocal 3C x / x ; x 1 0

RELACIONES ENTRE CONJUNTOS1. Relación De Pertenencia

Es una relación que vincula un elemento con un conjunto.

* Si un elemento esta en un conjunto, se dice que pertenece * Si no esta en un conjunto, se dice que no pertenece Ejemplo:Dado: A 2;3; 5;6Así diremos que:

2 A 4 A3 A 5 A5;6 A 6 A

2 . Relación De Inclusión O SubconjuntoSe dice que el conjunto A esta incluido en B, si todos los elementos de A

están en B. Se denota como: A B «A incluido en B»

TEMA XXCONJUNTOS I


Si: A B x A x B Ejemplo:

A n;3;5B 4;n;m;6;3;p;5

Se observa que todos los elementos de A son también elementos de B,luego: A B .

PROPIEDADES*Pr opiedad reflexiva : A A*Pr opiedad antisimetrica :

Si : A B B A A B*Pr opiedad transitiva :

Si : A B B C A C

3 . Relación de igualdad de conjuntosDos conjuntos A y B son iguales cuando tienen los mismos elementos.Si: A B A B B A Dos conjuntos A y B son iguales si y solo si, A es subconjunto de B y B essubconjunto de A.

4 . Relación de contabilidad de conjuntosDos conjuntos A y B son coordinables cuando entre sus elementos puedeestablecerse una correspondencia biunívoca.Cuando dos conjuntos son coordínales tienen el mismo numero de elementos.

A 1;3;5;7;9son coordinables

B a;e;i;o;u

Graficándolos:

13579

aeiou

A B

Cardinal de un conjuntoEl cardinal de un conjunto es el número de elementos de dicho conjuntoy se denota como n(A).

A 2;4;7;9 n A 4M a;b; m;n n M 3B 2,3;2;2;5;6;7 n B 5

CLASES DE CONJUNTOS1. CONJUNTO FINITOCuando el conjunto tiene un determinado numero de elementos diferentes.Ejemplos:

A 3;6;9;12B 1;3;5;7;......;29

2 . CONJUNTO INFINITOCuando el proceso de contar los elementos del conjunto no tiene limite.Ejemplos: A x / x es un núm ero rea l

B x / x es un pla neta del unive rso

3 . CONJUNTO VACIOLlamado también conjunto nulo; es aquel conjunto que carece de elementos.Se denota como: * El conjunto vació se le considera incluido en cualquier otro conjunto.* El conjunto vació no tiene ningún subconjunto propio y su número

cardinal: n 0 Ejemplos:

2A x / x x 1 0

B lo s ca b e llo s d e u n ca lvo

4 . CONJUNTO UNITARIOLlamado también singlé ton, es aquel conjunto que tiene un solo elemento.Ejemplos:

A x / 2 x 4B BetyC

5 . CONJUNTO UNIVERSAL UEs aquel conjunto que abarca a todos los conjuntos dados y se les representapor regiones planas rectangulares.

M N

P

AB

U

6 . CONJUNTO POTENCIASe llama conjunto potencia de A, al conjunto formado por todos lossubconjuntos de A y se le denota como P A .Ejemplos:

* Dado: A 4;7Su conjunto potencia será: P A 4 ; 7 ; 4;7 ;

* Dado: A 2;3;4

P A 2 ; 3 ; 4 ; 2;3 ; 2;4 ;

3;4 ; 2;3;4 ;

El número de elementos de P A o numero de subconjuntos de A, está

dado por: 2nn P A Donde «n» representa el numero de elementos del conjunto A.Ejemplos:Si: 2A 4;7 n P A 2 4 Si: 3A 2;3;4 n P A 2 8 Si: A a;b;c;d;e 5n P A 2 32 Numero de subconjuntos propios:Dado el conjunto A, su número de subconjuntos propios será:

n2 1 .No se considera el mismo conjunto A.

