1

3. ПРЕСМЕТКА НА КРОВ НА КУЌА СО ТРИГОНОМЕТРИЈА

Цел: Учениците/студентите да се запознаат со равенки за пресметка на: агли, периметар, плоштина, волумен на триаголна призма, како од теоретски аспект, така и со примена на ИКТ со помош на динамичкиот софтвер за математика Геогебра.

3.1 Поставување на проблемот

Кровот на мојата куќа ќе биде едноставен двоен навален кров (сл.1). Растојанието од предниот до задниот дел на куќата е 10м. Куќата е 30м широка .

сл.1 Скица на кров на куќа

B. Потешко прашање. Сакам косината на кровот од предниот дел на куќата да биде 37° и од задниот дел 42°. Најди ги сите димензии на триаголникот на кровот вклучувајќи ја и висината на кровот и позицијата на врвот на кровот на катот како во A. Најди го периметарот и површината на триаголникот на кровот. Најди го волуменот на кровот.

Цртеж за B (сл.2):

Заден дел на

куќата Преден дел на

куќата

10м

30м

2

сл.2 Триаголник на кров - В

3.2.2 Решение на проблемот B

За разлика од претходниот проблем (А. Полесно прашање), во кој со помош на Питагорова теорема ги наоѓаме страните и со тригонометриски функции аглите на триаголникот, сега прво користиме тригонометриски функции, а потоа Питагорова теорема за да ги најдиме страните на триаголникот. Откако веќе се познати димензиите на триаголникот се наоѓаат останатите димензии на кровот, исто како во решението на проблемот А.

Зададени димензии:

� Растојанието од предниот до задниот дел на куќата е 10м. Тоа ќе биде основата на триаголникот на кровот с = ������ = 10м (сл.3).

� Ширината на куќата е 30м. Ова растојание ќе го означиме со d=30м. � Косината на кровот од предниот дел на куќата е α=37°. � Косината на кровот од задниот дел на куќата е β=42°.

сл.3 Скица на кров на куќа - В

3

3.2.2.1 Решение ("рачно") Цел: Учениците да го решат проблемот В (да ги најдат сите димензии на триаголникот на кровот вклучувајќи ја и висината на кровот и позицијата на врвот на кровот на катот како во A, периметарот и плоштината на триаголникот на кровот и волуменот на кровот).

• Најди ја висината на кровот. Ќе користиме тригонометриски функции за одредување на димензиите на кровот. Нека c' = ������ , а с" = ��. Значи c'+c" = c, како и во претходните конструкции. Користиме дефиниција на тангенс од даден агол, како однос од спротивната и налегнатата страна:

�� � �

� � � � �

�� , од каде следува � �� � �� �

�� � �

� � � � �

��� , од каде следува � ��� � �� �

Левите страни на равенствата се еднакви, па ги израмнуваме десните:

����� � � ��� � �� �,,,, заменуваме c" = c – c', �� � �� � � �� � ��� � �� �,

односно �� � �� � � � � �� � � �� � �� � од каде се добива

�� � ��� � � �� �� � � � �� � , па следува �� � ���� �

�� ���� � .

Сега користиме логаритамска таблица за да ги најдиме вредностите на тангенс и котангенс на аглите и со замена на тие вредности и с = 10, добиваме1:

�� � 5.45.45.45.4, од каде следува ��� � 10101010----5.4�4.6м5.4�4.6м5.4�4.6м5.4�4.6м

� �� � �� � � 5.4 � 5.4 � 5.4 � 5.4 � 0.75355 � 4.1м0.75355 � 4.1м0.75355 � 4.1м0.75355 � 4.1м

• Најди ја должина на страните на триаголникот на кровот.

1 Сите пресметки се врз броеви со 5 децимални места

4

Ја користиме Питагоровата теорема за наоѓање на страните а и b на триаголникот на кровот: # � � � $ % � ��% = $&. ' � (. &% = $'). *' � %+. ') = $&(. +, = 6.8м6.8м6.8м6.8м

. � � � $�//% � % = $&. )% � &. '% = $%'. ') � '). *' = $0,. +, = 6.1м6.1м6.1м6.1м

• Најди ја големината на третиот агол на триаголникот на кровот

γγγγ� 180° � 180° � 180° � 180° ---- �α � β� � 180° �α � β� � 180° �α � β� � 180° �α � β� � 180° ---- 79°�101°79°�101°79°�101°79°�101°

• Најди го периметарот и плоштината на триаголникот.

