personal.us.es 3: propagación de una onda en una guía de ondas rectangular como superposición de...

c© Rafael R. Boix 1

GUÍAS DE ONDAS• Son tuberías metálicas huecas de sección transversal arbitraria(cuadrada, cilíndrica, elíptica, . . .) que permiten transmitir las ondaselectromagnéticas de forma �con�nada� entre dos puntos distintos (porejemplo, un generador y una antena).

• Se utilizan a fecuencias de microondas: 300 MHz (3 · 108 Hz)<f <300 GHz (3 · 108 Hz). Constituyen una alternativa a las líneas detransmisión, y son insustituibles en aplicaciones en las que se requierenaltos niveles de potencia.

♣ MODOS PARA GUÍAS DE ONDAS SIN PÉRDI-DAS RELLENAS DE AIRE• Existe un conjunto in�nito pero numerable de ondas electromag-néticas diferentes (soluciones de la ecuación de ondas) que se puedenpueden propagar por una guía de ondas. Se las conoce como modos.

• Consideremos una guía de ondassin pérdidas (las paredes son con-ductores ideales) rellena de aire(conductividad despreciable, per-mitividad ε0 y permeabilidad µ0).Sea z el eje de la guía, sea la su-per�cie S la sección transversal dela guía, sea C el contorno de lasección transversal, sea τ un vec-tor unitario tangente a C y sea Figura 1: Guía de ondas rellena de aire.


y sea n un vector unitario normal a las paredes de la guía (n]C =

z × τ ). Supongamos que los campos eléctrico y magnético de lasondas que se pueden propagar por la guía admiten una expresión deltipo:

E(r, t) = Re[E(r)ejωt

]=

Re[(et(x, y) + ez(x, y)z ) ej(ωt−βz)

](1)

H(r, t) = Re[H(r)ejωt

]=

Re[(ht(x, y) + hz(x, y)z ) ej(ωt−βz)

](2)

donde E(r) y H(r) son los fasores asociados a E(r, t) y H(r, t).

Dentro de la guía E y H deben satisfacer las ecuaciones de ondas:

∇2E− µ0ε0∂2E

∂t2= 0 (3)

∇2H− µ0ε0∂2H

∂t2= 0 (4)

con las condiciones de contorno:

E · τ ]C = 0 (5)H · n]C = 0 (6)

ya que se han supuesto ideales las paredes conductoras de la guía.

Particularizando las ecuaciones (3) y (4) para la componente z yteniendo en cuenta las ecuaciones (1) y (2) en la ecuación resutante,se llega a que ez y hz deben satisfacer en S las siguientes ecuacionesdiferenciales (ejercicio):

∇2tez + (k2

0 − β2)ez = 0 (7)∇2

thz + (k20 − β2)hz = 0 (8)


donde ∇t = ∇− ∂∂z z y k0 = ω

√ε0µ0 = ω

c es el número de ondas deuna onda plana que se propaga por el aire.

Por otro lado, introduciendo (1) y (2) en las ecuaciones de Maxwellpara los rotacionales de E y H, se llega a que (ejercicio):

et =1

k20 − β2

[jωµ0z ×∇thz − jβ∇tez] (9)

ht = − 1

k20 − β2

[jωε0z ×∇tez + jβ∇thz] (10)

Teniendo en cuenta las ecuaciones (9) y (10), es fácil comprobarque para que se satisfagan las condiciones de contorno (5) y (6), bastacon que se satisfagan las condiciones de contorno (ejercicio):

ez]C = 0 (11)

n · ∇thz]C =∂hz

∂n

]

C

= 0 (12)

Por tanto, para obtener los modos de una guía de ondas, bastacon resolver las ecuaciones (7) y (8) sometidas a las condiciones decontorno (11) y (12). Una vez conocidos ez y hz, es posible obtener et

y ht (y, por tanto, las componentes transversales de E y H) haciendouso de (9) y (10).

