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ALGEBRA, TRIGONOMETRIA Y GEOMETRIA ANALITICA

ACTIVIDAD COLABORATIVA MOMENTO 2

BEATRIZ ALEJANDRA VILLAMARIN RENGIFO - 1061712290

MAYRA ALEJANDRA CÁCERES FORERO - 1098643781JESUS DAVID CASTRO BONILLA - 86086410

MIREYA ESPERANZA ZEMANATE MUÑOZ - 34316892

Grupo 301301_99

Docente:

NOLFER ALBERTO RICO BAUTISTA

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA “UNAD”

CUCUTA, ABRIL 2016

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INTRODUCCION

Las matemáticas son un área fundamental en todos los campos del saber, y de nuestra vida

cotidiana, pues a través de ellas siempre se buscar resolver, interrogantes que nos aquejan,en las áreas de la geometría, la aritmética y el álgebra, y siempre se ha enfocado por buscarlos fundamentos que demuestren sus reglas y aplicaciones; podemos afirmar con certezaque las matemáticas, están presentes en nuestra vida todos los días, de manera tan sencillaque a veces no nos percatamos que están allí.

Mediante la realización de esta actividad, se busca, que nuestros conocimientos, seanpuestos en práctica, y a través del desarrollo de ejercicios sencillos, acrecentar elconocimiento matemático que poseemos, en esta actividad, resolveremos ejercicios deecuaciones lineales, ecuaciones con fracciones, ecuaciones de valor absoluto, ecuacionesde segundo grado, desigualdades e inecuaciones, entre otros, y con la participación grupalen el desarrollo de los ejercicios se logra obtener un mejor resultado, pues existeconfrontación de ideas, lo que hace que podamos obtener una opinión diversificada, sobre laactividad realizada.

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+ 6 6x + 36 6 + 36

+ 6 Parte 3,

+ 3 10 + 5

Factorizamos,

+ 3x 10 + 5

x + 5 2 + 5

+ 5xx 2 + 5

2 Parte 4,

+ 6 7x + 7

Factorizamos, buscamos dos números que sumados den 6 y multiplicados den 7,

X 7

X -1

x + 7 + 1x + 7

1

Quedaría de esta manera despejada

2 + 14 + + 6 + 2 1 = 0 Despejamos paréntesis y las x

2 + 14 + + 6 + 2 + 1= 0 2 + + = 14 6 + 2 1

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3 = 19

= 193

Comprobación,

19/3 + 3 2 193 + 22193 + 56

− + 7 193 + 12 +

193 + 216 193 6

193 + 36

+ 193 + 3

193 10

193

193 + 5193

193 + 6

193 7

193 + 7 = 0

1.33 – 0.33 – 8.33 + 7.33 = 0 0 = 0

Comprobamos con geógebra,

Respuesta:

=

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2. Resuelva la siguiente ecuación y compruebe su solución:

=

Primero destruimos los paréntesis, aplicando la ley de los signos,

7 15 = 26 3 42 7 15 = 26 18 8 + 4

Sumamos los términos iguales,

7 15 = 210 26 Destruyo los paréntesis que me faltan,

7 15 = 20 + 52 Despejamos la c sin olvidar los signos,

7 + 20 = 52+ 15 27 = 67

= 6727 Comprobación,

7 15 = 26 3 42

76727 15 = 2 [6 6727 3 42

6727]

Realizamos la operación en el mismo orden que para hallar la incógnita, destruyendo primerolos paréntesis,

76727 15 = 2 [ 8427 5227] 46927 15 =

6427

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6427 =

6427


Respuesta:

=

3. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones y compruebe la solución:

+ = + = =

Utilizamos el método de Gauss,

2 3 + 2 = 1 +2 = 14 3 = 5

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Despejamos x en f (z) en la tercera ecuación,

