REPRESENTACION GRAFICA. Problemas de selectividad

Calcular puntos notables e intervalos de monotonía y curvatura de 1 y = ------- Dibujar gráfica e x

D= R 1 1 y = ------ = e - x ; y ' = - e - x = - ---- y' (x)= 0 ; -1 ≠ 0 NO EXISTE Max, Min e x e x 1 y'' = e - x = ---- ; y''(x) = 0 ; 1 ≠ 0 NO EXISTE P.I e x Monotonía: y' < 0 x ya que y'= - ( 1 / e x ) < 0 xR Decreciente

Curvatura:

y'' > 0 x ya que y'' = + ( 1 / e x ) > 0 xR Convexo

Corte eje OY :

1 x = 0 ; y = ----- = 1 ( 0 , 1) e o 1 1 1 A. H; y = lim ---- = ----- = ---- = 0 ; y = 0 x-> e x e 1 1 y = lim ---- = ------ = e = NO EXISTE x-> - e x e-

Dada la función f(x) =

a) Hallar sus máximos y mínimos locales y/o globales.

b) Determinar el valor del parámetro a>o para el cual ∫0a f(x) dx = -1

(Selectividad Prueba 2005-06)

a) D=R

Posibles máximos, mínimos

Monotonía.

(-∞,-1): X=-2 ; Creciente

Máx(-1,1)

(-1,1): x=0; Decreciente

Min(1,-1)

(1,∞) : X=2 ; Creciente

b)

=

Como

0

x Considérese la curva y = --------- (aR dado) x2 + a 1º) Hallar a de manera que la curva tenga un extremo relativo para x = 3. 2º) Para a = 4 , hallar los puntos de inflexión, los ex-tremos y las regiones de concavidad y convexidad de la curva. 3º) Representar aproximadamente la curva para a = 4.

1º) Calculemos la y'(x)

x2 + a - x.2x - x2 + a y' = --------------- = ---------- Hagamos y'(3) = 0 (x2 + a)2 (x2 + a)2

- 32 + a - 3 + a ------------ = 0 ==> -------- = 0 ==> - 3 + a = 0 ==> a = 3 (32 + a)2 (3 + a)2

x x2 + 4 - x.2x - x2 + 4 2º) y = -------- y' = ---------------- = ----------- = 0 x2 + 4 (x2 + 4)2 (x2 + 4)2

x2 = 4 x = ± 2 son los posibles extremos de la función.

Para ver si lo son, calculemos la y''(x) y particularicemos para dichos valores ± 2

-2x.(x2 + 4)2 - (-x2 + 4).2.(x2 + 4).2x y'' = -------------------------------------------- = (x2 + 4)4

- 2x3 - 2x + 4x3 - 16x 2x3 - 18x = -------------------------- = ------------- (x2 + 4)3 (x2 + 4)3

16 - 36 1 - 16 + 36 1 y''(2) = --------- < 0 Máximo ( 2, - ) y''(-2) = ----------- > 0 Mínimo ( -2, - - ) + 4 + 4

Para calcular los Puntos de inflexión hacemos la y''(x) = 0 x = 0 2x3 - 18x = 0 ==> 2x.(x2 - 9) = 0

x = ± 3

(6x2 - 18).(x2 + 4)3 - (2x3 - 18x).3.(x2 + 4)2.2x y'''(x) = ------------------------------------------------------- (x2 + 4)4

Particularizamos para los valores 0 y ± 3 - 72y'''(0) = ---- 0 P.I ( 0,0 ) 44

(54 - 18). 13 3 -3y'''(± 3) = --------------- 0 P.I ( 3,--- ) y P.I ( -3,--- ) 134 13 13

Será convexa x (-3,0) U (3,) Será cóncava x (-,-3) U (0,3)

Asindota Vertical: No existe pues el dominio es todo R. x Asindota horizontal: y = lim -------- = 0 ==> y = 0 x-> x2 + 4

f(x) No existe asindota oblicua pues la m = lim ----- = 0 x-> x

2.x Dada la función y = ---------- . Se pide determinar su dominio, sus 1 + 4.x2

máximos y mínimos, si los tiene y cuantos elementos contribuyan a elaborar la gráfica de mi función. Dibujarla.

1 Dominio: 1 + 4.x2 = 0 ; 4.x2 = - 1 ; x2 = - --- ; x que anule el denominador 4 luego D = R 2.x Puntos corte con eje OX: y = 0 ==> 0 = ---------- ; 2.x = 0 ; x = 0 ==> (0;0) 1 + 4.x2

2.0 0 Puntos corte con eje OY: x = 0 ==> y = ---------- = -- = 0 ; y = 0 ==> (0;0) 1 + 4.02 1

2.(1 + 4.x2) - 2.x.8.x 2 + 8.x2 - 16.x2 - 8.x2 + 2 Máximos y mínimos: y' = ------------------------- = ------------------ = ------------ (1 + 4.x2)2 (1 + 4.x2)2 (1 + 4.x2)2

1 1 Como y' = 0 0 = - 8.x2 + 2 ; 8.x2 = 2 ==> x2 = - ==> x = ± - 4 2

- 16.x.(1 + 4x2)2 - (- 8.x2 + 2).2.(1 + 4x2).8.xCalculo la y''= ----------------------------------------------------- (1 + 4.x2)4

- 16.x - 64.x3 + 128.x3 - 32.x 64.x3 - 48.x y'' = ----------------------------------- = ---------------- (1 + 4.x2)3 (1 + 4.x2)3