• Modos TE (transversales eléctricos)Para estos modos, se cumple que ez = 0. La determinación de

estos modos requiere resolver en S el problema de Sturm�Liouvillebidimensional:

∇2thz + k2

chz = 0 ; ∂hz

∂n

]

C

= 0 (13)


que tiene un conjunto in�nito numerable de autofunciones hz y auto-valores k2

c = k20− β2. Para los modos TE, et y ht se obtienen a partir

de (véanse las ecuaciones (9) y (10)):

et =jωµ0

k20 − β2

z ×∇thz (14)

ht = − jβ

k20 − β2

∇thz (15)

• Modos TM (transversales magnéticos)Para estos modos, se cumple que ez = 0. La determinación de

estos modos requiere resolver en S el problema de Sturm�Liouvillebidimensional:

∇2tez + k2

cez = 0 ; ez]C = 0 (16)que, de nuevo, tiene un conjunto in�nito numerable de autofuncionesez y autovalores k2

c . De acuerdo con (9) y (10), en este caso et y ht

se obtienen a partir de:

et = − jβ

k20 − β2

∇tez (17)

ht = − jωε0

k20 − β2

z ×∇tez (18)

• Modos TEM (transversales electromagnéticos)Son modos para los que ez = hz = 0. Estos modos (típicos de

las líneas de transmsión) no se pueden propagar por las guíasde ondas. De hecho, si ez = hz = 0, a partir de las ecuaciones deMaxwell se deduce que en S se veri�ca que:

∇t × et(x, y) = 0 ⇒ et(x, y) = −∇tφ(x, y) (19)∇t · et(x, y) = 0 ⇒ ∇2

tφ(x, y) = 0 (20)


Y como φ(x, y)]C = K, de acuerdo con el teorema de unicidad parala ecuación de Laplace, se cumple que φ(x, y)]S = K y et]S =

−∇tφ]S = 0, con lo cual, ht = 0

♣ LA GUÍA DE ONDAS RECTANGULAR• Modos TEmn

En este caso la ecuación (13) seconvierte en:

∂2hz

∂x2+

∂2hz

∂y2+ k2

chz = 0 (21)

con las condiciones de contorno:∂hz

∂x

]

x=0

=∂hz

∂x

]

x=a

=

∂hz

∂y

]

y=0

=∂hz

∂y

]

y=b

= 0 (22)Figura 2: Guía de ondas rectangular.

Las soluciones a la ecuación (21) con las condiciones de contorno(22) se pueden obtener mediante el método de separación de variables,y vienen dadas por (ejercicio):

hz,mn(x, y) = ATEmn cos

(mπx

a

)cos

(nπy

b

)(23)

m,n = 0, 1, 2, 3, . . . ; m = n 6= 0

siendo: (kTE

c,mn

)2=

(mπ

a

)2

+(nπ

b

)2

(24)

hz,mn son las autofunciones y(kTE

c,mn

)2 son los autovalores del proble-ma de Sturm�Liouville planteado. A las ondas electromagnéticas quese obtienen a partir de (23) y (24) se les llama modos TEmn. De


acuerdo con (24), se llega a que:

k20 −

(βTE

mn

)2=

(mπ

a

)2

+(nπ

b

)2

⇒

βTEmn =

√(ω

c

)2

−(mπ

a

)2

−(nπ

b

)2

(25)

Si ω > c√(

mπa

)2+

(nπb

)2,entonces βTEmn es un número real y el

modo TEmn se puede propagar por la guía (modo propagativo).

En cambio, si ω < c√(

mπa

)2+

(nπb

)2,entonces βTEmn es un número

imaginario y el modo TEmn no se puede propagar por la guía ya quela amplitud de los campos decae exponencialmente con la distancia(modo al corte).Se de�ne la frecuencia de corte del modo TEmn como la frecuen-

cia a partir de la cual el modo pasa de estar al corte a ser propagativo,y viene dada por:

fTEc,mn = c

√(m

2a

)2

+( n

2b

)2

(26)

• Modos TMmn

En este caso la ecuación diferencial que hay que resolver es (véasela ecuación (16)):

∂2ez

∂x2+

∂2ez

∂y2+ k2

cez = 0 (27)


ez]x=0 = ez]x=a = ez]y=0 = ez]y=b = 0 (28)

