TRABAJO COLABORATIVO MOMENTO 6

ANA MILAGROS GUERRERO ROMO CDIGO: 1075223333

JUAN PABLO BECERRA CDIGO: 1057597918

ANA XIMENA NIEVES CASTRO CDIGO: 49607394

YERLY TATIANA SERENO CARPIO CDIGO: 1065894229

Tutor:

WILLIAM MAURICIO SENZ

Grupo: 301301_66

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

ALGEBRA, TRIGONOMETRA Y GEOMETRA ANALTICA

2015

INTRODUCCIN

La geometra analtica o llamada tambin Geografa Matemtica es la ciencia que combina

el lgebra y la Geometra para describir figuras geomtricas planas desde el punto de vista

algebraico y geomtrico. Esto se podra resumir diciendo que dada grfica, se debe

encontrar una ecuacin que la describa matemticamente, o dando el modelo matemtico,

hacer la figura que la muestre grficamente. En este orden de ideas, el trabajo a desarrollar

ser el anlisis de diversas figuras geomtricas como analizar las clases y propiedades de la

recta resolviendo secciones cnicas, sumatorias y productorias cuya estrategia de solucin

requiera de explicar y analizar los fundamentos de la recta, para lograr una completa

interpretacin en diferentes contextos. Por lo cual el aprendizaje es basado en tareas,

obteniendo como resultado una correcta comprensin de la unidad # 3.

ACTIVIDAD

Resolver cada uno de los siguientes problemas propuestos:

1. De la siguiente elipse 4x 2 + y2 8x + 4y 8 = 0. Determine:

a. Centro

b. Focos

c. Vrtices

42 + 2 8 + 4 8 = 0

(42 8) + (2 + 4) = 8

4(2 2) + (2 + 4) = 8

4(2 2 + 12) + (2 + 4 + 22) = 8 + 4 + 4 = 16

4( 1)2

16+

( + 2)2

16=

16

16

( 1)2

4+

( + 2)2

16= 1

2 = 16 = 4

2 = 4 = 2

h=1

K=-2

Centro

C (h, k)

C (1,-2)

= 2 2

= 16 4

= 12

= 3.46

Vrtices

1 = (1 4,2)

1 = (3, 2)

2 = (1 + 4, 2)

2 = (5 2)

Focos

F1 = (1 3.46, 2)

F1 = (2.46, 2)

F2 = (1 + 3.46, 2)

F2 = (4.46, 2)

2. Deduzca una ecuacin cannica de la elipse que satisfaga las condiciones

indicadas: Vrtices en (3,1) y (3,9) y eje menor de longitud = 6.

La ecuacin cannica de una elipse es:

( )2

2+

( )2

2= 1

Los valores del punto (h, K) corresponden al nuevo origen tras una traslacin y como los

vrtices tienen coordenadas no nulas, se ve afectado por una.

Los vrtices son (3,1) y (3,9), como la entrada x es igual, el valor de h=3, porque se desplaz

la elipse 3 unidades a la derecha. La diferencia entre las y es 8, y esta distancia equivale

a 2c, es decir, c=4 y por lo tanto, y se desplaz 4 unidades hacia arriba. Todo esto nos lleva

a que la ecuacin se transforma en:

( 3)2

2+

( 4)2

2= 1

Ahora solo falta obtener los valores de a y b. Adems, como los valores de las ordenadas de

los vrtices son distintos, la elipse es vertical y b>a.

Basta con recordar que a, b y c se relacionan en la elipse de esta forma (porque b>a):

2 = 2 2

Y como c=4 (y c2=16), entonces la ecuacin anterior se transforma en:

16 = 2 2

Despejando b2, se obtiene:

16 + 2 = 2

As la ecuacin que debemos hallar (la de la elipse) se transforma en:

( 3)2

2+

( 4)2

2 + 16= 1

Hasta ahora, hemos logrado reducir todo a una sola incgnita de la variable a, cuando

encontremos su valor, se habr resuelto el ejercicio.

El ltimo dato es sobre el eje menor, el cual corresponde a 2a (lo que necesitamos),

entonces como este eje mide 6, se concluye que a=3 (y a2=9), entonces la ecuacin

cannica de la elipse buscada es:

( 3)2

9+

( 4)2

9 + 16= 1

( 3)2

9+

( 4)2

25= 1

3. De la siguiente hiprbola 4x2 9y2 16x 18y 29 = 0. Determine:

a. Centro

b. Focos

c. Vrtices

Anlogamente a la elipse, llevamos la ecuacin general de la hiprbola a su forma cannica.

( )2

2

( )2

2= 1

42 16 92 18 29 = 0

4(2 4 + 4) 9(2 + 2 + 1) = 29 + 16 9

4( 2)2 9(4 + 1)2=36

Dividir por 36 la ecuacin anterior

( 2)2

9

( + 1)2

4= 1

Centro

2 = 9 = 3

2 = 4 = 2

h=2

k=-1

C=(2, -1)

= 2 + 2

= 9 + 4

= 13

C=3.60

Focos

1 = ( , )

1 = (2 3.60,-1)

1 = (1.6, 1)

2 = ( + , )

2 = (2 + 3.60, 1)

2 = (5.6, 1)

Vrtices

1 = ( , ) 1 = (2 3, 1) 1 = (1, 1)

2 = ( + , ) 2 = (2 + 3, 1) 2 = (5, 1)

4. Deduzca una ecuacin de la hiprbola que satisfaga las condiciones indicadas:

V1 (1, 11) y V2 (1, -15), F1 (1,12) y F2 (1, -16).

