3.1 ma tr n 3.1.1 khÁi niỆmmatr Ận m n aa a a mmom · ma trận a cỡm ×n có...

1

CHƯƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC

Lý thuyết ma trận thực sự ra đời từ đầu thế kỷ 19, mặc dùnhiều loại bảng số có tính chất đặc biệt đã được biết đến từhàng trăm năm nayCác ma trận vuông xuất hiện đầu tiên ở đầu thế kỷ 19 trong cáccông trình về dạng toàn phương và về các phép thế tuyến tínhPhép nhân hai ma trận vuông cấp 3 được Gauss (Gau-xơ) đưa

3.1 MA TRẬN

ra vào năm 1801Tên gọi ma trận (Matrix) được nhà toán học Anh Sylvester(Synvét) đưa ra năm 1850Cayley (Kê-li) là người đầu tiên mô tả một cách tổng quát cácphép tính với các ma trận bất kỳ và ma trận nghịch đảo (1858)Peano là người đầu tiên đưa ra cách biểu diễn một ánh xạ tuyếntính qua các ma trận. Còn Gauss là người đầu tiên sử dụng matrận để nghiên cứu các dạng toàn phương

23/09/2013 1


3.1.1 KHÁI NIỆM MA TRẬNMột bảng số có m hàng n cột

11 12 1

21 22 2

...

...n

n

a a aa a a

A

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥M M O M

1 2 ...m m mna a a⎢ ⎥⎣ ⎦

được gọi là một ma trận cỡ m × n

Ma trận A được gọi là ma trận nguyên (thực, phức) nếu cácphần tử aij là các số nguyên (số thực, số phức)Nếu không chỉ rõ cụ thể thì ta xem A là ma trận thực

aij là phần tử ở hàng thứ i và cột j

23/09/2013 2


Ma trận A cỡ m × n có thể được viết tắt dạng

1,

1,

i mij j n

A a=

=⎡ ⎤= ⎣ ⎦ hoặc ij m n

A a×

⎡ ⎤= ⎣ ⎦

Khi m = n ta nói A là ma trận vuông cấp n

Tậ h tất ả á t ậ ỡ đ ký hiệ MTập hợp tất cả các ma trận cỡ m × n được ký hiệu Mm × n

Tập hợp tất cả các ma trận vuông cấp n được ký hiệu M n

Ví dụ 3.1 ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

π−

523

10là một ma trận cỡ 2×3

23/09/2013 3


' '

''

, 1, ; 1,ij ijm n m n

ij ij

m ma b n n

a b i m j n× ×

⎧ =⎪

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⇔ =⎨⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎪ = ∀ = =⎩

Hai ma trận bằng nhau khi cùng cỡ và có các phần tử tương ứngđều bằng nhau

⎡ ⎤ ⎡ ⎤3 3 4 63 3 1 2 3

x y x x yz w z w w

+ + +⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Ví dụ 3.2

3 4 2 4 23 6 2 6 43 1 2 1 13 2 3 3 3

x x x xy x y y x yz z w z w zw w w w

= + = =⎧ ⎧ ⎧⎪ ⎪ ⎪= + + = + =⎪ ⎪ ⎪⇒ ⇒ ⇒⎨ ⎨ ⎨= + − = − =⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪= + = =⎩ ⎩ ⎩

23/09/2013 4

2


3.1.2 CÁC PHÉP TOÁN MA TRẬN 3.1.2.1. Phép cộng ma trận

, ; 1, ; 1,ij ij ij ij ij ijm n m n m na b c c a b i m j n

× × ×⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ = = + ∀ = =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Ví dụ 3.3

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ − 552580032

3.1.2.2. Phép nhân một số với ma trận

ij ijm n m nk a ka

× ×⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Ví dụ 3.4

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

−

5423

02141

1083

0121

21

⎥⎦⎢⎣⎥⎦⎢⎣−⎥⎦⎢⎣ − 656713149

23/09/2013 5


Ví dụ 3.5 Tìm x, y, z và w thỏa mãn

6 43

1 2 3x y x x yz w w z w

+⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Thực hiện phép cộng ma trận và nhân một số với ma trận ta được

3 3 4 6x y x x y+ + +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥3 3 1 2 3

y yz w z w w

=⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

3 4 2 4 23 6 2 6 43 1 2 1 13 2 3 3 3

x x x xy x y y x yz z w z w zw w w w

= + = =⎧ ⎧ ⎧⎪ ⎪ ⎪= + + = + =⎪ ⎪ ⎪⇒ ⇒ ⇒⎨ ⎨ ⎨= + − = − =⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪= + = =⎩ ⎩ ⎩

23/09/2013 6


Tính chất 3.1

Các tính chất sau đây đúng đối với các ma trận cùng cỡ m × n

1) CBACBA ++=++ )()(

2) Ma trận có các phần tử đều bằng 0 gọi là ma trận không và kýhiệu 0 thỏa mãnhiệu 0 thỏa mãn

AAA =+=+ 00

0=−+ )( AA [ ]nmijaA

×−=−3) , trong đó

4) ABBA +=+

23/09/2013 7


Ta cũng kiểm chứng được các tính chất sau đúng với mọi số thựck, h với mọi ma trận cỡ m × n

5) kBkABAk +=+ )(

6) hAkAAhk +=+ )(

7) AkhhAk )()( =

8) AA =1

Với 8 tính chất này tập Mm × n là một không gian véc tơ

Ký hiệu Eij là ma trận cỡ m×n có các phần tử đều bằng 0 ngoạitrừ phần tử ở hàng i cột j bằng 1

Hệ các ma trận { }1, ; 1,ijE i m j n= = là một cơ sở của Mm × n

23/09/2013 8

3


Ví dụ 3.6

Ma trận cỡ 2×3 bất kỳ có thể biểu diễn duy nhất thành tổ hợp tuyến tính các ma trận Eij

11 12 13 11 12 13

21 22 23

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0

a a a a a aa a a⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

11 12 1311 12 13

21 22 23

1 0 0 0 1 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 0 0

a a aa a a

a a a⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

11 11 12 12 13 13 21 21 22 22 23 23a E a E a E a E a E a E= + + + + +

21 22 23 0 0 0 0 0 0 0 0 0a a a ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

2321 22

0 0 00 0 0 0 0 00 00 0 0 0 aa a⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤

+ + + ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

21 22 230 0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 1 0 0 0 1

a a a⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

+ + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

21 22 23 0 0 0 0 0 0 0 0 0a a a ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

23/09/2013 9


3.1.2.3 Phép nhân ma trận

Tích hai ma trận ij m pA a

×⎡ ⎤= ⎣ ⎦ và ij p n

B b×

⎡ ⎤= ⎣ ⎦

là ma trận cỡ m × n được ký hiệu và định nghĩa bởi ij m nAB c

×⎡ ⎤= ⎣ ⎦

1 ; 1p

c a b i m j n= = =∑ víimäi

Tồn tại ma trận tích AB khi số cột của ma trận A bằng số hàngcủa ma trận B

11, ; 1,ij ik kj

kc a b i m j n

== = =∑ víimäi

Phần tử ở hàng thứ i cột thứ j của ma trận tích AB bằng tổngcủa tích các phần tử hàng thứ i của ma trận A với các phần tửtương ứng cột thứ j của ma trận B

