312ch05_2555_2nd
DESCRIPTION
ddsssdddTRANSCRIPT
![Page 1: 312ch05_2555_2nd](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081816/55cf9237550346f57b94ba97/html5/thumbnails/1.jpg)
บทที่ 5ระบบสมการเชิงอนุพันธ
5-1
บทที่ 5ระบบสมการเชิงอนุพันธ
System of Differential Equations
ภาคฤดูรอน ปการศึกษา 2550
บทที่ 5ระบบสมการเชิงอนุพันธ
5-2
การหาผลเฉลยของระบบสมการเชิงอนุพันธสามัญเชิงเสนที่มีสัมประสิทธิ์เปนคาคงตัว
ตัวอยาง ระบบสมการเชิงอนุพันธ
1) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++
=++
t2e2y2x3dtdy
0y3x2dtdx
หรือ ⎩⎨⎧
=++=++
t2e2y)2D(x30y3x)2D(
2) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−++
=+−+
tcosyx2dtdy
dtdx2
tsin2y4x3dtdy2
dtdx
หรือ ⎩⎨⎧
=−++=++−
tcosy)1D(x)1D(2tsin2y)2D(2x)3D(
3)
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=+−−
=+
=+++++
0xdtdz
dtdy
0zdtdx
01xdtdz3
dtdy2
dtdx2
dtxd2
2
หรือ ⎪⎩
⎪⎨⎧
=−−=+=+++
0DzDyx0zDx1Dz3Dy2x)1D( 2
บทที่ 5ระบบสมการเชิงอนุพันธ
5-3
5.1 ระบบสมการเชิงอนุพันธเชิงเสนอันดับหนึ่งระบบสมการเชิงอนุพันธเชิงเสนอันดับหนึ่งตัวแปรอิสระ t ตัวแปรตาม n21 x ,,x ,x K
)t(bx)t(a x)t(ax)t(adt
dx
)t(bx)t(a x)t(ax)t(adt
dx
)t(bx)t(a x)t(ax)t(adt
dx
nnnn22n11nn
2nn22221212
1nn12121111
++++=
++++=
++++=
L
M
L
L
เมื่อ ija และ ib เปนฟงกชัน1. ija เรียกวา สัมประสิทธิ์ของระบบสมการ2. ถา ija เปนฟงกชันคาคงตัวทุกคา i, jเรียกวา ระบบสมการเชิงอนุพันธที่มีสัมประสิทธิ์เปนคาคงตัว3. ถา ib = 0 เรียกวา ระบบสมการเอกพันธุ4. ถา มี ib อยางนอยหนึ่งฟงกชันที่ไมเปนศูนย
เรียกวา ระบบสมการไมเอกพันธุ
บทที่ 5ระบบสมการเชิงอนุพันธ
5-4
สมการเชิงอนุพันธเชิงเสนอันดับ nสามารถแปลงใหอยูในรูปของระบบสมการอันดับหนึ่งไดจากสมการเชิงเสนอันดับ n
)t(fy)t(adtdy)t(a
dtyd)t(a
dtyd)t(a n1n1n
1n1n
n0 =++++ −−
−L
)t(a)t(f
dtyd
)t(a)t(a
dtdy
)t(a)t(a
y)t(a)t(a
dtyd
01n
1n
01
01n
0n
n
n+−−−−=
−
−− L
ให yx1 =
dtdyx2 =
M
2n
2n1n dt
ydx−
−− =
1n
1nn dt
ydx−
−=
จะได 21 x
dtdx
=
32 x
dtdx
=
M
n1n x
dtdx
=−
)t(a)t(fx
)t(a)t(a
x)t(a)t(a
x)t(a)t(a
dtdx
0n
01
20
1n1
0nn +−−−−= − L
เปนระบบสมการอันดับหนึ่ง2301312 Differential equations 2555 2nd Page 1 of 7
![Page 2: 312ch05_2555_2nd](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081816/55cf9237550346f57b94ba97/html5/thumbnails/2.jpg)