1 64.(1/8) - 48.(1/2) - 1 1 y''( -- ) = ---------------------- = -- < 0 Max ( - ; - ) 2 ( 1 + 4.(1/4) )3 + 2 2

1 - 64.(1/8) + 48.(1/2) + 1 1 y''( - -- ) = ------------------------- = -- > 0 Min ( - - ; - - ) 2 ( 1 + 4.(1/4) )3 + 2 2

Puntos de inflexión: Hacemos la y'' = 0

64.x3 - 48.x = 0 ==> 8.x.(8.x2 - 6) = 0 de donde 3ó bien x = 0 ó bien 8.x2 - 6 = 0 ==> 8.x2 = 6 ==> x2 = -- 4

3==> x = ± --- son los tres posibles puntos de inflexión. 2

- 64 + 48 y''(-1) = ----------- < 0 cóncava 125 3 3 P.I. ( - ---; - --- ) - 8 + 24 2 4 y''(- 1/2) = ---------- > 0 convexa 125 P.I (0;0) 8 - 24 y''(1/2) = -------- < 0 cóncava 125 3 3 P.I ( --- ; --- ) 64 - 48 2 4 y''(1) = --------- > 0 convexa 125 2.x Asintota Horizontal: y = lim f(x) = lim --------- = -- = L'H x-> x-> 1 + 4.x2 2 2 = lim ---- = -- = 0 ==> y = 0 es asintota. x-> 8.x

Asintota vertical: No existe.

Asintota oblicua: y = m.x + n

f(x) 2.x 2 m = lim ----- = lim --------- = --- = L'H = lim ----------- x-> x x-> x + 4.x3 x-> 1 + 12.x2

==> m = 0 ==> No existe Asintota oblicua.

Dada la función f(x) = e -x ·(x2 + 1) se pide:a. Dibujar la gráfica de f(x) estudiando crecimiento, decrecimiento,

puntos de inflexión y asíntotas. 1

b. Calcular ∫ f(x) dx. 0

D = R ya que e -x y x2 + 1 están definidas para todo x perteneciente a R.

Estudio de asíntotas: No existen Asíntotas verticales porque D = R Asíntotas Horizontales:

x2 + 1 ∞ 2x y = lim e-x (x2 + 1) = e- . ∞ = lim ------- = -- = lim --- = --- = x→ x→ ex ∞ x→ ex

2 2 = lim -- = --- = 0 y = 0 x→ es Asíntota Horizontal x→ ex

y = lim e-x (x2 + 1) = e . (-∞)2 = ∞. ∞ = ∞ No existe A. Horizontal cuando x→- x→ -

Asíntotas oblicuas:

x2 + 1 ∞ 2x 2 2m = lim ------- = -- = lim ------------ = ---- = lim = ----------------- = --- = 0 x→ ex. x ∞ x→ ex . x + ex x → ex . x + ex + ex

No existe Asíntota oblicua cuando x→

e-x (x2 + 1) e- . (∞) ∞ - e-x (x2 + 1) + e-x . 2xm = lim -------------- = ----------- = ---- = lim = --------------------------- x→- x - ∞ - ∞ x→- 1

-e . (∞) + e . ∞ ---------------------- = No existe a. Oblicua cuando x→- , existe rama parabólica

1

Estúdio de Max, mín.:

y’ = - e-x (x2 + 1) + e-x .2x = e-x (-x2 - 1 + 2x)

e-x = 0 No existe x ____y’ = 0 2 ± √ 4 - 4 -x2 +2x - 1 = 0 x2 - 2x + 1 = 0; x = -------------- = 1 2x = 1 posible máx., mín.y’’ = - e-x (- x2 + 2x - 1) + e-x (-2x + 2) = e-x (x2 - 2x + 1 – 2x + 2) = - e-x (x2 – 4x +3);

y’’(1) = - e-x (1- 4 + 3) = 0 No existe máx., mín. _______ 4 ± √ 16 – 12 4 ± 2 3f’’(x) = 0 ; x2 – 4x +3= 0; x = ----------------- = --------- = Posibles PI 2 2 1

)( )(- 1 3 +

(- , 1) x= 0 y’’(0) > 0 + PI (1, 2/e)(1, 3) x= 2 y’’(2) < 0 - PI (3, 10/e)(3, ) x=4 y’’(4) > 0 +

Monotonía: (- , ) x= 0 y’(0) = e0 (-1) < 0 Decreciente siempre

Corte eje ox y = 0 ; x2 + 1 = 0 , no hay corte con el eje de las x

Corte eje oy x = 0; y(0) = 1 (0,1)

1 u = x2 + 1 du = 2x dxb) ∫ e- x (x2 + 1) dx = Por partes = 0 dv = e- x v= ∫ e- x dx = - e- x

u = x du= dx= - (x2 + 1) e- x + 2 ∫ x. e- x dx = = - (x2 + 1) e-x + 2 [-x e-x +∫ e- x dx]

dv= e- x dx v = - e- x

1

= - (x2 + 1) e- x - 2x e- x + (-2 e- x ) = e- x (- x2 - 1- 2x -2) = [e- x (- x2 - 2x - 3)] =

0

- 6 + 3e[e- 1 (- 1 - 2- 3)] - [e0 (- 0 – 0 -3)]= -6. e- 1 + 3= - 6/e + 3 = ---------- u2

e

1 Dada la función f(x)= -----. Se pide: xa) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica en el punto (a,f(a)) para a>0.b) Hallar los puntos de corte de la recta tangente hallada en el apartado a), con los ejes de coordenadas.c) Hallar el valor a>0 que hace que la distancia entre los 2 puntos hallados en b) sea mínima. (Selectividad 2004-05)

a) La recta tangente será : y - f(a) = f´(a) (x - a) 1 1 Como y= ------ ; f(a)= -------- 1 1 x a y - ----- = - ------- (x-a) a a2

