312ch05_2555_2nd

บทที่ 5ระบบสมการเชิงอนุพันธ

5-1


System of Differential Equations

ภาคฤดูรอน ปการศึกษา 2550


5-2

การหาผลเฉลยของระบบสมการเชิงอนุพันธสามัญเชิงเสนที่มีสัมประสิทธิ์เปนคาคงตัว

ตัวอยาง ระบบสมการเชิงอนุพันธ

1) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++

=++

t2e2y2x3dtdy

0y3x2dtdx

หรือ ⎩⎨⎧

=++=++

t2e2y)2D(x30y3x)2D(

2) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−++

=+−+

tcosyx2dtdy

dtdx2

tsin2y4x3dtdy2

dtdx

หรือ ⎩⎨⎧

=−++=++−

tcosy)1D(x)1D(2tsin2y)2D(2x)3D(

3)

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=+−−

=+

=+++++

0xdtdz

dtdy

0zdtdx

01xdtdz3

dtdy2

dtdx2

dtxd2

2

หรือ ⎪⎩

⎪⎨⎧

=−−=+=+++

0DzDyx0zDx1Dz3Dy2x)1D( 2


5-3

5.1 ระบบสมการเชิงอนุพันธเชิงเสนอันดับหนึ่งระบบสมการเชิงอนุพันธเชิงเสนอันดับหนึ่งตัวแปรอิสระ t ตัวแปรตาม n21 x ,,x ,x K

)t(bx)t(a x)t(ax)t(adt

dx


dx


dx

nnnn22n11nn

2nn22221212

1nn12121111

++++=

++++=

++++=

L

M

L

L

เมื่อ ija และ ib เปนฟงกชัน1. ija เรียกวา สัมประสิทธิ์ของระบบสมการ2. ถา ija เปนฟงกชันคาคงตัวทุกคา i, jเรียกวา ระบบสมการเชิงอนุพันธที่มีสัมประสิทธิ์เปนคาคงตัว3. ถา ib = 0 เรียกวา ระบบสมการเอกพันธุ4. ถา มี ib อยางนอยหนึ่งฟงกชันที่ไมเปนศูนย

เรียกวา ระบบสมการไมเอกพันธุ


5-4

สมการเชิงอนุพันธเชิงเสนอันดับ nสามารถแปลงใหอยูในรูปของระบบสมการอันดับหนึ่งไดจากสมการเชิงเสนอันดับ n

)t(fy)t(adtdy)t(a

dtyd)t(a

dtyd)t(a n1n1n

1n1n

n0 =++++ −−

−L

)t(a)t(f

dtyd

)t(a)t(a

dtdy

)t(a)t(a

y)t(a)t(a

dtyd

01n

1n

01

01n

0n

n

n+−−−−=

−

−− L

ให yx1 =

dtdyx2 =

M

2n

2n1n dt

ydx−

−− =

1n

1nn dt

ydx−

−=

จะได 21 x

dtdx

=

32 x

dtdx

=

M

n1n x

dtdx

=−

)t(a)t(fx

)t(a)t(a

x)t(a)t(a

x)t(a)t(a

dtdx

0n

01

20

1n1

0nn +−−−−= − L

เปนระบบสมการอันดับหนึ่ง2301312 Differential equations 2555 2nd of 7


5-5

ตัวอยางที่ 5.1.1 จงแปลงสมการ2

2

2t

3

3ty5

dtdytsin

dtyde2

dtyd

=−+−

ใหอยูในรูปของระบบสมการอันดับหนึ่ง

วิธีทาํ จัดรูป 22

2t

3

3t

dtyde2

dtdytsiny5

dtyd

++−=

ให yx1 = , dtdyx2 = ,

2

23 dt

ydx =

จะไดระบบสมการ

21 x

dtdx

=

32 x

dtdx

=

23t213 txe2x)t(sinx5

dtdx

++−=

เปนระบบสมการอันดับหนึ่งที่ตองการ


5-6

เราสามารถแปลงระบบสมการเชิงเสนที่มีอันดับมากกวาหนึ่งใหอยูในรูประบบสมการอันดับหนึ่งได