V1 (1, 11) y V2 (1, 15)

Hiprbola vertical

Eje focal

x = 1

Centro

Xc = 1

Yc = (11 + (15)

2) =

4

2= 2

F1 (1,12) y F2 (1, 16)

Distancia focal

c = (12 (16))

2 =

28

2= 14

Eje real

a = (11 (15))

2 =

26

2 = 13

Eje transverso

b = (c2 a2) = (142 132)

b = 196 169

b = 27

(y + 2)2

132+

(x 1)

27

2

= 1

5. Demostrar que la ecuacin x 2 + y2 8x - 6y = 0 es una circunferencia.

Determinar:

a. Centro

b. Radio

FORMA ORDINARIA:

(x-h) + (y-k) = r

Hallando:

x + y - 8x - 6y = 0

agrupamos las "x" y las "y"

(x-8x) + (y -6y) = 0

para formar cuadrados tenemos que agregar la mitad del segundo trmino al cuadrado, sin la

variable:

Ejemplo: 8x/2 = 4; ahora 4 =16

6y/2 = 3; ahora 3 =9

y para que no se afecte agregamos al otro lado la misma cantidad

(x-8x+16) + (y-6y+9) =0 + 16 + 9

(x-8x+16) + (y-6y+9) =25

Entonces tenemos as:

(x-4) + (y-3) = 5

(x-h) + (y-k) = r

Son iguales las ecuaciones entonces es una circunferencia:

a) Hallamos el centro que es igual (h,k)

(4,3)

b) Hallamos el radio que es r es 5

6. De la siguiente parbola y 2 + 12x + 10y 61 = 0. Determine:

a. Vrtice

b. Foco

c. Directriz

La escribimos con el trmino cuadrtico positivo.

y - 12 x - 10 y + 61 = 0

La forma ordinaria de la ecuacin para este caso es.

(y - k) = 2 p (x - h) donde (h, k) son las coordenadas del vrtice y p es la distancia entre el

foco y la recta directriz.

Completamos cuadrados en la ecuacin general.

y - 10 y + 25 = 12 x - 61 + 25 = 12 x - 36

(y - 5) = 12 (x - 3)

Luego el vrtice es V (3, 5); p = 6

Foco: F (h + p/2, k) = F (3 + 3, 5) = (6, 5)

Recta directriz: x = h - p/2 = 3 - 3 = 0

7. Determine la ecuacin de la recta que cumple las condiciones dadas: pasa por

(1, 7); paralela a la recta que pasa por (2, 5) y (-2, 1).

=> m = (1 - 5) / (-2 - 2)

=> m = -4 / -4

=> m = 1.....(pendiente)

Con la forma punto-pendiente: y - y(o) = m(x - x(o))

Con cualquiera de los puntos

B(-2, 1) y m= 1

Reemplazando valores:

=> y - 1 = 1 (x - (-2))

=> y - 1 = (x + 2)

=> y = x + 2 + 1

=> y = x + 3 ........(Pendiente m=1)

Con el punto C(1,7) y la pendiente m=1 por ser paralelas sus pendientes son iguales:

Punto-Pendiente: y - y(o) = m (x - x(o))

=> y - 7 = 1 (x - 1)

=> y - 7 = x - 1

=> y = x - 1 + 7

=> y = x + 6 => RESPUESTA.

8. Calcular las siguientes sumatorias:

a) =

+ ( + 1)

300(300+1)= 300(301)= 90300

b) ( + )=

= (42 + 4 + 1)

3

=1

= 4 23

=1

+ 4

3

=1

+ 1

3

=1

= 4 [( + 1)(2 + 1)

6] + 4 [

( + 1)

2] + 3

= 4 [3(4)(7)

6] + 4 [

3 4

2] + 3

= 56 + 24 + 3 = 83

9. Calcular las siguientes productorias:

a) + = 4 7 10 13 16 19=

=1106560

b)

()+ = (

2

1+ 3)4=2 (

3

31+ 3) (

4

41+ 3)

= (5) (3

2+

3

1) (

4

3+

3

1)

= (5) (9

2) (

13

3)

= (19

2) (

13

3) =

57 + 26

6=

83

6

CONCLUSIN

En conclusin describimos e interpretamos analtica y crticamente figuras geomtricas, las

clases y propiedades de la recta resolviendo secciones cnicas, sumatorias y productorias,

basado en un aprendizaje en tareas lo cual permite el total desarrollo de la actividad del

momento 6.

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

-GEOMETRA ANALTICA SUMATORIAS Y PRODUCTORIAS

file:///C:/Users/Ana/Documents/algebra%20trigonometria%20y%20geometria/unidad++

tres.pdf