1 1 1 1 1 y´= - ------ ; f´(a) = - ---- y = - ---- x + --- + --- x2 a2 a2 a a

1 2 La recta tangente es y = - ------ x + ---- a2 ab) 1 2 1 2 y= - ---- x + ----- ---> ---- x = ---- ; x = 2a

Corte eje OX a2 a a2 a y = 0 Corte en (2a , 0)

1 2 2 y = - ---- x + ---- ---> y = ---- Corte eje OY a2 a a x = 0 Corte en (0, 2/a)

c) d(AB) =[AB] Si A=(2a, 0) B=(0, 2/a)

AB=(-2a, 2/a) [AB]= (-2a)2 + (2/a)2 = 4a 2 + 4/a 2

Para que d sea mínimo,calculo d´ 8a - 8/a 3

d´= -------------------- ,d´= 0 , 8a4 -8 = 0 , a4 = 1 , a = ± 1 Cogemos el valor a= 1 >o 2 4a2 +4/a2

Si hallo d´´, la particularizo d´´(1) > 0 para que la distancia sea mínima. Estudiar y representar gráficamente y = x3 - 3x + 2

Dominio = R

Corte con eje OX ==> y = 0 ==> x3 - 3x + 2 = 0 1 0 -3 2 1 (1,0) 1 1 1 -2 x2 + x - 2 = 0 x = 1 1 -2 0 -2 (-2,0)

Corte con eje OY ==> x = 0 ==> y = 2 (0,2)

Máximos y mínimos: y' = 3x2 - 3 ==> y' = 0 ==> 3x2 - 3 = 0 ==> 3x2 = 3

x2 = 1 ==> x = ± 1

y'' = 6x y''(1) = 6 > 0 Min (1,0) y''(-1) = - 6 < 0 Max (-1,6)

Punto de inflexión: y'' = 0 ==> 6x = 0 ==> x = 0

y''' = 6 ==> y'''(0) ╪ 0 P.I (0,2)

No existe A.Vertical No existe A.Horizontal pues y = No existe A.Oblicua pues m = , habrá dos ramas parabólicas.

Estudiar la curva representable para la función f(x) = x2 + 2/x

- Dominio: para todo x ε R menos para x = 0 D= (-∞ , 0) U ( 0, +∞)

-Crecimiento y decrecimiento. Máximos y Mínimos ;

x3 +2 y = ----------- x

3x2 · x - (x3+2) 3x3 - x3 - 2 2 x3 - 2Y '= --------------------- = --------------- = ---------- y' = 0 ; 2 x3 = 2 ; x3 = 1 ; x = 1 x2 x2 x2

Estudio : (-∞ , 0) , ( 0,1 ) y ( 1, +∞) - 2 - 2 _-∞ < x < 0 ; x = - 1 ; y'= ------------ = -------- < 0 Decreciente ( -1 ) 2 +

0´125 – 2 _ 0 < x < 1 ; x = 0´5 ; y' = -------------- = --------- < 0 Decreciente + + 16 – 2 +1 < x < +∞ ; x = 2 ; y' = ------------ = ------- > 0 Creciente + +

En x = 1 pasa de decreciente a creciente Min ( 1, 3)

-Concavidad , conversidad , P.I :

6 x2 . x2 - (2x3 – 2) · 2x 6x3 – 4x3 +4 2x3 + 4 y'' = ------------------------------- = ---------------- = ------------ x3 x3 x3

__y'' = 0  2x3 = - 4 ; x3 = - 2 ; x = 3√-2 = - 1,26

-Estudio de los intervalos : ( -∞ , 3√-2) (3√-2 , 0 ) ( 0 , +∞ )

-16 + 4 _-∞ < x < 3√-2 ; x= - 2 ; y'' = ------------- = --------- > 0 Convexa -8 – x=3√-2 P.I. - 2 + 4 + 3√-2 < x < 0 ; x= -1 ; y''= ------------ = ------ < 0 Concava -1 – x=0 No existe 2 + 4 + 0 < x < +∞ ; x = 1 ; y''= ------- = ----- > 0 Convexa + +-Asintotas :

x3 + 2 *Horizontal y = lim ----------- = +∞ No existe x-> x

* Vertical x = 0 ; y = ∞ luego x = 0 es asintota Vertical

x3 + 2 ∞ 3 x2 ∞ 6x Rama *Oblicua m= lim ---------- = ----- = ------- = ------ = lim ----- = ∞ Parabolica x-> x2 ∞ 2x ∞ x->∞ 2 -Cortes con los ejes :

x= 0  ; y = ∞

y = 0 ; 0 = x3 + 2 ; x3 = - 2 ; x = 3√-2 (3√-2 , 0 ) Punto de Corte

Estudiar la curva representada por la función f(x)= (5 - 2x3) / x

Dominio: todos los valores de x pertenecientes a R salvo para x = 0 → D = R-{0}

Crecimiento, Decrecimiento, máximos y mínimos

y = 5 – 2x³ / x ; y’ = [(- 6 x²) · x – (5 - 2x³)] / x² = (- 6x³ - 5 + 2x³) / x² =

= (-4x³ - 5) / x² ____

y’ = 0 → - 4x³ - 5=0 ; x³ = -5/4 ; x = ³√ -5/4 = - 1’077 Posible máx o min

Tomo los intervalos (-∞, -1’077) , (-1’077, 0) y (0, ∞)