3 = 5 = 3 5

Utilizamos este valor de x en la segunda ecuación, para hallar y en f(z),

+ 2 = 14 3 5 + 2 = 14 3 + 2 = 14 + 5

3 + 2 = 19 2 = 19 3

= 19 32 Reemplazamos en la primera ecuación, las variables en f (z),

2 3 + 2 = 1

23 531 9 3 2 + 2 = 1 Eliminamos el denominador, multiplicando por 2

43 5 319 3 + 4 = 2

Desarrollamos,

12 20 57 + 9 + 4 = 2 25 77 = 2 25 = 77 2

25 = 75

= 7525

= 3 Una vez hallado el valor de z, hallamos el valor de x en la tercera ecuación,

3 = 5 3 × 3 = 5

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9 = 5 = 9 5

= 4 Ahora hallamos el valor de y en la segunda ecuación,

+ 2 = 14 4 + 2 = 14 2 = 14 4

2 = 10

= 10

2

= 5 Comprobación,

Ecuación 1,

2 3 + 2 = 1 2 × 4 3 × 5 + 2 × 3 = 1

8 15 + 6 = 1

1 = 1 Ecuación 2,

+ 2 = 14 4 + 2 × 5 = 14

4 + 10 = 14 14 = 14

Ecuación 3, 3 = 5 4 3 × 3 = 5

4 9 = 5 5 = 5

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Respuesta: = , = , =

4. Un ingeniero químico desea preparar una solución resultante a partir de dossoluciones base, la primera solución denominada X, tiene una concentración al25% de HCl, y la segunda solución denominada Y, tiene una concentración al30% de HCl, la cantidad resultante de solución debe ser de 300 ml, con unaconcentración al 28% de HCl, ¿Cuántos mililitros de solución X y Y se debenmezclar?

X [ ] 25% de HCl

Y [ ] 30% de HCl

X 0.25 + Y 0.30 = 300*28

Entonces tenemos,

Ecuación uno

+ = 300

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Ecuación dos

0.25 + 0.30 = 84 Ahora despejamos X de la ecuación uno y reemplazamos en la ecuación dos.

= 300 300 0.25 + 0.30 = 84

Solucionamos,

75 0.25 + 0.30 = 84 75 0.05 = 84 0.05 = 84 75

= 84 750.05

= 90.05 = 180

Ya sabiendo el valor de Y ahora reemplazamos y despejamos X en la ecuación uno:

+ = 300

+ 180 = 300 = 300 180 = 120

Comprobación,

Ahora para comprobar además de reemplazar los números correspondientes a X y Y, quedeben sumar 300, también se deben multiplicar las concentraciones y sus respectivosvolúmenes, estos valores deben sumar el 28% de la concentración de las dos mezclas, esdecir 84.

= 120 × 0.25 = 30

= 180 × 0.30 = 54

Por lo tanto x+ y es igual a 84

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Respuesta: se deben mezclar 120 ml de solución x, y 180 ml de solución y.

5. Resuelva la siguiente ecuación con radicales y compruebe su solución:

√ + √ = Primero, comenzamos dejando en un lado un solo radical

√ 4 + 1 = 8 + √ 2 3 Luego elevamos al cuadrado ambos lados

√ 4 + 1 = 8 + √ 2 3

Desarrollamos a ambos lados y tendremos:4 + 1 = 16√ 2 3 + 2 + 61

Pasamos el valor con x y el número al lado izquierdo:

4 + 1 2 61 = 16√ 2 3 Simplificando tenemos:

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2 + 60 = 16√ 2 3 Elevamos ambos lados al cuadrado:

2 +60 = 16√

2 3 Desarrollamos

4 240 + 3600 = 256 × 2 3 4 240 + 3600 = 512 768

Igualamos la ecuación a 0;

4 240 + 3600 512 + 768 = 0 4 752 + 4368 = 0

Para una ecuación de segundo grado la fórmula es:

, = ± √ 4

2 Desarrollamos para x1,

= 752 +√752 4 × 4 × 4368

2 × 4

=

752 + √752 4 × 4 × 4368

2 × 4

= 182 Desarrollamos para x2,

= 752 √752 4 × 4 × 4368

2 × 4

= 752 √752 4 × 4 × 4368

2 × 4

= 6 Comprobación,

Con x1;

√ 4 × 182 + 1 √ 2 × 182 3 = 8 √ 729 √ 361 = 8

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8 = 8 Con x1 es correcto.