La solución de (27) con las condiciones de contorno (28) viene dada


por:

ez,mn(x, y) = ATMmn sen

(mπx

a

)sen

(nπy

b

)(29)

m,n = 1, 2, 3, . . .

siendo: (kTM

c,mn

)2=

(mπ

a

)2

+(nπ

b

)2

(30)A los modos que se obtienen a partir de (29) se les llama modos

TMmn. Al igual que ocurre con los modos TEmn, las frecuencias decorte de los modos TMmn vienen dadas por:

fTMc,mn = c

√(m

2a

)2

+( n

2b

)2

(31)

• Propagación �monomodo� y ancho de bandaA una frecuencia dada, una guía de ondas soporta un número �ni-

to de modos propagativos y un número in�nito de modos al corte.Usualmente, conviene trabajar en el intervalo de frecuencias en el quesólo se propaga un modo (modo fundamental). Si se trabaja auna frecuencia a la que se propagan varios modos, la energía elec-tromagnética viaja por la guía repartida entre todos estos modos y,para poder recuperarla íntegramente, hay que utilizar un mecanismode detección especí�co para cada modo (además, la propagación �mul-timodo� produce distorsión ya que a una frecuencia dada, la constantede propagación β de cada modo suele ser distinta, y la velocidad depropagación, también). Si fc1 es la frecuencia de corte del primer modoy fc2 es la frecuencia de corte del segundo modo, se debe trabajar enel intervalo fc1 < f < fc2. En la práctica se suele utilizar aproximada-mente el intervalo 1,25fc1 < f < 0,95fc2 para reducir la atenuación


(el efecto de las pérdidas óhmicas en las paredes conductoras es máspronunciado para cada modo en las proximidades de su frecuencia decorte) y la distorsión (la dependencia de β con ω es fuertemente nolineal en las proximidades de la frecuencia de corte), y para evitartrabajar demasiado cerca de la frecuencia de corte del segundo modo.

Para una guía de ondas rectangular, el modo fundamental siempre esel modo TE10 (fc1 = c

2a). Si además se cumple que a > 2b, el segundomodo es el modo TE20 (fc2 = c

a = 2fc1). En el caso concreto de laguía de ondas rectangular WR�90 con la que vamos a trabajar en ellaboratorio (a = 2,286 cm y b = 1,016 cm), se cumple que fc1 = 6,562

GHz y fc2 = 13,123 GHz. Esta guía rectangular se suele utilizar enel intervalo 8.2 GHz<f<12.4 GHz (en el laboratorio, trabajaremos af ≈ 10,5 GHz). La existencia de la frecuencia de corte para el modofundamental y la necesidad de trabajar en régimen �monomodo� limitamucho el ancho de banda (intervalo útil de frecuencias) de las guíasde ondas, que suele ser muy inferior al de las líneas de transmisión(0 < f < fc1).

• El modo fundamental TE10

Para este modo, los fasores de E y H valen:

E = −jωµ0a

πATE

10 sen(πx

a

)y e−jβTE

10 z (32)

H = ATE10

(jβTE

10 a

πsen

(πx

a

)x + cos

(πx

a

)z

)e−jβTE

10 z (33)

La frecuencia de corte vale fTEc,10 = c

2a, y la constante de propagación


y la longitud de onda valen:

βTE10 =

√(ω

c

)2

−(π

a

)2

(34)

λTEg,10 =

2π

βTE10

=c√

f 2 − (fTE

c,10

)2(35)

El fasor de campo eléctrico se puede escribir como:

E =ωµ0a

2πATE

10

(e−j(βTE

10 z+πxa ) − e−j(βTE

10 z−πxa )

)y (36)

que corresponde a la superposición de dos ondas planas que se propa-gan en la dirección de los vectores número de ondas k+ = π

ax +βTE10 z

y k− = −πax + βTE

10 z . Otra forma de ver la propagación del modoTE10 por la guía es pensar en una onda plana que va rebotando enlas paredes de la guía, de forma que su vector número de ondas vatomando alternativamente los valores k+ y k−.

