3a Olimpıada Vicosense de Matematica

Gabarito do Banco de Questoes

Nıvel 1 - 1a FaseOLIMPÍADA VIÇOSENSE DE MATEMÁTICATELIMLIMIMPÍADA VIÇOSENSEIMPÍADA VIÇ SE DE MATMATMAMATMAMAT

1. Solucao: Como a espessura de cada folha e 0, 1 mm, a altura de um pacote com 500 folhas e500× 0, 1 mm = 50 mm.

Logo, a altura de cada pilha sera de 60× 50 mm = 3.000 mm = 3 m.

2. Solucao: O numero total de alunos nos dois onibus e 57 + 31 = 88 e1

2× 88 = 44. Para que

cada onibus tenha o mesmo numero de alunos, 57− 44 = 13 alunos devem passar do primeiropara o segundo onibus.

3. Solucao: Na figura abaixo retirando-se dois saquinhos e quatro bolas de cada prato, a balancacontinua equilibrada e restam tres saquinhos no prato a esquerda e seis bolas no prato dadireita. Logo, o peso de tres saquinhos e igual ao peso de seis bolas. Daı concluımos que o pesode um saquinho e igual ao peso de duas bolas.

4. Solucao: Na expressao (13÷5)× (53+2)−25 fazendo a troca inversa, ou seja, trocando todosos algarismos 5 por 3, todos os algarismos 3 por 5, o sinal de × pelo sinal de + e o sinal de +pelo de × obtemos:

(15÷ 3) + (35× 2)− 23 = 5 + 70− 23 = 75− 23 = 52.

5. Solucao: Com as figuras recortadas podemos reconstruir o hexagono da seguinte forma:

Logo, o perımetro do hexagono que Larissa recortou e:

5 + 3 + 10 + 5 + 3 + 10 + 3 = 39 cm.

1

6. Solucao: Em 1 ano ha 365 dias que corresponde a 52 semanas e 1 dia. Pelo enunciado, a cadasemana Ricardo toma 3 comprimidos.

Logo, em um ano ele podera tomar no maximo 52 × 3 + 1 = 157 comprimidos. Como cada

caixa possui 20 comprimidos, entao, em 1 ano, Ricardo precisara de157

20= 7, 85 caixas.

Assim, Ricardo devera comprar pelo menos 8 caixas num ano.

7. Solucao: O refresco e composto por 20% de um litro, ou seja, 0,2 litros de suco e por 80% deum litro, ou seja, 0,8 litros de agua. Logo, a mistura final tem 0,2 litros de suco e 3+0, 8 = 3, 8litros de agua. A porcentagem de suco em relacao ao volume da mistura e, entao, volume desuco volume total

volume do suco

volume total=

0, 2

4=

2

40= 0, 05 = 5%.

8. Solucao: O numero total de alunos dessa classe e 22 + 18 = 40, dos quais 60% foram prestartrabalho comunitario, isto e, 0, 6× 40 = 24.

O numero mınimo de alunas que participaram desse trabalho e obtido quando o numero dealunos que participaram e maximo, ou seja, quando todos os 22 alunos se envolverem notrabalho, restando o mınimo de duas vagas para as alunas.

9. Solucao: Se o pedreiro assenta 8 metros por dia, em 15 dias assentara 15× 8 = 120 metros.

10. Solucao: Sendo x metros o comprimento da pista, Jussara ja percorreux

3+ 200 metros e

ainda faltam percorrer mais 300 metros para que ela chegue a metade. Assim,

x

3+ 200 + 300 =

x

2⇐⇒ 500 =

x

2− x

3=

x

6⇐⇒ x = 3.000.

Logo, a pista tem 3km.

11. Solucao: Se a florista Patrıcia vender as flores sem desidrata-las, ela vai apurar um total de49× 1, 25 = R$1, 25.

O peso das flores depois da desidratacao e(1− 5

7

)× 49 =

2

7× 49 = 14 kg.

Logo, vendendo as flores desidratadas, ela apura um total de 14× 3, 25 = R$ 45, 50.s.

Assim, Patrıcia ganha mais no processo sem a desidratacao.