บทที่ 5ระบบสมการเชิงอนุพันธ
5-5
ตัวอยางที่ 5.1.1 จงแปลงสมการ2
2
2t
3
3ty5
dtdytsin
dtyde2
dtyd
=−+−
ใหอยูในรูปของระบบสมการอันดับหนึ่ง
วิธีทาํ จัดรูป 22
2t
3
3t
dtyde2
dtdytsiny5
dtyd
++−=
ให yx1 = , dtdyx2 = ,
2
23 dt
ydx =
จะไดระบบสมการ
21 x
dtdx
=
32 x
dtdx
=
23t213 txe2x)t(sinx5
dtdx
++−=
เปนระบบสมการอันดับหนึ่งที่ตองการ
บทที่ 5ระบบสมการเชิงอนุพันธ
5-6
เราสามารถแปลงระบบสมการเชิงเสนที่มีอันดับมากกวาหนึ่งใหอยูในรูประบบสมการอันดับหนึ่งได
ตัวอยางที่ 5.1.2 จงแปลงระบบสมการt22211 ex2xx3x =−′+′−′′
tsinxx4xx5 2221 =−′′+′′′−ใหอยูในรูประบบสมการอันดับหนึ่งวิธีทาํ เขียนระบบสมการเปน
t22211 exx2x3x +′−+′=′′
tsinx4xx5x 2212 +′′+−=′′′
ให 2524231211 xu ,xu ,xu ;xu ,xu ′′=′==′==
จะไดระบบสมการ
21 uu =′
t24322 euu2u3u +−+=′
43 uu =′
54 uu =′
tsinu4uu5u 5315 ++−=′
เปนระบบสมการอันดับหนึ่งตามตองการ
บทที่ 5ระบบสมการเชิงอนุพันธ
5-7
5.2 การหาผลเฉลยของระบบสมการโดยวิธีกาํจัดตัวแปรตามและโดยใชตัวกาํหนดการหาผลเฉลยของระบบสมการเชิงอนุพันธเชิงเสนที่มีสัมประสิทธิ์เปนคาคงตัวในรูป
)t(bx)D(Px)D(Px)D(P
)t(bx)D(Px)D(Px)D(P)t(bx)D(Px)D(Px)D(P
nnnn22n11n
2nn22221211nn1212111
=+++
=+++=+++
LM
LL
โดยที่ )D(Pij คือพหุนามของตัวดําเนินการเชิงอนุพันธ
ตัวอยาง 1. 0y2x)3D(0y)2D(Dx
=−−=++
2.1t2y)1D(x)1D(
5t2Dyx)2D( 2−−=++−
+=−+
บทที่ 5ระบบสมการเชิงอนุพันธ
5-8
พิจารณาระบบสมการ 2 สมการ)t(fy)D(Qx)D(P 111 =+ ... (1))t(fy)D(Qx)D(P 222 =+ ... (2)
)D(Q2 (1) ; )t(f)D(Qy)D(Q)D(Qx)D(Q)D(P 122121 =+
)D(Q1 (2) ; )t(f)D(Qy)D(Q)D(Qx)D(Q)D(P 212112 =+
เพราะฉะนั้น)t(f)D(Q)t(f)D(Qx)]D(Q)D(P)D(Q)D(P[ 21121221 −=−
)D(Q)t(f)D(Q)t(f x )D(Q)D(P
)D(Q)D(P 2211
2211 =
)t(gx)D(P 1=
เมื่อ )D(Q)D(P)D(Q)D(P
)D(P2211=
ในทํานองเดียวกัน)D(P2 (1) ; )t(f)D(Py)D(Q)D(Px)D(P)D(P 121212 =+
)D(P1 (2) ; )t(f)D(Py)D(Q)D(Px)D(P)D(P 212121 =+
เพราะฉะนั้น)t(f)D(P)t(f)D(Py)]D(Q)D(P)D(Q)D(P[ 12211221 −=−
)t(f)D(P)t(f)D(P y )D(Q)D(P
)D(Q)D(P 2211
2211 =
)t(gx)D(P 2=
2301312 Differential equations 2555 2nd Page 2 of 7
![Page 3: 312ch05_2555_2nd](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081816/55cf9237550346f57b94ba97/html5/thumbnails/3.jpg)