-∞ < x < -1’077 x = -2 y’= - 4· (-2)³ - 5 / (-2)² = 32- 5 / (-2)² = + / + > 0 Creciente-1’077 < x < 0 x = - 1 y’= - 4 · (-1)³ - 5 / (-1)² = - 1/ (- 1)² = - / - < 0 Decreciente 0 < x < ∞ x = 1 y’= - 4 · (1)³ - 5 / 1² = - / + < 0 Decreciente

x= - 1’077 pasa de creciente a decreciente → Max en (-1’077, -6’962)

Concavidad, convexidad y PI

y’’= (- 12x²) / x² - (- 4x³ - 5) · 2x / x4 = - 12x³ - (- 4x³ - 5) · 2 / x³ =

= -12 x³ + 8x³ + 10 / x³ y’’= - 4x³ + 10 / x³ y’’= 0 → 4x³ = 10 ; x³ = 5/2 ; ___ ___ ___x = ³√ 5/2 En x = ³√ 5/2 y = 0 PI ( ³√ 5/2, 0)

____ ___Posibles cambios de concavidad en (-∞, 0) , (0, ³√ 5/2 ) y (³√ 5/2, ∞)

-∞ < x < 0; x = - 1 f’’(x) = -4 · (-1)³ + 10 / (-1)³ = + / - < 0 Cóncava ___ 0 < x < ³√ 5/2 ; x = 1 f’’(x) = - 4 · 1 + 10 / (1)³ = + / + > 0 Convexa ____ ³√ 5/2 < x < ∞ x = 2 f’’(x) = - 4 · (2)³ + 10 / (2)³ = - / + < 0 Cóncava

Asíntotas

Horizontal : y = lim 5 – 2x³ / x = ∞ / ∞ = lim - 6x² / 1 = ∞ No hay x→∞ x→∞

Verticales en x = 0 → y = ∞ → x = 0 Asíntota V.

Oblicuas m = lim - 5 – 2x³ / x² = ∞ Rama parabólica x→∞

Cortes con los ejes

x = 0 ; y = ∞ No corta ___ ___ y = 0 ; 5 – 2x³ / x = 0 ; 5 – 2x³ = 0 ; x = ³√ 5/2 (³√ 5/2 , 0) ;

( 1’3572 , 0) es corte con eje OY

Hallar los máximos y mínimos relativos y los puntos de Inflexión de la función

b) determinar una función f(x) tal que su derivada sea f(x) y además f(0)=4

a) Calculamos la primera derivada:

posibles max, min

Máximo

Mínimo

P. Inflexión:

como D=R los intervalos de curvatura son:

b) F(x)=

Si

F(x) =

Hallar máximos y mínimos relativos y puntos de inflexión de la función f(x)= sen x + cos x , para 0 < x < . Dibujar la curva en el intervalo (0, ).

y= sen x + cos x ; y´= cos x – sen x ; y´´= - sen x – cos x ; y´´= - cos x + sen x

y´= 0 → cos x = sen x → tg x = 1 → x = /4

y´´( /4)= - sen /4 – cos /4 = - − = - < 0. Hay un máximo

en ( /4, )

y´´= 0 → -sen x = cos x → tg x = -1 → x = 3 /4

y´´´(3 /4) = - cos 135 + sen 135 = + = 0

Hay un punto de inflexión en (3 /4 , 0)

Para dibujar la curva, calculemos los puntos extremos en x = 0 y en x =

Para x = 0 → y = sen 0 + cos 0 = 1 (0,1)

Para x = → y = sen + cos = -1 ( ,-1)

Para cada valor de c >0, a) calcular el área de la región acotada comprendida entre la gráfica de la función:

; el eje OX y las rectas

b) Hallar el valor de c para el cual el área obtenida en el apartado a) es mínima.

a) Si c > 0, Teniendo en cuenta que la función siempre es positiva (está

situada siempre por encima del eje OX), el área en un intervalo será:

b) El área mínima se obtiene derivando la expresión respecto de c e igualando a cero.

La comprobación de que se trata de un área mínima se hace con la segunda derivada.

Para el área es mínima.

Para el área es máxima.

Representar esquemáticamente la gráfica de ,

determinando para ello sus extremos relativos, si los tiene, sus intervalos de crecimiento, puntos limites, etc...

El dominio, no existirá para el valor de x = 0 que es que anula el denominador de la funcion, ya que la funcion exponencial esta definida para todo numero real.

D = R – (x = 0)

Los cortes con los ejes no existen en esta función ya que para y = 0

x = Ln 0 No existe.

Máximos y mínimos

No existe.

Mínimo (1; e)

Puntos de inflexión

No existe

No existe

Asintota vertical: x = 0 que hace que y = ∞

Asuntota horizontal:

y = 0 es asintota cuando x -∞

Asintota oblicua: No existe pues m = ∞ para x y vale m = 0 para x -∞

Creciente y decreciente:

En Decreciente

En (0,1) Decreciente

En Creciente

Concavidad y convexidad:

En (-∞,0) Cóncava

En (0,∞) Convexa

e-2 -1 x = -2 y = ---- = ------ -2 2e2 e-1 -1 x = -1 y = ----- = ----- -1 e

Representar la grafica de la función y = cos x - 1

y = cos x – 1 ;

D = R por ser la función cos x sinusoidal y periódica y la función -1 es constante. -4π y = cos x-1 -2πCorte eje OX cos x -1 = 0 ; cos x = 1 ; x = 0

y = 0 2π 4π

corta en : …(-4π, 0) , (-2π, 0) , (0, 0) , (2π, 0) , (4π, 0)….