12. Solucao: Dalila pode montar as fileiras com 5 morangos e nenhuma jabuticaba; 4 morangos e1 jabuticaba; 3 morangos e 2 jabuticabas e 2 morangos e 3 jabuticabas.

2

No primeiro caso, ha 1 modo de montar a fileira e no segundo ha 5 casos. Sendo M morangose J jabuticaba, no terceiro caso temos as seguintes possibilidades para fileira:

MJMJM, MJMMJ, MMJMJ, JMMJM, JMJMM, JMMMJ e JMJMJ,

ou seja, de 7 maneiras.

Logo, Dalila pode fazer 1 + 5 + 7 = 13 fileiras diferentes.

13. Solucao:

(a) Como o mınimo multiplo comum (MMC) dos denominadores das fracoes e 30 podemosescrever:

4

3=

40

30

4

5=

24

30,

4

6=

20

30,

3

5=

18

30,

6

5=

36

30e

2

5=

12

30.

Ordenando, obtemos:

12

30<

18

30<

20

30<

24

30<

36

30<

40

30.

Assim, concluımos que:

2

5<

3

5<

4

6<

4

5<

6

5<

4

3.

(b)

(1− 1

2

)×

(1− 1

3

)×

(1− 1

4

)×

(1− 1

5

)=

1

2× 2

3× 3

4× 4

5=

1

5.

14. Solucao: Pensando a partir do final, vemos que, se o vidro esta cheio depois de 60 segundos,ele tinha de estar pela metade um segundo antes.

Logo, o vidro estava pela metade aos 59 segundos.

15. Solucao: Sejam p a quantidade de pregos, q a de parafusos e r a de ganchos, entao:{p+ 3q + 2r = 242p+ 5q + 4r = 44

Somando as duas equacoes, temos 3p+ 8q + 6r = 68. E a compra da Matheus pesou

12p+ 32q + 24r = 4(3p+ 8q + 6r) = 4× 68 = 272 g.

16. Solucao:

(a) O maior produto e 30, pois ao examinar os produtos dos numeros naturais cuja soma e11 obtemos:

10 + 1 = 11 e 10× 1 = 10; 9 + 9 = 11 e 9× 2 = 18;

8 + 3 = 11 e 8× 3 = 24 7 + 4 = 11 e 7× 4 = 28;

6 + 5 = 11 e 6× 5 = 30.

3

(b) Se m e um numero natural tal que 3m = 81 = 34, entao m = 4.

Logo, m3 = 43 = 4× 4× 4 = 64.

(c) Somando 3 a todos os membros da expressao dada obtemos

a− 1 + 3 = b+ 2 + 3 = c− 3 + 3 = d+ 4 + 3 ⇐⇒ a+ 2 = b+ 5 = c = d+ 7.

Portanto, c e o maior valor.

17. Solucao: De acordo com a figura abaixo:

o quarto e quadrado, com uma area de 16 m2, suas dimensoes sao 4 m × 4 m. Da mesmaforma, as dimensoes do quintal quadrado sao 2 m× 2 m. A sala tem uma area de 24 m2 e umadimensao igual a do quarto; portanto, as dimensoes da sala sao 6 m× 4 m.

Assim, as dimensoes totais da casa sao 10 × 6 m e a area total da casa e de 60 m2. Logo, acozinha tem uma area de

60− 16− 24− 4 = 16 m2.

18. Solucao: A tabela abaixo representa todas as possibilidades para que o numero de cabecasseja 5 (lembramos que banquinhos nao tem cabeca e ha pelo menos uma pessoa e uma vaca).

Cabeca de Cabeca de Pes Pes de banquinhosvacas pessoas (vacas e pessoas) (22 - pes, vacas e pessoas)1 4 12 102 3 14 83 2 16 64 1 18 4

A ultima coluna representa as possibilidades para o numero de pes de banquinhos que ha nocurral. Como cada banquinho tem 3 pes, o numero total de pes de banquinhos deve ser ummultiplo de 3. O unico multiplo de 3 que aparece na ultima coluna e 6, correspondente a 2banquinhos. Logo no curral havia 3 vacas, 2 pessoas e 2 banquinhos.