Ahora verificamos con x2,

√ 4 × 6 + 1 √ 2 × 6 3 = 8 √ 25 √ 9 = 8

5 3 = 8 2 = 8

Con x2 es incorrecto,

Comprobamos geógebra,

Respuesta: = 182

6. Resuelva la siguiente inecuación y compruebe su solución:

+ ≤

Primero pasamos el 5 al lado izquierdo para garantizar el 0 en el lado derecho, como espositivo pasa con signo contrario,

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4 + 13 5 5 ≤ 0

Para igualar podemos agregar un 1 como denominador, debajo del 5,

4 + 13 5 51 ≤ 0 Realizamos una resta de fraccionarios,

4 + 1 53 53 5 ≤ 0

4 + 1 15 + 253 5 ≤ 0

11 +26

3 5 ≤ 0

Debemos hallar los puntos críticos tanto para el numerador como para el denominador,igualándolos a 0

Para el numerador:

11 +26 = 0 11 = 26

= 26

11

Aplicamos la ley de los signos,

= 2611

Este es el punto crítico, para el numerador, como la desigualdad nos dice que es≤, estepunto es cerrado,

Ahora hallamos punto crítico para el denominador,

3 5 = 0

3 = 5 = 53

Este es el punto crítico del denominador, y será abierto pues nunca es cerrado el punto deldenominador.

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Verificamos los signos para ver que cumplan con la condición escogiendo un número paracada intervalo en este paso solo nos interesan los signos:

X=111 +26

3 5 ≤ 0 +

X=211 + 26

3 5 ≤ 0 ++

X=311 +26

3 5 ≤ 0 +

∞ En este intervalo el signoresultante es negativo, porlo tanto si se cumple lacondición.

En este intervalo el signoes positivo, por lo tanto nose cumple la condición.

∞ En este intervalo el signoresultante es negativo, porlo tanto si se cumple lacondición.

El conjunto que contiene la solución para esta desigualdad es ∈ ∞, ∪ , ∞

Comprobación,

Podemos comprobar tomando los tres valores que escogimos para hallar los signos, de cada

uno de los tres intervalos de la gráfica, y resolvemos la ecuación:Para X = 1,

4 + 13 5 ≤ 5

4 × 1 + 13 × 1 5 ≤ 5

52 ≤ 5

Se cumple la condición,

Para X = 2,

4 + 13 5 ≤ 5

4 × 2 + 13 × 2 5 ≤ 5

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91 ≤ 5

9 ≤ 5

En este intervalo evidentemente no se cumple la condición,

Para X = 3,

4 + 13 5 ≤ 5

4 × 3 + 13 × 3 5 ≤ 5

134 ≤ 5 Para este intervalo evidentemente si se cumple la condición.


Respuesta: El conjunto que contiene la solución para esta desigualdad es ∈ ∞, ∪ , ∞

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7. Resuelva la siguiente inecuación y compruebe su solución:

+ + ≤

Primero pasamos el 3 al lado izquierdo para garantizar el 0 en el lado derecho, como espositivo pasa con signo contrario,

3 + 9 + 3 3 ≤ 0

Para igualar podemos agregar un 1 como denominador, debajo del 3,

3 + 9 + 3

31 ≤ 0

Realizamos una resta de fraccionarios,

3 + 9 3 × + 3 + 3 ≤ 0

3 +9 3 9 + 3 ≤ 0

6 + 3 ≤ 0

Factorizamos,

× 6 + 3 ≤ 0 Debemos hallar los puntos críticos tanto para el numerador como para el denominador,igualándolos a 0.