1) P A , puesto que A2) A P A , puesto que A A3) P4) Si A B P A P B5) Si A B P A P B6) P A P B P A B7) P A P B P A B

PROPIEDADES

1. Hallar: x 3y , si:3 x2x 1, y 5 23,2 3

a) 14 b) 13 c) 11 d) 15 e) 16

2. Si: A 5 , 2 , 9Señale la expresión falsa:a) 2 A b) 2 A c) 9 Ad) 5, 9 A e) 5, 2 A


3. ¿Cuántos subconjuntos se formaran con 6 elementos?a) 63 b) 64 c) 61 d) 68 e) 20

4. Si: A 2 , 6 , 12 , 20 , 30 , 42 , 56Determinar el conjunto dado por compresióna) 2 x 1 / x x 7

b) 2 x x / x x 6

c) x x+ 1 / x x 7

d) 2 x x / x 1< x 8

e) 2 x x / x x 8

5. Cuantos sub conjuntos tiene «A» 2A x 2 / x 1 x 5

a) 16 b) 8 c) 32 d) 64 e) 246. Hallar: x 3y , si:

3 x2x 1 ; y 5 23 ; 2 3 a) 14 b) 11 c) 16d) 13 e) 15

7. Si: A 5 , 2 , 9 Señale la expresión falsa:a) 2 A b) 2 A c) 5 , 9 Ad) 5 , 2 A e) 9 A

8. Dado: A n m , n+ p , 8 B m p , 10 UnitariosHallar: m n p a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

9. Dado el conjunto 1 1M x / ,16 x 8 . ¿Cuántos subconjuntospropios y no nulos tiene M?a) 126 b) 62 c) 127 d) 254 e) 2

10. Si los conjunto F = {3m + n – 11, 4m – 4} yG = {5m + 2n – 3, 4} son conjuntos unitarios, calcule la suma de loselementos del conjuntoH = {m + n, m.n + 11, n – m, 2m + n, m + n + 2}a) 20 b) 18 c) 16 d) 22 e) 14

11. Si el conjunto M tiene «n + 1» elementos y «12n + 3» subconjuntospropios. ¿Cuántos subconjuntos binarios tiene M?.a) 15 b) 14 c) 12 d) 18 e) 16

12. Dado el conjunto T = { 2 ; m ; { m }; { m; m }; ; { }; { }}, ¿Cuántosde los siguientes enunciados son correctos?.I) n(T)=5 ^ n[P(T)]= 24 4xII) T P(T)III) ( T) ({2} {{2}})IV) {m; m} = {m} n(T)=7V) P(P(P(T))) {2; }P(T)VI) n[P(T)] = 64a) 4 b) 2 c) 3 d) 1 e) 5

13. Dado los conjuntos 5 21/ , 1 0M x x x x y

5 31 / , 1 0T x x x x ¿Cuántos de los siguientes enunciados son falsos?I) M II) T F III) n(M) = 0IV) T V) M T VI)n[P(T)] = 2a) 5 b) 3 c) 2 d) 4 e) 1

14. Dado el conjunto S = {x Z / – 14< x < 27}.Determine el valor de verdad de cada una de las siguientes proposicionesen el orden indicado.p: 2 2 2x S; y S; z S / x z y q: y S; z S; x S / 2x 4y z r: 2 2z S; x S; y S / 3x z y a) FFV b) FVV c) VVVd) VFV e) VFF15. Si U = Z+, cuál de las siguientes proposiciones:I) A U {A} UII) A U A {A} = III) {A, {A}} A = {A, {A}}, A Ues(son) verdaderas.a) Solo I b) Sólo III c) Sólo IId) I y II e) II y III

1. ¿Cuántos subconjuntos se pueden formar con 6 elementos?a) 32 b) 23 c) 46 d) 64 e) 12812. Si se determina por comprensión el conjunto:

0 , 2 , 4 , 8 , 10 , 12 , ......M se tiene:

a) M x / x e s u n núm e ro pa rb) M x / x 2 n ; 0 n c) M x/x N N= serie de números pares; d) M 2x/x e) N. A.