23/09/2013 10


j

i

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

j

j

ipiiij

b

bb

aaac2

1

21

Vậy phần tử ở hàng thứ i cột thứ j của AB bằng tổng của tíchcác phần tử hàng thứ i của A với các phần tử tương ứng cộtthứ j của B

⎥⎦⎢⎣⎥⎦⎢⎣⎥⎦⎢⎣ pjb

23/09/2013 11


Ví dụ 3.7

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

−

177

159

42

01

31

521

321

[ ]21 4 2

⎡ ⎤⎢ ⎥

2 8 4−⎡ ⎤⎢ ⎥

1 31 0

2 4

x yz w

⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥− =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

23/09/2013 12

[ ]1 4 23

− =⎢ ⎥⎣ ⎦ 3 12 6⎢ ⎥−⎣ ⎦

3 3

2 4 2 4

x z y wx y

x z y w

+ +⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥

+ +⎢ ⎥⎣ ⎦

4


Ta thấy rằng tích của hai ma trận A và B định nghĩa được khi sốcột của A bằng số hàng của B

Vì vậy có thể định nghĩa AB nhưng không định nghĩa được BAnếu số cột của B không bằng số hàng của A

Khi A B là h i t ậ ô ù ấ thì t ó đồ thời AB àKhi A, B là hai ma trận vuông cùng cấp thì ta có đồng thời AB vàBA. Mặc dầu vậy chưa chắc có đẳng thức AB = BA

Nói cách khác tích ma trận không có tính giao hoán

23/09/2013 13


Chẳng hạn, xét

1 0 0 0 1 2 0 02 3 0 0 3 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

A B

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

K K

K K

K K

M M M O M M M M O M

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦1 2 0 0 3 6 0 0

11 4 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

AB BA

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥

= ≠ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

K K

K K

K K

M M M O M M M M O M

23/09/2013 14


Tính chất 3.2

Giả sử A, B, C là các ma trận với số cột số hàng thích hợp đểcác phép toán sau xác định được, khi đó ta có các đẳng thức:

1) A(BC) = (AB)C tính kết hợp

2) A(B +C) = AB + AC tính phân phối bên trái phép nhân ma2) A(B +C) = AB + AC tính phân phối bên trái phép nhân matrận với phép cộng

3) (B + C)A = BA + CA tính phân phối bên phải phép nhânma trận với phép cộng

4) Với mọi k∈R, k(AB) = (kA)B = A(kB)

23/09/2013 15


5) Với mọi số tự nhiên dương n ta xét ma trận In vuông cấp ncó các phần tử trên đường chéo bằng 1 và các phần tử ở vịtrí khác đều bằng 0

Khi đó với mọi ma trận A cỡ m×n ta có

m nI A A AI= =

Ma trận In được gọi là ma trận đơn vị cấp n

23/09/2013 16

5


Xét ma trận A cỡ 2× 3

Chẳng hạn11 12 13

21 22 23

a a aA a a a⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

11 12 13 11 12 133

1 0 00 1 0a a a a a aAI A⎡ ⎤

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦3

21 22 23 21 22 230 00 0 1a a a a a a⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

11 12 13 11 12 132

21 22 23 21 22 23

1 00 1

a a a a a aI A Aa a a a a a⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

23/09/2013 17


Khác với phép nhân các số: tích hai số khác 0 là một số khác 0.

Ta có thể tìm được hai ma trận khác 0 có tích là ma trận 0

1 2 0 0 2 6 0 02 4 0 0 1 3 0 0

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥

K K

Chẳng hạn

2 4 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

A B⎢ ⎥ ⎢ ⎥

= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

K K

K K

M M M O M M M M O M

,A B ≠ 0 nhưng AB = 0

23/09/2013 18


3.1.2.4 Đa thức ma trậnGiả sử p(t) = a0 + a1t + ⋅⋅⋅ + ak tk là một đa thức bậc kVới mọi ma trận A vuông cấp n, ta định nghĩa đa thức của matrận A như sau:

0 1( ) kkp A a I a A a A= + + +L

Ví dụ 3.81 24 3

A ⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦

3( ) 5 4 2p t t t= − +Cho ma trận và đa thức

31 0 1 2 1 2 13 52( ) 5 4 2

0 1 4 3 4 3 104 117p A

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

23/09/2013 19


3.1.2.5 Ma trận chuyển vịCho ma trận A cỡ m × n, nếu ta đổi các hàng của ma trận Athành các cột (và do đó các cột thành các hàng) thì ta được matrận mới cỡ n ×m, gọi là ma trận chuyển vị của ma trận trên A,ký hiệu At

; 1 1tA c c a i n j m⎡ ⎤= = = =⎣ ⎦ , ; 1, 1,ij ij jin mA c c a i n j m

×⎡ ⎤= = = =⎣ ⎦

Ví dụ 3.94 1

2 05 9

A−⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

4 2 51 0 9

tA−⎡ ⎤

⇒ = ⎢ ⎥⎣ ⎦

23/09/2013 20

6


Tính chất 3.3

1) ttt BABA +=+ )(

2) tt kAkA =)(

3) ttt ABAB =)(

ij

ijt

a

aA A

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

O O

OOOO

OO

Nếu A = At thì A được gọi là ma trận đối xứng (A là ma trậnvuông có các phần tử đối xứng nhau qua đường chéo thứ nhất)

A = − At thì A được gọi là phản đối xứng (A là ma trận vuông cócác phần tử đối xứng và trái dấu qua đường chéo thứ nhất, cácphần tử trên đường chéo thứ nhất bằng 0)

23/09/2013 21


3.1.3 MA TRẬN CỦA MỘT HỆ VÉC TƠ3.1.3.1 Định nghĩa ma trận của một hệ véc tơGiả sử V là không gian n chiều với một cơ sở B = {e1, … , en}{v1, … , vm} là một hệ véc tơ của V có tọa độ trong cơ sở B:

1 , 1,...,

n

j ij ii

v a e j m= =∑1i=

Khi đó ma trận ij n mA a

×⎡ ⎤= ⎣ ⎦

có các cột là tọa độ của các véc tơ {v1, … , vm} trong cơ sở Bgọi là ma trận của hệ véc tơ {v1, … , vm} trong cơ sở B.

Ngược lại, với ma trận A cỡ n × m cho trước thì ta có hệ m véc tơ mà toạ độ của nó trong cơ sở B là các cột của A

23/09/2013 22


Nói riêng, nếu 1 1 ... n nu x e x e= + +

ta ký hiệu ( ) 1( ,..., )nu x x=B [ ]

1

n

xu

x

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

MB

Ví dụ 3.10

Xét hệ véc tơ (4 1 3 2) (1 2 3 2) ( )v v v x y z t= = =Xét hệ véc tơ 1 2 3(4,1,3, 2), (1,2, 3,2), ( , , , )v v v x y z t= − = − =

Có ma trận trong cơ sở chính tắc 4 11 23 32 2

xyzt

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

23/09/2013 23


3.1.3.2 Ma trận chuyển cơ sởGiả sử B = {e1, … , en}, B ′= {e ′1, … , e ′n} là hai cơ sở của VMa trận của hệ véc tơ B ′ trong cơ sở B được gọi là ma trận

chuyển từ cơ sở B sang cơ sở B ′

Nghĩa là nếu ' , 1,...,n

j ij ie t e j n= =∑ thì 'ijT t⎡ ⎤= ⎣ ⎦B

B1j j

i=∑

'ij⎣ ⎦Blà ma trận chuyển từ cơ sở B sang cơ sở B ′

[ ] 1 1'i ij jn n n n

x t x× × ×

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ [ ] [ ] ''iju t u⎡ ⎤= ⎣ ⎦B

B BB

Ta có công thức đổi tọa độ1 1 1 1 1 1

: ' ' ' 'n n n n n n

i i j j j ij i ij j ii j j i i j

u V u x e x e x t e t x e= = = = = =

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟∀ ∈ = = = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

