什么是圆心角定理？ 在同圆或等圆中 , 相等的圆心角所对的弧相等 , 所对的弦相等 . ( 所对的弦的弦心距相等 ).

●O

A

B

┓D

A′ B′D′

┏

●O

A

B

┓D●O′

A′ B′D′

┏

由条件 :①∠AOB= A′O′B′∠

②AB=A′B′⌒ 　⌒

③AB=A′B′

④ OD=O′D′

可推出

知识回顾

在同圆或等圆中 , 如果轮换下面四组条件 : ① 两个圆心角相等 ,② 两条弧相等 ,③ 两条弦相等 ,

④ 两条弦心距相等 , 你能得出什么结论 ? 说明你的想法和理由 .

●O

A

B

┓D

A′ B′D′

┏

由条件 :②AB=A′B′⌒ ⌒③AB=A′B′④ OD=O′D′

能否

推出

①∠AOB=∠A′O′B′

探究新知

③AB=A′B′ 能否

推出

①∠AOB=∠A′O′B′

②AB=A′B′⌒ ⌒

④ OD=O′D′

③AB=A′B′

能否

推出

①∠AOB=∠A′O′B′

②AB=A′B′⌒ ⌒④ OD=O′D′

在同圆或等圆中 , 如果①两个圆心角 ,② 两条弧 ,③ 两条弦 ,④ 两条弦心距中 , 有一对量相等 , 那么它们所对应的其余各对量都相等 . ●O

A

B

┓D

A′ B′D′

┏②AB=A′B′

⌒ ⌒

③AB=A′B′ ④ OD=O′D′

①∠AOB=∠A′O′B′

圆心角 , 弧 , 弦 , 弦心距之间的关系定理

注意前题条件：在同圆或等圆中

探究新知

练一练 已知：如图， AB ， CD 是⊙ O 的两条弦，

OE ， OF 为 AB 、 CD 的弦心距，根据这

节课所学的定理及推论填空：

A

B

C

F

D

E

O

（ 2 ）如果 OE=OF ，那么 ， ， ；⌒ ⌒（ 3 ）如果 AB=CD ，那么 ， ， ；

（ 4 ）如果 AB=CD ，那么 ， ， 。

(1) 如果∠ AOB= COD∠ ，那么 ， ， ;OE=OF AB=CD AB=CD⌒ ⌒

∠AOB= COD AB=CD AB=CD∠⌒ ⌒

∠AOB= COD AB=CD OE=OF∠

∠AOB= COD OE=OF AB=CD∠⌒⌒

O

A B

A B

下面的说法正确吗 ? 为什么 ?

如图 , 因为 BOAAOB ，根据圆心角、弧、弦、弦心距的关系定理可知：

⌒⌒

BAAB

练一练

例例 11 ：：已知：如图已知：如图 , AB, AB 、、 DEDE 是⊙是⊙ OO 的两条直的两条直

径，径， CC 是⊙是⊙ OO 上一点，且上一点，且 AD=CEAD=CE 。求证：。求证： BEBE

=CE=CE

⌒⌒ ⌒⌒

ＯＯ

ＣＣＢＢ

ＡＡ

ＤＤ

EE

例题分析

证明 :∵AB ， DE 是⊙ O 的两条直径∴ ∠AOD= ∠BOE∴AD=BE又∵ AD=CE∴BE=CE∴BE=CE

⌒ ⌒

⌒ ⌒⌒ ⌒

1. 已知：如图，在⊙ O 中，弦 AB=CD.求证： AD=BC

做一做

CA

BD

O

ＯＯ

ＣＣＢＢ

ＡＡ(1)∠AOB(1)∠AOB 、∠、∠ COBCOB 、∠、∠

AOCAOC 的度数分别为的度数分别为 __________

__________(2)(2) 若⊙若⊙ OO 的半径为的半径为 r,r, 则等则等

边边 ABCABC 三角形的边长为三角形的边长为 ______

________

0 0 0120 ,120 ,120

3r

例例 22 ：如图，等边三角形：如图，等边三角形 ABCABC 内接于⊙内接于⊙ O,O,连结连结 OA,OB,OCOA,OB,OC 。。

例题分析

(1)∠AOB(1)∠AOB 、∠、∠ COBCOB 、∠、∠

AOCAOC 的度数分别为的度数分别为 __________

__________

0 0 0120 ,120 ,120

例例 22 ：如图，等边三角形：如图，等边三角形 ABCABC 内接于⊙内接于⊙ O,O,连结连结 OA,OB,OCOA,OB,OC 。。

例题分析

(3)(3) 延长延长 AOAO ，分别交，分别交 BCBC 于于

点点 PP ，， BCBC 于点于点 D,D, 连结连结 BD,BD,

CDCD 。试判断四边形。试判断四边形 BDCOBDCO

是哪一种特殊四边形，并说是哪一种特殊四边形，并说

明理由。明理由。

⌒⌒

ＯＯ

ＣＣＢＢ

ＡＡ

ＤＤ

ＰＰ

322. 已知等边三角形 ABC 的边长为 cm,求它的外接圆的半径。

做一做

A

B C

O

D

答案 :