Lt� a � b � c � Lt� a � b � c � Lt� a � b � c � Lt� a � b � c � 6.16.16.16.1 � � � � 6.86.86.86.8 � � � � 10101010 � � � � 22.9м22.9м22.9м22.9м

Pt Pt Pt Pt ���� ��

% � � � �

'=�&.'

% � � � � 20.5 20.5 20.5 20.5 м%

• Најди го волумен на кровот: Vk � PtVk � PtVk � PtVk � Pt�d � 2d � 2d � 2d � 20.50.50.50.5 �30303030 � � � � 615 615 615 615 м0

***************************************************

3.2.2.2 Конструкција1: Kонструкција во Геогебра Krov_na _Kukja Resenie В1.ggb

Цел: Учениците да направат конструкција на кров на куќа во Геогебра со зададените должини на страните и големини на аглите, со проекција од тридимензионален во дводимензионален простор и да го решат проблемот В.

Постапката за конструкција на триаголникот во Геогебра, се разликува од конструкцијата на триаголник во претходниот проблем, затоа што сега имаме други зададени големини. Во овој случај познати ни се аглите на основата на

триаголникот и должината на основата. Алатката Агол со дадена големина, ни овозможува да го конструираме темето на врвот на триаголник во кој ни е зададена основата и двата агли на основата (сл.4).

5

сл.4 Конструкција на кров на куќа со Геогебра – В

• Означи точка А(0,0) – точка во координатниот почеток.

• Ширината на кровот треба да биде 10м. Затоа означи точка В на x - оската со координати (10,0). За прецизно означување на точката В, внесуваме формула В = А+(10,0) во полето Внес.

• Со алатката Агол со дадена големина ја ротираме точката А околу точката В за агол од 42° во правец на стрелките на часовникот. Кликни на алатката, потоа на точката А, па на точката В. На екранот се појавува дијалог прозорец како на сл.5.

сл.5 Прозорец за алатка Агол со дадена големина - В

6

Во полето за агол внеси 42° колку што е зададениот агол β, кликни на опцијата во насока на стрелките на часовникот и на ОК. На Површината за цртање се добива точка А'.

• Со алатката Права низ две точки повлечи права pB низ точките В и А'.

• Со алатката Агол означи го аголот во темето В со β.

• На ист начин, ротирај ја точката В околу А за 37° во правец спротивно од насоката на стрелките на часовникот, потоа повлечи права pA низ А и добиената точка В' и означи го аголот во темето А со α.

• Со алатката Пресек на два објекти најди ја пресечната точка на правите pA и pB, кликни на пресекот и означи ја точката со С (сл.6).

сл.6 Означување на пресечната точка на правите pa и pb - В

• Со алатката Многуаголник нацртај триаголник ABC. Страните означи ги со a, b и c.

• Со алатката Нормала повлечи права низ точката С нормална на отсечката с и означи ја со nc.

7

• Пресечната точка на нормалата nc и отсечката с означи ја со Н. Со алатката

Отсечка помеѓу две точки нацртај ја висината на триаголникот h=BC (сл.7).

сл.7 Триаголник АВС со зададени агли α и β - B

• Да го нацртаме другиот триаголник A1B1C1.

Постапката на конструкција е иста со конструкцијата на триаголник ABC. Прво внеси две точки A1 и B1. х-координатите на овие точки, треба да бидат исти со х-координатите на точките A и B соодветно, а y – координатите на точките A1 и B1 треба да се еднакви со зададената ширина на куќата од 30м. Во полето Внес внеси: А1=(0,30) и B1=(10,30).

• Со алатката Агол со дадена големина ја ротираме точката А1 околу точката В1 за агол од 42° во правец на стрелките на часовникот. Кликни на алатката, на точката А1, потоа на точката В1. На екранот се појавува дијалог прозорец како на сл.8:

сл.8 Прозорец за алатка Агол со дадена големина – В

8

Во полето за агол внеси 42° колку што треба да биде аголот β1, кликни на опцијата во насока на стрелките на часовникот и на ОК. На Површината за цртање се добива точка А1'.