23/09/2013 24

7


Nếu A, A ′ lần lượt là ma trận của {v1, … , vn} trong cơ sở B và

B ′ thì''ijA t A⎡ ⎤= ⎣ ⎦

B

B

Ví dụ 3.11

Hai hệ véc tơ B ={e1, e2}, B ’ ={e’1, e’2}

là hai cơ sở của không gian véc tơ R2 (Xem ví dụ 2.16 Chương 2)

1 2 1 2( , ) (4 3 ) ' ( ) 'u x y xe ye y x e x y e= = + = − + −

( ) ( )( , ); (4 3 , )'u x y u y x x y= = − −B B

với e1 = (1,0) , e2 = (0, 1) và e′1 = (1,1) , e′2 = (4,3)

23/09/2013 25


Ma trận chuyển từ cơ sở B sang cơ sở B ′ là1 41 3

T ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

do đó 1 4 4 31 3

x y xy x y

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

B ={e1 = (1,0), e2 = (0, 1)} B’ ={e′1 = (1,1), e′2 = (4,3)}

( ) (4 3 , )'u y x x y= − −B

Ma trận chuyển từ cơ sở B ′ sang cơ sở B là3 4

'1 1

T−⎡ ⎤

= ⎢ ⎥−⎣ ⎦do đó 4 3 3 4

1 1y x xx y y− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( ) ( ) ( )1 2(4 3 , ) ( 3,1); (4, 1)' ' 'u y x x y e e= − − ⇒ = − = −B B B

23/09/2013 26


3.1.4 HẠNG CỦA MA TRẬN3.1.4.1 Tìm hạng của ma trận bằng phép biến đổi sơ cấp

Ta gọi hạng của hệ các véc tơ cột của A là hạng của ma trận Aký hiệu r(A)Hạng r(S) của một hệ véc tơ S của không gian V là số véc tơ củamột hệ con độc lập tuyến tính tối đại của S hay là chiều của spanS(xem Định lý 2 16)(xem Định lý 2.16).Vì vậy khi ta thực hiện liên tiếp các phép biến đổi sau, gọi là cácphép biến đổi sơ cấp, thì spanS không đổi do đó hạng của hệkhông thay đổi:

1) Đổi chỗ cho nhau hai véc tơ của hệ2) Nhân vào một véc tơ của hệ một số khác 03) Cộng vào một véc tơ của hệ một tổ hợp tuyến tính các véc tơ

khác của hệ

23/09/2013 27


Vì vậy để tìm hạng của một ma trận ta thực hiện các biến đổi sơcấp lên các cột (sau này ta sẽ chứng minh được rằng ta cũng cóthể biến đổi theo các hàng) để đưa ma trận về dạng hình bậcthang, từ đó suy ra hạng của ma trận

Ví dụ 3.121 3 4 22 1 1 4A

−⎡ ⎤⎢ ⎥

3 1 2 24c c cc c c+ →

+ →1 0 0 0⎡ ⎤

⎢ ⎥

Vậy r(A) = 2

2 1 1 41 2 1 2

A ⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎣ ⎦

4 1 3 32 1 4 4

c c cc c c+ →

− + →2 7 7 01 5 5 0

⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦

1 0 0 02 7 0 01 5 0 0

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦

c c1 12 2

2 3 3

c cc c c

→

→

+ →

23/09/2013 28

8


1 4 1 152 1 2 23 1 1 3 3

1 4 44 2 2 5 515 3

1 2 1 1 1 1 1 1 1 21 1 1 1 1 1 1 1

1 0 1 1 0 1 1 11 2 2 1 1 2 1 1 1 2

c c c cc c c c cc c c c c

c c cc cc c cc c

a aB

a a

→→

→ + →→ − + →

+ →→− + →→

− − − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

1 12 3

1 0 0 0 0 1 0 0 0 01 0 2 1 3 1 2 0 0 0

c cc ca

→→

⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥+ ⎢ ⎥⎢ ⎥

2 33 2

( 3) ( 1) 22 3 4 4(3 2 ) 3 22 3 5 5

1 0 2 1 3 1 2 0 0 00 1 1 1 0 1 1 0 02 1 1 3 2 2 1 1 2 2 2 2

c ca c a c c c

a c c c c

aa

a a

→− + + + + →

− − + →

⎢ ⎥− + − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− − − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Vậy ⎩⎨⎧

=≠

=1314

)(aa

Br

nÕu

nÕu

1 0 0 0 01 2 0 0 00 1 1 0 02 1 1 2 2 0a

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦

23/09/2013 29


3.1.4.2 Các ma trận tương ứng với các phép biến đổi sơ cấp

Xét các ma trận vuông cấp n sau:

1

0 ij

i ji j ki j k

aλ

≠= ≠= =

⎧⎪= ⎨⎪⎩

Chẳng hạn

1 0 0 00 0 0

(2, )0 0 1 00 0 0 1

Rλ

λ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

23/09/2013 30


1) Nếu nhân R(k,λ) vào bên phải của ma trận A thì ma trận tíchAR(k,λ) có được bằng cách nhân thêm λ vào cột k của matrận A.

1 1 1 1 1 0 0 0a b c d⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥

1 1 1 1a b c dλ⎡ ⎤⎢ ⎥

2 2 2 2

3 3 3 3

4 4 4 4

0 0 00 0 1 00 0 0 1

a b c da b c da b c d

λ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦⎣ ⎦

2 2 2 2

3 3 3 3

4 4 4 4


λλλ

⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

23/09/2013 31


1 ;0 1 ,1 ,0

kl

k l i jk l i jk i l jk j l i

a

= ≠== == =

⎧⎪⎪= ⎨⎪⎪⎩

vμ b»ng hay

trong c¸c tr−êng hîp kh¸c

0 0 1 00 1 0 0

(1,3)1 0 0 00 0 0 1

P

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Chẳng hạn

23/09/2013 32

9


2) Nếu nhân P(i,j) vào bên phải của ma trận A thì ma trận tíchAP(i,j) có được bằng cách đổi chỗ hai cột i và j của A chonhau.