บทที่ 5ระบบสมการเชิงอนุพันธ
5-9
ตัวอยางที่ 5.2.1 จงหาผลเฉลยของระบบสมการเชิงอนุพันธtey)1D(2x)1D3( =−++ ... (1)
0yx)3D( =+− ... (2)วิธีทาํ วิธีที่ 1 )1D(2 − (สมการ 2) จะได
0y)1D(2x)3D)(1D(2 =−+−− ... (3)(1) - (3) ; tex)]3D)(1D(2)1D3[( =−−−+
t2 ex)5D11D2( =−+−
t2 ex)5D11D2( =+−−t2 ex)5D11D2( −=+−tex)5D)(1D2( −=−−
t2
t522
t
1 e5D11D2
1ececx+−
−+=
t2
t522
t1 e
5)1(11)1(21ecec
+−−+=
4eecec
tt522
t1 ++=
แทนคา x ในสมการ 0yx)3D( =+− จะได x)3D(y −−=
tt5222
t1
1 e)43
41(e)c3c5(e)c32
c( +−++−++−=
2eec2ec2
5 tt522
t1 +−=
บทที่ 5ระบบสมการเชิงอนุพันธ
5-10
วิธีที่ 2 โดยใชตัวกําหนด tey)1D(2x)1D3( =−++ ... (1) 0yx)3D( =+− ... (2)
10
)1D(2e x 13D)1D(21D3
t −=−−+
– t2 ex)5D11D2( =+−
ผลเฉลยทั่วไป 4eececx
tt522
t1 ++=
03De1D3 y 13D
)1D(21D3 t−+=−
−+
– t2 e2y)5D11D2( =+−
ผลเฉลยทั่วไป 2eekeky
tt5
22t
1 ++=
สรุป
4eececx
tt522
t1 ++=
2eekeky
tt5
22t
1 ++=
บทที่ 5ระบบสมการเชิงอนุพันธ
5-11
การพิจารณาจาํนวนคาคงตัวเพราะวาระบบสมการ
tey)1D(2x)1D3( =−++ ... (1) 0yx)3D( =+− ... (2)
ในการหาคา x(t) หรือ y(t)
10)1D(2e x 13D
)1D(21D3 t −=−
−+
– t2 ex)5D11D2( =+−
เพราะวา )5D11D2()D(P 2 +−−= ซึ่งมีระดับขั้น 2เพราะฉะนั้นในผลเฉลยทั่วไปของระบบสมการเชิงอนุพันธจึงมีคาคงตัวไมเจาะจงทั้งหมดเพียง 2 ตัว
4eececx
tt522
t1 ++=
2eekeky
tt5
22t
1 ++=
บทที่ 5ระบบสมการเชิงอนุพันธ
5-12
การลดจาํนวนคาคงตัวจาก 4 ตัวใหเหลือ 2 ตัวแทน x และ y ในสมการ 0yx)3D( =+−
02
eekek)4
eecec)(3D(tt5
22t
1tt5
22t
1 =+++++−
)4eecec(3)4
eecec(Dtt5
22t
1tt5
22t
1 ++−++
02eekek
tt522
t
1 =+++
)4e3ec3ec34
ee5ce21c
tt522
t
1tt5
22t
1 −−−++
02eekek
tt522
t
1 =+++
02eekek
2eec2ec
25 tt5
22t
1tt5
22t
1 =+++−+−
0e)kc2(e)kc25( t5
222t
11 =+++−
เพราะฉะนั้น 0kc25
11 =+− และ 0kc2 22 =+ (*)เพราะฉะนั้น 11 c2
5k = และ 22 c2k −= เพราะฉะนั้น
4eececx
tt522
t
1 ++= และ 2eec2ec
25y
tt522
t
1 +−=
2301312 Differential equations 2555 2nd Page 3 of 7
![Page 4: 312ch05_2555_2nd](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081816/55cf9237550346f57b94ba97/html5/thumbnails/4.jpg)
บทที่ 5ระบบสมการเชิงอนุพันธ
5-13
หมายเหตุ1. สังเกตวา ในที่นี้ 5D11D2)D(P 2 +−=