• Со алатката Права низ две точки повлечи права pB1 низ точките В1 и А1'. Со алатката Агол означи го аголот во темето В1 со β1.

• На ист начин, ротирај ја точката В1 околу А1 за 37° во правец спротивно од насоката на стрелките на часовникот, повлечи права pA1 низ А1 и добиената точка В1' и означи го аголот во темето А1 со α1.

• Со алатката Пресек на два објекти најди ја пресечната точка на правите pA1 и pB1 и означи ја со С1.

• Со алатката Многуаголник нацртај триаголник A1B1C1. Страните означи ги со a1, b1 и c1.

• Пресечната точка на нормалата nc и отсечката с1 означи ја со Н1. Со

алатката Отсечка помеѓу две точки нацртај ја висината на триаголникот h1=BC'.

• Со алатката Отсечка помеѓу две точки нацртај отсечка d=��' со должина 30м (колку што е ширината на куќата), и отсечки d1 = DD' = d2 = ��' = 30м.

• Во Алгебарскиот прозорец смени ги имињата на двата триаголници многуаголник1 и многуаголник2 во ABC и A1B1C1. Апликацијата Геогебра веднаш ја прикажува плоштината на триаголниците во Алгебарскиот прозорец. Значи станува збор за складни триаголници со иста плоштина што и беше целта на конструкцијата.

• Нацртај отсечки c' и c" така што c'+c"=с. За конструкција користи ја истата постапка како во 3.2.1.2 Конструкција1: Kонструкција во Геогебра Krov_na _Kukja Resenie A1.ggb. Со одбирање на менито Поглед и опцијата

Чекори на конструкција... на екран се појавува прозорец за Чекори на конструкција. На сл.9 прикажани се чекорите на конструкција за цртање на отсечките c' и c".

9

сл.9 Прозорец Чекори на конструкција: чекори на конструкција за цртање на отсечките c' и c" - В

• Во полето Внес внеси формула Lt� a � b � c Lt� a � b � c Lt� a � b � c Lt� a � b � c за периметарот на триаголникот АВС.

• Во полето Внес внеси формула Pt �Pt �Pt �Pt � ��

% за плоштината на триаголникот

АВС.

• Во полето Внес внеси формула Vk�Vk�Vk�Vk� PtPtPtPt�d d d d за волуменот на кровот на куќата.

3.2.2.3 Конструкција1: Заклучок

Конструкцијата на кров на куќа со проекција од тридимензионален во дводимензионален простор, обработена во глава 3.2.2.2 е во координатен систем во кој темето А на триаголникот на кровот е поставено во координатниот почеток, а темето В на х - координатната оска. Со користење на можностите на Геогебра може да се конструира триаголник со позната должина на основата и аглите при основата. Така, во Алгебарскиот прозорец на Геогебра се добива должината на страните и висината на триаголникот. Со внесување на формули за периметар и плоштина на триаголник, и волумен на призма, во Алгебарскиот прозорец се добиваат вредностите на бараните величини.

Конструкција на кров на куќа во Геогебра им овозможува на учениците да ги проверат своите "рачно" добиени вредности со вредностите во Алгебарскиот прозорец на Геогебра.

***************************************************

10

3.2.2.4 Конструкција2: Kонструкција со лизгачи во Геогебра Krov_na _Kukja Resenie В2.ggb Цел: Учениците да направат конструкција со лизгачи на кров на куќа во

Геогебра со произволни должини на страните и големини на аглите со проекција од тридимензионален во дводимензионален простор, и да го решат проблемот В, т.е. да ја набљудуваат и анализираат промената на периметарот и плоштината на триаголникот како и волуменот на кровот, во зависност од промената на координатите на точките, а со тоа и страните на кровот на куќата. Воведуваме лизгачи за промена на растојанието од предниот до задниот дел на куќата, косината на кровот во предниот дел на куќата, косината на кровот во задниот дел на куќата и ширината на куќата. Исто како во претходниот проблем со промена на вредноста на лизгачите (лизгање), ќе се овозможи промена на димензиите на кровот. Учениците може со молив и хартија и користење на логаритамска таблица да ги најдат димензиите на кровот, а потоа со конструкцијата во Геогебра веднаш да проверат дали најдените димензии се точни. Она што е потребно е само да ги постават лизгачите на соодветната вредност со помош на глувчето во Површината за цртање, или со тастатура да ја внесат вредноста во Алгебарскиот прозорец.