Corte eje OY ; x = 0 ; y = cos 0 – 1 = 1 – 1 = 0 → (0, 0)

Posibles max min ; y´ = - sen x ; y´= 0 ; - sen x = 0; sen x = 0

-2π y”(-2π) = - cos(-2π) = -1 < 0 max(-2π, 0) -π y”(-π) = - cos(-π) = +1>0 min(-π, -2)x = 0 y” = - cosx → y”(0) = - cos0 = -1 <0 max (0, 0) π y”(π) = - cosπ = -(-1) > 0 min (π,-2) 2π y” ( 2π) = - cos2π = -1 < 0 max (2π,0)

x = -3π / 2 x = -π / 2Posibles PI ; y” = - cosx ; y” = 0 ; cos x = 0 → x = π / 2

x = 3π / 2 | ( )( )( )( | -2π -3π/2 –π/2 π/2 3π/2 2π

(- 3π/2,- π/2) → x = - π ; y”(-π) = - cos(-π) = 1 > 0 PI (-π/2, -1) (-π/2, π/2) → x = 0 ; y”(0)= - cos 0 = -1 < 0 PI (π/2, -1)

(π/2, 3π/2) → x = π ; y”(π) = - cosπ = 1 > 0

3x+2Representar f(x ) = ------- 2x+1

2x + 1=0 ; 2x = - 1 ; x = - 1/2 Dom: R - x = -1/2

(se iguala el denominador a 0 para saber los valores que lo anulan)

3x + 2 3x + 2 y = --------- = --------- = 0 ; Cortes OX 2x + 1 2x + 1 3x+2=0 ; 3x = -2 ; x = - 2 / 3

y = 0 Los cortes estan en (- 2/3, 0) y (0, 2) 3x + 2 y = ---------- 2 Cortes OY 2x + 1 y = --- = 2 1 x = 0 Posibles mas, min : se halla y’ y se iguala a 0

3· (2x + 1) - (3x + 2)·2 6x + 3 - 6x – 4 - 1y´ = ----------------------------- = ------------------ = ----------- (2x + 1)2 (2x + 1)2 (2x + 1)2

y’ = 0 ; - 1 ≠ 0 no existe max, min. Posibles P.I : Se halla y’’ y se iguala a 0

- (- 1)· [2·(2x + 1)·2] 4 4y’’= --------------------------- = ----------- ; y’’= 0 ---------- = 0 ; 4 ≠ 0 no existe P.I (2x + 1)4 (2x + 1)3 (2x + 1)3

Asuntota vertical x = -1 / 2 (coincide con la x del dominio) 3x + 2Asuntota horizontal y = lim --------- = 3/2 x ∞ 2x + 1 3x + 2 3x + 2Asuntota oblicua m = lim -------------- = lim ---------- = 0 no existe A.O x->∞ x· (2x + 1) x->∞ 2x2 + x

y

x

Representar la grafica de la función: x + 1d) y = ------- x – 2

D = R – {x = 2} D = para todo x € (-∞, 2) U (2, ∞)

A.V.; x = 2

x + 1 ∞ 1A.H. : y = lim --------- = ---- = lim ----- = 1 → y = 1

x→ ± ∞ x – 2 ∞ x → ± ∞ 1 x + 1

A.O . m = lim --------- = 0 No existex → ± ∞ x2 – 2x

x + 1 Corte eje ox ; y = ------- → x + 1 = 0 ; x = -1 (-1, 0) corte eje ox

x – 2 y = 0

x + 1 Corte eje oy y = ------- → y = - ½ → (0, -1/2) corte eje oy

x – 2 x = 0

x – 2 – (x + 1) -3Posibles max , min : y´= ------------------ = ---------- ; y´= 0 ; -3 ≠ 0 no existe x € R

(x – 2)2 (x – 2)2 no existen max, min

- (-3)·2 ·(x – 2) 6Posibles PI ; y” = ------------------ = -------- ; y” = 0 ; 6 ≠ 0 no existe x € R no existe P.I.

(x – 2)4 (x - 2)3

El único intervalo en donde se puede estudiar monotonia y curvatura es en el Dominio

y´(0) = - 3 / (-2)2 < 0 Decrece En (- ∞, 2) x = 0 y´´(0) = 6 / (-2)3 < 0

y´(3) = -3 / + <0 DecreceEn (2, ∞) x = 3

y”(3) = 6 / + > 0

Representar esquemáticamente la grafica de , determinando

para ello los cortes, asíntotas, extremos relativos, puntos de inflexión y con todo ello su grafica.

.

Representar y= x2 / x - 1

Se buscan los valores que anulan el denominador y se quitan de la recta real.

D = (-∞, 1) U (1, ∞+) y = x2 / x - 1 se resuelve el siste- Cortes con el eje OX x2 / x – 1 = 0; x2 = 0; x = 0 ma entre la curva y

y = 0 el eje OX

y = x2 / x - 1 se resuelve el sistema entre Cortes con el eje OY y=0 la curva y el eje OX x = 0

Posibles máximos, mínimos

Se halla la derivada, se iguala a cero y se buscan los posibles x de los máximos y mínimos.

2x · (x - 1) – x2 2x2 – 2x - x2 x2 - 2xy´= ------------------- = ----------------- = ------------ y´=0 (x - 1) 2 (x - 1) 2 (x - 1) 2

x2 - 2x x = 0 --------- = 0; x2 - 2x = 0; x · (x - 2) = 0 son estos los posibles (x - 1) 2 x – 2 = 0; x = 2 Se calcula la y” y se particulariza para los posibles máximos o mínimos.