ตัวอยางที่ 5.1.2 จงแปลงระบบสมการt22211 ex2xx3x =−′+′−′′

tsinxx4xx5 2221 =−′′+′′′−ใหอยูในรูประบบสมการอันดับหนึ่งวิธีทาํ เขียนระบบสมการเปน

t22211 exx2x3x +′−+′=′′

tsinx4xx5x 2212 +′′+−=′′′

ให 2524231211 xu ,xu ,xu ;xu ,xu ′′=′==′==

จะไดระบบสมการ

21 uu =′

t24322 euu2u3u +−+=′

43 uu =′

54 uu =′

tsinu4uu5u 5315 ++−=′

เปนระบบสมการอันดับหนึ่งตามตองการ


5-7

5.2 การหาผลเฉลยของระบบสมการโดยวิธีกาํจัดตัวแปรตามและโดยใชตัวกาํหนดการหาผลเฉลยของระบบสมการเชิงอนุพันธเชิงเสนที่มีสัมประสิทธิ์เปนคาคงตัวในรูป

)t(bx)D(Px)D(Px)D(P

)t(bx)D(Px)D(Px)D(P)t(bx)D(Px)D(Px)D(P

nnnn22n11n

2nn22221211nn1212111

=+++

=+++=+++

LM

LL

โดยที่ )D(Pij คือพหุนามของตัวดําเนินการเชิงอนุพันธ

ตัวอยาง 1. 0y2x)3D(0y)2D(Dx

=−−=++

2.1t2y)1D(x)1D(

5t2Dyx)2D( 2−−=++−

+=−+


5-8

พิจารณาระบบสมการ 2 สมการ)t(fy)D(Qx)D(P 111 =+ ... (1))t(fy)D(Qx)D(P 222 =+ ... (2)

)D(Q2 (1) ; )t(f)D(Qy)D(Q)D(Qx)D(Q)D(P 122121 =+

)D(Q1 (2) ; )t(f)D(Qy)D(Q)D(Qx)D(Q)D(P 212112 =+

เพราะฉะนั้น)t(f)D(Q)t(f)D(Qx)]D(Q)D(P)D(Q)D(P[ 21121221 −=−

)D(Q)t(f)D(Q)t(f x )D(Q)D(P

)D(Q)D(P 2211

2211 =

)t(gx)D(P 1=

เมื่อ )D(Q)D(P)D(Q)D(P

)D(P2211=

ในทํานองเดียวกัน)D(P2 (1) ; )t(f)D(Py)D(Q)D(Px)D(P)D(P 121212 =+

)D(P1 (2) ; )t(f)D(Py)D(Q)D(Px)D(P)D(P 212121 =+

เพราะฉะนั้น)t(f)D(P)t(f)D(Py)]D(Q)D(P)D(Q)D(P[ 12211221 −=−

)t(f)D(P)t(f)D(P y )D(Q)D(P

)D(Q)D(P 2211

2211 =

)t(gx)D(P 2=

2301312 Differential equations 2555 2nd of 7


5-9

ตัวอยางที่ 5.2.1 จงหาผลเฉลยของระบบสมการเชิงอนุพันธtey)1D(2x)1D3( =−++ ... (1)

0yx)3D( =+− ... (2)วิธีทาํ วิธีที่ 1 )1D(2 − (สมการ 2) จะได

0y)1D(2x)3D)(1D(2 =−+−− ... (3)(1) - (3) ; tex)]3D)(1D(2)1D3[( =−−−+

t2 ex)5D11D2( =−+−

t2 ex)5D11D2( =+−−t2 ex)5D11D2( −=+−tex)5D)(1D2( −=−−

t2

t522

t

1 e5D11D2

1ececx+−

−+=

t2

t522

t1 e

5)1(11)1(21ecec

+−−+=

4eecec

tt522

t1 ++=

แทนคา x ในสมการ 0yx)3D( =+− จะได x)3D(y −−=

tt5222

t1

1 e)43

41(e)c3c5(e)c32

c( +−++−++−=

2eec2ec2

5 tt522

t1 +−=


5-10

วิธีที่ 2 โดยใชตัวกําหนด tey)1D(2x)1D3( =−++ ... (1) 0yx)3D( =+− ... (2)