ซึ่งมีระดับขั้น 2เพราะฉะนั้นในผลเฉลยทั่วไปของระบบสมการเชิงอนุพันธจึงมีคาคงตัวไมเจาะจงทั้งหมดเพียง 2 ตัว2. จาก (*) เราอาจเขียนคาของ 1c ในพจนของ 1k และ 2c ในพจนของ 2k ไดเปน 11 k
52c = และ 22 k
21c −=
ทําใหเราสามารถเขียนผลเฉลยที่ตองการไดอีกแบบหนึ่งเปน
4eek
21ek
52x
tt522
t
1 +−=
2eekeky
tt522
t
1 ++=
ซึ่งจะเหมือนกับวิธีที่ 1 ถาเราหา y กอนแลวจึงหา x
บทที่ 5ระบบสมการเชิงอนุพันธ
5-14
ตัวอยางที่ 5.2.2 จงหาผลเฉลยของระบบสมการเชิงอนุพันธ tsiny)2D(x)1D( =++− ... (1)
tcosDyx)1D( =++ ... (2)ที่สอดคลองเงื่อนไขเริ่มตน
21y ,0x −== เมื่อ 0t =
วิธีทาํ การหา x(t)จากสมการ Dtcos
2Dtsin x D1D2D1D +=+
+−
tcos)2D(tsinDx)]2D)(1D()1D(D[ +−=++−−
tcos2tsintcosx)2D3DDD( 22 −+=−−−−
tcostsinx)2D4( −=+−
)tsint(cos21x)1D2( −=+
เพราะฉะนั้น
)tsint(cos1D2
121ecx 2
t1 −
++= −
)tsint(cos1D4
1)1D2(21ec
22t
1 −−
−+= −
)tsint(cos14
1)1D2(21ec 2
t
1 −−−
−+=−
)tsintcos3(101ec 2
t1 ++= −
บทที่ 5ระบบสมการเชิงอนุพันธ
5-15
การหา y(t)แทน x ในสมการ tcosDyx)1D( =++
x)1D(tcosDy +−=
))tsintcos3(101ec)(1D(tcos 2
t
1 ++−−=−
))tsintcos3(101ec(Dtcos 2
t
1 ++−=−
))tsintcos3(101ec( 2
t
1 +++−
tcos= )]tcostsin3(101ec2
1[ 2t
1 +−+−−−
))tsintcos3(101ec( 2
t
1 +++−
)tsintcos3(51ec
21 2
t
1 ++−=−
เพราะฉะนั้น ∫ ++−=−
dt )]tsincot3(51ec
21[ y 2
t
1
22t
1 c)tcostsin3(51ec +−+= −
บทที่ 5ระบบสมการเชิงอนุพันธ
5-16
ผลเฉลยคือ )tsintcos3(101ecx 2
t
1 ++=−
22t
1 c)tcostsin3(51ecy +−+=
−
เพราะวา P(D) จากระบบสมการ tsiny)2D(x)1D( =++− ... (1)
tcosDyx)1D( =++ ... (2)คือ P(D) = 2D + 1 เปนพหุนามระดับขั้น 1เพราะฉะนั้นคาคงตัวในผลเฉลยมีได 1 ตัวการลดจํานวนคาคงตัวจาก 2 ตัวใหเหลือ 1 ตัวแทน x และ y ในสมการ tsiny)2D(x)1D( =++−
y)2D(x)1D(tsin ++−=
))tsintcos3(101ec)(1D( 2
t
1 ++−=−
+ )c)tcostsin3(51ec)(2D( 22
t
1 +−++−
)tsintcostcos3tsin3(101ecec2
1 2t
12t
1 −+−−+−−=−−
2t
12t
1 ec2ec21 −− +− 2c2)tcos2tsintsin6tcos3(5
1 +−+++
tsinc2tsin 2 =+
เพราะฉะนั้น 0c2 =
2301312 Differential equations 2555 2nd Page 4 of 7
![Page 5: 312ch05_2555_2nd](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081816/55cf9237550346f57b94ba97/html5/thumbnails/5.jpg)
บทที่ 5ระบบสมการเชิงอนุพันธ
5-17
เพราะฉะนั้นผลเฉลยทั่วไปคือ
)tsintcos3(101ec)t(x 2
t1 ++= −
)tcostsin3(51ec)t(y 2