(2x – 2) · (x – 1) – (x2 - 2x) · 2 (x – 1) 2x2 – 2x – 2x + 2 - 2x2 + 4x 2 y” = ---------------------------------------------- = ----------------------------------- = ---------- (x – 1) 4 (x – 1) 3 (x – 1) 3

2 0 y”(0) = --------- < 0 y = -------- = 0 Max (0, 0) 2 (-1) 3 0 - 1 y” = ---------- (x – 1) 3 2 22

y”(2) = ---------- > 0 y = -------- = 4 min (2, 4) (2 - 1) 3 2 - 1

Posibles PI. Se igual la y” = 0 para buscar los posibles valores de x que sean PI. Aquí no hay. 2y” = 0 ; ------------ = 0; 2 = 0 no existe PI (x – 1) 3

Asintotas.

A.V x = 1

x2

A.H y = lim --------- = ∞ no existe A.H x → ∞ x – 1

x2

-------

x – 1 x2

A.O m = lim ------------ = lim --------- = 1 x → ∞ x x → ∞ x2 - 2x x y y = x + 1 x2 x 0 1 n = lim -------- - x = lim -------- = 1 2 3 x → ∞ x – 1 x → ∞ x – 1

1 2 3 4 5

x3

Representar y = ----------- 1 - x2

Dominio: 1 - x2 = 0 ; x2 = 1 ; x = ± 1 ; D = R - ± 1

Puntos corte con eje OX: y = 0 ==> x3 = 0 ; x = 0 ==> (0;0)

0 Puntos corte con eje OY: x = 0 ==> y = ----- = 0 ; (0;0) 1

x3

Asintota horizontal: y = lim --------- = No existe x-> 1 - x2

x3 x3

Asintota vertical: x = 1 y x = -1 ya que lim --------- = y lim -------- = x->1 1 - x2 x-> -1 1 - x2

Asintota oblicua: y = m.x + n

f(x) x3

m = lim ----- = lim --------- = - 1 x-> x x-> x - x3 y = - x

x3 x3 + x - x3

n = lim -------- + x = lim ------------- = 0 x-> 1 - x2 x-> 1 - x2

3x2 (1 - x2) - x3 (-2x) 3x2 + 3x4 + 2x4 - x4 + 3x2 Máximos y mínimos: y' = -------------------------- = ------------------- = ------------- (1 - x2)2 (1 - x2)2 (1 - x2)2

→ x = 0 Como y' = 0 - x4 + 3x2 = 0 ; x2 (- x2 + 3) = 0 → - x2 + 3 = 0 ; x2 = 3 ; x = ± √3 (- 4x3 + 6x ) (1 - x2 )2 + (- 4x3 + 3x2 ) 2 ( 1 - x2 ) ( 2x ) 2x3 + 6x y''= ------------------------------------------------------------------- = -------------- (1 - x2)4 (1 - x2)3

y'' (0) = 0 No exiten máximos y mínimos. 6 √3 + 6 √3 + - 3√3 y''(√3 ) = ------------------ = ---- < 0 Max (√3 ; --------- ) (1 - 3)3 - 2

- 6 √3 - 6 √3 - +3√3 y''( - √3 ) = ----------------- = ---- > 0 Min ( -√3 ; -------- ) (1 - 3)3 - 2

Puntos de inflexión: → 2x = 0 ; x = 0

y'' = 0 ; 2x3 + 6x = 0 ==> 2x (x2 - 3) = 0 → x2 - 3 = 0 ; No existe

-16 - 12 - ¼ + 3 + y'' (-1/2) = ----------- = ----- > 0 Convexa. y'' (-1/2) = ------------- = ----- > 0 Concava ( 1 – ¼ ) - (1 – ¼ ) 3 -

En x = 0 Existe P.I (0 , 0)

- 5,06 + 6,75 y''(-2) = ----------------- < 0 Decreciente + 0 y''(0) = ---- = 0 creciente (0+ y 0-) 1 -5,06 + 6,75 y''(3/2) = ----------------- < 0 Creciente

-16 + 12 y''(2) = ----------- < 0 Decreciente

+

-2 )( -3/2 )(0)( 3/2 )( 2 -√3 -1 1 √3

Creciente para cualquier x perteneciente (-√3, -1) U (-1,1) U (1, √3)Decreciente para cualquier x perteneciente (- , -√3 ) U (√3 , )

Representar y = ln x __y = ln x = x½ = ½ · ln x D = x Ɛ (0, ) ya que el cero y los números

negativos no dan valores reales para la función logaritmo

x 0 No existe f(x) x = 0 f(x) = __

y = ln x __Corte eje OY y = ln 0 y = ln 0 y = No hay cortes eje oy x = 0 __ y = ln x __ __Corte eje OX 0 = ln x e0 =x No hay cortes eje oy y = 0

Posibles Maximos y minimos __y = lnx = ln x½ = ½ · ln x

y ´= ½ · 1/x = 1 / 2x y´= 0 1 / 2x = 0 1 0 existe MAX / MIN

Posibles Puntos de inflexion

1 0 – 2· 1 - 2 -1 y´ = y´´= = = 2x (2x)² 4x² 2x² - 1y´´=0 = 0 - 2 0 existe P.I 2x²

A.Verticales

x = 0 f(x)= A.V x = 0

A.Horizontales __lim (L x ) = lim (L x½) = lim (½ L x) = ½ ln = o existe A.Hx-> x-> x->

A.Oblicuas f(x) ½ L x L x m = lim m = lim = lim = x-> x x-> x x-> 2x

Aplicamos la regala de L´Hopital: Se deriva numerador y denominador

(L x)´ 1/xm = lim = lim = lim 1 / 2x = 1 / = 0 No existe A.O x-> (2x)´ x-> 2 x->

Monotonia: Crecimiento y decrecimiento

y´= 1 / 2x x D y´ 0 creciente

Ej: x = 2 y´= ¼ 0 creciente

Curvatura: Concavidad y convexidad

y´´ = - 2 / 4x² x D y´´0 cóncava

Ej: x = 2 y´´= -2 / 16 0 cóncava

Representar . Calcular previamente sus asíntotas si las

tiene, los cortes con los ejes, sus máximos, mínimos y puntos de infle-xión si los tiene. Intervalos de monotonía y curvatura.