Para el numerador:

= 0 6 = 0

= 6

En este caso tenemos dos puntos críticos para el numerador.

Estos son los puntos críticos, para el numerador, como la desigualdad nos dice que es≤,estos puntos son cerrados

Ahora hallamos punto crítico para el denominador,

+ 3 = 0

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= 3 Este es el punto crítico del denominador, y será abierto pues nunca es cerrado el punto deldenominador.

Verificamos los signos para ver que cumplan con la condición escogiendo un número paracada intervalo en este paso solo nos interesan los signos:

X=-4 × 6

+ 3 ≤ 0

+

X=-1 × 6

+ 3 ≤ 0

++

X=2 × 6

+ 3 ≤ 0 +

X=8 × 6

+ 3 ≤ 0

++

∞

En este intervalo elsigno resultante esnegativo, por lotanto si se cumplela condición.

En este intervalo elsigno es positivo,por lo tanto no secumple lacondición.

En este intervalo elsigno resultante esnegativo, por lotanto si se cumplela condición.

∞

En este intervalo elsigno es positivo,por lo tanto no secumple lacondición.

-3 0 6

El conjunto que contiene la solución para esta desigualdad es ∈ ∞,3 ∪ 0, 6

Comprobación,

Podemos comprobar tomando los cuatro valores que escogimos para hallar los signos, decada uno de los tres intervalos de la gráfica, y resolvemos la ecuación:

Para X = -4,

4 3 × 4 + 9 4 + 3 ≤ 3 16 + 12 + 9

4 + 3 ≤ 3 371 ≤ 3

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37 ≤ 3 Para este valor se cumple la condición;

Para X = -1,

1 3 × 1 + 9 1 + 3 ≤ 3

1 + 3 + 92 ≤ 3

132 ≤ 3

Para este valor no se cumple la condición;

Para X = 2,

2 3 × 2 + 92 + 3 ≤ 3

4 6 + 92 + 3 ≤ 3

75 ≤ 3

Para este valor se cumple la condición;

Para X = 8,

8 3 × 8 + 98 + 3 ≤ 3

64 24 + 9

8 + 3 ≤ 3

4911 ≤ 3

Para este valor no se cumple la condición;

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Respuesta: El conjunto que contiene la solución para esta desigualdad es ∈ ∞, ∪,

8. Encuentre la solución para la siguiente ecuación con valor absoluto ycompruebe su solución:

+ =

Para ecuaciones de valor absoluto aplicamos la ley que dice

|| = || =

Entonces, desarrollamos para cada una de las condiciones,

Para || = 6 + 5 = 4

6 + 5 4 = 0

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6 + 1 = 0 Para una ecuación de segundo grado la fórmula es:

, = ± √ 4

2 Desarrollamos para x1,

= 6 +√6 4 × 1 × 1

2 × 1

= 2 × √ 2 + 3 Desarrollamos para x2,

= 6

√6

4 × 1 × 12 × 1 = 3 2 × √ 2

Para || = 6 + 5 = 4

6 + 5 + 4 = 0

6 + 9 = 0 Esta ecuación la podemos resolver mediante factorización,

3 = 0 3 = 0

= 3

Comprobación,

Verificamos cuales valores cumplen las condiciones

Para

= 2 × √ 2 + 3 Tenemos,

(2 × √ 2 + 3) 6 × (2 × √ 2 + 3) + 5 = 4

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34 35 + 5 = 4 4 = 4

Se cumple la condición,

Para

= 3 2 × √ 2 Tenemos,

(3 2 × √ 2) 6 × (3 2 × √ 2) + 5 = 4 0.030 1.030 + 5 = 4

4 = 4

Se cumple la condición,Para

= 3 Tenemos,

|3 6 × 3 + 5| = 4 9 18 + 5 = 4

4 = 4 Se cumple la condición,


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Respuesta:

= { ; × √ + ; × √}

9. Encuentre la solución para la siguiente inecuación con valor absoluto ycompruebe su solución:

≤

Las desigualdades de la forma || ≤ se desarrollan de la forma ≤ ≤

Aplicando esta relación, tenemos

8 ≤ 2 122 ≤ 8 Multiplicamos por dos los tres lados de la ecuación,

8 × 2 ≤ 2 122 × 2 ≤ 8 × 2 Desarrollamos,

16 ≤ 2 12 ≤ 16 Le sumamos 12 a todos los tres lados de la ecuación,

16 + 12 ≤ 2 12 + 12 ≤ 16 + 12 Simplificamos,

4 ≤ 2 ≤ 28 Dividimos por dos, los tres lados de la ecuación;

4

2 ≤ 2

2 ≤ 28

2

Y desarrollamos,

2 ≤ ≤ 14

Comprobación,

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Podemos comprobar si se da la condición de la desigualdad, tomando el valor de unextremo, y verificando que se cumple la condición para él.

Para X = 14

2 × 14 122 ≤ 8 28 12

2 ≤ 8 162 ≤ 8

8 ≤ 8 Si se cumple la condición,


Respuesta: El conjunto que contiene la solución es ∈ ,

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CONCLUSIONES

Mediante la práctica de los ejercicios planteados, se lograron acrecentar

nuestros conocimientos. La herramienta en línea geógebra, es muy útil a la hora de verificar, si nuestras

ecuaciones, fueron resueltas de manera apropiada y la respuesta es correcta. El trabajo colaborativo nos permitió, debatir sobre la temática, analizar los

ejercicios realizados por los demás, y así lograr articular un trabajo final idóneo. Cuando se desarrolla una ecuación, no todos, la afrontamos de la misma

manera, y esto nos permitió, ver que existen diversas formas de resolver unproblema, y obtener el mismo resultado.

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REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

RONDON, Jorge. Módulo álgebra, trigonometría y geometría analítica (segunda

edición)

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD –ESCUELADE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA UNIDAD DE CIENCIASBÁSICAS, Bogotá 2009.

BARNET, Raymond. Álgebra y trigonometría. Mc Graw Hill, México, 1.978 _____Precalculo, FUNCIONES Y Gráficas, Mc Graw Hill, México, 1.999 LEITHOLD, Louis.

Álgebra y Trigonometría, con Geometría Analítica. Video, Problema 1 con Sistema de Ecuaciones Lineales 2x2, recuperado de:

https://www.youtube.com/watch?v=1N18S7rqOAo Video, Resolviendo sistemas de ecuaciones en GeoGebra, recuperado de:

https://www.youtube.com/watch?v=zPUloU31FIQ Video, Ecuaciones con valor absoluto, recuperado de:

https://www.youtube.com/watch?v=gicOKXkRIFM Video, Desigualdades Racionales - Ejercicio 1 (Parte 1), recuperado de:

https://www.youtube.com/watch?v=O75Nsbws_CQ
https://www.youtube.com/watch?v=1N18S7rqOAohttps://www.youtube.com/watch?v=1N18S7rqOAohttps://www.youtube.com/watch?v=zPUloU31FIQhttps://www.youtube.com/watch?v=zPUloU31FIQhttps://www.youtube.com/watch?v=gicOKXkRIFMhttps://www.youtube.com/watch?v=gicOKXkRIFMhttps://www.youtube.com/watch?v=O75Nsbws_CQhttps://www.youtube.com/watch?v=O75Nsbws_CQhttps://www.youtube.com/watch?v=O75Nsbws_CQhttps://www.youtube.com/watch?v=gicOKXkRIFMhttps://www.youtube.com/watch?v=zPUloU31FIQhttps://www.youtube.com/watch?v=1N18S7rqOAo

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