Figura 3: Propagación de una onda en una guía de ondas rectangular como superposición de dosondas planas que viajan en direcciones diferentes.


Si θ es el ángulo que forma la dirección de propagación de la ondacon el eje z, se va a veri�car que:

cos θ =βTE

10

|k+| =βTE

10√(βTE

10

)2+

(πa

)2=

√√√√1−(

fTEc,10

f

)2

(37)

La velocidad de fase en la dirección z (que es la velocidad conla que se mueven los planos de fase constante sobre las paredes de laguía) viene dada por:

vp =ω

βTE10

=c√

1−(

fTEc,10f

)2=

c

cos θ> c (38)

En una guía de ondas la velocidad de fase no tiene sentido físico.La velocidad de grupo es la componente de la velocidad de la

onda plana (c) a lo largo del eje z, esto es:

vg = c cos θ = c

√√√√1−(

fTEc,10

f

)2

< c (39)

La velocidad de grupo representa la velocidad con la que viaja laenergía del modo TE10 dentro de la guía de ondas, y también la ve-locidad con que viajan los paquetes de ondas (de extensión �nita enel tiempo) dentro de la guía. La velocidad de grupo es la que tienesentido físico para el modo TE10. Se cumple que:

vg =1

dβTE10

dω

(40)


•Guías de ondas rectangulares en presencia de obstáculosCuando una guía de ondas rectangular por la que viaja el modo

TE10 en sentido +z se encuentra un obstáculo, parte de la potencia sere�eja y en la guía se forma una onda estacionaria que es superposiciónde un modo TE10 incidente (que viaja en sentido +z) y de un modoTE10 re�ejado (que viaja en sentido −z).

Figura 4: Modos TE10 incidente y re�ejado en una guía de ondas terminada en un obstáculo.

A una distancia su�ciente del obstáculo (como para que todos losmodos al corte excitados por el obstáculo se hayan atenuado), el fasordel campo eléctrico en la guía se puede escribir:

E = −jωµ0a

πATE

10 sen(πx

a

)y e−jβTE

10 z(1 + ΓLe2jβTE

10 z)

(41)(z ≤ 0)

donde ΓL es un coe�ciente de re�exión similar al que se de�ne paralas líneas de transmisión acabadas en una impedancia de carga.


En el plano x = a2 donde la dependencia de E con x se hace máxima

(plano E de la guía), se veri�ca que:

E(x =a

2, z) = −jωµ0a

πATE

10 y e−jβTE10 z

(1 + ΓLe2jβTE

10 z)

=

CTE10 y e−jβTE

10 z(1 + ΓLe2jβTE

10 z)

(42)

y el módulo de E(x = a2, z) vale:

|E(x =a

2, z)| = |CTE

10 ||1 + ΓLe2jβTE10 z| =

|CTE10 |

{1 + |ΓL|2 + 2|ΓL| cos

(2βTE

10 z + φL

)}1/2 (43)

donde ΓL = |ΓL|ejφL (|ΓL| ≤ 1 siempre).

En el laboratorio se va a medir la dependencia de |E(x = a2, z)| con

z utilizando una sonda (pequeña antena) que penetra ligeramente enel plano E de una guía ranurada.

Figura 5: Sonda coaxial para medida en el plano E de una guía rectangular ranurada.

La medida se va a hacer en tres situaciones:


? CortocircuitoSe consigue colocando una placa metálica al �nal de la guía. Para

este caso, ΓL = −1, con lo cual:

|E(x =a

2, z)| =

√2|CTE

10 |{1− cos

(2βTE

10 z)}1/2 (44)

Figura 6: Representación de |E(x = a2 , z)| frente a z a lo largo de una guía de ondas acabada en un

cortocircuito.

A partir de la distancia entre mínimos, mediremos λTEg,10 y, en con-

secuencia, βTE10 .

? Carga adaptada.Se consigue colocando una pieza de material resistivo al �nal de

la guía de onda, que absorbe toda la potencia incidente e impide quehaya onda re�ejada. Para este caso, ΓL = 0

? Carga problema.Es la que resulta de dejar abierto el extremo de la guía de ondas

(con lo cual, hay radiación y el obstáculo es en la práctica una ante-na mal adaptada).Para este caso concreto, se van a obtener valores


experimentales de |ΓL| y φL.