t1 −+= −
การหาคาคงตัว 1c
เพราะวา x(0) = 0 เพราะฉะนั้น 103c)0(x0 1 +==
แทนคา 103c1 −= และ 0t =
ลงใน )tcostsin3(51ec)t(y 2
t1 −+= −
จะได 21
51
103)0(y −=−−=
ซึ่งสอดคลองกับเงื่อนไขเริ่มตนที่กําหนดใหสําหรับ y
ผลเฉลยที่ตองการ )tsintcos3(101e
103)t(x 2
t++−= −
)tcostsin3(51e
103)t(y 2
t−+−=
−
บทที่ 5ระบบสมการเชิงอนุพันธ
5-18
ตัวอยางที่ 5.2.3 จงหาผลเฉลยของระบบสมการเชิงอนุพันธ te1y)2D(x)1D( +=++− ... (1) te2z)1D(y)2D( +=+++ ... (2) te3z)1D(x)1D( +=++− ... (3)
วิธีทาํ (1) – (2) ; 1z)1D(x)1D( −=+−− ... (4)(3) + (4) ; te2x)1D(2 +=−
te211x)1D( +=−
เพราะฉะนั้น )e211(
1D1ecx tt
1 +−
+=
)1D1
2e1(ec
tt1 +−+=
1e2tec tt
1 −+=
การหา y(t)(1) – (3) ; 2z)1D(y)2D( −=+−+ ... (5)(2) + (5) ; tey)2D(2 =+
เพราะฉะนั้น tt22 e
)2D(21ecy+
+= −
6eec
tt22 += −
บทที่ 5ระบบสมการเชิงอนุพันธ
5-19
การหา z(t)(3) – (4) ; te4z)1D(2 +=+
2e2z)1D(
t+=+
เพราะฉะนั้น )2e2(
1D1ecz
tt3 +
++= −
4e2ec
tt3 ++= −
การตรวจสอบจาํนวนคาคงตัว
เพราะวา 1D01D1D2D0
02D1D )D(P
+−++
+−=
)1D)(2D)(1D()1D)(2D)(1D( ++−+++−=
)1D)(2D)(1D(2 ++−=เพราะฉะนั้นระดับขั้นของ )D(P เทากับ 3เพราะฉะนั้นมีคาคงตัว 3 ตัวเพราะฉะนั้นผลเฉลยทั่วไป 1e
2tecx tt
1 −+=
6eecy
tt22 += −
4e2ecz
tt3 ++= −
บทที่ 5ระบบสมการเชิงอนุพันธ
5-20
ตัวอยางที่ 5.2.4 จงหาผลเฉลยของระบบสมการเชิงอนุพันธ 1y)1D(Dx =++ ... (1)
1z)1D(x)2D( =−−+ ... (2) tz)2D(y)1D( =+++ ... (3)
ที่สอดคลองกับเงื่อนไขเริ่มตน 0z ,1y ,0x === เมื่อ 0t =
วิธีทาํ การหา z(t)(1) – (3) ; t1z)2D(Dx −=+− ... (4)D(2) ; 0z)1D(Dx)2D(D =−−+ ... (5)
)2D( + (4) ;t21)t1)(2D(z)2D(x)2D(D 2 −=−+=+−+ ... (6)
(5) – (6) ; t21z)]1D(D)2D[( 2 +−=−−+
t21z)4D5( +−=+
เพราะฉะนั้น )t21(4D5
1eczt
54
1 +−+
+=−
)t21)(D451(
41ec
t54
1 +−−+=−
85
2t
41ec
t54
1 −+−=−
87
2tec
t54
1 −+=−
2301312 Differential equations 2555 2nd Page 5 of 7
![Page 6: 312ch05_2555_2nd](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081816/55cf9237550346f57b94ba97/html5/thumbnails/6.jpg)
บทที่ 5ระบบสมการเชิงอนุพันธ
5-21
การหาผลเฉลย y(t)แทน z ใน tz)2D(y)1D( =+++ จะได
z)2D(ty)1D( +−=+
)47t
21ec2ec
54(t
t54
1t
54
1 −+++−−=−−
45ec
56 t
54
1 +−=−
เพราะฉะนั้น )ec56
45(
1D1ecy
t54
1t
2−− −
++=
t54
1t
2 ec645ec