• Со алатка Лизгач, внесуваме четири лизгачи:

� lc – лизгач за растојанието од предниот до задниот дел на куќата (интервал: мин:10, макс:20, чекор:1)

� α – лизгач за косината на кровот во предниот дел на куќата (интервал: мин:5°, макс:90°, чекор:1)

� β – лизгач за косината на кровот во задниот дел на куќата (интервал: мин:5°, макс:90°, чекор:1)

� ld – ширина на куќата (интервал: мин:15, макс:60, чекор:1)

Сега треба да ги промениме координатите на сите точки на кровот, така што кога лизгачот добива друга вредност, ќе се менуваат координатите на точките, а со тоа и димензиите на кровот. Текот на конструкција е сосема идентичен како во претходната конструкција така што наместо фиксни вредности на координатите на точките, ставаме вредности кои се менуваат со помош на лизгач. За подобро разбирање на целата постапка, ќе ја објасниме чекор по чекор.

11

• Означи точка А(0,0) – точка во координатниот почеток. • Промената на х-координатата на точката В ќе се извршува во рамките на

интервалот на лизгачот lc. Затоа означи точка В на x - оската со координати (lc,0).

• Со алатката Агол со дадена големина ја ротираме точката А околу точката В за агол β во насока на стрелките на часовникот. Аголот се менува со лизгачот β. Значи наместо фиксна вредност (42° во претходната конструкција) во полето Агол внеси β. На Површината за цртање се добива точка А'. Доколку покажувачот на глувчето се постави на точката А', Геогебра покажува дека А' е точка добиена со ротација на А за агол – β.

• Со алатката Права низ две точки повлечи права pB низ точките В и А'.

• Со алатката Агол означи го аголот во темето В со β. Апликацијата Геогебра како име на аголот предлага да се користи ε. Бидејќи аголот во темето В сакаме да се вика β, во јазичето Основно на опцијата Карактеристики во полето Наслов внесуваме β (сл.10). Се чекира опцијата Прикажи го името: и се избира Наслов.

сл.10 Прозорец Карактеристики Внесување на Наслов за аголот β -- В

12

• На ист начин, ротирај ја точката В околу А за агол α, чија вредност се менува со лизгачот α во правец спротивно од насоката на стрелките на часовникот, па повлечи права pA низ А и добиената точка В' и означи го аголот во темето А со α.

• Со алатката Пресек на два објекти најди ја пресечната точка на правите pA и pB и означи ја со С.

• Со алатката Многуаголник нацртај триаголник ABC.

• Со алатката Нормала повлечи права низ точката С нормална на отсечката с и означи ја со nc.

• Со алатката Пресек на два објекти најди ја пресечната точка на

нормалата nc и отсечката с, па означи ја со Н. Со алатката Отсечка помеѓу две точки нацртај ја висината на триаголникот h=BC.

• Со алатката Агол означи го аголот во темето С со γ. • На ист начин нацртај го другиот триаголник A1B1C1. Прво внеси две точки

A1 и B1. х-координатите на овие точки ќе бидат исти со х-координатите на точките А и В, а у-координатите ќе бидат еднакви со вредноста на лизгачот за ширината на куќата. Значи А1 (0,ld) и B1 (lc,ld).

• Со алатката Агол со дадена големина ја ротираме точката A1 околу точката В1 за агол од β во насока на стрелките на часовникот. Аголот се менува со лизгачот β. Значи наместо фиксна вредност (42° во претходната конструкција) во полето Агол внеси β. На Површината за цртање се добива точка А1'. Доколку покажувачот на глувчето се постави на точката А1', Геогебра покажува дека А1' е точка добиена со ротација на А1 за агол – β.

• Со алатката Права низ две точки повлечи права pB1 низ точките В1 и А1'.