Figura 7: Representación de |E(x = a2 , z)| frente a z a lo largo de una guía de ondas acabada en

una carga arbitraria que no está adaptada.

En primer lugar mediremos los valores máximo y mínimo de |E(x =a2, z)| frente a z, Emax y Emin. |ΓL| se puede obtener en términos deEmax y Emin como se indica:

ROE =Emax

Emin=

1 + |ΓL|1− |ΓL| ⇒ |ΓL| =

ROE− 1

ROE + 1(45)

donde ROE es la razón de onda estacionaria.

A continuación, mediremos la distancia entre un mínimo de la guíaen cortorcircuito y el mínimo más próximo de la guía con la cargaproblema en la dirección del generador, dmin. φL se puede obtener entérminos de los valores medidos de dmin y λTE

g,10 como se indica:

−2βTE10 dmin + φL = π ⇒ φL = π +

4πdmin

λTEg,10

(46)


♣ LA GUÍA DE ONDAS CIRCULAR• Modos TEmn

En este caso la ecuación (13) seconvierte en:1

ρ

∂

∂ρ

(ρ∂hz

∂ρ

)+

1

ρ2

∂2hz

∂ϕ2+k2

chz = 0

(47)con la condición de contorno:

∂hz

∂ρ

]

ρ=a

= 0 (48)

Figura 8: Guía de ondas circular.

Utilizando separación de variables, la solución que se obtiene para(47) y (48) es (ejercicio):

hz,mn(ρ, ϕ) = BTEmnJm

(q′mnρ

a

){cos mϕ

senmϕ

}(49)

m = 0, 1, 2, . . . ; n = 1, 2, 3 . . .

donde dJmdx

]x=q′mn

= 0, siendo Jm la función de Bessel de orden m.

Los autovalores de (47) vienen dados por:(kTE

c,mn

)2=

(q′mn

a

)2

(50)

Para estos modos, la constante de propagación vale:

βTEmn =

√(ω

c

)2

−(

q′mn

a

)2

(51)


y la frecuencia de corte vale:

fTEc,mn =

q′mnc

2πa(52)

• Modos TMmn

En este caso hay que resolver la ecuación diferencial (16):1

ρ

∂

∂ρ

(ρ∂ez

∂ρ

)+

1

ρ2

∂2ez

∂ϕ2+ k2

cez = 0 (53)

con la condición de contorno:

ez]ρ=a = 0 (54)

La solución de (53) y (54) es (ejercicio):

ez,mn(ρ, ϕ) = BTMmn Jm

(qmnρ

a

) {cos mϕ

senmϕ

}(55)

m = 0, 1, 2, . . . ; n = 1, 2, 3 . . .

donde Jm(qmn) = 0.

Los autovalores de (53) vienen dados por:(kTM

c,mn

)2=

(qmn

a

)2

(56)

Para estos modos, la constante de propagación vale:

βTMmn =

√(ω

c

)2

−(qmn

a

)2

(57)

y la frecuencia de corte vale:

fTMc,mn =

qmnc

2πa(58)


• Modo fundamental y modos superioresEl modo fundamental que se propaga por la guía circular es el modoTE11, que tiene una frecuencia de corte fc1 = fTE

c,11 = 1,841c2πa . El modo

cuya frecuencia de corte está más próxima a la del modo fundamentales el modo TM01. Para este segundo modo, la frecuencia de corte valefc2 = fTM

c,01 = 2,405c2πa . Se observa que en la guía circular siempre se

cumple que fc2fc1

= 2,4051,841 = 1,306, con lo cual, el ancho de banda es

inferior al de una guía rectangular (para la cual se puede conseguirque fc1

fc2= 2 si a > 2b).