−− −+=
การหาผลเฉลย x(t)แทน y ใน 1y)1D(Dx =++ จะได
y)1D(1Dx +−=
41ec
56 t
54
1 −=−
เพราะฉะนั้น
)41ec
56(
D1cx
t54
13 −+=−
t41ec
23c
t54
13 −−=−
บทที่ 5ระบบสมการเชิงอนุพันธ
5-22
การพิจารณาจาํนวนคาคงตัว
เพราะวา 2D1D0
)1D(02D01DD
)D(P++−−+
+=
2)2D)(1D()1D)(1D(D ++−−+=
)4D9D5( 2 ++−=เพราะฉะนั้น P(D) มีระดับขั้น 2เพราะฉะนั้นมีคาคงตัวไมเจาะจง 2 ตัวแทน x(t) และ z(t) ใน 1z)1D(x)2D( =−−+
t)41ec2
3)(c2(D1t5
4 13 −−+=
−)8
72te)(c1(D
t54
1 −+−−−
)2tec3c24
1ec56(
t54
13t5
4 1 −−+−=
−−
)87
2tec2
1ec54(
t54
1t5
4 1 +−−+−−
−−
เพราะฉะนั้น 1621c3 =
เพราะฉะนั้นผลเฉลยทั่วไปคือt
54
1ec23t
41
1621x
−−−=
t2
t54
1 ecec645y −−
+−=
t54
1ec2t
87z
−++−=
บทที่ 5ระบบสมการเชิงอนุพันธ
5-23
การหาผลเฉลยที่สอดคลองเงื่อนไขเริ่มตนt
54
1ec23t
41
1621x
−−−=
t2
t54
1 ecec645y −−
+−=
t54
1ec2t
87z
−++−=
0z ,1y ,0x === เมื่อ 0t =
เพราะฉะนั้น 1c23
1621)0(x0 −==
เพราะฉะนั้น 87c1 =
แทนคา 87c1 = และ 0t = ใน y
จะได 2c876
45)0(y1 +⋅−==
เพราะฉะนั้น 5c2 =
แทนคา 87c1 = และ 0t = ใน z จะได 0)0(z =
สอดคลองเงื่อนไขเริ่มตนที่กําหนดใหสําหรับ zเพราะฉะนั้นผลเฉลยคือ
t54
e1621t
41
1621x
−−−=
tt54
e5e421
45y −−
+−=
t54
e87
2t
87z
−++−=
บทที่ 5ระบบสมการเชิงอนุพันธ
5-24
ตัวอยางที่ 5.2.5 จงหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธy3x2
dtdx += ... (1)
yx2dtdy
+= ... (2)วิธีทาํ 0y3x)2D( =−− ... (1)
0y)1D(x2 =−+− ... (2)การหาผลเฉลย x
1D030 x 1D2
32D −−=−−
−−
0x]6)1D)(2D[( =−−−
0x)62D3D( 2 =−+−
0x)4D3D( 2 =−−
0x)4D)(1D( =−+เพราะฉะนั้น t4
2t
1 ececx += −
แทน x ใน 0y3x)2D( =−−
จะได x)2D(y3 −=
t42
t1 ec
32ecy +−= −
2301312 Differential equations 2555 2nd Page 6 of 7
![Page 7: 312ch05_2555_2nd](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081816/55cf9237550346f57b94ba97/html5/thumbnails/7.jpg)
บทที่ 5ระบบสมการเชิงอนุพันธ
5-25
ตัวอยางที่ 5.2.6 จงหาผลเฉลย 0y5x)D2D( 2 =++ ... (1)0y)2D(Dx =−− ... (2)
เมื่อ 0)0(x ,0)0(x =′= และ 1)0(y =
วิธีทาํ )2D(050 x )2D(D
5D2D 2−−=−−
+
เพราะฉะนั้น 0x]D5)2D)(D2D([ 2 =−−+−
0x)1D(D 2 =+เพราะฉะนั้น tsinctcosccx 321 ++=
แทน x ในสมการ 0y5x)D2D( 2 =++ จะได x)D2D(
51y 2 +−=
)tcosc2tsinctsinc2tcosc(51
3322 +−−−−=
]tsin)cc2(tcos)c2c[(51