10

)1D(2e x 13D)1D(21D3

t −=−−+

– t2 ex)5D11D2( =+−

ผลเฉลยทั่วไป 4eececx

tt522

t1 ++=

03De1D3 y 13D

)1D(21D3 t−+=−

−+

– t2 e2y)5D11D2( =+−

ผลเฉลยทั่วไป 2eekeky

tt5

22t

1 ++=

สรุป

4eececx

tt522

t1 ++=

2eekeky

tt5

22t

1 ++=


5-11

การพิจารณาจาํนวนคาคงตัวเพราะวาระบบสมการ

tey)1D(2x)1D3( =−++ ... (1) 0yx)3D( =+− ... (2)

ในการหาคา x(t) หรือ y(t)

10)1D(2e x 13D

)1D(21D3 t −=−

−+

– t2 ex)5D11D2( =+−

เพราะวา )5D11D2()D(P 2 +−−= ซึ่งมีระดับขั้น 2เพราะฉะนั้นในผลเฉลยทั่วไปของระบบสมการเชิงอนุพันธจึงมีคาคงตัวไมเจาะจงทั้งหมดเพียง 2 ตัว

4eececx

tt522

t1 ++=

2eekeky

tt5

22t

1 ++=


5-12

การลดจาํนวนคาคงตัวจาก 4 ตัวใหเหลือ 2 ตัวแทน x และ y ในสมการ 0yx)3D( =+−

02

eekek)4

eecec)(3D(tt5

22t

1tt5

22t

1 =+++++−

)4eecec(3)4

eecec(Dtt5

22t

1tt5

22t

1 ++−++

02eekek

tt522

t

1 =+++

)4e3ec3ec34

ee5ce21c

tt522

t

1tt5

22t

1 −−−++

02eekek

tt522

t

1 =+++

02eekek

2eec2ec

25 tt5

22t

1tt5

22t

1 =+++−+−

0e)kc2(e)kc25( t5

222t

11 =+++−

เพราะฉะนั้น 0kc25

11 =+− และ 0kc2 22 =+ (*)เพราะฉะนั้น 11 c2

5k = และ 22 c2k −= เพราะฉะนั้น

4eececx

tt522

t

1 ++= และ 2eec2ec

25y

tt522

t

1 +−=



5-13

หมายเหตุ1. สังเกตวา ในที่นี้ 5D11D2)D(P 2 +−=

ซึ่งมีระดับขั้น 2เพราะฉะนั้นในผลเฉลยทั่วไปของระบบสมการเชิงอนุพันธจึงมีคาคงตัวไมเจาะจงทั้งหมดเพียง 2 ตัว2. จาก (*) เราอาจเขียนคาของ 1c ในพจนของ 1k และ 2c ในพจนของ 2k ไดเปน 11 k

52c = และ 22 k

21c −=

ทําใหเราสามารถเขียนผลเฉลยที่ตองการไดอีกแบบหนึ่งเปน

4eek

21ek

52x

tt522

t

1 +−=

2eekeky

tt522

t

1 ++=

ซึ่งจะเหมือนกับวิธีที่ 1 ถาเราหา y กอนแลวจึงหา x


5-14

ตัวอยางที่ 5.2.2 จงหาผลเฉลยของระบบสมการเชิงอนุพันธ tsiny)2D(x)1D( =++− ... (1)

tcosDyx)1D( =++ ... (2)ที่สอดคลองเงื่อนไขเริ่มตน

21y ,0x −== เมื่อ 0t =

วิธีทาํ การหา x(t)จากสมการ Dtcos

2Dtsin x D1D2D1D +=+

+−

tcos)2D(tsinDx)]2D)(1D()1D(D[ +−=++−−

tcos2tsintcosx)2D3DDD( 22 −+=−−−−

tcostsinx)2D4( −=+−

)tsint(cos21x)1D2( −=+

เพราะฉะนั้น

)tsint(cos1D2

121ecx 2

t1 −

++= −

)tsint(cos1D4

1)1D2(21ec

22t

1 −−

−+= −

)tsint(cos14

1)1D2(21ec 2

t

1 −−−

−+=−

)tsintcos3(101ec 2

t1 ++= −


5-15

การหา y(t)แทน x ในสมการ tcosDyx)1D( =++

x)1D(tcosDy +−=

))tsintcos3(101ec)(1D(tcos 2

t

1 ++−−=−

))tsintcos3(101ec(Dtcos 2

t

1 ++−=−

))tsintcos3(101ec( 2

t

1 +++−

tcos= )]tcostsin3(101ec2

1[ 2t

1 +−+−−−

))tsintcos3(101ec( 2

t

1 +++−

)tsintcos3(51ec

21 2

t

1 ++−=−

เพราะฉะนั้น ∫ ++−=−

dt )]tsincot3(51ec

21[ y 2

t

1

22t

1 c)tcostsin3(51ec +−+= −


5-16

ผลเฉลยคือ )tsintcos3(101ecx 2

t

1 ++=−

22t

1 c)tcostsin3(51ecy +−+=

−

เพราะวา P(D) จากระบบสมการ tsiny)2D(x)1D( =++− ... (1)