D: / x + 1 > 0 ; x > - 1 ; D:

AV; ln(x+1) = ln 0 = // x = es A.V.

AH; x+1)= ln = A.H.

AO; m= = = = = 0 A.O.

Corte eje OX ln(x+1) = 0 = ; x + 1= 1

; y = 0; (0, 0)

Máximos y mínimos

= 0 ; 1

PI: = 0 -2 PI

Monotonía Curvatura

(-1, ); X= 0 y´(0) = > 0 Creciente. (-1, ); X=0 y´´= < 0 -

Representar f(x) = =

Dom f(x)=

Corte con eje OX corte con eje OX

Corte con eje OY corte con eje OY

AH

Rama parabolica

Posibles maximos y minimos

posibles max./min.

Posibles puntos de inflexion

puntos de inflexiónx=0

Sea:

donde significa logaritmo neperiano de x. Hallar el área de la

región acotada limitada por la gráfica de f(x), y por la recta y=1.

Lo primero es acotar el área, si es posible, representar el área pedida y a continuación calcular los limites de integración.

La función f(x) está definida por expresiones elementales , por lo que su

representación es sencilla.

El área pedida se calcula como la suma de dos áreas.

La primera comprendida entre la función y = , y las rectas y = 1, x = 1. El

límite de integración inferior se calcula como intersección de y= con y = 1.

: = 1 ;

x=0; x=2 (no válida por ser mayor que 1).

La segunda, comprendida entre y = , y = 1, x = 1. El límite superior se calcula como

intersección de y = con y = 1.

:

Conocidos los límites de integración se calcula el área.

Área =

Cálculo de las primitivas:

Calculadas las primitivas, se calcula el área.

Sea f(x) = Ln │ x │ . a) Representar la grafica. b) Hallar f ´(x) indicando su dominio

El dominio son todos los valores de x / │ x │ > 0 es decir que salvo el x = 0 siempre existe f(x) D : R – {x = 0} Ln (-x) x < 0 -1 / - x = 1 / x x < 0 f(x) = f´(x) = Ln x x > 0 1 / x x > 0

La f(x) corta en Ln (-x) = 0 e Ln (- x) = e 0 - x = 1 x = - 1 (-1, 0)

La f(x) corta en Ln (x) = 0 e Ln ( x) = e 0

x = 1 x = 1 (1, 0)

La f ´(x) = 1 / x siempre para todo x perteneciente al Dominio ya que x = 0 es el valor que anula el denominador

1 – x2/4 x < 3/2

Sea f(x) = 7/12 (1 – (x – 2)2) x ≥ 3/2

a) Estudiar la continuidad y derivabilidad de f(x)b) Hallar los máximos y mínimos locales de f(x)c) Dibujar la gráfica de f(x)

¼ (4 – x2) x < 3/2 ¼ (-2x) = - x/2 x < 3/2

Sea f(x) = f ’(x)=7/12 ( - x2 + 4x – 3) x ≥ 3/2

7/12 (-2x + 4) x ≥ 3/2

a) f(x) en (-∞, 3/2) y en (3/2, ∞) es continua x Є R por ser funciones polinómicas de

grado 2 => f(x) continua en cada intervalo.

Lim 7/12 (-x2 + 4x – 3) = 7/12(- 9/4 + 6 – 3) = 7/12 (- 9/4 + 3) = 7/12 · ¾ = 7/16

x3/2+

En x= 3/2

Lim ¼ (4 – x2) = ¼ (4 – 9/4) = ¼ · 7/4 = 7/16

x3/2−

Como L1 = L2 Ǝ Lim f(x) = f( 3/2) => f(x) continua en x = 3/2

x3/2

f’(x) en (-∞, 3/2) y en (3/2, ∞) es continua x Є R por ser funciones polinómicas de

grado 1 => f’(x) continua en cada intervalo => f(x) es derivable en cada intervalo

Lim 7/12 (-2x + 4) = 7/12 (- 3 + 4) = 7/12

x3/2+ L1 ≠ L2 => Ǝ Lim f’(x) =>

En x= 3/2 x3/2

Lim -x/2 = -3/4 => f’(x) no es continua => x3/2

− f(x) no es derivable en x= 3/2

b) Máximos y mínimos.

En (-∞, 3/2) y’ = - x / 2 = 0 => x = 0 posible máx, min

y’’= - 1/2 ; y’’(0) < 0 Máx (0, 1)

En (3/2, ∞) y’= 7/12 (-2x + 4) = 0; 2x – 4 = 0; x = 2 posible máx, min

y’’= - 7/6 ; y’’(2 )< 0 Máx (2, 7/12)

c) Gráfica.