3. Dado el conjunto: 3 2/ 2 2 2 0F x x x x ¿Cuál es su valor determinado por extensión?a) F 1 , 0 , 2 b) F 2 , 1 , 1 c) F 2 , 1 , 0 , 1 d) F 1 , 1 , 2 e) N.A.

4. Sea el conjunto M = { a; b; { a; b }; { }, c }, halle el valor de verdadde las siguientes proposiciones en el orden indicado.I) { a; b} M y { a; b} MII) { a; b; { }, c } P(M)III) {a, b } P(M)a) VVF b) FVV c) FFVd) FVF e) VVV

5. Sea el conjunto M = { a; b; { c; d }; ; { }}. Halle el valor deverdad de cada proposición en el orden indicado.I) a M ^ { a; b} M


II) M ^ { } MIII) {{a}} M v {c; d} MIV) M { { }; c; d} Ma) VVVV b) VFVF c) VVVFd) VVFF e) VVFV

El buey y el mosquitoEn el cuerno de un buey se posó unmosquito. Luego de permanecerallílargo rato, al irse a su vuelo preguntóal buey si se alegraba que porfin semarchase.El buey le respondió: —Ni supe que habías venido. Tampoco notarécuando te vayas.Pasar por la vida,sin darle nada a la vida, es ser insignificante

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS1. UNIÓN O REUNIÓN (U)Para dos conjuntos A y B se llama unión o reunión al conjunto formado

por los elementos de A, de B o de ambos. Se denota como A B. A B x / x A x B

A B

U

Si: A 2;3;4 ;6B 1; 3; 4 ;5

Luego: A B 1;2;3;4;5;6

1) A A AIdempotencia2) A B B AConmutativa3) A B C A B C Asociativa4) A5) A A6) Si :A B A B B7) SiAy Bson disjuntos

n A B n A n B8) Si Ay B son dosconjuntos no compa

rables,con una región común :n A B n A n B n A B

PROPIEDADES

2 . INTERSECCIÓN Para dos conjuntos A y B se llama intersección de A y B al conjuntoformado por los elementos que pertenecen a A y a B (elementoscomunes).Se denota como A B .

/A B x x A x B

A BU

Si: A ; ; 4 ; 5 ; 6 ; 8 ; 9 1 3 B ; ; 4 ; 5 ; 10 ; 11 ; 12 2 3

Luego: A B ; 4 ; 5 3

1) A A A Idempotencia2) A B B A Conmutativa3) A B C A B C Asociativa4) Si : A B A B A5) A6) A U A7) Si :A B A y B son disjuntos8) A A C A9) Si: A B C

A B A C

10) A B C A B A C A B C A B A C

PROPIEDADES

3. DIFERENCIA (–)Para dos conjuntos A y B, se llama diferencia de A con B, alconjunto formado por todos los elementos de A, que no sonelementos de B, Se denota por A–B.

/ A B x x A x B

A BU

Si: ; 3 ; 4 ; 6 ; 7 ; 8 A 2 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 7 ; 9 B

Luego: 6 ; 8 A B

1) A A 2) A 3) A B B A4) A B B5) A B A B A B 6) A B A B7) A B A B B A A B8) A B A B A

PROPIEDADES

4. DIFERENCIA SIMETRICA Para dos conjuntos A y B, se llama diferencia de A y B, al conjuntoformado por los elementos que pertenecen a la unión de A y B;pero no pertenecen a la intersección de A y B.Se denota por: A B A B A B A B A B A B B A

A B

U

Si: A ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 2 B ; 2 ; 4 ; 5 ; 7 ; 9 1

Luego: A B 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 2 ; 4 A B 1 ; 3 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9

5. COMPLEMENTACIÓNPara dos conjuntos A y B, donde A es un subconjunto de B.Se denota BC A ; se lee complemento de A respecto a B.

TEMA XXICONJUNTOS II


BC A B A AB

* El complemento de un subconjunto A respecto del conjuntouniversal U.