19. Solucao: Da sala,3

4× 56 = 42 alunos gostam de Matematica e

5

7× 56 = 40 alunos gostam de

Portugues. Como sao, no total, 56 alunos, cada um gostando de pelo menos uma das materias,42 + 40− 56 = 26 gostam de ambas materias.

4

20. Solucao: Poderıamos pensar que, como a lagarta consegue subir no total 1 cm por dia, levaria75 dias.

Entretanto, cinco dias antes, no septuagesimo dia, ela tera subido 70 cm e o esforco do proximodia fara com que ela suba os 5 cm finais.

Logo, a resposta e a lagarta estara no topo do mastro ao final do 71o dia (antes do inicio da71a noite).

21. Solucao: Das 21horas as 21h50min. ha 50× 60 = 3.000 segundos.

Sabemos que no instante zero, as 21 horas, todas as luzes estao acesas.

No caso das luzes azuis sabemos que:

• 140 segundos depois estarao apagadas,

• 280 = 2× 140 segundos depois estarao acesas,

• 420 = 3× 140 segundos depois estarao apagadas,

• 560 = 4× 140 segundos depois estarao apagadas.

Logo, nos instantes multiplos ımpares de 140 serao apagadas e nos instantes multiplos paresde 140 serao acesas. Como

21× 140︸ ︷︷ ︸sera apagada

< 3.000 < 22× 140︸ ︷︷ ︸sera acesa

,

concluımos que as 21h50 as luzes azuis estarao apagadas.

De maneira similar, como83× 36︸ ︷︷ ︸

sera apagada

< 3.000 < 84× 36︸ ︷︷ ︸sera acesa

,

concluımos que as 21h50 as luzes verdes estarao apagadas.

Ja no caso da amarelas temos:

66× 45︸ ︷︷ ︸sera acesa

< 3.000 < 67× 45︸ ︷︷ ︸sera apagada

e portanto estarao acesas as 21h50.

22. Solucao: O numero 29 × 3 e divisıvel por 2, pois 29 × 3 = 2× 28 × 3.

29 × 3 nao e divisıvel por 5, pois 5 nao e um fator de 29 × 3.

29 × 3 e divisıvel por 8, pois pois 29 × 3 = 23︸︷︷︸=8

×26 × 3.

29 × 3 nao e divisıvel por 9, pois 9 nao e um fator de 29 × 3.

29 × 3 e divisıvel por 6, pois pois 29 × 3 = 2× 3︸ ︷︷ ︸=6

×28.

5

23. Solucao:) Juntando os quatro trapezios, formamos um quadrado de area 2.500 cm2. Como o“buraco” quadrado no meio tem area 30 × 30 = 900 cm2, a area de cada um dos 4 trapezios,em cm2, e (2.500− 900)÷ 4 = 1.600÷ 4 = 400.

24. Solucao: Seja T a quantidade total de dinheiro no jogo. Assim, no inıcio, os jogadorespossuıam:

Elizafa7

18T, Guilherme

6

18T e Henrique

5

18T.

E , no final, eles possuıam:

Elizafa6

15T, Guilherme

5

15T e Henrique

4

15T.

Para comparar essas fracoes, usamos o denominador comum de 18 e 15, a saber, 90.

Desse modo, no inıcio:

Elizafa7

18T =

35

90T, Guilherme

6

18T =

30

90T e Henrique

5

18T =

25

90T.

E , no final:

Elizafa6

15T =

36

90T, Guilherme

5

15T =

30

90T e Henrique

4

15T =

24

90T.

Logo, foi Elizafa quem ganhou um total de1

90T , que corresponde a 12 reais, de modo que

1

90T = 12, ou seja, o total T de dinheiro no inıcio o jogo foi T = 90× 12 = R$ 1.080. Assim,

no final da partida, os jogadores possuiam, em reais,

Elizafa6

15de 1.080 = 432,

Guilherme5

15T de 1.080 = 360,

Henrique4

15T de 1.080 = 288.

25. Solucao:

(a) AO trajeto de M a N compreende 14 comprimentos e 12 larguras das lajotas. Logo, seucomprimento e

14× 6 + 12× 4 = 84 + 48 = 132 cm.