3232 ++−=
การหาคา 321 c ,c ,c ที่สอดคลองกับเงื่อนไขเริ่มตนจาก tsinctcosccx 321 ++=
tcosctsincx 32 +−=′
]tsin)cc2(tcos)c2c[(51y 3232 ++−=
แทนคา 0t = จะได 21 cc)0(x0 +== , 3c)0(x0 =′=
และ )c2c(51)0(y1 32 −==
เพราะฉะนั้น 0c ,5c ,5c 321 ==−=
เพราะฉะนั้นผลเฉลยคือ tcos55x +−= , tsin2tcosy +=
บทที่ 5ระบบสมการเชิงอนุพันธ
5-26
การหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธโดยใชโปรแกรมสาํเร็จรูป Mathematica
ตัวอยาง y′ = 2x
DSolve@y '@xD « x ^ 2, y@xD, xD99y@xD →x3
3 + C@1D==ตัวอยาง y′′ + y = 0DSolve@y ''@xD + y@xD « 0, y@xD, xD88y@xD → C@2D Cos@xD− C@1D Sin@xD<<ตัวอยาง y′′ + y = 2x
DSolve@y ''@xD + y@xD « x ^ 2, y@xD, xD88y@xD → −2+ x2+ C@2D Cos@xD − C@1D Sin@xD<<ตัวอยาง y′′ + y = 2x , y′(0) = –1, y(0) = 2DSolve@8y ''@xD + y@xD « x ^ 2,
y '@0D « −1, y@0D « 2<, y@xD, xD88y@xD → −2+ x2+ 4 Cos@xD − Sin@xD<<
บทที่ 5ระบบสมการเชิงอนุพันธ
5-27
การหาผลเฉลยของระบบสมการเชิงอนุพันธโดยใชโปรแกรมสาํเร็จรูป Mathematica
ตัวอยาง x′ = x – y + 2y′ = –x + y – 5
DSolve@8x '@tD « x@tD − y@tD + 2,y '@tD « −x@tD + y@tD − 5<, 8x@tD, y@tD<, tD
::x@tD → 14 H−7− 6 t+ 2 C@1D +2Ą2t C@1D +2 C@2D − 2Ą2t C@2DL,
y@tD → 14 H7−6 t+ 2 C@1D − 2Ą2tC@1D + 2 C@2D +2Ą2t C@2DL>>
ตัวอยาง x′ = x – y + 2y′ = –x + y – 5x(0) = 1, y(0) = –1
DSolve@8x '@tD « x@tD − y@tD + 2,y '@tD « −x@tD + y@tD − 5,x@0D « 1, y@0D « −1<, 8x@tD, y@tD<, tD
::x@tD → 14 H−7+ 11Ą2t− 6 tL, y@tD →
14 H7− 11Ą2t −6 tL>>
บทที่ 5ระบบสมการเชิงอนุพันธ
5-28
การหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธโดยใชโปรแกรมสาํเร็จรูป Maple
ตัวอยาง y′ = 2x> dsolve(diff(y(x),x)=x^2);
= ( )y x + x3
3_C1
ตัวอยาง y′′ + y = 2x> dsolve(diff(y(x),x,x)+y(x)=x^2);
= ( )y x + − + ( )sin x _C2 ( )cos x _C1 2 x2
ตัวอยาง x′ = x – y + 2y′ = –x + y – 5
> dsolve([diff(x(t),t)=x(t)-y(t)+2,diff(y(t),t)=-x(t)+y(t)-5]);
{ }, = ( )x t − + 12
e( )2 t
_C13 t2
_C2 = ( )y t − + − + 12
e( )2 t
_C172
3 t2
_C2
ตัวอยาง y′ – 4y = sin x , y(0) => equa1:=diff(y(x),x)-4*y(x)=sin(x):> equa2:=y(0)=1:> dsolve({equa1,equa2});
= ( )y x − − + 117
( )cos x417
( )sin x1817
e( )4 x
2301312 Differential equations 2555 2nd Page 7 of 7