' C A A U A AB

' / A x x U x A

1) A' U A 2) U'= 3) ' U4) A A'= U5) A A'=6) A' ' A7) A B ' A' B' Leyes de Morgan A B ' A' B'

PROPIEDADES

Ejemplo:Si: A 2 , 3 , 4 , 6 , 7 , 8

B 1 , 3 , 4 , 5 , 9 Hallar: B ACResolución:Como: B A B AC

B A C 1 , 3 , 4 , 5 , 9 2 , 3 , 4 , 6 , 7 , 8 B A C 1 , 5 , 9 Rpta.

PRODUCTO CARTESIANODados los conjuntos A y B, se llama producto cartesiano de Apor B, al conjunto formado por todos los pares ordenados a ; b , tales que a A y b B .Se denota por: A B

A B a ; b / a A b B Ejemplo:Si: A 1 ; 2 ; 3

B 1 ; 2 Hallar:Resolución:

1 ;1 ; 1 ; 2 ; 2 ;1 ; 2 ; 2 ; 3 ;1 ; 3 ; 2A B Grafica de A B

21

1 2 3 A

B

1) a ; b A B a A b B2) A B B A ; A B3) A O

O

4) A B C A B A C5) A B C A B A C6) A B C A B A C7) n A B n A n B8) Si: A B A C B C

Propiedades

Diagonal de un Conjunto:

Dado el conjunto A, la diagonal del producto A A que sedenota A , se define por: A x ; yEjemplo:

A a ; b ; c B 1 ; 2 ; 3 ; 4

Hallar: A y B Resolución: A a a ; b b ; c c; ; ; B 1 1 ; 2 2 ; 3 3 ; 4 4; ; ; ;

NUMERO DE ELEMENTOS DE UN CONJUNTO

Si: A B O n A B n A n B A B

Si:A y B son dos conjuntos cualesquiera n A B n A n A B

A B

Si: A y B son conjuntos tales que A B O n A B n A n B n A B

A B

Si: A B C O n A B C n A n B n C

n A B n A C n B C n A B C

A B

CPAR ORDENADO:Par ordenado es un ente matemático constituido por doselementos (a ;b) par ordenadoSe cumple que: a ; b b ; aSi: a ; b c ; d a= c b= d


Para los problemas

1 2 3A B

1 : sólo A2: A y B3: sólo B1 y 2: A2 y 3: B1 , 2 y 3: A ó B

1 2 3456

7

A B

C

1 : sólo A3: sólo B7: sólo C2: sólo A y B4: sólo B y C6: sólo A y C5: A , B y C25: A y B45: B y C56: A y C

1. Si: A 3, 6 B 2, 4 , 6Hallar la suma de los términos del conjunto: A B A B a) 10 b) 12 c) 14 d) 13 e) 11

2. Sea el conjunto universal U = { ; 2; {3}; 3 } y los conjuntos M, S y T;;M = { xU / x es impar v x es primo } ,S = { x U / x no es conjunto vacío ^ x no es par } ,T = { xU / x es un número real v x es el conjunto vacío } ,determine ( T’ – S )’ – M’ .a) {2; 3} b) { ;2; 3} c) {2; {3}}d) { } e) {2}

3. Dados los conjuntos no vacíos S y T incluidos en el universo U, se sabe quen( S T ) = 2 ; n( S’– T’) = 4 ; n( S T ) = 7 y n(U) =10 ,determine el valor de n ( S’– T ).a) 3 b) 2 c) 1 d) 4 e) 0

4. Sean A y B dos conjuntos contenidos en un universo, s i: A B B A A B . ¿ Cual de las siguientes proposicioneses falsa?a) A A B b) A B O c) B B A d) B A 'e) A B ' A B

5. De un grupo de 41 personas 15 no estudian ni trabajan, 28 no estudian y 25no trabajan ¿Cuántos trabajan y estudian?a) 2 b) 4 c) 6 d) 7 e) 36. S I

F= 5)(x4)(x/x N ,G= 6x0x/x Z yH = { x Z / 5x)]6(x2)[(x~ 2 } ,determine ( G – H ) – ( F G ) .a) {3} b) {3; 4} c) {4} d) {5} e) φ