Como as duas formiguinhas percorrem a mesma distancia, cada uma deve andar 132÷2 =66.

6

(b) Vamos acompanhar, desde o inıcio, o percurso feito por Maricota ate completar os 66 cm :

2 comprimentos︸ ︷︷ ︸2×6=12

+1 largura︸ ︷︷ ︸4+12=16

+3 comprimentos︸ ︷︷ ︸18+16=34

+2 largura︸ ︷︷ ︸8+34=42

2 comprimentos︸ ︷︷ ︸12+42=54

+1 largura︸ ︷︷ ︸4+54=58

+1 comprimento︸ ︷︷ ︸6+58=64

+1/2 largura︸ ︷︷ ︸2+64=66

.

26. Solucao: Na loja “A Festa do Cha” existem cinco tipos diferentes de xıcaras de cha e trestipos diferentes de pires.

(a) Vamos escolher uma xıcara primeiro. Entao, para completar o conjunto, podemos escolherqualquer um dos tres pires. Logo, temos 3 conjuntos diferentes com a mesma xıcara. Comoexistem cinco xıcaras diferentes, temos 15 conjuntos diferentes (15 = 5× 3).

(b) Comecamos com qualquer um dos 15 conjuntos do item anterior. Existem quatro manei-ras diferentes de completa-los com uma colher de cha. Portanto, o numero de todos osconjuntos possıveis e 60 (ja que 60 = 15× 4 = 4× 5× 3).

(c) Existem tres casos possıveis: uma xıcara e um pires, uma xıcara e uma colher ou umpires e uma colher. O numero de possibilidades do primeiro caso foi calculado no item(a) e sao 15. Fazendo um calculo similar constatamos que no segundo caso ha 4× 5 = 20possibilidades e no terceiro ha 4× 3 = 12 possibilidades.

Portanto, no total e possıvel 15 + 20 + 12 = 47 compras diferentes.

27. Solucao:

(a) Para ir de Alegria a Candura devemos ir primeiro a Brisa, pois nao estradas diretas, eassim temos

6︸︷︷︸estradas de Alegria a Brisa

× 4︸︷︷︸estradas de Brisa a Candura

= 24

possibilidades.

7

(b) Consideremos dois casos: nosso trajeto passa por Brisa ou por Delırio, o primeiro casofoi calculado no item (a) e nos forneceu 24 caminhos. No segundo caso teremos

3︸︷︷︸estradas de Alegria a Delırio

× 2︸︷︷︸estradas de Delırio a Candura

= 6.

Logo, no total ha 30 trajetos diferentes possıveis.

28. Solucao:

(a) Como 210 ÷ 3 = 70, existem 70 cartoes cujos numeros sao multiplos de 3. Mais precisa-mente, esses cartoes sao os de numero 3 = 1 × 3, 6 = 2 × 3, 9 = 3 × 3, 12 = 4 × 3, . . . ,204 = 68× 3, 207 = 69× 3 e 210 = 70× 3.

(b) Ha 105 cartoes pares. Por outro lado, entre os 70 multiplos de 3 ha 70 ÷ 2 = 35 pares.Logo, 105− 35 = 70 sao pares mas nao multiplos de 3.

29. Solucao: A resposta e nao, pois a soma de 1 ate 10 e 55 e uma mudanca de sinal em qualquerum deles muda esta soma por um numero par, ja que estaremos subtraindo o mesmo numeroduas vezes.

Consequentemente, a soma tem que permanecer ımpar e portanto nao pode ser 0.

30. Solucao: E claro que existem 5 numeros de um algarismo “todo-ımpares”: 1, 3, 5, 7 e 9.

Podemos colocar um algarismo ımpar a direita de qualquer numero “todo-ımpar” com um alga-rismo de cinco maneiras. Assim, temos 5× 5 = 25 numeros “todo-ımpares” de dois algarismos.

Fazendo um raciocınio analogo concluımos que ha 5× 5× 5 = 125 numeros “todo-ımpares” detres algarismos e ha 5 × 5 × 5 × 5 = 625 numeros “todo-ımpares” “todo-ımpares” de quatroalgarismos.

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