3.1. DERIVAATAN MÄÄRITELMÄ

Kirja, E.1. s. 62 – 63

3.1.1. Erotusosamäärä (EOM)Funktion y = f(x) erotusosamäärä kohdasta x0 kohtaan x (x0 x) on

x

f

x

y

xx

xfxf

0

0 )()(

E.1. Laske funktion f(x) = x2 + 2x erotusosamäärä a) kohdasta 1 kohtaan 2 b) kohdassa 3.

12

)1()2(

ff

a)

1

)121()222( 22 538

3

)3()(

x

fxf3

)323()2( 22

x

xx

5x

b)

3

1522

x

xx3

)5)(3(

x

xx

3.1.2. Tangentin kulmakerroin. Derivaatta

Kirja, s. 64 - 65

lim0xx 0

0 )()(

xx

xfxf

Derivaatan määritelmäFunktion f(x) derivaatta kohdassa x0

f ´(x0) =

eli kohdassa x0 lasketun EOM:n raja-arvo

raja-arvon ollessa olemassa, on funktio f derivoituva kohdassa x0

Jos EOM:llä vain oikeanpuoleinen (vasemmanpuoleinen) raja-arvo, niin f on kohdassa x0 oikealta (vasemmalta) derivoituva.

Merkinnätf’ (x0+) [f ’ (x0-) ]

Derivaatan määritelmä voidaan kirjoittaa myös muotoon

h

xfhxfxf

h

)()()(' 00

00 lim

E.2. Mikä on funktion f(x) = x2 + 2x + 3 kohtaan x = 1 piirretyn tangentin kulmakerroin?

1

)1()(

x

fxf

1

)3121()32( 22

x

xx

3x

1

6322

x

xx

1

)3)(1(

x

xx

1

322

x

xx

4)3(lim1

x

x

Tangentin kulmakerroin

E.3. Olkoon f(x) = x2 - 3x. Laske f ‘ (1)

1

)1()(

x

fxf1

)131()3( 22

x

xx2x

1

232

x

xx1

)2)(1(

x

xx

121)2()1(' lim1

xf

x

3.1.3. Derivoituvuus ja jatkuvuus3.1.3. Derivoituvuus ja jatkuvuus

Olkoon funktio määritelty jollakin välillä I. Sanomme että f on derivoituva välillä I, jos se on derivoituva välin jokaisessa kohdassa.

LauseLauseDerivoituva funktio on aina jatkuva

(jatkuvuus on derivoituvuudelle välttämätön ehto, mutta ei riittävä)

3.1.4. Derivaattafunktio3.1.4. Derivaattafunktio

Kirjan E.1., s 69

Määritä funktion f(x) = x2 derivaatta kohdassa

a) -2 b) 1 c) ½ d) x0

d ensin:

0

0 )()(

xx

xfxf

0

20

2

xx

xx

0xx

00000 2)()(' lim0

xxxxxxfxx

0

00 ))((

xx

xxxx

4)2(2)2(' f

2)1(' f

1(½)' f

f(x) = x2

f ’(x) = 2x

E.4.E.4. (t. 168) Laske kahta erotusosamärän eri muotoa käyttäen funktion

derivaatta

0)(x 1

)( x

xf

0

0 )()(

xx

xfxf

x

f

0

0

11

xx

xx

0

00

0

xx

xxx

xxx

0

0

0

xx

xxxx

)( 00

0

xxxx

xx

0

1

xx

20

1

x

2

1)('

xxf

h

xfhxf

x

f )()(

hxhx11

h

hxxhx

hxxx

)()(

2

1

x

hhxxhxx)(

hhxx

h

)( )(

1

hxx kun h 0

Derivaattafunktio f’ on funktio, jonka arvot ovat annetun funktion f derivaatan arvoja kaikilla kohdilla x

Derivoiminen = derivaattafunktion (*derivaatta) muodostaminenMerkintöjä: f’ , Df, df/dx, y’, dy/dx (ks. E.2. s.70)

Vakiofunktion derivaatta Dc = 0

Identtisen funktion derivaatta D(x) = 1

ks. E.3. kirja s. 71

3.1.5. Korkeamman kertaluvun derivaatat3.1.5. Korkeamman kertaluvun derivaatat

Toisen kertaluvun derivaatta f ’’

2

2

2

22

dx

yd ,'y' ,

dx

fd f,D

n

n(n)

n

nn

dx

yd ,y ,

dx

fd f,D

Yleisesti:

”derivoidaan derivaattafunktio”

Kirjan esimerkki 1, s. 72