tcosDyx)1D( =++ ... (2)คือ P(D) = 2D + 1 เปนพหุนามระดับขั้น 1เพราะฉะนั้นคาคงตัวในผลเฉลยมีได 1 ตัวการลดจํานวนคาคงตัวจาก 2 ตัวใหเหลือ 1 ตัวแทน x และ y ในสมการ tsiny)2D(x)1D( =++−

y)2D(x)1D(tsin ++−=

))tsintcos3(101ec)(1D( 2

t

1 ++−=−

+ )c)tcostsin3(51ec)(2D( 22

t

1 +−++−

)tsintcostcos3tsin3(101ecec2

1 2t

12t

1 −+−−+−−=−−

2t

12t

1 ec2ec21 −− +− 2c2)tcos2tsintsin6tcos3(5

1 +−+++

tsinc2tsin 2 =+

เพราะฉะนั้น 0c2 =



5-17

เพราะฉะนั้นผลเฉลยทั่วไปคือ

)tsintcos3(101ec)t(x 2

t1 ++= −

)tcostsin3(51ec)t(y 2

t1 −+= −

การหาคาคงตัว 1c

เพราะวา x(0) = 0 เพราะฉะนั้น 103c)0(x0 1 +==

แทนคา 103c1 −= และ 0t =

ลงใน )tcostsin3(51ec)t(y 2

t1 −+= −

จะได 21

51

103)0(y −=−−=

ซึ่งสอดคลองกับเงื่อนไขเริ่มตนที่กําหนดใหสําหรับ y

ผลเฉลยที่ตองการ )tsintcos3(101e

103)t(x 2

t++−= −

)tcostsin3(51e

103)t(y 2

t−+−=

−


5-18

ตัวอยางที่ 5.2.3 จงหาผลเฉลยของระบบสมการเชิงอนุพันธ te1y)2D(x)1D( +=++− ... (1) te2z)1D(y)2D( +=+++ ... (2) te3z)1D(x)1D( +=++− ... (3)

วิธีทาํ (1) – (2) ; 1z)1D(x)1D( −=+−− ... (4)(3) + (4) ; te2x)1D(2 +=−

te211x)1D( +=−

เพราะฉะนั้น )e211(

1D1ecx tt

1 +−

+=

)1D1

2e1(ec

tt1 +−+=

1e2tec tt

1 −+=

การหา y(t)(1) – (3) ; 2z)1D(y)2D( −=+−+ ... (5)(2) + (5) ; tey)2D(2 =+

เพราะฉะนั้น tt22 e

)2D(21ecy+

+= −

6eec

tt22 += −


5-19

การหา z(t)(3) – (4) ; te4z)1D(2 +=+

2e2z)1D(

t+=+

เพราะฉะนั้น )2e2(

1D1ecz

tt3 +

++= −

4e2ec

tt3 ++= −

การตรวจสอบจาํนวนคาคงตัว

เพราะวา 1D01D1D2D0

02D1D )D(P

+−++

+−=

)1D)(2D)(1D()1D)(2D)(1D( ++−+++−=

)1D)(2D)(1D(2 ++−=เพราะฉะนั้นระดับขั้นของ )D(P เทากับ 3เพราะฉะนั้นมีคาคงตัว 3 ตัวเพราะฉะนั้นผลเฉลยทั่วไป 1e

2tecx tt

1 −+=

6eecy

tt22 += −

4e2ecz

tt3 ++= −


5-20

ตัวอยางที่ 5.2.4 จงหาผลเฉลยของระบบสมการเชิงอนุพันธ 1y)1D(Dx =++ ... (1)

1z)1D(x)2D( =−−+ ... (2) tz)2D(y)1D( =+++ ... (3)