1 1 1 1 0 0 1 00 1 0 0

a b c da b c d⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

1 1 1 1c b a dc b a d⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥2 2 2 2

3 3 3 3

4 4 4 4

0 1 0 01 0 0 00 0 0 1


⎢ ⎥ ⎢ ⎥ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦⎣ ⎦

2 2 2 2

3 3 3 3

4 4 4 4

c b a dc b a dc b a d

⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

23/09/2013 33


1 ,

0 kl

k lk i l ja λ== =

⎧⎪= ⎨⎪⎩ trong c¸c tr−êng hîp kh¸c

1 0 0 00 1 0 0

(3,1; )0 1 0

0 0 0 1

Q λλ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Chẳng hạn

23/09/2013 34


3) Nếu nhân Q(i, j,λ) vào bên phải của ma trận A thì ma trận

tích AQ(i, j,λ) có được bằng cách nhân λ vào cột i và cộng

vào cột j của ma trận A

1 1 1 1 1 0 0 0a b c d⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 1 1 1 1 1a c b c dλ+⎡ ⎤1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

4 4 4 4

0 1 0 00 1 0

0 0 0 1


λ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦⎣ ⎦

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

3 3 3 3 3

4 4 4 4 4

a c b c da c b c da c b c d

λλλ

⎡ ⎤⎢ ⎥+⎢ ⎥

+⎢ ⎥⎢ ⎥+⎣ ⎦

23/09/2013 35


4) Nếu nhân P, Q, R vào bên trái của ma trận A thì ta có cáckết quả tương tự như trên, trong đó các tác động lên cột đổithành tác động lên hàng

Chẳng hạn 1 0 00 0 ' ' '

a b ca b cλ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ' ' '

a b ca b cλ λ λ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

0 0 1 " " "a b c⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

1 0 00 1 0 ' ' '0 1 " " "

a b ca b ca b cλ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

" " "a b c⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

' ' '' " ' " ' "

a b ca b c

a a b b c cλ λ λ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

+ + +⎢ ⎥⎣ ⎦

23/09/2013 36

10


Định thức của ma trận vuông cấp 2 bằng tích đường chéothứ nhất trừ tích đường chéo thứ hai

11 1211 22 12 21

21 22

a aa a a a

a a= −

Định thức của ma trận vuông cấp n tổng quát được xét trongchương này

3.2 ĐỊNH THỨC

Khái niệm định thức lần đầu tiên được Leibniz (Lépnít) đưa ravào năm 1693 khi bàn đến việc giải hệ phương trình tuyến tính

Ma trận và định thức ngày nay luôn đi liền với nhau và hầunhư mọi người đều cho rằng khái niệm định thức phải ra đời saukhái niệm ma trận, nhưng sự thực ngược lại

chương này

Định thức hình thành là nhằm để giải các hệ phương trìnhtuyến tính mà việc làm này đã có một lịch sử lâu đời trước đó

23/09/2013 37


Định thức được tiếp tục phát triển và nghiên cứu qua cáccông trình của Cramer (Cờrame) (Thụy sĩ), Jacobi (ia-cô-bi)(Đức), Laplace (Pháp), Vandermonde (Vănđécmông) (Hà Lan) ...

Cauchy (Cô-si) (Pháp) là người đầu tiên nghiên cứu khái niệmđịnh thức một cách hệ thống

Ngoài ứng dụng để giải hệ phương trình tuyến tính, định thứccòn được sử dụng để nghiên cứu những vấn đề của ma trậnnhư: ma trận nghịch đảo, hạng của ma trận, tìm giá trị riêng...

Định thức Jacobi được sử dụng trong phép đổi biến số củatích phân nhiều lớpĐịnh thức Wronsky (vrông-xki) dùng để kiểm tra tính chất độc

lập tuyến tính của các nghiệm của phương trình vi phân tuyếntính thuần nhất

Khảo sát tính chất độc lập của một hệ véc tơ

23/09/2013 38


3.2.1 HOÁN VỊ VÀ PHÉP THẾMỗi song ánh σ : {1, 2, … , n} → {1, 2, … , n} được gọi là mộtphép thế bậc nTa thường ký hiệu một phép thế bằng một ma trận có hàng thứnhất là các số 1, 2, … , n sắp theo thứ tự tăng dần còn hàng thứhai là ảnh của nó

1 2 ... n⎡ ⎤1 2 ...(1) (2) ... ( )

nn

σσ σ σ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

Ảnh của một phép thế được gọi là hoán vị. Với phép thế σ ta cóhoán vị tương ứng [ ](1) (2) ... ( )nσ σ σTập các phép thế bậc n ký hiệu Sn . Tập Sn có đúng n! phần tửChẳng hạn S2 có 2 phần tử, S3 có 6 phần tử ...

23/09/2013 39


Mỗi cặp i < j mà σ(i) > σ(j) được gọi là một nghịch thế củaphép thế σGiả sử k là số các nghịch thế của σ, ta định nghĩa và ký hiệudấu của phép thế σ là

sgn ( 1)kσ =

Dấu của phép thế

sgn ( 1)σ = −

Ví dụ 4.1 Hoán vị [1 3 2] ứng với phép thế⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=σ

231

321

có một nghịch thế. Vậy 1sgn ( 1) 1σ = − = −

Phép thế nhận dấu + nếu số các nghịch thế chẵn và nhận dấu− nếu số các nghịch thế lẻ

23/09/2013 40

11


Cách tìm số các nghịch thế của phép thế σGọi k1 là số các số trong [σ (1) σ (2) … σ (n)] đứng

trước σ (i1) = 1;

Xóa σ (i1) = 1, tồn tại i2 sao cho σ (i2) = 2, gọi k2 là sốcác số còn lại trong [σ (1) σ (2) … σ (n)] đứng trước σ (i2);

(k1 là số các nghịch thế ứng với 1)


Xóa σ (i2) = 2 và tiếp tục đếm như thế ...

Cuối cùng số các nghịch thế của σ là: 121 ... −+++= nkkkk

Ví dụ 4.2 Hoán vị [ ]4 3 1 2 có 1 2,k =

Vậy k = 5 và 5sgn ( 1) 1σ = − = −

2 2,k = 3 1k =


23/09/2013 41


Tính chất 3.4

1) Cặp (i, j) là một nghịch thế của phép thế σ khi và chỉ khidấu của i − j và σ (i) − σ (j) trái dấu. Vậy

( )1

( ) ( )sgni j n

i ji j

σ σσ≤ ≠ ≤

−−= ∏ dÊu

2) Phép thế chuyển vị σ = [i0 j0] là phép thế chỉ biến đổi hai2) Phép thế chuyển vị σ [i0 j0] là phép thế chỉ biến đổi haiphần tử i0, j0 cho nhau và giữ nguyên các phần tử còn lại

0 0

0 0

1 2 ... ... ...1 2 ... ... ...

i j nj i n

⎡ ⎤σ = ⎢ ⎥

⎣ ⎦

01 1... 0ik k −= = =0 0 0ik j i= −

0 01 1... 1i jk k+ −= = =

0... 0j nk k= = = 0 02( ) 1k j i⇒ = − − sgn ( 1) 1kσ⇒ = − = −

23/09/2013 42


3) Với mọi α, μ ∈ Sn sgn( ) sgn sgnσ μ σ μ=o

Thật vậy, khi (i,j) chạy khắp tập

{1, 2, ..., n}×{1, 2, ..., n }\{(1,1), (2,2) ..., (n,n)}

thì (μ(i), μ(j)) cũng chạy khắp tập này

1 1 ( ) ( ) 1

( ) ( ) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( ))sgn( ) ( ) ( ) ( )i j n i j n i j n

i j i j i ji j i j i j≤ ≠ ≤ ≤μ ≠μ ≤ ≤ ≠ ≤

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞σ −σ σ μ −σ μ σ μ −σ μσ = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

− μ −μ μ −μ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠∏ ∏ ∏dÊu dÊu dÊu

1 1

( ( )) ( ( )) ( ) ( )sgn sgn( ) ( )i j n i j n

i j i ji j i j≤ ≠ ≤ ≤ ≠ ≤

⎛ ⎞ ⎛ ⎞σ μ −σ μ μ −μ⇒ σ μ = ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟

μ −μ −⎝ ⎠ ⎝ ⎠∏ ∏dÊu dÊu

( )1

( ( )) ( ( ))sgn

i j n

i ji j≤ ≠ ≤

⎛ ⎞σ μ −σ μ= = σ μ⎜ ⎟

−⎝ ⎠∏ odÊu

4) Với mọi chuyển vị [i0 j0] và phép thế μ[ ]0 0sgn sgni jμ μ= −o

23/09/2013 43


3.2.2 ĐỊNH NGHĨA ĐỊNH THỨC

Khi giải hệ phương trình tuyến tính⎩⎨⎧

=+=+

''' cybxacbyax

ta tính các định thức

'' baabba

D −== '' bccbbc

D −== '' caacca

D −==''

baabba

D''

bccbbc

Dx''

caacca

Dy ==

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

2221

1211

aa

aaANhư vậy định thức của ma trận vuông cấp 2:

211222112221

1211aaaa

aa

aaA −==

23/09/2013 44

12


Định thức của ma trận vuông cấp 2 có thể biểu diễn như sau:

Xét nhóm đối xứng S2 có 2 phần tử

11 21 2

σ ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦và 2

1 22 1

σ ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦có dấu 1 2sgn 1, sgn 1 σ σ= = −

211222112221

1211aaaa

aa

aaA −==

2 21 1( ) ( ( ) ( ))sgn sgna a a aσ σσ σ σσ= +1 1 2 2 2 1 1 2 21

2

1 (1) 2 (2)sgnS

a aσ σσ

σ∈

= ∑

23/09/2013 45


Định thức của ma trận vuông cấp n bất kỳ được mở rộng như sau

Định thức của ma trận vuông ij n nA a

×⎡ ⎤= ⎣ ⎦

được ký hiệu là det A hay |A| và xác định bởi biểu thức

d A ∑ 1 (1) ( )det sgn ...n

n nS

A a aσ σσ

σ∈

= ⋅∑

Như vậy định thức của ma trận vuông là tổng của n! số hạng,

mỗi số hạng là tích gồm n phần tử trên n hàng ở trên n cột khácnhau của ma trận và nhân với dấu của hoán vị tương ứng

23/09/2013 46


Ví dụ 3.13 Nhóm đối xứng S3 có 6 phần tử là

11 2 31 2 3

σ⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦ 2

1 2 31 3 2

σ ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

41 2 32 1 3

σ ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦5

1 2 32 3 1

σ ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦ 61 2 33 1 2

σ ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

31 2 33 2 1

σ ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

1 5 6sgn sgn sgn 1 σ σ σ= = = 2 3 4sgn sgn sgn 1 σ σ σ= = = −Vậy

3

11 12 13

21 22 23 1 (1) 2 (2) 3 (3)

31 32 33

sgnS

a a aa a a a a aa a a

σ σ σσ

σ∈

= ∑

11 22 33 11 23 32 13 22 31 12 21 33 12 23 31 13 21 32a a a a a a a a a a a a a a a a a a= − − − + +

23/09/2013 47


Ví dụ 3.14

2 53 4

1 6

xy

z2. .6 5.4. .3.1 . . 5.3.6 2.4.1y z x x y z= + + − − −

12 20 3 90 8y x xy+ +12 20 3 90 8y z x xyz= + + − − −

3 12 20 98x y z xyz= + + − −

23/09/2013 48

13


Tính định thức Xét phép thế 01 2 ...1 2 ...

nn

σ⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

có ( )00sgn 1 1σ = − =

Với mọi nSσ ∈

nếu 0σ σ≠ thì tồn tại k sao cho

Ví dụ 3.15

n

n

n

n aa

aaa

aaaa

D 333

22322

1131211

...

...

...

=0

( )k kσ ≠do đó tồn tại k ′ sao cho ( ') 'k kσ <

' ( ') 0k ka σ⇒ = 1 (1) ( )... 0n na aσ σ⇒ =Vậy

1 (1) ( ) 0 11 11sgn ... sgn ... ...n

n n n nn nnS

D a a a a a aσ σσ

σ σ∈

= ⋅ = ⋅ =∑

nna

MO

23/09/2013 49


Tương tự11

21 22

31 32 33 11

1 2 3

' ...

...

n nn

n n n nn

aa aa a aD a a

a a a a

= =M M M O

Ví dụ 3.16 20 7

2 ( 7) ( 1) 3 420 0 10 0 0 3

a b cd e

f−

= ⋅ − ⋅ − ⋅ =−

1 2 3n n n nn

23/09/2013 50


Tính định thứcVí dụ 3.17 Xét phép thế

11 2 ...

1 ... 1n

n nσ

⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦

thoả mãn 1( ) 1k k nσ + = +1,...,2,1 121 =−=−= −nknknk

nn

n

n

aa

aa

a

D"

21,2

1

−

= MMN

, ,, 121 −n

2)1()1(...1 −=−++=⇒ nnnk( 1) 2

1sgn ( 1)n nσ −⇒ = −Với mọi nSσ ∈ , nếu 1σ σ≠ thì tồn tại k sao cho ( ) 1k k nσ + < +

( ) 1 (1) ( )0 ... 0k k n na a aσ σ σ⇒ = ⇒ =

1 (1) ( ) 1 1 , 1" sgn ... sgn ... ...n

n n n n k n k nS

D a a a a aσ σσ

σ σ −∈

= ⋅ = ⋅∑

nnnn

nnn

aaa

aa

......

......

21

12,1 −−

23/09/2013 51


Tương tự

11 12 1 1 1

21 22 2 1( 1) 2

1 , 1

...

..."' ( 1) ... ...

n n

nn n

n n k n k n

a a a aa a a

D a a a

−

−−

−= = −M M N

M N

1na

Ví dụ 3.18 3 2

2

4 23 0 ( 1)

0 0

xy xyz xyz

z

×−= − = −

23/09/2013 52

14


Định thức của ma trận A = [ aij ]n×n của hệ véc tơ {v1, … , vn}trong cơ sở B của không gian véc tơ V cũng được gọi là địnhthức của hệ véc tơ {v1, … , vn} và ký hiệu DB{v1, … , vn}. Vậy

{ }1,..., detnD v v A=BVí dụ 3.19

Hệ véc tơ (2 4 1) (3 6 2) ( 1 5 2)v v v= = =Hệ véc tơ 1 2 3(2,4,1), (3,6, 2), ( 1,5,2)v v v= = − = −

có ma trận trong cơ sở chính tắc B cùa R3 là

2 3 14 6 51 2 2

A−⎡ ⎤

⎢ ⎥= ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

{ }1 2 3, , det 49D v v v A= =BVậy

23/09/2013 53


3.3.3 CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA ĐỊNH THỨC1) Nếu đổi chỗ hai hàng của ma trận thì định thức đổi dấu

,

, ' ' , 'ij

ij ij ij kjn n n n

i k m

i m

i k

a

A a A a a a

a× ×

≠

=

⎧⎪

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = ⎨⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎪⎩

nÕu

nÕu

Õ

Đổi chỗ hai hàng m và kh hmj i ka =⎩ nÕu

thì det ' detA A= −

Ví dụ 3.20 ' ' '

" " "

" "' '