En (-∞, 3/2) x y En (3/2, ∞) x y

3/27/16 (Del límite) 3/2

7/16 (Del límite)0 1 Máx 2 7/12 Máx-2 0 Corte eje OX 3 0 Corte eje OX

7/12 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 7/16 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

-2 -1 1 3/2 2 3

Sea la función: senx f(x) = ------------ 2 – cosx

definida en el intervalo cerrado y acotado [ -2π, 2π] se pide:a) Calcular los puntos del intervalo dado donde f alcanza los valores máximo y mínimo absoluto.b) Dibujar la gráfica de f en el intervalo dado.c) Calcular: π/3

0 f(x)dx. (Selectividad Septiembre 2002-03)

a) El dominio es [ -2π, 2π]

cos x·(2 – cos x) – sen x·sen x 2cos x – cos2 x - sen2 x 2 cos x - 1 y’= --------------------------------------- = ---------------------------- = ---------------- ( 2 – cos x)2 ( 2 – cos x)2 ( 2 – cos x)2

y’ = 0 ; 2 cos x – 1 = 0 ; cos x = 1/2

-5π/3 -π/3x = π/3 son posibles máximos, mínimos de f(x) 5π/3

-2 sen x·(2 – cos x)2– ( 2cos x – 1)· 2 (2 – cos x)·sen xy’’ = ---------------------------------------------------------------------- = ( 2 – cos x)4

-4sen x + 2sen x·cos x – 4sen x·cos x + 2 sen x - 2 sen x – 2sen x·cos x= ----------------------------------------------------------- = ------------------------------ = ( 2 – cos x)3 ( 2 – cos x)3

- 2 sen x·( 1 + cos x)= -------------------------- ( 2 – cos x)3

- 2 sen( -5π/3)·[ 1 + cos(-5π/3) ] -2 √3/2 · (1 + ½) _ y‘’(-5 π /3)= --------------------------------------- = ------------------------ = ---- = < 0 max. ( 2 – cos (-5π/3))3 ( 2 – ½)3 +

-2 sen ( -π/3)· [ 1 + cos(-π/3) ] -2·(-√3/2) · (1 + ½) +y’’(-π/3) = -------------------------------------- = -------------------------- = ----- = > 0 min. ( 2 – cos (-π/3))3 ( 2 – ½)3 +

-2 sen (π/3)· [ 1 + cos(π/3) ] -2· √3/2 · (1 + ½) _ y’’(π/3) = ------------------------------------ = ------------------------ = ----- = < 0 max. ( 2 – cos (π/3))3 ( 2 – ½)3 +

-2 sen ( 5π/3)· [ 1 + cos(5π/3) ] -2·(-√3/2) · (1 + ½) +y’’(5π/3) = --------------------------------------- = ------------------------- = --- = > 0 min. ( 2 – cos (5π/3))3 ( 2 – ½)3 +

Es decir Max (- 5 π /3, √3 /3) Max (π /3, √3 /3) Min (-π /3, - √3 /3) Min (5π/3, - √3 /3)

Cortes eje OX y = 0 ; sen x = 0 x = -2π x = -π (-2π ,0) x = 0 Cortes en (-π , 0) [π,0] x = π ( 0 , 0) [2π,0] x = 2π

senx Calcular π/3 ---------- dx = [ Ln ( 2 – cosx) ] π/3 =

0 2 – cosx 0

= Ln ( 2 – cos π/3) – Ln ( 2 – cos 0) = Ln ( 2 - ½ ) – Ln ( 2 – 1) = Ln 3/2 – Ln 1 =

= Ln 3/2

Se considera la f(x) = :

a) Calcular los extremos locales de f(x).

b) Determinar el valor del parámetro a tal que

a) D= R ya que 1+ = 0; e = - 1 lne = ln(-1) x no existe que anule el denominador.

= =

Posibles máximos y mínimos f’(x)= 0

; POSIBLE.

No hace falta hallar , basta con estudiar la monotonía de

+

En es creciente

En x=0 existe un MAXIMO en el punto

En es decreciente

b)

Como

Se considera la función

Se pide:a) Calcular a y b para que f sea continua y derivable a todo R.b) Para los valores de a y b obtenidos en el apartado anterior,

calcular el área de la región acotada limitada por la gráfica de f, el eje horizontal y las rectas x = 1, x = 3.

Para que una función sea continua en un punto, el valor de la función en el punto debe ser igual al valor del límite de la función en él, lo cual equivale a que sean iguales los límites laterales en el punto.

Continua en x = -2:

Continua en x = 2:

En definitiva se llega a una sola relación.

La segunda relación se obtiene con la condición de derivabilidad. Una forma sencilla de demostrar la derivabilidad de la función en un punto frontera (punto donde cambia la expresión de función), es demostrar que en dicho punto las derivadas laterales coinciden.

La derivada de la función se obtiene derivando las distintas expresiones que la definen y expresando los intervalos en forma abierta.

Derivable en x = -2

Derivable en x = 2

Con la condición de derivabilidad se obtiene el valor de a.

Con el valor de a y la condición de derivabilidad, se obtiene el valor de b.

Para que la función sea continua y derivable en todo R su expresión debe ser:

Nota:

Sea g(x) una función continua y derivable , de lo que se conoce la

siguiente información:I) g’(x) >0

II)

III)

IV)

Se pide: a) Analizar la posible existencia o no de asíntotas verticales, horizontales u oblicuas. b) Dibujar de manera esquemática la grafica de la función g(x).

a) A.V. ya que la función es continua : el dominio es toda la recta real.

A.H.

A.O. ;

b) Si

Si

Pasa por (-1, 0), máx. (0, 2), min ( 2, 1)