• Со алатката Агол означи го аголот во темето В1 со β1. Апликацијата Геогебра како име на аголот предлага да се користи δ. Бидејќи аголот во темето В1 сакаме да се вика β1, во јазичето Основно на опцијата Карактеристики во полето Наслов внесуваме β1.

• На ист начин, ротирај ја точката В1 околу А1 за агол α, чија вредност се менува со лизгачот α во правец спротивно од насоката на стрелките на часовникот, па повлечи права pA1 низ А1 и добиената точка В1' и означи го аголот во темето А1 со α1. Апликацијата Геогебра како име на аголот предлага да се користи ε. Бидејќи аголот во темето А1 сакаме да се вика

13

α1, во јазичето Основно на опцијата Карактеристики во полето Наслов внесуваме α1.

• Со алатката Многуаголник нацртај триаголник A1B1C1. Страните на триаголникот означи ги со а1, b1 и c1.

• Пресечната точка на нормалата nc и отсечката с1 означи ја со Н1. Со

алатката Отсечка помеѓу две точки нацртај ја висината на триаголникот h1=B'C'.

• Сега нацртај отсечка d=��' со должина ld (колку што е ширината на куќата)

и отсечки d1 = DD' = d2 = ��' = ld.

• Во Алгебарскиот прозорец смени го името на двата триаголници од многуаголник1 и многуаголник2 во ABC и A1B1C1. Апликацијата Геогебра веднаш ја прикажува плоштината на триаголниците во Алгебарскиот прозорец. Значи станува збор за складни триаголници со иста плоштина што и беше целта на конструкцијата.

• Нацртај отсечки c' и c", така што c'+c"=с. (за конструкција користи ја истата постапка како во 3.2.1.3 Конструкција2: Конструкција со лизгачи во Геогебра Krov_na _Kukja Resenie A2.ggb)

• Во полето Внес внеси формула Lt� a � b � c Lt� a � b � c Lt� a � b � c Lt� a � b � c за периметарот на триаголникот АВС.

• Во полето Внес внеси формула Pt �Pt �Pt �Pt � ��

% за плоштината на триаголникот

АВС. • Во полето Внес внеси формула Vk�Vk�Vk�Vk� PtPtPtPt�d d d d за волуменот на кровот на куќата.

Тестирање на конструкцијата:

Со движење на лизгачите се менуваат должините на страните на кровот.

Со промена на бројот – вредноста на лизгачите, се добиваат различни должини на страните и аголот на врвот на триаголникот, периметарот и плоштината на триаголникот и волуменот на кровот во Алгебарскиот прозорец (сл.11).

14

сл.11 Кров на куќа со различни должини на страните и

големини на аглите - В

3.2.2.5 Конструкција2: Заклучок

� Со поставување на лизгачите на одреден број, соодветен на зададените влезни големини, учениците може да ги проверат своите "рачно" добиени резултати со резултатите во Алгебарскиот прозорец на Геогебра.

� При "рачно" решавање на проблемот и конструкција на кров на куќа на хартија или табла, потребно е експериментирање односно пресметки со голем број на влезни величини за да се набљудува промената на големината на периметарот и плоштината на триаголникот, како и волуменот на кровот. Тоа на учениците им одзема драгоцен труд и време за голем број на пресметки.

� Конструкцијата со лизгачи во Геогебра им овозможува на учениците да "експериментираат" сo различна должина на основата и големини на аглите на основата на триаголникот. Со воведување на лизгачи за промена на координатите на точките и големината на аглите, а со тоа и должините на станите на призмата, учениците може да набљудуваат како се менува големината на периметарот и плоштината на триаголникот, како и волуменот на кровот. Може да се

15

набљудуваат голем број на комбинации: да се фиксира вредноста/бројот на еден лизгач и да се набљудува промената на големината на периметарот и плоштината на триаголникот, како и волуменот на кровот во зависност од промента на вредноста/бројот на останатите лизгачи, да се фиксира вредноста/бројот на два лизгач и да се набљудува промената на големината на периметарот и плоштината на триаголникот, како и волуменот на кровот во зависност од промента на вредноста/бројот на останатите лизгачи, со опцијата за анимација да се одбери брзината на промена на вредноста/ бројот на лизгачот и начинот на анимација (осцилира, расте или опаѓа) и.т.н.