CAVIDADES RESONANTES• Una cavidad resonante es una región de material dieléctrico (usual-mente, aire) que está limitada por una super�cie metálica cerrada (conforma paralelepipédica, cilíndrica, esférica, etc.). En estas regiones sólose pueden excitar campos electromagnéticos de determinadas frecuen-cias, a las que se llama frecuencias de resonancia. Las frecuenciasde resonancia son el equivalente electromagnético de los niveles de e-nergía cuánticos que se obtienen para el electrón atrapado en unacaja.

♣ MODOS RESONANTES PARA CAVIDADES SINPÉRDIDAS RELLENAS DE AIRE• Existe un conjunto in�nito pero numerable de con�guraciones dife-rentes de campo electromagnético que pueden existir en una cavidadresonante. Cada una de estas con�guraciones constituye un modoresonante. Cada modo posee una frecuencia de resonancia. Cuando


dos modos resonantes poseen la misma frecuencia de resonancia, sedice que están degenerados.

• Consideremos una cavidad reso-nante sin pérdidas (paredes con-ductoras ideales) rellena de aire.Sea V el volumen ocupado por elaire, sea S la super�cie conducto-ra que limita a V , y sean τ y n

dos vectores unitarios tangente ynormal a S en cada punto respec-tivamente. Figura 9: Cavidad resonante rellena de aire.

Para obtener los fasores de campo eléctrico y campo magnéticode los modos resonantes de la cavidad, es preciso resolver en V lasecuaciones diferenciales:

∇2E + ω2µ0ε0E = 0 (59)∇2H + ω2µ0ε0H = 0 (60)


E · τ]

S= 0 (61)

H · n]

S= 0 (62)

Cuando las ecuaciones (59) y (60) se particularizan para las compo-nentes de E y H, se obtienen problemas de Sturm�Liouville tridimen-sionales que tienen como autovalores a ω2µ0ε0 (de estos autovaloresse obtienen las frecuencias de resonancia de los modos de la cavidad).


♣ LA CAVIDAD PARALELEPIPÉDICA

Una cavidad de este tipo puedeser vista como un tramo de guíade ondas rectangular de dimen-siones a × b que está cortocir-cuitada en los planos z = 0 yz = d. En este tramo de guíade ondas aparecerán ondas esta-cionarias que resultan de la su-perposición de modos viajando ensentidos +z y −z. De acuerdo

Figura 10: Cavidad resonante paralelepipédica.

con las ecuaciones (61) y (62), en los planos z = 0 y z = d el cam-po eléctrico tangencial y el campo magnético normal de las ondasestacionarias deben anularse simultáneamente. Esto sólo puede con-seguirse si la longitud del tramo de guía, d, es un múltiplo entero desemilongitudes de onda. Para los modos TE de la guía, esto ocurrecuando:

d =pλTE

g,mn

2=

pπ

βTEmn

⇒(

ωTEmnp

c

)2

−(mπ

a

)2

−(nπ

b

)2

=

(pπ

d

)2

⇒ fTEmnp =

c

2

[(m

a

)2

+(n

b

)2

+(p

d

)2]1/2

(63)

m,n = 0, 1, 2, . . . ; m = n 6= 0; p = 1, 2, 3, . . .

La ecuación (63) nos da las frecuencias de resonancia de los mo-dos resonantes TEmnp de la cavidad (aquéllos para los que Ez = 0).Análogamente, se obtiene la frecuencia de resonancia de los modos


resonantes TMmnp (Hz = 0):

fTMmnp =

c

2

[(m

a

)2

+(n

b

)2

+(p

d

)2]1/2

(64)m,n, p = 1, 2, 3, . . .

Si b < a < d, el modo resonante fundamental de la cavidadparalelepipédica (aquél con frecuencia de resonancia más baja) es elmodo TE101, y su frecuencia de resonancia valdrá:

fTE101 =

c

2

[(1

a

)2

+

(1

d

)2]1/2

(65)

♣ LA CAVIDAD CILÍNDRICA

• En este caso la cavidad puedeser vista como un tramo de guíade ondas circular cortocircuitadaen los planos z = 0 y z = d.De nuevo, sólo podrán existir on-das estacionarias en este tramo deguía si su longitud d es un múltiploentero de semilongitudes de onda.Para los modos TE de la guía cir-cular, esto ocurre cuando:

Figura 11: Cavidad resonante cilíndrica.


d =pλTE

g,mn

2=

pπ

βTEmn

⇒(

ωTEmnp

c

)2

−(

q′mn

a

)2

=

(pπ

d

)2

⇒ fTEmnp =

c

2

[(q′mn

πa

)2

+(p

d

)2]1/2

(66)

m = 0, 1, 2, . . . ; n, p = 1, 2, 3, . . .

que son las frecuencias de resonancia de los modos TEmnp (Ez = 0)de la cavidad cilíndrica. Las frecuencias de resonancia de los modosTMmnp (Hz = 0) son:

fTMmnp =

c

2

[(qmn

πa

)2

+(p

d

)2]1/2

(67)m = 0, 1, 2, . . . ; n, p = 1, 2, 3, . . .

Si 2a < d, el modo resonante fundamental de la cavidad cilíndricaes el modo TE111, cuya frecuencia de resonancia vale:

fTEmnp =

c

2

[(1,841

πa

)2

+

(1

d

)2]1/2

(68)

• En el laboratorio se va a utilizar un aparato conocido como �on-dámetro� o �frecuencímetro� con el �n de medir con precisión lafrecuencia de las ondas que circulan por la guía de ondas rectangularobjeto de estuio.


El ondámetro es una cavi-dad resonante cilíndrica adosadaa la guía de ondas rectangular.La cavidad cilíndrica posee una al-tura d regulable y está calibradade manera que, para cada valorde d, se pueda conocer con muchaprecisión la fecuencia de resonan-

Figura 12: Cavidad resonante adosada a unaguía de ondas.

cia del modo resonante fundamental (la ecuación (68) nos dice que es-ta frecuencia de resonancia es función de d). Supongamos que estamosmidiendo el campo máximo Emax en el plano E de la guía de ondasmediante una guía ranurada, y que variamos la altura d del ondámetrohasta que se observa una disminución brusca de Emax. Cuando estoocurre, la frecuencia de la onda que viaja por la guía coincide con lafrecuencia de resonancia de la cavidad y el campo electromagnéticoque viaja por la guía penetra en la cavidad, produciéndose una reduc-ción brusca en el nivel de potencia que se detecta en la guía. Puesbien, la lectura de la frecuencia de resonancia del ondámetro en esemomento nos da la frecuencia f de la onda que se propaga por laguía. A partir de los valores medidos de f y de λTE

g,mn, se puede haceruna estimación experimental de la frecuencia de corte fTE

c,10 mediantela ecuación (35).

♣ EFECTO DE LAS PÉRDIDAS Y FACTOR DE CA-LIDADDebido al hecho de que las paredes conductoras de las cavidades reso-


nantes en la práctica no son ideales (tienen una conductividad óhmica�nita), los campos electromagnéticos correspondientes a cada modoresonante no se excitan sólo a la frecuencia de resonancia sino en unintervalo de frecuencias alrededor de la frecuencia de resonancia.

En la �gura adjunta serepresenta la energía electro-magnética almacenada en unacavidad frente a la frecuenciaen un entorno de la frecuenciade resonancia f0. Se de�ne elancho de banda AB de la re-sonancia como:

AB =f2 − f1

f0(69)

donde f1 < f0 y f2 > f0 sonlas frecuencias a las cuales laenergía electromagnética al-

Figura 13: Representación de la energía electromag-nética almacenada en una cavidad resonante frentea la fecuencia.

macenada en la cavidad es la mitad de la almacenada a la frecuenciaf0. Asimismo, se de�ne el factor de calidad de la resonancia comoQ = 1/AB. Las cavidades utilizadas en los ondámetros deben tenerun alto factor de calidad para conseguir un alto grado de resoluciónal medir la frecuencia. Típicamente, las cavidades cilíndricas utilizadasen los ondámetros poseen una Q > 10000 (y AB < 10−4), lo cualpermite medir frecuencias con un error inferior al 0.01%.

personal.us.es 3: propagación de una onda en una guía de ondas rectangular como superposición de...

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