ที่สอดคลองกับเงื่อนไขเริ่มตน 0z ,1y ,0x === เมื่อ 0t =

วิธีทาํ การหา z(t)(1) – (3) ; t1z)2D(Dx −=+− ... (4)D(2) ; 0z)1D(Dx)2D(D =−−+ ... (5)

)2D( + (4) ;t21)t1)(2D(z)2D(x)2D(D 2 −=−+=+−+ ... (6)

(5) – (6) ; t21z)]1D(D)2D[( 2 +−=−−+

t21z)4D5( +−=+

เพราะฉะนั้น )t21(4D5

1eczt

54

1 +−+

+=−

)t21)(D451(

41ec

t54

1 +−−+=−

85

2t

41ec

t54

1 −+−=−

87

2tec

t54

1 −+=−



5-21

การหาผลเฉลย y(t)แทน z ใน tz)2D(y)1D( =+++ จะได

z)2D(ty)1D( +−=+

)47t

21ec2ec

54(t

t54

1t

54

1 −+++−−=−−

45ec

56 t

54

1 +−=−

เพราะฉะนั้น )ec56

45(

1D1ecy

t54

1t

2−− −

++=

t54

1t

2 ec645ec

−− −+=

การหาผลเฉลย x(t)แทน y ใน 1y)1D(Dx =++ จะได

y)1D(1Dx +−=

41ec

56 t

54

1 −=−

เพราะฉะนั้น

)41ec

56(

D1cx

t54

13 −+=−

t41ec

23c

t54

13 −−=−


5-22

การพิจารณาจาํนวนคาคงตัว

เพราะวา 2D1D0

)1D(02D01DD

)D(P++−−+

+=

2)2D)(1D()1D)(1D(D ++−−+=

)4D9D5( 2 ++−=เพราะฉะนั้น P(D) มีระดับขั้น 2เพราะฉะนั้นมีคาคงตัวไมเจาะจง 2 ตัวแทน x(t) และ z(t) ใน 1z)1D(x)2D( =−−+

t)41ec2

3)(c2(D1t5

4 13 −−+=

−)8

72te)(c1(D

t54

1 −+−−−

)2tec3c24

1ec56(

t54

13t5

4 1 −−+−=

−−

)87

2tec2

1ec54(

t54

1t5

4 1 +−−+−−

−−


เพราะฉะนั้นผลเฉลยทั่วไปคือt

54

1ec23t

41

1621x

−−−=

t2

t54

1 ecec645y −−

+−=

t54

1ec2t

87z

−++−=


5-23

การหาผลเฉลยที่สอดคลองเงื่อนไขเริ่มตนt

54

1ec23t

41

1621x

−−−=

t2

t54

1 ecec645y −−

+−=

t54

1ec2t

87z

−++−=

0z ,1y ,0x === เมื่อ 0t =

เพราะฉะนั้น 1c23

1621)0(x0 −==


แทนคา 87c1 = และ 0t = ใน y

จะได 2c876

45)0(y1 +⋅−==


แทนคา 87c1 = และ 0t = ใน z จะได 0)0(z =

สอดคลองเงื่อนไขเริ่มตนที่กําหนดใหสําหรับ zเพราะฉะนั้นผลเฉลยคือ

t54

e1621t

41

1621x

−−−=

tt54

e5e421

45y −−

+−=

t54

e87

2t

87z

−++−=


5-24

ตัวอยางที่ 5.2.5 จงหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธy3x2

dtdx += ... (1)

yx2dtdy

+= ... (2)วิธีทาํ 0y3x)2D( =−− ... (1)

0y)1D(x2 =−+− ... (2)การหาผลเฉลย x

1D030 x 1D2

32D −−=−−

−−

0x]6)1D)(2D[( =−−−

0x)62D3D( 2 =−+−

0x)4D3D( 2 =−−

0x)4D)(1D( =−+เพราะฉะนั้น t4

2t

1 ececx += −

แทน x ใน 0y3x)2D( =−−

จะได x)2D(y3 −=

t42

t1 ec

32ecy +−= −



5-25

ตัวอยางที่ 5.2.6 จงหาผลเฉลย 0y5x)D2D( 2 =++ ... (1)0y)2D(Dx =−− ... (2)