7. Dados los conjuntos no vacíos J, K, L y M, simplifique( [ (K – J) ( J K ) ] ( J K’) ) ( [ L ( M L) ] – J )a) J U L b) J U K c) J K d) J – K e) L – J

8. Cotos come fréjoles y/o tallarines en su almuerzo, cada día, durante el mesde febrero de 1988. Si come 19 días fréjoles y 23 días tallarines. ¿Cuántosdías come fréjoles con tallarines?a) 12 b) 8 c) 10 d) 14 e) 139. Se tienen 65 banderas que tienen por lo menos dos colores. 25 tienen rojoy azul, 15 banderas rojo y blanco y 35 tienen blanco y azul. ¿Cuántasbanderas tienen los 3 colores mencionados?a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 710. En un grupo de 55 personas, 25 hablan Ingles, 32 francés, 33 alemán y 5los tres idiomas. ¿Cuántas personas del grupo hablan dos de estos idiomas?

a) 40 b) 37 c) 25 d) 22 e) 38

11. Si: # P A 256 # P A B 16 # P B 64

Calcular: # P A Ba) 1 024 b) 2 048 c) 360 d) 512 e) 256

12. En un aula de 43 alumnos, 5 son mujeres que estudian R.M. y 28 sonhombres y el número de hombres que no estudian R.M. es el doble delnúmero de mujeres que tampoco lo hace. ¿Cuántos hombres estudianR.M.?a) 6 b) 7 c) 8 d) 10 e) N.A.13. De 80 personas que hablan alguno de los idiomas: Castellano, Ingles yFrancés, se tiene que 40 hablan castellano, 46 hablan Ingles, 35 hablanFrancés, además los que hablan Castellano no participan nunca en elFrancés. ¿Cuántos hablan dos de dichos idiomas?a) 16 b) 48 c) 41 d) 50 e) N.A.14. En una ciudad de cada 100 hombres, 85 son casados 70 son abonados alteléfono, 75 tienen auto y 80 son propietarios de su casa ¿Cuál es elnumero mínimo de personas que al mismo tiempo son casados, poseenteléfono oculto y casa propia.a) 5 b) 10 c) 65 d) 25 e) 4515. De una encuesta realizada a 300 alumnos de la UNMSM sobre las frutasque prefieren se sabe que:- Prefieren solo manzana, solo naranja y solo plátano 80; 70 y 60alumnos respectivamente.- Los que prefieren manzana no prefieren plátano.- Veinte alumnos no prefieren estas tres frutas mencionadas.- El número de varones que prefieren manzana y naranja es al númerode mujeres que prefieren naranja y plátano como 1 es a 2.- El número de mujeres que prefieren manzana y naranja es al númerode varones que prefieren naranja y plátano como 2 es a 3.Si el número de varones que prefieren manzana y naranja es lomáximo posible, halle la suma de las cifras del número de alumnosque prefieren manzana.

a) 4 b) 7 c) 6 d) 8 e) 5

1. Si A 3 , 6 B 2 , 4 , 6 Hallar la suma de los términos del conjunto: A B A B a) 10 b) 14 c) 11 d) 12 e) 13

2. De un grupo de 17 personas, 13 tienen bigote, 4 son calvos y 3 son calvosque usan bigotes. ¿Cuántos no son calvos ni usan bigotes?a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 53. Se tiene los conjuntos A, B, C subconjuntos de los números naturales, Aes el conjunto de los múltiplos de 3, B es el conjunto de los múltiplos de 4vmenores que 24 y C es el conjunto de los divisores de 48. Hallar la suma

de los elementos de la diferencia: C A B a) 2 b) 4 c) 5 d) 6 e) 3

4. Se tiene 2 conjuntos A y B tal que la unión de A y B tiene 36 elementos,el numero de elementos de A es a la mitad del numero de elementos deB. Los elementos comunes de A y B son la mitad de los elementos nocomunes, hallar el numero de elementos de B. a) 12 b) 24 c) 32d) 30 e) 80

34-66 aritmetica

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