"'

a b c

a b c

a b c

a ba

ca b c b c= −

cho nhau

23/09/2013 54


2) Định thức có tính chất tuyến tính đối với mỗi hàng

Ma trận ij n nC c

×⎡ ⎤= ⎣ ⎦ có hàng thứ k là tổ hợp tuyến tính của

ij n nA a

×⎡ ⎤= ⎣ ⎦ và ij n n

B b×

⎡ ⎤= ⎣ ⎦

Nghĩa là.1,...,

ij ij ij

kj kj kj

i k

j n

c a b

c a bα β

≠

=

= =⎧⎪⎨ = +⎪⎩

nÕu

víi mäi

;

hàng thứ k của

.1,...,kj kj kj j nc a bα β+⎪⎩ víi mäi ;

thì det det detC A Bα β= +Ví dụ 3.21

2 2 2 21 1 1 1 1 21 2

' ' ' ' ' ' ' ' 'a b c a

aa b c a b cb c a b

b c a b ca b c a c a b c

cb βα

α α αβ β β= +

+ + +

23/09/2013 55


3) Từ 1) và 2) suy ra rằng trong một ma trận có hai hàng tỷ lệ thìđịnh thức bằng 0

Ví dụ 3.22

' ' ' ' ' ' ' ' 'a b c a ba b c a b c a b c

a b c a b cc ak k

k k bkb

cc

a= = −

4) Nếu ta cộng vào một hàng một tổ hợp tuyến tính các hàngkhác thì định thức không thay đổi

' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '" " " " " "' ' ' ' ' '

a b c a b c a b c a b ca b c a b c

a baa b c a b c

a b c ab c a bc ac b cb cα

α αβ

β β α β= + +

+ + + + + +

23/09/2013 56

15


5) Định thức của ma trận chuyển vị bằng định thức của ma trận đó

det dettA A=Ví dụ 3.23 '

' ' ' ''

""

" " " "

a b c ab

aa

abb c b

b=

'" " " "a c c cb c

6) Từ 5) suy ra rằng các tính chất của định thức đúng với hàngthì cũng đúng với cột và ngược lại. Vì vậy ta chỉ cần chứngminh các định lý về định thức đúng với hàng. Chẳng hạn, từ 4)suy ra nếu ta cộng vào một cột một tổ hợp tuyến tính các cộtkhác thì định thức không thay đổi

23/09/2013 57


Ví dụ 3.24 1 1 ... 11 1 ... 11 1 ... 1

1 1 1 ...

n

aa

D a

a

=M M M O M

1 1 1 1

1 1 1 ... 11 1 ... 11 1 ... 1

1 1 1 ...

a na n aa n a

a n a

+ −+ −

= + −

+ −M M M O M

1 1 1 ... 11 1 ... 1

( 1) 1 1 ... 1

1 1 1 ...

aa n a

a

= + −M M M O M

1( 1)( 1)nnD a n a −⇒ = + − −

1 0 0 ... 01 1 0 ... 01 0 1 ... 0

1 0 0 ... 1

( 1)a

a

a

a n−

−

−

= + −M M M O M

23/09/2013 58


7) Định thức của mọi hệ n véc tơ phụ thuộc tuyến tính của khônggian véc tơ n chiều đều bằng 0Nếu hệ véc tơ { }1,..., nv v phụ thuộc tuyến tính thì có một véc tơ là tổ hợp tuyến tính của các véc tơ còn lại. Chẳng hạn 1 1 2 2 1 1n n nv v v vα α α − −= + + +L

{ } { }1 1 1 1 1 1 2 2 1 1det ,..., , ,..., ,n n n n nA D v v v D v v v v vα α α− − − −⇒ = = + + +LB BTách cột cuối thành tổng của n−1 định thức ta được

{ } { }1 1 1 1 1 1 1 1det ,..., , ,..., , 0 0 0n n n nA D v v v D v v vα α− − − −= + + = + + =L LB B

8)11 1

1 (1) ( )

1

mod

...det( )( ) sgn ...

...n

n

n nS

n nn

p

a aA a a

a aσ σ

σσ

∈= =∑ M O M

Ví dụ 3.25

ij n nA a

×⎡ ⎤= ⎣ ⎦

1ija = ±

1 ... 1det( )(mod 2) 0(mod 2)

1 ... 1A = =M O M chẵndet A⇒

{ } { }n n n nB B

23/09/2013 59


3.2.4 CÁC CÁCH TÍNH ĐỊNH THỨC

3.2.4.1 Khai triển theo hàng, theo cột

Cho ma trận A = [ aij ]n×n

Ký hiệu Mij là định thức của ma trận cấp n − 1 có được bằngcách xoá hàng i cột j của ma trận A

11 12 1 1

1 2

1 2

...

...

...

j n

i i ij in

n n nj nn

a a a a

a a a a

a a a a

M M O M M

M M M O M

Hàng i

Cột j

( 1)i jij ijA M+= −

được gọi là phần bù đại số của aij

23/09/2013 60

16


Công thức khai triển định thức của A theo cột thứ j

1 1det ...j j nj njA a A a A= + +

11 12 1 1

1 2

...

...

j n

i i ij in

a a a a

a a a aM M O M M

11 12 1 1

1( 1) 1 21

...

...

j n

ji i ij inj

a a a a

a a a aa += −

M M O M M

M M M O M

1 2 ...n n nj nna a a aM M M O M

...+

1 2 ...n n nj nna a a aM M M O M

11 12 1 1

( 1) 1 2

1 2

...

...

...

j n

n ji i ij innj

n n nj nn

a a a a

a a a aa

a a a a

++ −

M M O M M

M M M O M

23/09/2013 61


Công thức khai triển định thức của A theo hàng thứ i

1 1det ...i i in inA a A a A= + +Nhận xét 3.5 Công thức khai triển theo cột thứ j và công thức khai triển theohàng thứ i (trong đó việc chọn hàng thứ i và cột thứ j là tùy ý) chophép tính định thức cấp n theo tổng các số hạng dạng aijAij. Nếup p p g g g ij ijở hàng thứ i hoặc cột j có số hạng aij = 0 thì aijAij = 0. Vì vậy đểtính định thức ta thức hiện các bước sau:

Chọn hàng i hoặc cột j có nhiều phần tử bằng 0 hoặc dễ triệt tiêuThực hiện các phép biến đổi để triệt tiêu các phần tử trên hàng

(hoặc cột) đã chọn, cuối cùng trên hàng hoặc cột này chỉ có mộtphần tử khác 0

Khai triển theo hàng hoặc cột đã triệt tiêu

23/09/2013 62


Ví dụ 3.26

Khai triển theo hàng thứ 2 ta được

2 12 2 2

++ − + L

1 2 3 41 0 1 23 1 1 01 2 0 5

D =− −

−

1 3 3

2 1 4 41 2 2 21 0 0 03 1 4 61 2 1 7

c c c

c c c

− + →

− + →

=− − −

− −

2 1( 1) 1 1 4 62 1 7

D += − ⋅ ⋅ − − −− −

Tiếp tục triệt tiêu hàng thứ nhất của định thức trên ta có2 0 0

3 5 1 51 3 5 2 ( 2)( 3) 6( 9 5) 24

3 9 1 92 3 9

D− − −

= − − − − = − = − − = − + = −− − −

− −

− + −+ − +

L

L

M M M O

23/09/2013 63


3.2.4.2 Định lý khai triển Laplace (theo k hàng k cột)