2cm

例 3 ：如图，顺次连结⊙ O 的两条直径 AC 和BD 的端点，所得的四边形 ABCD 是什么特殊四边形？如果要把直径为 30cm的圆柱形原木锯成一根横截面为正方形的木材，并使截面尽可能地大，应怎样锯？如果这根原木长 15m ，问锯出的木材的体积为多少立方米？

A B

CD

O

例题分析

例 3 ：如图，顺次连结⊙ O 的两条直径 AC 和BD 的端点，所得的四边形 ABCD 是什么特殊四边形？ A B

CD

O

例题分析

解：四边形 ABCD 是矩形，理由如下：∵AC ， BD 是⊙ O 的两条直径∴OA=OC=OB=OD∴ 四边形 ABCD 是平行四边形又∵ AC=BD∴ 平行四边形 ABCD 是矩形

例 3 ：如图，顺次连结⊙ O 的两条直径 AC 和BD 的端点，所得的四边形 ABCD 是什么特殊四边形？如果要把直径为 30cm的圆柱形原木锯成一根横截面为正方形的木材，并使截面尽可能地大，应怎样锯？

例题分析

A

D

OB

C

图 1A

D

O

B

C

图 4

图 3图2

设原木横截面为⊙ O ，如图 4 ，在⊙ O 中作两条互相垂直的直径 AC 和 BD ，依次连结 A 、 B 、 C 、D ，四边形 ABCD 就是正方形。沿正方形 ABCD 的四条边，就可以锯出截面面积最大的正方形。

例 3 ：如图，顺次连结⊙ O 的两条直径 AC 和BD 的端点，所得的四边形 ABCD 是什么特殊四边形？如果要把直径为 30cm的圆柱形原木锯成一根横截面为正方形的木材，并使截面尽可能地大，应怎样锯？如果这根原木长 15m ，问锯出的木材的体积为多少立方米？

例题分析

A

D

O

B

C

当 AC=BD=30cm 时，∴ 正方形 ABCD 面积为

)(45030302

12

1

2cm

BDAC

)(045.0 2m体积为 )(675.0045.015 3m

答：锯出的木材的体积为 0.675 立方米

A

D

O

B

C

做一做3. 若⊙若⊙ OO 的直径为的直径为 10cm10cm ， ， ACAC 、、 BDBD 是是⊙⊙ OO 的两条直径∠的两条直径∠ AOB=120AOB=12000 ，求四边形，求四边形ACBDACBD 的周长和面积。的周长和面积。

周长 : cm)31010(

面积 : cm325

(1) 已知 , 如图 1,AB 和 AC 是⊙ O 的两条弦 ,AO 平分∠ BAC, 求证 :AB=AC

C

A

BO

拓展提高

你有几种解法？请用多种方法加以证明 .

图 1⌒ ⌒

(1) 已知 , 如图 1,AB 和 AC 是⊙ O 的两条弦 ,AO 平分∠ BAC, 求证 :AB=AC

C

A

BO

拓展提高

图 1⌒ ⌒

(2) 如图 2,BD 和 CE 是⊙O 的两条弦 ,AO 平分∠ BAC, 求证 :BD=CE⌒ ⌒

C

E

O

D

B

A图 2

(1) 已知 , 如图 1,AB 和 AC 是⊙ O 的两条弦 ,AO 平分∠ BAC, 求证 :AB=AC

C

A

BO

拓展提高

图 1

⌒ ⌒

(2) 如图 2,BD 和 CE 是⊙O 的两条弦 ,AO 平分∠ BAC, 求证 :BD=CE⌒ ⌒

C

E

O

D

B

A图 2

(3) 如图 3,BD 和 CE 是⊙ O 的两条弦 ,AO 平分∠ BAC, 求证 :BD=CE⌒ ⌒

ED

CO

A

B图 3

说说你这节课的收获

今日作业• 1. 作业本 3.3 （ 2）• 2. 课本作业题

• A 组和 B组为必做题• C 组为选做题