เมื่อ 0)0(x ,0)0(x =′= และ 1)0(y =

วิธีทาํ )2D(050 x )2D(D

5D2D 2−−=−−

+

เพราะฉะนั้น 0x]D5)2D)(D2D([ 2 =−−+−

0x)1D(D 2 =+เพราะฉะนั้น tsinctcosccx 321 ++=

แทน x ในสมการ 0y5x)D2D( 2 =++ จะได x)D2D(

51y 2 +−=

)tcosc2tsinctsinc2tcosc(51

3322 +−−−−=

]tsin)cc2(tcos)c2c[(51

3232 ++−=

การหาคา 321 c ,c ,c ที่สอดคลองกับเงื่อนไขเริ่มตนจาก tsinctcosccx 321 ++=

tcosctsincx 32 +−=′

]tsin)cc2(tcos)c2c[(51y 3232 ++−=

แทนคา 0t = จะได 21 cc)0(x0 +== , 3c)0(x0 =′=

และ )c2c(51)0(y1 32 −==

เพราะฉะนั้น 0c ,5c ,5c 321 ==−=

เพราะฉะนั้นผลเฉลยคือ tcos55x +−= , tsin2tcosy +=


5-26

การหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธโดยใชโปรแกรมสาํเร็จรูป Mathematica

ตัวอยาง y′ = 2x

DSolve@y '@xD « x ^ 2, y@xD, xD99y@xD →x3

3 + C@1D==ตัวอยาง y′′ + y = 0DSolve@y ''@xD + y@xD « 0, y@xD, xD88y@xD → C@2D Cos@xD− C@1D Sin@xD<<ตัวอยาง y′′ + y = 2x

DSolve@y ''@xD + y@xD « x ^ 2, y@xD, xD88y@xD → −2+ x2+ C@2D Cos@xD − C@1D Sin@xD<<ตัวอยาง y′′ + y = 2x , y′(0) = –1, y(0) = 2DSolve@8y ''@xD + y@xD « x ^ 2,

y '@0D « −1, y@0D « 2<, y@xD, xD88y@xD → −2+ x2+ 4 Cos@xD − Sin@xD<<


5-27

การหาผลเฉลยของระบบสมการเชิงอนุพันธโดยใชโปรแกรมสาํเร็จรูป Mathematica

ตัวอยาง x′ = x – y + 2y′ = –x + y – 5

DSolve@8x '@tD « x@tD − y@tD + 2,y '@tD « −x@tD + y@tD − 5<, 8x@tD, y@tD<, tD

::x@tD → 14 H−7− 6 t+ 2 C@1D +2Ą2t C@1D +2 C@2D − 2Ą2t C@2DL,

y@tD → 14 H7−6 t+ 2 C@1D − 2Ą2tC@1D + 2 C@2D +2Ą2t C@2DL>>

ตัวอยาง x′ = x – y + 2y′ = –x + y – 5x(0) = 1, y(0) = –1

DSolve@8x '@tD « x@tD − y@tD + 2,y '@tD « −x@tD + y@tD − 5,x@0D « 1, y@0D « −1<, 8x@tD, y@tD<, tD

::x@tD → 14 H−7+ 11Ą2t− 6 tL, y@tD →

14 H7− 11Ą2t −6 tL>>


5-28

การหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธโดยใชโปรแกรมสาํเร็จรูป Maple

ตัวอยาง y′ = 2x> dsolve(diff(y(x),x)=x^2);

= ( )y x + x3

3_C1

ตัวอยาง y′′ + y = 2x> dsolve(diff(y(x),x,x)+y(x)=x^2);

= ( )y x + − + ( )sin x _C2 ( )cos x _C1 2 x2

ตัวอยาง x′ = x – y + 2y′ = –x + y – 5

> dsolve([diff(x(t),t)=x(t)-y(t)+2,diff(y(t),t)=-x(t)+y(t)-5]);

{ }, = ( )x t − + 12

e( )2 t

_C13 t2

_C2 = ( )y t − + − + 12

e( )2 t

_C172

3 t2

_C2

ตัวอยาง y′ – 4y = sin x , y(0) => equa1:=diff(y(x),x)-4*y(x)=sin(x):> equa2:=y(0)=1:> dsolve({equa1,equa2});

= ( )y x − − + 117

( )cos x417

( )sin x1817

e( )4 x


312ch05_2555_2nd

Documents