Từ ma trận ij n nA a

×⎡ ⎤= ⎣ ⎦ ta để ý k hàng: kii ,...,1 và k cột: kjj ,...,1

Giao của k hàng k cột này là một ma trận cấp k

Định thức của ma trận này được ký hiệu là k

k

jjiiM ,...,

,...,1

1

Nếu từ ma trận A ta xoá đi k hàng ii và k cột jj thì taNếu từ ma trận A ta xoá đi k hàng kii ,...,1 và k cột kjj ,...,1 thì ta có ma trận con cấp n k− . Định thức của ma trận này được ký hiệu là k

k

jjiiM ,...,

,...,1

1

11 1 11 1

,...,,..., ... ...,..., ,...,( 1) kk k k

k k

j jj j i i j ji i i iA M+ + + + += −

được gọi là phần bù đại số của k

k

jjiiM ,...,

,...,1

1

23/09/2013 64

17


Ví dụ 3.27Hàng 1

Hàng 3

Chọn hàng 1, 3

Chọn cột 2, 5

11 12 13 14 15

21 22 23 24 25

31 32 33 34 35

41 42 43 44 45

51 52 53 54 55

a a a a aa a a a aa a a a aAa a a a aa a a a a

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

12 152513

32 35

a aM

a a=

Cột 2 Cột 5

21 23 24 21 23 2425 1 3 2 513 41 43 44 41 43 44

51 53 54 51 53 54

( 1)a a a a a a

A a a a a a aa a a a a a

+ + += − = −

23/09/2013 65


Định lý 3.4 (Khai triển Laplace)

1) Khai triển k hàng i1, … , ik

1 11 1

1

,..., ,...,,..., ,...,

1 ...det k k

k kk

j j j ji i i i

j j nA M A

≤ < < ≤= ∑

Định thức của A bằng tổng tất cả các định thức con cấp k nằmĐịnh thức của A bằng tổng tất cả các định thức con cấp k nằmtrên k hàng i1, … , ik nhân với phần bù đại số tương ứng của nó

2) Khai triển k cột j1, … , jk

1 11 1

1

,..., ,...,,..., ,...,

1 ...det k k

k kk

j j j ji i i i

i i nA M A

≤ < < ≤

= ∑

23/09/2013 66


Ví dụ 3.28

11 1

1

11 1 1 1 1

... 0 ... 0

... 0 ... 0

... ...

k

k kkn

k k k k k k n

a a

a aD

a a a a

M O M M O M

+ + + + +=

1 1... ...n nk kk nna a a aM O M M O M

+

Từ điều kiện 11 ... kj j n≤ < < ≤ kk j n⇒ ≤ ≤

Khai triển k hàng đầu i1 = 1, … , ik = k

23/09/2013 67


Nếu kj k> thì 1,...,1,..., 0kj j

kM = vì định thức này có ít nhất một cột

bằng 0.

Nếu kj k= thì 1

11 1,..., 1,...,

1,...,1,...,

1

...

...

k

kj j k

kk

k kk

a aM M

a a= = M O M

1 1 1...k k k nk k k

a a+ + +

và 1,..., 1 11,...,

1

( 1)...

k k kk

nk nn

Aa a

+ + + + +

+

= − L L M O M

Vậy11 1 1 1 1

1 1

... ...

... ...

k k k k n

n

k kk nk nn

a a a aD

a a a aM O M M O M

+ + +

+

=

23/09/2013 68

18


Ví dụ 2.29

0 0 00 0 02 2 21 4 6

a bc d

D e fg h

=− − −

2 2 21 4 6

2 1 7

a bc d

= − − −− −

24( )ad bc= −

2 1 7i j − −

Ví dụ 3.30 Với mọi ma trận cùng cấp A, B luôn có

BAAB detdetdet =

Giả sử ij n nA a

×⎡ ⎤= ⎣ ⎦ ij n n

B b×

⎡ ⎤= ⎣ ⎦ ij n nC AB c

×⎡ ⎤= = ⎣ ⎦ ∑

==

n

kkjikij bac

1

23/09/2013 69


Xét định thức cấp 2n

2

0 0

0 01 0 0

ij

n

a

D =

L

M O M

L

1 0 00 0

0 0 1ijb

−

−

O

Khai triển Laplace theo n hàng đầu ta có D2n = det A det B

23/09/2013 70


11 1 11 11... 0 0

0 0

na a a b

bM O M O M11 1 11 11 1 1... ... 0 0

0 0

n n na a a b a b

b b

+ +M O M M O M

Nhân b11 với cột 1 cộng vào cột n + 1 thì định thức D2n trở thành:

Tiếp tục nhân b21 với cột 2, …. bn1 với cột n của D2n xong cộngtất cả vào cột n + 1 thì định thức D2n trở thành:

1 1 112

12 1

1 2

... 0 01 0

11

n nn nn

n

n n nn

a a a bD

b b

b b b

=−

−−

M O M

1 1 11 12

12 1

2

... ... 0 01 0

11 0

n nn n nn nn

n

n nn

a a a b a bD

b b

b b

+ +=

−−

−M O M

11 11 1 1 11... n na b a b c+ + = … 1 11 1 1...n nn n na b a b c+ + =

23/09/2013 71


Tiếp tục biến đổi tương tự như trên cuối cùng được

11 1 11 1

1 12

... ...

... ...1 0 0

1

n n

n nn n nnn

a a c c

a a c cD =

−

M O M M O M

Khai triển Laplace theo n hàng cuối ta được

11 11 2 ... 1 ... 2

2

1

1 ...( 1) 1 det

1 ...

nn n n

n

n nn

c cD C

c c

+ + + + + + +−

= − − =−

M O M

11 0 0

−−

23/09/2013 72

19


3.2.5 ỨNG DỤNG ĐỊNH THỨC ĐỂ TÌM MA TRẬN NGHỊCH ĐẢOMa trận vuông A được gọi là khả nghịch nếu tồn tại ma trậnvuông cùng cấp B sao cho AB = BA = IPhép nhân ma trận có tính kết hợp nên ma trận B ở định nghĩatrên nếu tồn tại thì duy nhất, ta gọi ma trận này là ma trậnnghịch đảo của A, ký hiệu A−1

Điều kiện cần và đủ để ma trận A tồn tại ma trận nghịch đảo là

det A ≠ 01 1det det det det 1A A AA I− −= = = det 0A⇒ ≠

Ma trận nghịch đảo A−1 của ma trận A có dạng

ij n nB A

×⎡ ⎤= ⎣ ⎦ được gọi là ma trận phụ hợp của A

1 1det

tA BA

− =

Aij là phần bù đại số của phần tử aij của ma trận A = [aij]n×n

23/09/2013 73


1 1 ...k k kn kna A a A= + +

1 2

11 12 1

2

1 2

1k k kn

i

n

n n

n

nn

i i

a a aa a a

a a aa a a

L L

L L

M M L L M

L L

L L

Khai triển theo hàng thứ kHàng k

Hàng i

det A=

1 2n n nn

1 1 ...i ik kn na A a A= + +1 2

1 2

11 12 1

1 2

i i in

i

n

n n

n

nn

i i

a a aa a a

a a aa a a

L L

L L

M M L L M

L L

L L

Khai triển theo hàng thứ kHàng k

Hàng i0=

23/09/2013 74


Ma trận a b

Ac d⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

vuông cấp 2 với định thức - 0A ad bc= ≠ có

1 1det

... (det )0

ti k in kn

A i ka A a A AB A I

i k=⎧

+ + = ⇒ =⎨ ≠⎩

nÕu

nÕu

11 1det det

t tA B I A BA A

−⎛ ⎞⇒ = ⇒ =⎜ ⎟⎝ ⎠

c d⎣ ⎦ma trận nghịch đảo là

1 1 1td c d b

Ab a c aad bc ad bc

− − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Ví dụ 3.31 5 73 9

A⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

có ma trận nghịch đảo 1 9 713 524

A− −⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦

23/09/2013 75


Ví dụ 3.32

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

801

352

321

A có 1det −=A

4080

35)1( 11

11 =−= +A 1381

32)1( 21

12 −=−= +A 501

52)1( 31

13 −=−= +A

1632

)1( 12+A 531

)1( 22+A 221

)1( 32+A1680

)1( 1221 −=−= +A 5

81)1( 22

22 =−= +A 201

)1( 3223 =−= +A

935

32)1( 13

31 −=−= +A 332

31)1( 23

32 =−= +A 152

21)1( 33

33 =−= +A

140 13 5

1 16 5 21

9 3 1

t

A−− −⎡ ⎤

⎢ ⎥= −⎢ ⎥−−⎢ ⎥⎣ ⎦

40 16 913 5 35 2 1

− −⎡ ⎤⎢ ⎥= − −⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

40 16 913 5 35 2 1

−⎡ ⎤⎢ ⎥= − −⎢ ⎥

− −⎢ ⎥⎣ ⎦

23/09/2013 76

20


Ví dụ 3.33 2 5 17 3 24 1 3

A⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

có det 56A = −

1 1 1 2 1 311 12 13

3 2 7 2 7 3( 1) 7, ( 1) 13, ( 1) 5

1 3 4 3 4 1A A A+ + += − = = − = − = − = −

2 1 2 2 2 35 1 2 1 2 5( 1) 14 ( 1) 2 ( 1) 18A A A+ + +

3 1 3 2 3 331 32 33

5 1 2 1 2 5( 1) 7, ( 1) 3, ( 1) 29

3 2 7 2 7 3A A A+ + += − = = − = = − = −

2 1 2 2 2 321 22 23( 1) 14, ( 1) 2, ( 1) 18

1 3 4 3 4 1A A A+ + += − = − = − = = − =

17 13 5 7 14 7

1 114 2 18 13 2 356 56

7 3 29 5 18 29

t

A−− − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − = − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥−− − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

23/09/2013 77


Tìm ma trận nghịch đảo theo phương pháp Gauss-Jordan

Để tìm ma trận nghịch đảo A−1 ta thực hiện các bước sau:

1) Viết ma trận đơn vị I bên phải ma trận A: A | I

2) Thực hiện các phép biến đổi sơ cấp đồng thời lên các hàng) ự ệ p p p g gcủa A | I để đưa ma trận A ở vế trái về ma trận đơn vị

3) Khi vế trái trở thành ma trận đơn vị thì vế phải là ma trận A−1

1..........A I I A−→ →

23/09/2013 78


Ví dụ 3.34Tìm A−1 với

1 2 32 5 31 0 8

A⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

1 2 3 1 0 02 5 3 0 1 01 0 8 0 0 1

1 11 2 21 3 3

2h h

h h hh h h

→− + →− + →

1 2 3 1 0 0 0 1 3 2 1 0

0 2 5 1 0 1− −

− −

1 1

2 2

2 2 3 3

1 2 3 1 0 00 1 3 2 1 00 0 1 5 2 1

h h

h h

h h h

→

→

+ →

− −− −

3 3 2 2

3 3

3 3 1 1 1 2 0 14 6 30 1 0 13 5 30 0 1 5 2 1

h h h

h h

h h h

+ →

→

− + → −− −− −

1 1

2 2

3 3

1 2 3 1 0 0 0 1 3 2 1 0

0 0 1 5 2 1

h h

h h

h h

→

− →

− →

− −− −

3 2 1 1

2 2

3 3

1 0 0 40 16 9 0 1 0 13 5 30 0 1 5 2 1

h h h

h h

h h

− + →

→

→

−− −− −

23/09/2013 79


3.2.6 TÌM HẠNG CỦA MA TRẬN BẰNG ĐỊNH THỨC

Định thức của một hệ phụ thuộc tuyến tính bằng 0. Do đó nếuđịnh thức DB{v1, ... , vn} ≠ 0 thì hệ {v1, ... , vn} độc lập tuyến tính

Ngược lại, giả sử hệ {v1, ... , vn} độc lập tuyến tính, ta chứngminh DB{v1, ... , vn} ≠ 0

ềVậy hệ {v1, ... , vn} trong không gian véc tơ n chiều là độc lậptuyến tính khi và chỉ khi DB{v1, ... , vn} ≠ 0

Ta cũng chứng minh được nếu '

ijT t⎡ ⎤= ⎣ ⎦B

B là ma trận chuyển từ cơ

sở B sang 'B thì ma trận chuyển từ cơ sở 'B sang B là 1T −

1' ' 'ij ijT t t T −⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⇒ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦B B

B B

23/09/2013 80

21


Định lý 3.12 Giả sử A = [ aij ] là một ma trận cỡ m × n. Nếu có định thức concấp p khác 0 và mọi định thức con cấp p +1 bao quanh nó đềubằng 0 thì r(A) = p

Hệ quả 3.13 Giả sử A là một ma trận cỡ m × n thì

r ( A ) = r (At ) ≤ min(m n)r ( A ) = r (A ) ≤ min(m , n)Ví dụ 3.35

2 120

2 9=

−Vậy 2)( =Ar

2 1 2 32 9 4 74 3 1 1

A−⎡ ⎤

⎢ ⎥= − −⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦

2 1 2 2 1 32 9 4 2 9 7 04 3 1 4 3 1

−− − = − =− − −

23/09/2013 81


Ví dụ 3.36 2 1 0 44 2 1 7

3 1 1 41 4 3 4

B

⎡ ⎤⎢ ⎥− − −⎢ ⎥=

−⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦

2 10 nhưng

1 010

4 2=

− −nhưng 1

2 1=

−

Bao định thức này bởi định thức cấp 32 1 04 2 1 1

3 1 1− − =

−Định thức cấp 4 duy nhất |B | = 0

Vậy r(B) = 3

23/09/2013 82


Ví dụ 3.37

Tìm hạng của ma trận

1 1 11 1 11 1 11 1 1

aa

Aa

a

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦3)1)(3( −+= aaA

• Khi 13 ≠≠ aa thì 4)( =Ar ;

1 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1

A

⎡ ⎤⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

3 1 1 11 3 1 11 1 3 11 1 1 3

A

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥=

−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

• Khi 1,3 ≠−≠ aa thì 4)( =Ar ;

BÀI TẬP

• Khi a = −3,3 1 1 1 1 1 1 0 0

1 3 1 1 3 1 1 4 0 161 1 3 1 1 3 1 0 4

− − −− = − − = − − = −

− − − − −( ) 3r A⇒ =

• Khi a =1 ⇒ r(A) =1

23/09/2013 83

3.1 ma tr n 3.1.1 khÁi niỆmmatr Ận m n aa a a mmom · ma trận a cỡm ×n có...

Documents